ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναωτή Έστω ότι ένας καταναωτής επιέγει να καταναώσει δύο προϊόντα, χυμούς () και τοστ (). Η τιμή των χυμών είναι 0.5 ευρώ ανά μονάδα προϊόντος (x = 0.5 ), η τιμή των τοστ είναι.00 ευρώ ανά μονάδα προϊόντος ( =.00 ) και το εισόδημα του καταναωτή είναι.00 ευρώ ( I =.00 ). Θεωρείστε ότι ο καταναωτής δαπανά όο του εισόδημα σε αυτά τα δύο αγαθά, δεν υπάρχει αποταμίευση ούτε δανεισμός. Η συνάρτηση χρησιμότητας του συγκεκριμένου καταναωτή δίνεται από τη σχέση U = U(, ) = = Ερώτημα : Πώς πρέπει να κατανείμει το εισόδημά του ο καταναωτής, ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του; Να άβετε υπόψη ότι οι συνθήκες πρώτης τάξης για την επίυση του προβήματος της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας με τη μέθοδο του Lagrange δίνουν τις ακόουθες τρεις σχέσεις:
= () = () I = + (3) Να διατυπώσετε ποιά είναι η βασική υπόθεση που πρέπει να ικανοποιείται για τις συνθήκες δεύτερης τάξης του συγκεκριμένου προβήματος. Ερώτημα : Αν αυξηθεί η τιμή του χυμού από 0.5 σε 0.80 ευρώ, πώς ειτουργούν τα αποτεέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος; Τι επίπτωση προκύπτει για το επίπεδο χρησιμότητας του καταναωτή; Τι θα πρέπει να συμβεί στο εισόδημά του για να παραμείνει ο καταναωτής στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας με εκείνο που είχε πριν την αύξηση της τιμής των χυμών; Για να δώσετε την απάντησή σας, υποθέστε ότι και τα δύο αγαθά είναι κανονικά. Δεν χρειάζεται να απαντήσετε μέσω γραφικής παράστασης. Λύση: Ερώτημα : Εφόσον ο καταναωτής δαπανά όο το εισόδημά του στα δύο αυτά αγαθά και δεν υφίστανται αποταμιεύσεις και δανεισμός, ο εισοδηματικός περιορισμός του θα είναι I = +. Η συνάρτηση χρησιμότητας του καταναωτή είναι U = U(, ) =. Επομένως, συνδυάζοντας τις δύο αυτές πηροφορίες, προκύπτει ότι το πρόβημα που θέουμε να επιύσουμε είναι το ακόουθο:
, max U = U(, ) = s.t. I = + Με άα όγια, θέουμε να μεγιστοποιήσουμε (maximize max) τη συνάρτηση χρησιμότητας ως προς τις ποσότητες των αγαθών και, υπό τον περιορισμό (subject to s.t.) του εισοδήματος. Για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Lagrange για βετιστοποίηση (μεγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση) με περιορισμό, σχηματίζουμε την αντίστοιχη συνάρτηση του Lagrange: L= ( ) + I όπου είναι ο ποαπασιαστής Lagrange. Ουσιαστικά, το πρώτο μέρος της συνάρτησης Lagrange αποτεείται από τη συνάρτηση που θέουμε να μεγιστοποιήσουμε και το δεύτερο μέρος από τον περιορισμό. Άρα το πρόβημα μεγιστοποίησης διατυπώνεται, πέον, ως εξής:,, ( ) max L= + I όπου τώρα πέον η μεγιστοποίηση γίνεται ως προς τις ποσότητες των αγαθών και καθώς και ως προς τον ποαπασιαστή Lagrange,. Από τα δεδομένα της άσκησης, δίνονται οι σχέσεις που προκύπτουν από τις συνθήκες πρώτης τάξης (First Order