Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν } Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Α Ω

Πείραμα τύχης και δειγματικός χώρος Πείραμα τύχης: λέγεται κάθε πείραμα για το οποίο δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, όσες φορές και να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Δειγματικός χώρος Ω: ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος. Δηλαδή αν ω 1, ω,, ω ν τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος, τότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω = { ω 1, ω,, ω ν } Ενδεχόμενο Α (ή γεγονός): ενός πειράματος τύχης, λέγεται το σύνολο που έχει για στοιχεία του ένα ή περισσότερα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Α Ω Tο πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α συμβολίζεται με Ν(Α) Πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου Ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του ενδεχομένου. Τα στοιχεία του ενδεχομένου Α λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του Διάκριση των ενδεχομένων 1

i) Απλό (ή στοιχειώδες) ενδεχόμενο: είναι αυτό που έχει μόνο ένα στοιχείο. ii) Σύνθετο ενδεχόμενο: είναι αυτό που έχει δύο ή περισσότερα στοιχεία. iii) Βέβαιο ενδεχόμενο: είναι αυτό που πραγματοποιείται πάντοτε (δηλαδή σε κάθε εκτέλεση του πειράματος) και ταυτίζεται με τον δειγματικό χώρο Ω. iv) Αδύνατο ενδεχόμενο: είναι αυτό που δεν πραγματοποιείται ποτέ και ταυτίζεται με το κενό σύνολο. Σχετική συχνότητα ενδεχομένου Ανάλογη με την σχετική συχνότητα f i της τιμής x i μιας μεταβλητής Χ, είναι και η σχετική συχνότητα f A του ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρου Ω σε ένα πείραμα τύχης. Ορισμός Σχετική συχνότητα f A του ενδεχομένου Α: ονομάζεται το πηλίκο, όπου ν είναι ο αριθμός εκτελέσεων του πειράματος και κ ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το ενδεχόμενο Α. Δηλαδή κ f A = ν Ειδικά για τα απλά ενδεχόμενα {ω 1 }, {ω },, {ω ν } του δειγματικού χώρου Ω, που πραγματοποιούνται κ 1, κ,, κ ν φορές αντιστοίχως σε ν επαναλήψεις του πειράματος, οι σχετικές τους συχνότητες είναι κ 1 f 1 =, ν κ κ λ f =,, f λ = ν ν Ιδιότητες 0 f i 1, για κάθε i = 1,,, λ ( διότι..)

λ f i =1 i=1 ( διότι ) Ο νόμος των μεγάλων αριθμών «Η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου σταθεροποιείται γύρω από μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων του πειράματος αυξάνει απεριόριστα» Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας Έστω ένας δειγματικός χώρος Ω = { ω 1, ω,, ω ν } που αποτελείται από ν απλά ενδεχόμενα ω 1, ω,, ω ν Τα απλά ενδεχόμενα ω 1, ω,, ω ν λέγονται: ισοπίθανα, όταν έχουν την ίδια συχνότητα εμφάνισης κατά την εκτέλεση του πειράματος Δηλαδή για όλα τα ισοπίθανα ενδεχόμενα η προσδοκία πραγματοποίησης είναι ίδια. Η σχετική συχνότητα (εμφάνισης) για καθ ένα από αυτά είναι 1 Έστω τώρα ένα σύνθετο ενδεχόμενο Α = { α 1, α,, α κ } που αποτελείται από κ ισοπίθανα ενδεχόμενα. Τότε η σχετική συχνότητα (εμφάνισης) του Α θα είναι 1 1 1 κ + +... + = ν ν ν ν κ έ Δηλαδή για το ενδεχόμενο Α η προσδοκία πραγματοποίησής του είναι Σχόλιο: Τα προηγούμενα συμπεράσματα ήταν περισσότερο διαισθητικά και εμπειρικά, μας οδηγούν όμως στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας του ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρου Ω. 3

Ορισμός Πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α: είναι το πηλίκο πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων του Α πλήθος δυνατών περιπτώσεων Δηλαδή N(A) P(A)= N(Ω) Ιδιότητες α) Ρ(ω i ) = 1 ν, i = 1,,, ν ( διότι.) α) Ρ(Ω) = 1 ( διότι ) β) Ρ( ) = 0 ( διότι ) γ) 0 Ρ(Α) 1 ( διότι ) Κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων 1. Απλός προσθετικός νόμος (για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα) Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B) Ω A Β 4

Απόδειξη Γενικότερα ισχύει: P(A A... A)=P(A)+P( Α)+... +P(Α) 1 1. Πιθανότητα συμπληρωματικού Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A ισχύει: P(A) 1 P(A) Απόδειξη Ω Α A 3. Προσθετικός νόμος ( για τυχαία ενδεχόμενα) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) P(A) P(B) P(A B) Α Β Απόδειξη Ω A U B 5

4. Πιθανότητα υποσυνόλου Αν A Απόδειξη B, τότε P(A) P(B) Β Ω A 5. Πιθανότητα διαφοράς Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Απόδειξη P(A B) P(A) P(A B) Α Ω A -B Β 6. Πιθανότητα συμμετροδιαφοράς Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Απόδειξη P(A B)(B A) P(A) P(B) P(A B) Α Β Ω (Α-Β)U(B-A) 6

