Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 48 / 71

Μονοπάτια, κύκλοι και αποστάσεις Έστω ένα γράφημα G(V, E) το οποίο μπορεί να έχει παράλληλες ακμές ή βρόγχους. Ένας k είναι μια ακολουθία π =< v 0 e 1 v 1... v k 1 e k v k > από εναλλασσόμενες κορυφές και ακμές του γραφήματος G έτσι ώστε e i = (v i 1, v i ), 1 i k. (v 0, v k )-περίπατος, v 0, v k : τερματικές κορυφές ή άκρα του περιπάτου. v 1 e 1 e 2 e4 v 2 v 3 v 4 e 5 e 9 e 3 e 6 e 7 v 6 e 8 e 10 e 11 v 5 v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 e 9 v 4 e 8 v 5 Ένας περίπατος με ταυτόσημες τερματικές κορυφές. v 6 e 11 v 5 e 10 v 6 e 7 v 3 e 6 v 4 e 8 v 5 e 10 v 6 Ένας περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες ακμές. Ένας περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές. v 1 e 2 v 2 e 4 v 3 e 7 v 6 Ένα μονοπάτι με ταυτόσημες τερματικές κορυφές. v 1 e 1 v 2 e 2 v 1 e 5 v 4 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 49 / 71

Για απλά γραφήματα Μία ακολουθία κορυφών π =< v 0 v 1... v k > τέτοια ώστε (v i 1, v i ) E, 1 i k. P k : Το γράφημα-μονοπάτι με k κορυφές. P k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k}) C k : Το γράφημα-κύκλος με k κορυφές. C k = ({v 1, v 2,..., v k }, {e i = (v i, v i+1 ) : 1 i < k} (v k, v 1 )) Μια ακμή e = (v i, v j ) που ενώνει δυο κορυφές ενός κύκλου/μονοπατιού π =< v 0 v 1 v 2... v i... v j... v k >, όπου e / π, ή ισοδύναμα i / {j 1, j + 1}. Άχορδο μονοπάτι, άχορδος κύκλος Ένα επαγόμενο υπογράφημα ενός γραφήματος το οποίο [επαγόμενο υπογράφημα] είναι άχορδος κύκλος. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 50 / 71

Έστω ένα γράφημα G και ένας κύκλος του C μήκους k. Είναι το επαγόμενο υπογράφημα από τις κορυφές του C ισομορφικό με το C k ; Έστω γράφημα G με δ(g) 2. Να δειχθεί ότι το G περιέχει κύκλο. Έστω απλό γράφημα G με δ(g) 2. Να δειχθεί ότι το G περιέχει κύκλο μήκους δ(g) + 1. Ισχύει για γραφήματα με βρόγχους/παράλληλες ακμές; Εξετάστε ένα μέγιστο μονοπάτι. Έστω απλό γράφημα G με δ(g) k. Να δειχθεί ότι το G έχει ένα μονοπάτι μήκους k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 51 / 71

Έστω γράφημα G και u, v V (G). Το G περιέχει έναν (u, v)-περίπατο ανν περιέχει ένα (u, v)-μονοπάτι. : Προφανές. Από τον ορισμό του μονοπατιού Θα δείξουμε ότι: Αν το G περιέχει ένα (u, v)-περίπατο W τότε το G περιέχει ένα (u, v)-μονοπάτι το οποίο αποτελείται από κορυφές του W. Έστω ένας περίπατος W = [u = v 1,..., v k = v] ελάχιστου μήκους στο G για τον οποίο η πρόταση δεν ισχύει. Η κορυφή v εμφανίζεται μόνο μία φορά στο W. Εξετάζουμε τον περίπατο W = [u = v 1,..., v k 1 ] που προκύπτει από την αφαίρεση της κορυφής v k από το W. Το W έχει μήκος < k (u, v k 1 )-μονοπάτι P με κορυφές του W και δεν περιλαμβάνει την κορυφή v. Το μονοπάτι P ακολουθούμενο από την ακμή (v k 1, v) είναι ένα (u, v)-μονοπάτι αποτελούμενο από κορυφές του W. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 52 / 71

