ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις, Αν 0 η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα την Αν 0 η εξίσωση είναι αδύνατη στο R Αν η εξίσωση έχει ρητές ρίζες 4. Μορφή 0 με 0 και Λύση: 0 0 αντίστοιχα ( f( )) f( ) 0 f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα f ( ) και έχουμε 0 4 5. Μορφή 0 με 0 (Διττετράγωνη εξίσωση) Λύση: Θέτουμε και έχουμε 0 6. Μορφή Λύση: θέτουμε 0 με 0 και ( f( )) ( f( )) 0 αντίστοιχα ( f ( )) και έχουμε 0 7. Αν η εξίσωση 0 α) έχει διπλή ρίζα τότε 0, β) έχει πραγματικές ρίζες τότε 0, γ) είναι αδύνατη τότε 0 με 0
8. Αν η εξίσωση 0 με 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε: ) S ) ) 0 S 0 Πρέπει να γνωρίζουμε ότι:. ( ). ( ) ( )., αντίθετοι αν 0 4., αντίστροφοι αν 5. ( ) 6. Η εξίσωση 0 με 0 έχει : δύο ρίζες θετικές όταν ( 0 και 0 και S 0 ) δύο ρίζες αρνητικές όταν ( 0 και 0 και S 0) ρίζες ομόσημες όταν ( 0 και 0) ρίζες ετερόσημες όταν ( 0) 9. Να συμπληρώσετε το πίνακα Δ Ρ S Συμπέρασμα 0 0 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις α) β) ( ) 5 9. Η εξίσωση ( ) 0 0 έχει ρίζα τον αριθμό. α) Να βρεθεί ο β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. Να λύσετε την εξίσωση ( 4) ( ) 0 4. Αν η εξίσωση ( ) 9 0 έχει μία διπλή ρίζα, να βρεθεί το. 5. Δείξτε ότι, αν η εξίσωση ( ) 4 4 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση ( ) ( ) 0 έχει δύο ρίζες άνισες. 6. Η εξίσωση ( ) ( )( 4) 0 έχει μία διπλή ρίζα. Να βρείτε : α) τους, β) τη διπλή ρίζα. 7. Τα μήκη των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. 8. Αν η εξίσωση ( ) έχει ρίζα το, να υπολογίσετε το 9. Δίνεται η εξίσωση: 6 9, όπου, πραγματικοί αριθμοί με 0. Να υπολογίσετε το, όταν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 4 β). Δίνεται η εξίσωση 9 0 α) Δείξτε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, πραγματικές και άνισες β) Να βρείτε τις παραστάσεις :,,,,, γ) Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες,. Δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) 0 η οποία έχει ρίζες πραγματικές,. Αποδείξτε ότι η παράσταση, είναι ανεξάρτητη του.. Δίνεται η εξίσωση 0 α) Αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, για κάθε τιμή του R
β) Να βρεθούν τα R ώστε γ) Υπολογίστε τις παραστάσεις και 4. Δίνεται η εξίσωση 9 6 0 με πραγματικές ρίζες,. α) Δείξτε ότι β) Αν, να βρεθούν οι ρίζες, και το 5. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης ( ) 0 γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα., 0 6. Η εξίσωση 8 0 έχει πραγματικές ρίζες, με 6 και 4 α) Να βρείτε τα, β) Να λυθεί η εξίσωση 7. Δίνεται η εξίσωση 0, με πραγματικές ρίζες,. Να βρεθεί ο R, αν ισχύει: 8 8 4 8. Δίνεται η εξίσωση 0, με πραγματικές ρίζες,. Να βρεθεί ο R, αν ισχύει: ) ( 9. Μία εξίσωση ου βαθμού έχει 0,, S 0. Δείξτε ότι S 0. Αν και 0 ακέραιες ρίζες.. Αν η εξίσωση 0, αποδείξτε ότι η εξίσωση: 0, 0, αν, δεν έχει δύο, έχει πραγματικές ρίζες και ισχύει :, να δείξετε ότι μία τουλάχιστον ρίζα περιέχεται στο διάστημα ( 0,) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ν. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΜΑ ο ) ΑΣΚΗΣΗ 48.. x λx 4 λ 0, με παράμετρο λir. Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir. γ) Αν x,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x x x x. (Μονάδες 9) ) ΑΣΚΗΣΗ 48.. α) Να λύσετε την εξίσωση x (Μονάδες ) β) Αν α,β με α β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την
