Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Transcript

1 Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

2 Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά Ιούλιος 09 Ιστοσελίδα: mail : papagrigorakism@gmailcom

3 Α Λυκείου Άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μαθηματική Λογική 00 Διατυπώστε τις αρνήσεις των προτάσεων Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιο Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι, Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικό, Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο 00 Διατυπώστε τις αντίστροφες προτάσεις : Αν α τότε α 9, Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές, Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε είναι ισοσκελές 00 Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων : (Δίνεται ότι ο α Ζ ) Αν ο α είναι περιττός τότε και ο α είναι περιττός Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους, τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο Αν ένα τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές τότε δεν είναι ισόπλευρο 004 Χαρακτηρίστε ως Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις συνεπαγωγές: (για κάθε A) α α B) α 4 α Δ) α α Ε) R ): α 4 α, α α α Στ) α 0 α 0 Ζ) α α 005 ** Να αποδείξετε ότι: p q q p p p q p q p, Δ) p q q p Σύνολα 006 Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο: Β={, y /,y Ζ με 0 και y } Γράψτε το σύνολο Γ={,4,6,8} με περιγραφή Δ) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις προτάσεις: Γ, (0,) Β, 8 Β, - Γ, 0 Γ 007 Δίνονται τα σύνολα: A R /( 4)( )( 64) 0 και B yr /(y )(y 6)(y 9) 0 Να βρείτε τα σύνολα A B και A B 008 Να βρεθεί η A B και A B όταν α) A R, και B R,, β) A R, και B,, γ) A, και,5 009 Αν,,, 4, 5,, 4, τότε να αποδείξετε ότι: και A B A B και A B A B (τύποι DE MORGAN) 00 Να συμπληρώσετε τις ισότητες ΝΖ, RZ, R Q, RN 0 Έστω ότι τα σύνολα Α,Β Ω όπου Ω το σύνολο αναφοράς Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Αν A B τότε AB A Αν B A τότε AB B Αν ABΩκαι AB τότε A B Δ) Είναι A,για κάθε A ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

4 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ IΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 0 Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς,, 0, 0,,, 0, Αν α β να βρεθεί η τιμή της παράστασης α(α ) 4β( α) β(α 8) Αν y(y ) 0 δείξτε ότι είναι 0 Να διατάξετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθμούς 6, 0,,, 6, 7, 0, 7 ανεξάρτητη των,y η παράσταση y y 0 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 04 Αν α 0,5, β 0,00 να υπολογιστεί η παράσταση α β 4α α β 05 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις ( 4 ) ( 5 ) ( ) β α( β) α (4β 5) y 5 [ ( y) 9 ] ( 4 y ) 06 Δείξτε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α y 4z και B y z, τότε y z 07 Aν οι αριθμοί και 4 είναι αντίθετοι, να βρείτε την τιμή του 08 Αν οι αριθμοί α α και β β είναι αντίστροφοι δείξτε ότι οι α και β είναι αντίθετοι 09 Να προσδιοριστεί ο λr ώστε ο αριθμός λ να είναι ίσος με τον αντίστροφό του λ 5 0 Αν y να δείξετε ότι y y 8 Να βρεθούν οι y,,ω αν είναι ανάλογοι των αριθμών,,6 αντίστοιχα και 4y5ω 4 Αν παραστάσεων: y 5 Αν y y, να βρεθούν οι τιμές των y y y y,,,,,, y y y y, y 0 να βρεθεί ο λόγος y y και η τιμή της παράστασης Α= y 6 Αν 4 9 y y με y y 0 8 ( y) βρείτε την τιμή της παράστασης y 5y 5y, 7 Δίνεται ότι για τους πραγματικούς,,, με 0, ισχύει 4 και Να αποδείξετε ότι και 5 και να βρείτε την τιμή της παράστασης: 8 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α,β με α β β α για τους οποίους ισχύει Να δείξτε ότι 4 4 β α οι α και β είναι αντίστροφοι και ότι α β α αβ 5 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 4

5 Α Λυκείου Άλγεβρα Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός ν ν - ν - είναι πολλαπλάσιο του 5 0 Αποδείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος Αν 4 y και y να βρεθούν οι,y Αν ο α είναι περιττός ακέραιος δείξτε ότι ο αριθμός α α είναι πολλαπλάσιο του 4 Αν α β γ να αποδείξετε ότι: y ω α β γ α β γ y ω y ω ν ν ν ν α β γ α β γ ν ν ν y ω y ω 4 Να δείξετε ότι : i) Αν α ρητός με α 0 και β άρρητος, τότε o α βείναι άρρητος 8 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 7 8 και α β αβ α β α β Απλοποιήστε τις παραστάσεις y y y α β β 5α 0 Βρείτε τις τιμές των κ, λ όταν: κ λ κ 5 y : y 5 y α β α β αβ κ λ κ λ 4 : αβ Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια, β) τρία τριάρια, γ) τρία τεσσάρια; Για ποια τιμή του κ η παράσταση α κ κ β γράφεται ως δύναμη με βάση 4 αβ ; ii) Αν α ρητός και β άρρητος, τότε ο α-β είναι άρρητος ΔΥΝΑΜΕΙΣ Να αποδείξετε ότι ν φυσικός αριθμός με v v 6 v v 4, όπου 5 Υπολογίστε τις παραστάσεις 0, , ,5 8 Δ) 4 0,5 Ε) (0,) : 0 6 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α β α β α β α β 4, B) y 4 y y 7 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 y : y αν 0,4, y,5 y y y αν, 0 y 0 4 Αν ο ν είναι φυσικός με v, να αποδείξετε ότι: ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v 0 5 Δείξτε ότι 6 Να γράψετε την παράσταση: { :[(5 : 5 ) : ( ) ( ) ]} ως δύναμη με βάση το 8 7 Δίνονται οι μη μηδενικοί αριθμοί,, με για τους οποίους ισχύει: ότι οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι και υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Δείξτε 8 5 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 5

6 Α Λυκείου Άλγεβρα ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 8 Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις: Να αποδείξετε τις ταυτότητες: A) α + β α - β 6α β β B) α α - α - 4α 4α 9α αβ 4 y 6 y 44 Αν να αποδείξετε ότι 4 4 Δ) 4 E) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: A) B) 4α 9 5 y 6 Δ) 4 Ε) Στ) Ζ) 8 7 y 40 (Lagrange) Να αποδείξετε ότι α β y α βy αy β Να γραφεί το γινόμενο 5 6 ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων 4 Να αποδειχτεί ότι m m m m y y y 4 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: α + β α - β 4αβ 4α α - α - α α α 6α α α 6 9 Δ) α 4α α + 45 Αν y, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων y y y y y y 5 5y 46 Αν να αποδείξετε ότι Αν,, να αποδείξετε ότι 48 Αν y 4, 49 Αν 50 Αν της παράστασης: y να αποδείξετε ότι: τότε 9 αβ, να υπολογίσετε την τιμή αβ Α (α β) α β 5 Αν αβ δείξτε ότι 5 Nα αποδείξετε ότι: Αν α β α β Αν α β α β α β τότε α β α β 4 α β, αβ 0 τότε α β 5 Να δείξετε ότι : = Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 6

