Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Απαρίθμηση Καταμέτρηση και πληθικότητα συνόλου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών
απαρίθμηση: n σαν ορισμός: απαρίθμηση είναι η δραστηριότητα η οποία περιλαμβάνει την απαγγελία μιας σειράς αριθμολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να συνδέεται με μια αριθμητική μονάδα (Steffe & Cobb, 1988) περιλαμβάνει: n την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική σειρά (ένα, δύο, τρία,...) n την ικανότητα αναγνώρισης ενός πλήθους διακριτών μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων n την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμητική μονάδα
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών απαρίθμηση Μια πλήρης κατανόηση της καταμέτρησης απαιτεί τη γνώση του συμβολικού συστήματος, δυνατότητα διαχείρισης ενός πολύπλοκου συνόλου διαδικασιών που απαιτεί υπόδειξη των αντικειμένων και χαρακτηρισμό τους με τα σύμβολα, και η κατανόηση ότι ορισμένες πτυχές της καταμέτρηση είναι απλώς προϊόν σύμβασης, ενώ οι άλλες βρίσκονται στην καρδιά της μαθηματικής αναγκαιότητας. (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001, p. 159) 3
κάποιες επισημάνσεις για την απαρίθμηση Η απαρίθμηση περιλαμβάνει την απαγγελία μιας σειράς αριθμών, εφαρμόζοντας την σε μία σειρά διακριτών αντικειμένων σε σχέση ένα προς ένα, και την εννοιολόγηση ότι ένα σύμβολο μπορεί να αναπαραστήσει μια ποσότητα σχέση ένα προς ένα: αντιστοίχιση μίας και μόνο μίας λέξης σε κάθε ένα πράγμα Κατά τις πρώτες εμπειρίες των παιδιών με την απαρίθμηση, τα παιδιά δεν καταλαβαίνουν άμεσα τη σύνδεση ανάμεσα στην ποσότητα και στο όνομα του αριθμού (αριθμολέξη) και του συμβόλου που τον αναπαριστά. Η απαρίθμηση είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο που συνδέεται άμεσα με την μελλοντική ανάπτυξη της εννοιολογικής κατανόησης της ποσότητας, της αξίας θέσης, των πράξεων, και της δομής του συνόλου των (φυσικών) αριθμών. Για «Καταμέτρηση» μιλάμε όταν όταν η διαδικασία της απαρίθμησης έχει ακολουθηθεί με ακρίβεια για να καταλήξει στην εύρεση του πλήθους μιας συλλογής 4
Απαρίθμηση: σαν ορισμός n n Απαρίθμηση είναι μία δραστηριότητα, που αν εφαρμοστεί σωστά και ολοκληρωμένα, θα καταλήξει στην εύρεσης του πλήθους των διακριτών στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου αντικειμένων. n Είναι η δραστηριότητα που πρέπει να γίνει για να απαντήσουμε στην ερώτηση «πόσα; (είναι αυτά;)» Ο παραδοσιακός τρόπος απαρίθμησης συνίσταται στη συνεχή αύξηση ενός (νοητού ή ομιλούμενου) μετρητή (π.χ αριθμολέξεις) κατά μία μονάδα για κάθε στοιχείο του συνόλου, με κάποια προκαθορισμένη σειρά, που συνοδεύεται με τη σήμανση (ή την μετατόπιση) αυτών των στοιχείων για να αποφευχθεί η επίσκεψη στο ίδιο στοιχείο περισσότερες από μία φορές, ενώ τα στοιχεία στα οποία δεν αποδόθηκε αριθμολέξη είναι ακόμη μηαριθμημένα. Εάν ο μετρητής έχει ξεκινήσει από το ένα το οποίο αποδόθηκε στο πρώτο αντικείμενο, τότε, η τιμή μετά την επίσκεψη στο τελευταίο αντικείμενο δίνει τον επιθυμητό πλήθος των στοιχείων. n Η μη-παραδοσιακή απαρίθμηση ενέχει απαρίθμηση π.χ., ανά δύο: 2-4- 6-8 5
Επισημάνσεις για την ορολογία Αριθμητική Ακολουθία Η απαγγελία της σειρά των αριθμολέξεων Απαρίθμηση Η απαγγελία της σειρά των αριθμολέξεων σε αντιστοιχία ένα προς ένα με τα διακριτά αντικείμενα μιας συλλογής Καταμέτρηση Η σύνδεση της απαρίθμησης με την πληθικότητα, δηλαδή όταν η απαρίθμηση γίνεται για να δηλώσει το πλήθος μιας συλλογής 6
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Απαρίθμηση/καταμέτρηση counting
σύμφωνα με τον Piaget n H κατανόηση του φυσικού αριθμού προϋποθέτει την ανάπτυξη της λογικής σκέψης δηλ. τα παιδιά θα πρέπει να μπορούν να επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες που αφορούν q συμπερίληψη σε ομάδα κατανόηση μέρους/όλου q n υπάρχουν περισσότερα κόκκινα τριαντάφυλλα ή τριαντάφυλλα; διατήρηση του αριθμού n αν αλλάξουμε την έκταση του αριθμού αλλάζει και το πλήθος του, n αντιστρεψιμότητα n κάποιες ενέργειες αν αντιστραφούν επαναφέρουν την αρχική συνθήκη: n Αυτό δεν επιτυγχάνεται πριν το στάδιο των συγκεκριμένων λογικών ενεργειών, 5/6-12 ετών
λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget n αν τα παιδιά δεν διατηρούν τον αριθμό δεν μπορούν να κατανοήσουν την έννοια του απόλυτου αριθμού n δηλ. ότι 6 σημαίνει 6 πορτοκάλια ή 6 αυτοκίνητα n μόνο αν τα παιδιά κατανοήσουν ότι ο αριθμός διατηρείται, εκτός αν κάτι αφαιρεθεί η προστεθεί στο σύνολο, θα μπορούν να κατανοήσουν τον απόλυτο αριθμό
λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget για να κατανοήσουν την πρόσθεση και αφαίρεση τα παιδιά θα πρέπει να έχουν κατακτήσει επιμέρους λογικούς κανόνες όπως: 5+2-2=5 4+3=3+4 Οι πολλαπλασιατικές σχέσεις είναι πιο δύσκολες δύο εργάτες που δούλεψαν ο ένας 3 ώρες κι ο άλλος 5 πρέπει να μοιραστούν 24 ευρώ. οι σχέσεις αυτές απαιτούν λειτουργίες δευτέρου επιπέδου που τα παιδιά μπορούν να κάνουν μετά τα 11 χρόνια
άλλες λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget αρχή της μεταβατικότητας αν α>β και β>γ τότε α>γ αν α=β και β=γ τότε α=γ αλλιώς οι αριθμοί 1, 2, 3,... μπορούν να παπαγαλίζονται χωρίς να υπάρχει νόημα στο ότι το 3 είναι μετά το 2 η μέτρηση γίνεται στη βάση της αρχής της μεταβατικότητας αν β είναι το 1m, τότε μπορούμε να πούμε ότι α=γ=1m μόνο αν έχουμε κατακτήσει αυτή τη λογική αρχή Για το λόγο αυτό και η μέτρηση δεν μπορεί να διδαχθεί πριν τα 6 χρόνια
κριτική στη θεωρία του Piaget n νεότερες προσεγγίσεις υποστήριξαν ότι η θεωρία του Piaget: q q q υποτιμά τις ικανότητες των μικρών παιδιών η αποτυχία στις δραστηριότητες της διατήρησης και της συμπερίληψης οφείλεται σε άλλους, μεθοδολογικούς λόγους κυρίως, n π.χ., παρερμηνεία των οδηγιών (βλ. Donaldson, 1978, Gelman, Gallistel, 1978) οι μαθητές ήδη από την προσχολική ηλικία μπορούν να απαριθμούν, χωρίς να επιτυγχάνουν στις δοκιμασίες του Piaget η ικανότητα των μαθητών να απαριθμούν είναι ένα εργαλείο που μπορεί ακόμα και να βοηθήσει τα παιδιά να πετύχουν στις δοκιμασίες του Piaget
οι τρέχουσες αντιλήψεις η απαρίθμηση: παίζει καθοριστικό ρόλο στην οικοδόμηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού αποτελεί τη βάση στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από την απαρίθμηση θα κατανοήσει το παιδί ότι π.χ., το 7: είναι μια αριθμητική αυτόνομη οντότητα που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου (πληθικότητα) ταυτόχρονα αποτελείται από (7) επιμέρους μονάδες (μετρικότητα του αριθμού) είναι μετά το 6, και πριν το 8 (διατακτικότητα του αριθμού) και κάπως έτσι θα οικοδομηθούν και οι πράξεις πρόσθεση- αφαίρεση ως σύνθεση-ανάλυση του αριθμού
διαδικασίες & έννοιες Piaget Οι διαδικασίες, όπως η απαρίθμηση, γίνονται σαν παπαγαλία επειδή δεν έχουν αναπτυχθεί λογικά μέσα από την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τον Piaget οι διαδικασίες δεν επηρεάζουν απαραίτητα την εννοιολογική κατασκευή των εννοιών. Gelman Η διαδικασία της απαρίθμησης βασίζεται σε εννοιολογικές αρχές όπως αυτές της απαρίθμησης αλλα και υποβοηθούν την περαιτέρω εννοιολογική κατανόηση των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών. Έτσι υπάρχει διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε διαδικασίες και έννοιες. Vygotsky Η εμπλοκή με τις διαδικασίες μέσα από την αλληλεπίδραση με την κοινότητα, σε ένα πολιτισμικό περιβάλλον γεμάτο από πολιτισμικά εργαλεία, θα αποτελέσουν την προϋπόθεση για ανάπτυξη εννοιών. 14
Διαφορά Διατήρησης/Απαρίθμησης Η προσέγγιση του Piaget που επενδύει στη διατήρηση του αριθμού ως διαδικασία θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού εστιάζει στην πληθικότητα του αριθμού. Η προσέγγιση που επενδύει στην απαρίθμηση/καταμέτρηση ως διαδικασία που θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού εστιάζει στη διατακτικότητα του αριθμού Το σύγχρονο Νηπιαγωγείο επενδύει στην απαρίθμηση/καταμέτρηση
σημασία της απαρίθμησης έστω κι αν η ύπαρξη δεξιοτήτων απαρίθμησης δεν σημαίνει απαραίτητα και πλήρη κατανόησης της διαδικασίας ως ένα χρήσιμο εργαλείο για την κατανόηση και χρήση του αριθμού (βλ. καταμέτρηση) παρόλα αυτά μπορούμε να καλλιεργήσουμε στα παιδιά τη χρήση της ως εργαλείο σιγά σιγά θα κατανοήσουν ότι μπορούν να τη χρησιμοποιούν για να βγάζουν συμπεράσματα όσον αφορά το πλήθος και τον ίδιο τον αριθμό Αρκεί να χρησιμοποιηθεί σε ποικιλία καταστάσεων και να τονίζεται το νόημα της διαδικασίας