εξίσωση α x β x 0. (Μονάδες ) ) ΑΣΚΗΣΗ 49.. α) Να λύσετε την εξίσωση x (Μονάδες 0) β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. (Μονάδες 5) 4) ΑΣΚΗΣΗ 496.. x λx 4 λ 0, με παράμετρο λir. Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir. γ) Αν x,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ x x x x 5 0 (Μονάδες 9) ισχύει: 5) ΑΣΚΗΣΗ 005.. x Δίνονται οι παραστάσεις A και, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x και x 0 (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A B. (Μονάδες ) 6) ΑΣΚΗΣΗ 007.. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: x 0x (Μονάδες 5) x 0x β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 x (Μονάδες 0) 7) ΑΣΚΗΣΗ 067.. x 4x 4 Δίνεται η παράσταση: Κ x x α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x x. (Μονάδες 0) β) Για ποιες τιμές του xιr ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 7) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K. 8) ΑΣΚΗΣΗ 09.. Δίνονται οι αριθμοί: A και B 5 5 5 5 α) Να δείξετε ότι: i) AB ii) AB 0 9) ΑΣΚΗΣΗ 097.. Δίνεται το τριώνυμο λx λx 5, όπου λιr. α) Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός x0, να προσδιορίσετε την τιμή του λ. (Μονάδες ) β) Για λ, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. (Μονάδες ) 0) ΑΣΚΗΣΗ 75.. Δίνεται το τριώνυμο: x 5x α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, x και x. (Mονάδες 6)
β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: x x, x x και (Mονάδες 9) x x γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και x (Μονάδες 0) ) ΑΣΚΗΣΗ 8.. Δίνεται το τριώνυμο x x. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: Δ (Μονάδες ) β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. (Μονάδες ) ) ΑΣΚΗΣΗ 8.. α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x x. x β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: Ax x x και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9) A x γ) Να λύσετε την εξίσωση: ) ΑΣΚΗΣΗ 98.. Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α β και α β αβ 0 α) Να αποδείξετε ότι: αβ 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) 4) ΑΣΚΗΣΗ 509.. x λ x 6 0, () με παράμετρο λιr. Δίνεται η εξίσωση α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το, να βρείτε το λ. (Μονάδες ) β) Για λ να λύσετε την εξίσωση () (Μονάδες ) 5) ΑΣΚΗΣΗ 89.. Δίνεται η εξίσωση: λx (λ )x 0, με παράμετρο λ 0. α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ 0. (Μονάδες ) 6) ΑΣΚΗΣΗ 857.. Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: αβ 4 και α β αβ 0. α) Να αποδείξετε ότι: α β 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β, και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) 7) ΑΣΚΗΣΗ 86.. Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α β και α β α β αβ α) Να αποδείξετε ότι: αβ. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) 8) ΑΣΚΗΣΗ 408.. x α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση Π έχει νόημα x x x πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 0) β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση: x.
