ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ

ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2

1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν. Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0 Αν ΑΒ ένα διάνυσμα, τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και συμβολίζεται με ΑΒ. Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός, δηλαδή ΑΒ 0. Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν. Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1, τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα. Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ λέγεται φορέας του ΑΒ. Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α. Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ που έχουν τον ίδιον φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα και τα συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση. Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ομόρροπα όταν : α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. ΑΒ ΓΔ Δηλαδή : ΑΒ = ΓΔ και ΑΒ = ΓΔ Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους. Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ τότε ισχύει ΑΜ = ΜΒ και αντιστρόφως. Αντίθετα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. ΑΒ ΓΔ Δηλαδή : ΑΒ = ΓΔ και ΑΒ = ΓΔ Ειδικότερα έχουμε ΑΒ = ΒΑ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων, αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο) Γωνία Δύο Διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α και ΟΒ = β. Την κυρτή γωνία ΑΟ Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και την συμβολίζουμε με α, β ή β, α Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α και β τότε ισχύουν : α) 0 θ π β) αν θ = 0 τότε α β γ) αν θ = π τότε α β δ) αν θ = π 2 τότε α β και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4

2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ = β. Το διάνυσμα ΟΒ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α και β και συμβολίζεται με α + β. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α και ΟΒ = β, τότε το άθροισμα α + β ορίζεται από την διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ. Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Αν α, β, γ τρία διανύσματα, τότε ισχύουν : α) α + β = β + α (Αντιμεταθετική Ιδιότητα ) β) α + β + γ = α + β + γ (Προσεταιριστική Ιδιότητα ) γ) α + 0 = α δ) α + ( α ) = 0 Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων Η διαφορά α β του διανύσματος β από το διάνυσμα α, ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α και β. Δηλαδή : α β = α + β Διάνυσμα Θέσης Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ. Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5

Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα της αρχής. Πράγματι : Έστω Ο σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ ισχύει : ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Άρα : ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Αν α, β δύο διανύσματα, τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει : α β α + β α + β Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α, β Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε : (ΟΑ) (ΑΒ) (ΟΒ) (ΟΑ) + (ΑΒ) α β α + β α + β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6

Ασκήσεις 1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΑΒ, ΑΓ β. ΑΒ, ΒΓ γ. ΒΔ, ΔΓ δ. ΒΓ, ΓΔ 2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΑΒ, ΑΓ β. ΔΒ, ΒΓ γ. ΑΔ, ΓΔ 3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΒΑ, ΒΓ β. ΑΒ, ΓΑ γ. ΒΓ, ΔΑ δ. ΒΑ, ΑΔ 4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : α. ΑΒ + ΓΔ + ΒΓ β. ΚΛ + ΜΝ + ΛΜ + ΝΠ γ. ΑΒ + ΔΑ + ΓΔ + ΒΓ δ. ΑΓ ΒΔ ΔΓ ε. ΚΛ ΝΜ + ΝΚ ΜΛ 5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 7. Αν Ρ 1 Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5 Ρ 6 ένα εξάγωνο, τότε να δείξετε ότι : Ρ 1 Ρ 3 + Ρ 2 Ρ 4 + Ρ 3 Ρ 5 + Ρ 4 Ρ 6 + Ρ 5 Ρ 1 + Ρ 6 Ρ 2 = 0 8. Αν ισχύει ΑΝ ΓΜ = ΜΒ + ΓΝ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ. 9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ + ΜΔ = ΑΒ ΔΓ. 10. Αν ισχύει ότι ΓΔ = ΒΕ + ΓΑ ΔΕ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ + ΒΟ = ΒΔ ΓΔ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7

12. Αν ισχύουν α = 3, β = 2, α + β 5. Να δείξετε ότι τα διανύσματα α και β είναι ομόρροπα. 13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α = 1, α + β = 4, β + γ = 8. Να βρείτε α. το β β. το γ γ. το α + γ 14. Έστω τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου. Αν ΟΑ = 6, ΟΒ = 4 να δείξετε ότι 2 ΑΒ 10. 15. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α + β + γ = 0 και α = β = γ 5 3 2. Να δείξετε ότι : α. α β β. β γ. 16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α + β = γ και α = β = γ 3 2 5. Να δείξετε ότι : α. α β β. β γ. 17. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α = 2, β = 5, γ = 4. Να δείξετε ότι : α. 3 α + β 7 β. α + β 2γ 0 18. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν α = 3κ 5, β = 5κ 8, α + β = κ 2 + 3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8

3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α. Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το αα και το συμβολίζουμε με λ α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο : α) είναι ομόρροπο του α αν λ > 0, κκκκκκ ααααααίρρρρρρρρρρ ττττττ α αν λ < 0 β) έχει μέτρο λ α Αν είναι λ = 0 ή α = 0 τότε ορίζουμε λα = 0 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Αν α, β δύο διανύσματα και λ, μ δύο πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α) λ α + β = λα + λβ β) (λ + μ)α = λα + μα γ) λ(μα ) = (λμ)α Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α, β ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v = κα + λβ, όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί. Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων Αν αα, ββ δύο διανύσματα με ββ 00, τότε : αα ββ αα = λλββ, λλ R ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ ΒΓ, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = λβγ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς, τότε ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ + ΟΟΟΟ 22 Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ, το μέσο του Μ, καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο. Αφού Μ μέσο του ΑΒ τότε θα ισχύει : ΑΜ = ΜΒ ΟΜ ΟΑ = ΟΒ ΟΜ 2ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ 2 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10

