Γεωμετρική Οπτική Στη Γεωμετρική Οπτική επεξεργαζόμαστε τα φαινόμενα ωσάν το φως να αποτελείται μόνο από σωματίδια, ώστε να εξασφαλίζεται την εύκολη ερμηνεία των φαινομένων της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, της ανάκλασης (reflection) και της διάθλασής (refraction) του. Η ευθύγραμμη κίνηση του φωτός μας επιτρέπει να κάνουμε χρήση των εννοιών της Ευκλείδιας Γεωμετρίας. Η έννοια της φωτεινής ακτίνας που χρησιμοποιείται στη γεωμετρική οπτική είναι συνδεδεμένη με την ευθύγραμμη διάδοση του φωτός. Το φως εκπέμπεται από μια φωτεινή πηγή με τη μορφή σφαιρικών κυμάτων Κάθε τέτοια σφαιρική επιφάνεια με κέντρο την πηγή, είναι ο γεωμετρικός τόπος (γ.τ.) των σημείων του κύματος που βρίσκονται στην ίδια φάση. Πρόκειται δηλαδή για μια ισοφασική επιφάνεια που ονομάζεται μέτωπο κύματος.
Γεωμετρική Οπτική Μια ευθεία κάθετη στην ισοφασική επιφάνεια ονομάζεται φωτεινή ακτίνα. Άρα, η ακτίνα είναι ο γ.τ. των σημείων που βρίσκεται το ίδιο σημείο της ισοφασικής επιφάνειας την κάθε χρονική στιγμή. Σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή, η σφαιρική επιφάνεια του κύματος προσεγγίζει στην επίπεδη και επομένως οι ακτίνες ενός επιπέδου κύματος θα είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ένα τέτοιο σύνολο ακτινών ονομάζεται δέσμη παραλλήλων φωτεινών ακτίνων. Όλες οι φωτεινές ακτίνες που εκπέμπονται από τα ενδιάμεσα σημεία του αντικειμένου ΑΒ και κατευθύνονται προς τη λεπτή οπή, συναντούν το 2 ο πέτασμα στα ενδιάμεσα σημεία των Α και Β, ώστε να σχηματίζεται ένα φωτεινό είδωλο Α Β που είναι αντεστραμμένο ως προς το αντικείμενο ΑΒ. Οι σχέσεις μεγέθους του ειδώλου ως προς το αντικείμενο είναι τέτοιες που ερμηνεύονται μόνο αν δεχθούμε ότι το φώς ταξιδεύει ευθύγραμμα. Σημείωση: Ένας τέτοιος φωτοστεγανός θάλαμος αποτέλεσε την πρώτη φωτογραφική συσκευή. Η ευθύγραμμη διάδοση του φωτός επιβεβαιώνεται με ένα απλό πείραμα.
Ανάκλαση του φωτός Ανάκλαση (Reflection) είναι το φαινόμενο κατά το οποίο μια φωτεινή ακτίνα αλλάζει πορεία, όταν συναντάει τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών οπτικών μέσων, αλλά παραμένει στο μέσο απ όπου προέρχεται. Η ανάκλαση που προκαλείται από μια εξαιρετικά λεία επιφάνεια ονομάζεται κανονική ή κατοπτρική. Η ανάκλαση που προέρχεται από πολλαπλές και ταυτόχρονες ή και δευτερεύουσες ανακλάσεις από τις μικρές επιφάνειες των μη παρατηρήσιμων επιφανειακών ανωμαλιών των σωμάτων, ονομάζεται ανώμαλη ανάκλαση ή σκέδαση (diffuse) της ακτινοβολίας
Ανάκλαση του φωτός «Απομονώνοντας» μια φωτεινή ακτίνα, κατά την ανάκλαση έχουμε το παρακάτω σχήμα: Η ακτίνα ΠΑ που έρχεται από τη φωτεινή πηγή Π, ονομάζεται προσπίπτουσα. Η ακτίνα ΑΒ που προέρχεται από την προηγουμένη όταν αλλάζει πορεία, ονομάζεται ανακλώμενη. Το σημείο Α ονομάζεται σημείο πρόσπτωσης και η ευθεία ΑΡ είναι η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης. Η γωνία ΠΑΡ=φ ονομάζεται γωνία πρόσπτωσης, ενώ η γωνία ΡΑΒ=φ ονομάζεται γωνία ανάκλασης.