={0,1,, 3,..} ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών παριστάνεται με το γράμμα και είναι το Γνωρίζουμε ότι το σύνολο των ακεραίων αριθμών παριστάνεται με το γράμμα και είναι το ={ 0, 1,, 3,... } ή = {.., -3, -, -1,0,1,, 3,..} Οι ακέραιοι υποδιαιρούνται σε : Άρτιους: δηλ. τα πολαπ/σια του με μορφή κ, κ Περιττούς: όχι πολαπ/σια του με μορφή κ+1, κ Ρητός ονομάζεται ένας αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει την κλασματική μορφή όπου οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοι (α, β Ε Ζ) και β 0 Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα και παριστάνεται: { /, 0} Το 0 λέγεται. Το 1 λέγεται... Οι α, -α λέγονται..οι α, 1 λέγονται.α 0 Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται με την βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού α - β= α:β=. Αν δίπλα στον συμβολισμό καθενός από τα παραπάνω σύνολα βάλουμε το *, τότε θα εννοούμε το ίδιο το σύνολο αλλά χωρίς το 0. Έχουμε λοιπόν: 7

{0}, {0}, {0}, {0} Άρρητος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν μπορεί να πάρει την κλασματική μορφή, όπου οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοι (α, β ) και β 0 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ταυτότητα λέγεται κάθε εγγράμματη ισότητα, η οποία αληθεύει για οποιεσδήποτε τιμές των γραμμάτων που περιέχει. Οι ταυτότητες χρησιμεύουν στη συντόμευση των πράξεων. Οι ταυτότητες στο είναι αμέτρητες. Μερικές όμως από αυτές είναι σημαντικές και για τον λόγο αυτό τις χαρακτηρίζουμε ως αξιοσημείωτες. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. () (x+3) = τετράγωνο διωνύμου. () τετράγωνο διωνύμου 3x 3 xy = 3. () τετράγωνο τριωνύμου (x-y-1) = 4. 3 3 3 () 3 3 (x+1) 3 = κύβος διωνύμου 5. 3 3 3 () 3 3 8

κύβος διωνύμου (xy -x y) 3 = 6. α + β =(α+β) -αβ x 1 + x = πόρισμα της 1 α 3 + β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) x 1 3 + x 3 = πόρισμα της 7. ()() διαφορά τετραγώνων 8. 3 3 ()() διαφορά κύβων 9. 3 3 ()() άθροισμα δύο κύβων 10. 1 3 1 ()(...) 4x -16y 4 = x -3 = x 3-1 = α 3-8 = x 3 +1 = x 6 +y 3 = x 6 y 6 = όπου φυσικός μεγαλύτερος του 1. διαφορά νιοστών δυνάμεων (γενίκευση της 7) α 5-3 = 11. 1 3 1 ()(...) x 7 +1 = 9

όπου περιττός φυσικός. άθροισμα νιοστών δυνάμεων (γενίκευση της 8) 1. (x)(x) x()x τριώνυμο α 5 +3 = (χ+1)(χ+3) = (χ-)(χ-5) = (χ-)(χ+3) = 1 3()()()() ταυτότητα του Euler ή 13. 3 3 3 3 3 3 3() x 3 +y 3 +1-3xy = ή x 3 +y 3 +1-3xy = 14. Αν α+β+γ = 0 τότε (3x-) 3 +(1-x) 3 +(1-x) 3 πόρισμα της 13.(Euler) α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Παραγοντοποίηση λέγεται η διαδικασία σύμφωνα με την οποία μια αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο. Η παραγοντοποίηση είναι σημαντική γιατί με τη βοήθειά της: Προσθέτουμε αλγεβρικά κλάσματα. Απλοποιούμε αλγεβρικά κλάσματα. Λύνουμε εξισώσεις μεγαλυτέρου του β βαθμού. 10

Οι πιο συνηθισμένοι τρόποι παραγοντοποίησης είναι: 1. Με εξαγωγή κοινού παράγοντα. 5x 5y 3x 6xy 3x 6x (x 3)y (x 3). Με ομάδες. 3 x x 3x 6 1 3. Με τη βοήθεια ταυτοτήτων: x 9 x 3 x x 1 4. Με διάσπαση όρου. 3 4 x 5x 6 5. Με πρόσθεση και αφαίρεση κατάλληλου όρου. 11

4 x 4 6. Με τη μέθοδο του τριωνύμου. Όταν η παράσταση είναι τριώνυμο της μορφής τότε αυτή παραγοντοποιείται σύμφωνα με την ταυτότητα: x 7 x 1 0 x()x x()x(x)(x) x 7 x 1 0 x 7 x 1 8 7. Με μικτή μέθοδο: Συχνά δεν είναι εφικτή η εφαρμογή καμιάς από τις παραπάνω μεθόδους. Στην περίπτωση αυτή η παραγοντοποίηση απαιτεί συνδυασμό των προηγουμένων περιπτώσεων. y x x 1 ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ) Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν σε μία σειρά (διάταξη), πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. χ -6-5 -4-3 α - -1 0 1 3 4 5 6 β χ Αυτό σημαίνει ότι δύο οποιοιδήποτε αριθμοί α, β (α β) βρίσκονται σε μία σχέση ανισότητας μεταξύ τους. Για να δηλώσουμε μια ανισότητα έχουμε τα σύμβολα < (μικρότερο) και > (μεγαλύτερο) Ανισότητα λοιπόν είναι μία σχέση της μορφής α>β ή α<β Ορισμοί 1

Λέμε ότι : α>β όταν α-β>0, α<β όταν α-β<0 Αν x θετικός γράφουμε x>0, αν x αρνητικός γράφουμε x<0 Αν α,β ισχύει: α>β ή α=β ή α<β Η σχέση αβ (ανισοϊσότητα) σημαίνει α>β ή α=β. Όμοια αβ α<β ή α=β Αν α>β και β>γ τότε α>γ (Μεταβατική ιδιότητα) Κανόνες προσήμου στις ανισότητες Αν α>0 και β>0 τότε α+β>0 Αν α<0 και β<0 τότε α+β<0 Αν α,β ομόσημοι,τότε αβ>0 και α/β>0 Αν α,β ετερόσημοι,τότε αβ<0 και α/β<0 Για κάθε α ισχύει α 0 Για κάθε α 0 ισχύει α > 0 Το άθροισμα θετικών είναι θετικός Το άθροισμα αρνητικών είναι αρνητικός Το γινόμενο και το πηλίκο ομοσήμων είναι θετικός Το γινόμενο και το πηλίκο ετεροσήμων είναι αρνητικός Το τετράγωνο πραγματικού είναι μη αρνητικός Το τετράγωνο μη μηδενικού αριθμού είναι θετικός Πράξεις με ανισότητες α>β α+γ>β+γ Αν γ>0 τότε α β αγ βγ Αν γ<0 τότε α β αγ βγ α β Αν γ δ Aν α β γ δ τότε α γ β δ τ ό τ ε α γ β δ Πρόσθεση ή διαγραφή ενός όρου στα μέλη ανισότητας Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη ανισότητας με θετικό αριθμό, η ανισότητα δεν αλλάζει φορά Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη ανισότητας με αρνητικό αριθμό, η ανισότητα ΑΛΛΑΖΕΙ φορά Μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς (Η ισχυρή ανισότητα > υπερισχύει της ασθενούς ) Προσοχή!Ουδέποτε αφαιρούμε κατά μέλη ανισότητες 13

Αν α,β,γ,δ θετικοί αριθμοί: α β αγ βδ γ δ α β α γ β δ γ δ Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς με θετικούς όρους (Η ισχυρή ανισότητα > υπερισχύει της ασθενούς ) Προσοχή!Ουδέποτε διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες Αν α,β θετικοί και ν τότε: i) α=β α ν = β ν H δύναμη διατηρεί την ισότητα θετικών όρων και αντίστροφα ii) α>β α ν > β ν H δύναμη διατηρεί την ανισότητα θετικών όρων και αντίστροφα Προφανείς ιδιότητες: α +β 0 α +β +γ 0 κ.τ.λ. Το άθροισμα τετραγώνων είναι μη αρνητικός Αν ένας τουλάχιστον από τους α,β,γ δεν είναι 0 τότε α +β >0 α +β +γ >0 κ.τ.λ. Αν α 0 τότε α=0 x 0 xy 0 y x 0 xy 0 y Το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημοι αριθμοί α>β γ0 α+γ>β και α>β-γ Αν α,β,γ>0 τότε i) α α γ ii) α α β β Αν αυξήσουμε το μεγαλύτερο μέλος ή μειώσουμε το μικρότερο μέλος η ανισότητα ενισχύεται Αν αυξήσουμε τον αριθμητή ή μειώσουμε τον β β γ παρονομαστή, το κλάσμα αυξάνει ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Πρακτικά διάστημα είναι ένα κομμάτι της ευθείας χ χ των πραγματικών αριθμών δηλαδή ένα συμπαγές σύνολο αριθμών. Τα διαστήματα ορίζονται με την βοήθεια μιας ανίσωσης και στον παρακάτω πίνακα βλέπουμε τα είδη αυτών. ΑΝΙΣΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (με άκρα α, β) ΣΥΜ/ΣΜΟΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ α x β κλειστό διάστημα [α, β] χ α β χ 14

α < x <β α <xβ ανοικτό διάστημα ανοικτό αριστερά, κλειστό δεξιά (α, β) (α, β] χ α β χ α x <β κλειστό αριστερά, ανοικτό δεξιά [α, β) α x κλειστό αριστερά, μη φραγμένο άνω [α, + ) α < x ανοικτό αριστερά,μη φραγμένο άνω (α, + ) x β μη φραγμένο κάτω, κλειστό δεξιά (-,β] x < β μη φραγμένο κάτω, ανοικτό δεξιά (-,β) x το σύνολο των πραγματικών (-, ) ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Λέγοντας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α εννοούμε τον αριθμό α χωρίς το πρόσημό του. (Αυτός βέβαια είναι ένας απλοϊκός αλλά πρακτικός ορισμός). Η απόλυτη τιμή του α συμβολίζεται α. Ορισμός της απόλυτης τιμής του α,, 0 0 (η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός αν αυτός είναι θετικός ή 0, και ο αντίθετός του αν αυτός είναι αρνητικός) 15

. ΑΣΚΗΣΕΙΣ εμπέδωσης του ορισμού 1. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: x +1 = 1 x 4x 4 3 5 x x 1 007 ( 008) Για να βγάλουμε μια παράσταση από το απόλυτο, πρέπει να αναγνωρίσουμε το πρόσημό της και να εφαρμόσουμε τον ορισμό.. Να εκφράσετε για τις διάφορες τιμές του x τις παρακάτω παραστάσεις: i) Α = x ii) Β = x 6 +3x-, χωρίς απόλυτες τιμές Όταν το πρόσημο της παράστασης δεν είναι γνωστό τότε διακρίνουμε περιπτώσεις και εφαρμόζουμε τον ορισμό 3. Να απαλλαγεί από τα απόλυτα η παράσταση Γ = x y y x x 3, αν x y Mε την βοήθεια μιας δοσμένης ανισότητας αναγνωρίζουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα, και εφαρμόζουμε τον ορισμό. 16

4. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση Κ = -x+4 + x - x+3 ΟΤΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΠΟΛΛΑ ΑΠΟΛΥΤΑ Μηδενίζουμε τις παραστάσεις και βρίσκουμε τις ρίζες τους Καταστρώνουμε πίνακα και βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων στα διαστήματα του άξονα χ χ που ορίζουν οι ρίζες Σε κάθε ένα διάστημα εφαρμόζουμε τον ορισμό και εξαλείφουμε τα απόλυτα Γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής Αν ο αριθμός α παριστάνεται με το σημείο Α πάνω στον άξονα τότε η α είναι η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο του άξονα. Δηλαδή α =ΟΑ (μήκος του τμήματος ΟΑ) χ Α α α - -1 Ο 0 1 χ Ιδιότητες απολύτων τιμών 1. α 0 για κάθε α (όλες οι απόλυτες τιμές είναι θετικές ή μηδέν). α = 0 α = 0 3. α α και α -α ( γιατί η α είναι ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς α και -α) 4. α = -α (οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια απόλυτη τιμή) 5. - α α α 6. x = x 7. Αν θ>0, α τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες : x x ή x x x ή x ΣΧΟΛΙΟ: Με την ιδιότητα αυτή λύνουμε εξισώσεις με απόλυτα αφού πρώτα τις φέρουμε στην μορφή 17

x = θ ή x = α ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 1. Απόλυτη τιμή γινομένου Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους. Δηλαδή α β = α β. Απόλυτη τιμή πηλίκου Η απόλυτη τιμή του πηλίκου δύο αριθμών ισούται με το πηλίκο των απολύτων τιμών τους. Δηλαδή, με β 0 3. Απόλυτη τιμή αθροίσματος Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των απολύτων τιμών τους. Δηλαδή α + β α + β Αποδεικνύεται ότι η απόσταση των αριθμών α, β ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους : 4. Απόλυτη τιμή διαφοράς d( α, β ) = α β = β α Η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των απολύτων τιμών τους. Δηλαδή α - β α + β Παρατήρηση : Η ιδιότητες 1. και 3. ισχύουν και για περισσότερους όρους: 1α) x 1 + x + x 3 + + x ν x 1 + x + x 3 + + x ν 3α) x 1 x x 3 x ν = x 1 x x 3 x ν 18

3β) x ν = x ν (απόλυτη τιμή δύναμης) ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ Αν οι αριθμοί α, β παριστάνονται στον άξονα χ χ με τα σημεία Α, Β αντίστοιχα τότε: Απόσταση των αριθμών α, β λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται d( α, β ) d( α, β )=ΑΒ χ Α α 0 α-β Β β χ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός : Νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ( συμβολικά ), ονομάζουμε έναν μη αρνητικό αριθμό x με την ιδιότητα x ν =α δηλαδή Ονομασίες =x x ν =α, με α 0, x0 και ν Στην το α λέγεται υπόριζο ( ή υπόριζη ποσότητα) Το σύμβολο λέγεται ριζικό νιοστής τάξης και το ν δείκτης του ριζικού Αντί γράφουμε (τετραγωνική ρίζα του α ), και για την 3 λέμε «κυβική ρίζα του α» Από τον ορισμό της νιοστής ρίζας προκύπτει ότι: Αν α>0, η είναι ο θετικός αριθμός που αν υψωθεί στην νιοστή θα μας δώσει τον α Αν α=0 τότε 0 =0 Αν α 0 τότε: i) ii) (ο εκθέτης εξουδετερώνει τον δείκτη) ΕΙΔΙΚΑ: i) ii) (δείκτης και εκθέτης άρτιοι) 19

π.χ. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. 1 4 4. 3. (x 1)(x 1), x 1 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η έχει νόημα όταν α 0 και πάντα είναι 0 Ασκηση Για ποιες τιμές του x έχουν νόημα(ορίζονται) οι παραστάσεις: 1 1. x 3. 3 x 1 3. 4 3 4x 1 6. 3 x 1 x 4. 1 x 5. x 1 Θα πρέπει οι υπόριζες ποσότητες να είναι μη αρνητικές Ιδιότητες των ριζών Γινόμενο ριζών: Πηλίκο ριζών: Δύναμη ρίζας: Εξαγωγή-εισαγωγή παράγοντα σε ρίζα: Ισοδυναμες ρίζες: έχουν ίδιο δείκτη Όμοιες ρίζες: Άθροισμα διαφορά ριζών: Μόνο για όμοιες ρίζες Πολλαπλασιασμός διαίρεση ριζών: Μόνο για ισοδύναμες ρίζες έχουν ίδιο δείκτη και ίδιο υπόριζο Διπλή ρίζα: 0

Απλοποίηση δείκτη και εκθέτη: Ρίζες και διάταξη: α < β Αν α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος τότε v a και 0 0 ΕΞΙΣΏΣΕΙΣ 1 ου βαθμού Έχουμε λοιπόν αx + β = 0 αx + β - β = - β αx = -β Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν α 0 τότε: αx = -β x Επομένως, αν α 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την x. Αν α = 0, τότε η εξίσωση αx = - β γίνεται 0x = -β, η οποία: i. αν είναι β 0 δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη, ενώ ii. αν είναι β = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x δηλαδή είναι ταυτότητα. Να λύσετε την εξίσωση x 1 x για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ. Λύση 1 ο βήμα Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή ax 0 x και είναι x 1 x x x 1 ( 1) x 1 ( 1) 1 x 1 ο βήμα Βρίσκουμε για ποιές τιμές του λ μηδενίζεται ο συντελεστής του χ και είναι ( 1) 1 0 1 0 ή 1 0 1 ή 1 1

3 ο βήμα Διακρίνουμε περιπτώσεις για τις διάφορες τιμές του λ. Έχουμε α) αν 1 και 1 τότε ( 1) 1 0 και συνεπώς η εξίσωση έχει μοναδική λύση την 1 1 1 x 1 x 1 1 1 x 1 β) αν 1 η εξίσωση γράφεται 11 11 x 11 0x που είναι αδύνατη γ) αν 1 η εξίσωση γράφεται Εξισώσεις με απόλυτη τιμή 11 11 x 11 0x 0 που είναι ταυτότητα Αν θ>0, α τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες : x x ή x x x ή x ΣΧΟΛΙΟ: Με την ιδιότητα αυτή λύνουμε εξισώσεις με απόλυτα αφού πρώτα τις φέρουμε στην μορφή x = θ ή x = α Η διώνυμη εξίσωση x ν =α ν άρτιος και α>0 ν άρτιος και α<0 ν περιττός και α>0 ν περιττός και α<0 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αx + βx + γ = 0, α 0

Τριώνυμο ου βαθμού: Λέγεται το πολυώνυμο αx + βx + γ όπου η μεταβλητή x παίρνει τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών και α, β, γ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Εξίσωση ου βαθμού: Λέγεται η εξίσωση της μορφής αx + βx + γ = 0, α 0. Ο x είναι ο άγνωστος και οι α, β, γ οι συντελεστές της εξίσωσης. Ειδικά ο γ λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης. Διακρίνουσα του τριωνύμου αx + βx + γ: (ή της εξίσωσης αx + βx + γ = 0) λέγεται η αλγεβρική παράσταση Δ = β 4αγ Ρίζα (ή λύση) της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 : Λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός που την επαληθεύει. Οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 είναι και ρίζες του τριωνύμου αx + βx + γ Για να λύσουμε την εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0: Βρίσκουμε την διακρίνουσα Δ= β 4αγ Τότε ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ έχουμε Αν Δ>0 τότε η αx + βx + γ = 0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες τις x 1, = Αν Δ=0 τότε η αx + βx + γ = 0 έχει 1 διπλή ρίζα την x 0 = Αν Δ<0 τότε η αx + βx + γ = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ αx +βx+γ=0 Έστω x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0.Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα x 1 +x και με P το γινόμενο x 1 x των ριζών αυτών τότε θα έχουμε: S = x 1 +x = και P = x 1 x = (τύποι του Vieta ) Στην περίπτωση που η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει πραγματικές ρίζες x 1,x, έχουμε: 3

Σπουδαία εφαρμογή Με την βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση παίρνει την μορφή: x Sx + P = 0 όπου S το άθροισμα και P το γινόμενο των ριζών Απόδειξη αx + βx + γ = 0 x x 0 x ( x 1 +x )x + x 1 x = 0 x Sx + P = 0 AΝΙΣΩΣΕΙΣ Τον όρο ανίσωση (αντί ανισότητα) συνηθίζουμε να τον χρησιμοποιούμε για τις εγγράμματες ανισότητες που αληθεύθουν για ορισμένες τιμές του γράμματος (αγνώστου) που περιέχουν. Λύση ανίσωσης: λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την ανίσωση. Γραφική λύση ανίσωσης: είναι η εικόνα των λύσεών της πάνω στην πραγματική ευθεία. Γενική μορφή ανίσωσης 1 ου βαθμού: αx > β ή αx < β πίνακας λύσεων της αx > β α > 0 αx > β 4

α < 0 αx > β α = 0 και β 0 α = 0 και β<0 αx > β αx > β Η ανίσωση αx < β λύνεται ανάλογα, καθώς και οι αx β, αx β ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ( p()() x c ή p x c ) Είναι γνωστό από την θεωρία ότι x a a x a x ( a,) a, καθώς και ότι x a x a,( ή x,)( a,) x a a Βάσει λοιπόν των παραπάνω κανόνων, έχουμε αντίστοιχα: 1. Να λυθεί η ανίσωση: x 4 10. Να λυθεί η ανίσωση: 3x9 1 3.. Να λυθεί η ανίσωση: 10( x 3) 64 4(11 x ) 3 x 1 Υπενθύμιση: x a a x Β. Ανισώσεις με διαφορετικά απόλυτα 5

Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τον πίνακα που χρησιμοποιείται και στις εξισώσεις, με την διαφορά ότι στο τέλος κάθε περίπτωσης συναληθεύουμε. 4. Να λυθεί η ανίσωση: x x 1 11 Γ. Συνδυαστικές ασκήσεις 5. Να λυθεί η ανίσωση: 1 x 5 6 6. Να λυθεί η ανίσωση: x6 4 18 7. Έστω η παράσταση x 9 A x 3 i. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α ii. Nα απλοποιηθεί η παράσταση Α iii. Nα λύσετε την ανίσωση Α6 8. Να λυθεί η ανίσωση: α. β. x x x x 6 9 5 8x 16 ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Το τριώνυμο f(x) x x παίρνει πάντα την μορφή f(x) x 4 Απόδειξη f( x) x x x x ( εξαγωγή του α 0 ως κοινού παράγοντα) 6

x x()() 4 x 4 (Συμπλήρωση όρου για να προκύψει ανάπτυγμα ταυτότητας) (Μετά την εκτέλεση των πράξεων στους δύο τελευταίους όρους) x 4 (I) Σχόλιο: Η παραπάνω μορφή (I) είναι ανεξάρτητη από το πρόσημο της διακρίνουσας Δ του τριωνύμου Ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ το τριώνυμο παίρνει και τις εξής μορφές: i) Αν Δ > 0 Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες τις x1, x και παίρνει τη μορφή: f(x) x x(x x)(x x) 1 (Το τριώνυμο αναλύεται σε γινόμενο δύο πρωτοβαθμίων παραγόντων επί πραγματικό αριθμό) ii) Αν Δ= 0 Το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα την και παίρνει τη μορφή : f( x) x x x (Το τριώνυμο γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο επί πραγματικό αριθμό) iii) Αν Δ < 0 Το τριώνυμο δεν αναλύεται σε γινόμενο και έχει τη μορφή 7

f(x) x x x (Το τριώνυμο είναι άθροισμα δύο τετραγώνων επί πραγματικό αριθμό) Σχόλιο: Το τριώνυμο f(x) x x παραγοντοποιείται όταν Δ>0 ή Δ=0 Απόδειξη i)aν Δ>0 ισχύει οπότε από την (I) παίρνουμε f(x) x x x x x x x x x 1 ii) Aν Δ=0 τότε προφανώς από την (I) παίρνουμε f( x) x 0 x iii) Aν Δ<0 τότε επειδή Δ = Δ η (I) γράφεται f( x) x x 4 ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ f(x)=αx + βx + γ Βρίσκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και τις ρίζες (αν υπάρχουν) Τότε το πρόσημο του τριωνύμου θα δίνεται από τον παρακάτω πίνακα κατά περίπτωση 8

Αν Δ>0 και x 1, x οι ρίζες τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α όταν το x είναι εκτός των ριζών γίνεται ετερόσημο του α όταν το x είναι μεταξύ των ριζών Αν Δ=0 και ρ η διπλή ρίζα τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α για κάθε x εκτός της διπλής ρίζας ΔΕΝ γίνεται πουθενά ετερόσημο του α Αν Δ<0 (δεν έχει ρίζες) τότε το τριώνυμο: γίνεται ομόσημο του α για κάθε x ΔΕΝ γίνεται πουθενά ετερόσημο του α x f(x) x x 1 x ομόσημο του α ετερόσημο του α 0 ομόσημο του α 0 f(x) ομόσημο του α 0 ομόσημο του α x f(x) ρ ομόσημο του α. ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΗ ου ΒΑΘΜΟΥ : αx + βx + γ >0 ή αx + βx + γ <0 ; Βρίσκουμε την διακρίνουσα Δ και τις ρίζες (αν υπάρχουν) Καταστρώνουμε πίνακα και βρίσκουμε το πρόσημο του τριωνύμου της ανίσωσης Από τα συμπεράσματα του πίνακα δίνουμε την λύση της ανίσωσης Σχόλια Έστω το τριώνυμο f (x) = αx + βx + γ, α 0. Ισχύουν οι ισοδυναμίες: Δ < 0 f(x) 0, για κάθε xr Δ < 0 f(x) > 0 ή f(x) < 0, για κάθε xr (Το f(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R ) Δ < 0 Άρα 0 f () x 0, x R 0 9

0 f () x 0, x R 0 0 f () x 0, x R 0 0 f () x 0, x R Συμπληρώστε τις προτάσεις 0 Το τριώνυμο αx +βx+γ, α 0 γίνεται: i) Ετερόσημο του α, μόνο όταν Δ 0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται.των ριζών ii) Mηδέν, όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις.. του τριωνύμου iii) Oμόσημο του α σε κάθε άλλη iv) Θετικό για κάθε x όταν και μόνο όταν α.0 και Δ 0 v) Αρνητικό για κάθε x όταν και μόνο όταν α.0 και Δ 0 vi) Θετικό ή μηδέν για κάθε x όταν και μόνο όταν α.0 και Δ 0 vii) Αρνητικό ή μηδέν για κάθε x όταν και μόνο όταν α.0 και Δ 0 Η παράσταση αx +βx+γ διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε x όταν και μόνο όταν α.0 και Δ 0 Ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακέραιων. Δηλ α(ν) : Ν * R ή πιο απλά α ν : Ν * R AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός Μια ακολουθία (α ν ) λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντα αριθμού." 30

Ισχύει: α ν+1 = α ν + ω ή α ν+1 - α ν = ω, για κάθε ν Ν *. Τον σταθερό όρο που προσθέτουμε σε κάθε όρο της αριθμητικής προόδου για να σχηματίσουμε τον επόμενο του, τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Για παράδειγμα η ακολουθία (α ν ) όπου: α 1 =1,α =3,α 3 =5,α 4 =7,α 5 =9... παρατηρούμε ότι: 1 357... Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά α ν+1 -α ν. Αν η παραπάνω διαφορά είναι σταθερός αριθμός (ανεξάρτητος του v) τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Για κάθε αριθμητική πρόοδο (Α.Π) από τη σχέση α ν+1 - α ν = ω έχουμε ότι: ω = α α 1 = α 3 - α =... = α ν+1 - α ν Αν ω > 0, τότε η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή είναι α 1 < α <... < α ν <... Αν ω < 0, τότε η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή είναι α 1 > α >... > α ν >... Αν ω = 0, τότε α 1 = α =... = α ν =... Γενικός όρος Α.Π. Αν (α ν ) είναι μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, τότε ισχύουν οι σχέσεις: α 1 = α 1 α = α 1 + ω α 3 = α + ω (Προσθέτουμε κατά μέλη) α ν-1 = α ν- + ω α ν = α ν-1 + ω 31

α 1 + α + α 3 +... + α v-1 + α ν = α 1 +α 1 +ω + α +ω + α 3 +ω +...+ α ν- + ω + α ν-1 + ω v1 όροι α α ω ω ω... ω ω α ν = α 1 +(ν-1)ω. ν 1 Οπότε αποδείξαμε ότι ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω δίνεται από τον τύπο: Άθροισμα ν πρώτων όρων Α.Π. α ν =α 1 +( v-1)ω, vn* Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (α ν ) με διαφορά ω, δίνεται από τους τύπους v v S ( 1 1) ή v a v Sv a1 Διαδοχικοί όροι Α.Π. Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, τότε από τον ορισμό ισχύει: Οι αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν: ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό με τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Παρατηρήσεις Το σταθερό μη μηδενικό αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο μιας γεωμετρικής προόδου για να σχηματίσουμε τον επόμενο του, τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο (α ν ) συμφωνούμε να είναι α 1 0 και επειδή λ 0, έχουμε α ν 0 για κάθε ν Ν*. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι: 3