Ασκήσεις 19. Αν ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = 2α 3β, να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ, ΑΓ, ΓΒ με την βοήθεια των α, β. 20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ = 3α, ΑΔ = 4β, να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ και ΜΝ. 21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ και ΜΓ ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ = α και ΒΓ = β. 22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ. Αν ΑΒ = α και ΑΔ = β να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ, ΔΕ, ΓΕ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. 23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ, Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ. Αν ΑΒ = α και ΑΓ = β, να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. 24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = α + 3β και ΟΔ = 3α + β. Να δείξετε ότι ΑΓ + ΔΒ ΑΒ. 25. Αν ισχύει ότι ΑΔ = 3ΑΒ + 5ΑΓ και ΑΕ = 5ΑΒ + 3ΑΓ να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 5ΑΒ + 8ΑΓ και ΑΕ = 3ΑΒ + 10ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 2ΑΒ + 5ΑΓ και ΑΕ = 5ΑΒ + 2ΑΓ. α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 4ΑΒ 9ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ 6ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 29. Θεωρούμε τα διανύσματα u = 4α 3β και v = 2α + β. Να αποδείξετε ότι : α. το διάνυσμα γ = u + 3v είναι ομόρροπο με το α β. το διάνυσμα δ = u 2v είναι αντίρροπο με το β. 30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα α, β, 4α β, α + 2β να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ είναι ομόρροπα. 31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ = α, ΑΓ = α + β και ΒΔ = 2α + β είναι τραπέζιο. 32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = β, ΑΔ = α και ΑΓ = α + 2β είναι τραπέζιο. 33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = β, ΑΔ = α και ΑΓ = α + 3β. Να αποδείξετε ότι : α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. β. το διάνυσμα u = ΒΓ ΑΔ είναι ομόρροπο με το β. 34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ = α 3β, ΟΒ = 2α β, ΟΓ = 3α + β και ΟΔ = 6α + 7β. Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ είναι ομόρροπα. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11

35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = 2α και ΔΕ = 2β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά. 36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + 3β, ΟΒ = 2α β, ΟΓ = 3α 5β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + β + γ, ΟΒ = 5α + 3β + 4γ, ΟΓ = 13α + 7β + 10γ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + 2β + 5γ, ΟΒ = α + 3β + 4γ, ΟΓ = 3α + β + 6γ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 2α + β, ΑΓ = 5α β. Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ = 11α 5β, να δείξετε ότι τα σημεία Β, Γ, Δ είναι συνευθειακά. 40. Αν ισχύει 4ΜΑ + 5ΜΒ 9ΜΓ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 41. Αν ισχύει 9ΟΑ 7ΟΒ 2ΟΓ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 42. Αν ισχύει ΜΑ + 5ΡΑ = 3ΡΜ + 2ΡΒ 4ΓΜ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 43. Αν ισχύει 2ΑΛ + 3ΒΛ + 2ΜΒ = ΑΚ + ΑΜ + ΒΚ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 44.Αν ισχύει 5ΡΛ = 2ΡΚ + 3ΡΜ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά.( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ + 3ΜΒ = (κ + 5)ΜΓ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ = 2 ΑΔ, ΑΖ = 2 ΑΓ. 5 7 α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ, ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = α και ΑΔ = β. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΕ = 1 ΑΔ, ΑΖ = 1 ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : 3 4 α. ΑΖ = 1 α + β 4 β. ΕΖ = 1 α 1 β και να υπολογίσετε το ΕΒ με την βοήθεια των α, β. 4 3 γ. τα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = α και ΒΓ = β και ΓΔ = 3 ΑΒ. Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ, ΑΓ, ΒΕ και ΒΔ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12

49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ.Πάνω στα τμήματα ΑΒ, ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε,Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΔ = 1 1 1 ΑΒ, ΑΕ = ΑΜ, ΑΖ = ΑΓ. Αν ΑΒ = α και ΑΓ = β τότε : 2 3 4 α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α, β τα διανύσματα ΔΕ, ΔΖ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. 50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ + ΑΖ = 3 ΑΓ 2 51. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ. Αν Κ, Λ, Μ μέσα των ΒΔ, ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι ΑΚ + ΑΛ ΑΜ = ΑΔ. 52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ = 4ΜΝ. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ΔΓ ) με ΔΓ = 4 ΑΒ. Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ = 1 ΑΒ και ονομάζουμε Ζ 3 3 το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ. Να δείξετε ότι ΑΖ ΒΓ. 54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ. α.να εκφράσετε συναρτήσει των α, β τα διανύσματα ΔΒ, ΕΒ, ΓΒ, ΑΕ, ΕΓ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ε, Γ είναι συνευθειακά. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 55. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ 5ΜΒ + 2ΜΓ είναι σταθερό. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13

4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο Άξονας Αν σε μια ευθεία x x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ = i να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx, τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα ii Οι ημιευθείες Οx και Οx λέγονται αντίστοιχα θετικός και αρνητικός ημιάξονας. Για κάθε σημείο Μ του άξονα x x ισχύει ΟΜ i, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ = x i Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x) Καρτεσιανό Επίπεδο Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i και j αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη στον y y που τέμνει τον x x στο Μ 1 και παράλληλη στον x x που τέμνει τον y y στο Μ 2, τότε η τετμημένη x του Μ 1 λέγεται τετμημένη του Μ και η τετμημένη y του Μ 2 λέγεται τεταγμένη του Μ. Οι μοναδικοί αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και συμβολίζονται με Μ(x, y) Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ = α. Αν Α 1 και Α 2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες, τότε ισχύει : ΟΑ = ΟΑ 1 + ΟΑ 2 α = x i + y j Τα διανύσματα x i και y j λέγονται συνιστώσες του αα κατά την διεύθυνση των i και j αντίστοιχα. Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του αα αα = xx ii + yy jj αα = (xx, yy) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14

