Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. И. Данилов, О спектре периодического магнитного оператора Дирака, Изв. ИМИ УдГУ, 06, выпуск 48, Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки: IP: 7.44.97.49 5 февраля 08 г., 00:9:4

Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ 06. Âûï.48 ÓÄÊ 57.958, 57.984.5 c Ë. È. Äàíèëîâ Î ÑÏÅÊÒÐÅ ÏÅÐÈÎÄÈ ÅÑÊÎÃÎ ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÄÈÐÀÊÀ Ðàññìàò èâàåòñß ïå èîäè åñêèé ò åõìå íûé îïå àòî Äè àêà D + Ŵ = α j i x j A j+ V 0 + V. Âåêòî íûé ïîòåíöèàë A : R R è ôóíêöèè V s, s =0,, ñîçíà åíèßìè â ï îñò àíñòâå ìèòîâûõ 4 4-ìàò èö ßâëß òñß ïå èîäè åñêèìè ñ îáùåé å åòêîé ïå èîäîâ Λ R. Ï åäïîëàãàåòñß, òî ôóíêöèè V s óäîâëåòâî ß- ò êîììóòàöèîííûì ñîîòíî åíèßì V s α j = s α j Vs, j =,,, s =0,. Ïóñòü K ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. Äîêàçàíà àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à îïå àòî à D + Ŵ,åñëèëèáîA H q loc R ; R, q>, ëèáî A N < +, ãäå A N êî ôôèöèåíòû Ôó üå ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A, à ôóíêöèß V = V 0 + V ï èíàäëåæèò ï îñò àíñòâó L wk è äëß íåå ï è âñåõ äîñòàòî íî áîëü èõ èñëàõ t>0 âûïîëíßåòñß îöåíêà mes {x K : V x >t} Ct,ãäå mes ìå à Ëåáåãà èêîíñòàíòà C>0 çàâèñèò îò A åñëè A 0, òîc óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Ê ôóíêöèè V = V 0 + V ìîæíî äîáàâèòü ïå èîäè åñêó ôóíêöè òàêîãî æå âèäà, èìå ùó êóëîíîâñêèå îñîáåííîñòè x x m ŵ m â îê åñòíîñòßõ òî åê x m K, m =,...,m 0, è íåï å ûâíó ï è x/ x m +Λ, m =,...,m 0, åñëè ŵ m C äëß âñåõ m, ãäå êîíñòàíòà C > 0 òàêæå çàâèñèò îò ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A è íå çàâèñèò îò m 0. Êë åâûå ñëîâà: îïå àòî Äè àêà, àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à, ïå èîäè åñêèé ïîòåíöèàë. Ââåäåíèå Ïóñòü M M, ãäå M N, ëèíåéíîå ï îñò àíñòâî êîìïëåêñíûõ M M-ìàò èö, S M ìíîæåñòâî ìèòîâûõ ìàò èö èç M M, ìàò èöû α j S M, j =,...,n n, óäîâëåòâî ß ò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíî åíèßì α j α l + α l α j =δ jl Î, ãäå Î M M åäèíè íàß ìàò èöà è δ jl ñèìâîë Ê îíåêå à. Îáîçíà èì å åç S M ìíîæåñòâî ìàò èö L S M, ï åäñòàâèìûõ â âèäå L = L 0 + L,ãäå L s S M è α j Ls = s Ls α j äëß âñåõ j =,...,n, s =0,. Ðàññìàò èâàåòñß n-ìå íûé îïå àòî Äè àêà n α j i A j + V, x R n, n, 0. x j j= ãäå i = è êîìïîíåíòû A j ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R n R n è ìàò è íàß ôóíêöèß V : R n S M ßâëß òñß ïå èîäè åñêèìè ñ îáùåé å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n. Êîî äèíàòû â R n îï åäåëß òñß îòíîñèòåëüíî íåêîòî îãî î òîãîíàëüíîãî áàçèñà {E j } E j =, j =,...,n; è, äëèíà è ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå âåêòî îâ èç R n, A j x =Ax, E j. Ïóñòü {E j } áàçèñ å åòêè Λ R n, K = {x = n j= ξ j E j :0 ξ j <, j =,...,n} ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. å åç mes îáîçíà àåòñß ìå à Ëåáåãà â ï îñò àíñòâàõ R m, m N; mes K îáúåì ëåìåíòà íîé ß åéêè K.  äàëüíåé åì ôóíêöèè, îï åäåëåííûå íà ëåìåíòà íîé ß åéêå K, áóäóò òàêæå îòîæäåñòâëßòüñß ñ èõ ïå èîäè åñêèìè ï îäîëæåíèßìè ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ íà âñå ï îñò àíñòâî R n. Ñêàëß íûå ï îèçâåäåíèß è íî ìû â ï îñò àíñòâàõ C M, L R n ; C M è L K; C M ââîäßòñß îáû íûì îá àçîì è â èõ îáîçíà åíèßõ, êàê ï àâèëî, íå áóäóò èñïîëüçîâàòüñß îáîçíà åíèß ñàìèõ ï îñò àíñòâ. Äëß ìàò èö L M M L MM = max Lu. u C M : u= Íóëåâûå è åäèíè íûå ìàò èöû è îïå àòî û â àçíûõ ï îñò àíñòâàõ îáîçíà à òñß êàê 0 è Î ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü {Ej } áàçèñ îá àòíîé å åòêè Λ R n, äëß êîòî îãî E j,el =δ jl, j, l =,...,n; K = {y = n η j Ej :0 η j <, j=,...,n} ëåìåíòà íàß ß åéêà å åòêè Λ. Ñï àâåäëèâî j=