7 Α Λυκείου Άλγεβρα Αν y να αποδείξετε ότι η παράσταση A y y 4 4 είναι ανεξάρτητη των πραγματικών, y 55 Να δείξετε ότι η παράσταση: y y 4 y 4 είναι ανεξάρτητη των, y 56 Για κάθε α,β,γ R, δείξτε ότι: αν α β γ αβ βγ γα τότε α β γ 65 Αν y και y υπολογίστε τα y, y, y y,, y y 66 Αν α β, αβ, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α β,, α α β β,, α α β 67 Aν α β 4α β αποδείξετε ότι β, y y τότε να α και y β 57 Για κάθε,y,ω R, να αποδείξετε ότι: αν y ω y ω τότε y ω 68 Aν 4α α, y 4β α β y να αποδείξετε ότι β και 58 Αν α,β,γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου και ισχύει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο α βγ α β γ, να αποδείξετε ότι β γ 69 Αν αβ 0, βγ 0, γα0 και α β γ 0, να αποδείξετε ότι: α β βγ β γ αγ γ α αβ 0 α β β γ α γ 59 Αν β α να αποδείξετε ότι: α βα β α β α β α β 60 Αν α y β 4α βy να αποδείξετε ότι τότε α και y β 6 Να βρεθούν οι αριθμοί αβ, R για τους οποίους ισχύει ότι: α β 6β α 0 6 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β αν ισχύει ότι α β α β αβ 4 6 Αν 64 Αν α β β α α β β α 5 βρείτε τα α, α α α α β, να αποδείξετε ότι α β 70 Για κάθε * α, β, γ R με α β γ 0, και λ, μ, ν Z, να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν μ λ α β γ β γ α γ α β αβ βγ αγ 7 **Αν για τους θετικούς ακέραιους,y, ω ισχύει ότι y ω y 7 ω δείξτε ότι y ω 7 ** Αν α β γ 0 να αποδειχτεί ότι η α β γ αβ(γ ) παράσταση είναι α β γ ανεξάρτητη των α,β,γ 7 Αν για κάθε R, ισχύει ότι A B, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς Α και Β Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 7

8 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 74 Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: A) αβ α B) 0 κ 000 λ Δ) Ε) Στ) α 4α 4α Ζ) 5μ 0 4 α 8 μλ Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: 4 8 Δ) 6 9 α 76 Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: α 4αβ 4β y Δ) y ω ω m n np p 77 Απλοποιήστε τις παραστάσεις, αφού βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται: A) 78 Αν 0, 5, y=- παράστασης ( ) Δ) ( ), βρείτε την τιμή της y y : y y y 79 Να κάνετε τις πράξεις: α β β α α β α β 9 80 Αν m, n είναι ακέραιοι και,y πραγματικοί αριθμοί με y 0, y, y αποδείξτε ότι m nm mn y y y n mn mn y y, 8 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α β αβ α : αβ β α β α β α β α αβ β α β αβ α β : αβ α β αβ 8 Να αποδείξετε ότι: : β α : β α β α α β 8 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α α α α α β β γ γ α (β γ)(γ α) (γ α)(α β) (α β)(β γ) 84 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: μ μ 4 μ μ : 9 μ μ μ 6μ 9 μ μ 4 : 4 9 y y : y y y 85 Για κάθε φυσικό ν, δείξτε ότι Ο αριθμός είναι άρτιος Ο αριθμός 4 διαιρεί τον ν 5 86 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων α α α α α 4 4α για α α : αν α 4α α 4α α 0, Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 8

9 Α Λυκείου Άλγεβρα ΔΙΑΤΑΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 87 Αν α να διατάξετε από την μεγαλύτερη προς την μικρότερη τις τιμές α, α,, 88 Αν 0, να διατάξετε από το α, α μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,,,, 89 Αν είναι 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις,,,,, 90 Αν 4 και y 7 να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις y, y,, y, y, y, y 9 Αν και y 4 να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις: y, y,, y, y, y, y 9 Αν 0 και y βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων y, y, y, y, y 9 Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύουν: 4 και 4 Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:,, 95 Αν και y να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις: y, y,,, y, y y 96 Να αποδείξετε ότι: Aν α β, τότε y, α α β 4β Αν α τότε α α α Αν y τότε 7 y 5 Δ) y y y 0 97 Για κάθε α,β R, να αποδείξετε ότι: α β 8 4α β α β α β 98 Να αποδείξετε ότι αβ 0 αν α R τότε y α β α β και α β 0 β α β α α α 99 Αν α, β, γ R να αποδείξετε ότι: και α β αβ α β γ 8αβγ 00 Αν α, β θετικοί, να αποδείξετε ότι αβ α β α β 4 α β αβ α β 0 Αν α 0 να αποδείξετε ότι α α α α 94 Αν α 0 και β, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι παραστάσεις: β α, αβ, α β, α 4β Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: 0 Να αποδείξετε ότι: Αν α, β ομόσημοι αριθμοί τότε α β β α Αν α, β ετερόσημοι τότε α β β α y 6y 0 0 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 9

10 Α Λυκείου Άλγεβρα Να αποδείξετε ότι: A) B) y 8y 6 0, y R α α 0, R α β αβ β,, R 04 Αν, R αριθμοί να δείξετε ότι: 0, 05 Συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και 4 06 Αν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει ότι α β γ α β γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 07 Αν για τους α,β, γ 0 ισχύει ότι α+β β+γ γ+α αβ γ βγ -α γα -β 0 να αποδείξετε ότι α β γ * 08 Για κάθε α,β, γ R, να αποδείξετε ότι: α β γ α γ β β γ α γ β α 09 Για κάθε α,β R να δείξετε ότι α β α β, α α α 4 α α 4 α 6 0 Αν α,β θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε α 4β 0,να αποδειχτεί ότι 0 α β 40 Αν είναι,y 0 και y 64 να Δείξτε ότι Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μήκος cm και πλάτος y cm, αντίστοιχα Αν για τα μήκη και y ισχύει: 5 και y, τότε: α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου β) Αν το μειωθεί κατά και το y διπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου 5 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y, τότε: α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β) Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου 6 Δίνονται οι παραστάσεις: 9 και, όπου, R α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των, β) Για ποιες τιμές των, ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 7 Δίνονται πραγματικοί αριθμοί,, με 0και 0 Να αποδείξετε ότι: αποδείξετε ότι 4 y 5 α) 4 4 β Αν α,β,γ πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι α β γ αβ βγ γα α β β γ γ α αβγ( α β γ) Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 0

11 Α Λυκείου Άλγεβρα ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 8 Nα γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παραστάσεις: 7,, π, α, π, 4 4, 0 ημ8 α 9 Αν α β γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση Α α β γ α β γ 0 Αν γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Α 6 Δ 4 7 Αν α R 0 να δειχτεί ότι: 8 Να αποδείξετε τις ισότητες: α β α β α β α β β α α α α, α 0 α α α 9 Για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι: y y 4y ( )( ) 0 y y y Δ) y y y y 0 Αν να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α Β Αν α<β< να απλοποιήσετε την παράσταση: α β α+ β 7 Γράψτε χωρίς απόλυτα τις παραστάσεις A 8, 6, 4 4 Αν y, να αποδείξετε ότι: y y y 5 Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές τις παραστάσεις 4 Γ A B 8 0 Δ 5 6 Nα γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Δ 4 4, κ y 0 Αν, m να y κ κ y αποδείξετε ότι m Για κάθε α, β, γ R να αποδείξετε ότι + Να αποδείξετε ότι Αν, y, z 4 τότε y z 7 Αν 0 y *, y R με y, τότε 0 και Αν αβ, 0, να αποδειχθεί ότι: α α β Πότε ισχύει η ισότητα; β β α 4 Nα αποδείξετε ότι: Αν και y τότε y 7 Αν και y τότε y 9 Ε, ΣΤ Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