Έστω γράφημα G και έστω A ο πίνακας γειτνίασης του. Τότε η τιμή A l [i, j] είναι ο αριθμός των διαφορετικών (v i, v j )-περιπάτων μήκους l στο G. [Με επαγωγή ως προς το l]: Βάση: Ισχύει για l = 1. A[i, j] = 1 (v i, v j ) E Ε.Υ. (v i, v j )-μονοπάτι μήκους 1 Έστω ότι ισχύει για k = l 1, δηλαδή A l 1 [i, j] είναι ο αριθμός των διαφορετικών (v i, v j )-περιπάτων μήκους l 1. Ε.Β. A l = A l 1 A V (G) A l [i, j] = A l 1 [i, k]a[k, j] k=1 Κάθε ένας από τους A l 1 [i, k] (v i, v k )-περιπάτους ο οποίος συνεχίζεται από την ακμή (v k, v j ) είναι ένας (v i, v j )-περίπατος. Ισχύει για γραφήματα με βρόγχους και παράλληλες ακμές? Για πολυγραφήματα: A[i, j] = {e : e = (v i, v j ) E} Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 53 / 71

Έστω γράφημα G και u, v V (G). Η (u, v) είναι το μήκος του ελαχίστου (u, v)-μονοπατιού στο G. dist(u, v) = + εάν δεν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι. (Τριγωνική ανισότητα) Έστω γράφημα G και u, v, w V (G) τρεις κορυφές του G. Τότε ισχύει: : dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w). Έστω ότι dist(u, v) + dist(v, w) +, αλλιώς ισχύει τετριμμένα. dist(u, v) το μήκος του ελάχιστου (u, v)-μονοπατιού P uv. dist(v, w) το μήκος του ελάχιστου (v, w)-μονοπατιού P vw. Η παράθεση P uw = P uvp vw δημιουργεί (u, w)-περίπατο με μήκος από το ελάχιστο (u, w)-μονοπάτι. dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 54 / 71

Έστω γράφημα G. Κάθε περιήγηση περιττού μήκους στο G περιέχει έναν περιττό κύκλο στο G. [Με επαγωγή ως προς το μήκος l της περιήγησης]: Έστω W μια περιήγηση περιττού μήκους l. Βάση: l = 1 Η περιήγηση είναι βρόγχος, δηλαδή κύκλος μήκους 1. Ε.Υ. Έστω ότι κάθε περιήγηση περιττού μήκους < l περιέχει έναν περιττό κύκλο. Ε.Β. Έστω W μια περιήγηση περιττού μήκους l. Η W δεν περιέχει επαναλαμβανόμενες κορυφές. Τότε η W είναι εξ ορισμού [περιττός] κύκλος. Η W περιέχει επαναλαμβανόμενη κορυφή, έστω u [εκτός της κοινής τερματικής κορυφής]. Η W μπορεί να διαμελιστεί σε δύο μικρότερες περιηγήσεις W 1, W 2. Μιας και η W είναι περιττού μήκους, μια εκ των W 1, W 2 είναι επίσης περιττού μήκους, έστω η W 1. Από Ε.Υ. η W 1 περιέχει περιττό κύκλο, άρα και η W. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 55 / 71

Ένα γράφημα είναι διμερές ανν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους. : Έστω διμερές γράφημα G = (A, B, E). Έστω κύκλος C = [v 1 v 2... v k = v 1 ] και έστω v 1 A v 2 B, v 3 A, v 4 B,... v 2i 1 A και v 2i B i 1. v k = v 1 A k = 2i 1 για i 1. Ο κύκλος C έχει άρτιο μήκος. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 56 / 71