àâåíñòâî mes K =mesk. å åç ψ N =mesk K ψx e πi N,x dx, N Λ, îáîçíà à òñß êî ôôèöèåíòû Ôó üå ôóíêöèé ψ L K; U, ãäå U îäíî èç ï îñò àíñòâ C M, R n èëè M M. Îïå àòî n D = i α j x j j= äåéñòâóåò â ï îñò àíñòâå L R n ; C M è èìååò ñâîåé îáëàñòü îï åäåëåíèß êëàññ Ñîáîëåâà ïî ßäêà :D D =H R n ; C M L R n ; C M. Ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ L loc Rn ; M M îã àíè åíà îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D, åñëè Ŵφ L R n ; C M äëß âñåõ ϕ H R n ; C M è äëß íåêîòî îãî èñëà a 0 íàéäåòñß òàêîå èñëî C = Ca, Ŵ 0, òî äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H R n ; C M Ŵϕ L R n ;C M a Dϕ L R n ;C M + Cϕ L R n ;C M. 0. Òî íàß íèæíßß ã àíü èñåë a, äëß êîòî ûõ âûïîëíßåòñß îöåíêà 0., íàçûâàåòñß ã àíü ìàò- è íîé ôóíêöèè Ŵ îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D èáóäåò îáîçíà àòüñß å åç bŵ. Ïå èîäè åñêàß ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n èçìå èìàß ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ : Rn M M ï èíàäëåæèò ï îñò àíñòâó L n wk; M M, åñëè Ŵ L n wk;m M Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ Ln wk; M M îáîçíà èì Ŵ L n w K;M M. =supt mes {x K : Ŵx M M >t} n < +. t>0. = lim sup t + t mes {x K : Ŵx M M >t} n < +. Ï è n ïå èîäè åñêàß ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R n ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ Ln w K; M M îã àíè åíà îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D è èìååò ã àíü ãäå C = Cn > 0 ñì., íàï èìå, []. Ïóñòü B r x ={y R n : x y r}, bŵ C Ŵ L n wk;m M, 0. B r x = γ Λ B r x + γ, x R n, r > 0. å åç χ T îáîçíà àåòñßõà àêòå èñòè åñêàß ôóíêöèß ìíîæåñòâà T R n. Èç 0. ñëåäóåò òàêæå îöåíêà loc bŵ C Ŵ, L n w K;M M. ãäå loc. Ŵ, L n w K;M M = lim sup lim sup t mes {y B r x :Ŵy M r +0 M >t} n = x R n t + = lim r +0 Çàìå àíèå. Ôóíêöèè Ŵ Ŵ L n w K;MM, loc Ŵ Ŵ L n w K;MM è Ŵ Ŵ, L n w K;MM íå ßâëß òñß íî ìàìè. Åñëè Ŵ, Ŵ L n wk; M M, òî sup χ BrxŴ L n wk;m M. x R n Ŵ + Ŵ L n w K;M M Ŵ L n w K;M M +Ŵ L n w K;M M. 0.4 4

Äëß loc L n w K;MM è, ñï àâåäëèâû àíàëîãè íûå 0.4 îöåíêè. Äëß âñåõ L n w K;MM Ŵ Ln w K; M M âûïîëíß òñß íå àâåíñòâà Ŵ L n w K;MM Ŵ L n w loc K;MM Ŵ, L n w K;MM, è ñóùåñòâó ò íåíóëåâûå ôóíêöèè Ŵ Ln w K; M M, äëß êîòî ûõ Ŵ L n w  äàëüíåé åìáóäåò ï åäïîëàãàòüñß, òî Ŵ = n A j α j + V L n w K; S M j = loc K;MM = Ŵ, L n w K;MM =0. è bŵ <.  òîìñëó àå îïå àòî 0. ßâëßåòñß ñàìîñîï ßæåííûìè D D+Ŵ =H R n ; C M ñì. [,]. Ñïåêò îïå àòî à D+Ŵ èìååò çîííó ñò óêòó ó. Ñèíãóëß íàß ñîñòàâëß ùàß ñïåêò à îòñóòñòâóåò [] ñì. òàêæå [4, 5], è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêò àáñîë òíî íåï å ûâåí â òîì è òîëüêî òîì ñëó àå, êîãäà ó îïå àòî à 0. íåò ñîáñòâåííûõ çíà åíèé áåñêîíå íîé ê àòíîñòè. Âîï îñ îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè è, â àñòíîñòè, ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà ï èâëåê áîëü îå âíèìàíèå â ïîñëåäíèå äâà äåñßòèëåòèß.  [6,7] ñîäå æàòñß îáçî û àííèõ åçóëüòàòîâ.  [8] ï èâåäåíà îá è íàß áèáëèîã àôèß ïî ñîâ åìåííîìó ñîñòîßíè ï îáëåìû. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà 0. ï è âñåõ n áûëà âïå âûå äîêàçàíà â [9] äëß ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A L R n ; R n è ìàò è íîé ôóíêöèè V = V Î + m β òàêèõ, òî A L R n < max γ Λ \{0} è V CR n ; R, ãäå Î M M åäèíè íàß ìàò èöà, m R è β S M ìàò èöà, äëß êîòî îé β = Î è α j β = β α j ï è âñåõ j =,...,n.  ïîñëåäó ùèõ àáîòàõ [, 0 0] ñì. òàêæå ññûëêè èç òèõ ñòàòåé áûëè îñëàáëåíû ï èâåäåííûå îã àíè åíèß è ïîëó åíû íîâûå óñëîâèß íà A è V. Îáçî èçâåñòíûõ åçóëüòàòîâ îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà ñîäå æèòñß â [0] ñì. òàêæå [8, 9].  íàñòîßùåé àáîòå àññìàò èâàåòñß ò åõìå íûé ïå èîäè åñêèé îïå àòî Äè àêà D + Ŵ = j= π γ α j i A j + V. 0.5 x j Äëß îïå àòî à 0.5 ìîæíî ñ èòàòü, òî M =4è òî áóäåò ï åäïîëàãàòüñß â äàëüíåé åì, èìîæíî âûá àòü ìàò èöû 0 σ α j = j, j =,,, σ j 0 ãäå σ j ìàò èöû Ïàóëè: Ï è òîì σ = 0, σ 0 = 0 i 0, σ i 0 =. 0 V V = 0 Î V + iv Î V iv Î V, Î ãäå V j âåùåñòâåííîçíà íûå ôóíêöèè èç L w K; R, j =0,,, 0 è Î íóëåâàß è åäèíè íàß ìàò èöû èç M. Ïóñòü S = {x R : x =}, S x ={ẽ S :ẽ, x =0}, x R \{0}. Îáîçíà èì å åç M ìíîæåñòâî åòíûõ áî åëåâñêèõ çíàêîïå åìåííûõ ìå íà R ñ êîíå íîé ïîëíîé âà èàöèåé, äëß êîòî ûõ e ipt dt =äëß âñåõ p h, h, ãäå h = h > 0.  àñòíîñòè, ìíîæåñòâî M R ñîäå æèò ìå ó Äè àêà δ. 5