12 Α Λυκείου Άλγεβρα Για κάθε αβ, R με α β α β αποδείξτε ότι α β β α β α 0 6 Αν α,β,γ πραγματικοί αριθμοί με yz 0, να αποδείξετε ότι: y z y z 7 Να αποδείξετε ότι για κάθε, y R * ισχύει 44 Έστω ότι τα σημεία A,B, M παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς, 7 και αντίστοιχα, με 7 α) Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων, 7 και 7 β) Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 γεωμετρικά και αλγεβρικά y y, αν,y 0 45 Δίνεται η παράσταση: A y, με, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους 8 Αν α 5 και β βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η παράσταση α β 9 Αν 0 και y 0, βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση Α= + y y 40 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Να βρεθεί το όταν: d, 7, d(, ), d, d, 4 Δίνονται οι παραστάσεις Α και Β 6, όπου πραγματικός αριθμός α) Για κάθε δείξτε ότι β) Υπάρχει, Α Β ώστε να ισχύει ΑΒ ; ισχύει: 4 και y Να αποδείξετε ότι: A y και ότι 0 A 4 46 Δίνεται η παράσταση: A α) Για, να δείξετε ότι: β) Για, να δείξετε ότι η παράσταση έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του ), την οποία και να προσδιορίσετε 47 Δίνονται οι παραστάσεις 4 και, όπου πραγματικός αριθμός α) Για κάθε να αποδείξετε ότι β) Υπάρχει, ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 48 Για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: d, Να αποδείξετε ότι η παράσταση: K είναι ανεξάρτητη του 4 Δίνονται τα,y τέτοια ώστε: 9 και y Να αποδείξετε ότι:, y 5 Βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης K y 49 Δίνονται δύο τμήματα με μήκη και y για τα οποία ισχύουν: και y 6 4 α) Να δείξετε ότι 5 και y 0 β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και y Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

13 Α Λυκείου Άλγεβρα ΡΙΖΕΣ 50 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά: i) 4 ii) iii) 4 y iv) 4 5 Για κάθε 0 να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 6 8, 6,, ( ) 5 Αν, να απλοποιήσετε την παράσταση Α= Να απλοποιηθεί η παράσταση , αν - 59 Να βρείτε την τιμή της παράστασης B 5y y όταν, y Αν,y>0 και y να αποδείξετε ότι y y y = y y 6 Να υπολογίσετε τον αριθμό Αν α 0 να δείξετε ότι: α α α α α α 6 α) Να δείξετε ότι: 5 4 β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και Έστω K α) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες η η παράσταση K να έχει νόημα πραγματικού αριθμού β) Αν 5, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή 55 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: , , 4 56 Να αποδείξετε ότι : Αν να υπολογίσετε την παράσταση A 64 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 4 5 Ε) Στ) 8 7 Ζ) 65 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Δ) 5 4, 9, Να δείξετε ότι: Συγκρίνετε το με το 0 68 Να αποδείξετε ότι: Q, 58 Να αποδείξετε ότι Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

14 Α Λυκείου Άλγεβρα Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι φυσικός 70 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A Να αποδείξετε ότι Α Β όταν : 8 A Αν α, β, γ 0 να δείξετε ότι: α) α β αβ β) α ββ γγ α 8 και 7 Να υπολογίσετε τα, και να απλοποιήσετε την παράσταση: B Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 5 και και και 78 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή + 5 Δ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 4, 9, Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος 7 74 Δείξτε ότι Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις, και να απλοποιήσετε την παράσταση Nα διατάξετε κατά αύξουσα σειρά τους αριθμούς, 4 7, 5 5, 6, 7 8 Αν α 0, β 0 να αποδείξετε ότι α α β β 84 Δίνεται η παράσταση: β α A 4 4 α) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του 85 A) Να δείξετε ότι: 0 4 B) Συγκρίνετε τους αριθμούς 0 και 6 0 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 4

15 Α Λυκείου Άλγεβρα ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 = 6 0 β) 5 t + t = t + 5 t 6 0 Δίνεται η εξίσωση παράμετρο, με α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( ), β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση γ) Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο R 04 Να λυθούν για κάθε λrοι εξισώσεις: λ λ B) λ λ λ λ Δ) λ λ Ε) λ λ Στ) 05 Να λύσετε τις εξισώσεις: α β αα β λ λ, α,β R α α α 4 α α 06 Από τις ισότητες vv0 αt και v v0 S v0t αt, να δείξετε ότι S t, α R 07 Δίνεται η εξίσωση 9, με παράμετρο Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε την λύση αυτή 08 Ένα βαρέλι Α περιέχει 54 κιλά κρασί των ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 456 κιλά κρασί των,5 ευρώ το κιλό Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών, το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία, να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο 09 Ένα ελαιουργείο έχει δύο συγκροτήματα το Α και το Β Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε μέρες Φέτος ξεκίνησαν μαζί και μετά από μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β συνέχισε να δουλεύει Το Β έχει τα της απόδοσης του Α Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν οι ελιές της περιοχής ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ΑΠΟΛΥΤΑ 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 4 4 B) 7, 7 Δ) 5 5 Ε) Στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 4 B) 7 9 5, Δ) 5 5 Να λύσετε τις εξισώσεις, Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 5

16 Α Λυκείου Άλγεβρα Να λύσετε τις εξισώσεις: A) B) Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 Δ) 0 5 Δείξτε ότι: Λύστε την εξίσωση 6 Να λύσετε τις εξισώσεις Δ) 7 Να λυθεί η εξίσωση Αν η εξίσωση: έχουν κοινή λύση να βρείτε το α Αν η εξίσωση έχουν κοινή λύση να βρείτε το β 8 Δίνεται η παράσταση να λύσετε την εξίσωση, 0 λ λ λ, λ R () 4 4α 0 και η () 5 0 (β+) 0 και η () Να δείξετε ότι A 4 και 9 Σε έναν άξονα τα σημεία A,B και M αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και αντίστοιχα α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων 5 και 9 β) Αν ισχύει 5 9, i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου M αναγνωρίζετε; ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό που παριστάνει το σημείο M Επιβεβαιώστε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας ΔΕΥΤΕΡΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ 0 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Ε) Δ) ΣΤ) Αν τις τιμές του y y με,y R * να βρείτε y Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς για κάθε τιμή των παραμέτρων τους αβ αγ β γ 0, αβ 0 αβ α β 0, α β 0 β αβ α β 0, β 0 α) Να λύσετε την εξίσωση: () 4 0 β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: i) Αποδείξετε ότι ο ii) τετραπλάσιος του β 4 0 είναι λύση της εξίσωσης () Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι 4 Αν η εξίσωση αβ 0 έχει ως ρίζα τον αριθμό α β, αποδείξετε ότι α β 5 α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και () β) Έστω οι εξισώσεις 0 (4), με 0 0 () και Αποδείξτε ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () τότε: i) 0 και ii) ο επαληθεύει την εξίσωση (4) 6 Λύστε την εξίσωση όπου Δ είναι η διακρίνουσά της Δ Δ 6 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

17 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 7 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές 8 Να βρεθεί ο λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 : να έχει μία μόνο ρίζα, να έχει διπλή ρίζα 9 Έστω η εξίσωση λ 5 0, λ R Για ποιες τιμές του λ έχει μία μόνο ρίζα; Για ποιες τιμές του λ έχει διπλή ρίζα; Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, να 6 Αν η εξίσωση μ κ 0 έχει διπλή ρίζα, δείξτε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την μ μ κ+ μ +κ +κ κ- + 0 εξίσωση: 7 Αν α,β, γ 0, να αποδείξετε ότι μια τουλάχιστον από τις παρακάτω εξισώσεις έχει ρίζες πραγματικές, β γ α 0 α β γ 0, 8 Αν,, R* και ισχύει: 9 και 8 και γ α β 0, 5, να υπολογιστεί η τιμή του υπολογίσετε την παράσταση ( ρ) για κάθε 9 Δίνεται η εξίσωση: 6 0 () με πραγματικό αριθμό παράμετρο λir 0 Η εξίσωση λ 5λ λ 0, λ R έχει ρίζα το Να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το είναι διπλή ρίζα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ αβ αγ βγ 0, α,β,γ R έχει μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α β γ Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση α β 4α 4β 0, α,βr 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση α β α β 0 έχει ρίζες άνισες Αν η εξίσωση β γ 0, β,γ R, είναι αδύνατη στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση β 5γ 0 δεν έχει ρίζες στο R 4 Για ποιες τιμές του α R οι εξισώσεις α 0 και α 0 έχουν κοινή ρίζα; 5 Λύστε την εξίσωση 0 α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός ρ i) Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 0 ii) Να δείξετε ότι : 0 και ότι ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο γ γ α β β όπου τα α,β,γ είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες 4 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες β) Θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 0 () με παραμέτρους β,γir Να δείξετε ότι: Αν 0 τότε: i) ii) πραγματικές ρίζες 4 0 η εξίσωση () έχει δύο μόνο διαφορετικές Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