Έστω γράφημα G που δεν περιέχει περιττούς κύκλους. Θα βρούμε διαμέριση A, B του V (G) και θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει ακμή e = (x, y) : x, y A ή x, y B. Έστω κορυφή u και A, B τα σύνολα κορυφών που βρίσκονται σε άρτια και περιττή απόσταση από την u, αντίστοιχα. A B = και u A [dist(u, u) = 0]. Έστω ακμή e = (x, y) : x, y A [όμοια εάν x, y B]. Η περιήγηση W = {u... x y... u} άρτιο άρτιο{ 1 { { στο G είναι περιττού μήκους. Η W περιέχει έναν περιττό κύκλο [από λήμμα 3.1]. γιατί το G δεν περιέχει περιττούς κύκλους. Κάθε ακμή e = (x, y) έχει x A, y B ή x B, y A. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 57 / 71

G ecc(v) = max v V (G) dist(v, u) G diam(g) = max ecc(v) v V (G) G rad(g) = min v V (G) ecc(v) Κάθε κορυφή v V (G) : ecc(v) = rad(g). G center(g) = {v : v V (G) και ecc(v) = rad(g)} Κάθε κορυφή v V (G) : ecc(v) = diam(g). x, y V (G) dist(x, y) = diam(g) 6 6 5 6 6 4 5 5 3 4 6 4 5 5 5 diam(g) = 6 rad(g) = 3 center(g) = { } far(g) = { } G far(g) = {v : v V (G) και ecc(v) = diam(g)} Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 58 / 71

Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι: : i. rad(g) diam(g) Άμεσα, από τους ορισμούς. rad(g) diam(g) 2rad(G). ii. diam(g) 2rad(G) Έστω 2 αυθαίρετες κορυφές x, y V (G) : dist(x, y) = diam(g). Έστω v V (G) μια κεντρική κορυφή dist(v, x) ecc(v) = rad(g), και dist(v, y) ecc(v) = rad(g). Από τριγωνική ανισότητα: dist(x, y) dist(x, v) + dist(v, y) diam(g) 2rad(G). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 59 / 71

Για κάθε γράφημα G, είτε center(g) = far(g) ή center(g) far(g) =. : Έστω { v center(g) far(g). v center(g) ecc(v) = rad(g) v far(g) ecc(v) = diam(g) } diam(g) = rad(g) (1) u V (G) ισχύει: rad(g) ecc(u) diam(g) (2) (1),(2) Όλες οι κορυφές έχουν ίδια εκκεντρότητα. center(g) = far(g). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 60 / 71

Να δειχθεί ότι για κάθε δένδρο T ισχύει ότι center(t ) {1, 2}. Να σχεδιαστεί αλγόριθμός που υπολογίζει το κέντρο center(t ) ενός δένδρου T. Έστω ένα συνδεδεμένο γράφημα G. Είναι το center(g) πάντα συνδεδεμένο? Να υπολογιστούν τα rad(g), diam(g), center(g), far(g) όπου G το γράφημα: i. M a,b : Το πλέγμα διαστάσεων a b. ii. Q r: Ο υπερκύβος διάστασης r. Πόσα ζεύγη αντιδιαμετρικών κορυφών έχει ο Q r; Ισχύει ότι για κάθε γράφημα G, diam(g) δ(g); Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 61 / 71

Αποσυνθέσεις απόστασης Έστω γράφημα G και κορυφή u V (G). Η G u είναι η ακολουθία συνόλων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] όπου X i = {v : v V (G) και dist(u, v) = i}. X 1 X 2 1 X 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X 4 X 3 A(1) = { {1}, {2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {10}, {9, 11} } Έστω γράφημα G και κορυφή u V (G). Η G u είναι η ακολουθία συνόλων A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] όπου: X 0 = {u} i 1 X i = N G (X i 1 )\ X j, j=0 1 i ecc(u) X i X j = 0 i < j ecc(u) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 62 / 71