 [0] äîêàçàíà àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ò åõìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà 0.5, åñëè V L K; S M è ñóùåñòâóåò âåêòî γ Λ\{0} òàêîé, òî ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò ñëåäó ùèì äâóìóñëîâèßì: γ A L K; R è îòîá àæåíèå R x {[0, ] ξ Ax ξγ} L [0, ]; R íåï å ûâíî; γ ñóùåñòâóåò ìå à M òàêàß, òî äëß âñåõ x R è âñåõ âåêòî îâ ẽ S γ A 0 dt Ax ξγ tẽ dξ < π γ, ãäå A 0 =mesk K Ax dx. R Çàìå àíèå. Èç óñëîâèß γ ñëåäóåò, òî ìàò è íàß ôóíêöèß 0 j = A j α j èìååò íóëåâó ã àíü îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D ï è n = []. Ïî òîìó äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K; M M â àñòíîñòè, ï è M =4 ñï àâåäëèâî àâåíñòâî b A j α j + V = b V. Åñëè V L K; M M, òî b V =0. Çàìå àíèå. Äëß ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R R óñëîâèå γ âûïîëíßåòñß ï è ñîîòâåòñòâó ùåì âûáî å âåêòî à γ Λ\{0} èìå û M, åñëè ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A ï èíàäëåæèò êëàññó Ñîáîëåâà H q loc R ; R, q >, à òàêæå â ñëó àå, êîãäà A N C < + ñì. [4, ]. Óñëîâèå γ âûïîëíßåòñß äëß ë áîãî âåêòî à γ Λ\{0}, N Λ åñëè A H q loc R ; R, q>. Ïóñòü KK; S 4 ìíîæåñòâî ïå èîäè åñêèõ ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ : R S 4, äëß êîòî ûõ íàéäóòñß àçíûå òî êè x m K, m =,...,m 0 ãäå m 0 = m 0 Ŵ N, òàêèå, òî ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ áåñêîíå íî äèôôå åíöè óåìà íà îòê ûòîììíîæåñòâå m 0 R \ {x m + γ } m = γ Λ è â äîñòàòî íî ìàëûõ îê åñòíîñòßõ â R òî åê x m èìååò âèä Ŵx = x x m ŵ m, ãäå ŵ m S 4. Îáîçíà èì qŵ = max ŵ m M4. m =,...,m 0 j = Ñï àâåäëèâî âëîæåíèå KK; S 4 L wk; M 4. Ï è òîì è loc 4π Ŵ, L n w K;M M = q Ŵ bŵ =qŵ ñì. [,]. Ñëåäó ùàß òåî åìà ßâëßåòñß îñíîâíûì åçóëüòàòîì äàííîé àáîòû. Òåî åìà 0.. Ñïåêò ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R îïå àòî à Äè àêà 0.5 ï è M =4àáñîë òíî íåï å ûâåí, åñëè äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ, à ìàò è íó ôóíêöè V ìîæíî ï åäñòàâèòü â âèäå V = V + V, ãäå V j : R S 4, j =,, ïå èîäè åñêèå ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàò è íûå ôóíêöèè, äëß êîòî ûõ V L w K; M 4, V KK; S 4 L wk; M 4 è V L w K;M 4 C,q V C, ãäå C j = C j γ,λ; A > 0, j =, åñëè A 0, òî C j óíèâå ñàëüíûå êîíñòàíòû, íå çàâèñßùèå îò Λ. 6

Ñëåäñòâèå0.. Ñïåêò ïå èîäè åñêîãî ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R îïå àòî à Äè- àêà 0.5 ï è M =4àáñîë òíî íåï å ûâåí, åñëè äëß ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà A: R R âûïîëíåíî ëèáî íå àâåíñòâî A N C < +, ëèáî âêë åíèå A H q loc R ; R, q>, N Λ à äëß ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K, S 4 âûïîëíåíî óñëîâèå V L wk,m 4 C, ãäå C = C Λ; A > 0åñëè A 0, òî C óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû 0. ï èâåäåíî â. Ï è äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçó òñß åçóëüòàòû èìåòîäû èç àáîò [6,7,9,0].. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû 0. Ïóñòü H s K; C 4, s>0, ìíîæåñòâî âåêòî -ôóíêöèé ϕ: K C 4,ïå èîäè åñêèå ï îäîëæåíèß êîòî ûõ ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ï èíàäëåæàò êëàññó Ñîáîëåâà H s loc R ; C 4. Äëß âñåõ k R, e S è κ 0 îï åäåëèìîïå àòî û Dk + iκe = i α j + x j j = k j + iκe j α j, äåéñòâó ùèå â L K; C 4,D Dk + iκe = H K; C 4. Âóñëîâèßõ òåî åìû 0. êîíñòàíòû C è C âûáè à òñß òàê, òî b V b V +b V < ñì. 0.. Òîãäà ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ = j = A j α j + V + j = èìååò ã àíü bŵ =b V < îòíîñèòåëüíî îïå àòî à D è, ñëåäîâàòåëüíî, îòíîñèòåëüíî îïå- àòî îâ Dk ï è κ =0, k R, äåéñòâó ùèõ â L K; C 4 ï åäïîëàãàåòñß, òî ìàò è íàß ôóíêöèß Ŵ òàêæå äåéñòâóåò â L K; C 4. Â òîì ñëó àå îïå àòî û Dk + iκe +Ŵ ñ îáëàñòü îï åäåëåíèß D Dk +iκe+ŵ = H K; C 4 L K; C 4 çàìêíóòû è èìå ò êîìïàêòíó åçîëüâåíòó äëß âñåõ k + iκe C. Îïå àòî û Dk+Ŵ, k R, ßâëß òñß ñàìîñîï ßæåííûìè è èìå ò äèñê åòíûé ñïåêò. Ïå èîäè åñêèé îïå àòî Äè àêà 0.5 óíèòà íî êâèâàëåíòåí ï ßìîìó èíòåã àëó Dk+Ŵ dk πk π mes K.. Óíèòà íàß êâèâàëåíòíîñòü óñòàíàâëèâàåòñß ñ ïîìîùü ï åîá àçîâàíèß Ãåëüôàíäà ñì. [, 4]. Äëß äîêàçàòåëüñòâà àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à 0.5 äîñòàòî íî ïîêàçàòü, òî ó íåãî íåò ñîáñòâåííûõ çíà åíèé áåñêîíå íîé ê àòíîñòè. Ïî òîìó ï åäïîëîæèì, òî íåêîòî îå èñëî λ R ßâëßåòñß ñîáñòâåííûì çíà åíèåì îïå àòî à 0.5. Òîãäà èç àçëîæåíèß îïå àòî à Äè àêà 0.5 â ï ßìîé èíòåã àë. è àíàëèòè åñêîé òåî åìû Ô åäãîëüìà ñëåäóåò ñì. [4, 7], òî λ ñîáñòâåííîå çíà åíèå îïå àòî îâ Dk + iκe+ŵ ï è âñåõ k + iκe C. Äåëàß çàìåíó V λî V ï è òîì V λî L wk; S 4 è V λî L wk;m 4 = V L wk;m 4, ìîæíî àññìàò èâàòü òîëüêî ñëó àé λ =0. Íî ñóùåñòâîâàíèå ñîáñòâåííîãî çíà åíèß λ =0ó îïå àòî îâ Dk + iκe+ŵ ï è âñåõ k + iκe C ï îòèâî å èò ï èâîäèìîé äàëåå òåî åìå.. Ïî òîìó ñïåêò ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè- àêà 0.5 àáñîë òíî íåï å ûâåí. Òàêîé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îòñóòñòâèß ñîáñòâåííûõ çíà åíèé è àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ ëëèïòè åñêèõ äèôôå åíöèàëüíûõ îïå àòî îâ áûë ï åäëîæåí â [5] è èñïîëüçîâàëñß âî âñåõ ïîñëåäó ùèõ àáîòàõ î õà àêòå å ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ïóñòü γ Λ\{0} âåêòî èç òåî åìû 0., e =. γ γ. Ââåäåì îáîçíà åíèß x =x, e, x = x x, ee, x R. Äëß ë áîé âåêòî -ôóíêöèè ϕ H K; C 4 Dk + iκeϕ = DN k; κ ϕ N e πi N,x, N Λ 7 V