Conditions F.O.C.). Οι συνθήκες δεύτερης τάξης (Second Order Conditions S.O.C.) απαιτούν οι καμπύες αδιαφορίας του καταναωτή να είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων, τουάχιστον στο σημείο ισορροπίας του καταναωτή. Εναακτικά, η συνάρτηση Lagrange γράφεται ως L= ( I ) συνάρτηση προς μεγιστοποίηση είναι ( I ),, + και η αντίστοιχη max L= +. Όπως μπορείτε να διαπιστώσετε, εάν κάνετε τις πράξεις, το τεικό αποτέεσμα δεν αάζει, όγω της σωστής ααγής των προσήμων. Επομένως, οι συνθήκες πρώτης τάξης, που μάς ενδιαφέρουν για την επίυση του προβήματος της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας του καταναωτή, παραμένουν αμετάβητες. Στο παράρτημα της άσκησης δίνεται αναυτικά ο τρόπος εξαγωγής των συνθηκών πρώτης τάξης. 3
Για να βρούμε ποιές ποσότητες των αγαθών και μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα του καταναωτή, θα αξιοποιήσουμε τις σχέσεις που δίνουν οι συνθήκες πρώτης τάξης. Ειδικότερα, διαιρώντας κατά μέη τις σχέσεις () και () και κάνοντας τις κατάηες αποποιήσεις, προκύπτει η σχέση (4): = = = = (4) Αν ύσουμε τη σχέση (4) ως προς και ως προς, παίρνουμε δύο νέες σχέσεις για τις ποσότητες των αγαθών που πρέπει να καταναώσει ο καταναωτής για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. Πιο συγκεκριμένα, = = (5) = = (6) Στη συνέχεια, μπορούμε να αντικαταστήσουμε κάθε φορά τις σχέσεις (5) και (6) στη σχέση (3). Αντικαθιστώντας τη σχέση (5) στη σχέση (3) προκύπτει η σχέση (7): I = + I= + I= + I= (7) και αντικαθιστώντας τη σχέση (6) στη σχέση (3) προκύπτει η σχέση (8): I = + I = + I = + I = (8) Οι σχέσεις (7) και (8) περιέχουν εισόδημα, τιμή και ποσότητα ενός αγαθού. Αυτά θυμίζουν την έννοια της συνάρτησης ζήτησης κατά Marshall. 4
Υπενθυμίζουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης κατά Marshall είναι η απή συνάρτηση ζήτησης, όπου η ζητούμενη ποσότητα προσδιορίζεται ως συνάρτηση των τιμών των αγαθών και του εισοδήματος: *=dx(,, I) όπου Χ είναι η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού Χ, είναι η τιμή του, είναι η τιμή όων των άων αγαθών και I είναι το εισόδημα του καταναωτή. Επομένως, εάν ύσουμε τις σχέσεις (7) και (8) ως προς και, αντίστοιχα, θα πάρουμε τις συναρτήσεις ζήτησης κατά Marshall: I I = = (9) I I = = (0) Μπορούμε, πέον, να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα της άσκησης στις σχέσεις (9) και (0) και να βρούμε τις ζητούμενες ποσότητες: I = = = = 4 0.5 0.5 I = = = =.00.00 μονάδες προϊόντος και μονάδα προϊόντος. Επομένως, η χρησιμότητα του καταναωτή μεγιστοποιείται όταν καταναώνει 4 μονάδες του προϊόντος και μονάδα του προϊόντος. Το επίπεδο της χρησιμότητάς του είναι μονάδες χρησιμότητας. U = U(, ) = = 4 = 4 = 4 = 5