Ίσα Διανύσματα Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Δηλαδή : Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ) τότε α = β x 1 = x 2 y 1 = y 2 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ) τότε έχουμε : α) α + β = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) β) α β = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) γ) λα = (λx 1, λy 1 ) δ) λα + μβ = (λx 1 + μx 2, λy 1 + μy 2 ) Συντεταγμένες μέσου τμήματος Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ xx 11+xx 22 22, yy 11+yy 22 22 Έστω M(x, y) μέσο του ΑΒ. Τότε θα ισχύει ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ 2 και ΟΒ = (x 2, y 2 ). Η (1) (x, y) = (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) 2 (x, y) = x 1+x 2 2, y 1+y 2 2 (1) με ΟΜ = (x, y), ΟA = (x 1, y 1 ) (x, y) = (x 1+x 2, y 1 +y 2 ) 2 x = x 1+x 2 2 και y = y 1+y 2 2 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε ΑΑΑΑ = (xx 22 xx 11, yy 22 yy 11 ) Πράγματι : ΑΒ = ΟΒ ΟΑ ΑΒ = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) ΑΒ = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15

Μέτρο διανύσματος Αν αα = (xx, yy) τότε αα = xx 22 + yy 22 Έστω το διάνυσμα α = (x, y) και Α σημείο με ΟA = α. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ 1 έχουμε : (ΟΑ) 2 = (ΟΑ 1 ) 2 + (ΑΑ 1 ) 2 (ΟΑ) 2 = (ΟΑ 1 ) 2 + (ΟΑ 2 ) 2 α 2 = x 2 + y 2 α = x 2 + y 2 Απόσταση δύο σημείων Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (AAAA) = (xx 22 xx 11 ) 22 + (yy 22 yy 11 ) 22 Έστω τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ), τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος ΑΒ = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), άρα θα έχει μέτρο : ΑΒ = (ΑΒ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Αν αα = (xx 11, yy 11 ) και ββ = (xx 22, yy 22 ) τότε ισχύει η ισοδυναμία : αα ββ dddddd αα, ββ = 00 xx 11 xx 22 yy 11 yy 22 = 00 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16

Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος Έστω το διάνυσμα α = (x, y) και Α σημείο με ΟA = α. Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα αα με τον άξονα x x. Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 φ < 2ππ Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α = (x, y) με x 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συμβολίζουμε με λ α ή λ. λλ αα = yy xx Ισχύουν : α) α x x λ α = 0 αφού y = 0 β) α y y λ α = δεν ορίζεται, αφού x = 0 Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος αα ββ λλ αα = λλ ββ Θεωρούμε τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ). Τότε έχουμε : α β det α, β = 0 x 1 y 1 x 2 y 2 = 0 x 1 y 2 x 2 y 1 = 0 x 1 y 2 = x 2 y 1 y 1 x 1 = y 2 x 2 λ 1 = λ 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17

Ασκήσεις 1. Πράξεις με Συντεταγμένες 56. Δίνονται τα διανύσματα α = (2, 4), β = ( 1, 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α + β, α β, 2α 3β, 3α + 4β. 57. Δίνονται τα διανύσματα α = (3, 1), β = (5, 1) και γ = ( 1, 1). Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v = 2α β + γ 58. Δίνονται τα διανύσματα α = ( 2, 3), β = (1, 1) και γ = (3, 2) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α + 2β, 2α γ και α β + 1 2 γ. 2. Μηδενικό Διάνυσμα 59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το διάνυσμα u = (κ 2 + κ 2, 3λ 3) να είναι το μηδενικό διάνυσμα. 60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u = (κ 2 5κ + 6, κ 2) να είναι το μηδενικό διάνυσμα. 3. Ισότητα Διανυσμάτων Αντίθετα Διανύσματα 61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε τα διανύσματα α = (κ, 2κ λ), β = (2λ, 4) να είναι ίσα. 62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε τα διανύσματα α = (κ 1, λ 2), β = (λ, 2κ 1) να είναι αντίθετα. 63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α = (λ 2 3λ + 2, 2λ 2 3λ 2) και β = (λ 2 5λ + 6, 3λ 2 + 7λ 2) να είναι ίσα. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ, μ ώστε τα διανύσματα α = (2λ + μ)i + (λ 3μ + 1)j και β = (2μ + 5)i + (4λ μ + 1)j να είναι ίσα. 4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες 65. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ 2 4, λ + 2), λ R. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α = 0 β. α 0 και α x x γ. α 0 και α y y 66. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ 2 4, λ 2 3λ + 2 ), λ R. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α = 0 β. α 0 και α x x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 67. Δίνονται τα διανύσματα α = (x, 1) και β = ( y 2 + 4y 5, x + 2). Να βρείτε τις τιμές των x, y αν : α. α β x x β. α + 2β = 20i + 9j 68. Δίνονται τα διανύσματα α = (λ 2 + 3λ, λ 2 9) και β = (λ 5, 3λ 1) με λ R. Να βρείτε τις τιμές του λ αν : α. τα διανύσματα α και β είναι αντίθετα β. το διάνυσμα α είναι το μηδενικό διάνυσμα γ. είναι α 0 και α x x δ. είναι α 0 και α y y ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18

5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 69. Δίνονται τα διανύσματα α = (κ 1, 2) και β = (λ 2, κ). Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει 3α 2β = 0 70. Δίνονται τα διανύσματα u = ( 1,3), v = (2, 1). Να γραφεί το διάνυσμα w = (4, 16) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων u και v. 71. Δίνονται τα διανύσματα α = (2,3), β = ( 1, 2). Να γραφεί το διάνυσμα v = (4, 13) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β. 72. Δίνονται τα διανύσματα α = (2λ + 1, 2), β = (1, 2) και γ = (λ, μ) με λ, μ R. Να βρεθούν τα λ, μ ώστε να ισχύει α + 2β γ = 0. 73. Δίνονται τα διανύσματα α = xi + yj και β = (y 2)i + (x + 6)j με x, y R για τα οποία ισχύει 2α 3β = ( 7, 6). α. Να βρείτε τις τιμές των x, y β. Να γραφεί το διάνυσμα v = 10 i + 4 j σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β. 6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 74. Δίνονται τα σημεία Α(2, 8) και Β(6, 4). Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. 75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4, 3) και το μέσο Ν( 2, 6) του ΚΛ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. 76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1, 2) ως προς το Β( 1, 3). 77. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 2κ 4), Β( 2λ κ, 3λ κ) και Μ(κ, λ 1) με κ, λ R. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ. 78. Δίνονται οι κορυφές Α(1, 3), Β(5,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το Κ(3, 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. 79. Δίνονται οι κορυφές Α(2, 3), Β(4, 1) και Γ(0, 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ( 3, 2), διαμέτρου ΑΒ με Α(1, 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. 81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1, 2), Λ(3, 5) και Μ(2, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ( 2, 2), Λ( 1, 0) και Μ(2, 1). Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2 (λ 2 + 3λ 5)x 10 = 0. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 1 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19