Έστω A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u. Τότε 0 i j ecc(u) και x, y V (G) : x X i, y X j, κάθε μονοπάτι P που συνδέει τις κορυφές x και y τέμνει όλα τα σύνολα X i... X j. : Έστω x = u 0, u 1,..., u q 1, u q = y ένα (x, y)-μονοπάτι. Το μονοπάτι αντιστοιχεί στην ακολουθία a = [a 0, a 1,..., a q] όπου u l X al, 0 l q. a 0 = i, a q = j [ χρήση κορυφή v X k, 0 k ecc(u) ισχύει: εναλλακτικού ορισμού N G (v) X k 1 X k X k+1 [εφόσον ορίζονται] Στην ακολουθία a ισχύει ότι a k 1 a k 1, 0 < k < q. [Διαδοχικοί όροι απέχουν το πολύ κατά 1.] Η a περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς στο διάστημα i... j. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 63 / 71

Έστω γράφημα G και έστω κορυφή u V (G). Τότε, ο αριθμός των μονοπατιών μήκους l που έχουν την u ως άκρο τους είναι το πολύ : d(u)( (G) 1) l 1 Έστω Pu i, 1 i l το σύνολο των μονοπατιών που έχουν την u ως το ένα άκρο τους και έχουν μήκος i. P 1 u = d(u) (3) Κάθε μονοπάτι του Pu i+1, 1 i < l αποτελεί επέκταση ενός μονοπατιού του Pu i Έστω o(p ) το άλλο άκρο κάθε μονοπατιού που ξεκινάει από την u. Pu i+1 (d(o(p )) 1) ( (G) 1) Pu ( (G) i 1) P P i u P P i u Pu i+1 Pu i ( (G) 1) (4) (3),(4) P l u d(u)( (G) 1) l 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 64 / 71

Έστω γράφημα G με (G) d. Τότε για κάθε κορυφή u V (G) υπάρχουν το πολύ 1 + d d 2 ((d 1)l 1) κορυφές του G σε απόσταση l από την u. : Έστω A(u) = [X 0, X 1,..., X l ] η αποσύνθεση απόστασης του G ως προς την u. Εξ ορισμού, X i, 0 i l είναι το πλήθος των κορυφών σε απόσταση i από την u. X i μονοπάτια από την u προς το X i μήκους i. l l l X i 1 + d(u)( (G) 1) i 1 1 + d(d 1) i 1 i=0 i=1 i=1 l 1 = 1 + d (d 1) i = 1 + d d 2 ((d 1)l 1) i=0 [ Άθροισμα S n n όρων γεωμετρικής προόδου S n = 1 + λ + λ 2 + + λ n 1 = λn 1 λ 1 ] Έστω γράφημα G με rad(g) r και (G) d. Τότε V (G) 1 + d d 2 ((d 1)r 1). : Με εφαρμογή του προηγούμενου λήμματος για κάποια κορυφή u center(g). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 65 / 71

G u πα(u) = max { X i }, X i A(u) = [ X 0, X 1,..., X ecc(u) ] πα(g) = min u V (G) {πα(u)} Έστω γράφημα G. Τότε ισχύει ότι πα(g) V (G) 1 diam(g). : [ ] Έστω u V (G) : πα(u) = πα(g) και έστω A(u) = X 0, X 1,..., X ecc(u) ecc(u) V (G) 1 + X i 1 + ecc(u)πα(u) 1 + diam(g)πα(g) i=1 V (G) 1 πα(g) diam(g) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 66 / 71

2 6 G crm(g): Μήκος ενός μέγιστου [μήκους] κύκλου του G. 1 3 5 G girth(g): Μήκος ενός ελάχιστου [μήκους] κύκλου του G. 4 crm(g) = 7 girth(g) = 3 7 κύκλος: (1, 4, 3, 5, 7, 6, 2, 1) κύκλος: (5, 6, 7) Έστω απλό γράφημα G που περιέχει κύκλο(υς). Τότε, δ(g) crm(g) 1. : Έστω P = (u 0, u 1,..., u k ) ένα μέγιστο μονοπάτι του G. Όλες οι κορυφές του N G (u 0 ) ανήκουν στο μονοπάτι. N G (u 0 ) δ(g) γείτονες της u ανήκουν στο μονοπάτι. κύκλος μήκους δ(g) + 1 στο G. δ(g) crm(g) 1. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 67 / 71

Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ϵ(g) 1 περιέχει κύκλο. [Με επαγωγή ως προς το V (G), ( ϵ(g) = E(G) V (G) ) ]: Ισχύει εξ ορισμού για κάθε γράφημα με βρόγχους ή παράλληλες ακμές. Άρα, θα το δείξουμε για απλά γραφήματα. Βάση: n = 3 m 3 Μοναδικό γράφημα. Ε.Υ. Έστω ότι κάθε γράφημα H με ϵ(h) 1 και 3 V (H) < n έχει κύκλο Ε.Β. Έστω γράφημα G με ϵ(g) 1 και 3 < V (G) = n δ(g) 2. Δημιουργούμε τον περίπατο όπου ξεκινώντας από μια κορυφή, βγαίνουμε από αυτή από διαφορετική ακμή από αυτήν που μπήκαμε. Ο περίπατος μπορεί να συνεχίζεται συνέχεια γιατί δ(g) 2. Μετά από V (G) βήματα θα επαναληφθεί κάποια κορυφή. κύκλος Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 68 / 71

δ(g) = 1. Υπάρχει κορυφή u με d(u) = 1. G\u έχει: ϵ(g\u) = E(G\u) V (G\u) = E(G) 1 V (G) 1 E(G) V (G) 1 Ε.Υ. == G\u έχει κύκλο. G έχει κύκλο. δ(g) = 0. Υπάρχει κορυφή u με d(u) = 0, δηλαδή, το G δεν είναι συνεκτικό. G\u έχει: ϵ(g\u) = E(G\u) V (G\u) = E(G) V (G) 1 E(G) V (G) 1 Ε.Υ. == G\u έχει κύκλο. G έχει κύκλο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 69 / 71

Έστω γράφημα G με κύκλο(υς) και δ(g) d. Τότε ισχύει: r 1 1 + d (d 1) i girth(g) = 2r + 1 i=0 V (G) r 1 2 (d 1) i girth(g) = 2r i=0 : girth(g) = 2r + 1. Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρώτα r + 1 σύνολα μιας αποσύνθεσης απόστασης A(u) ως προς κάποια κορυφή u V (G) η οποία ανήκει σε έναν κύκλο μήκους girth(g). v X i, 1 i r, η v έχει ακριβώς 1 γείτονα στο X i 1. [Διαφορετικά, έστω ότι είχε 2 γείτονες w 1 και w 2 X i 1. μονοπάτια u w 1 και u w 2 ίδιου μήκους (i 1). κύκλος μήκους το πολύ 2i 2r < girth(g). (ορισμός του girth(g)).] X i (d 1) X i 1, 2 i r, X 0 = 1, X 1 d r V (G) X i 1 + d + d(d 1) + + d(d 1) r 1 i=0 r 1 = 1 + d (d 1) i i=0 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 70 / 71

girth(g) = 2r. Έστω (u, v) μια αυθαίρετη ακμή του G που ανήκει σε κύκλο μήκους girth(g). G = G\(u, v) {(u, w), (w, v)} Έστω X 0, X 1,..., X r τα πρώτα r + 1 σύνολα μιας αποσύνθεσης απόστασης A(w). y X i, 2 i r, η y έχει ακριβώς 1 γείτονα στο X i 1. [Εάν y X i, 2 i r με 2 γείτονες στο X i 1 τότε έχω στο G κύκλο μεγέθους 2i. Τότε, έχω στο G κύκλο μεγέθους 2i 1. 2i 1 2r 1 < girth(g). ] X 0 = 1, X 1 = 2, X i (d 1) X i 1, 2 < i r r 1 r V (G ) X i 1 + 2 + 2(d 1) + + 2(d 1) r 1 = 1 + 2 (d 1) i i=0 V (G) = V (G ) 1 r 1 (5),(6) V (G) 2 (d 1) i i=0 w X0 u v X1 G Xi 1 Xi y Xr 1 i=0 Xr y (5) (6) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 71 / 71