1 Η ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει: 1. για κάθε ν Ν* και λ R*. Για παράδειγμα η ακολουθία (α ν ) όπου: α 1 =1,α =,α 3 =4,α 4 =8,α 5 =16... Παρατηρούμε ότι: x x x x 1 4 8 16... Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος, πρέπει να ν υπολογίσουμε το λόγο. Αν ο παραπάνω λόγος είναι σταθερός αριθμός (δηλαδή ανεξάρτητος του ν), τότε η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, με λόγο το με τον σταθερό αυτό αριθμό. a 1 Για κάθε γεωμετρική πρόοδο (Γ.Π.) από τη σχέση 3 1 λ έχουμε ότι:... 1 a Αν λ < 0, τότε οι όροι της γεωμετρικής προόδου εναλλάσσουν πρόσημο και η πρόοδος ονομάζεται εναλλάσσουσα. Αν λ > 1, τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα δηλαδή είναι α 1 < α <... < α ν <... Αν 0 < λ < 1, τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή είναι α 1 > α >... > α ν. Αν λ = 1, τότε α 1 = α =... = α ν =... Γενικός όρος Γ.Π. Αν (α ν ) μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, τότε ισχύουν οι σχέσεις:... 1 1 1 3 1 1 x 1όροι 1 a1. a... av a1. 1.... 1.... 1 1 33

Άθροισμα ν πρώτων όρων Α.Π. Το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ, δίνεται από τον τύπο v 1 a1, 1 Sv 1 va1, 1 Διαδοχικοί όροι Γ.Π. Οι μη μηδενικοί όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν: β = α γ Σε κάθε περίπτωση οι αριθμοί α, γ είναι ομόσημοι και ο θετικός αριθμός a. λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Αν α, β, γ και δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, θα ισχύει.. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός: Συνάρτηση f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β (συμβολισμός f : A B ) λέγεται μια διαδικασία σύμφωνα με την οποία σε κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο A λέγεται πεδίο ορισμού ενώ το B λέγεται σύνολο άφιξης Σύνολο τιμών : ονομάζεται το σύνολο όλων των τιμών που μπορεί να πάρει η f για όλα τα xa. Συμβολίζεται f(a). Δηλ. f(a)={ yb / υπάρχει τουλάχιστον ένα x Α με f(x)= y } Πάντα είναι f(a) Β 34

όταν ΒR, η συνάρτηση f : A B λέγεται πραγματική συνάρτηση Τύπος της συνάρτησης ονομάζεται μια παράσταση του x ( y=f(x) ) σύμφωνα με την οποία γίνεται η αντιστοίχιση των στοιχείων xa στα στοιχεία yb. Ανεξάρτητη μεταβλητή λέγεται η μεταβλητή x η οποία παριστάνει ένα οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου Α. ( Oνομάζεται ανεξάρτητη διότι παίρνει ελεύθερα τιμές από το σύνολο Α ) Εξαρτημένη μεταβλητή λέγεται η μεταβλητή y ή f(x) που ανήκει στο Β και στην οποία αντιστοιχίζεται κάποιο στοιχείο xa. ( Ονομάζεται εξαρτημένη διότι η τιμή της εξαρτάται από κάποιο xa ) Παρατηρήσεις : I) Για να είναι μια συνάρτηση f καλά ορισμένη θα πρέπει να δίνονται : α) το πεδίο ορισμού Α β) το σύνολο άφιξης Β γ) ο τύπος της συνάρτησης f. Αν δεν δίνεται το Β, σαν σύνολο άφιξης θεωρούμε το. II) Πρακτικά για μια συνάρτηση δίνεται μόνο ο τύπος της. Στην περίπτωση αυτή : «Το πεδίο ορισμού Α το βρίσκουμε παίρνοντας υπ όψιν όλους τους δυνατούς περιορισμούς για τους οποίους έχει νόημα ο τύπος της συνάρτησης». Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους. Κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α,β) σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων παριστάνεται από ένα σημείο Μ (ο αριθμός α λέγεται τετμημένη του σημείου και ο β τεταγμένη). Γράφουμε Μ(α,β) π.χ. Να απεικονίσετε στο επίπεδο τα ζεύγη : (,3), (-5,-3), (6,0), ( 0,-4) Συμμετρία 35

Το συμμετρικό του σημείου Μ( x, y): Ως προς τον άξονα xx είναι το σημείο Μ 1 ( x, -y) Ως προς τον άξονα yy είναι το σημείο Μ ( -x, y) Ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Μ 3 ( -x, -y) Ως προς τη διχοτόμο του 1ου - 3ου τεταρτημόριου είναι το σημείο Μ 4 ( y, x) Τα σημεία του άξονα xx έχουν τεταγμένη 0 - μορφή (x,0), ενώ τα σημεία του άξονα yy έχουν τετμημένη 0 - μορφή (0,y) Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης f ( f : A ): είναι το σύνολο όλων των σημείων M του επιπέδου με συντεταγμένες y C f της μορφής (x, f(x)) με xa. Συμβολισμός C f. Εξίσωση γραφικής παράστασης της f: Είναι η εξίσωση y=f(x) Μ y = f(x), όπου f(x) είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Χαρακτηριστική ιδιότητα της y = f(x) :Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στην γραφική παράσταση C f αν οι συντεταγμένες του y Ο x x x επαληθεύουν την εξίσωση y = f(x) και αντιστρόφως. Οποιαδήποτε κάθετη ευθεία στον άξονα xx τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο. ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΤΗΣ C f i) Με τον χ χ : Θέτουμε στην εξίσωση y=f(x) όπου x=0, και λύνουμε ως προς y βρίσκοντας έτσι την τεταγμένη του σημείου. 36