7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα 84. Αν Λ(2, 5) και Μ(3, 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ 85. Αν ΚΛ = ( 1, 4) και Λ(2, 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ. 86. Έστω το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε : α. το διάνυσμα ΑΒ όταν Β( 3, 0) β. το Γ αν είναι ΑΓ = ( 3, 5) γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ 3ΔΕ = 0 και Ε(3, 1) 86. Δίνονται τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 8). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ = 2ΑΒ 87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 1), Β(2, 0) και Γ(2, 3). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ = ΑΓ. 88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 2, 0), Β(1, 3 ) και Γ(2, 1). Αν ΑΜ = 2ΜΒ και ΑΔ διάμεσος, να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ. 88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1, 5), Β(7, 3) και ΑΚ = (1, 4) όπου Κ το κέντρο του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των Κ, Γ και Δ. 89. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 3μ+2), Β(μ, λ 6) και το διάνυσμα ΑΒ = (4, 14). Να βρείτε : α. τα λ, μ β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ = 3ΒΜ. 90. Δίνονται τα σημεία Α(x, y), Β(x+2y, x+1) και Γ(y 3, 2x 4). α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y αν ισχύει AB + AΓ = ( 12, 10) β. Να γραφεί το διάνυσμα v = ( 4, 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ και ΒΓ 8. Μέτρο Διανύσματος Απόσταση Δύο Σημείων 91. Αν α = ( 1, 2) και β = (3, 2) να υπολογίσετε τα μέτρα 2α και 3α 2β 92.Να βρείτε τις τιμές του λ R αν για το διάνυσμα β = (1 λ, λ 3) ισχύει β = 10. 93. Να βρείτε τις τιμές του λ R αν για το διάνυσμα α = (λ, λ + 1) ισχύει 3α = 15. 94. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α για το οποίο ισχύει α = ( α 4, 8) 95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2, 1), Β(3, 2), Γ(7, 4). α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v = 4ΑΓ + 7ΒΓ β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ 96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 2, 2), Β(3, 0), Γ( 1, 3). Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα μήκη των διαμέσων του. 97. Έστω τα σημεία Α(8, 2), Β(0, 6) και Γ(2, 0). Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ. 98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 3, 3), Β( 1, 3) και Γ(11, 1 ) είναι ορθογώνιο. 99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1, 1), Γ(4, 3), Δ(2, 3). Να βρείτε : α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20

100. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 6) και Β( 9, 2). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β. 101. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 2) και Β(3, 1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y y το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β. 102. Δίνονται τα σημεία Α( 2, 5) και Β(3, 4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. 103. Δίνονται τα σημεία Α(x, 2), Β(16, x + 2) και Γ(5, x). Να βρείτε το x R αν ισχύει 2ΑΒ + 3ΒΓ = ΑΓ 104. Δίνονται τα σημεία A(λ, 1) και Β( 1, λ + 3). Να βρείτε το λ R αν ισχύει (ΑΒ)=5. 105. Δίνεται το διάνυσμα α = ( 6, 8). Να βρείτε διάνυσμα β, παράλληλο του α, με β = 5 106. Δίνεται το διάνυσμα α = (2, 1). Να βρείτε διάνυσμα β, αντίρροπο του α, με β = 4 3 107. Δίνεται το διάνυσμα α = (2, 3). Να βρείτε διάνυσμα β, αντίρροπο του α, με β = 3 9. Παραλληλία Διανυσμάτων 108. Έστω τα διανύσματα α = (λ 1, 3) και β = (2λ 2, λ). Να βρείτε το λ R ώστε α β 109. Έστω τα διανύσματα α = (λ 1, 1) και β = (1, 2λ 1). Να βρείτε το λ R ώστε α β 110. Έστω τα διανύσματα α = (λ, 8) και β = ( 1, λ 2). Να βρείτε το λ R ώστε α β 111. Έστω τα διανύσματα α = (1, λ 1) και β = (λ 1, 9). Να βρείτε το λ R ώστε α β 112. Έστω τα σημεία Α( 3, 2), Β(2, κ), Γ(5, 3) και Δ(4, κ). Να βρείτε το κ R ώστε ΑΒ ΓΔ 113. Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν 3α + 2β = ( 2, 9) και α 2β = (10, 5). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α και β β. Να γραφεί το διάνυσμα γ = (4, 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β γ. Να βρείτε το λ R ώστε το διάνυσμα δ = (λ, 6 λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α β. 114. Έστω τα διανύσματα α = (λ, 1 λ), β = (λ + 1, 2) και γ = (6, 10). Αν ισχύει α + β γ τότε : α. να βρείτε τον αριθμό λ β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α 6β γ. να γράψετε το διάνυσμα u = 3 j σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β 115. Έστω τα διανύσματα α = (2, 3), β = ( 10, 2) και γ = 2α + β. Να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος γ β. τον αριθμό λ R ώστε το διάνυσμα δ = (λ, 1 λ) να είναι παράλληλο στο γ 10. Συνευθειακά Σημεία 116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α( 1, 2), Β(1, 1) και Γ( 3, 3) είναι συνευθειακά. 117. Δίνονται τα σημεία Α(8, 6), Β( 2, 2) και Γ( 7, 0). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β. Να βρεθούν τα κ, λ R ώστε να ισχύουν ΑΓ = λγβ και ΑΒ = καγ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21