ãäå D N k; κ = Äëß âñåõ k R è κ 0 îáîçíà èì Ñï àâåäëèâû íå àâåíñòâà k j +πn j + iκe j α j. j = G ± N k; κ = k +πn +κ ± k +πn /, N Λ. G + N k; κ G N k; κ, G+ N k; κ κ, G+ N k; κ k +πn. Åñëè k R è k, γ = π, òîg N k; κ π γ äëß âñåõ κ 0 è N Λ. Äëß âåêòî îâ k R, äëß êîòî ûõ k, γ = π, îï åäåëèìîïå àòî û Ĝs ±, s R, äåéñòâó ùèå â L K; C 4 : Ĝ s ± ϕ = N Λ G ± N k; κs ϕ N e πi N,x, ϕ DĜs ± = { Hs K; C 4, åñëè s>0, L K; C 4, åñëè s 0 îïå àòî û Ĝs ± çàâèñßò îò k è κ, íî ßâíî òà çàâèñèìîñòü â îáîçíà åíèßõ óêàçûâàòüñß íå áóäåò, Ĝ±. = Ĝ ±. Äëß âåêòî îâ ẽ S e àññìîò èì î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â C 4 : Äëß âñåõ ẽ, ẽ S e ± ẽ = Î i e j α j j = ± ẽ j = ẽ j α j. ẽ = ± ẽ ± ẽ = ẽ ẽ. Äëß âåêòî îâ y R, äëß êîòî ûõ y = y y,ee 0, áóäåìîáîçíà àòü ẽy. = y y, ẽy S e. Åñëè k R,N Λ, ï è òîì k +πn 0,òî è äëß âñåõ κ 0 Ñëåäîâàòåëüíî, ± ẽk+πn e j α j ± ẽk+πn = 0 j = D N k; κ ± ẽk+πn =k +πn + iκ ± k +πn j = e j α j ± ẽk+πn. ± ẽk+πn D N k; κ ± ẽk+πn = 0,. D N k; κ ± ẽk+πn u = G± ± N k; κ ẽk+πn u, u C4.. Åñëè k +πn =0,òîG + N k; κ =G N k; κ. Ïóñòü Ke = {k R : k, γ = π è k +πn 0äëß âñåõ N Λ }. Ìíîæåñòâî {k R : k, γ = π}\ke ñ åòíîå. Äëß âåêòî îâ k Ke îï åäåëèì î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â L K; C 4 : ± ϕ = N Λ ± ẽk+πn ϕ N e πi N,x, ϕ L K; C 4 8

îïå àòî û ± çàâèñßò îò k, íî òà çàâèñèìîñòü óêàçûâàòüñß â îáîçíà åíèßõ íå áóäåò. Óñëîâèå k Ke âìåñòî óñëîâèß k, γ = π ßâëßåòñß òåõíè åñêèì. Îíî ïîçâîëßåò èçáåæàòü íåîäíîçíà íîñòè â îï åäåëåíèè îïå àòî îâ ± äëß âåêòî îâ k R, äëß êîòî ûõ k, γ = π è k +πn =0äëß íåêîòî îãî âåêòî à N Λ.Òàê êàê + + = Î, òî èç. è. äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 ïîëó àåì Ñëåäîâàòåëüíî, ± Dk + iκeϕ = Ĝ ϕ, Dk + iκeϕ = Ĝ ϕ + Ĝ+ + ϕ. Ĝ + + Ĝ + Dk + iκeϕ = Ĝ + Ĝ + + ϕ, ϕ H K; C 4..4 Òåî åìà.. Ïóñòü ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ è e = γ γ. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = Cγ,Λ; A 0, ] òàêàß, òî äëß ë áûõ δ>0è>0 ñóùåñòâó ò êîíñòàíòû C = C γ,λ,δ,; A > 0 è C = C γ,λ,δ; A > 0 òàêèå, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V = V + V, ãäå V s : R S 4, s =,, ïå èîäè åñêèå ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàò è íûå ôóíêöèè, äëß êîòî ûõ V L wk; M 4, V KK; S 4 è V L wk;m 4 C, q V C, íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ âåêòî îâ k Ke èâñåõâåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 C Ĝ Dk + iκe+ŵ ϕ C Ĝ + + Ĝ + Dk + iκe+ŵ ϕ δ C Ĝ + Ĝ + + ϕ δ C Ĝ ϕ. Òåî åìà. íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò èç òåî åì.,. è.5. Òåî åìà. ñì. [7, 9]. Ï åäïîëîæèì, òî äëß íåêîòî îãî âåêòî à γ Λ\{0} e = γ γ ïå èîäè åñêèé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë A: R R óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì γ è γ. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = Cγ,Λ; A 0, ] òàêàß, òî äëß ë áîãî δ 0, ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 C Ĝ + + Ĝ + Dk + iκe j = A j α j ϕ δ C Ĝ + Ĝ + + ϕ. Çàìå àíèå 4. Åñëè A 0, òîâóñëîâèßõ òåî åì. è. ìîæíî ïîëîæèòü C =ñì..4 è âûá àòü âåêòî γ Λ\{0} ñ ìèíèìàëüíîé äëèíîé γ. Òîãäà êîíñòàíòà C èç òåî åìû. áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îòδ è, àêîíñòàíòà C îòδ. Ïóñòü γ Λ\{0} êàêîé-ëèáî èç âåêòî îâ, äëß êîòî ûõ γ = min γ. γ Λ\{0} Ò å î å ìà.. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V L w K; S 4 è ë áûõ ε>0 è >0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ c γ γ ãäå c > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. + Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L K; S 4 äëß íèõ V ñèëüíîå óòâå æäåíèå, åìóòâå æäåíèå, ñëåäó ùåå èç òåî åìû.. ε + V L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ, 9 L w K;M 4 =0 ñï àâåäëèâî áîëåå