x x x x 0 (Μονάδες 5) 9) ΑΣΚΗΣΗ 409.. Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π 0 cm και εμβαδόν E 4 cm. α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 0) 0) ΑΣΚΗΣΗ 40.. Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε: α β και α β 7. α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α β) α αβ β, να δείξετε ότι: αβ 64. β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς α,β. (Μονάδες 0) γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α,β. (Μονάδες 7) ) ΑΣΚΗΣΗ 4.. Δίνονται οι αριθμοί: Α, 7 α) Να δείξετε ότι: Α Β και Β 7 ΑΒ (Μονάδες ) β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α,Β. (Μονάδες ) ) ΑΣΚΗΣΗ 07.. Το πάτωμα του εργαστήριου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις (x ) μέτρα και x μέτρα. α) Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος. (Μονάδες 0) β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του. (Μονάδες 5) ) ΑΣΚΗΣΗ 5.. Δίνεται το τριώνυμο: x κx, με κιr α) Να αποδείξετε ότι Δ 0 για κάθε κιr, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου. (Μονάδες ) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x 0 (), i) Να βρείτε το άθροισμα S x x και το γινόμενο P x x των ριζών της (). (Μονάδες 6) ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ x και ρ x. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4ο 4) ΑΣΚΗΣΗ 4955.. Τε σσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντι στοιχους χρο νους (σε λεπτα ) t A, t B, t και Γ t Δ, για τους οποιόυς ta tb ισχυόυν οι σχε σεις: t A t B, tγ και ta tδ tb tδ. ta tb α) i) Να δει ξετε ο τι: tδ (Μονα δες 5) ii) Να βρει τε τη σειρα με την οποιά τερμα τισαν οι αθλητε ς. Να αιτιολογη σετε την απα ντηση σας. (Μονα δες 0) β) Δι νεται επιπλεόν ο τι ισχυέι: t A t B 6 και t A t B 8
i) Να γράψετε μιά εξι σωση ου βαθμου που ε χει ρι ζες τους αριθμου ς t A και t B (Μονα δες 5) ii) Να βρει τε τους χρο νους τερματισμου των τεσσα ρων αθλητω ν. (Μονα δες 5) 5) ΑΣΚΗΣΗ 4055.. λ λ x λ x λ 0, () με παρα μετρο λir Δι νεται η εξι σωση: α) Να βρεθου ν οι τιμε ς του λir, για τις οποιές η () ει ναι εξι σωση ου βαθμου. (Μονα δες 6) β) Να αποδει ξετε ο τι για τις τιμε ς του λir που βρη κατε στο (α) ερω τημα η () παι ρνει τη λx λ x 0 (Μονα δες 6) μορφη : γ) Να αποδει ξετε ο τι για τις τιμε ς του λir που βρη κατε στο (α) ερω τημα η () ε χει δυο ρι ζες πραγματικε ς και α νισες. (Μονα δες 7) δ) Να προσδιορι σετε τις ρι ζες της (), αν αυτη ει ναι ου βαθμου. (Μονα δες 6) 6) ΑΣΚΗΣΗ 4.. Δι νεται η εξι σωση x 4x λ 0 () με παρα μετρο λir. α) Να αποδει ξετε ο τι, για οποιαδη ποτε τιμη του λir, η () ε χει δυό ρι ζες α νισες. (Μονα δες 0) β) Αν x και x ει ναι οι ρι ζες της εξι σωσης (): i) Να βρει τε το S x x. ii) Να βρει τε το P x x ως συνα ρτηση του πραγματικου αριθμου λ. (Μονα δες 5) γ) Αν η μιά ρι ζα της εξι σωσης () ει ναι ο αριθμο ς το τε: i) να αποδει ξετε ο τι η α λλη ρι ζα της εξι σωσης () ει ναι ο αριθμο ς, ii) να βρει τε το λ. (Μονα δες 0) 7) ΑΣΚΗΣΗ 4455.. λx λ x λ, λir{0} Δι νεται το τριω νυμο: α) Να βρει τε τη διακρι νουσα Δ του τριωνυ μου και να αποδει ξετε ο τι το τριω νυμο ε χει ρι ζες πραγματικε ς για κα θε λir{0} (Μονα δες 8) β) Αν x, x ει ναι οι ρι ζες του τριωνυ μου, να εκφρα σετε το α θροισμα S x x συναρτη σει του λ 0 και να βρει τε την τιμη του γινομε νου P x x των ριζω ν. (Μονα δες 5) γ) Αν λ 0, το τε: i) το παραπα νω τριω νυμο ε χει ρι ζες θετικε ς η αρνητικε ς; Να αιτιολογη σετε την απα ντηση σας. (Μονα δες 6) ii) να αποδει ξετε ο τι x x xx, ο που x, x ει ναι οι ρι ζες του παραπα νω τριωνυ μου. (Μονα δες 6) 8) ΑΣΚΗΣΗ 44558.. f x λx λ x λ, με λ 0 Δι νεται το τριω νυμο: α) Να βρει τε τη διακρι νουσα Δ του τριωνυ μου και να αποδει ξετε ο τι το τριω νυμο ε χει ρι ζες θετικε ς για κα θε λ 0. (Μονα δες 0) β) Αν οι ρι ζες του τριωνυ μου ει ναι τα μη κη των πλευρω ν ενο ς ορθογωνιόυ παραλληλογρα μμου, το τε: i) να βρει τε το εμβαδο ν του ορθογωνιόυ. (Μονα δες 4) ii) να βρει τε την περι μετρο Π του ορθογωνιόυ ως συνα ρτηση του λ και να αποδει ξετε ο τι Π 4 για κα θε λ 0. (Μονα δες 8) iii) για την τιμη του λ που η περι μετρος γι νεται ελα χιστη, δηλαδη ι ση με 4, τι συμπεραι νετε για το ορθογω νιο; Να αιτιολογη σετε την απα ντηση σας.