118. Δίνονται τα σημεία Α(0, 4), Β(κ, 2) και Γ( 2, 2). Να βρείτε το κ R ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 119. Δίνονται τα σημεία Α( 1, λ 1), Β(3, λ + 3) και Γ(λ 2, 2). Να βρείτε το λ R ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 120. Δίνονται τα σημεία Α(1, 4) και Β(4, 2). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. 121. Δίνονται τα σημεία Α(α + 1, 3), Β(α, 4) και Γ( 4, 5α + 4), α R. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΒΓ β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ. Για α = 1, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ = λ ΑΒ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1, 1), Β(2, 1) και Γ( 1, 5) είναι κορυφές τριγώνου 123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = 2i + 4j, ΟΒ = 3i + j, ΟΓ = 5i 5j. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΒΓ β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 124. Δίνονται τα σημεία Α(1, 1), Β( 3, 3) και Γ(3, 1). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β, όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ 125. Δίνονται τα σημεία Α(λ 1, 2), Β( 1, 0) και Γ(λ 3, 2λ). α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να σχηματίζουν τρίγωνο. β. Για λ = 1, να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 2), Β(7, 0) και Γ(1, 4). Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το οποίο ισχύει 2 ΑΕ = ΕΓ, τότε : α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε β. να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. 11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης : α. του διανύσματος α = (2, 6) β. του διανύσματος ΑΒ με Α(2, 4) και Β( 3, 6) 128. Δίνονται τα σημεία Α(λ, λ 1), Β(5, 2λ) με λ 5. Να βρείτε το λ R αν το διάνυσμα ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 4. 129. Τα διανύσματα α = (κ, μ + 4) και β = (μ, κ 9) με κ, μ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και 3 αντίστοιχα. Να βρείτε : α. τις τιμές των κ και μ β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ = 3α 2β 130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα α = 3, 3 131. Αν Α(7, 1), Β(4, 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα ΑΒ 132. Αν Α(3, 0), Β 0, 3 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα ΑΒ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22

133. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ, λ 2 6). Να βρείτε το λ R ώστε το διάνυσμα α να σχηματίζει γωνία 3π τον άξονα x x. 4 με 134. Δίνονται τα διανύσματα α = (λ, λ 5), β = (λ 3, 6) για τα οποία ισχύει α + β = 5. α. Να δείξετε ότι λ = 1 β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ = 4α + 3β β 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα γ β 2. Να βρείτε το κ R ώστε το διάνυσμα δ = (κ, κ 6) να είναι παράλληλο στο γ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23

3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό : αα ββ = αα ββ σσσσσσ αα, ββ Αν α = 0 ή β = 0 τότε ορίζουμε α β = 0 Άμεσες συνέπειες του ορισμού : α) α β = β α β) α β α β = 0 γ) α β α β = α β δ) α β α β = α β ε) α 2 = α 2 αφού α 2 = α α = α α συν(α, α ) = α 2 1 = α 2 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Θεωρούμε τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 αα ββ = xx 11 xx 22 + yy 11 yy 22 Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου α) (λλαα ) ββ = αα λλββ = λλ αα ββ Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : (λα ) β = (λx 1, λy 1 ) (x 2, y 2 ) = (λx 1 )x 2 + (λy 1 )y 2 = λ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = λ α β α λβ = (x 1, y 1 ) (λx 2, λy 2 ) = x 1 (λx 2 ) + y 1 (λy 2 ) = λ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = λ α β Άρα (λα ) β = α λβ = λ α β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24

β) αα ββ + γγ = αα ββ + αα γγ Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ), β = (x 2, y 2 ) και γ = (x 3, y 3 ), τότε : α β + γ = (x 1, y 1 ) (x 2 + x 3, y 2 + y 3 ) = x 1 (x 2 + x 3 ) + y 1 (y 2 + y 3 ) = (x 1 x 2 + x 1 x 3 ) + (y 1 y 2 + y 1 y 3 ) = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + (x 1 x 3 + y 1 y 3 ) = α β + α γ γ) αα ββ λλ αα λλ ββ = 11 Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : α β α β = 0 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 = 1 λ x 1 x α λ β = 1. 2 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25

Ασκήσεις 1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου 135. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 3, β = 4 και α, β = 60, τότε να βρείτε : α. α β β. β 2 γ. 3α 4β δ. 2α 3α 4β ε. 2α β 3α + 5β 2π 136. Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, β = 2 και α, β = 3 α. α β β. α 2β α β γ. α 3β 2, τότε να βρείτε : 137. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 2, β = 2 2 και α, β = 6 α. α β β. α 2 + β 2 γ. α + β 2 δ. 2α + 3β 4α 5β, τότε να βρείτε : 138. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν β = 12, α β = 12 και α, β = 150 να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος α β. το εσωτερικό γινόμενο α + β α β 139. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 4, α, β = και α α + 2β = 28 τότε να βρείτε : 3 α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. το μέτρο του διανύσματος β γ. το εσωτερικό γινόμενο α 2β 2α + β 140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β στις παρακάτω περιπτώσεις : α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και α = 5, β = 6 β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και α = 8, β = 3 141. Αν α + β + 2γ = 0 και α = 1, β = 2, γ = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ 142. Αν α + β + γ = 0 και α = 1, β = 2, γ = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α 143. Αν α + β 3γ = 0 και 2 α = β = 4 γ = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α 144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2. Αν ΑΔ το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ ΑΓ, ΑΒ ΒΓ, ΑΔ ΑΓ και ΑΓ ΔΒ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26