Òåî åìà.4. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V L K; S 4 è ë áûõ èñåë ε > 0, 0, ] è τ 0, íàéäåòñß èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 íàéäåòñß èçìå èìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî Z [κ, + κ ] òàêîå, òî mes Z τκ è äëß âñåõ κ Z, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ ε Ĝ + Ĝ + + ϕ..5 Áîëåå ï îñòîé âà èàíò òåî åìû.4 êîãäà âìåñòî âûïîëíåíèß îöåíêè.5 äëß âñåõ κ Z ò åáóåòñß åå âûïîëíåíèå òîëüêî äëß îäíîãî èñëà κ [κ, + κ ] ï èâåäåí â [0], íî èç äîêàçàòåëüñòâà, ï åäëîæåííîãî â [0], ñëåäóåò, òî ñï àâåäëèâà òàêæå òåî åìà.4. Òåî åìà.5. Ïóñòü γ Λ\{0} e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè V KK; S 4 L wk; M 4 è ë áîãî ε>0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ c ε + q V Ĝ + Ĝ + + ϕ, ãäå c > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Òåî åìà.5 ßâëßåòñß ñëåäñòâèåìòåî åìû.6 èç [9]. Òåî åìà. äîêàçûâàåòñß â ñëåäó ùåì ïà àã àôå.. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. Âîñïîëüçóåìñß îáîçíà åíèßìè èíåêîòî ûìè óòâå æäåíèßìè èç [9, 0]. Ïóñòü γ Λ\{0}, e = γ γ. Êî ôôèöèåíòû Ôó üå ŴN, N Λ, ìàò è íûõ ôóíêöèé Ŵ L K; S 4, êîììóòè ó ò ñ î òîãîíàëüíûìè ï îåêòî àìè ± ẽ, ẽ S e. Äëß ìíîæåñòâ C Λ áóäåì å åç C îáîçíà àòü î òîãîíàëüíûå ï îåêòî û â L K; C 4, ñòàâßùèå â ñîîòâåòñòâèå âåêòî -ôóíêöèßì ϕ L K; C 4 âåêòî -ôóíêöèè C ϕ = πi N,x N e N Cϕ â àñòíîñòè, = 0. Áóäåì äàëåå ñ èòàòü, òî áàçèñíûå âåêòî û E j, j =,,, å åòêè Λ R âûá àíû òàê, òî E j c mes K,. j = ãäå c > 0 íåêîòî àß óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà ï è òîì mes K îò âûáî à áàçèñà {E j } íå çàâèñèò. Äëß òîãî äîñòàòî íî âûá àòü âåêòî E = γ, ïîñëå òîãî èç ìíîæåñòâà Λ \{m E : m Z} âûá àòü âåêòî E ñ ìèíèìàëüíîé äëèíîé è, íàêîíåö, èç ìíîæåñòâà Λ \{m E +m E : m,m Z} âûá àòü âåêòî E, òàêæå èìå ùèé ìèíèìàëüíó äëèíó. Òîãäà âåêòî û E j, j =,,, îá àçó ò áàçèñ å åòêè Λ è óäîâëåòâî ß ò íå àâåíñòâó.. èñëî κ 0 > 0 áóäåò äàëåå âûáè àòüñß äîñòàòî íî áîëü èìè îöåíêè ñíèçó äëß íåãî áóäóò ï èâåäåíû ïî õîäó äîêàçàòåëüñòâà. Âíà àëå ï åäïîëîæèì, òî κ 0 > 4 è κ 0 8π diam K, ãäå diam K äèàìåò ëåìåíòà íîé ß åéêè K è â äàëüíåé åì ï åäïîëàãàåòñß, òî òè íå àâåíñòâà âûïîëíåíû. Ïóñòü κ κ 0, l = lk Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî l > π diam K, è L = Lκ N íàèáîëü åå èñëî, äëß êîòî îãî L+ κ òîãäà l L è κ < L+. Ïóñòü k Ke. Îáîçíà èì Kb ={N Λ : G N k; κ b}, b [0, κ 0

ìíîæåñòâî Kb çàâèñèò òàêæå îò k è κ. Ï è b>π diam K è b<κ äëß èñëà ëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Kb ñï àâåäëèâà îöåíêà # Kb c 4 mes K κb, ãäå c 4 > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. Åñëè N, N K L,òî Îáîçíà èì ẽk +πn ẽk +πn 4π κ N N. K l = K l, K = K \K, = l +,l+,...,l; ± = ± K L. Èìååò ìåñòî àâåíñòâî + + = K L. Äëß ë áîé âåêòî -ôóíêöèè ϕ L K; C 4 π γ K l ϕ Ĝ K l ϕ h l K l ϕ,. Ïîëîæèì Ï è òîì K ϕ Ĝ K ϕ K ϕ, = l +,...,L.. q = { γ π l, åñëè = l,, åñëè = l +,...,L. q l > γ diam K > γ E E,E =. Ïîëó èì òàêæå îöåíêó ñâå õó äëß ql. Ïóñòü ñ åäè áàçèñíûõ âåêòî îâ E j å åòêè Λ, j =,,, âåêòî Es èìååò ìàêñèìàëüíó äëèíó. Òîãäà diam K < Es. Èñïîëüçóß., ïîëó àåì c E j mes K j = Òîãäà E s E s c è, ñëåäîâàòåëüíî, E s, Es Es j: j s E j = E s j: j s E j. ql γ γ γ π l γ γ E s diam K 6 γ γ E s Es 6 c γ γ..4 Èç. è. ñëåäó ò íå àâåíñòâà Ĝ K ϕ q K ϕ, = l, l +,...,L..5 Äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L wk; M 4, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 Ĝ + + Ĝ + V ϕ.6 Ĝ + + Ĝ + V K L ϕ + Ĝ + + Ĝ + V Λ \K L ϕ + + Ĝ + + Ĝ + Λ \K L V K L ϕ + ï è òîì + Ĝ + + Ĝ + Λ \K L V Λ \K L ϕ, Ĝ + + Ĝ + V K L ϕ.7 Ĝ + V ϕ + Ĝ + V + ϕ + Ĝ + V K L ϕ.

 [9] äîêàçàíî, òî ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà c 5 > 0 òàêàß, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè V L wk; S 4 è ë áîãî ε>0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ϕ H K; C 4 ïîñëåäíèå ò è ñëàãàåìûõ â ï àâîé àñòè íå àâåíñòâà.6 è ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â ï àâîé àñòè íå àâåíñòâà.7 íå ï åâîñõîäßò c 5 ε + V, loc L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ äëß ìàò è íûõ ôóíêöèé V L K; S 4 äëß êîòî ûõ V, loc =0 äîêàçàòåëüñòâî L w K;M 4 òèõ îöåíîê ï èâåäåíî òàêæå â [0]. Ïî òîìó ï è κ 0 κ 0 è κ κ 0 èç.6è.7àòàêæå èç íå àâåíñòâà V, loc L w K;M 4 V, êîòî îå ñï àâåäëèâî äëß âñåõ ìàò è íûõ L w K;M 4 ôóíêöèé V L wk; M 4 ñëåäóåò îöåíêà Ĝ + + Ĝ + V ϕ.8 Ĝ + V ϕ +5c 5 ε + V L wk;m 4 Ĝ + Ĝ + + ϕ. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. òåïå ü ñâîäèòñß ê ïîëó åíè ñîîòâåòñòâó ùåé îöåíêè ñâå õó äëß íî ìû Ĝ + V ϕ. Îáîçíà èì ± = L ± K, = l, l +,...,L; ± = ±. Äëß èñåë, ν {l,...,l} ïîëîæèì j, ν. = + ν +min{, ν}. Òåî åìà.. Ïóñòü γ Λ\{0} è e = γ γ. Òîãäà äëß ë áîé ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L w K; S 4 è ë áûõ ε>0 è >0 íàéäåòñß èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 ñóùåñòâóåò èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke èâñåõâåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ + ν ψ c 6 ãäå c 6 > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. = l ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,.9 Òåî åìà. äîêàçûâàåòñß â, à â îñòàâ åéñß àñòè òîãî ïà àã àôà ñ ïîìîùü òåî åìû. çàâå èì äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû.. Ââåäåìê àòêîå îáîçíà åíèå + P V =c 6 ε + Ŵ L w 4. K;M Ó èòûâàß.5 è îï åäåëåíèå èñåë q, äëß âûáè àåìûõ â òåî åìå. äëß ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ = V èñåë κ è äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 ñ ïîìîùü îöåíêè.9 ïîëó àåì è, ñëåäîâàòåëüíî, Ĝ P V q q ν +ν + j,ν Ĝ + V Ĝ ψ = + V Ĝ L = l ν ψ ν ψ ql P V 6 ν Ĝ + V Ĝ L ν = l ν ψ ν ψ.0 L L = l ν = l Ĝ + V Ĝ ν ψ ql P V L L = l ν = l 6 ν ν ψ.