18 Α Λυκείου Άλγεβρα ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ 48 Έστω η εξίσωση α α β β 0 4 Αν, οι ρίζες της εξίσωσης 5 0 να υπολογισθούν οι παραστάσεις: A) B) Δ) Ε) ( ) Στ) 4 Να βρείτε, στις περιπτώσεις που οι εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών τους, χωρίς να τις λύσετε i) 8 0 iv) 4 0 ii) v) iii) vi) B) Για τις εξισώσεις που έχουν πραγματικές ρίζες,, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:,, 44 Δίνεται η εξίσωση και, Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων, και ( ) 0 με ρίζες 45 Έστω ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης, 4 0 Υπολογίστε τις παραστάσεις: ρ ρ ρρ ρ, ρ ρ, ρ ρ, ρ ρ ρ 46 Έστω η εξίσωση β γ 0, γ 0 Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να γράψετε συναρτήσει των αριθμών βγ, τις παραστάσεις,, Να αποδείξετε ότι: d, Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης Δ, όπου 47 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ 0 να βρεθεί ο πραγματικός λ, έτσι ώστε να ισχύει: όπου είναι αβ, R με α 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των αβ, Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α,να αποδείξετε ότι β α 49 Έστω η εξίσωση λ λ 0 Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζες αντίθετες 50 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 0 έχει δύο θετικές ρίζες, και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:,, 5 Να σχηματίσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση που να έχει ρίζες το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που οι ρίζες της έχουν άθροισμα 7 και γινόμενο 0 5 Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και 54 Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο Αν, είναι ρίζες της βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: A) ρ, ρ, ρ και ρ 56 Δίνεται η εξίσωση 5 7 0, να η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς και Βρείτε το πρόσημο του 005 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

19 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίδεται η εξίσωση λ λ λ 0 η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες, τις, Να αποδείξετε ότι: 0 και 0 58 Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β 0 (), έλυσε την β α 0 και βρήκε δύο ρίζες Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της () και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της () Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β 59 Να βρεθούν οι αβ, R αν οι ρίζες της α β 0 είναι οι αριθμοί α και β 60 Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση λ δύο ρίζες ετερόσημες, 0 έχει: δύο ρίζες θετικές και άνισες, δύο ρίζες αντίστροφες 6 Να αποδείξετε ότι για κάθε λrη εξίσωση λ λ 0, λ έχει δύο ρίζες άνισεςβρείτε για ποιες τιμές του λ έχει ρίζες αντίθετες αντίστροφες ομόσημες Δ) ετερόσημες Ε) θετικές ΣΤ) αρνητικές 64 Δίνεται η εξίσωση 4 0 () με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), βρείτε για ποια τιμή του ισχύει: Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Δίνεται το τριώνυμο και α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και β) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς 67 Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο λ και λ 0, με α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους β) Να δείξετε ότι: γ) Αν για τις ρίζες, ισχύει επιπλέον:, τότε να δείξετε ότι: 4 και να προσδιορίσετε τις ρίζες, και την τιμή του λ 6 Να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση της 68 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους μορφής β γ 0, όπου βγ, R που να έχει ως οποίους ισχύουν: και λύσεις τους αριθμούς β και γ 6 Ας είναι Δ,S, P, η διακρίνουσα, το άθροισμα το γινόμενο των ριζών των εξισώσεων, αντίστοιχα, Να βρείτε τις ρίζες τους α) Να αποδείξετε ότι: β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε A) Δ 5 0 Δ P S 0, Δ 0 P Δ=0 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 9

20 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 0 cm και εμβαδό E 4 cm α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου 7 Δίνεται το τριώνυμο λir{0} λ λ λ, α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0} β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να 70 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το ώστε 7 Δίνεται το τριώνυμο: λ ( λ ) λ, λ 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών α) Αν 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ii_ να αποδείξετε ότι, όπου, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου εκφράσετε το S P των ριζών γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; δ) Για κάθε λ 0, αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι 74 Δίνεται το τριώνυμο λir{0} λ λ λ, α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0} β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας δ) Αν 0 λ και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνεται τους αριθμούς και 7 Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο λir 5λ 0, με α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λir, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λir, για τις οποίες ισχύει: ii) Για λ, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 0

21 Α Λυκείου Άλγεβρα ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΜΟΡΦΕΣ 75 Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα: i) 6 5 v) t 8t ii) 4 vi) iii) 5 p 5 vii) y y viii) iv) 4 4 Απλοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις: α) β) γ) 54 4 δ) 6 77 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: Ε) 6 4a 4a 9 8a Δ) 4 78 Δίνεται το τριώνυμο: f () ( ) α) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε 0 β) Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, τότε: i) να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ii) να βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του και να δείξετε ότι 4 για κάθε 0 iii) για την τιμή του που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; 79 Δίνεται η εξίσωση: 5 0, με παράμετρο 0 α) Να αποδείξετε ότι αν 5, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, που είναι αντίστροφοι πραγματικοί αριθμοί β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν γ) Να λυ θεί η εξι σωση: Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 4 6 0, με λ(0,4) α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου β) Να αποδείξετε ότι 6, για κάθε λ(0,4) γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; 8 Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε Να βρείτε πόσα euro έχασε ( λύσεις) 8 Ένα βαρέλι περιέχει 54 lt κρασί Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητα νερού Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέχει 4 lt καθαρό κρασί Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά 8 Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτακτη ενίσχυση, εξ αιτίας φυσικής καταστροφής, το ποσό των 000 euro Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω, τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν, ο καθένας 00 euro περισσότερα Να βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι (Απ: 5 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

22 Α Λυκείου Άλγεβρα ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 40 Να λύσετε την ανίσωση: ( )( ) 40 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 6 και Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και Βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων, 6, 6 7 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 409 Να λύσετε τις ανισώσεις: Δ) 4 40 Να λύσετε τις ανισώσεις: Δ) Να λύσετε τις ανισώσεις: A) 5 B) 5 Δ) 5 4 Nα λύσετε τις ανισώσεις: Να λύσετε το (Σ): Δ) 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Nα λύσετε τα συστήματα Nα λύσετε τα συστήματα: Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ να λύσετε τις ανισώσεις λ λ λ 44 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 Δ) 45 Αν, γράψτε χωρίς απόλυτα την παράσταση A 6 και την παράσταση: Β 46 Να λύσετε τις ανισώσεις 6 στο * R 5 4 στο R 0, στο R Δ) 4 στο Z 4 Μ Παπαγρηγοράκης / ο ΓΕΛ Χανιά σελ

23 Α Λυκείου Άλγεβρα Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 7 και 48 Να λύσετε τις ανισώσεις: Βρείτε τις τιμές του ώστε να ισχύουν: 0 0 και Αν, όπου της παράστασης: A 005 Z, να βρεθεί η τιμή 4 Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μια από τις παραστάσεις: B) 6 Δ) 4 Ε) Στ) 6 4 Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μια από τις παρακάτω παραστάσεις: 5 4 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων Α f ( ) 4 Β Γ g( ) 6 4 k( ) 6 Δ m( ) Αν ο πραγματικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση:, να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K ανεξάρτητος του είναι αριθμός 4 45 α) Να λύσετε την ανίσωση 5 β) Να βρείτε τους αριθμούς που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α), (β) 46 Αν,y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και y 4, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού E του ορθογωνίου α) Να λύσετε την ανίσωση 4 β) Αν α -, να γράψετε την παράσταση A 4 χωρίς απόλυτες τιμές Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d, 5 9 Να δείξετε ότι: α) Να λύσετε την ανίσωση 5 β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση 5 δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση 5 48 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει 4 Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η τιμή της απόστασης του από το 9 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