2. Κάθετα Διανύσματα Εύρεση Μέτρου Διανύσματος 145. Αν α = 3, β = 6, να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v = 3α + λβ και u = 3α λβ να είναι κάθετα. 146. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 2π = 1, β = 2, α, β = 3 αριθμού λ ώστε να ισχύει α + λβ α 4β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού 147. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 2, β = 3, α, β = 6 α + β, α β και α + 2β τότε να βρεθούν τα μέτρα 148. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 2, β = 2 2 και α, β = 60 τότε : α. Αν τα διανύσματα 2α + β και κα + β είναι κάθετα, να βρείτε την τιμή του κ β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α + β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 149. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν 2 α = β = 2 2 και α, β = 60 τότε : α. Να αποδείξετε ότι α β = 2 β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α + β και α β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 150. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 5π = 2, β = 2 και α, β = και u = α + 2β τότε : 6 α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u β. Να βρείτε το μέτρο του u ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 151. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν 3 α + β = 9 και 2 α β = 1 και α, β = 60 α. Να βρείτε τα μέτρα των α, β και το εσωτερικό γινόμενο α β β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u = 2α 3β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 152. Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύουν α = 2, β = 1, α, β = 60 και γ = κ α β και β γ = κ 2 α. Να δείξετε ότι κ = 2 β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α + 2γ και β γ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 153. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 1, α, β = και 3α 2β = 13, τότε να βρείτε το β 3 154. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 8, β = 3 και α, β = 45, τότε να βρείτε το 3α 2β 155. Αν α = 3, β = 1 και α β = 2 τότε να βρείτε το μέτρο α 2β. 156. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 2π = 3, α, β = 3 α. Να αποδείξετε ότι β = 4 β. Να βρείτε το μέτρο 4α + 3β και α + 2β = 7 157. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 2, β = 4 και 4α β = α 2β. α. Να αποδείξετε ότι α β = 3 β. Να βρείτε το μέτρο 3α 2β 158. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + β α 3β και α β = 2 να βρείτε τα μέτρα α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27

2π 159. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α, β = 3 μέτρα α, β, α + β α β και 3α + 2β = 7, να βρείτε τα 160. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + β α 4β και 2α + 3β = 5. α. Να αποδείξετε ότι α = 2, β = 1 β. Να βρείτε το μέτρο 3α + 8β 161. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + 2β α 3β και α = 6. Να δείξετε ότι 2α β = 5 162. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 1, β = 2, α, β = 60. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = α β και ΒΓ = 3α + β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. 163. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 3 και α, β = 60. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ = α 4β και ΓΒ = 4α 6β, για το οποίο ισχύει ΑΒ = 91 α. Να αποδείξετε ότι β = 5 β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 3α + 2β και α β αν α = 1, β = 2 και α, β = 135. 165. Να αποδείξετε ότι α + β 2 + α β 2 = 2 α 2 + 2 β 2 166. Αν ισχύει α = β = α + β τότε να αποδείξετε ότι α β = α 3. π 167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α, β με α, β = 3 x α + β και β ( α + x ). 168. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α 2π = 2, β = 3 α, β = 3 x α β και α ( β + x ).. Να βρείτε διάνυσμα x ώστε να ισχύουν. Να βρείτε διάνυσμα x ώστε να ισχύουν 3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων 169. Αν α = 2, β = 3, α β και u = 3α + 2β, να βρείτε την γωνία α, u 170. Αν α = 2, β = 1 και 2α + β 3α 5β να βρείτε τη γωνία α, β 171. Αν α = 2, β = 2 2 και α, β = 45, να βρείτε τη γωνία β α, α 172. Αν α π = 5, β = 3, α, β = 3 173. Αν α 2π = 2, β = 3, α, β = 3, να βρείτε τη γωνία α + β, α β και δ = 3α + 2β, να βρείτε την γωνία β, δ 174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β με β = 2 α. Αν α α β να βρείτε τη γωνία α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28

175. Αν α = 1, α, β = 60 και α + β 5α 2β α. Να βρείτε το μέτρο του β β. Αν γ = 2α + β να βρείτε τη γωνία φ = α, γ 176. Αν α π = 1, β = 2, α, β = 3 177. Αν α 2π = 1, β = 1, α, β = 3 και u = 2α + 3β και v = α 2β. Να βρείτε το συν u, v και u = 2α + β και v = α 2β. Να βρείτε το συν u, v 178. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 1, β = 5 και α 2β α + β = 46. α. Να βρείτε το συν α, β β. Θεωρούμε τα διανύσματα v = 3α + β και u = α β. Να βρείτε τη γωνία u, v 179. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 2, β = 3 και 3α + 7β 6α + β. α. Να βρείτε τη γωνία των α, β β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ = λα + β το οποίο είναι κάθετο στο β. Να βρείτε : β 1. την τιμή του λ β 2. το μέτρο του διανύσματος γ β 3. τη γωνία των διανυσμάτων α και γ 180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β με α, β = 60. Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4α + β και ΑΔ = 2α β με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ ΔΒ = 36. α. Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = 4. β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ. γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ δ. Να βρείτε τη γωνία Α του ΑΒΓΔ. 181. Αν τα διανύσματα α, β, γ είναι μοναδιαία και ισχύει α β + β γ = 2 να δείξετε ότι α = β = γ 182. Δίνονται τα διανύσματα α, β με β = 2 α = 4 και α β = 8. α. Να βρείτε τη γωνία των α, β β. Να δείξετε ότι β + 2α = 0 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 183. Δίνονται τα διανύσματα α, β και u = α + 2β, v = 5α 4β και u v και α = β = 1. Να δείξετε ότι : α. α β = 1 2 β. τα διανύσματα u 3v και α β είναι αντίρροπα και u 3v = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις : α. α β αν α = (2, 3) και β = (4, 5) β. ΑΒ ΓΔ αν Α(3, 1), Β(2, 5), Γ( 4, 3), Δ( 1, 2) 185. Δίνονται τα διανύσματα α = (2, λ) και β = (λ 8, 1) για τα οποία ισχύει α β = 1. Να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. το εσωτερικό γινόμενο α 2β α + β 186. Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε τα διανύσματα α = (λ 3, 4λ 1) και β = ( 3λ + 9, λ 3) να είναι κάθετα. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29