Ανάκλαση του φωτός Νόμοι της Ανάκλασης 1 ος Νόμος: Η προσπίπτουσα ακτίνα ΠΑ, η ανακλώμενη ΑΒ και η κάθετη ΑΡ στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης, βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο, το κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης και περιέχει την προσπίπτουσα. 2 ος Νόμος: Η γωνία πρόσπτωσης φ και η γωνία ανάκλασης φ είναι ίσες, δηλαδή, φ = φ
Διάθλαση του φωτός «Απομονώνοντας» μια φωτεινή ακτίνα, κατά τη διάθλαση έχουμε το παρακάτω σχήμα: Παρατηρούμε ότι διατηρείται η γεωμετρία της ανάκλασης, προσθέτοντας επιπλέον τη διαθλώμενη δέσμη ΑΓ, της οποίας η γωνία με την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης είναι θ. Η γωνία θ ονομάζεται γωνία διάθλασης.
Διάθλαση του φωτός Νόμοι της Διάθλασης 1 ος Νόμος: Η διαθλώμενη δέσμη ΑΓ βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο που βρίσκονται η προσπίπτουσα ΠΑ και η ανα-κλώμενη ΑΒ, δηλαδή το κάθετο στη διαχωριστική επιφά-νεια στο σημείο πρόσπτωσης και περιέχει την πηγή Π. 2 ος Νόμος: Ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης φ προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης θ είναι σταθερός, δηλαδή, sinφ/sinθ = σταθ.
Νόμος του Snel Διάθλαση του φωτός Έστω δύο διαφορετικά οπτικά μέσα Ι και ΙΙ (π.χ. αέρας και νερό) με δείκτες διάθλασης n 1 και n 2, αντίστοιχα, που διαχωρίζονται με επίπεδη επιφάνεια. Έστω, δύο παράλληλες ακτίνες μονοχρωματικής ακτινοβολίας που προέρχονται από την ίδια φωτεινή πηγή και συναντούν τη διαχωριστική επιφάνεια με γωνία πρόσπτωσης φ και διαθλώνται με γωνία διάθλασης θ. Ο Ολλανδός Φυσικός Snell απέδειξε ότι ισχύει: = σταθ. Ο λόγος n 2 /n 1 oνoμάζεται σχετικός δείκτης διάθλασης του μέσου ΙΙ ως προς το μέσο Ι. Σημείωση: Οι ακτίνες ακολουθούν την ακριβώς αντίστροφη πορεία αν προσπέσουν στη διαχωριστική προερχόμενες από το μέσου ΙΙ.
Κάτοπτρα Επίπεδο κάτοπτρο (mirrοr): είναι μια εξαιρετικά λεία, με μεταλλική λαμπρότητα, επίπεδη επιφάνεια, η οποία έχει μεγάλη ανακλαστική ικανότητα. Είδωλο ενός (φωτεινού) σημείου Α από το επίπεδο κάτοπτρο Π. Αρκούν οι προεκτάσεις των δύο ανακλωμένων ακτινών συναντώνται στο σημείο Α που είναι το είδωλο του σημείου Α. Σημείωση: στην περίπτωση του διπλανού σχήματος, το είδωλο Α είναι φανταστικό. α) Ονομάζεται πραγματικό είδωλο (real image) εκείνο που σχηματίζεται από πραγματικές φωτεινές ακτίνες. Ένα πραγματικό είδωλο μπορεί να προβληθεί σ ένα επίπεδο πέτασμα. β) Ονομάζεται φανταστικό είδωλο (virtual image) εκείνο που σχηματί-ζεται από φωτεινές ακτίνες μη πραγματικές δηλαδή από τις προεκτάσεις πρα-γματικών ακτίνων. Ένα φανταστικό είδωλο δεν μπορεί να προβληθεί σ ένα επίπεδο πέτασμα.
Κάτοπτρα Σφαιρικό κάτοπτρο: αν η ανακλαστική επιφάνεια ενός κατόπτρου είναι καμπύλη (μέρος μιας σφαιρικής επιφάνειας). Αν η ανακλαστική επιφάνεια ενός σφαιρικού κατόπτρου είναι κοίλη ή κυρτή, θα έχουμε αντίστοιχα κοίλο (concave) ή κυρτό (convex) σφαιρικό κάτοπτρο. Στο διπλανό σχήμα, όπου: R, η ακτίνα καμπυλότητας ενός σφαιρικού κατόπτρου, Κ, το κέντρο καμπυλότητας της σφαίρας Ο το τοπογραφικό κέντρο του σφαιρικού κατοπτρικού τμήματος που ονομάζεται κορυφή του κατόπτρου, η ευθεία ΚΟ ονομάζεται κύριος άξονας του κατόπτρου, κάθε άλλη ευθεία που περνάει από το κέντρο Κ και συναντάει την κατοπτρική επιφάνεια, ονομάζεται δευτερεύοντας άξονας, Το μέσο Ε της απόστασης ΚΟ ονομάζεται εστία (focal point) του κατόπτρου και είναι το σημείο όπου κατευθύνονται οι ανακλώμενες όλων των φωτεινών ακτίνων που πορεύονται παράλληλα στον κύριο άξονα, Η απόσταση ΟΕ=f ονομάζεται εστιακή απόσταση (focal length) του κατόπτρου και είναι ίση με το μισό της ακτίνας καμπυλότητας (f = R/2).