24 Α Λυκείου Άλγεβρα ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 49 Να κάνετε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις: 4 Ε) 5 6 Δ) 4 Στ) Να κάνετε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις: Ε) Δ) 4 Στ) 4 Να κάνετε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις: Ε) 5 8 Δ) 4 Στ) 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Να λύσετε τις ανισώσεις: 0 44 Να λυθούν οι ανισώσεις: , Δ) 4-45 Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων: Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις και ; Βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 0 και και 4 0 και Για κάθε κ R να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: κ κ 0 49 Να λύσετε τις ανισώσεις B) Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 ( ) 44 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f() 4 f() Το τριώνυμο f 5 6 έχει ρίζες τους αριθμούς και 6 Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; f 0, 999 0, B f 0,999 0, f Δ) f Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 Να έχει μία μόνο ρίζα Να είναι αδύνατη 444 Έστω f (λ ) λ λ, λ Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ανίσωση f() 0 να αληθεύει για κάθε R Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f 8 8 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 4

25 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η εξίσωση λ λ λ λ λ λ 0 Βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση έχει ρίζες άνισες Υπάρχει τιμή του λ ώστε να έχει η εξίσωση άπειρες ρίζες; 446 Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ανίσωση: λ - λ λ 0 να είναι αδύνατη για κάθε R 447 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ, βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ λ λ Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο λ 4 λ να έχει: σταθερό πρόσημο για κάθε R, αρνητικό πρόσημο για κάθε R 449 Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ R για τις οποίες η ανίσωση λ λ λ 0 να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του 450 Να προσδιοριστεί ο * λ R ώστε η ανίσωση λ λ λ 0 να είναι αληθής για κάθε R 45 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ λ λ 0, λ R να βρεθεί ο λ R ώστε 0 45 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 με 0 ρίζες πραγματικές και άνισες έχει ii) Αν και είναι οι δύο ρίζες της (), να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει 45 Έστω f() λ 4 λ 6,,λ R Α Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές Β Αν, R είναι ρίζες του f βρείτε: α) για ποιες τιμές του λ R ισχύει 0 β) για ποιες τιμές του λ R ισχύει 454 Έστω, ρίζες της εξίσωσης λ λ 0 λ R ισχύει Να βρεθεί ο λ ώστε να 455 Να λυθεί στο R, η εξίσωση - λ λ λ 0 (), λ R Βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ότι d(, ) όπου, R οι ρίζες της () 456 Έστω η εξίσωση 0 με ρίζες τις α,β Αποδείξτε ότι Δίνεται το τριώνυμο α,β R Αν, ισχύει f() α β με R είναι οι ρίζες του f και f Α Να δείξετε ότι α 6, β 5 Β Να λυθεί η ανίσωση f Αν για τους αριθμούς α,β,γ ισχύει γ α β γ 0, α 0, να αποδείξετε ότι: A) Η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και α β γ 0 δεν μπορεί να B) Η α β γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να 0 αποδείξετε ότι: Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θα είναι στο διάστημα 0, Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 5

26 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίδεται η συνάρτηση IR και 0 f() με Α Αν ισχύει η σχέση f() 0 για κάθε IR να αποδείξετε ότι f(00) 0 Β Αν ισχύει η σχέση να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες (mathematicagr) 460 Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ( ) (mathematicagr) 46 Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του πραγματικού α ώστε η εξίσωση α 0 να έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα 46 Αν για κάθε IR ισχύει: ( )( ) 0 να δείξετε ότι: 467 Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 5 0, Να λυθούν οι ανισώσεις: , , - ( 8 7 )( 9 ) με παράμετρο, α) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του ώστε για τις άνισες ρίζες, της εξίσωσης να ισχύει 0 η σχέση: 46 Για ποιες τιμές της παραμέτρου μ, μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσης ( μ) μ 0 ανήκει στο διάστημα ( 0, ) ; (mathematicagr) 464 Έστω η εξίσωση 0 που έχει ρίζες τις, Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων A 4 9 και B Έστω P 00 με 0 Να αποδείξετε ότι: A) Αν P 0 για κάθε Rτότε B) Αν είναι 00, τότε η εξίσωση P έχει ρίζες πραγματικές 466 Να λύσετε τις ανισώσεις: 7 6 0, Δίνεται η εξίσωση πραγματικούς αριθμούς 0 με, Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες 47 Δίνεται η εξίσωση: ( ) λ+5=0 ( ), με παράμετρο λ α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς,και d(, ) είναι η απόσταση των, στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: d, 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 6

27 Α Λυκείου Άλγεβρα α) Θεωρούμε την εξίσωση, με παράμετρο i) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες πραγματικές ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε β) Δίνεται το τριώνυμο f(), i) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε ii) Να λύσετε την ανίσωση f() 47 Έστω το τριώνυμο: 6 7, α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες β) Να δείξετε ότι, για κάθε με 7 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 6 7 έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες δ) Έχει η εξίσωση για 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; 474 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: 0 α) Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των, β) Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Αιτιολογήστε την απάντησή σας είτε, γεωμετρικά είτε αλγεβρικά 475 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: 0 β) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί είναι λύσεις της ανίσωσης: 0 και 476 Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει d, α) β Να δείξετε ότι: α) Να λύσετε την ανίσωση: 4 0 β) Αν α, β δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 είναι επίσης λύση της ανίσωσης Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: B Δίνεται το τριώνυμο f 9, α) Να λύσετε την ανίσωση f 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός είναι λύση του ερωτήματος (α) Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας 480 Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:, με 0, 0 α) Να βρείτε: την περίμετρο και το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε 0, γ) Για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με ; 48 Δίνονται οι ανισώσεις: και 8 0 α) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για 4, β) Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 7

28 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνονται οι ανισώσεις και 0 α) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για, β) Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι, 48 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 5 6 για τις διάφορες τιμές του β) Δίνεται η εξίσωση 0 4 με παράμετρο i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε,,, η εξίσωση άνισες έχει δύο ρίζες ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της είναι ομόσημοι αριθμοί 484 Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο 0 με α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει d, α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού 56 0 K και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας γ) Αν 66,, να βρείτε το πρόσημο της 486 α) Να λύσετε την ανίσωση: σύνολο των πραγματικών αριθμών στο β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός με 0 i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς: 0,,, ii),, iii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς: Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: 487 Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A, όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο S P των ριζών της εξίσωσης αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό 488 Να λύσετε τις εξισώσεις και Να κατασκευάσετε ένα τριώνυμο της μορφής το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης και να έχει θετική τιμή, για κάθε 0 παράστασης 5 6 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 8

29 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο 0 με α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει d, d 49 Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο, 0 με α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το, ώστε το πεδίο ορισμού της 49 Δίνεται η εξίσωση παράμετρο 0 με α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε και ο αριθμός ρίζα της εξίσωσης είναι επίσης γ) Για, να αποδείξετε ότι οι ρίζες, της είναι αριθμοί θετικοί και ότι Θεωρούμε το τριώνυμο με παράμετρο f ( ) 4 α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; γ) Αν, οι ρίζες του τριωνύμου και, β δύο πραγματικοί ώστε να ισχύει:, να συνάρτησης σύνολο f ( ) να είναι το προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου f ( ) f ( ) 49 Δίνεται το τριώνυμο με f ( ) α) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με, τότε: i) Nα δείξετε ότι ii) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f, f, f 495 Δίνεται το τριώνυμο: 8 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού β) Αν 8889, είναι η τιμή της παράστασης: μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; γ) Αν ισχύει 4 4, ποιο είναι το πρόσημο της τιμής της παράστασης: 8; 496 Δίνεται το τριώνυμο, 0,με ρίζες τους αριθμούς και α) Αποδείξετε ότι: και β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε (, ),τότε: Να αποδείξετε ότι 0 και να λύσετε την ανίσωση 0 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 9