Ï è òîì L L = l ν = l + 6 6 6 ν ν ψ L L ν = l = l L L L 6 ν = l h 6 ν ν = l ν ψ Èç.0 è. ñì. òàêæå.4 âûòåêàåò îöåíêà Ĝ + V Ĝ γ ψ 08 c c 6 γ + 6 + 6 ν = l 6 ν ν ψ L ν = l. ν ψ 8 ψ. ε + V L w K;M 4 ψ. Îñòàëîñü â ïîëó åííîìíå àâåíñòâå ñäåëàòü çàìåíó ψ = Ĝ ϕ, ϕ H K; C 4, è âîñïîëüçîâàòüñß íå àâåíñòâîì.8 ï è âûáî å äîñòàòî íî áîëü îãî èñëà κ 0 κ 0. Ï è òîììîæíî ïîëîæèòü c =5c 5 + 08 c c 6.Òåî åìà. äîêàçàíà.. Äîêàçàòåëüñòâî òåî åìû. Äëß n Λ è, ν {l,...,lκ} ï è κ κ 0 è k Ke ïóñòü S ν n èñëî âåêòî îâ N K òàêèõ, òî N n K ν.åñëèπ n > κ + + ν èëè π n > + ν,òîs ν n =0. Ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà c 7 > 0 òàêàß, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ è âñåõ âåêòî îâ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ + max {,ν} è π n max {,ν}, ñï àâåäëèâà îöåíêà S ν n c 7 mes K j,ν κ π n + max {,ν} κ + +max {,ν} π n. òàê êàê l > π diam K è L < κ π diam K, òî îöåíêà. ñëåäóåò èç ñîîòâåòñòâó ùåé îöåíêè ñâå õó äëß ïëîùàäè ïå åñå åíèß äâóõ êîëåö â R ñ âíå íèìè è âíóò åííèìè àäèóñàìè κ ± +πdiam K è κ ± ν +πdiam K è ñ àññòîßíèåììåæäó öåíò àìè π n. Äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè. â áîëåå îáùåìâèäå ï èâåäåíî â [0] ñì. òàêæå [0, 6]. Âûáå åì è çàôèêñè óåì åòíó ôóíêöè Ω èç ï îñò àíñòâà âà öà SR ; R, äëß êîòî îé ï åîá àçîâàíèå Ôó üå Ωp = π R Ωx e i p,x dx, p R, îáëàäàåò ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: Ωp =ï è p, 0 Ωp ï è < p < è Ωp =0 ï è p.ï èb>0 îáîçíà èì Ωbx. = b Ωbx, x R. Òîãäà Ω b L R = Ω L R è Ω b p = Ω p b,p R. Ïóñòü Ŵ L K; M 4. Ï è a>0 îï åäåëèìôóíêöèè { R Ŵx, åñëè x Ŵa, x Ŵx = M4 a, 0 â ï îòèâíîìñëó àå; Îáîçíà èì Ŵ b, in x = π b, in Ŵa, x = π Ŵ a, x =Ŵx Ŵa, x, x R. Ω b y Ŵx y dy, R Ŵ b, out x =Ŵx Ŵ b, in x, b > 0; Ω b y Ŵa, x b, out y dy, Ŵa, b, in Ŵa, R

Äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L K; M 4 îïå àòî û Ŵ äåéñòâó ùèå â L K; C 4 îã àíè åíû. Åñëè Ŵ L K; S 4, òî äëß âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 ñï àâåäëèâû îöåíêè + Ŵ ν ψ =. =mesk + mes K 4 N K N K N n K ν + ẽk+πnŵn ẽk+πn n ψ N n ν ẽk +πn ẽk +πn n Ŵ n M4 N n K ν mes K κ mes K κ N K = κ n Λ N K = κ π n Ŵ n M4 N n K ν π n N n K ν N K νn Ŵn M 4 ψ N n N n K ν π n Ŵn M4 ν ψ = n Λ S ν nπ n Ŵn M 4 ν ψ. ψ N n ψ N n = Òàê êàê Ŵ κ, in n = Ω πn κ Ŵn,n Λ, òî Ŵ κ, in n = 0 ï è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ. Ñ ä óãîé ñòî îíû, åñëè π n < κ, òî κ ++max {,ν} π n > 4 κ äëß âñåõ, ν = l,...,l. Ïî òîìó èç. è. ï è κ κ 0 è äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 ïîëó àåì + Ŵ κ, in ν ψ c 7 mes K π n κ Ŵn M 4 j,ν ν ψ. π n < κ 6c 7 mes K n Λ Ŵn M 4 j,ν Ñëåäñòâèåìïå âîãî íå àâåíñòâà â. ßâëßåòñß ν ψ 6c 7 Ŵ L K;M 4 j,ν ν ψ. Ëåììà.. Ïóñòü Ŵ L K; S 4. Òîãäà äëß ë áûõ ε > 0 è, ν {l, l +,...} ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 = κ 0, ν; ε, Ŵ > 0 òàêîå, òî max {, ν} Lκ 0 èäëßâñåõ κ κ 0, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ ε ν ψ. Òåî åìà.. Ñóùåñòâóåò óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà C > 0 òàêàß, òî äëß ë áîé ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è äëß âñåõ κ κ 0 > max {4, 8π diam K }, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ C Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..4 Äîêàçàòåëüñòâî. Òåî åìà. ñï àâåäëèâà, åñëè Ŵx = 0 ï è ï. â. ïî òè âñåõ x R. Ïî òîìó ìîæíî ñ èòàòü, òî Ŵ L w K;M 4 > 0. Äëß âñåõ j Z äëß êîòî ûõ j l âûáå åì èñëà a j = Ŵ L w K;M 4 j. Ï è ï. â. x R èìååò ìåñòî îöåíêà κ, in Ŵ a j, x π Ω L R a j. 4