Κάτοπτρα Όλα τα κοίλα κάτοπτρα ονομάζονται συγκλίνοντα καθώς μία παράλληλη δέσμη ακτινών που είναι και παράλληλη στον κύριο άξονα, συγκλίνει στην εστία Ε μετά την ανάκλασή της από το κάτοπτρο Όμοια, όλα τα κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα ονομάζονται αποκλίνοντα καθώς οι ακτίνες μιας παράλληλης φωτεινής δέσμης ανακλώμενες θα πρέπει προεκτεινόμενες να περνούν από την εστία Ε του κατόπτρου
Κάτοπτρα Γραφικός τρόπος εύρεσης του ειδώλου ενός αντικειμένου.
Κάτοπτρα Με βάση το σχήμα της προηγούμενης διαφάνειας, ορίζω: Απόσταση αντικειμένου από το κάτοπτρο = ΑΟ = α Απόσταση ειδώλου από το κάτοπτρο = Α Ο = β Εστιακή απόσταση = ΕΟ = f = R/2 Ύψος αντικειμένου = ΑΒ = s Ύψος ειδώλου = Α Β = s Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΚΒ και Α ΚΒ προκύπτει ότι: Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΟ και Α Β Ο προκύπτει ότι: Ο συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει: ή ισοδύναμα: Εξίσωση του σφαιρικού κατόπτρου
Κάτοπτρα Γραμμική ή εγκάρσια μεγέθυνση, Μ ενός σφαιρικού κατόπτρου είναι ο λόγος του ύψους του ειδώλου προς εκείνο του αντικειμένου, δηλαδή, ή ισοδύναμα, Κανόνες για τα πρόσημα των α, β, R και f
Φακοί Φακός: αντικείμενο κατασκευασμένο από υλικό διαπερατό από την ορατή ακτινοβολία, που μεταβάλλει το σχήμα ενός μετώπου κύματος όταν περνάει μέσα απ αυτό Το εξωτερικό σχήμα των φακών είναι δύο σφαιρικές επιφάνειες κοίλες ή κυρτές ή συνδυασμός τους, αλλά και συνδυασμός με επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζουν το διαθλαστικό υλικό από τον αέρα. Οι φακοί με κυρτές σφαιρικές επιφάνειες ονομάζονται συγκλίνοντες (converging) ή θετικοί (positive), γιατί οι φωτεινές ακτίνες που προέρχονται από κάποιο φωτεινό αντικείμενο συγκλίνουν μετά τη διάθλασή τους από το φακό. Οι φακοί με κοίλες ονομάζονται αποκλίνοντες (diverging) ή αρνητικοί (negative), αφού οι φωτεινές ακτίνες αποκλίνουν μετά τη διάθλασή τους απ αυτόν.
Φακοί Κ 1 και Κ 2 είναι τα κέντρα καμπυλότητας των σφαιρικών επιφανειών του φακού, Κύριος άξονας, η ευθεία χχ που περνάει από αυτά και είναι συνεπώς κάθετη στις δύο επιφάνειες του φακού, Κάθε ευθεία που περνάει από την κορυφή Ο και δεν συμπίπτει με την ευθεία χχ, ονομάζεται δευτερεύοντας άξονας. Το γεωμετρικό κέντρο Ο του φακού που βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία χχ, oνομάζεται κορυφή, Ο φακός έχει δύο επιφάνειες εισόδου, γι αυτό ορίζουμε δύο εστίες την πρώτη Ε 1 και τη δεύτερη Ε 2. Το επίπεδο που είναι κάθετο στον κύριο άξονα σε κάποια εστία του φακού, ονομάζεται εστιακό επίπεδο.