30 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 50 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο όταν το άθροισμα των S0 00 και Σε αριθμητική πρόοδο ισχύει α7 α7 0 και α9 α0 40 Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του α 8 και α 5 50 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία είναι S0 60 και S 50 Για ποια τιμή του ακεραίου οι αριθμοί, 5, 9 είναι διαδοχικοί αριθμητικής προόδου; 504 Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με άθροισμα και γινόμενο Αν οι αριθμοί α,β,γ R είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι οι α βγ, β γα, γ αβ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Ποιος είναι ο λόγος των διαφορών των δυο προόδων αυτών; 506 Αν α,α,α v είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι: ν α α α α α α α α v v ν 507 Αν α,α,,αv είναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι v α α α α α α α α α α 4 v v v 50 Αποδείξτε ότι η ακολουθία με γενικό όρο αν 4ν 5, ν Ν* είναι αριθμητική πρόοδος Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που είναι μεταξύ των αριθμών 7 και 99 5 Για μια ακολουθία ισχύει v S v v, * Αποδείξτε ότι είναι αριθμητική πρόοδος 5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος,,,4,5, και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής:,,, 4,, 4,5,6,7, 4,5,6,7,8,9,0 Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν-οστής ομάδας 5 Έχουμε ν κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής: Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό στο ο τις μπάλες, στο ο τις 4, 5,6 κοκ Α Πόσες μπάλες έχει το ν -οστό κιβώτιο; Β Να δειχτεί ότι στο ν -στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι η ν (ν ) Γ Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 00 ; Δ Αν v 50, πόσες μπάλες έχουμε συνολικά; 508 Να παρεμβάλετε μεταξύ του 5 και του 50 όρους ώστε να αποτελούν όλοι μαζί διαδοχικούς αριθμητικής προόδου και ο τελευταίος από τους παρεμβαλλόμενους όρους να είναι -πλάσιος από τον δεύτερό τους; 54 Να αποδείξετε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο με λ,μ,ν * Ν ισχύει ότι λ μ μ ν ν λ ν λ μ 0 ν λ μ Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 0

31 Α Λυκείου Άλγεβρα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 55 Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: A) Αν S4 0 και α5 α6 α7 α8 480 B) Αν S 6 και α4 α 5 56 Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 57 Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο, αν το άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των άκρων όρων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5 59 Αν (α ν), (β ν) είναι δυο γεωμετρικές πρόοδοι εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος:,,, 50 Να αποδειχτεί ότι η ακολουθία με γενικό ν όρο α είναι γεωμετρική πρόοδος ν 5 Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α4 α α Να βρεθεί ο λόγος της 5 Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως τα εξής: α) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, β) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και γ) το άθροισμα των άκρων όρων είναι 4 και των μεσαίων 5 Βρείτε τρεις αριθμούς οι οποίοι: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα 5 και αν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί γεωμετρικής προόδου 54 Αν αβ, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί β, γ, β α αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 55 Να δειχθεί ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι S v v είναι γεωμετρική πρόοδος Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε, για να έχουμε άθροισμα 484 ; 56 Να αποδείξετε ότι ο Αριθμητικός μέσος δύο θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γεωμετρικού μέσου τους 57 Να βρεθούν τρεις αριθμοί, y, ω αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, έχουν άθροισμα 8 και αν ο μεσαίος αυξηθεί κατά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 58 Οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι αριθμοί α, β, γ 5, δ 5 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Nα βρεθούν οι α,β,γ,δ (mathematicagr) 59 Μια μπάλα πέφτει από ύψος 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στο του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην 6 η αναπήδηση Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

32 Α Λυκείου Άλγεβρα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 60 Απλοποιείστε τον τύπο της συνάρτησης 4 4 f αν και να βρείτε την αν τιμή της παράστασης: f f0 f 60 Έστω οι συναρτήσεις f και g με 609 Αν f για κάθε R, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:, f, f f(0), f f() f 60 Αν f ισχύει f f 0 τότε να δείξετε ότι, f(),, - 0 g() 0 τα f( ), f(0), f( ), f( /4), g(0) Βρείτε 6 Αν f, R,δείξτε ότι για κάθε α β α,β R ισχύει f α f β f 60 Αν f 6, να βρεθούν οι, R ώστε να ισχύει: f α 8 και f8 β 604 Για την συνάρτηση ισχύουν f f και f 0 Βρείτε το f α 4, 605 Έστω ότι f() Να α β, βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να βρεθούν τα, R ώστε f(-)=f() 606 Αν f()= βρείτε για ποια 5 5 τιμή του R ισχύει f λf 0 57 f 6 Αν να λύσετε την εξίσωση f f f 0 f 6 Δίνεται η συνάρτηση όπου α R και f( ) 6 f() α, Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να βρείτε τη τιμή του α Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f ; 64 Αν f δείξτε ότι 4 65 Aν για την συνάρτηση f ισχύει f f τότε να βρεθεί ο τύπος της f f Αν A) B) f, να δείξετε ότι: f f f f 8 f f f f 608 Aν για την συνάρτηση ισχύουν f f και f 0 να βρείτε το f 66 Δίνεται η συνάρτηση f με f Να βρείτε τη g με g να υπολογίσετε τα g 0, f ( ) f () g 67 Αν f 5, να αποδείξετε ότι το κλάσμα f ( ) f ( ) είναι ανεξάρτητο των, Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ

33 Α Λυκείου Άλγεβρα Αν f, R να λύσετε την 65 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α, όπου εξίσωση f f f 0 f 69 Δίνεται η συνάρτηση f, R Αν κ λ, δείξτε ότι f κ λ f κ λ 60 Αν f τις παραστάσεις: 0, R, να υπολογίσετε f f f f (0) Δ) f f ( ) 6 Αν f, R να αποδείξετε ότι για αβ ισχύει α β κάθε, R 6 Για τη συνάρτηση f αποδείξετε ότι () α β f f f να f f f, 0, 6 Δίνεται η συνάρτηση: 4, αν f( ) 4, αν Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (), f ( ), f () Να λυθεί η εξίσωση: f( ) 0 α R και f ( ) 6 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να βρείτε τη τιμή του α Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f ; 66 Έστω η συνάρτηση f με Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να λύσετε την εξίσωση: f f () () Δίνεται η συνάρτηση f()= f ( ) 4 α Nα βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f 8 β Να δείξετε ότι f 0 και γ Να δείξετε ότι f 0 f 5 68 Δίνεται η συνάρτηση 5 α+, άν f( ) 9, άν Να βρείτε την τιμή του α Λύστε την εξίσωση: 69 Δίνεται το τριώνυμο f 5 όπου α R ( ) f (0) f ( ) 4 Να βρείτε το πρόσημο του f( ) 64 Έστω η συνάρτηση Λύστε την ανίσωση: 4 ( ) α β, f( ) α β, A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Αν ισχύει ότι f( ) f(0) και f () να υπολογισθούν τα α,β 60 Δίνεται η συνάρτηση: f, αν > 4-5, αν 0-7 A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f καθώς και το f Αν το f είναι μια λύση της εξίσωσης α β β 0 να υπολογίσετε τα αβ, R και την άλλη λύση της εξίσωσης Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

34 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η συνάρτηση f, με: f 5,, 0 α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος β) Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f() και f(5) και να λύσετε την εξίσωση f 5 65 Δίνεται συνάρτηση g() η οποία έχει πεδίο ορισμού το ΙR{,} α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ 4 κ λ β) Για κ & λ, απλοποιήστε τον τύπο της g και να δείξετε ότι g(α ) g(α), όταν α(,)(,), 6 Η απόσταση y (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά από λεπτά, δίνεται από τη σχέση: y 5 0,8 α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά από 5 λεπτά; β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόμετρα από την πόλη Α; 6 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 ο με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη,y τέτοια, ώστε: y 0 α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του δίνεται από τον τύπο:, (0,0) E() 0 5 β) Να αποδείξετε ότι E() για κάθε (0,0) γ) Για ποια τιμή του (0,0) το E() γίνεται μέγιστο; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; 66 Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο λir λ λ 0 με α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f() λ λ να έχει πεδίο ορισμού το IR 64 Για τους πραγματικούς αριθμούς α,βιr ισχύει: ότι α και ότι η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό είναι μικρότερη του α) Να αποδειχθεί ότι α β) Να αποδειχθεί ότι β α γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 4 4β f β έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο ΙR των πραγματικών αριθμών Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