Ïî òîìó äëß âñåõ, ν = l,...,lκ + κ, in Ŵa j,ν, ν ψ π Ω L R Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..5 Ñ ä óãîé ñòî îíû, èç íå àâåíñòâà. â êîòî îìâìåñòî ôóíêöèè Ŵ àññìàò èâà òñß ôóíêöèè Ŵa j, ïîëó àåì Îáîçíà èì Òàê êàê òî + è, ñëåäîâàòåëüíî, κ, in Ŵa j,ν, ν ψ 6c 7 Ŵa j,ν, L K;M 4 j,ν K j s = {x K : s a j < Ŵx M 4 s a j }, s N. mes K j s a j Ŵa j, L K;M 4 = a j + κ, in Ŵa j,ν, s+ a j Ŵ L w K;M 4, s N K j s ν ψ. Ŵx M 4 dx 8 Ŵ L w K;M 4.6 ν ψ 8 c 7 Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ..7 Òåïå ü íå àâåíñòâî.4 íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò èç îöåíîê.5 è.7, åñëè âîñïîëüçîâàòüñß àâåíñòâàìè Ŵ κ, in κ, in κ, in = Ŵa j,ν, + Ŵa j,ν, ï è, ν = l,...,lκ. Ï è òîììîæíî ïîëîæèòü C =8 c 7 +π Ω L R. Ò å î å ìà.. Äëß ë áûõ ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è èñëà ε>0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 = κ 0 ε, Ŵ > 0 òàêîå, òî äëß âñåõ κ κ 0 κ 0, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, in ν ψ C ε + Ŵ L w K;M 4 j,ν ν ψ,.8 ãäå C > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà èç òåî åìû.. Äîêàçàòåëüñòâî.Âûáå åì èñëît 0 > 0, äëß êîòî îãî κ, in Ŵt 0, Ŵt 0, L w K;M 4 ε + Ŵ L w K;M 4..9 Â ñèëó òåî åìû. ï è κ κ 0, ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke èâñåõψ L K; C 4 + ν j,ν ν ψ..0 ψ C ε + Ŵ L w K;M 4 Òàê êàê Ŵt 0, x M4 t 0 ï è ï. â. x R, òî òàêæå âûïîëíß òñß îöåíêè + κ, in Ŵt 0, ν Ïóñòü J Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî Åñëè j, ν J, òî èç. ïîëó àåì + ψ π Ω L R t 0 ν ψ.. π Ω L R t 0 ε C J. Ŵ κ, in t 0, ν ψ ε C j,ν ν ψ.. Ñ ä óãîé ñòî îíû, ìíîæåñòâî Q J óïî ßäî åííûõ ïà, ν èñåë, ν {l,...,lκ}, äëß êîòî ûõ j, ν <J,êîíå íî èëè ïóñòî è äëß òàêèõ óïî ßäî åííûõ ïà max{, ν} <J l. 5

Ïî òîìó èç ëåììû. ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî èñëà κ 0 > 0, òî ï è âñåõ, ν Q J âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâî max {, ν} L κ 0 è ï è âñåõ κ κ 0 κ 0, âñåõ, ν Q J, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 èìååò ìåñòî îöåíêà.. Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà. ñï àâåäëèâà ï è âñåõ, ν = l,...,lκ.òåïå ü íå àâåíñòâî.8 íåïîñ åäñòâåííî ñëåäóåò ï è κ κ 0 κ 0 èç.0 è. è àâåíñòâà Ŵ κ, in = Ŵ κ, in t 0, + Ŵ κ, in t o,. Òåïå ü ïîëó èì îöåíêó ñâå õó äëß íî ì Ŵ κ, out ν ψ. Ïóñòü Ŵ L K; S 4. Òàê êàê Ŵ κ, out n = Ω πn κ Ŵn, n Λ, òî Ŵ κ, out n = 0 ï è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ. Èñïîëüçóß îöåíêó π N N < κ + + ν 4κ, âûïîëíß ùó ñß ï èn K è N K ν, èç. è. äëß âñåõ κ κ 0, âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 ïîëó àåì 6c 7 mes K κ π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ + + Ŵ κ, out ν ψ. Ŵn κ M 4 + +max {,ν} j,ν π n ν ψ. Òåî åìà.. Äëß ë áûõ ïå èîäè åñêîé ñ å åòêîé ïå èîäîâ Λ R ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ L wk; S 4 è èñåë ε>0 è >0 ñóùåñòâóåò èñëî κ 0 > 4 òàêîå, òî äëß ë áîãî κ κ 0 κ 0 íàéäåòñß èñëî κ [κ, κ + ] òàêîå, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ âåêòî îâ k Ke è âñåõ âåêòî -ôóíêöèé ψ L K; C 4 + Ŵ κ, out ν ψ C + ãäå C > 0 óíèâå ñàëüíàß êîíñòàíòà. ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,.4 Äîêàçàòåëüñòâî.Êàê è ï è äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû., âûáå åì èñëî t 0 > 0 òàê, òîáû âûïîëíßëîñü íå àâåíñòâî.9. Îáîçíà èì V = Ŵt 0,. Ïóñòü a j = Èç.6 ñëåäó ò îöåíêè + ε + Ŵ L wk;m 4 j, j =l, l +,.... V aj, L K;M 4 8a j Ŵt 0, L w K;M 4. Áóäåì äàëåå ñ èòàòü, òî κ0 8. Ïóñòü κ κ 0. Âûáå åì èñëî s 0 N òàê, òî 8 s 0 κ κ + < 8 s0+ κ. Äëß èñåë s = 0,,...,s 0 îï åäåëèì èñëà κ s = 8 s κ. Îáîçíà èì. s L s = Lκ ; L s s + ln κ ln. èñëî κ 0 áóäåò âûáè àòüñß äîñòàòî íî áîëü èì òàê, òîáû äëß èñëà s 0 ï è âñåõ κ κ 0 âûïîëíßëèñü íå àâåíñòâà s 0 L s 0 l + 6s 0 L s 0 6 + ln κ + < 8 + < 0 + s 0 ln s 0 äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèß íà âûáî èñëà κ 0 áóäóò ï èâåäåíû â äàëüíåé åì. Ñï àâåäëèâû îöåíêè s 0 s 0 s =0 L s j =l a j κ s π n < 8κ s V aj, n M 4 L s0 s 0 j =l s 0 a j s =0 κ s π n < 8κ s V aj, n M 4 L s0 s 0 j =l a j κ 0 π n < 8κ s 0 V aj, n M 4 4 L s0 mes K s 0 j =l a j V aj, L K;M 4 6