Λεπτοί Φακοί Λεπτοί φακοί (thin lenses): Αν το πάχος του φακού είναι μικρό τότε όλες οι φωτεινές ακτίνες που προσπίπτουν στην κορυφή Ο του φακού θα περάσουν μέσα από το φακό σαν να μην έχουν εκτραπεί από την αρχική τους διεύθυνση. Έστω ένας φακός που αποτελείται από διαθλαστικό υλικό με δείκτη διάθλασης n και οι εξωτερικές του επιφάνειες είναι σφαιρικά τμήματα με ακτίνες καμπυλότητας R 1 και R 2. Αν είναι α η απόσταση ενός φωτεινού αντικειμένου από την κορυφή Ο ενός φακού και β η απόσταση του είδώλου από το Ο, τότε όλα τα προηγούμενα μεγέθη συνδέονται με τη σχέση: Εξίσωση των κατασκευαστών των φακών Αν ορίσουμε ένα μέγεθος f τέτοιο ώστε: Τότε η εξίσωση των κατασκευαστών γίνεται: Όμοια με την εξίσωση των κατόπτρων
Λεπτοί Φακοί Πορεία ορισμένων κύριων φωτεινών ακτινών όταν αυτές διαθλώνται από το φακό:
Λεπτοί Φακοί Δυο παραδείγματα γραφικής εύρεσης ειδώλου Συγκλίνων Αποκλίνων
Λεπτοί Φακοί Γραμμική ή εγκάρσια μεγέθυνση: ορίζεται όπως και στην περίπτωση των σφαιρικών κατόπτρων από το λόγο του ύψους του ειδώλου προς το ύψος του αντικειμένου από τη σχέση: Ανάλογα, με τη σχετική θέση του αντικειμένου ως προς τα γεωμετρικά σημεία του φακού, το είδωλο εμφανίζεται ορθό ή αντεστραμένο. Ένα μέγεθος που χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε τη μεγεθυντική ικανότητα ενός φακού, είναι αυτό που ονομάζουμε ισχύς ενός φακού. Η ισχύς (power) ενός φακού είναι το αντίστροφο της εστιακής απόστασης και μετράται σε diopters (διοπτρίες) όταν η εστιακή απόσταση εκφράζεται σε μέτρα (m). Η ισχύς ενός φακού π.χ. με εστιακή απόσταση 25cm=0.25m είναι 4.0diopters, ενώ εκείνη ενός φακού με εστιακή απόσταση 25mm=0.025m είναι 40.0 diopters. Την ισχύ ενός αποκλίνοντα φακού εκφράζουμε συνήθως με αρνητικό πρόσημο.
Λεπτοί Φακοί Κανόνες για τα πρόσημα των α, β και f Σημείωση: Επειδή ο φακός έχει δύο ισοδύναμες όψεις, θεωρήσαμε όψη εισόδου εκείνη μπροστά από την οποία βρίσκεται το παρατηρούμενο αντικείμενο.
Μεγεθυντικοί Φακοί Έστω θ και θ οι γωνίες παρατήρησης χωρίς και με το φακό Φ Γωνιακή μεγέθυνση (angular magnification) μ του απλού μεγεθυντικού φακού: ο λόγος της γωνίας παρατήρησης του ειδώλου ενός αντικειμένου, όταν αυτό σχηματίζεται από το φακό στην απόσταση ευκρινούς οράσεως, προς τη γωνία παρατήρησης του αντικειμένου με γυμνό οφθαλμό, όταν αυτό βρίσκεται στην απόσταση ευκρινούς οράσεως, δηλαδή: οφθαλμός φακός
Για μικρές γωνίες θα ισχύει: Μεγεθυντικοί Φακοί και Οπότε, για τη μεγέθυνση θα έχω: Όμως, με βάση την σχέση και θέτοντας όπου β - δ, έχουμε: Ακόμη, αν το αντικείμενο τοποθετηθεί στη εστία του φακού (α = f), τότε για τη γωνιακή μεγέθυνση θα έχω:
Μικροσκόπιο Το μικροσκόπιο αποτελείται από δύο συγκλίνοντες φακούς.