35 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ 67 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: f f h Δ) f 68 Βρείτε τα πεδί6α ορισμού: f f() Βρείτε τα πεδί6α ορισμού των συναρτήσεων: f B) f f Δ) f 640 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f f Δ) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων h f Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση - f() = ορίζεται στο R; α 646 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f 4 A) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες έχει νόημα ο τύπος της f B) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f 647 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων 64 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: f g m k f f 64 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: f f 4 f Δ) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f ( ) 649 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f 6 f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων f f Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 5

36 Α Λυκείου Άλγεβρα Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f 654 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f 9 f 5 65 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων f 4 f 9 65 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f f Βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ R ώστε η συνάρτηση ορισμού το R f λ να έχει πεδίο 656 Έστω συνάρτηση f λ πεδίο ορισμού το R Είναι δυνατόν να ισχύει λ ; με Αν το σημείο, ανήκει στη γραφική παράσταση της f να υπολογίσετε το λ Για την τιμή του λ που βρέθηκε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ 657 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία,, Γ, είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 658 Δίνεται η συνάρτηση f()= Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α και Β, f( ) 659 Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ, ΒΓ, όπου, B 4, 660 Δίνονται τα σημεία A,, B, 4 Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας y= ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ A, B0,, f() A, ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ Α, 4α B, 66 Δίνονται τα σημεία,, Γ 4, β 6 Δ γ, 4 Ζ δ,,,, και Βείτε τους α,β,γ,δr αν: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον συμμετρικά ως προς το και το Δ βρίσκεται στον yy, τα Ε και Ζ είναι, το Γ βρίσκεται στον 66 Να βρεθεί η τιμή του λ στις περιπτώσεις : Α( λ, λ ), B, 4 5λ να είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο 0,0, Β λ, λ να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y A 4,, B 4, λ να είναι Ε, 0,0 A λ,4λ συμμετρικά ως προς τον άξονα Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

37 Α Λυκείου Άλγεβρα ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 67 Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες 66 Δίνεται η συνάρτηση f α Nα βρεθεί το α R ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο M 4, f() 4 g() ( )( 6) h() 664 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες yy, και την ευθεία y 665 Δίνεται η συνάρτηση: f μ με μ<0 Να βρεθεί το μ ώστε το C f να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: f και g f και g 667 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=+, g()=-+, h()=+ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από αυτές 668 Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της 4 συνάρτησης f()= 0,,, 669 Να επιλυθούν γραφικά οι ανισώσεις: 4 0, 4 0, και 670 Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την τιμή του k για την οποία το σημείο Μ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= + k, M(, 6) g()=k, M(, 8) h()=k, M(, 8) 67 Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f όταν το πεδίο ορισμού της είναι: 0,,0,0, Δ), Ε), 0, 67 Nα σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f f 4 f Δίνεται η συνάρτηση g με g() Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης g πιο απλά, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 675 Δίνεται η συνάρτηση f, με 56 f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f καθώς και τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y 676 Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f μοναδικό κοινό σημείο και 677 Δίνεται η συνάρτηση f g έχουν 5 6 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f και να δείξετε ότι για κάθε A ισχύει: f β) Για A, να λύσετε την εξίσωση: f f Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

38 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνονται οι συναρτήσεις: f g και, IR και λ παράμετρος με 0 α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και f C g έχουν για κάθε λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C και f έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι αυτό; γ) Αν και, κοινών σημείων των C g είναι οι τετμημένες των C και f C g, να βρεθεί η 68 Δίνεται η συνάρτηση: 4 f ( ) α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το IR β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A 0,, τότε: Να αποδείξετε ότι και να λύσετε την εξίσωση f ( ) παράμετρος λ ώστε να ισχύει: 679 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με αir α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,) για κάθε τιμή του α β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη, τότε: Να βρείτε την τιμή του α και να ελέγξετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν και άλλο κοινό σημείο; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο σημεία τομής 680 Δίνονται οι συναρτήσεις: 4 και g 5 f ισχύει ότι f g τότε:, με αir Αν να αποδείξετε ότι και να λύσετε την εξίσωση: f g να λύσετε την ανίσωση: f g και την εξίσωση: f g f g 68 Δίνεται η συνάρτηση : f Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 6 6 Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της C f με τους άξονες και yy Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ 68 Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g( ), με IR και αir f ( ) α) Για, να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Bρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε δύο σημεία γ) Για, να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι ομόσημες ή ετερόσημες 684 Δίνονται οι συναρτήσεις και g( ) με IR f ( ) ( ) 4 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα β) Να δείξετε ότι για κάθε IR η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g 685 Δίνεται η συνάρτηση f 56 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να αποδειχθεί ότι f,, β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

39 Α Λυκείου Άλγεβρα ΕΥΘΕΙΑ 686 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y= + με τον άξονα λ λ 687 Δίνεται η ευθεία ε : y λ λ Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε να είναι: παράλληλη στην ευθεία y=-, παράλληλη στην ευθεία y 5, να διέρχεται από το σημείο (,-) λ Για την ευθεία ε: y 5, να βρείτε: λ- Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: y 6 Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A(, ) να ανήκει στην γραφική παράστασης της ευθείας ε Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον άξονα Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες 689 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση ε : α y 4 η οποία διέρχεται από το σημείο M(, 6) Να βρεθεί η τιμή του α Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ευθείας ε με τους άξονες Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ε Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας ε με την παραβολή 7 y Έστω η συνάρτηση f λ, λ 0 Να βρείτε: Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι τμ 69 Δίνεται η συνάρτηση f Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 9 τιμή Να γίνει η γραφική της παράσταση Να βρείτε αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y Ε) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y Στ) ισοσκελές Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι 69 Έστω τα σημεία A κ, και Β,κ, όπου κ R Να αποδείξετε ότι AB 5 κ Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ Αν κ 0 να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y διέρχεται από τα Α και Β 69 Bρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από το σημείο Μ, και είναι κάθετη στην ευθεία y 5 0 περνάει από το σημείο A, και είναι παράλληλη στην ευθεία y 5 0 διέρχεται από το σημείο A, και είναι κάθετη στην ευθεία y Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία : A,, B0, 695 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y με τον άξονα 696 Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία A,, B, Γ, 4, 697 Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου A, 0 από την ευθεία : y

40 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η συνάρτηση f, με 698 Δίνεται η συνάρτηση f, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(,6), Β(,4) να βρείτε τις τιμές των α,β β) Αν και 5, να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y 699 Δίνεται η συνάρτηση f, με α,βιr, για την οποία ισχύει: f 0 5 και α) Να δείξετε ότι και 5 f β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και y y γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f f, 0, 0 α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης C f της f με τον άξονα y y β) i) Να χαράξετε τη C f και την ευθεία y, και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους ii) Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y γ) i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η ευθεία y τέμνει τη ii) C f σε δυο σημεία; Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της C f με την ευθεία y και να εξετάσετε 600 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, ΙR α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου O(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως προς Ο 60 Έστω η συνάρτηση f με f ( ) 6 6 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού A της f β) Να αποδείξετε ότι f ( ), A γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για 0 60 Δίνεται η συνάρτηση f, με f ( ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους 9 άξονες και y y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii) 604 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f και g() 4, IR α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y,, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f 605 Έστω η συνάρτηση f, IR α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y γ) Έστω M(,y) σημείο της C f Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 40