(Μονα δες ) 9) ΑΣΚΗΣΗ 44654.. 4 α) Δι νεται η διτετρα γωνη εξι σωση: x 7x 0. Να δει ξετε ο τι η εξι σωση αυτη ε χει τε σσερις διαφορετικε ς πραγματικε ς ρι ζες, τις οποιές και να προσδιορι σετε. (Μονα δες 0) β) Γενικευόντας το παρα δειγμα του προηγου μενου ερωτη ματος, θεωρου με τη 4 διτετρα γωνη εξι σωση: x βx γ 0 () με παραμε τρους β,γir. Να δει ξετε ο τι: Αν β 0, γ 0 και β 4γ 0, το τε η εξι σωση () ε χει τε σσερις διαφορετικε ς πραγματικε ς ρι ζες. (Μονα δες 5) 0) ΑΣΚΗΣΗ 44659.. Δι νεται η εξι σωση: αx 5x α 0, με παρα μετρο α 0. α) Να αποδει ξετε ο τι αν 5 α, το τε η εξι σωση ε χει ρι ζες πραγματικου ς αριθμου ς, που ει ναι αντι στροφοι μεταξυ τους. (Μονα δες 0) β) Να βρει τε τις λυ σεις της εξι σωσης, ο ταν α. (Μονα δες 5) γ) Να λυ σετε την εξι σωση: x 5 x 0 x x ) ΑΣΚΗΣΗ 44665.. Δίνεται η εξίσωση: x λx (λ 5) 0 με παράμετρο λir. (Μονα δες 0) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λir. (Μονάδες 0) γ) Αν x, x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να βρεθούν οι τιμές του λir για τις x x 4. (Μονάδες 0) οποίες ισχύει: ) ΑΣΚΗΣΗ 44667.. α) Να λύσετε την εξίσωση: x x 4 0 (). (Μονάδες 0) β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει: α αβ 4β 0. i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α β είναι λύση της εξίσωσης (). (Μονάδες 7) ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. ) ΑΣΚΗΣΗ 4468.. Δίνεται η εξίσωση: x x λ λ 0 με παράμετρο λir () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir (Μονάδες 0) β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει dx,x d x,x (Μονάδες 9) 4) ΑΣΚΗΣΗ 448.. Μία υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός x, να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό λ που δίνεται από τη σχέση: λ x 5 8x () α) Αν ο εισαγόμενος αριθμός είναι το 5, ποιος είναι ο εξαγόμενος; (Μονάδες 6) β) Αν ο εξαγόμενος αριθμός είναι το 0, ποιος μπορεί να είναι ο εισαγόμενος; (Μονάδες 6) 4x x 5 λ 0 και στη συνέχεια: γ) Να γράψετε τη σχέση () στη μορφή
i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός x, ο εξαγόμενος αριθμός λ δεν μπορεί να είναι ίσος με 5. (Μονάδες 6) ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του εξαγόμενου αριθμού λ. (Μονάδες 7) 5) ΑΣΚΗΣΗ 4485.. Δίνεται η εξίσωση x βx γ 0 με β,γ πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει xx 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι γ 4. (Μονάδες 7) γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση x β x 0 () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες ) 6) ΑΣΚΗΣΗ 44857.. Δίνεται η εξίσωση αβx (α β )x αβ 0, όπου α,β δύο θετικοί αριθμοί. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι: Δ (α β ). β) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών α,β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α,β. (Μονάδες 0) α β γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι x και x, τότε να αποδείξετε ότι: β α ( x )( x ) 4. (Μονάδες 7) 7) ΑΣΚΗΣΗ 4490.. λx λ x λ 0, με παράμετρο λir{0}. Δίνεται η εξίσωση α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή. β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με μονάδες. (Μονάδες 0) 8) ΑΣΚΗΣΗ 44957.. λx λ x λ, λir{0}. Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0}. β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S x x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P x x των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 6) δ) Για κάθε λ 0, αν x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι x x xx. (Μονάδες 6) 9) ΑΣΚΗΣΗ 4496.. λx λ x λ, λir{0}. Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0}. β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S x x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P x x των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 6)