Ερώτημα : 3 Εφόσον αυξάνεται η τιμή ενός προϊόντος, θα συμβούν διαδοχικά τα αποτεέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος. 4 Όταν η τιμή του αγαθού αυξάνεται, το αγαθό αυτό γίνεται σχετικά πιο ακριβό. Για το όγο αυτό, ο ορθοογικά σκεπτόμενος καταναωτής θα επιθυμεί να υποκαταστήσει μονάδες του αγαθού με μονάδες του αγαθού, το οποίο είναι σχετικά φθηνότερο. Ειδικότερα, το αποτέεσμα υποκατάστασης υποδεικνύει ότι ο καταναωτής θα κινηθεί κατά μήκος της καμπύης αδιαφορίας που δίνει μονάδες χρησιμότητας, όπως είδαμε στο πρώτο ερώτημα της άσκησης. Με αυτόν τον τρόπο, καταναώνει έναν άο συνδυασμό προϊόντων, όπου καταναώνει περισσότερες μονάδες του σχετικά φθηνότερου αγαθού και ιγότερες μονάδες του σχετικά ακριβότερου αγαθού, και ταυτόχρονα συνεχίζει να αποαμβάνει τις ίδιες μονάδες χρησιμότητας όπως και πριν την αύξηση της τιμής του αγαθού. Ωστόσο η αύξηση της τιμής του αγαθού περιορίζει τις καταναωτικές δυνατότητες του συγκεκριμένου καταναωτή, με αποτέεσμα τη μετατόπιση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού σε μια νέα θέση. Επομένως, ο καταναωτής θα πρέπει να μετακινηθεί σε μια νέα και χαμηότερη καμπύη αδιαφορίας όπου η χρησιμότητα θα είναι πέον μικρότερη από μονάδες. Εφόσον τα αγαθά είναι κανονικά, η αύξηση της τιμής του αγαθού μειώνει τη ζητούμενη ποσότητα για το αγαθό αυτό, τόσο μέσω του αποτεέσματος υποκατάστασης όσο και μέσω του εισοδηματικού αποτεέσματος. Εάν ο καταναωτής επιθυμεί να παραμείνει στην ίδια καμπύη αδιαφορίας, θα πρέπει να έχει τη δυνατότητα να επιστρέψει στην αρχική καμπύη αδιαφορίας των μονάδων χρησιμότητας. Για να συμβεί αυτό πρέπει να αυξηθεί το εισόδημα του καταναωτή, ώστε να μετατοπιστεί εκ νέου ο εισοδηματικός περιορισμός και να φτάσει σε κάποιο σημείο όπου θα εφάπτεται της αρχικής καμπύης αδιαφορίας. Αυτό θα είναι το νέο σημείο ισορροπίας του καταναωτή, όπου θα αντισταθμίζει την επίπτωση της αύξησης της τιμής μέσω της αύξησης του εισοδήματος. 3 Αν και δεν απαιτείται γραφική αναπαράσταση της ύσης σε αυτό το ερώτημα, μπορείτε να συμβουευτείτε τις σημειώσεις των παραδόσεων και να αντιηφθείτε τις κινήσεις που κάνει ο καταναωτής αντιδρώντας σε κάθε αποτέεσμα και μεταβοή των δεδομένων. 4 Τονίζουμε ότι δεν πρέπει να γίνει αντικατάσταση των νέων αριθμητικών δεδομένων στις σχέσεις (7) και (8), επειδή αάζει εντεώς η συμπεριφορά του καταναωτή. Η ααγή της τιμής είναι ένας παράγοντας που μεταβάει τη συμπεριφορά, τις επιογές και την ισορροπία του καταναωτή μέσω των αποτεεσμάτων υποκατάστασης και εισοδήματος!!! 6
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Οι συνθήκες πρώτης τάξης απαιτούν τη γνώση των μερικών παραγώγων και για αυτό το όγο παρουσιάζονται στο παράρτημα, ενώ τα αποτεέσματά τους δίνονται μαζί με τα δεδομένα της άσκησης. Το πρόβημα μεγιστοποίησης με τη συνάρτηση του Lagrange διατυπώνεται ως εξής:,, ( ) max L= + I F.O.C. L = 0 = 0 = () L = 0 = 0 = () L = 0 ( + I) = 0 + I = 0 I = + (3) 7