187. Δίνονται τα διανύσματα α = (2x 1, x + 1) και β = (x + 1, 2x + 3). Να βρεθεί το x R ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα. 188. Δίνονται τα διανύσματα α = ( 1, 3) και β = 2, 1 2 α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u = α 2β β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και v = (x 2, x 1) είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ = (κ 2 6κ + 9, κ 3) και ΑΓ = (1, 6) α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 190. Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(7, 4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε ΑΜΒ = 90 191. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, λ) και β = ( 3, 4 λ) για τα οποία ισχύουν α + β 13α + 3β. α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ, το διάνυσμα γ = 5α + 2β είναι κάθετο στο δ = (μ, μ 8) 192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 4), Β( 2, 1) και Γ(5, 7). Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ = 2ΒΜ α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ ΒΓ γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x x ώστε να ισχύει ΑΝ ΑΒ 193. Αν α = 3, 3 και β = 3, 1 να βρείτε τη γωνία α, β 194. Αν α = (4, 3) και β = (7, 1) να βρείτε τη γωνία α, β 195. Αν α = (0, 2) και β = 3, 1 να βρείτε τη γωνία α, β 196. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, 7) και β = ( 3, λ). Αν α, β = 135, να βρείτε το λ. 197. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 2), Β( 2, 1) και Γ(3, 6). Να βρείτε τη γωνία Α. 198. Αν Α(4, 1), Β(8, 2) και Γ(1, 3), να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ, ΑΓ είναι αμβλεία. 199. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ( 4, 6) και ΑΓ = (2, 8). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία γ. Αν Α(3, 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 200. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ = ( 1, 4) και ΑΓ = (3, 6). α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία. β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ 1, 1), Β(λ, 2) και Γ(7, λ). Αν ισχύει ΑΒ ΒΓ = 15, να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. τη γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ 202. Δίνονται τα διανύσματα α, β με 2α + β = (7, 1) και 3α β = (8, 19). Να βρείτε : α. τις συντεταγμένες των α, β β. τη γωνία α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30

5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα 203. Αν α = (2, 3) και β = ( 1, 4), να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β 204. Αν α = (1, 3) και β = (9, 7), να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α 205. Αν α π = 2, β = 1, α, β = να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α 3 206. Αν α π = 1, β = 2, α, β = να βρείτε την προβολή του v = 2α β πάνω στο α 3 207. Αν τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v = α β πάνω στο u = α + 2β 208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 3), Β( 3, 0) και Γ(4, 4). Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ 209. Δίνονται τα διανύσματα α = (4, 3) και β = ( 8, 6) α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α, β είναι αμβλεία β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β πάνω στο α 210. Αν α = (4, 3) και β = ( 1, 3), να υπολογίσετε το μέτρο προβ α 2α β 211. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, 7) και β = (2, 4) α. Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ = (1, 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = (1, 1) 213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β = (1, 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = ( 1, 1) 214. Αν α π = 2, β = 8, α, β = και προβ 3 α x α + β = 5 α, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x. 215. Δίνονται τα διανύσματα α, β με προβ β α = 2 β και προβ 3 α β = 3 α. 4 α. Να δείξετε ότι α = 2 2 β 3 β. Να βρείτε τη γωνία α, β 216. Δίνονται τα διανύσματα α, β με 2α + 3β = (4, 2) και α 3β = ( 7, 8). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α, β β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει κα + β 2α + 3β γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ = (3, 1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = ( 1, 2). ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. Γωνία Ευθείας με τον άξονα x x Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α. Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x. Παρατηρήσεις 1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0 2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0 ω < 180 ή 0 ω < ππ 3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x. Δηλαδή λλ εε = εεεεωω 1) Αν ω = 0, δηλαδή η (ε) x x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0. 2) Αν ω = π, δηλαδή η (ε) x x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε). 2 3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x x είναι οξεία. 4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x x είναι αμβλεία. Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x x λ > 0 0 < ωω < 90 λ < 0 90 < ωω < 180 λ= 0 ω = 0 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32

Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα Έστω διάνυσμα δ παράλληλο σε μια ευθεία (ε). Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ και η (ε) με τον άξονα x x, τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω. Τότε εφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω. Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λ δ = λ ε. Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ) με x 1 x 2 είναι : λλ = yy 22 yy 11 xx 22 xx 11 Πράγματι : Είναι ΑΒ ε λ ε = λ ΑΒ λ ε = y 2 y 1 x 2 x 1 Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε 1, ε 2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ 2 αντίστοιχα, τότε ισχύει : εε 11 εε 22 λλ 11 = λλ 22 Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε 1, ε 2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ 2 αντίστοιχα, τότε ισχύει : εε 11 εε 22 λλ 11 λλ 22 = 11 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33

Εξίσωση Ευθείας Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : (ε) : yy yy 00 = λλ (xx xx 00 ) Θεωρούμε ένα σημείο M(x, y) της (ε) διαφορετικό του Α( x 0, y 0 ) Τότε το διάνυσμα ΑΜ είναι παράλληλο στην (ε), άρα θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Οι συντεταγμένες του ΑΜ = (x x 0, y y 0 ) άρα λ ΑΜ = y y 0 x x 0 Οπότε : λ = λ ΑΜ λ = y y 0 y y x x 0 = λ(x x 0 ). 0 Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ) είναι y y 0 = y 2 y 1 (x x x 2 x 0 ) αφού λ ε = y 2 y 1 1 x 2 x 1 Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : yy = λλ xx + ββ Πράγματι : Είναι y y Α = λ(x x Α ) y β = λ(x 0) y β = λ x y = λ x + β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34