41 Α Λυκείου Άλγεβρα ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 606 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R A) Να βρείτε το f(0) και f() B) Να λύσετε την εξίσωση: f() 0 Να λύσετε την ανίσωση: f() 0 Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Δίνεται η συνάρτηση f() Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy Έστω μια συνάρτηση y g της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα ερωτήματα Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: g() g( ) g( ) Είναι σωστό ότι g(0)>g(); (γιατί;) Δ) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()=; Ε) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()>; 609 Έστω η συνάρτηση f με f() κ +,, κ R A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(,8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α ερώτημα: Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α(, 8) και Β(8, f(8)), 60 Αν f(), να λυθεί η, ανίσωση: f f 4 6 Δίνονται οι συναρτήσεις: g, 0 και f()= Nα βρεθούν τα σημεία, 0 τομής των C, C καθώς και η απόστασή τους f g 6 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν 0 με λ R 6λ λ αν 0 Να βρείτε το λ ώστε f 0 f 8 Αν λ τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A,f() και B 5, f( 5) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f 4 f 9 4 Μ Παπαγρηγοράκης / ο & 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

42 Α Λυκείου Άλγεβρα Έστω η συνάρτηση f() 4 Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ; Γ Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 9 f f 7f f Δίνονται οι ευθείες: και ε : y λ με λ R ε : y λ 4 Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ε και ε να είναι παράλληλες Για λ 5: ε και α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι ε β) Αν A και Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τον και η ε τον yy αντίστοιχα, να βρείτε την απόσταση AB 65 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Να αποδείξετε ότι η f f 0 Να λύσετε την ανίσωση f 67 Έστω η συνάρτηση f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Να αποδείξετε ότι η f f 0 68 Έστω η συνάρτηση f 4 Να αποδείξετε ότι η f f 0 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f() f( ) 69 Έστω η συνάρτηση f 0 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού Αf της f, Να δείξετε ότι f, για κάθε Αf Να λύσετε την εξίσωση 9 =f() 60 Έστω η συνάρτηση f() 9 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Να αποδείξετε ότι η f f 0 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(008) f( 008) 6 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι: 66 Δίνεται η συνάρτηση : i) y ii) y αν 0 f() με λ R 6λ λ αν 0 Να βρεθεί ο λ ώστε f(0) f 8 Αν λ τότε: O iii) y O α) Να υπολογίσετε την τιμή της f 8 β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων,f και 0,f 0 O 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 4

43 Α Λυκείου Άλγεβρα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 70 Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 0 (), λr Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει πραγματικές και ίσες ρίζες Αν 4λ και, είναι οι ρίζες της (), βρείτε την τιμή της παράστασης: 6 6 A 70 Δίδονται τα τριώνυμα Ρ 4 4 Q, K 5 6 Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε R Να λυθεί η ανίσωση Ρ() Q() 0 K() 70 Δίνεται η εξίσωση α α β β 0 με α 0, β R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των α,β Αν, είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α,με α να αποδείξετε ότι β α 704 Οι αριθμοί και είναι οι ρίζες εξίσωσης ου βαθμού με S, P τέτοια ώστε Ρ S και Ρ S 0 Να δείξετε ότι S = και Ρ = 4 Να βρείτε την εξίσωση Να λύσετε την ανίσωση κ λ 0 που έχει ρίζες τους ρ καιρ κ λ Έστω η εξίσωση λ λ λ 0 με λ Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό ; Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Αν ρ, ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές να ισχύει η ανίσωση: ρ ρ ρ ρ 706 Έστω f (λ ) λ λ, όπου λ Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η συνάρτηση βρίσκεται εξολοκλήρου πάνω από την ευθεία y f λ (5λ ) 4λ, λ 0, Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 4

44 Α Λυκείου Άλγεβρα Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Αν, ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λrώστε: Να λυθεί η ανίσωση d(, λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα 709 Δίνεται η συνάρτηση f (λ ) λ παραβολή που περνά από το σημείο Α(,0) Να βρείτε το λ με λ IR, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια Για την τιμή λ= να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ, ρ όπου, οι ρίζες της f()=0 70 Δίνεται η συνάρτηση f κ κ, όπου κ R A) Αν κ 0,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ; 00 B) Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση f() α Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(,) β Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 7 Δίνονται οι Α 4, Β Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α() και Β() Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε την παράσταση f Να λύσετε την ανίσωση f 0 ( )Β() Α() 7 Έστω η εξίσωση λ λ- 0 με λ Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, Να υπολογίσετε τις παραστάσεις και Να βρείτε το λ ώστε: 5 7 Έστω οι συναρτήσεις: f() (λ ) 4λ και g() 4μ μ με μ 0 Να βρεθεί η τιμή του λrώστε η γραφική παράσταση της f να είναι ευθεία Να βρεθεί η τιμή του μrώστε η γραφική παράσταση της g να εφάπτεται στον Για τις τιμές των λ, μ που βρήκατε να βρείτε τα κοινά σημεία των C f,c g Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η C f τους άξονες και y y και να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 44

45 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η εξίσωση λ- 0 () με ρίζες, A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η () 5 0 Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματίσετε άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες ρ, ρ 75 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα αν f αν f, f, f και f Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων,f και,f Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f 76 Δίνεται η εξίσωση (α ) α 0, α R () Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε τιμή του α Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε 005 β) για α, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και 77 Έστω η εξίσωση μ =0, μ R () Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ R Αν ρ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του μ : α) η παράσταση Α ρμ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή β) οι ευθείες ε : y ρ 006 και ε : y (7 ρ ) 007 είναι παράλληλες 78 Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξίσωση και άνισες, τις και Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμές ο λ Να λύσετε την ανίσωση: λ 0, η οποία έχει δύο ρίζες πραγματικές 0, ως προς λ 79 Δίνονται τα τριώνυμα: P 5 4, Q 9 και Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P 0, Q 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f P K και K 0 K Q Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 45

46 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνεται η συνάρτηση f 6 4 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Να λύσετε την εξίσωση f Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 0 f 7 Για κάθε λ R, δίνονται οι ευθείες y λ 6 5 και ε : y5λ 8 ε : λ ε Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του ώστε η να διέρχεται από το σημείο, 4 λ ε ε Να βρείτε το ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες Αν λ να βρείτε τα σημεία στα οποία η τέμνει τους άξονες ε 4 7 Δίνεται η συνάρτηση f() 6 8 Να βρείτε το πεδίο ορισμού Af της f Να αποδείξετε ότι: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f απλοποιείται στη μορφή f() 4, A Δ) f(5) Να λύσετε την ανίσωση f() 7 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) ( λ ) ( λ ) λ,όπου το λr και λ Δ) Να υπολογίσετε την διακρίνουσα Δ του παραπάνω τριωνύμου ου βαθμού ως συνάρτηση του λ Δ) Να λύσετε (ως προς λ) την εξίσωση :Δ=0 Δ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα 74 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 4 5 0, β) 4 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Γ) Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες Δίνονται οι παραστάσεις: Α με 0 και Β B Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του Β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β 8 8 ω 4 5 ω Β Αν Α και Β να λύσετε την εξίσωση: Α Β Α Β Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 46

47 Α Λυκείου Άλγεβρα Δίνονται οι συναρτήσεις f κ και g λ 4 με κλ, R Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει το άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία για κάθε τιμή του κ R Να βρείτε την τιμή του λr, ώστε η γραφική παράσταση της g να είναι παράλληλη προς τον άξονα Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και g, για κ και, να βρείτε: α) Την τιμή της παράστασης: A f g f g β) Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g 77 Έστω f η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της β) τους αριθμούς f (0), f (8), f (4) γ) το μήκος του τμήματος ΑΒ δ) την τιμή του R για την οποία το σημείο Κ(6, λ -) ανήκει στη γραφική παράσταση της f 78 Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: IRIR και της συνάρτησης g Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: α) Τις τιμές του για τις οποίες ισχύει f β) Τις τιμές f(), f(0), f() γ) Τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g δ) Τις τιμές του, για τις οποίες η παράσταση A f έχει νόημα πραγματικού αριθμού 79 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f 4, όπου αιr β) Να αποδειχθεί ότι f για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f γ) Να βρεθεί η τιμή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,) f δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y Μ Παπαγρηγοράκης / 0 & 4 0 ΓΕΛ Χανιά σελ 47