ii) Με τον y y: Θέτουμε στην εξίσωση y=f(x) όπου y=0, και λύνουμε ως προς x βρίσκοντας έτσι τις τετμημένες των σημείων τομής. Οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f με τον χ χ προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης f(x)=0 (ρίζες της f) Τo κοινό σημείο της C f με τον y y είναι το (0, f(0)) Στα διαστήματα που η C f είναι πάνω (αντ. κάτω) από τον χ χ, α x x x 1 3 β οι τιμές της συνάρτησης f είναι θετικές (αντ. αρνητικές) π.χ. f(0) Στο σχήμα οι ρίζες της f είναι oι x 1, x, x 3 Στα διαστήματα (α,x 1 ), (x,x 3 ) είναι f(x)<0 Στα διαστήματα (x 1, x ), (x 3, β) είναι f(x)>0 ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΔΥΟ ΓΡ. ΠΑΡΑΣΤ. C f ΚΑΙ C g Οι τετμημένες των κοινών σημείων δύο γραφικών παραστάσεων C f και C g προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης f(x) = g(x) Στα διαστήματα που η C f κάτω) είναι f(x)>g(x) (αντ. f(x)<g(x) ) είναι πάνω από την C g (αντ. π.χ. Στο σχήμα οι ρίζες f(x)=g(x) είναι οι x 1, x Στα διαστήματα (-,x 1 ) και (x, + ) είναι f(x)<g(x) Στo διάστημα (x 1, x ) είναι f(x)>g(x) x C f f(x)=g(x) Τα διαστήματα στα οποία η f είναι πάνω (κάτω) από τον χ χ προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης f(x)>0 (f(x)<0) Τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω (κάτω) από την C g προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης f(x)>g(x) (f(x)<g(x)) x 1 C g 37

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης -f(x) είναι συμμε τρική του διαγράμματος της συνάρτησης f(x) ως προς τον άξονα χ χ Η συνάρτηση f(x)=αx+β ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ χ χ Κάθε ευθεία σχηματίζει με τον άξονα χ χ μία θετική και κυρτή γωνία ω που έχει αρχική πλευρά τον άξονα χ χ και τελική πλευρά την ευθεία ε. Ισχύει 0 0 ω < 180 0. Αν ε // χ χ τότε ω = 0 0 y y y ε y ε χ ε ω ω χ χ χ χ χ χ ε y y y y ω<90 0 ω>90 0 ω=0 0 ω=90 0 χ 38

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ: Λέγεται η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία y=αx+β με τον άξονα χ χ και y y=αx+β ισούται με α. α=εφω Ο συντελεστής διεύθυνσης καθορίζει πλήρως την διεύθυνση της ευθείας χ ε y ω α=εφω χ Αν ω=0 0 τότε α = εφ0 0 = 0 Αν ε χ χ δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης 1. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ: Α = (αφού το f(x) ορίζεται για κάθε x ). ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ: Αν α 0 τότε f(α ) = αφού για κάθε y η εξίσωση y = αx+β έχει λύση ως προς x στο πεδίο ορισμού Να γιατί: y = αx+β αx = y-β x y Αν α=0 τότε f(α ) = {β} ( αφού η f έχει μοναδική τιμή f(x) = y = β) 3. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ: Η γραφική παράσταση έχει εξίσωση y = αx+β και παριστάνει ευθεία γραμμή. Συνηθίζουμε να y y=αx+β λέμε : «η ευθεία y = αx+β» ή «η ευθεία ε: y = αx+β» χ ε y χ 39

4. ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ: Αν στην εξίσωση y = αx+β θέσουμε : y y=αx+β x=0 βρίσκουμε y=β. Άρα η ευθεία τέμνει τον y y στο σημείο (0,β) y=0 βρίσκουμε x. Άρα η ευθεία τέμνει τον x x στο σημείο (,0) χ ε -β/α β y χ 5. ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ: Ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων α,β η ευθεία παίρνει τις εξής μορφές: y = αx : Παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων με συντελεστή διεύθυνσης α y = x : Παριστάνει την διχοτόμο της 1 ης γωνίας (α=1, ω=45 0 ) y = -x : Παριστάνει την διχοτόμο της ης γωνίας (α=-1, ω=135 0 ) y= β : Παριστάνει ευθεία παράλληλη στον χ χ που διέρχεται από το σημείο (0,β) του άξονα y y (α=0, ω=0 0 ) y y=αx y y=x χ χ χ 45 0 βχ ε ε y y y=-x y y y=β 0 135 χ (0,β) χ χ ε ε y y -β/α α=0 y=αx+β α>0 ω 45 y=αx α=εφω α<0 ω y=x άτιτλο χ άτιτλο y α= Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 και ε με εξισώσεις y = α 1 x + β 1 και y = α x + β αντιστοίχως και ε ας ε υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες ω 1 και ω αντιστοίχως. ε y Αν α 1 = α, τότε εφω 1 = εφω, οπότε ω 1 = ω και άρα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Ειδικότερα : Αν α 1 = α και β 1 β, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Σχ. α'), ενώ Αν α 1 = α και β 1 = β, τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Αν α 1 α, τότε εφω 1 εφω, οπότε ω 1 ω και άρα οι ευθείες ε 1 και ε τέμνονται. (Σχ. β') α>0 χ χ y χ χ y y χ y yy=αx y y= 45 α< ε ω χ ω ω α=εφω y χ y y ε y 40

Η γραφική παράσταση της f(x)= x x, x 0 H f(x)= x = x, x 0 τις ημιευθείες άρα έχουμε y=x, x 0 και y=-x,x 0 41