τι υπάρχει πριν την απαρίθμηση; τι κάνουν τα παιδιά πριν μάθουν να απαριθμούν; κατανοούν την πληθικότητα ενός συνόλου; πληθικότητα: το απόλυτο αριθμητικό μέγεθος η κοινή ιδιότητα του αριθμού που έχουν διάφορα σύνολα (π.χ., τα 2 πόδια με τα 2 χέρια) καταλαβαίνουν τα παιδιά τις διαφορές δύο συνόλων ως προς το πλήθος; καταλαβαίνουν αλλαγές στο πλήθος κάνουν προσθέσεις; Ναι...αλλά μόνο για 1 έως 3 αντικείμενα
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών άμεση εκτίμηση subitizing
Subitizing: η άμεση εκτίμηση n n n Έρευνες έδειξαν ότι οι άνθρωποι από πολύ μικροί είναι ικανοί να εκτιμήσουν αστραπιαία την ποσότητα αντικειμένων που είναι λιγότερα από τέσσερα ενώ χρειάζεται περισσότερο χρόνο για τέσσερα και πάνω αντικείμενα. Η ικανότητα αυτή του ανθρώπου ονομάστηκε subitizing, από το λατινικό 'subitus', που σημαίνει 'άμεσα'. q αποτελεί βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση καθώς εκεί ενυπάρχει η ικανότητα αναγνώρισης αριθμήσιμων μονάδων κάποιοι λένε ότι είναι γρήγορη απαρίθμηση, π.χ., Clements, 1999 βλ. Kaufman, Lord, Reese, & Volkman, 1949; Klein & Starkey, 1988
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών τι γίνεται για αντικείμενα περισσότερα από 3; απαρίθμηση
Αρχές της απαρίθμησης
η ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση n Κάποιοι υποστηρίζουν ότι τα παιδιά μαθαίνουν γρήγορα να καταμετρούν (σε ηλικία 3 ή 4 χρόνων) γιατί έχουν μια μη-συνειδητή γνώση των αρχών της απαρίθμησης πάνω στις οποίες οργανώνεται η κατανόηση της μέτρησης ως τρόπο αναγνώρισης της πληθικότητας ενός συνόλου (π.χ., Gelman): Αρχές της απαρίθμησης: q Την αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία αριθμολέξη σε κάθε αντικείμενο q Την αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά q Την αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται, τονίζεται, γιατί ορίζει το πλήθος του συνόλου q Την αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά απαρίθμησης δεν έχει σημασία q Την αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Gelman & Gallistel, 1978
που στηρίζεται η υπόθεση της ύπαρξης αρχών απαρίθμησης; n n n n n Τα παιδιά κάνουν λάθος στο μέτρημα αλλά αποδίδουν έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο q μπορούν να παραβλέψουν ένα ή να μετρήσουν το ίδιο δύο φορές αρχή της ένα προς ένα Λένε πάντα αριθμούς με μία σταθερή σειρά ακόμα και αν χρησιμοποιούν μια ιδιοσυγκρασιακή σειρά και όχι τη συμβατική (1, 2, 3,...) q π.χ., 1, 3, 6...1, 3, 6 αρχή της σταθερής σειράς Λένε τον τελευταίο αριθμό με εξαιρετική έμφαση αρχή της πληθικότητας Μπορεί και να αρχίσουν από τη μέση αλλά ολοκληρώνουν τη μέτρηση της ανεξαρτησίας της σειράς Μετρούν χρώματα, ήχους, κτλ. με τον ίδιο τρόπο αρχή της αφαίρεσης Οι αρχές τηρούντα αλλά κάποια λάθη εμφανίζονται λόγο δυσκολιών να συνδυαστούν σωστά οι αρχές ειδικά για μεγαλύτερα σύνολα και σε πιο πολύπλοκες καταστάσεις Gelman & Gallistel, 1978
το σύνολο των αρχών της απαρίθμηση q q και (κάποιες ακόμα) Η κίνηση είναι ποσότητα: αν πάμε κατά ένα (ή άλλον αριθμό) επάνω αυτό σημαίνει αύξηση της ποσότητας κατά ένα (ή άλλον αριθμό) και αν κινηθούμε κάποιους προς τα κάτω, αυτό σημαίνει μείωση της ποσότητας των αντικειμένων ομαδοποίηση σε δεκάδες: στο δεκαδικό σύστημα οι αριθμοί ομαδοποιούνται σε δεκάδες που συμβολίζονται με ένα ακόμα ψηφίο αριστερά του μονοψήφιου αριθμού (στη θέση της δεκάδας) και αντίστοιχα σε δεκάδες των δεκάδων (εκατοντάδες) κτλ. q π.χ., στην απαρίθμηση ανά 10 (13, 23, 33,...) η ποσότητα αυξάνει κατά 10
συμπέρασμα από τα προηγούμενα n Τα παιδιά χρησιμοποιούν με συστηματικότητα τις αρχές της απαρίθμησης n Μπορούν να κρίνουν όταν μία κούκλα απαριθμεί άλλοτε σωστά κι άλλοτε λάθος και επισημαίνουν αν παραβίασε κάποια από τις αρχές n Ειδικά σε ολιγομελή σύνολα σε μεγαλύτερο πλήθος μπερδεύονται Gelman & Gallistel, 1978
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών οι αρχές της απαρίθμησης πιο αναλυτικά 26
αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας Τα παιδιά πρέπει να συγχρονίζουν δύο διαδικασίες: διαχωρισμός: διάκριση σε δύο κατηγορίες: αυτά που έχουν ήδη καταμετρηθεί και αυτά που μένουν να καταμετρηθούν επονομασία κάθε στοιχείο παίρνει ένα όνομα Στρατηγική: άγγιγμα, μετακίνηση, προσήλωση του βλέμματος Λάθη: λάθη στο διαχωρισμό: αντιστοίχιση του ίδιου όρου σε παραπάνω αντικείμενα, ή η υπερπήδηση ενός αντικειμένου λάθη μη-συντονισμού: συνεχίζουν την απαρίθμηση ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα ή να σταματούν την απαρίθμηση πριν τελειώσουν τα αντικείμενα
αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας 2 πως καταλβαίνουμε αν και πότε έχει γίνει κατανοητή η αρχή; αν τα παιδιά αυτόματα υιοθετήσουν μία στρατηγική με ορόσημα (από που ξεκίνησα να μετρώ) ή μια στρατηγική διαχωρισμού των μετρημένων από αυτά που μένουν να μετρηθούν, τότε σίγουρα έχουν κατανοήσει την ένα-προς-ένα αντιστοιχία η τυχαία διάταξη μπορεί να δώσει πιο σωστά δεδομένα για τη δυνατότητα απαρίθμησης ενός παιδιού (βλ. Fuson) δηλαδή βάζουμε τα παιδιά να μετρήσουν σύνολα που δεν είναι διατεταγμένα σε σειρά, αλλά είναι μπερδεμένα 28
αρχή της πληθικότητας Το να μπορείς να πεις τον αριθμό που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου Οι Gelman & Galistel υποστηρίζουν ότι εφόσον οι μαθητές δίνουν έμφαση στην τελευταία λέξη, έχουν κατανοήσει την αρχή της πληθικότητα 1 2 3 4 5 6... 6!! κουκκίδες H Fuson, 1988, υποστήριξε ότι αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι έχουν κατανοήσει την πληθικότητα καθώς τα παιδιά μπορεί να δώσουν έμφαση στην τελευταία λέξη αλλά να μην μπορούν να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα;». Μπορεί τα παιδιά να έχουν καταλάβει ότι πρέπει να καταλήγει η μέτρησή τους σε έμφαση της τελευταίας λέξης Στην ερώτηση «πόσα είναι;» τα παιδιά μπορεί να δίνουν μια μηχανική απάντηση που υποδηλώνει μια ημιτελής, διαδικαστική και μηχανική Αν αλλάξεις την ερώτηση «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» δεν μπορούν να το κάνουν
αρχή της πληθικότητας 2 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Κάνε την ερώτηση «πόσα;» αν επαναλάβει την τελευταία λέξη τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αρχή της πληθικότητας π.χ., το παιδί λέει «ένα, δύο, τρία, τέσσερα, είναι τέσσερα αν δεν την επαναλάβει, ξανακάνουμε την ερώτηση «πόσα;» αν ξαναμετρήσει τότε νομίζει ότι στο «πόσα» πρέπει να επαναλάβει τη διαδικασία και όχι να δώσει το αποτέλεσμα της προηγούμενης απαρίθμησης άλλαξε την ερώτηση και δες τι κάνουν: «δηλαδή πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Συνήθως αναπτύσσεται μέχρι την ηλικία των 4 1/2 (Fuson & Hall, 1983)
αρχή της πληθικότητας 3 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα για την πλήρη κατανόηση της πληθικότητας θα πρέπει και να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: παιδιά 3 1/2-4 1/2 μπορούν να κατασκευάσουν ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, με την ένα προς ένα αντιστοιχία (Sophian, 1992) χωρίς δοσμένο σύνολο τα παιδιά φτιάχνουν το ζητούμενο σύνολο κάνοντας χρήση διαφόρων στρατηγικών όπως της άμεσης εκτίμησης (για 1-3 αντικείμενα) ή της απαρίθμησης
αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς H κατανόηση ότι δεν έχει σημασία ποια λέξη αποδίδεται σε ποιο αντικείμενο Aποτελεί άμεση αναγνώριση των τριών άλλων αρχών της απαρίθμησης Πως γίνεται να καταλάβουμε αν κάποιος έχει κατανοήσει την αρχή της ανεξαρτησίας της σειρά; με μέτρηση με συνθήκες Μέτρηση με συνθήκες: Mετά τα 5 έτη τα παιδιά συνήθως μπορούν να «απαριθμούν με συνθήκες» (βλ. Λεμονίδης, 1999) π.χ να ξεκινάει από διαφορετικό αντικείμενο, ή με διαφορετική λέξη στο ίδιο αντικείμενο Ακόμα κι αν μπορούν να απαριθμούν με διαφορετικές διαδοχές δεν είναι πάντα ικανά να προβλέψουν το πλήθος του συνόλου άρα δεν έχουν καταλάβει ότι η διαφορετική σειρά θα επιφέρει το ίδιο συμπέρασμα π.χ., δεν μπορούν να απαντήσουν πόσα θα βρουν πριν επαναλάβουν τη μέτρηση
αρχή της αφαίρεσης Αφορά το τι είναι απαριθμήσιμο Φαίνεται πως τα παιδιά αντιλαμβάνονται ακόμα και αφηρημένες ιδιότητες ως πράγματα και τα καταμετρούν Gelman & Gallistel Έτσι, μπορούν να μετρούν χρώματα, ήχους, κινήσεις, νοητικά αντικείμενα όπως το κάνουν για τα αντικείμενα.
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών παραβίαση των αρχών της απαρίθμησης 34
άλλοι ερευνητές βρίσκουν λάθη Συνηθισμένα λάθη στα μικρά παιδιά (μέχρι 3.5 ετών) είναι ότι: χρησιμοποιούν την ίδια αριθμολέξη για περισσότερα από ένα αντικείμενα περισσότερες αριθμολέξεις για λιγότερα αντικείμενα παραλείπουν κάποιο αντικείμενο σταματούν την αρίθμηση πριν την εφαρμόσουν σε όλα τα αντικείμενα συνεχίζουν την απαγγελία αριθμολέξεων ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα Τα παραπάνω δείχνουν μια ασταθή γνώση των αρχών της απαρίθμησης (βλ. π.χ., Nunes & Bryant, 2007)
Για την αρχή της αφαίρεσης Δεν απαριθμούν όλα τα παιδιά όλα τα σύνολα με τον ίδιο τρόπο. Σε πείραμα φάνηκε ότι τα μικρότερα παιδιά μετρούσαν 5 εικόνες από πιρούνια που το τελευταία ήταν κομμένο άλλα φαινόταν ξεκάθαρα ότι είναι ένα πιρούνι, άλλα τα μετρούσαν σαν έξι, ή το τελευταίο δεν το μετρούσαν καν. Ακόμα κι όταν τους είπαν ότι τα δυο κομμάτια κάνουν ένα πιρούνι και πάλι δεν τα μετρούσαν καθόλου ή τα μετρούσαν σαν δυο. Επίσης ρωτήθηκαν παιδιά ποσά είδη παιχνιδιών υπάρχουν, ενώ τους είχαν δώσει συλλογή από διπλά και τριπλά παιχνίδια και μόνο τα παιδιά από πέντε και πάνω μπορούσαν να μετρήσουν τις κατηγορίες παιχνιδιών. Τα μικρότερα παιδιά μετρούσαν μόνο ένα ένα όλα τα παιχνίδια. Shipley & Shepperson (1990). 36
Αρχές ή δεξιότητες; Άλλη μια διχογνωμία: Οι μηχανισμοί της απαρίθμησης (οι δεξιότητες) είναι σύνθετοι και στηρίζονται, καθοδηγούνται και ελέγχονται από τις αρχές απαρίθμησης που υπάρχουν εκ των προτέρων Gelman & Gallistel Τα παιδιά αρχικά κάνουν απαρίθμηση μηχανικά, διαδικαστικά, με απομίμηση και διαρκείς δοκιμές και λάθη χωρίς απαραίτητα να έχουν κατακτήσει τις αρχές της απαρίθμησης αυτές χτίζονται εκ των υστέρων από τη διόρθωση και την εξάσκηση Siegler (1984)
κριτική στη Gelman παιδιά απαριθμούν ως μια ρυθμική διαδικασία που αρχίζει και τελειώνει όταν η σειρά με τα αντικείμενα τελειώνει αν τα αντικείμενα δεν είναι σε σειρά, τα παιδιά κάνουν λάθη και δεν τηρούν τις αρχές της απαρίθμησης ειδικά της ένα-προς-ένα αντιστοιχίας μετρούν ξανά το ίδιο αντικείμενο ή δεν μετρούν κάποια αντικείμενα
απαρίθμηση ως δεξιότητα τα παιδιά συχνά μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει ότι η απαρίθμηση είναι ένα εργαλείο που μπορεί να χρησιμεύσει στη σύγκριση συνόλων, ή στις πράξεις, ή στη δημιουργία ίσων συνόλων π.χ., παιδιά που απαριθμούν σωστά δεν μπορούν να φτιάξουν ένα σύνολο, π.χ., με 5 αντικείμενα, αν δεν υπάρχει ένα δοσμένο τέτοιο που θα μπορούσαν να αντιγράψουν παιδιά ενώ έχουν καταμετρήσει δύο σύνολα και βρήκαν το ίδιο πλήθος παρόλα αυτά δεν μπορούν να απαντήσουν αν είναι ίσα και ξανά-απαριθμούν παιδιά που ξέρουν να απαριθμούν σωστά μπερδεύονται με έργα όπως τα έργα διατήρησης και λένε ότι μια πιο αραιή σειρά έχει περισσότερα αντικείμενα (βλ. έργα διατήρησης Piaget)
απαρίθμηση ως δεξιότητα παράδειγμα σε ένα πείραμα οι Frydman & Bryant (1988) ζήτησαν από παιδιά 4 ετών να μοιράσουν σε δύο κούκλες ένα σύνολο από ζαχαρωτά. ξεκίνησε μία διαδικασία «ένα για μένα ένα για σένα» κι αφού ολοκληρώθηκε ο ερευνητής απαρίθμησε δυνατά το σύνολο της μίας κούκλας και ρώτησε πόσα έχει η άλλη πολλά παιδιά δεν μπορούσαν να συνάγουν το αριθμό με τη λογική και έπρεπε να απαριθμήσουν το πλήθος και της δεύτερης κούκλας Συμπέρασμα: δεν είναι κατανοητή η εργαλειακή σχέση της ένα προς ένα αντίστοιχισης
Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών να κάνουμε απαρίθμηση στο νηπιαγωγείο; 41
η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο τα παιδιά ενώ αρχικά δεν κατανοούν τη σταθερότητα της σειράς των αριθμών γρήγορα την αναπτύσσουν δυσκολεύονται να κατανοήσουν ότι μπορούν να απαριθμήσουν διαφορετικά σύνολα που όμως να είναι ισόποσα, π.χ., εκπλήσσονται όταν 5 μπορεί να είναι τα 5 μολύβια και τα 5 πουλιά, κι ότι 5 μπορεί είναι τα 2 μολύβια και τα 3 στυλό αν απαριθμείς τα πράγματα στην κασετίνα. Δεν δυσκολεύονται να κατακτήσουν την ένα προς ένα αντιστοιχία ειδικά για μικρές ποσότητες και τη σημασία της στη δημιουργία ισόποσων συνόλων Δυσκολεύονται να καταλάβουν ότι κάθε αντικείμενο που καταμετρήθηκε απέκτησε έναν αριθμό-ταμπέλα 42
αριθμός και ισότητα οι σχέσεις ισότητας μας επιτρέπουν να βγάλουμε συμπεράσματα για το πλήθος των συνόλων. αν έχουμε 10 καραμέλες και 10 παιδιά μπορούμε να πούμε ότι καθένα από τα παιδιά θα πάρει καραμέλα, ενώ αν είχαμε 8 καραμέλες για 10 παιδιά θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι καραμέλες δε φτάνουν για να πάρουν όλα τα παιδιά. το παραπάνω δεν είναι μια απλή σχέση ισότητας αλλά ενέχει σύγκριση ίσων ποσοτήτων με συγκεκριμένες αριθμητικές αξίες η έρευνα δείχνει ότι τα παιδιά τα καταφέρνουν σε τέτοια έργα από πολύ μικρά (Sophian, 1988) 43
αριθμός και ισότητα Σε έρευνές της η Sophian (1988) εξέτασε την κατανόηση των μικρών παιδιών για σχέση ισότητας/ανισότητας ανάμεσα σε αριθμητικές αξίες κάποιες φορές είπε στα παιδιά το πλήθος δύο συνόλων και τα ρώτησε αν μπορούν να μπούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία άλλες φορές τα σύνολα δόθηκαν σε ένα προς ένα αντιστοιχία, είπε στα παιδιά ποιο είναι το πλήθος του ενός συνόλου, και τα ρώτησε αν μπορούν να πουν πόσα είναι στο άλλο συνόλο (το ένα σύνολο κρύβονταν κάτω από ένα κουτί για να μην βασιστούν σε αντιληπτικές στρατηγικές) τα παιδιά 3ων και 4ων ετών τα πήγαν πολύ καλά στα έργα αυτά: λέγαν σωστά το πλήθος του άλλου συνόλου που ήταν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με ένα πρώτο σύνολο του οποίου το πλήθος γνώριζαν, και έλεγαν ότι το ένα σύνολο έχει διαφορετικό πλήθος από το άλλο όταν δεν ήταν μπορούσαν να μπουν σε πλήρη ένα προς ένα αντιστοιχία Συμπέρασμα: φαίνεται άρα να μπορούν να κάνουν σωστούς συλλογισμούς με σχέσεις ισότητας ανάμεσα σε πλήθη και σε αριθμητικές αξίες όταν είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία 44
σχέση με απαρίθμηση Πείραμα με το αρκουδάκι που μετράει: Μετράει μεγάλα άλογα και μικρά αλογάκια για να απαντήσει σε δυο ερωτήσεις: "αν για κάθε μεγάλο άλογο αντιστοιχεί ένα μικρό αλογάκι" και "ποσά είναι όλα τα άλογα" τα μικρά παιδιά, προσχολικής ηλικίας δεν μπορούσαν να πουν ότι σωστή είναι η απαρίθμηση όλων στη δεύτερη περίπτωση ενώ στην πρώτη καλύτερα το αρκουδάκι να μετρήσει κάθε σύνολο χωριστά, μπορούσαν όμως να πουν ότι στην ερώτηση πόσα είναι θα πρέπει να τα μετρήσουμε όλα. 45
αριθμός και ισότητα Όταν παιδιά ίδιας ηλικίας ρωτήθηκαν σε αντίστοιχα έργα να απαριθμήσουν το ένα σύνολο που ήταν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με ένα άλλο και βγάλουν συμπέρασμα για το άλλο, αποτύγχαναν σε μεγάλο βαθμό επίσης δεν βασίζονταν στην απαρίθμηση για την έκφραση συμπερασμάτων αλλά στη διάταξή τους, κάνοντας λάθη διατήρησης αυτή η τάση άλλαζε μεγαλώνοντας, όπου τα παιδιά εγκαταλείπουν τις στρατηγικές που βασίζονται στην σειρά και τη διάταξη και εμπιστεύονται την απαρίθμηση ως πιο σωστό εργαλείο για την έκφραση σωστών συμπερασμάτων για την ισότητα/ανισότητα δύο συνόλων (βλ. Sophian, 1989; Bryant, 1972) 46