Γ) Οριζόντια Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) είναι : yy = yy 00 Πράγματι : Αφού (ε) x x τότε θα είναι λ=0, άρα : y y 0 = λ(x x 0 ) y y 0 = 0 (x x 0 ) y y 0 = 0 y = y 0 Δ) Κατακόρυφη Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) είναι : xx = xx 00 Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Ε) Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : yy = λλ xx Πράγματι : Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0, 0) τότε : y y 0 = λ(x x 0 ) y 0 = λ (x 0) y = λ x. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35

Ζ) Διχοτόμος της 1 ης και 3 ης Γωνίας των Αξόνων Η διχοτόμος των γωνιών xo y και x O y έχει εξίσωση : yy = xx Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1 η γωνία του άξονα, τότε θα σχηματίζει γωνία 45 με τους άξονες, άρα λ = εφ45 = 1. Οπότε : y = λ x y = x H) Διχοτόμος της 2 ης και 4 ης γωνίας των αξόνων Η διχοτόμος των γωνιών x O y και xo y έχει εξίσωση : yy = xx Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2 η γωνία του άξονα, τότε θα σχηματίζει γωνία 135 με τους άξονες, άρα λ = εφ135 = 1. Οπότε : y = λ x y = x. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0 (1) και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή. ΟΡΘΟ : Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση : y = λ x + β λ x + ( 1)y + β = 0 Άρα για Α = λ, Β = 1, Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή A x + B y + Γ = 0 με Β = 1 0. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36

Β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y y τότε είναι κατακόρυφη και θα έχει εξίσωση : x = x 0 x x 0 = 0 Οπότε για Α = 1 0, Β = 0, Γ = x 0 η ευθεία γράφεται στην μορφή A x + B y + Γ = 0 με Α = 1 0. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ : Έστω η εξίσωση A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0. Θα αποδείξουμε ότι παριστάνει ευθεία. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Α) Αν Β 0 τότε έχουμε : A x + B y + Γ = 0 B y = A x Γ y = A x Γ που είναι εξίσωση B Β ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ = A Γ και η οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0,. B Β Β) Αν Β = 0 τότε έχουμε : A x + B y + Γ = 0 Α x + Γ = 0 Α x = Γ x = Γ αφού Α 0, που είναι Α εξίσωση ευθείας κάθετη στον άξονα x x στο σημείο του Κ Γ, 0 Α Σε κάθε περίπτωση λοιπόν η εξίσωση A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0 παριστάνει ευθεία. Διάνυσμα Παράλληλο σε Ευθεία Η ευθεία με εξίσωση A x + B y + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δδ = (ΒΒ, ΑΑ) Αν Β 0 τότε η ευθεία A x + B y + Γ = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = A B = λ δ και επομένως είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (Β, Α). Αν Β = 0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y και επομένως παράλληλη και ως προς το διάνυσμα δ = (0, Α). Διάνυσμα Κάθετο σε Ευθεία Η ευθεία με εξίσωση A x + B y + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα ηη = (ΑΑ, ΒΒ) Όπως είδαμε, το διάνυσμα δ = (Β, Α) είναι παράλληλο στην ευθεία A x + B y + Γ = 0. Παρατηρούμε ότι : δ η = (Β, Α) (Α, Β) = Β Α Α Β = 0, άρα τα διανύσματα θα είναι κάθετα μεταξύ τους, οπότε το διάνυσμα η θα είναι κάθετο και με την ευθεία A x + B y + Γ = 0. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 37

Απόσταση Σημείου Από Ευθεία Έστω μια ευθεία ε: A x + B y + Γ = 0 και ένα σημείο Μ( x 0, y 0 ) εκτός αυτής. Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία (ε) είναι : dd(mm, εε) = ΑΑ xx 00 + BB yy 00 + ΓΓ ΑΑ 22 + ΒΒ 22 Εμβαδό Τριγώνου Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο : (ΑΑΑΑΑΑ) = 11 22 dddddd ΑΑΑΑ, ΑΑΑΑ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 38

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ 1. Εξίσωση Γραμμής 1. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x 2 + x 2016. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(1, 2014) ανήκει στην γραμμή C. 2. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x 2 + 2x 3. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ( 1, 2) ανήκει στην γραμμή C. 3. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x 2 + 3. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ( 3, 10) ανήκει στην γραμμή C. 2. Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Γωνία Ευθείας με τον άξονα x x 4. Έστω ότι η ευθεία (ε) έχει κλίση ίση με κ, είναι παράλληλη με το διάνυσμα δ = ( 3κ + 4, κ) και σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. 5. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 2), Β(2, 1) και Γ(3, 4). α. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 6. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία α. Α( 2, 1) και Β(3, 4) β. Γ(0, 2) και Δ(0, 3) γ. Ε(4, 2) και Ζ(1, 2) 7. Έστω ΑΜ η διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α(5, 2), Β( 5, 3), Γ(9, 1). Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Μ. 8. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = α 1 και λ δ = 2α + 1 τότε να βρείτε τις τιμές του α ώστε οι ευθείες να είναι α) παράλληλες β) κάθετες 9. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = κ2 36 2017 του κ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες και λ δ = κ + 12 2017 τότε να βρείτε τις τιμές 10. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = μ 1 4 του μ ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες. και λ δ = μ 3 τότε να βρείτε τις τιμές 3. Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας 11. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α( 1, 2) και Β(4, 7) 12. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Κ(1, 4) και Λ(2, 6) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 39