δ) Αν 0 λ και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνεται x x τους αριθμούς και. (Μονάδες 6) 40) ΑΣΚΗΣΗ 44970.. Δίνεται η εξίσωση: x λx 6 0 () με παράμετρο λir. α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός ρ. i) Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x λx 6 0 (Μονάδες 7) ii) Να δείξετε ότι: ρ 0 και ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6x λx 0. (Μονάδες 46=0) 4) ΑΣΚΗΣΗ 44975.. 4 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 8x 9 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη 4 διτετράγωνη εξίσωση: x βx γ 0 () με παραμέτρους β,γir. Να δείξετε ότι: Αν γ 0 τότε: i) β 4γ 0. (Μονάδες ) ii) η εξίσωση () έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μονάδες ) 4) ΑΣΚΗΣΗ 4499.. α) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο Π 4 cm και διαγώνιο δ cm. i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E 60 cm. (Μονάδες 5) ii) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) iii) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 40 cm και διαγώνιο 8 cm. (Μονάδες 0) 4) ΑΣΚΗΣΗ 457.. 4 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 9x 0 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) 4 β) Να κατασκευάσετε μια διτετράγωνη εξίσωση της μορφής x βx γ 0, η οποία να έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 5) 44) ΑΣΚΗΣΗ 46.. Δίνεται η εξίσωση: x 5λx 0, με παράμετρο λir. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λir, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λir, για τις οποίες ισχύει: 4 x x 8 7 x x 0. (Μονάδες 9) ii) Για λ, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A x x x 4 x xx (Μονάδες 9)
45) ΑΣΚΗΣΗ 464.. Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x 4λ x 6 0 λ, με λ(0,4) α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Π 6, για κάθε λ(0,4). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) 46) ΑΣΚΗΣΗ 466.. Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x x λ λ 0, με λ(0,) α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Ε, για κάθε λ(0,). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με ; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) 48) ΑΣΚΗΣΗ 4755.. Δίνεται η εξίσωση: x x λ 0, με παράμετρο λ. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x διαφορετικές μεταξύ τους. (Μονάδες 6) β) Να δείξετε ότι: xx. (Μονάδες 4) γ) Αν για τις ρίζες x, x ισχύει επιπλέον: x x, τότε: i) Να δείξετε ότι: xx 4. (Μονάδες 7) ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες x, x και την τιμή του λ. 49) ΑΣΚΗΣΗ 4756.. αx α x α 0, με παράμετρο α 0. Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ρ γ) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε: ρ ρ 50) ΑΣΚΗΣΗ 47940.. Δ α. (Μονάδες 5) α και ρ. (Μονάδες 0) α. (Μονάδες 0) α) Να λύσετε τις εξισώσεις x 4x 8 0 () και 8x 4x 0 (). (Μονάδες 0) β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής αx βx γ 0 () και γx βx α 0 (4), με αγ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και αγ 0, τότε i) ρ 0 και (Μονάδες 5) ii) ο ρ επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 0)