Μικροσκόπιο Ο πιο κοντινός στο υπό παρατήρηση αντικείμενο ονομάζεται γι αυτό αντικειμενικός φακός (objective) και σχηματίζει το πραγματικό, αντεστραμένο και με-γεθυμένο είδωλο του αντικειμένου πολύ κοντά ή επάνω στην πρώτη εστία του δεύτερου φακού. Ο δεύτερος φακός βρίσκεται σε επαφή με τον οφθαλμό του παρατηρητή, ονομάζεται προσοφθάλμιος (eyepiece ή ocular) και χρησιμοποιείται σαν ένας απλός μεγεθυντικός φακός μέσω του οποίου παρατηρείται το είδωλο που σχηματίζει ο αντικειμενικός φακός. Η απόσταση μεταξύ του δεύτερου εστιακού σημείου του αντικειμενικού και του πρώτου εστιακού σημείου του προσοφθάλμιου φακού (η απόσταση L στο Σχήμα της προηγούμενης διαφάνειας) ονομάζεται μήκος του σωλήνα (tube length) και είναι κατασκευαστικά τυποποιημένη και ίση με 16cm. Το αντικείμενο ύψους s τοποθετείται πολύ κοντά στο πρώτο εστιακό σημείο του αντικειμενικού που σχηματίζει το είδωλό του ύψους s στο πρώτο εστιακό σημείο του προσοφθάλμιου, που απέχει L+f α από τον αντικειμενικό, όπου f α είναι η εστιακή απόσταση του αντικειμενικού. Από το σχήμα θα είναι:
Μικροσκόπιο Η γραμμική μεγέθυνση του αντικειμενικού δίνεται από τη σχέση: Η γωνιακή μεγέθυνση του προσοφθάλμιου θα είναι: όπου f π είναι η εστιακή απόσταση του προσοφθάλμιου. Η μεγέθυνση Μ του μικροσκοπίου είναι το γινόμενο της γραμμικής μεγέθυνσης του αντικειμενικού επί τη γωνιακή μεγέθυνση του προσοφθάλμιου, δηλαδή Σημείωση: Το αρνητικό πρόσημο της μεγέθυνσης δηλώνει ότι το τελικό είδωλο που παρατηρούμε είναι αντεστραμένο σε σχέση με το αντικείμενο.
Φωτομετρία Τα ενεργειακά μεγέθη που χρησιμοποιούνται στα φωτεινά κύματα είναι: Η φωτεινή ροή F (luminous flux), που είναι ο ρυθμός εκπομπής φωτεινής ενέργειας από μια φωτεινή πηγή και είναι ανάλογη της ολικής ισχύος που ακτινοβολείται, Η φωτεινή ένταση πηγής ή λαμπρότητα ή φωτοβολία Ι (luminous intensity), που είναι η φωτεινή ισχύς ανά μονάδα στερεάς γωνίας Ω σε κάποια διεύθυνση, Αν είναι F η φωτεινή ροή που εκπέμπεται από μια πηγή, τότε η φωτοβολία σε στερεά γωνία Ω είναι: Ι = F/Ω Η φωτεινή ένταση ή απλά φωτισμός (luminant intensity), που εκφράζει την ενέργεια της δέσμης που προσπίπτει σε κάποια κατεύθυνση θ ανά μονάδα επιφανείας κάθετη στην κατεύθυνση αυτή ανά μονάδα χρόνου. Σημείωση: Το μέτρο της φωτεινής έντασης I είναι η μέση τιμή του ανύσματος Poynting και έχει μονάδες cd/m².
Φωτομετρία Από την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπουν οι φωτεινές πηγές, ένα μικρό μέρος της ανήκει στην περιοχή της ορατής. Σημείωση: Μόνο το 10% της ισχύος που ακτινοβολεί μία κοινή λάμπα φωτισμού, είναι φωτεινή. Για τη φωτεινή ροή, μονάδα μέτρησης είναι το λούμεν (lumen) ή lm, που ορίζεται σε σχέση με μια σταθερή πηγή όπως αυτή κατασκευάζεται από το Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών. Πιο συγκεκριμένα, ένα lm είναι η φωτεινή ροή (ή η ορατή ακτινοβολούμενη ισχύς) που εκπέμπεται από το 1/60 cm 2 επιφανείας λευκοχρύσου στη θερμοκρασία τήξης του και περιέχεται σε μια στερεά γωνία 1 sr. Ως μονάδα της φωτοβολίας έχει ορισθεί η καντέλα (candle) - cd και είναι η φωτεινή ροή 1 lm, που εκπέμπεται από μια πηγή μέσα σε στερεά γωνία 1 sr. Σημείωση: καθώς η στερεά γωνία είναι ένα αδιάστατο μέγεθος, η φωτοβολία και η φωτεινή ροή έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Μονάδα του φωτισμού είναι το Lux και ορίζεται ως, η φωτεινή ροή 1 lm που φωτίζει κάθετα μια επιφάνεια 1m 2. Ισχύει ο νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου: Ο φωτισμός μιας επιφάνειας, που η κάθετος σ αυτή σχηματίζει γωνία θ με την κατεύθυνση της ακτινοβολίας, από πηγή έντασης Ι, είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της αποστάσεως r από αυτή.
Βιβλιογραφία Γιώργος Ασημέλης, Μαθήματα οπτικής (Εκδόσεις Παπασωτηρίου). Από την ιστοσελίδα, http://www.aua.gr/~bethanis/, του Καθ. Κ. Μπεθάνη (Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών).