Άννα Θεοδοσίου ΑΜ: 374

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Αποχωρισμένα Διπλά Εκλειπτικά Συστήματα στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου από το OGLE III Άννα Θεοδοσίου ΑΜ: 374 Επιβλέπουσα : Ε-Π Χριστοπούλου 2013 [1]

Ευχαριστίες Θα ήθελα πρωτίστως να ευχαριστήσω την κυρία Χριστοπούλου Ελευθερία- Παναγιώτα, επίκουρο καθηγήτρια τους τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών και επιβλέπουσα της παρούσας εργασίας για τη συνεχή στήριξη, την καθοδήγηση, τις γνώσεις και τις συμβουλές της καθώς χωρίς την συμβολή της η εργασία αυτή δεν θα είχε ολοκληρωθεί. Κατόπιν θα ήθελα να ευχαριστήσω το συνάδελφο και καλό φίλο Παπαγεωργίου Αθανάσιο για την πολύτιμη βοήθεια του και τις παραινέσεις του. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου που με τη συνεχή στήριξή τους, τόσο πνευματική όσο και υλική, όλα αυτά τα χρόνια με ώθησαν να ακολουθήσω αυτό που αγαπάω πραγματικά. If you wish to make an apple pie from scratch, you must first invent the universe. Carl Sagan [2]

Εισαγωγή Περίπου το 70% των αστέρων που παρατηρούνται στο σύμπαν είναι μέλη πολλαπλών συστημάτων και η μελέτη τους είναι υψίστης σημασίας για τους αστρονόμους τις τελευταίες δεκαετίες. Τα διπλά εκλειπτικά συστήματα προσφέρουν μοναδικές δυνατότητες μελέτης των αστρικών παραμέτρων και κατ επέκταση των θεωριών εξέλιξης εξαιτίας της γεωμετρίας τους και αποτελούν τη βάση της μεθόδου προσδιορισμού αστρονομικών αποστάσεων ως «πρότυπα κεριά» (standard candles). Στην παρούσα εργασία πραγματοποιείται η μοντελοποίηση των καμπυλών φωτός 36 λαμπρών αποχωρισμένων διπλών εκλειπτικών συστημάτων που παρατηρήθηκαν κατά την τρίτη φάση του προγράμματος OGLE στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου και εξάγονται οι φωτομετρικές τους παράμετροι, ώστε τα πιο ενδιαφέροντα από αυτά να επιλεχθούν για περεταίρω φασματοσκοπικές παρατηρήσεις ως υποψήφιοι δείκτες απόστασης. Στο πρώτο κεφάλαιο πραγματοποιείται μία εισαγωγή στους μεταβλητούς αστέρες, μία αναφορά στην ταξινόμηση των διπλών εκλειπτικών συστημάτων σύμφωνα με το μοντέλο Roche και με τη μορφή της καμπύλης φωτός τους καθώς και στοιχεία που αφορούν τη γεωμετρία τους και τις εξισώσεις της τροχιάς τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται το πρόγραμμα OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment) σκοπός του οποίου είναι η ανίχνευση συμβάντων βαρυτικής μικροεστίασης με κύριους στόχους τα Νέφη του Μαγγελάνου, το Γαλαξιακό Δίσκο και την Κεντρική Περιοχή του Γαλαξία. Ως αποτέλεσμα της χαρτογράφησης των πεδίων αυτών είναι η δημιουργία μίας μεγάλης βάσης δεδομένων μεταβλητών αστέρων για περεταίρω μελέτη. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά το πρόγραμμα PHOEBE (PHysics Of Eclipsing BinariEs) με το οποίο πραγματοποιήθηκε η μελέτη των καμπυλών φωτός των 36 συστημάτων. Το πρόγραμμα αυτό αποτελεί μία βελτιωμένη έκδοση του προγράμματος WD (Wilson & Devinney 1979) που στηρίζεται στη μέθοδο των διαφορικών διορθώσεων για της εξαγωγή των φωτομετρικών παραμέτρων των συστημάτων. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος επιλογής των 36 διπλών εκλειπτικών συστημάτων που μελετήθηκαν, ο προσδιορισμός των βασικών παραμέτρων που εισήχθησαν στο πρόγραμμα, οι φωτομετρικές παράμετροι που διεξήχθησαν καθώς και τα επιστημονικά συμπεράσματα της μελέτης. [3]

Introduction Over 70% of the stars in the universe are components of multiple systems. The study of these systems is crucial for the astronomers over the last decades because their parameters can be derived due to their geometry and assumptions can be made about stellar evolution. Moreover these systems are very promising for measuring distances in the universe as standard candles. In the present work 36 DEBs were chosen from the third phase of OGLE program from the Large Magellanic Cloud and Light Curve modeling was held via PHOEBE program which is an improved version of WD code (Wilson & Devinney 1979). Photometric parameters of these systems were derived so that the most interesting of these would be potential targets for further spectroscopic observations as distance indicators for the Large Magellanic Cloud. [4]

Πίνακας περιεχομένων 1 ΔΙΠΛΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ... 6 1.1 Εισαγωγή... 6 1.2 Είδη Διπλών Αστέρων... 9 1.2.1 Διπλοί Οπτικοί (Visual Binaries)... 9 1.2.2 Διπλοί Εκλειπτικοί (Eclipsing Binaries)... 10 1.2.3 Διπλοί Φασματοσκοπικοί Αστέρες (Spectroscopic Binaries)... 11 1.2.4 Διπλοί Αστρομετρικοί (Astrometric Binaries)... 13 1.3 Γεωμετρία Roche και Ισοδυναμικές Επιφάνειες... 14 1.4 Μορφολογική Ταξινόμηση των Διπλών Εκλειπτικών Αστέρων... 16 1.5 Φαινομενολογική Ταξινόμηση των Διπλών Εκλειπτικών Συστημάτων... 18 1.6 Τροχιά και Αστρικές Παράμετροι... 22 1.6.1 Οι Εξισώσεις της Έκλειψης... 23 2 ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ OGLE... 27 2.1 Γενική περιγραφή... 27 2.2 Μέθοδος Αναγνώρισης των EBs... 33 2.3 Επιστημονικά Αποτελέσματα... 36 3 PHOEBE (PHysics Of Eclipsing BinariEs)... 37 3.1 Εισαγωγή... 37 3.2 Βασικές Παράμετροι... 39 3.2.1 Παράμετροι Δεδομένων (Data Tab)... 39 3.2.2 Παράμετροι Συστήματος (System Related Tab)... 40 3.2.3 Παράμετροι των Αστέρων του Συστήματος (Component Related Tab)... 43 3.2.4 Τροχιακές Παράμετροι (Orbit Tab)... 45 3.2.5 Παράμετροι Φωτεινότητας (Luminosities Tab)... 47 3.2.6 Παράμετροι Φαινομένου Αμαύρωσης Χείλους (Limb Darkening Tab)... 48 3.2.7 Παράμετροι σχετικές με την Αστρική Επιφάνεια (Surface Tab)... 52 3.2.8 Παράμετροι Προσαρμογής (Fitting Tab)... 54 3.2.9 Παράθυρο σχεδίασης Καμπυλών Φωτός (LC Plot Tab)... 55 3.2.10 Παράθυρο Φύλλου Δεδομένων (Data Sheet Tab)... 58 4 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΦΩΤΟΣ... 59 4.1 Επιλογή Δεδομένων... 59 4.2 Ανάλυση Καμπυλών Φωτός... 64 4.2.1 Μέθοδος... 64 4.2.2 Εξαγωγή Αποτελεσμάτων... 69 4.2.3 Συζήτηση Αποτελεσμάτων... 77 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 82 [5]

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔΙΠΛΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ 1.1 Εισαγωγή Ένα διπλό σύστημα αστέρων αποτελείται από δύο αστέρες που βρίσκονται σε μικρή απόσταση μεταξύ τους και συγκρατούνται με δυνάμεις βαρύτητας περιστρεφόμενοι γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Στην πραγματικότητα, το 85% των αστέρων του Γαλαξία μας είναι μέλη πολλαπλών συστημάτων, διπλών ή τριπλών. Ο αστέρας με τη μεγαλύτερη μάζα ονομάζεται κύριο ή πρωτεύον μέλος, ενώ ο αστέρας με τη μικρότερη μάζα συνοδός ή δευτερεύον μέλος. Εάν δύο αστέρες περιστρέφονται μεταξύ τους σε μεγάλες αποστάσεις, εξελίσσονται ανεξάρτητα και αποτελούν αποχωρισμένο ζεύγος. Εάν οι δύο αστέρες είναι αρκετά κοντά ώστε να υπάρχει μεταφορά μάζας από τον έναν στον άλλο εξαιτίας παλιρροϊκών δυνάμεων αποτελούν ζεύγος σε επαφή. Οι διπλοί αστέρες υπακούουν στους νόμους του Kepler όπως και οι πλανήτες: 1 ος νόμος (Νόμος των ελλειπτικών τροχιών): Κάθε αστέρας κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από το κοινό κέντρο μάζας το οποίο βρίσκεται πάνω στη μία εστία της έλλειψης (Εικόνα 1.1) Εικόνα 1.1 Η τροχιά των μελών ενός διπλού συστήματος αστέρων γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. [6]

Εικόνα 1.2 Γεωμετρία της έλλειψης για ένα διπλό σύστημα αστέρων. Εάν η έλλειψη είναι πεπλατυσμένη έχει μεγάλη εκκεντρότητα, ενώ όσο τείνει σε κύκλο η εκκεντρότητα τείνει στο μηδέν. Το διάνυσμα θέσης του r (Εικόνα 1.3) σε πολικές συντεταγμένες (με βάση τα χαρακτηριστικά της έλλειψης) δίνεται από τη σχέση: r = a 2 ( 1 e ) ( 1+ ecosθ ) (1.1) Εικόνα 1.3 Γεωμετρία της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες (αριστερά) και οι βασικές εξισώσεις της (δεξιά). Όπου e η εκκεντρότητα της έλλειψης, α το μήκος του μεγάλου ημιάξονα, b το μήκος του μικρού ημιάξονα, c η απόσταση των εστιών από το κέντρο της έλλειψης c=ae, θ η γωνία θέσης, P το περίαστρο, A το άπαστρο και F, F οι εστίες. [7]

2 ος νόμος (Νόμος των ίσων εμβαδών): Η ευθεία που ενώνει τους δύο αστέρες (επιβατική ακτίνα) διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσες επιφάνειες (Εικόνα 1.4) Εικόνα 1.4 Σχηματική αναπαράσταση του νόμου των ίσων εμβαδών. Ο παραπάνω νόμος έχει ως αποτέλεσμα οι αστέρες να κινούνται με μεγαλύτερη ταχύτητα στο μακρύτερο σημείο της τροχιάς τους (άπαστρο) και με μικρότερη στο κοντινότερο (περίαστρο) 3 ος νόμος (Αρμονικός Νόμος): Το τετράγωνο της τροχιακής περιόδου ενός αστέρα είναι ανάλογο του κύβου της μέσης απόστασης από το κέντρο μάζας Ο 3 ος νόμος μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη μάζα του διπλού συστήματος. [8]

1.2 Είδη Διπλών Αστέρων Ανάλογα με τη μέθοδο παρατήρησης, οι διπλοί αστέρες ταξινομούνται σε: 1.2.1 Διπλοί Οπτικοί (Visual Binaries) Εικόνα 1.5 Διπλά οπτικά συστήματα αστέρων. Στην δεξιά εικόνα είναι ο Albireo στον αστερισμό β Cyg και δεξιά ο Πολικός Αστέρας. Οποιοδήποτε ζεύγος αστέρων φαίνεται να αποτελείται από δύο κοντινούς αστέρες, δεν αποτελεί πάντα ένα πραγματικό διπλό σύστημα, αλλά μπορεί να είναι το αποτέλεσμα οπτικής, δηλαδή της προβολής του πάνω στον ουρανό (φαινομενικά οπτικά διπλοί, optical binaries). Με την εφεύρεση του τηλεσκοπίου ανακαλύφθηκε μία πληθώρα τέτοιων αστέρων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί ο Albireo στο β Cyg και ο Πολικός Αστέρας με το συνοδό του που φαίνονται στην Εικόνα 1.5. Το κριτήριο για την κατάταξη ενός ζεύγους αστέρων σε μία από τις παραπάνω κατηγορίες είναι το εξής: όσο μικρότερη είναι η γωνιώδης διαχωριστική απόσταση μεταξύ των δύο αστέρων και όσο μεγαλύτερη είναι η λαμπρότητά τους, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να αποτελούν μέλη ενός φυσικού διπλού συστήματος αστέρων. Το κριτήριο αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά με την εμπειρική σχέση logφ = 2.8 0.2m (1.2) όπου φ'' είναι η γωνιώδης απόσταση μεταξύ των μελών του συστήματος μετρούμενη σε δευτερόλεπτα του τόξου και m το φαινόμενο μέγεθος των αστέρων, εάν τους θεωρήσουμε σαν έναν. [9]

1.2.2 Διπλοί Εκλειπτικοί (Eclipsing Binaries) Σε αρκετά συστήματα διπλών αστέρων παρατηρείται περιοδική μεταβολή στη λαμπρότητα εξαιτίας της έκλειψης των αστέρων καθώς διέρχονται ο ένας μπροστά από τον άλλο. Η μελέτη των διπλών εκλειπτικών αστέρων πραγματοποιείται μέσω της καταγραφής της καμπύλης φωτός τους, δηλαδή της μεταβολής της λαμπρότητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Όταν ο πιο αμυδρός αστέρας διέρχεται μπροστά από τον πιο λαμπρό εμφανίζεται το πιο βαθύ ελάχιστο (πρωτεύον ελάχιστο) ενώ κατά τη διέλευση του λαμπρότερου μπροστά από τον πιο αμυδρό εμφανίζεται ένα λιγότερο βαθύ ελάχιστο (δευτερεύον ελάχιστο). Εικόνα 1.6 Καμπύλη φωτός ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος κατά τη διάρκεια μίας περιόδου. Παρατηρείται η μείωση του φωτός κατά τη διάρκεια των εκλείψεων. Οι διπλοί εκλειπτικοί αστέρες είναι πολύ σπάνιοι καθώς θα πρέπει οι τροχιές τους να είναι στην ευθεία οράσεως ώστε να παρατηρηθούν, όμως είναι πολύ σημαντικοί καθώς αποτελούν τη μοναδική άμεση μέθοδο μέτρησης των ακτινών των αστέρων από το χρόνο που χρειάζεται η καμπύλη φωτός για να φτάσει στο ελάχιστο και να επανέλθει. [10]

1.2.3 Διπλοί Φασματοσκοπικοί Αστέρες (Spectroscopic Binaries) Οι περισσότεροι διπλοί αστέρες είναι πολύ κοντά ώστε να μπορούν να διαχωριστούν τα μέλη τους, όμως η ύπαρξή τους συνάγεται από τις μετατοπίσεις Doppler των φασματικών τους γραμμών. z λ λ λ λ λ obs rest = = rest vr z if z << 1 c rest (1.3) Εικόνα 1.7 Απεικόνιση του φάσματος ενός διπλού φασματοσκοπικού συστήματος. Ένα τέτοιο σύστημα, ανάλογα με το πλήθος των γραμμών που εμφανίζονται, διακρίνεται σε διπλό φασματοσκοπικό με δύο σειρές φασματικών γραμμών όταν οι αστέρες είναι παρόμοιας λαμπρότητας και διπλό φασματοσκοπικό με μονές γραμμές στο φάσμα του, όταν το ένα μέλος είναι πολύ αμυδρότερο από το άλλο (οι αμυδροί αστέρες είναι πολύ πιο συχνοί από τους λαμπρούς). Στην Εικόνα 1.7 μπορούμε να διακρίνουμε τις κινήσεις των αστέρων του διπλού συστήματος και τις μετατοπίσεις [11]

των φασματικών γραμμών που παρουσιάζουν λόγω των ακτινικών τους ταχυτήτων, όταν απομακρύνονται ή πλησιάζουν τη Γη. Εικόνα 1.8 Σχηματική αναπαράσταση και γραφική παράσταση των τροχιακών ταχυτήτων των μελών ενός διπλού συστήματος. Εάν η τροχιά είναι στο επίπεδο του ουρανού (i=0) δεν μπορούν να παρατηρηθούν οι ακτινικές ταχύτητες. Σε κάθε άλλη περίπτωση οι ακτινικές ταχύτητες είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου όπως φαίνεται στην Εικόνα 1.8. Οι μέγιστες και οι ελάχιστες ταχύτητες γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος, v cm δίνονται από τις σχέσεις: v = v sin i v v sin i max 1r 1 max 2r = 2 (1.4) άρα μπορούμε να υπολογίσουμε και τις δύο μάζες του συστήματος, οι οποίες εξαρτώνται μόνο από την κλίση i: m m = ( + ) Pv v v max max max 2r 1r 2r 1 3 = 2π Gsin ( + ) Pv v v max max max 1r 1r 2r 2 3 2π Gsin i i 2 2 (1.5) Γενικά δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την κλίση i, όμως για μεγάλα δείγματα αστέρων του ίδιου φασματικού τύπου, η μέση τιμή της κλίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μέσης τιμής της μάζας. Στην περίπτωση που μόνο οι φασματικές γραμμές του λαμπρότερου φαίνονται, μπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση μάζας του αόρατου συνοδού από τη συνάρτηση μάζας (αριστερό μέλος με βάση παρατηρησιακά μεγέθη δεξιού μέλους) m ( + ) max ( ) 3 1 P v r 3 2 3 sin i = 2 m 2 1 m πg 2 (1.6) [12]

1.2.4 Διπλοί Αστρομετρικοί (Astrometric Binaries) Στην περίπτωση όπου ένας αστέρας είναι πολύ αμυδρότερος από τον άλλο, όπως για παράδειγμα οι αστέρες Σείριος Α και Β στον αστερισμό του Σείριου, δεν μπορούν να ανιχνευθούν ούτε φασματοσκοπικά ούτε από την καμπύλη φωτός. Η κίνησή τους είναι σύνθετη, καθώς περιγράφει την κίνηση του κέντρου μάζας αλλά και την κίνηση κάθε αστέρα γύρω από αυτόν δημιουργώντας μία πεπλεγμένη τροχιά που απαιτεί δεκαετίες για να καταγραφεί και να σχεδιαστεί (Εικόνα 1.9). Η μέθοδος αυτή μπορεί να μας οδηγήσει και στην ανακάλυψη πλανήτη, όπως έγινε με την περίπτωση του αστέρα Barnard όπου ανακαλύφθηκε ένας πλανήτης με μάζα 80% περισσότερη της μάζας του Διός. Εικόνα 1.9 Η τροχιακή κίνηση των αστέρων Sirius A και Sirius B όπως καταγράφηκε τις τελευταίες δεκαετίες. Η κατάταξη ενός διπλού συστήματος σε μία από τις παραπάνω κατηγορίες, δεν αποκλείει και τη σύγχρονη κατάταξή του και σε μία άλλη. Έτσι για παράδειγμα ένας διπλός εκλειπτικός αστέρας μπορεί να είναι συγχρόνως και διπλός φασματοσκοπικός ή ακόμα και διπλός ορατός. [13]

1.3 Γεωμετρία Roche και Ισοδυναμικές Επιφάνειες Το μοντέλο Roche βασίζεται στις ακόλουθες υποθέσεις σχετικά με την κατανομή των μαζών και των τροχιών. Πρώτον και τα δύο μέλη θεωρούνται ότι δρουν βαρυτικά ως σημειακές μάζες (που περιβάλλονται από κοινή φωτόσφαιρα μηδενικής μάζας). Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει την αναλυτικά απλή αναπαράσταση του δυναμικού και συμπίπτει με τις θεωρίες για τις αστρικές δομές. Δεύτερον, οι περίοδοι των ελεύθερων, μη ακτινικών ταλαντώσεων, θεωρούνται αμελητέες σε σύγκριση με την τροχιακή περίοδο P, έτσι ώστε το σχήμα των μελών να προσδιορίζεται από τη στιγμιαία δύναμη του πεδίου. Αυτή η παραδοχή είναι πολύ σημαντική για τη μοντελοποίηση διπλών συστημάτων με εκκεντρότητα. Βασική υπόθεση του μοντέλου Roche είναι πως οι αστέρες θα πρέπει να βρίσκονται σε υδροστατική ισορροπία, δηλαδή τα δυναμικά Roche υπολογίζονται για μέλη που κινούνται σε κυκλικές τροχιές και περιστρέφονται συγχρονισμένα. Η λύση για το ασύγχρονο πρόβλημα εισήχθη αρχικά από τον Plavec (1958) και κατόπιν από τον Limber (1962). Μία γενίκευση του μοντέλου Roche για έκκεντρες τροχιές διερευνήθηκε από τον Avni (1976). Οι λύσεις για το έκκεντρο και ασύγχρονο πρόβλημα συνδυάστηκαν από τον Wilson (1979). Σε ένα διπλό σύστημα, σύμφωνα με το μοντέλο Roche, μπορούμε να ορίσουμε ισοδυναμικές επιφάνειες, έτσι ώστε οι κάθετες σε αυτές διευθύνσεις να μας δίνουν τη διεύθυνση της τοπικής ανηγμένης βαρύτητας. Η ανηγμένη βαρύτητα συνυπολογίζει την πραγματική βαρύτητα καθώς και την πρόσθετη δύναμη (κεντρομόλος) που οφείλεται στην περιστροφική κίνηση των μελών του συστήματος. Κοντά στο κέντρο ενός εκ των δύο αστέρων, η παρουσία του άλλου αστέρα καθώς και η στροφορμή του συστήματος, έχουν περιορισμένη επίδραση σε σχέση με τη δύναμη της βαρύτητας του ίδιου του αστέρα. Έτσι η ανηγμένη δύναμη κατευθύνεται κατά κύριο λόγο προς το εσωτερικό του, ενώ οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι στην ουσία σφαίρες που περικλείουν τον αστέρα. Αντίθετα η ανηγμένη βαρύτητα στο ισημερινό επίπεδο και μακριά από τους δύο αστέρες, κυριαρχείται από τη φυγόκεντρο δύναμη. Άρα μακριά από τους δύο αστέρες, οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι σφαίρες που περικλείουν τα κέντρα και των δύο αστέρων. Η συνεχόμενη γραμμή σε σχήμα «πλάγιο οχτώ» ονομάζεται εσωτερική κρίσιμη επιφάνεια, ενώ τα δύο μισά αυτής της επιφάνειας ονομάζονται λοβοί Roche και συναντώνται σε ένα μοναδικό σημείο L 1 (Εικόνα 1.10) Με ικανοποιητική προσέγγιση μπορούμε να πούμε ότι η φωτόσφαιρα ενός αστέρα είναι μία επιφάνεια με σταθερή πυκνότητα, αφού αυτή μπορεί να θεωρηθεί μηδενική σε σχέση με την πυκνότητα που επικρατεί στο εσωτερικό του αστέρος. Με βάση την ίδια προσέγγιση μπορούμε να πούμε ότι η φωτόσφαιρα ενός αστέρα που βρίσκεται σε σύγχρονη περιστροφή, πρέπει να συμπίπτει με μία ισοδυναμική επιφάνεια του μοντέλου Roche. Στα συστήματα με κυκλική τροχιά και συγχρονισμένη περιστροφή υπάρχουν p πέντε σημεία Lagrange L i, i=1,..5, που χαρακτηρίζονται από τη συνθήκη Ω = 0. [14]

p Το σημείο Lagrange L 1, ονομάζεται επίσης και εσωτερικό σημείο Lagrange και σχετίζεται με τη μορφολογική ταξινόμηση των διπλών εκλειπτικών συστημάτων. Το p σημείο L1 κείτεται μεταξύ των δύο αστέρων ώστε οι επιφάνειες που διέρχονται από αυτό να είναι οι μεγαλύτερες κλειστές ισοδυναμικές που περικλείουν τους δύο αστέρες ξεχωριστά. Εικόνα 1.10 Τα σημεία Lagrange και στο σύστημα BF Aurigae. p Το σημείο L 1 καταδεικνύει την εσωτερική επιφάνεια Lagrange και τους λοβούς Roche των μελών, τα σχετικά μεγέθη των οποίων εξαρτώνται ανάλογα από τη συνάρτηση μάζας q. Το γενικευμένο δυναμικό στην εσωτερική επιφάνεια Lagrange σημειώνεται ως Ω Ι και στην εξωτερική ως Ω 0. Το Ω 0 καταδεικνύει το ενεργό όριο του διπλού συστήματος όπου η ύλη πέρα από αυτή την επιφάνεια χάνεται από το p σύστημα μέσω του σημείου Lagrange L. Όταν ένα σωματίδιο εγκαταλείπει το 2 σύστημα μέσω του σημείου η ενέργειά του είναι πολύ μικρή για να διαφύγει στο άπειρο. Ωστόσο, δεν εξαναγκάζεται να περιστρέφεται μαζί με το σύστημα, οπότε και για τις περισσότερες τιμές της συνάρτησης μάζας, αποκτά αρκετή ενέργεια μέσω βαρυτικών αλληλεπιδράσεων με το σύστημα, ώστε να διαφύγει σπειροειδώς στο άπειρο. [15]

1.4 Μορφολογική Ταξινόμηση των Διπλών Εκλειπτικών Αστέρων Ο βαθμός επαφής μετράται μέσω της παραμέτρου επαφής f, η οποία ονομάζεται επίσης και παράγοντας συμπλήρωσης (fillout factor): f Ι Ω Ω, Ι 0 = Ω Ω Ω Ω Ι (1.7) Παρατηρούμε πως f=0 όταν το μέλος γεμίζει το λοβό Roche (Ω=Ω Ι ) και f=1 όταν Ω=Ω 0, αλλά όταν ένα από τα μέλη βρίσκεται εντός του λοβού Roche, η σημασία της παραμέτρου επαφής μπορεί να επεκταθεί: f<0 για αυτό το μέλος. Για κυκλικές τροχιές και σύγχρονη περιστροφή οι οριακές επιφάνειες γύρω από τους αστέρες είναι η εσωτερική επιφάνεια Lagrange (οι λοβοί Roche) και η εξωτερική επιφάνεια Lagrange, οπότε ο διαχωρισμός είναι ο εξής: Αποχωρισμένα Διπλά Συστήματα, όπου οι αστρικές φωτόσφαιρες και των δύο μελών βρίσκονται εντός των αντίστοιχων λοβών Roche. Ο παράγοντας συμπλήρωσης για κάθε μέλος είναι αρνητικός. Εάν τα μέλη είναι μικρά σε σύγκριση με τους λοβούς Roche, τα σχήματά τους είναι προσεγγιστικά σφαιρικά. Σε ένα τέτοιο ζεύγος αστέρων, η αλληλεπίδρασή τους εμφανίζεται μόνο εξαιτίας της αμοιβαίας βαρυτικής έλξης και η σημασία τους για την παρατηρησιακή αστροφυσική έγκειται στον ακριβή προσδιορισμό των μαζών και των ακτινών τους. Εικόνα 1.11 Εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια Lagrange για το αποχωρισμένο διπλό σύστημα KP Aql. Ημί-Αποχωρισμένα Διπλά Συστήματα, στα οποία η φωτόσφαιρα του ενός μέλους βρίσκεται εντός του λοβού Roche, ενώ η φωτόσφαιρα του άλλου συμπίπτει με τον αντίστοιχο λοβό Roche (f=0). Ο αστέρας που γεμίζει το λοβό ονομάζεται μέλος επαφής, ενώ ο άλλος αποχωρισμένο μέλος. Αυτός ο μορφολογικός τύπος συμπεριλαμβάνει Algols, κατακλυσμικούς μεταβλητούς και μερικούς διπλούς Ακτινών-Χ στους [16]

οποίους το ένα μέλος είναι ιδιαίτερα εξελιγμένο και μεταφορά μάζας μέσω του εσωτερικού σημείου Lagrange. παρατηρείται Εικόνα 1.12 Εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια Lagrange για το ημίαποχωρισμένο διπλό σύστημα AD Her. Διπλά Συστήματα σε Επαφή, στα οποία οι φωτόσφαιρες των μελών είναι μεγαλύτερες από τους αντίστοιχους λοβούς Roche, οπότε αυτά βρίσκονται σε μικρή απόσταση σε σχέση με τις ακτίνες τους και είναι πιθανό να εμφανιστούν παλιρροϊκές δυνάμεις που επηρεάζουν τη συμπεριφορά και τη γεωμετρία του συστήματος. Καθώς οι αστέρες δεν είναι στερεά σώματα, αλλά αποτελούνται από αέρια, η βαρύτητα μπορεί να εκτινάξει υλικό από τη φωτόσφαιρα του ενός μέλους και να το μεταφέρει στο άλλο μέλος του συστήματος με αποτέλεσμα πολλές φορές οι αστέρες να χαρακτηρίζονται τελικά από κοινή φωτόσφαιρα (στενή επαφή). Η μηχανική ισορροπία απαιτεί οι επιφάνειες να συνάδουν με το δυναμικό, δηλαδή η κοινή επιφάνεια να συμπίπτει με μία ισοδυναμική επιφάνεια πάνω από τους λοβούς Roche (0<f 1.2 1 και f 1 = f 2 ). Εικόνα 1.13 Εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια Lagrange για το διπλό σύστημα σε επαφή AE Phe. [17]

1.5 Φαινομενολογική Ταξινόμηση των Διπλών Εκλειπτικών Συστημάτων Οι διπλοί εκλειπτικοί αστέρες είναι περιοδικοί, παρουσιάζουν δηλαδή μία σχετικά αξιόπιστη επανάληψη της μεταβολής του φωτός τους, η οποία καταγράφεται στην αντίστοιχη καμπύλη φωτός του συστήματος. Οι διαφορετικές μορφές των καμπυλών φωτός οδήγησε στη φαινομενολογική κατάταξη των διπλών εκλειπτικών αστέρων σε τρεις βασικές τάξεις: τους Algols, τα συστήματα β Lyrae και τα συστήματα W Ursae Majoris, των οποίων τα χαρακτηριστικά αναλύονται ακολούθως. Algols (EA) Ο πρωτότυπος αστέρας είναι ο β Persei, επίσης γνωστός και ως Algol. Στα φίλτρα ορατής ακτινοβολίας, τα χαρακτηριστικά τους είναι το προσεγγιστικά σταθερό φως στα σημεία μεταξύ των εκλείψεων και τα ελάχιστα που αυξάνονται και μειώνονται απότομα και καταλαμβάνουν ένα μικρό ποσοστό της ολικής καμπύλης φωτός (~15% για κάθε ελάχιστο). Οι περίοδοι κυμαίνονται από ημέρες σε εβδομάδες ή και περισσότερο. Συνήθως τέτοιες μορφές καμπυλών φωτός καταδεικνύουν μικρή αλληλεπίδραση μεταξύ των μελών, τα οποία είναι παρόμοιοι αστέρες που δεν βρίσκονται σε κοντινή απόσταση μεταξύ τους και δεν αλλοιώνουν τα σχήματά τους. Όταν οι αστέρες βρίσκονται αρκετά μακριά, το σχήμα τους είναι προσεγγιστικά σφαιρικό. Υπάρχουν βέβαια και περιπτώσεις στις οποίες ο ένας από τους αστέρες έχει εξελιχθεί, έχει γεμίσει το λοβό Roche και μεταφέρει ύλη στο συνοδό, όπως ο ίδιος ο Algol. Εικόνα 1.14 Συνθετική μορφή της καμπύλης φωτός ενός διπλού συστήματος τύπου Algol (EA). Σε μερικά μήκη κύματος το δευτερεύον ελάχιστο μπορεί να είναι μη ανιχνεύσιμο και ίσως υπάρξει μία αύξηση του φωτός πλησίον της αναμενόμενης φάσης του ελαχίστου αυτού εξαιτίας του «φαινομένου ανάκλασης». Από τη μορφή τα συστήματα εμφανίζονται χωρίς παραμορφώσεις, αλλά μόνο στο ορατό μέρος του φάσματος. Στο υπέρυθρο μέρος παρουσιάζονται συνεχείς διακυμάνσεις στην καμπύλη και ένα αρκετά βαθύ δευτερεύον ελάχιστο (όπως ο Algol). [18]

Β Lyrae (EB) Ο πρωτότυπος αστέρας έδωσε το όνομά του σε αυτή την κατηγορία. Η καμπύλη φωτός παρουσιάζει συνεχείς διακυμάνσεις χαρακτηριστικό των παλιρροϊκά παραμορφωμένων μελών και με μεγάλη διαφορά στα βάθη των ελαχίστων, καταδεικνύοντας μέλη με αρκετά διαφορετική επιφανειακή λαμπρότητα. Οι περίοδοι είναι συνήθως ημέρες, αλλά όταν εξελίσσονται σε γίγαντες ή υπεργίγαντες, η περίοδος μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη. Το σημαντικό σε αυτή την κατηγορία δεν είναι η χρονική διάρκεια ενός κύκλου, αλλά τα σχετικά μεγέθη των αστέρων ως προς το μέγεθος της τροχιάς. Η συνεχής μεταβολή του φωτός οφείλεται μερικώς στις μεταβαλλόμενες όψεις των αστέρων καθώς περιστρέφονται, φαινόμενο γνωστό και ως «ελλειψοειδής διακύμανση». Τα σχετικά βάθη των ελαχίστων καταδεικνύουν τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των μελών. Από τη μορφή των καμπυλών φωτός παρατηρείται βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ των αστέρων, οι οποίοι δέχονται παλιρροικές παραμορφώσεις που απεικονίζονται στα σχήματά τους. (ΕΒ). Εικόνα 1.15 Συνθετική μορφή της καμπύλης φωτός ενός συστήματος β Lyrae W Ursae Majoris/W UMa (EW) Ο πρωτότυπος αστέρα είναι ένα διπλό εκλειπτικό σύστημα με περίοδο μικρότερη της μίας ημέρας. Όπως και οι β Lyrae, η καμπύλη φωτός παρουσιάζει συνεχείς διακυμάνσεις, αλλά τα βάθη των ελαχίστων είναι συνήθως παρόμοια (σπανίως όμως πανομοιότυπα). Οι μεταβολές στα σημεία εκτός των εκλείψεων είναι εξαιτίας αλληλεπιδράσεων λόγω εγγύτητας των μελών με αποτέλεσμα παραμορφώσεις των σχημάτων τους εξαιτίας παλιρροϊκών δυνάμεων. Τα συστήματα που παράγουν τέτοιες καμπύλες φωτός θεωρούνται πως προέρχονται από διπλούς αστέρες οι οποίοι βρίσκονται σε φυσική επαφή και στους οποίους παρατηρείται μεταφορά ύλης μέσω φυσικής σύζευξης των δύο μελών. Υπάρχουν δύο υποκατηγορίες των συστημάτων W UMa, τα συστήματα τύπου A (A-Type) και τα συστήματα τύπου W (W-Type). Στα συστήματα τύπου A ο αστέρας με τη μεγαλύτερη μάζα, έχει μεγαλύτερο μέγεθος και μεγαλύτερη θερμοκρασία από το συνοδό του, ενώ στα συστήματα τύπου W ο αστέρας μεγαλύτερης μάζας, έχει μεγαλύτερο μέγεθος αλλά μικρότερη θερμοκρασία από το συνοδό του. Αν και οι δύο κατηγορίες μπορεί να εμφανίζουν ασυμμετρίες στην καμπύλη φωτός, οι αστέρες [19]

τύπου W τείνουν να εμφανίζουν περισσότερο αυτό το είδος συμπεριφοράς. Μπορεί να υπάρξει διαφορά στο βάθος έως και 0.1 mag καθώς και διαφορά στη λαμπρότητα μεταξύ των μεγίστων (φαινόμενο O Connell). (EW). Εικόνα 1.16 Συνθετική μορφή της καμπύλης φωτός ενός συστήματος W UMa [20]

Εικόνα 1.17 Φαινομενολογική ταξινόμηση των διπλών εκλειπτικών συστημάτων ανάλογα με τη μορφή της καμπύλης φωτός. [21]

1.6 Τροχιά και Αστρικές Παράμετροι Η καμπύλη φωτός ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος είναι η απεικόνιση της λαμπρότητας του συστήματος ως προς το χρόνο, δηλαδή του μεγέθους του συναρτήσει του χρόνου ή της φάσης, για την οποία μία μονάδα χρόνου είναι η τροχιακή περίοδος του συστήματος. Οι μετρούμενες καμπύλες φωτός των μεταβλητών αστέρων σχεδιάζονται συνήθως αναδιπλωμένες, δηλαδή διαδοχικοί κύκλοι σχεδιάζονται έτσι ώστε να βρίσκονται στην κορυφή. Εικόνα 1.18 Τυπική μορφή καμπύλης φωτός ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος. Είναι η καταγραφή του μεγέθους συναρτήσει της φάσης στην οποία παρατηρείται. Η μορφή της καμπύλης φωτός για ένα εκλειπτικό σύστημα αστέρων εξαρτάται κυρίως από τις σχετικές λαμπρότητες και το μέγεθος των δύο αστέρων, καθώς και από την τροχιακή κλίση τους όπως φαίνεται από τη Γη. Γνωρίζοντας κάποιες βασικές παραμέτρους του συστήματος όπως: i = τροχιακή κλίση Μ 1, Μ 2 = μάζες των αστέρων L 1, L 2 = φωτεινότητες των αστέρων R 1, R 2 = ακτίνες των αστέρων μπορούμε να παράγουμε και να προσδιορίσουμε όλες τις αστρικές παραμέτρους για το ζεύγος των αστέρων. Η κλίση (i) μετράται σε μοίρες με βάση τη γωνία που σχηματίζει η κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς του συστήματος σε σχέση με την ευθεία οράσεως του παρατηρητή και είναι 0 ο εάν το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο στην ευθεία οράσεως και 90 ο εάν το επίπεδο της κίνησης συμπίπτει με τη ευθεία οράσεως. Οι μάζες και οι φωτεινότητες των μελών μπορούν να εκφραστούν σε αυθαίρετες [22]

μονάδες και οι ακτίνες των αστέρων εκφράζονται συναρτήσει της τροχιακής ακτίνας του διπλού συστήματος (σχετικές ακτίνες). 1.6.1 Οι Εξισώσεις της Έκλειψης Εάν οι τροχιές των αστέρων του συστήματος θεωρηθούν κυκλικές, τότε οι συντεταγμένες των δύο αστέρων (x 1, y 1, z 1 ) και (x 2, y 2, z 2 ) βρίσκονται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες εξισώσεις: x= Rsin( θ ) y = Rcos( i)cos( θ ) z = Rsin( i)cos( θ ) x x1 = 1 + (1 / q) y z 1 1 x y z 2 y = 1 + (1 / q) z = 1 + (1 / q) 2 2 x = 1 + q y = 1 + q z = 1 + q q = M2/M1 Εικόνα 1.19 Σφαιρικές συντεταγμένες για τον προσδιορισμό της θέσης των μελών του διπλού συστήματος. R = Απόσταση μεταξύ των αστρικών κέντρων θ = Αζιμουθιακή γωνία = 2π * Φάση Φάση = Χρονική διάρκεια από την πρωτεύουσα έκλειψη/τροχιακή περίοδο (1.9) Φωτεινότητα L ορίζεται η ποσότητα ενέργειας που δραπετεύει από την επιφάνεια ενός αστέρα ανά μονάδα χρόνου. Η ροή ενέργειας F στην επιφάνεια ενός αστέρα ακτίνας R είναι η ποσότητα ενέργειας που ακτινοβολείται ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου. Για σφαιρικούς, ομογενώς φωτιζόμενους αστέρες, η ροή ενέργειας δίνεται από τις σχέσεις: [23]

F F = L 1 1 2 4π R1 = L 2 2 2 4π R2 (1.10) Εάν αγνοήσουμε το φαινόμενο συσκότισης χείλους (limb darkening) τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τη μετρούμενη λαμπρότητα ενός διπλού συστήματος από έναν παρατηρητή ως K LA 1 1 LA 2 2 I= K( FA 1 1+ FA 2 2) = + 2 2 4π R1 R2 (1.11) όπου Α 1 και Α 2 είναι οι επιφάνειες των αστρικών δίσκων όπως φαίνονται στον παρατηρητή και Κ είναι μία σταθερά που μπορεί να προσδιοριστεί από την επιφάνεια του ανιχνευτή του παρατηρητή και την απόσταση μεταξύ της Γης και του διπλού συστήματος. Τα Α 1 και Α 2 μπορούν να υπολογιστούν εάν γνωρίζουμε τη γεωμετρία των εκλείψεων. Γνωρίζοντας τη φαινόμενη απόσταση μεταξύ των δύο αστέρων: ρ = ( x x ) + ( y y ) (1.12) 2 2 2 1 2 1 οι τιμές των Α 1 και Α 2 για τα διάφορα στάδια των εκλείψεων δίνονται στους παρακάτω Πίνακες 1.1 και 1.2 (όπου R 1 >R 2 ). Πίνακας 1.1 Ορισμός των σταδίων της έκλειψης. [24]

Πίνακας 1.2 Προσδιορισμός επιφανειών για κάθε στάδιο της έκλειψης του συστήματος. Το εμβαδόν του τμήματος που ορίζεται από την τομή ενός κυκλικού τομέα ενός ευθυγράμμου τμήματος, προσδιορίζεται από την ακόλουθη εξίσωση: E=1/2r 2 (θ-sinθ) (1.13) όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου και θ (σε ακτίνια) είναι η γωνία που σχηματίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα. Τότε, 1 2 A1 = R1( θ1 sin θ1) (1.14) 2 και 1 2 A2 = R2( θ2 sin θ2) (1.15) 2 Η γωνία θ μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το νόμο των συνημιτόνων: 2 2 2 θ1 R2 = R1 + ρ 2R1ρcos( ) (1.16) 2 και 2 2 2 θ2 R1 = R2 + ρ 2R2ρcos( ) (1.17) 2 [25]

Γνωρίζοντας τις παραμέτρους i, M 1, M 2, L 1, L 2, R 1, R 2 και τη φάση της τροχιάς μπορούν να προσδιοριστούν η σχετική θέση των δύο αστέρων με χρήση των παραπάνω εξισώσεων και η λαμπρότητα του συστήματος. Οι μάζες δεν επηρεάζουν τη καμπύλη φωτός για το απλό μοντέλο. Ωστόσο, στην πραγματικότητα για μεγάλο λόγο μαζών q = M 2 /M 1 (M 2 >>M 1 ) ο δεύτερος αστέρας δεν θα κινείται πολύ. Για μικρό λόγο μαζών, ο πρώτος αστέρας δεν θα κινείται πολύ. Η τροχιακή κλίση, ι, θα επηρεάσει το βάθος των εκλείψεων καθώς και το γενικότερο σχήμα των καμπυλών φωτός. Στα διάφορα προγράμματα μοντελοποίησης θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παράμετροι όπως το φαινόμενο συσκότισης χείλους (limb darkening), οι παλιρροϊκές παραμορφώσεις, οι ελλειπτικές τροχιές και διάφορα άλλα φαινόμενα που θα συζητηθούν διεξοδικότερα σε επόμενο κεφάλαιο. [26]

2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ OGLE 2.1 Γενική περιγραφή Το Πείραμα Οπτικής Βαρυτικής Εστίασης (Optical Gravitational Lensing Experiment - OGLE) είναι ένα Πολωνικό μακροπρόθεσμο πρόγραμμα που ξεκίνησε το 1992 με κύριο στόχο την αναζήτηση ύπαρξης σκοτεινής ύλης μέσω του φαινομένου της βαρυτικής εστίασης, ιδέα που πρωταρχικά είχε προτείνει ο Paczynski (ApJ, 304, 1; ApJ Letters, 371, L63). Εικόνα 2.1 Το φαινόμενο βαρυτικής μικροεστίασης όπως καταγράφεται από έναν παρατηρητή. Η βαρυτική μικροεστίαση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανίχνευση αντικειμένων διαφορετικής μάζας όπως πλανητών και αστέρων, ανεξάρτητα από το φως που εκπέμπουν γι αυτό αποτελεί και πολύ σημαντική μέθοδο ανίχνευσης αφού συνήθως η ανίχνευση αναφέρεται σε φωτεινά αντικείμενα που εκπέμπουν αρκετή ακτινοβολία (αστέρες) ή μεγάλα αντικείμενα που εμποδίζουν το φως των αστέρων που εκπέμπεται πίσω τους (νέφη αερίου και σκόνης). Τα αντικείμενα αυτά αποτελούν μόνο ένα μικρό κλάσμα της μάζας του γαλαξία. Η βαρυτική μικροεστίαση επιτρέπει τη μελέτη αμυδρών αντικειμένων δηλαδή αντικειμένων που εκπέμπουν λίγο ή καθόλου φως. Όταν ένας μακρινός αστέρας ή κβάζαρ (πηγή, source star) βρεθεί στην ίδια περίπου ευθεία με ένα τεράστιο συμπαγές αντικείμενο που βρίσκεται μπροστά του (στο προσκήνιο), προκαλείται καμπύλωση του φωτός του αντικειμένου-πηγή η οποία οφείλεται στο βαρυτικό πεδίο του αντικειμένου του προσκηνίου, όπως αναφέρθηκε από τον Einstein το 1915, το οποίο δρα ως φακός (Lens star) με αποτέλεσμα τη δημιουργία δύο μη διαχωρίσιμων παραμορφωμένων εικόνων με αισθητή μεγέθυνση. Τότε λέμε ότι το βαρυτικό πεδίο ενός αστέρα λειτουργεί σαν ένας μεγεθυντικός φακός για το φως ενός μακρινού αστέρα που βρίσκεται στο υπόβαθρό του (Εικόνα 2.1). Το γεγονός αυτό της παροδικής ευθυγράμμισης (microlensing event) δίνει τη μοναδική ευκαιρία για παρατήρηση του συστήματος του φακού σε πολύ μεγάλες μεγεθύνσεις [27]

και εξαρτάται από τη μάζα του αστέρα-φακού αλλά και από τη σχετική θέση μεταξύ φακού και πηγής. Με αυτόν τον τρόπο μελετώνται αμυδρά ή σκοτεινά αντικείμενα όπως οι καφέ νάνοι, οι ερυθροί νάνοι, οι πλανήτες, οι λευκοί νάνοι, αστέρες νετρονίων, μελανές οπές, και συμπαγή αντικείμενα μεγάλης μάζας της γαλαξιακής άλω. Επιπλέον, επειδή η μέθοδος βαρυτικής μικροεστίασης είναι ανεξάρτητη του μήκους κύματος επιτρέπει τη μελέτη των αντικειμένων που εκπέμπουν κάθε είδους ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Τo πρόγραμμα OGLE έχει ως πρωταρχικούς στόχους το Μικρό και το Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου (Small Magellanic Cloud -SMC, Large Magellanic Cloud LMC αντίστοιχα) καθώς και τη Κεντρική Περιοχή του Γαλαξία μας (Galactic Bulge) λόγω των πολλών αστέρων που περιέχουν και οι οποίοι αποτελούν εν δυνάμει στόχους για μικροεστίαση. Οι αστέρες του Μεγάλου και του Μικρού Νέφους του Μαγγελάνου μπορούν να εστιαστούν από αντικείμενα της γαλαξιακής άλω ενώ οι αστέρες της Κεντρικής περιοχής του Γαλαξία μπορούν να εστιαστούν επιπλέον και από αστέρες μικρής μάζας της περιοχής του Γαλαξιακού δίσκου. OGLE I (1992-1995) Η πρώτη φάση του προγράμματος OGLE (OGLE I) ξεκίνησε το 1992 και οι παρατηρήσεις συνεχίστηκαν για τέσσερις διαδοχικές περιόδους έως και το 1995 στοχεύοντας στην Κεντρική Περιοχή του Γαλαξία. Κατά τη διάρκεια του πειράματος χρησιμοποιήθηκε τηλεσκόπιο Swope διαμέτρου 1m και Ford/Coral CCD κάμερα 2048x2048, τοποθετημένα στο παρατηρητήριο Las Campanas στη Χιλή, τα οποία διαχειριζόταν το Ινστιτούτο Carnegie. Κατά τη διάρκεια της πρώτης φάσης βρέθηκαν 19 συμβάντα μικροεστιασμού με ένα εξ αυτών προερχόμενο από διπλό σύστημα αστέρων. Η τεράστια ποσότητα φωτομετρικών δεδομένων για εξερεύνηση μικροεστιασμού παρείχε επίσης μοναδικό υλικό παρατηρήσεων για διεξαγωγή ανεξάρτητων μελετών. Ο κατάλογος των περιοδικών μεταβλητών αστέρων που καταγράφηκαν ήταν τεράστιος ενώ έγιναν μελέτες για τη δομή του Γαλαξία, για την εξερεύνηση σμηνών γαλαξιών για υπερκαινοφανείς και για παρατηρήσεις σφαιρωτών σμηνών καθώς και για την ύπαρξη και μελέτη μεταβλητών αστέρων. OGLE II (1997-2001) Το πρόγραμμα OGLE I αποτελούσε μία πιλοτική φάση του πειράματος, κυρίως εξαιτίας της περιορισμένης διαθεσιμότητας του χρόνου του τηλεσκοπίου οπότε και οι παρατηρήσεις περιορίστηκαν στην Κεντρική Περιοχή του Γαλαξία και κάλυπταν μία μικρή περιοχή του ουρανού. Στο δεύτερο μέρος του πειράματος (1995) σχεδιάστηκε ειδικό τηλεσκόπιο ειδικευόμενο σε ογκώδεις φωτομετρικές χαρτογραφήσεις ενός μεγάλου πεδίου οράσεως με φωτογραφίες καλής ποιότητας. Το τηλεσκόπιο είχε διάμετρο 1.3m και ο πρωτεύων εστιακός λόγος ήταν 1:2.8 ενώ ο ενεργός εστιακός λόγος του συστήματος 1:9.2 παρέχοντας εστιακή κλίμακα 17.4 arcsec/mm. Το πεδίο οράσεως (Field Of View FOV) του συστήματος ήταν 15 arcmin, ενώ με επιπρόσθετους διορθωτές έφτασε τις 1.5 ο. [28]

Η CCD κάμερα ήταν το μοναδικό όργανο που προσαρτήθηκε στο τηλεσκόπιο ώστε να επιτευχθεί ένα εξαιρετικά σταθερό σύστημα. Ο ανιχνευτής αποτελείται από ένα chip 2048x2048 pixels με μέγεθος pixel 24μm δίνοντας κλίμακα 0.417 arcsec/pix στην εστιακή απόσταση του τηλεσκοπίου. Το σύστημα σχεδιάστηκε ώστε να επιδέχεται αναβάθμιση για κάμερες νέας γενιάς (Udalski, Kubiak & Szymański, 1997), Acta Astron., 47, 319). Η κανονική φάση λειτουργίας του OGLE-II ξεκίνησε στις αρχές του 1997. Η φωτομετρική ανάλυση των δεδομένων πραγματοποιήθηκε αρχικά με το λογισμικό DoPHOT (Schechter et al., 1993), το οποίο λειτουργεί σε ρύθμιση σταθερής θέσης οι θέσεις των αστέρων είναι σταθερές κατά τη διάρκεια της φωτομετρίας χρησιμοποιώντας τη λίστα θέσεων μίας πρωτότυπης εικόνας με πολύ καλό seeing. Αυτό καθιστά τη φωτομετρική ανάλυση ταχύτερη και πιο αξιόπιστη σε περιπτώσεις λήψεων με συνθήκες κακού seeing. Επιπροσθέτως το DoPHOT λειτουργεί με μεταβλητή PSF (Point Spread Function) ρύθμιση για καταμέτρηση μικρών PSF μεταβολών. Ακολούθως πραγματοποιήθηκε φωτομετρική ανάλυση 53400 υποψήφιων μεταβλητών με το πακέτο DIA (Difference Image Analysis, Wozniak 2000), που είναι μία μέθοδος αφαίρεσης εικόνων και κατόπιν φωτομετρική ανάλυση των ίδιων μεταβλητών υποψηφίων και με το πακέτο DoPHOT. Ο πρώτος στόχος του τηλεσκοπίου ήταν το Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου. Επιλέχθηκαν 20 πεδία που κάλυπταν περισσότερες από 4.2 τετραγωνικές μοίρες (square degrees). Αργότερα προστέθηκαν περιοχές του γαλαξιακού δίσκου της Carina, η Κεντρική Περιοχή του Γαλαξία και κεντρικές περιοχές του Μικρού Νέφους του Μαγγελάνου όπως αναλυτικά φαίνεται στον Πίνακα 2.1. Οι περισσότερες παρατηρήσεις έγιναν στο φίλτρο I με κάποιες επιπρόσθετες εικόνες στα φίλτρα V και B. Εικόνα 2.2 Μεταβλητοί αστέρες στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου. [29]

Πίνακας 2.1 Κύριοι στόχοι του πειράματος OGLE - II. OGLE III (2001-2009) Τον Ιούνιο του 2001 το πρόγραμμα OGLE εισήλθε στην τρίτη φάση του, με αντικατάσταση της CCD κάμερας από μία νεότερης γενιάς αποτελούμενη από ένα μωσαϊκό 8 chips με 8192x8192 pixels. Κάθε chip του μωσαϊκού αποτελεί ένα SITe ST-002a ανιχνευτή CCD με 2048x4096 pixels μεγέθους 15μm. Αυτό αντιστοιχεί σε κλίμακα 0.26 arcsec/pixel στην εστιακή απόσταση του τηλεσκοπίου και σε ολικό πεδίο οράσεως 35x35 arcmin (Udalski 2003, Acta Astron., 53, 291) O τεράστιος όγκος δεδομένων (200 εκατομμύρια αστέρες παρατηρήθηκαν σταθερά κάθε 1 3 νύχτες) κατέστησε αναγκαία τη φωτομετρική ανάλυση σε πραγματικό χρόνο, η οποία πραγματοποιήθηκε με λογισμικό φωτομετρίας βασιζόμενο στη μέθοδο αφαίρεσης εικόνας (Difference Image Analysis DIA). Οι εικόνες από κάθε chip επεξεργάζονται ανεξάρτητα. Ανάλογα με την πυκνότητα του αστρικού πεδίου, μία εικόνα μπορεί να χωριστεί σε τριάντα δύο 512x512, οχτώ 1024x1024 ή δύο 2048x2048 υποπλαίσια. Στο πρώτο βήμα της ανάλυσης υπολογίζεται η μετατόπιση μεταξύ του πλαισίου και της εικόνας αναφοράς και τα υποπλαίσια της τρέχουσας εικόνας εξάγονται και εισάγονται στο ίδιο πλέγμα συντεταγμένων των υποπλαισίων της εικόνας αναφοράς. Κατόπιν παράγεται η μεταμόρφωση μεταξύ του υποπλαισίου της τρέχουσας εικόνας και εκείνου της εικόνας αναφοράς και δημιουργείται το υποπλαίσιο της διαφορικής εικόνας (τρέχον μείον αναφοράς). Στο επόμενο βήμα η διαφορική εικόνα ερευνάται για αντικείμενα τα οποία διασταυρώνονται με την εικόνα αναφοράς και τα αποτελέσματα καταγράφονται σε δύο φακέλους που ο ένας αφορά τους γνωστούς μεταβλητούς αστέρες και ο άλλος τους «νέους» μεταβλητούς αστέρες. Τέλος, παράγεται η φωτομετρία όλων των αντικειμένων που αναγνωρίστηκαν. Η φωτομετρική μελέτη βασίζεται στη μετρούμενη ροή PSF (Point Spread Function) του αστέρα στη διαφορική εικόνα, που κατόπιν μετατρέπεται στην κλίμακα μεγέθους. Όταν όλα τα υποπλαίσια αναλυθούν, τα μεμονωμένα αρχεία για κάθε υποπλαίσιο συνδυάζονται σε τρεις φακέλους ενός πλαισίου που περιέχουν τη φωτομετρία όλων των αστέρων της εικόνας αναφοράς, των ανιχνευμένων μεταβλητών αντικειμένων και των νέων αντικειμένων της τρέχουσας εικόνας. Προτού ένα πεδίο συμπεριληφθεί στη λίστα των πεδίων που η φωτομετρική τους ανάλυση θα πραγματοποιηθεί σε πραγματικό χρόνο, πρέπει να κατασκευαστεί μία εικόνα αναφοράς και κατάλληλα αρχεία με τα μεγέθη των αστρικών αντικειμένων [30]

που ανιχνεύθηκαν στην εικόνα. Η εικόνα αναφοράς κατασκευάζεται από τη επιπρόσθεση του μέσου όρου αρκετών μεμονωμένων εικόνων καλής ποιότητας και seeing. Η πρώτη εικόνα της λίστας καθορίζει το πλέγμα των pixels της εικόνας αναφοράς. Οι εικόνες χωρίζονται σε 32, 8 ή 2 υποπλαίσια ανάλογα με την πυκνότητα του αστρικού πεδίου και ο διαχωρισμός αυτός είναι σταθερός κατά τη διαδικασία της φωτομετρίας. Πριν κατασκευαστεί η εικόνα αναφοράς ενός υποπλαισίου υπολογίζονται οι μετατοπίσεις όλων των εικόνων που θα απαρτίσουν την εικόνα αναφοράς σε σχέση με την πρώτη εικόνα και εξάγονται τα κατάλληλα υποπλαίσια. Κάθε υποπλαίσιο δεν περιέχει κοσμική ακτινοβολία και όλες οι γνωστές ατέλειες του ανιχνευτή διορθώνονται. Κατόπιν, παράγονται ακριβείς μετασχηματισμοί μεταξύ του υποπλαισίου της πρώτης εικόνας και των υπολειπόμενων υποπλαισίων, τα pixels των υποπλαισίων παρεισάγονται στο ίδιο πλέγμα pixel και εξάγεται ο συντελεστής της κλίμακας. Εάν η κλίμακα ενός υποπλαισίου είναι σημαντικά διαφορετική από την κλίμακα της πρώτης εικόνας, αυτό αφαιρείται. Στο επόμενο βήμα όλα τα υποπλαίσια της λίστας πολλαπλασιάζονται με τον συντελεστή κλίμακας, διορθώνονται σε σχέση με το επίπεδο του υποβάθρου και υπολογίζεται ο μέσος όρος. Τέλος διεξάγεται φωτομετρία PSF του υποπλαισίου της εικόνας αναφοράς με χρήση του φωτομετρικού προγράμματος DoPHOT. Οι τιμές της ροής που υπολογίστηκαν με τη φωτομετρία PSF μετατρέπονται στην κλίμακα της φωτομετρίας του λογισμικού DIA βάσει του γραμμικού μετασχηματισμού που προέκυψε από αρκετές δεκάδες εκ των λαμπρότερων αστέρων. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλα τα υποπλαίσια του συγκεκριμένου πεδίου. Η εικόνα αναφοράς έχει πολύ βαθύτερο εύρος μεγεθών από τις μεμονωμένες εικόνες, οπότε η φωτομετρία PSF από αυτή την εικόνα είναι πολύ πιο ακριβής και η λίστα των ανιχνευμένων αστέρων πιο πλήρης. Στα Νέφη του Μαγγελάνου η φωτομετρική ανάλυση πραγματοποιήθηκε σε οχτώ υποπλαίσια των 1024x1024 pixel ή δύο των 2048x2048 pixel ανάλογα με τον αριθμό των αστέρων στα διάφορα πεδία όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.3. [31]

Εικόνα 2.3 Τα πεδία του OGLE-III καταγράφονται με μαύρο και εκείνα του OGLE-II με κόκκινο για το Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου. OGLE IV (2009-...) Το Μάρτιο του 2010 το πρόγραμμα OGLE εισήλθε στην τέταρτη φάση, αφού το τηλεσκόπιο εξοπλίστηκε με CCD κάμερα τρίτης γενιάς, αποτελούμενη από μωσαϊκό 32 chips 2048x4096 pixels παράγοντας ένα εύρος πεδίου οράσεως 1.4 τετραγωνικών μοιρών (square degrees). Με τη νέα αυτή κάμερα οι ικανότητες παρατήρησης του πειράματος αυξήθηκαν σχεδόν μία τάξη μεγέθους σε σύγκριση με το OGLE III. Το πείραμα διεξάγεται έως σήμερα και παράγεται πληθώρα δεδομένων για περεταίρω μελέτη και ανάλυση. [32]

Εικόνα 2.4 Πεδίο του Γαλαξιακού Δίσκου. Εικόνα 2.5 Πεδίο των Νεφών και της Γέφυρας του Μαγγελάνου. 2.2 Μέθοδος Αναγνώρισης των EBs Η αναζήτηση για EBs πραγματοποιήθηκε με τη μέθοδο που περιγράφεται από τους Grazyk and Eyer (2010). Από τους 3 332 EBs που ανιχνεύθηκαν στο LMC από το OGLE II μόνο ένας EB ήταν αμυδρότερος από I~19 mag. Οπότε, η αναζήτηση των υποψηφίων EBs περιορίστηκε για αστέρες λαμπρότερους από I=20 mag. Επίσης, όλοι οι αστέρες που είχαν λιγότερες από 120 μετρήσεις στο φίλτρο Ι εξαιρέθηκαν από την αναζήτηση και ο αριθμός των υποψηφίων μειώθηκε στους 12 x10 6. Για να εξοικονομηθεί υπολογιστικός χρόνος η αναζήτηση περιορίστηκε σε περιόδους μεγαλύτερες των 1,0015 ημερών και μικρότερες των 475 ημερών. Οι αναζητήσεις της περιόδου πραγματοποιήθηκαν με τη μέθοδο PDM (Stellingwerf 1978) για αστέρες που είχαν παράμετρο ασυμμετρίας (skewness parameter) μικρότερη από 1,575, ενώ [33]

για τους υπόλοιπους χρησιμοποιήθηκε η Μέθοδος Συμβολοσειράς Μήκους (String- Length Method, Lafler and Kinman 1965). Η τελική παραγωγή του καταλόγου των EBs απαιτούσε μακροσκοπική εξέταση των υποψηφίων και αυτός ήταν και ο λόγος επιλογής περιόδων μεγαλυτέρων των 1,0015 ημερών. Εάν ένας EB είχε μικρότερη περίοδο θα μπορούσε ακόμα να ανευρεθεί σαν υποψήφιος. Τέτοια αντικείμενα παρατηρούνται με μεγαλύτερη περίοδο που είναι πολλαπλάσια της πραγματικής και κατά τη διάρκεια της μακροσκοπικής εξέτασης αναγνωρίζονται και προσδιορίζεται η πραγματική περίοδος. Εικόνα 2.6 Πάνω Πλαίσιο: καμπύλη φωτός του OGLE-LMC-ECL-20042. Μεσαίο Πλαίσιο: καμπύλη φωτός του OGLE-LMC-ECL-20042 αναδιπλωμένη με πραγματική περίοδο 1,02059 ημέρες που υπολογίστηκε με τον αλγόριθμο αναζήτησης περιόδου. Ο αστέρας καταγράφηκε σαν υποψήφιος EB. Κατά τη διάρκεια της μακροσκοπικής εξέτασης προέκυψε πως η πραγματική περίοδος είναι τα 2/7 της αρχικής. Κάτω Πλαίσιο: καμπύλη φωτός του OGLE-LMC-ECL-20042 αναδιπλωμένη με την πραγματική περίοδο 0,291597 ημέρες που καταδεικνύει ένα W UMa EB. Ένας αρκετά μεγάλος αριθμός αστέρων είναι ημί κανονικοί μεταβλητοί μακράς περιόδου (P>500 ημέρες) ή αντικείμενα υψηλής ιδίας κίνησης. Όταν κατασκευαστεί η καμπύλη φωτός με δοκιμαστικές περιόδους, τέτοια αντικείμενα παράγουν πλαστές ανιχνεύσεις σαν EBs, με περιόδους κοντά στην μία ημέρα ή πολλαπλάσιά της. Η επίδραση αυτή αντιμετωπίστηκε χρησιμοποιώντας δυνατά φίλτρα, οπότε μόνο οι αστέρες με υψηλή διακύμανση του δείκτη pvi μπορούσαν να διαπεράσουν το φίλτρο. Όλοι οι υποψήφιοι αστέρες διασταυρώθηκαν με προηγούμενους δημοσιευμένους καταλόγους μεταβλητών αστέρων όπως από το OGLE II. Ο σκοπός της σύγκρισης αυτής ήταν η αφαίρεση όλων των υπολειπόμενων παλλόμενων και ημι κανονικής μακράς περιόδου μεταβλητών, οπότε και το δείγμα μειώθηκε στους 79 000 υποψηφίους. [34]

Η μακροσκοπική παρατήρηση πραγματοποιήθηκε με το πρόγραμμα VARTOOL (M.K. Szymanski) το οποίο μπορεί να απεικονίσει την ακατέργαστη και την αναδιπλωμένη καμπύλη φωτός ταυτόχρονα. Η περίοδος που χρησιμοποιήθηκε μπορεί να τροποποιηθεί εύκολα και να εκχωρηθεί σε κάθε αστέρα κάποιος τύπος μεταβλητότητας. Η επαλήθευση της περιόδου ήταν αναγκαία για αρκετούς αστέρες, συνήθως πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με έναν συντελεστή 2. Περίπου το 14% των υποψηφίων αποδείχθηκαν ελλειψοειδείς μεταβλητοί, 35% ήταν ψευδείς ανιχνεύσεις θορύβου της φωτομετρίας ή αμυδρότερων αστέρων. 15% προέκυψαν μη εκλειπτικοί, πολύ μακράς περιόδου μεταβλητοί ή παλλόμενοι αστέρες και διπλοί εκλειπτικοί. Το τελευταίο μέρος ήταν η διασταύρωση διπλών εκλειπτικών από γειτονικά πεδία. Βρέθηκαν 1 051 αστέρες που βρίσκονταν σε δύο πεδία και 16 σε τρία. Η τελική κατάταξη περιέχει 26 121 αστέρες ταξινομημένους ως EBs. Εικόνα 2.7 Ποσοστιαίος ρυθμός ανίχνευσης των διπλών εκλειπτικών συστημάτων συναρτήσει του μεγέθους τους στο φίλτρο Ι. [35]

2.3 Επιστημονικά Αποτελέσματα Το πείραμα OGLE διανύοντας τώρα την τέταρτη φάση του, παρήγαγε εντυπωσιακά επιστημονικά αποτελέσματα. Τα αποτελέσματα αυτά αφορούν πάνω από 4 000 συμβάντα βαρυτικής εστίασης, ανακάλυψη έξω ηλιακών πλανητών και χαμηλής φωτεινότητας αντικειμένων καθώς και τη μεγαλύτερη βάση χαρτογράφησης μεταβλητών αστέρων που έχει δημιουργηθεί ποτέ (~270 000). Ακόμα καταγράφηκαν φωτομετρικοί χάρτες για πάνω από 40 000 000 αντικείμενα και αστρομετρικοί κατάλογοι. Όλη αυτή η τεράστια βάση δεδομένων είναι ελεύθερη μέσω του διαδικτύου, στους επιστήμονες οι οποίοι διεξάγουν έρευνες που αφορούν τη βαρυτική εστίαση, μελέτες για τους μεταβλητούς αστέρες, υπολογισμούς της μεσοαστρικής απόσβεσης καθώς και έρευνες για τον ακριβή προσδιορισμό της απόστασης των διαφόρων αντικειμένων. Ο κατάλογος OGLE ΙΙΙ περιλαμβάνει δεδομένα παρατηρήσεων στην Κεντρική περιοχή του Γαλαξίας μας και στα Νέφη του Μαγγελάνου (LMC, SMC): Κλασικούς Κηφείδες, Κηφείδες Τύπου II και αστέρες RR Lyrae στα Νέφη του Μαγγελάνου (LMC, SMC): ανώμαλους Κηφείδες και μακροπερίοδους μεταβλητούς στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου (LMC) : Μεταβλητούς Διπλής Περιόδου, R CrB αστέρες και αστέρες τύπου δ Sct Συγκεκριμένα στην περιοχή του Μεγάλου Νέφους του Μαγγελάνου έχουν ανιχνευθεί 26121 διπλά εκλειπτικά συστήματα. [36]

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 PHOEBE (PHysics Of Eclipsing BinariEs) 3.1 Εισαγωγή Το PHOEBE είναι ένα πακέτο μοντελοποίησης για τους εκλειπτικούς αστέρες v.0.29d (Prsa & Zwitter 2005), κατασκευασμένο με βάση το ευρέως χρησιμοποιούμενο πρόγραμμα WD (Wilson & Devinney 1971). Το πρόγραμμα διατηρεί το 100% της συμβατότητας του WD, ενώ τα πρόσθετα που περιέχει αποτελούν ένα ισχυρό τρόπο να ενισχυθεί το WD συμπεριλαμβάνοντας ακόμα περισσότερες φυσικές παραμέτρους και αξιοπιστία λύσεων. Ο υποκείμενος κώδικας WD αποτελείται από δύο μέρη: το πρόγραμμα LC (Light Curve) και RC (Radial Velocity Curve) για τον υπολογισμό των καμπυλών φωτός και ακτινικής ταχύτητας αντίστοιχα και το πρόγραμμα DC (Differential Corrections) για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος (Wilson 1993). Το PHOEBE παρουσιάζει αρκετές βελτιστοποιήσεις στη μέθοδο DC και προσθέτει στη γενικότητα με εφαρμογή μίας νέας μεθόδου ελαχιστοποίησης: Nelder & Mead s downhill Simplex. Ο κώδικας DC του WD χρησιμοποιεί τη μέθοδο Διαφορικών Διορθώσεων συμπληρωμένη από τον αλγόριθμο Levenberg Marquardt για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος (Wilson 1993). Είναι ιδιαίτερα κατάλληλο για Εκλειπτικούς Αστέρες και είναι ένας από τους ταχύτερους κώδικες. Σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η μέθοδος δε συγκλίνει, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Μέθοδος των Πολλαπλών Υποσυνόλων (Method of Multiple Subsets MMS) σύγκλιση του συστήματος στο πλησιέστερο ελάχιστο (Wilson & Biermann 1976). Ένα πρόγραμμα DC πραγματοποιεί ανάγνωση σε ένα αρχείο εισόδου του χρήστη αποτελούμενου από α) ένα σύνολο αρχικών παραμέτρων που καθορίζουν τις φυσικές και γεωμετρικές ιδιότητες, β) παρατηρησιακά δεδομένα και γ) διακόπτες που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί ο αλγόριθμος ελαχιστοποίησης. Κατά τη διάρκεια μίας επανάληψης, οι τιμές των παραμέτρων που τέθηκαν για προσαρμογή βελτιώνονται και αποδίδονται στο χρήστη για μελέτη. Σε περίπτωση σύγκλισης, ο χρήστης υποβάλει εκ νέου χειροκίνητα τις νέες παραμέτρους στην επόμενη επανάληψη. Η μέτρηση της ποιότητας της προσαρμογής (cost function) είναι η άθροιση των τετραγώνων των σταθμισμένων υπολοίπων μεταξύ των παρατηρούμενων σημείων (observed) και των υπολογιζόμενων (computed), O C. Το πρόγραμμα διαθέτει πάνω από 30 προσαρμόσιμες παραμέτρους i συμπεριλαμβανομένων των φωτεινοτήτων των φίλτρων L1 για i καμπύλες φωτός (HLA), που έχουν τη μοναδική ιδιότητα της γραμμικής βαθμονόμησης του επιπέδου των καμπυλών φωτός. Το DC προσαρμόζει αυτές τις φωτεινότητες όπως και όλες τις υπόλοιπες παραμέτρους σταδιακά. Αυτό σημαίνει ότι εντός μίας επανάληψης, οι i i τιμές των L 1 δεν προσαρμόζονται πλήρως, απλά βελτιώνονται. Εφόσον τα L 1 [37]

καθορίζουν την κάθετη μετατόπιση των καμπυλών φωτός, αυτό αναδύει δύο i συγκεκριμένα προβλήματα: 1) η μικρή μεταβολή των L 1 σε κάθε επανάληψη προκαλεί τεχνητές μεταβολές των άλλων φυσικών παραμέτρων και 2) οι μεταβολές των προσαρμοζόμενων παραμέτρων που υπολογίζονται από το DC θα συνεισφέρουν στη συνάρτηση κόστους μόνο εάν το μοντέλο ευθυγραμμιστεί με τα δεδομένα: ο μέσος όρος τιμών των O C πρέπει να είναι προσεγγιστικά μηδέν. Η ευθυγράμμιση i αυτή κυριαρχείται από τα L 1 για τις καμπύλες φωτός. Εάν η ευθυγράμμιση αυτή δεν υπολογιστεί ορθά, η συνάρτηση κόστους παραπλανεί το DC αντί να το ενισχύει. Αυτό προκαλεί λανθασμένη εκτίμηση των σφαλμάτων ακόμα και προβλήματα σύγκλισης. Το PHOEBE επιλύει αυτό το πρόβλημα παρέχοντας την επιλογή του i υπολογισμού των L 1 αντί της ελαχιστοποίησής τους, έτσι αυξάνεται η ακαμψία τους σε σχέση με τις υπόλοιπες παραμέτρους. Η ευθυγράμμιση υπολογίζεται έτσι ώστε ο μέσος όρος O C να είναι ακριβώς μηδέν. Το χρονικό κόστος αυτού του υπολογισμού όχι μόνο είναι αμελητέο, αλλά αυξάνει την ταχύτητα του αλγορίθμου, αφού η διάσταση των υποχώρων των παραμέτρων που υποβάλλονται στο DC είναι μειωμένη. Η εικόνα 2.1.1 επιδεικνύει την ακολουθία επανάληψης με την αρχική μέθοδο (αριστερά) και την προτεινόμενη μέθοδο (δεξιά) για την περίπτωση 7 στιγμιαίων προσαρμοζόμενων παραμέτρων εκτοπισμένων κατά 50% από την πραγματική τους τιμή. Στη δεύτερη περίπτωση οι παράμετροι συγκλίνουν τάχιστα και σταδιακά. Εικόνα 3.1 Σταδιακή και άκαμπτη στάθμιση καμπυλών. Σειρά επαναλήψεων για 7 φυσικές Εικόνα 2.1.1: Σταδιακή και άκαμπτη στάθμιση καμπυλών. Σειρά επαναλήψεων για 7 φυσικές i παραμέτρους σε παραμέτρους σε σταδιακό (αριστερά) και άκαμπτο i (δεξιά) πλαίσιο για τα L 1. Ο άξονας x δίνεται σταδιακό (αριστερά) και άκαμπτο (δεξιά) πλαίσιο για τα L 1. Ο άξονας x δίνεται σε λογαριθμική κλίμακα για να σε λογαριθμική κλίμακα για να ενισχυθεί το κομμάτι στο οποίο η επίπτωση της ακαμψίας είναι μεγαλύτερη. ενισχυθεί το κομμάτι Η κανονικοποίηση στο οποίο η επίπτωση του άξονα της y ακαμψίας αντιστοιχεί είναι στην μεγαλύτερη. αρχική τιμή Η κανονικοποίηση των παραμέτρων. του άξονα Τα Ly 1 αντιστοιχεί και L 2 είναι στην οι αρχική φωτεινότητες τιμή των παραμέτρων. στα φίλτρα Τα B και L 1 και V αντίστοιχα, L 2 είναι φωτεινότητες i η κλίση στα του φίλτρα συστήματος, B και V Ωαντίστοιχα, 1 και Ω 2 i τα βαρυτικά δυναμικά, q η αναλογία μαζών και Τ 1 και Τ 2 οι επιφανειακές θερμοκρασίες των αστέρων του διπλού συστήματος. [38]

i Ωστόσο η ακαμψία των L 1 δεν εγγυάται σύγκλιση σε ολικό ελάχιστο, λύνει i μόνο το αντίστροφο πρόβλημα πιο αποτελεσματικά. Επίσης ο υπολογισμός των L 1 αντί της προσαρμογής τους δεν επηρεάζει πάντοτε τη σύγκλιση, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις όπου οι σχετικές διορθώσεις των τιμών των παραμέτρων είναι μικρές. i Υπολογίζοντας τα L 1 αντί να τα προσαρμόσουμε, δε χρησιμοποιείται το κριτήριο για τα χ 2 και δεν υπολογίζονται τα σφάλματα. Για να εξασφαλιστούν, ο i χρήστης θα μπορούσε να επανέλθει από τον υπολογισμό στην προσαρμογή των L 1 στο πέρας της διαδικασίας ελαχιστοποίησης και να τα υποβάλει στην τελική επανάληψη του DC. 3.2 Βασικές Παράμετροι Παρακάτω θα αναλυθούν και θα επεξηγηθούν οι βασικές παράμετροι με τις οποίες δουλεύει το πρόγραμμα. 3.2.1 Παράμετροι Δεδομένων (Data Tab) Εικόνα 3.2 Παράθυρο Δεδομένων. [39]

Εδώ εισάγονται τα δεδομένα που αφορούν τον αστέρα, όπως το όνομά του καθώς και το μοντέλο του (σε επαφή, ημί-αποχωρισμένο, αποχωρισμένο κλπ). Επιλέγεται ο αριθμός των καμπυλών φωτός που θα εισαχθούν, η μορφή τους (Ιουλιανή ημερομηνία/φάση, μέγεθος/ροή, σφάλματα) καθώς και τα φίλτρα στα οποία πραγματοποιήθηκαν οι παρατηρήσεις. Υπάρχει επιλογή εισαγωγής καμπυλών τροχιακής ταχύτητας καθώς και φασμάτων. 3.2.2 Παράμετροι Συστήματος (System Related Tab) Εικόνα 3.3 Παράθυρο παραμέτρων συστήματος. HJD0: Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία της εφημερίδας του μεταβλητού αστέρα. PERIOD: Η τροχιακή περίοδος του συστήματος όπως προέκυψε από τη δημιουργία της εφημερίδας (σε ημέρες) DPDT: Η πρώτη χρονική παράγωγος του διπλού συστήματος. Παρέχει το ρυθμό μεταβολής της περιόδου ανά ημέρα (σε ημέρες), οπότε εάν δεν είναι μηδέν, είναι αρκετά μικρή ποσότητα. [40]

PSHIFT: Μία σταθερή μετατόπιση φάσης του χρόνου της εφημερίδας. Εφαρμόζοντας φάση 0.5, πραγματοποιείται ανταλλαγή των ρόλων και των δύο μελών του συστήματος. SMA: Ο μεγάλος ημιάξονας του διπλού συστήματος. Είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ των μελών δοσμένη σε ηλιακές ακτίνες RϿ. RM: Ο λόγος μαζών q συνήθως ορίζεται ως ο λόγος του αστέρα μικρότερης μάζας (M2) προς τον αστέρα μεγαλύτερης μάζας (M1): q M 2 = (3.1) M1 Έτσι αυτή η ποσότητα είναι συνήθως μικρότερη της μονάδας. Ωστόσο, εάν ο αστέρας μικρότερης μάζας είναι πιο θερμός από τον αστέρα μεγαλύτερης μάζας, τότε η πιο βαθιά έκλειψη (η πρωτεύουσα έκλειψη) θα συμβεί όταν θα συμβεί η έκλειψη του αστέρα μικρότερης μάζας. INCL: Η κλίση (i) ενός διπλού συστήματος αστέρων είναι μία περιγραφή σε μοίρες της κλίσης του τροχιακού επιπέδου με σημείο αναφοράς ένα παρατηρητή που βρίσκεται στη Γη. Έτσι, κλίση 0 ο αντιστοιχεί στην προς τα κάτω παρατήρηση των πόλων του συστήματος. Κλίση 90 ο σημαίνει πως το τροχιακό επίπεδο των δύο. VGA: Η ακτινική ταχύτητα του κέντρου μάζας του διπλού συστήματος δοσμένη σε km/s. Εικόνα 3.4 Απεικόνιση του ημι-αποχωρισμένου συστήματος AI Cru σε διαφορετικές τιμές κλίσης διαφόρων μοιρών. Οι πρώτες τέσσερεις παράμετροι, HJD0, PERIOD, DPDT και PSHIFT ονομάζονται παράμετροι εποχής, καθώς καθορίζουν την εποχή της εφημερίδας του διπλού συστήματος. Με τις παραμέτρους αυτές η χαρτογράφηση στο χώρο των φάσεων μπορεί να πραγματοποιηθεί. Οι επόμενες τέσσερεις παράμετροι, SMA, RM, XINCL και VGA προσδιορίζουν το σφαιρικό σχήμα του διπλού. Κάθε παράμετρος δίνεται από μία λέξη κλειδί, μία συνοπτική περιγραφή και μία τιμή. Η λέξη κλειδί του PHOEBE είναι το σύμβολο μέσου του οποίου το [41]

πρόγραμμα αναγνωρίζει μία συγκεκριμένη παράμετρο. Οι λέξεις κλειδιά υπακούουν το καθιερωμένο πρότυπο του WD, αλλά από τη στιγμή που το PHOEBE εκτελεί πολλά περισσότερα, έχουν εισαχθεί και νέες λέξεις κλειδιά. Ένας φάκελος που περιέχει όλες τις τιμές των παραμέτρων στη μορφή ΛΕΞΗ ΚΛΕΙΔΙ = ΤΙΜΗ ονομάζεται keyword file. Τα αρχεία αυτά έχουν συνήθως κατάληξη.phoebe αλλά δεν υπάρχουν περιορισμοί ως προς αυτό. Μια συνοπτική περιγραφή έχει ως στόχο να επεξεργαστεί αινιγματικές λέξειςκλειδιά των παραμέτρων και να δώσει συμπληρωματικές επεξηγήσεις για ορισμένες συμβάσεις που δεν είναι προφανείς. Η τιμή της παραμέτρου εξαρτάται από τον τύπο της. Συνήθως η τιμή είναι ένας αριθμός (ακέραιος ή πραγματικός), αλλά μπορεί επίσης να είναι δυαδική (ΑΛΗΘΗΣ και ΨΕΥΔΗΣ) ή συμβολοσειρά (κείμενο). Μία τυπική δυαδική τιμή είναι ο διακόπτης προσαρμογής ενώ μία τιμή συμβολοσειράς είναι, για παράδειγμα, το όνομα του φίλτρου των δεδομένων. Ο διακόπτης Adjust χρησιμοποιείται ώστε να σημειώσει την παράμετρο που θα τεθεί για προσαρμογή. Εάν είναι ενεργοποιημένος, ο διακόπτης αυτός προκαλεί την προσαρμογή της τιμής της παραμέτρου κατά τη διαδικασία της ελαχιστοποίησης, διαφορετικά η παράμετρος παραμένει σταθερή. Εάν η τιμή μίας παραμέτρου πρόκειται να τεθεί προς προσαρμογή, η επιλογή minimization step είναι το μέγεθος που καθορίζει πόσο έντονα θα μεταβληθούν οι τιμές κατά τη διάρκεια της ελαχιστοποίησης. Οι τιμές αυτές πρέπει να επιλεχθούν προσεχτικά καθώς μία αρκετά μεγάλη τιμή θα παρακάμψει το ελάχιστο ενώ μία αρκετά μικρή τιμή θα χρειαστεί αδικαιολόγητα μεγάλο χρονικό διάστημα για την πραγματοποίηση τω υπολογισμών. Τέλος, υπάρχουν όρια παραμέτρων για τη ρουτίνα ελαχιστοποίησης (simplex minimization routine). Η ρουτίνα αυτή σαρώνει τον παραμετρικό χώρο για αναζήτηση ενός ολικού ελαχίστου. Αυτό δεν έχει ακόμη υλοποιηθεί, με αποτέλεσμα όλα αυτά τα όρια επί του παρόντος να είναι ανενεργά. [42]

3.2.3 Παράμετροι των Αστέρων του Συστήματος (Component Related Tab) Εικόνα 3.5 Παράθυρο παραμέτρων των αστέρων του συστήματος TAVH: Η θερμοκρασία του πρωτεύοντα αστέρα του συστήματος σε βαθμούς K. Προσδιορίζεται είτε από το δείκτη χρώματος του αστέρα (Wilson 1979) είτε με επίλυση εμπειρικών πολυωνυμικών σχέσεων σε συνάρτηση με το βολομετρικό μέγεθος του αστέρα (Harmanec 1988). TAVC: Η θερμοκρασία του δευτερεύοντος αστέρα σε K η οποία εισάγεται υποθετικά γνωρίζοντας το είδος του διπλού εκλειπτικού συστήματος. PSHV - PCSV: Το δυναμικό της επιφάνειας του πρωτεύοντος και του δευτερεύοντος αστέρα αντίστοιχα. Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί μετασχηματισμένα δυναμικά Kopal όπως καθορίζονται από τον Wilson (1979). Υπολογίζονται γρήγορα παρέχοντας στο πρόγραμμα το διαχωρισμό μεταξύ των δύο αστέρων, κανονικοποιημένο στο μεγάλο ημιάξονα (1.0 για κυκλικές τροχιές), το λόγο των μαζών και το διάνυσμα θέσης. Δίπλα υπάρχουν τα κουμπιά υπολογισμού τα οποία εμφανίζουν το παρακάτω παράθυρο: [43]

Εικόνα 3.6 Παράθυρο υπολογισμού των δυναμικών των μελών του συστήματος. Είναι δυνατό να υπολογισθούν οι τιμές των δυναμικών εισάγοντας το διαχωρισμό μεταξύ των δύο μελών, κανονικοποιημένο ως προς το μεγάλο ημιάξονα, το λόγο μαζών και το διάνυσμα θέσης προς το επιθυμητό σημείο του χώρου, ξανά σε μονάδες του μεγάλου ημιάξονα. Για τον υπολογισμό των δυναμικών Kopal το διάνυσμα θέσης βρίσκεται στην κατεύθυνση από το κέντρο του αστέρα προς το συνοδό (εάν οι παλιρροικές δυνάμεις είναι έντονες, ο αστέρας έχει μορφή σταγόνας οπότε η ακτίνα του αστέρα εξαρτάται από την κατεύθυνση). Σε περίπτωση ελλειπτικής τροχιάς το δυναμικό θα εξαρτάται από την παράμετρο συγχρονισμού και τα συνημίτονα της κατεύθυνσης. LOGG1-LOGG2 Επιτάχυνση της βαρύτητας του πρωτεύοντα και του δευτερεύοντα αστέρα αντίστοιχα (δίνεται από τη σχέση - Ω ) ΜΕΤ1-ΜΕΤ2: Μεταλλικότητα του πρωτεύοντα και δευτερεύοντα αστέρα αντίστοιχα. [44]

3.2.4 Τροχιακές Παράμετροι (Orbit Tab) Εικόνα 3.7 Παράθυρο τροχιακών παραμέτρων. E: Η εκκεντρότητα της τροχιάς ορίζεται ως η απόσταση από το κέντρο (C) της έλλειψης έως την εστία (F) διαιρεμένη με το μήκος του μεγάλου ημιάξονα (α): FC e = (3.2) a οπότε η εκκεντρότητα θα κατέχει μία τιμή μεταξύ του μηδενός (κύκλος) και ένα (παραβολή). Από τη στιγμή που η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει ένα διπλό σύστημα είναι εάν ήταν κύκλος, οι περισσότερες ελλειπτικές τροχιές αποδιεγείρονται σε κυκλικές εξαιτίας των παλιρροϊκών δυνάμεων τριβής. [45]

Εικόνα 3.8 Τροχιά διπλού συστήματος που απεικονίζει το μήκος του περίαστρου ω. PERR0: Για ελλειπτικές τροχιές απαιτούνται περισσότερες παράμετροι σε σχέση με τις παραμέτρους των κυκλικών τροχιών. Το γεωγραφικό μήκος του περίαστρου ω είναι η γωνία μεταξύ του ανερχόμενου κόμβου της τροχιάς (το σημείο στο οποίο ο αστέρας διασχίζει το επίπεδο αναφοράς από το Νότο προς το Βορρά) και του περίαστρου (σημείο μικρότερης προσέγγισης του κέντρου) κατά τη διεύθυνση της κίνησης. DPERDT: Η πρώτη χρονική παράγωγος του περίαστρου που αφορά στο ρυθμό μεταβολής της γωνίας ω. F1, F2: Παράμετροι συγχρονισμού πρωτεύοντα και δευτερεύοντα αστέρα αντίστοιχα. Εξαιτίας των βαρυτικών παλιρροϊκών δυνάμεων, οι διπλοί αστέρες σε κυκλικές τροχιές συνήθως εμφανίζουν συγχρονισμένη περιστροφή, δηλαδή η περίοδος περιφοράς τους και οι περίοδοι περιστροφής τους είναι ίδιες. Οι παράμετροι συγχρονισμού (F1 και F2) αναπαριστούν το λόγο της γωνιακής ταχύτητας της περιστροφής του αστέρα (ω1,2) προς τη μέση γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής του συστήματος (ω): ω ω 1,2 F 1,2 (3.3) Οπότε η τιμή F=1 και για τους δύο αστέρες σε κυκλικές τροχιές αντιστοιχεί σε συγχρονισμένη περιστροφή. Εάν το διπλό σύστημα εμφανίζει εκκεντρότητα, η ιδέα του συγχρονισμού υποδαυλίζεται εξαιτίας των συνεχώς μεταβαλλόμενων τροχιακών ταχυτήτων των δύο αστέρων καθώς κινούνται μεταξύ τους [46]

3.2.5 Παράμετροι Φωτεινότητας (Luminosities Tab) Εικόνα 3.9 Παράθυρο παραμέτρων φωτεινότητας. Η φωτεινότητα ενός αστέρα είναι η μέτρηση της ολικής ενέργειας που παράγει. Τα L 1 (HLALC) και L 2 (ΗLALC) αφορούν τις φωτεινότητες του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος αστέρα αντίστοιχα και καταδεικνύουν το ποσοστό της ολικής φωτεινότητας που εκπέμπει ο κάθε αστέρας. Η ολική φωτεινότητα είναι κανονικοποιημένη στη μονάδα, έτσι ώστε L 1 +L 2 =1.00 και έχει άμεση εξάρτηση από το εκάστοτε φίλτρο. Επίσης μπορεί να υπολογιστεί η συνεισφορά της φωτεινότητας πιθανού τρίτου σώματος, είτε ως ποσοστό επί της ολικής φωτεινότητας είτε σε ροή ανά φίλτρο (3 rd light level/filter-1). [47]

3.2.6 Παράμετροι Φαινομένου Αμαύρωσης Χείλους (Limb Darkening Tab) Εικόνα 3.10 Παράθυρο υπολογισμού των συντελεστών αμαύρωσης χείλους. Το φαινόμενο αμαύρωσης χείλους (ή συσκότισης) limb darkening είναι η μείωση της επιφανειακής λαμπρότητας ενός αστέρα καθώς κάποιος τον παρατηρεί από το κέντρο προς τις παρυφές, κατευθυνόμενος στα άκρα του δίσκου. Το φαινόμενο αυτό προκαλείται από το γεγονός ότι οι αστέρες είναι θερμότεροι προς το κέντρο του δίσκου και όταν παρατηρούνται προς αυτό, στην ευθεία οράσεως παρατηρείται το βαθύτερο στρώμα της φωτόσφαιρας που είναι πιο θερμό. Όταν παρατηρούνται προς τα άκρα του δίσκου η ευθεία οράσεως δεν φτάνει σε βαθύτερο στρώμα της φωτόσφαιρας με αποτέλεσμα η θερμοκρασία που παρατηρείται να είναι χαμηλότερη και το αέριο να εκπέμπει λιγότερο φως. Από αυτή την αντίθεση (contrast) δημιουργείται η εντύπωση ότι τα άκρα είναι πιο σκοτεινά σε σχέση με το κέντρο. [48]

Εικόνα 3.11 Το φαινόμενο αμαύρωσης χείλους για τον Ήλιο. Το πρόγραμμα PHOEBE έχει διαθέσιμες επιλογές σύμφωνα με το νόμο στον οποίο υπακούν οι παράμετροι αμαύρωσης χείλους (γραμμικά, εκθετικά, συνημιτόνων) καθώς και επιλογή των συντελεστών από τους πίνακες Van Hamme (1993). Οι συντελεστές εξαρτώνται άμεσα από την επιλογή του φίλτρου καθώς και από τη θερμοκρασία των αστέρων. Για τον υπολογισμό της έντασης σε ένα αυθαίρετο σημείο, πρέπει να υπολογιστεί ένας παράγοντας D(μ) που σχετίζεται με τα φαινόμενα αμαύρωσης χείλους. Θεωρώντας γ τη γωνία μεταξύ της καθέτου στην επιφάνεια n s (r s ) και μίας τυχαίας διεύθυνσης e στην οποία διαδίδεται η ακτινοβολία έτσι ώστε: μ:=cosγ=cosγ(r s )=n(r s )e(r s,φ) (3.4) ο πιο απλός νόμος μονοχρωματικής αμαύρωσης χείλους είναι: D λ (μ) = 1-χ λ (1-μ) = 1-χ λ +χ λ cosγ (3.5) με χ λ το συντελεστή αμαύρωσης χείλους που έχει άμεση εξάρτηση από το μήκος κύματος. [49]

Εικόνα 3.12 Διακύμανση από το κέντρο προς τις παρυφές. Η εικόνα δείχνει τη γωνία γ (γωνία μεταξύ της καθέτου στην επιφάνεια και της διεύθυνσης στην οποία διαδίδεται η ακτινοβολία) που εμφανίζεται στη μαθηματική σχέση του συντελεστή αμαύρωσης χείλους. Το αριστερό μέρος της εικόνας δείχνει πως το βάθος της ατμόσφαιρας (άρα και η θερμοκρασία) που είναι προσπελάσιμο από τον παρατηρητή ποικίλλει ανάλογα με τη γωνία γ. Η συναφής (μονοχρωματική ή βολομετρική) ροή F που λαμβάνεται από ένα σφαιρικό αστρικό δίσκο ακτίνας R μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 2π R F = df( u, ϕ) (3.6) 0 0 Η συνεισφορά ενός στοιχείου επιφάνειας στη ροή είναι: df( u) = I( u) ududϕ (3.7) με την κατανομή έντασης (εδώ, για το γραμμικό νόμο) Iu ( ) = D( µ ) I = (1 x+ xcos γ) I, I = 1 (3.8) 0 0 0 Όπου I0 η κάθετα αναδυόμενη ένταση. Για σφαιρικούς αστέρες η ένταση αυτή βρίσκεται στο κέντρο του δίσκου. Παρατηρώντας τη σχέση (για σφαιρικούς αστέρες) u sinγ = (3.9) R το διαφορικό du και το r μπορούν να απαλειφθούν χρησιμοποιώντας τη σχέση οπότε προκύπτει (για μοναδιαίο δίσκο R=1) du = R cosγdγ (3.10) F = DI 0 (3.11) [50]

x D = π 1 3 (3.12) Ο γραμμικός νόμος αμαύρωσης χείλους είναι νόμος μίας παραμέτρου. Αποτελεί μία πρόχειρη αναπαράσταση της πραγματικής έντασης. Η ακρίβεια αυξάνεται εάν υποθέσουμε μη γραμμικούς νόμους δύο παραμέτρων. Οι νόμοι αυτοί καθώς και οι συντελεστές τους προκύπτουν από διάφορα μοντέλα αστρικών επιφανειών (Van Hamme 1993) όπως για παράδειγμα την προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων της επιλεγμένης έκφρασης στις κανονικοποιημένες εντάσεις του ατμοσφαιρικού μοντέλου. Η πιο απλή μη γραμμική σχέση περιλαμβάνει πολυώνυμα, όπως D( µ ) = 1 x(1 µ ) y(1 µ ) p (3.13) οπότε και η συναφής ροή F από ολόκληρο το δίσκο είναι ( p) x y F = π 1 I0 3 1 2 3 p + p+ 1 2 2 (3.14) όπου Ι 0 είναι η κάθετα αναδυόμενη ένταση. Το πρόγραμμα WD συμπεριλαμβάνει και το λογαριθμικό νόμο D( µ ) = 1 x(1 µ ) yµ ln µ (3.15) LOG 1 2 F = π (1 x+ yi ) 0 (3.16) 3 9 που προτάθηκε από τους Klinglesmith & Sobieski (1970). Ο νόμος τετραγωνικής ρίζας D( µ ) = 1 x(1 µ ) y(1 µ ) (3.17) SRL 1 1 F = π (1 x yi ) 0 (3.18) 3 5 διερευνήθηκε από τους Diaz-Cordoves & Gimenez (1992) και συμπεριλαμβάνεται επίσης ως επιλογή στο πρόγραμμα WD. Παρατηρούμε πως οι μη γραμμικοί νόμοι μετατρέπονται στο γραμμικό νόμο ένα y=0. Αντιθέτως με τα x στο γραμμικό νόμο, οι συντελεστές y δεν είναι περιορισμένοι μόνο σε μη αρνητικές τιμές. Στην ανάλυση ελαχίστων τετραγώνων θα πρέπει να ελεγχθεί πόσο έντονα συνδέονται τα x, y. Συνήθως δεν θα πρέπει να μεταβάλλουμε και τα δύο. Οποιοδήποτε νόμο αμαύρωσης χείλους και εάν χρησιμοποιήσουμε, η τοπική ένταση Ι ακολουθεί τη σχέση [51]

I= I(cos γ; gt,, λ ) = D( µ ) I (cosγ = 1; gt,, λ) (3.19) λ όπου I N (cosγ=1;g,t,λ) είναι η τοπική κάθετη μονοχρωματική ένταση και γ, g, T είναι επίσης τοπικές ποσότητες. Η πιο απλή περίπτωση είναι να υποθέσουμε ότι το I N είναι ίσο με την ακτινοβολία μέλανος σώματος. Πιο ακριβείς μοντελοποιήσεις απαιτούν υπολογισμό του I από ένα μοντέλο ατμόσφαιρας, με τοπικές επιδράσεις όπως κηλίδες, προεξοχές, ρεύμα αερίων κλπ. Οι βολομετρικοί συντελεστές αμαύρωσης χείλους μπορούν να ληφθούν από αριθμητικές ολοκληρώσεις του μοντέλου μονοχρωματικών εντάσεων σε όλα τα μήκη κύματος. Οι βολομετρικοί συντελεστές τότε μπορούν να παραχθούν όπως και οι μονοχρωματικοί συντελεστές. Οι λίστες των βολομετρικών συντελεστών αμαύρωσης χείλους καθώς και των μονοχρωματικών συντελεστών του Van Hamme (1993a) προέκυψαν από το μοντέλο ατμόσφαιρας του Kurucz. 3.2.7 Παράμετροι σχετικές με την Αστρική Επιφάνεια (Surface Tab) N Εικόνα 3.13 Παράθυρο παραμέτρων των αστρικών επιφανειών. [52]

ALB1-ALB2: Συντελεστές Α1-Α2 ανακλαστικής ικανότητας (Bolometric Albedo). Όταν η ακτινοβολία ενός αστέρα προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια του άλλου, η ενέργειά του θα θερμάνει την επιφάνεια αυτή και εάν ο αστέρας έχει κυρίως ζώνη ακτινοβολίας, επανακτινοβολεί την ενέργεια σαν κάτοπτρο. Ο συντελεστής ανάκλασης είναι το ποσοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας η οποία ακτινοβολείται ξανά από το συνοδό αστέρα. Για αστέρες με ζώνη ακτινοβολίας ο συντελεστής λαμβάνεται 1.00. Ο Rucinski (1969) έδειξε πως για αστέρες όπου η διάδοση θερμότητας γίνεται με αγωγή ο συντελεστής είναι προσεγγιστικά 0.50 επειδή η επιφανειακή αγωγή θα μεταφέρει μακριά ένα ποσό της ενέργειας ώστε να την ακτινοβολήσει ξανά από περιοχές διαφορετικές από εκεί που έγινε η πρόσπτωση. Έτσι, για αστέρες των οποίων οι θερμοκρασίες είναι μικρότερες των 7200 Κ ο συντελεστής θα είναι 0.50. GR1-GR2: Παράμετροι αμαύρωσης χείλους λόγω βαρύτητας (Gravity brightening/darkening exponent). Ο Von Zeipel (1924) απέδειξε πως για αστέρες που μεταφέρουν τη θερμότητα εξ ολοκλήρου μέσω ακτινοβολίας, η επιφανειακή ροή ήταν ευθέως ανάλογη της τιμής της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g) στην επιφάνεια του αστέρα (η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι Ω ). Η εξίσωση που χρησιμοποιήθηκε για τον προσδιορισμό της τοπικής θερμοκρασίας T local στην επιφάνεια του αστέρα είναι: 4 g F local T local g local G = = = F p T eff g p (3.20) όπου T eff η μέση επιφανειακή ενεργός θερμοκρασία του αστέρα, g local είναι η τοπική βαρύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο εμβαδού, g p είναι η τιμή της βαρύτητας στους πόλους, F local και F p η βολομετρική ροή σε τυχαίο σημείο της αστρικής επιφάνειας (local) και στους πόλους αντίστοιχα. Ο εκθέτης βαρυτικής λαμπρότητας ή αμαύρωσης (Gravity Brightening Exponent) g είναι 1.00 για αστέρες που διαδίδουν τη θερμότητα μέσω ακτινοβολίας και 0.32 για αστέρες που διαδίδουν θερμότητα μέσω αγωγής (Lucy 1967). Η προσεγγιστική οροθεσία της θερμοκρασίας για αστέρες μετάδοσης θερμότητας μέσω ακτινοβολίας ή αγωγής είναι 7200 Κ. Παράμετροι σχετικές με την ύπαρξη και τον αριθμό των κηλίδων στον πρωτεύοντα και το δευτερεύοντα αστέρα (spots on primary/secondary star) με παραμέτρους το αστρογραφικό μήκος και πλάτος, τη θερμοκρασία και την ακτίνα τους. [53]

3.2.8 Παράμετροι Προσαρμογής (Fitting Tab) Εικόνα 3.14 Παράθυρο παραμέτρων προσαρμογής. Εδώ ρυθμίζονται οι παράμετροι που θα τεθούν για προσαρμογή με τη μέθοδο των διαφορικών διορθώσεων. Επιλέγονται και προσαρμόζονται μετά από μία σειρά επαναλήψεων έως ότου υπάρξει σύγκλιση και η τιμή του χ 2 παραμένει σταθερή. Εάν η συνθετική καμπύλη συμπίπτει με την πειραματική καμπύλη φωτός η προσαρμογή είναι επιτυχής, ενώ εάν υπάρξουν αποκλίσεις θα πρέπει να ελεγχθούν οι τιμές των παραμέτρων, να προσαρμοστεί η ύπαρξη τρίτου φωτός ή η ύπαρξη κηλίδων στους αστέρες. Το πρόγραμμα PHOEBE παρέχει την επιλογή χρήσης script για τη διεξαγωγή της τελικής προσαρμογής ώστε να αποφευχθεί η χρονοβόρα διαδικασία της χειροκίνητης επιλογής. Αρχικά προσαρμόζονται οι παράμετροι χειροκίνητα για ορισμένο αριθμό επαναλήψεων και κατόπιν εφαρμόζεται το script για την τελική λύση. [54]

3.2.9 Παράθυρο σχεδίασης Καμπυλών Φωτός (LC Plot Tab) Εικόνα 3.15 Παράθυρο σχεδίασης καμπυλών φωτός. Στο παράθυρο αυτό παρέχεται η επιλογή σχεδίασης της πειραματικής καμπύλης φωτός καθώς και η ταυτόχρονη σχεδίαση της συνθετικής καμπύλης κατά τη διάρκεια της διαδικασίας προσαρμογής των παραμέτρων. Εμφανίζονται πληροφορίες όπως ο αριθμός των σημείων, τα σφάλματα, οι τιμές των παραμέτρων των δύο μελών (μάζα, ακτίνα, φωτεινότητα, βολομετρικό μέγεθος κλπ) καθώς και οι τιμές των δυναμικών και εάν αυτές είναι επιτρεπτές αναλόγως το μοντέλο του αστέρα. Ο παράγοντας συμπλήρωσης (fillout factor f) είναι μία τροποποιημένη παράμετρος που ορίστηκε από τους Lucy & Wilson (1979) και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει λεπτομερώς τις ισοδυναμικές επιφάνειες για διπλούς αστέρες σε επαφή, ημί-αποχωρισμένους και αποχωρισμένους. Η συμπλήρωση αναπαριστά το βαθμό επαφής ενός μέλους του διπλού συστήματος. Για τους αποχωρισμένους διπλούς αστέρες ο παράγοντας συμπλήρωσης αναπαριστά το ποσοστό που το δυναμικό της επιφάνειας του διπλού συστήματος βρίσκεται από τη εσωτερική κριτική επιφάνεια αφαιρούμενη από τη μονάδα. Για τα συστήματα σε επαφή, ο παράγοντας αναπαριστά το ποσοστό που το δυναμικό της επιφάνειας του διπλού συστήματος βρίσκεται από το εσωτερικό δυναμικό σε σχέση με το εξωτερικό. Ωinner f 1 forωinner Ω( undercontact) (3.21) Ω [55]

inner f Ω Ω forωinner Ω( overcontact) Ω Ω inner outer (3.22) Ο παράγοντας f για αποχωρισμένους διπλούς αστέρες θα είναι -1<f 0. Ο παράγοντας f για συστήματα σε επαφή θα είναι 0 f 1 (από την επαφή με την εσωτερική κριτική επιφάνεια για f=0 μέχρι την επαφή με την εξωτερική κριτική επιφάνεια για f=1. Εικόνα 3.16 Παραδείγματα διπλών συστημάτων από αποχωρισμένα (επάνω) έως σε επαφή (κάτω). Η απόσταση μεταξύ των κέντρων μαζών των δύο αστέρων καθορίζεται ίση με τη μονάδα για κυκλικές τροχιές. Το πρόγραμμα PHOEBE επιτρέπει τον προσδιορισμό των ισοδυναμικών επιφανειών από την εισαγωγή της κλασματικής αστρικής ακτίνας a ή r [back] στο συμβολισμό Wilson-Devinney. [56]

Εικόνα 3.17 Ορισμοί των ακτινών (το διάγραμμα απεικονίζεται στο επίπεδο της τροχιάς του συστήματος). Αυτή η ακτίνα κείτεται κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα ανάμεσα στους δύο αστέρες και είναι η ακτίνα που απομακρύνεται πάντα από το συνοδό. Η παράμετρος αυτή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συστήματα επαφής ή επικάλυψης αφού οι ακτίνες που θα εισαχθούν απαιτούν μεγάλη ακρίβεια ώστε να παράγουν το ίδιο δυναμικό και για τους δύο αστέρες. [57]

3.2.10 Παράθυρο Φύλλου Δεδομένων (Data Sheet Tab) Εικόνα 3.18 Παράθυρο εξαγόμενων δεδομένων. Στο παράθυρο αυτό εμφανίζονται όλες οι αστρικές παράμετροι που προέκυψαν από τη διαδικασία της προσαρμογής καθώς και εκείνες που θεωρήθηκαν εξ αρχής σταθερές (ο λόγος μαζών, η κλίση, οι θερμοκρασίες, τα δυναμικά, η επιτάχυνση της βαρύτητας, οι μεταλλικότητες, η εκκεντρότητα, η γωνία του περίαστρου, οι συγχρονισμοί, καθώς και οι συντελεστές ανάκλασης). [58]

4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΦΩΤΟΣ 4.1 Επιλογή Δεδομένων Η αρχική ιδέα είναι να επιλέξουμε για μελέτη από τα 98 πιο λαμπρά DEBs με τα καλύτερα φωτομετρικά δεδομένα από το OGLE-II των Michalska and A. Pigulski (2004) (λαμπρότητα μεγαλύτερη από 17,5 mag στο φίλτρο V και δείκτη χρώματος V- I<0.5 mag) αυτά που δεν παρουσιάζουν εκκεντρότητα και κίνηση αψίδων, κάτω από τις νέες παρατηρήσεις του OGLE ΙΙΙ. Η μελέτη και η μοντελοποίηση των καμπυλών φωτός πραγματοποιήθηκε από δεδομένα που λήφθηκαν κατά τη δεύτερη και τρίτη φάση του πειράματος OGLE (OGLE II & III) στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου (LMC). Η επιλογή περιορίστηκε σε αποχωρισμένους διπλούς εκλειπτικούς αστέρες (Detached Eclipsing Binaries DEBs) οι οποίοι αποτελούν και την πλειοψηφία των εκλειπτικών διπλών αστέρων που παρατηρήθηκαν (~63%). Η επιλογή των αποχωρισμένων συστημάτων βασίζεται στο γεγονός ότι δεν αναμένονται ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των αστέρων που αποτελούν το σύστημα και συνεπώς μπορούν με ασφάλεια να γίνουν κάποιες υποθέσεις όσον αφορά στη μοντελοποίησή τους. Αρχικά, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα διαχείρισης TopCat, το οποίο είναι εύχρηστο στη διαχείριση αστρονομικών δεδομένων σε πίνακες από μεγάλες βάσεις δεδομένων, επιλέχθηκαν και ενοποιήθηκαν οι δύο κατάλογοι που περιέχουν όλους τους EBs που έχουν παρατηρηθεί στο LMC. Αυτό έγινε γιατί έπρεπε να ταυτοποιηθούν οι κοινοί αστέρες οι οποίοι αναφέρονται με διαφορετικά ονόματα στους δύο καταλόγους ΙΙ και ΙΙΙ αλλά και για να ενοποιηθούν όλες οι γνωστές παράμετροι που έχουν εξαχθεί. Εικόνα 4.1 Ένωση των καταλόγων μέσω του προγράμματος TopCat. [59]

Ο κατάλογος των EBs του OGLE II (2580 αντικείμενα, Wyrzykowski et al. 2003) είναι χωρισμένος ανά πεδίο παρατήρησης (21 πεδία στο OGLE II) και ανά κατηγορία του διπλού συστήματος όπως περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 1 (EA, EB και EW). Ο κατάλογος περιέχει μία σειρά παραμέτρων όπως τον αριθμό του αστέρα, το πεδίο στο οποίο παρατηρήθηκε, το όνομά του, την ορθή αναφορά και την απόκλιση (RA, Dec), τις συντεταγμένες x και y στην εικόνα αναφοράς, την τροχιακή περίοδο του συστήματος, την Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία (HJD-2450000) για το πρωτεύον μέγιστο (Τ 0-2450000), τη μέγιστη λαμπρότητα στα τρία φίλτρα I, B, V κ.α Ο κατάλογος των EBs του OGLE III αποτελείται από δύο υπό καταλόγους. Ο πρώτος (ident.dat) αφορά την αναγνώριση των αστέρων και περιέχει πληροφορίες το όνομα του συστήματος με τη μορφή OGLE-LMC-ECL-ΑΡΙΘΜΟΣ το πεδίο στο οποίο παρατηρήθηκαν στο OGLE-III τον αριθμό καταχώρησής του στη βάση δεδομένων OGLE-III την υποκατηγορία ταξινόμησης του ΕΒ με βάση τη μορφή της καμπύλης φωτός σε αποχωρισμένο (ED), ημι-αποχωρισμένο (ESD), και επαφής (EC) την ορθή αναφορά και την απόκλιση (J2000.0) το όνομά του σε άλλους καταλόγους (MACHO, EROS, GCVS ή άλλο.). Ο δεύτερος κατάλογος (ecl.dat) περιέχει τις παραμέτρους των αστέρων όπως το μέγεθος (mag) στα φίλτρα I και V στη φάση 0.25 (ανάμεσα στις εκλείψεις), την τροχιακή περίοδο, την Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία (HJD-2450000) το βάθος του πρωτεύοντος ελαχίστου κάποιες παραμέτρους που αφορούν τη μορφή της καμπύλης στο φίλτρο Ι με την οποία έγινε η κατηγοριοποίησή τους. Δείκτη περιοδικότητας (pvi) Στο OGLΕ III παρατηρήθηκαν 116 πεδία του LMC τα οποία κάλυπταν σχεδόν 40 τετραγωνικές μοίρες και ανιχνεύθηκαν περίπου 32x10 6 αστέρες στις εικόνες που λήφθηκαν (Εικόνα 4.2). Καταγράφηκαν προσεγγιστικά περίπου 500 φωτομετρικά σημεία για κάθε αστέρα σε διάστημα οχτώ ετών (2001-2009). Το 90% των παρατηρήσεων λήφθηκε στο φίλτρο Ι, ενώ οι υπόλοιπες μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν στο φίλτρο V. Η φωτομετρική ανάλυση βασίστηκε στην τεχνική DIA (Alard and Lupton 1998, Wozniak 2000, Udalski 2003). [60]

Ε Εικόνα 4.2 Ιστόγραμμα της κατανομής των EBs σαν συνάρτηση του λογάριθμου της περιόδου. Η μέγιστη τιμή παρατηρείται για περίοδο ~2,5 ημερών. Για αστέρες λαμπρότερους από Ι=18 mag η κατανομή είναι πολύ πιο επίπεδη το οποίο καταδεικνύει πως η πιθανότητα εύρεσης ενός EB δοσμένης περιόδου εξαρτάται από τη λαμπρότητά του. Οι ανιχνευμένοι EBs που είναι αμυδρότεροι από 18 mag είναι, στην πλειοψηφία, μικρής περιόδου ενώ αυτοί με περιόδους μεγαλύτερες των 200 ημερών είναι, αποκλειστικά, συστήματα λαμπρότερα από 18 mag. Εικόνα 4.3 Ποσοστό ανίχνευσης των EBs στο OGLE ΙΙΙ. Η μέση τιμή του καταλόγου είναι 0,22%. Ωστόσο για EBs λαμπρότερους από I~17.8 mag το ποσοστό είναι ουσιαστικά ίσο με 50%. Το βάθος κοντά στα 78,2 mag προκαλείται από αρκετά σμήνη ερυθρών αστέρων για τα οποία το ποσοστό ανίχνευσης είναι χαμηλό. Επίσης, για αστέρες αμυδρότερους από I~19 mag υπάρχει σαφής ανεπάρκεια του ρυθμού ανίχνευσης. Κατόπιν από τον ενοποιημένο κατάλογο επιλέξαμε όσα συστήματα έχουν ταξινομηθεί ως αποχωρισμένα και στους δύο καταλόγους και δεν εμφανίζουν κίνηση αψίδων (apsidal motion) ή εκκεντρότητα (κατάλογος ogle2-3_ea). Τέλος ενώσαμε και τον κατάλογο των Michalska and A. Pigulski (2004) που περιέχει 98 DEBs αστέρες με λαμπρότητα μεγαλύτερη από 17,5 mag στο φίλτρο V και δείκτη χρώματος V-I<0.5 mag. Συνδυάζοντας και τους τρεις καταλόγους καταλήξαμε στην τελική μας επιλογή για συνολικά 36 διπλά αποχωρισμένα εκλειπτικά συστήματα σύμφωνα με τα παραπάνω κριτήρια τα οποία περιέχονται στον Πίνακα 4.1 μαζί με τα [61]