συμπέρασμα τα μικρά παιδιά αρχικά μπορούν και κάνουν συλλογισμούς βασισμένα στην ένα προς ένα αντιστοιχία μετά κάνουν συλλογισμούς με την ένα προς ένα αβτιστοιχία συνδυάζοντας και πληροφορίες για το πλήθος μετά συνδέουν την ένα προς ένα αντιστοιχία με την απαρίθμηση σιγά σιγά εμπιστεύονται την απαρίθμηση ως εργαλείο και εγκαταλείπουν την ένα προς ένα αντιστοιχία Συμπεράσμα: διδακτικά χρησιμοποιούμε την ένα προς ένα αντιστοιχία ως βάση σε δραστηριότητες ώστε να εισάγουμε συλλογισμούς και απαρίθμηση 47
πρακτικές συμβουλές και οδηγίες για τη διδασκαλία της απαρίθμησης στο νηπιαγωγείο
σημασία της σύνδεσης των αριθμολέξεων με αντικείμενα γιατί αλλιώς η σειρά των αριθμών μπορεί να είναι μια απλή παπαγαλία σαν τραγουδάκι 49
η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο τα μικρά παιδιά θεωρούν ότι αν μετρήσεις γρήγορα ή αργά έχει επίπτωση στην πληθικότητα κι ότι δισύλλαβες αριθμολέξεις αντιστοιχούν σε περισσότερα αντικείμενα, π.χ., sev-en represents two items; μόνο αργότερα κατακτούν την αρχή της πληθικότητας και την αρχή της αφαίρεσης (αν ρωτήσεις πόσα; δεν αισθάνονται την ανάγκη να ξαναμετρήσουν και ξέρουν ότι ο τελευταίος αριθμός δηλώνει ο πλήθος του συνόλου έχουν δυσκολία να απαριθμήσουν μεγάλα σύνολα γιατί είναι περιορισμένες οι στρατηγικές τους να ξεχωρίζουν τα αντικείμενα που έχουν ήδη καταμετρηθεί από τα άλλα και ταυτόχρονα να διατηρούν τη σταθερή σειρά της απαρίθμησης 50
κάποιες επισημάνσεις Οι μαθητές αρχικά καταμετρούν δείχνοντας ή μετακινώντας τα αντικείμενα Πιο εύκολα μετρούν τρισδιάστατα αντικείμενα και μετά δισδιάστατα Υπάρχει μεγαλύτερη δυσκολία στην απαρίθμηση συνόλου σε τυχαία διάταξη από την απαρίθμηση συνόλου με συγκεκριμένη δομή Πιο εύκολη είναι η διάταξη σε γραμμή Πιο δύσκολη είναι η διάταξη σε κύκλο Δεν υπάρχει κανείς λόγος να το κάνουμε πιο δύσκολο για τους μαθητές που δεν τα καταφέρνουν Άρα: μέχρι να κατανοήσουν τις αρχές της απαρίθμησης καλό είναι: Χρήση δαχτύλων και απόδοσή τους αριθμούς Να γίνεται διαρκώς η σύνδεση ανάμεσα στην αύξηση του αριθμού που σημαίνει αύξηση του πλήθους Να χρησιμοποιούνται αντικείμενα χειροπιαστά που να μετακινούνται. Αρχικά τρισδιάστατα και αργότεραδισδιάστατα Σύνολα με συγκεκριμένη και καθαρή διάταξη με διάκριτότητα στο χώρο
κατανόηση της σειράς των αριθμολέξεων Χρησιμοποιείστε τα δάκτυλα σαν εξωτερικά αντικείμενα προς απαρίθμηση. Δείξτε το διαχωρισμός σε μετρημένα (κλειστά) δάχτυλα και μη-μετρημένα (ανοιχτά) Ομαδοποίηση της πεντάδας: το ένα χέρι είναι 5 χωρίς να τα μετράω και μετρά από κει και πάνω χέρι και 3 =8, χέρι + χέρι = 10 52
διδακτικές πρακτικές Εργασία απαρίθμησης διαφόρων συνόλων αντικειμένων δυνατά και καθαρά σημασία της οικειοποίησης του μαθηματικού λόγου ως διαδικασία ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών (βλ. Sfard) σημασία της συμμετοχής του σώματος Ατομικές και ομαδικές δραστηριότητες απαρίθμησης χρήση ιστοριών/λογοτεχνία για εφόρμηση Μέτρηση ήχων π.χ., κέρματα που πέφτουν ένα σε τενεκεδάκι Βιωματικές δραστηριότητες: φτιάξτε δύο ομάδες με ίδιο αριθμό μαθητών - μετρήστε αν είναι ίδιοι μπείτε σε μία ομάδα και ξαναμετρήστε - βγάλτε δύο παιδιά και ξαναμετρήστε Παιχνίδια: ντόμινο, ζάρι, γκρινιάρης sesame street
η κατάκτηση της απαρίθμησης ως εργαλείο Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Τρεις τρόποι: πες μου πόσα είναι φτιάξε σύνολο με ν αντικείμενα φτιάξε ίσοπληθές σύνολο: χρήση της απαρίθμησης για να φτιαχτεί ένα σύνολο ίδιο με ένα άλλο δοσμένο σύνολο
κατανόηση της αρχής της ανεξαρτησίας της σειράς Βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν ένα σύνολο αντικειμένων για να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα είναι;» Μπερδέψτε τα αντικείμενα αλλάξτε τη διάταξή τους και ξαναρωτήστε «πόσα είναι;» ή ξεκινήστε την αρίθμηση από άλλο αντικείμενο Αν ξανά-καταμετρήσουν σημαίνει ότι δεν έχουν κατανοήσει την αρχή της διαφορετικής διάταξης Ζητήστε τους να εκτιμήσουν «πόσα είναι;» αν τα ξαναμετρήσουμε ξεκινώντας από άλλο αντικείμενο κάθε φορά Κουβεντιάστε γιατί ο αριθμός βγαίνει πάντα ίδιος απαρίθμηση αρχικά αντικειμένων κι ύστερα κατηγορίες αντικειμένων
κατανόηση της αρχή της αφαίρεσης Δώστε στους μαθητές να απαριθμήσουν σύνολα με ίδιο πλήθος στοιχείων αλλά διαφορετικά σε επιφανειακά χαρακτηριστικά της μορφής: πιο μεγάλα αντικείμενα πιο μικρά ήχους, χρώματα, κινήσεις να μετρήσουν νοητικά αντικείμενα (π.χ., τα παράθυρα του σπιτιού τους, τους μαρκαδόρους στην κασετίνα τους) κάντε μια κουβέντα για τις ομοιότητες και τις διαφορές «σας φάνηκε περίεργο που ο αριθμός είναι ίδιος για τόσο διαφορετικά πράγματα;» σκεφτείτε πράγματα που έχουν ίδιο αριθμό αλλά είναι διαφορετικά π.χ., έχω 5 δάχτυλα, 5 μολύβια, στην οικογένειά μου είμαστε 5, έχω 5 διαφορετικά καπέλα
κατανόηση της αρχής της πληθικότητας Δώσε σύνολα αντικειμένων Κάνε την ερώτηση «πόσα είναι;» θα πρέπει να επαναλαμβάνουν την τελευταία λέξη χωρίς να επαναλαμβάνουν την απαρίθμηση Άλλαξε την ερώτηση: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα Κρύψτε έναν αριθμό αντικειμένων (π.χ., 4 αντικείμενα) και συνεχίστε την απαρίθμηση από τον κρυμμένο αριθμό Ζητείστε να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: αρχικά ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, στη συνέχεια χωρίς δοσμένο σύνολο εργασίες: εποχιακές συλλογές αντικειμένων με ίδιο πλήθος (φύλλα, χελιδόνια, κόκκινα αυγά, ψάρια)
...προς το τέλος n n n χρησιμοποιείστε το αριθμητήριο εισάγετε το μοντέλο της αριθμογραμμής που θα χρησιμοποιηθεί αργότερα για πράξεις και περαιτέρω ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν τις χαράξεις μιας αριθμογραμμής q q σε πυκνή χάραξη σε αραιή χάραξη
...προς το τέλος n Εισάγετε στις αριθμητικές πράξεις υπό μέσα από την απαρίθμηση q Μετρήστε 6 αντικείμενα q Μετρήστε 3+3 αντικείμενα q Μετρήστε 2+4 αντικείμενα 4+2 1+5
τι καταφέραμε; Θεμελιώσαμε την έννοια του αριθμού με βάση τις αρχές και τις δεξιότητες της απαρίθμησης n τις αριθμολέξεις (ένας αριθμός μία λέξη) n την διακριτότητα των αντικειμένων και των αριθμών που τα χαρακτηρίζουν n τις σχέσεις των αριθμών (επόμενος προηγούμενος) n πράξεις με αριθμούς (προσθέτω και μεγαλώνει) Θεμελιώθηκε ο αριθμός: n Στο επίπεδο των διαφόρων αντικειμένων και αναπαραστάσεων n Στο επίπεδο του λόγου (βλ. οικειοποίηση του μαθηματικού λόγου, Sfard, 2007) n Στο ενσώματο επίπεδο
βρείτε εκπαιδευτικό υλικό εδώ n http://www.sesamestreet.org/el n http://www.kidport.com n http://www.education.com n http://www.mathwire.com n https://www.teachingchannel.org/videos/min gle-count-a-game-of-number-sense