mes K L s0 l +Ŵt s 0, + L 0 w K;M 640 mes K 4 Ŵt 0, L w K;M 4, èç êîòî ûõ âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èñëà s {0,,...,s 0 } òàêîãî, òî L s j =l a j κ s π n < 8κ s V aj, n + M 4 640 mes K Ŵt 0, L w K;M 4..5 Îï åäåëèì ôóíêöèè 0, åñëè ξ< Ls, R ξ G s ξ = ξ + +λ, åñëè λ ξ< λ,λ= l +,...,L s, ξ + +l, åñëè ξ l, è ï è âñåõ κ [κ s, κs ] îáîçíà èì Fκ = Fκ = κ s L s j =l κ s a j κ s π n < 8κ s κ s π n < 8κ s G s κ π n V aj, n M 4, G s κ π n Ŵt 0, n M 4. Òàê êàê ï è âñåõ ξ< l èìååò ìåñòî îöåíêà G s ξ < ξ +l,òî è, ñëåäîâàòåëüíî ñì..5, s s κ κ κ s G s κ π n dκ 4 κ s s s κ κ Fκ dκ 560 + mesk κ s s s κ κ κ s Fκ dκ 4 Îòêóäà âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå èñëà κ [κ s â äàëüíåé åì, äëß êîòî îãî κ s π n < 8κ s, κs Ŵt 0, L wk;m 4, Ŵt 0, n M 4. ] èìåííî òàêîå èñëî àññìàò èâàåòñß Fκ 50 + mesk Ŵt 0, L wk;m 4,.6 Fκ 8 Ŵt 0, n M 4..7 κ s π n < 8κ s Ñ ä óãîé ñòî îíû, òàê êàê äëß âñåõ, ν = l,...,lκ è âñåõ n Λ, äëß êîòî ûõ π n κ + max {,ν}, ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî κ + +max {,ν} π n G s κ π n, òî äëß âñåõ, ν = l,...,lκ π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ V aj,ν, n M 4 κ + +max {,ν} π n κ s π n < 8κ s G s κ π n V aj,ν, n M 4, 7

π n κ + max {,ν}, κ π n < 4κ Ŵt 0, n M 4 κ + +max {,ν} π n κ s π n < 8κ s G s κ π n Ŵt 0, n M 4. Ïî òîìó èç. è.6,.7 äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõk Ke èâñåõψ L K; C 4 ïîëó àåì + κ, out + V a j,ν, ν ψ c 8 Ŵt 0, L wk;m 4 a j,ν j,ν ν ψ =.8 + κ, out V t 0, ν ψ c 9 mes K ãäå c 8 = 070 c 7,c 9 =48 c 7. Ï è ï. â. x R + = c 8 Ŵt 0, L w K;M 4 j,ν κ π n < κ + ν ψ, κ, out V a j,ν, x M 4 +π Ω L R aj,ν. Ŵt 0, n M 4 j,ν ν ψ,.9 Ñëåäîâàòåëüíî, + κ, out V a j,ν, ν ψ.0 Òàê êàê Ŵ κ, out t 0, +π + Ω L R = Ŵt 0, L w K;M 4 j,ν ν ψ. κ, out κ, out V a j,ν, + V a j,ν,, òî èç.8 è.0 äëß âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 âûòåêàåò îöåíêà + κ, out Ŵt 0, ν ψ C + ãäå C = c 8 ++π Ω L R. Ïóñòü òåïå ü J Z íàèìåíü åå èñëî, äëß êîòî îãî Ï è ï. â. x R âûïîëíßåòñß íå àâåíñòâî ε + Ŵ L wk;m 4 j,ν ν ψ,. +π Ω L R t0 ε C + J. κ, out Ŵ t 0, x M4 +π Ω L R t0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëß âñåõ èñåë, ν = l,...,lκ, äëß êîòî ûõ j, ν J, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 + κ, out Ŵt 0, ν ψ ε C + j,ν ν ψ.. Ñ ä óãîé ñòî îíû, ñóùåñòâóåò êîíå íîå èëè ïóñòîå ìíîæåñòâî Q J óïî ßäî åííûõ ïà, ν èñåë, ν = l,...,lκ, äëß êîòî ûõ j, ν <J, è äëß òàêèõ ïà êàê è ï è äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû. max{, ν} <J l. Äëß êàæäîé óïî ßäî åííîé ïà û, ν Q J ñï àâåäëèâî íå àâåíñòâî.9. Ï è òîì κ π n < κ + Ŵt 0, n M 4 0 8

ï è κ +. Ïî òîìó ï è âûáî å äîñòàòî íî áîëü îãî èñëà κ 0 > 4 â çàâèñèìîñòè îò å åòêè Λ, ìàò è íîé ôóíêöèè Ŵ è èñåë ε, è ï è ë áîì κ κ 0 äëß îï åäåëåííîãî âû å èñëà κ [κ, κ + ] èç îöåíêè.9 ï è âñåõ, ν Q J ñëåäóåò îöåíêà.. Íî òîãäà îöåíêà. ñï àâåäëèâà ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4. Äîêàçûâàåìàß îöåíêà.4 òåïå ü ñëåäóåò ï è âñåõ, ν = l,...,lκ, âñåõ k Ke è âñåõ ψ L K; C 4 èç. è., òàê êàê Ŵ κ, out κ, out κ, out = Ŵt 0, + Ŵt 0,.  ñèëó àâåíñòâà Ŵ = Ŵ κ, in + Ŵ κ, out òåî åìà. ßâëßåòñß ñëåäñòâèåìòåî åì. è.. Ñïèñîê ëèòå àòó û. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò. : Ãà ìîíè åñêèé àíàëèç. Ñàìîñîï ßæåííîñòü. Ì.: Ìè, 978. 400 ñ.. Êàòî Ò. Òåî èß âîçìóùåíèé ëèíåéíûõ îïå àòî îâ. Ì.: Ìè, 97.. Äàíèëîâ Ë.È. Ñïåêò îïå àòî à Äè àêà ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì. VI / ÔÒÈ Ó Î ÐÀÍ. Èæåâñê, 996. 45 ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ..996, 855-Â96. 4. KuchmentP. Floquet theory for partial differential equations // Oper. Theory Adv. Appl. Vol. 60. Basel: BirkhΞauser Verlag, 99. DOI: 0.007/978--048-857-7 5. Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals // Çàï. íàó í. ñåìèí. ÏÎÌÈ. 004. Ò. 8. Ñ. 98 07. 6. Áè ìàí Ì.., Ñóñëèíà Ò.À. Ïå èîäè åñêèé ìàãíèòíûé ãàìèëüòîíèàí ñ ïå åìåííîé ìåò èêîé. Ï îáëåìà àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè // Àëãåá à è àíàëèç. 999. Ò... Ñ. 40. 7. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 00. Vol. 54. No.. P. 57 569. DOI: 0.090/S000-9947-0-0878- 8. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators // Bull. Amer. Math. Soc. 06. Vol. 5. No.. P. 4 4. DOI: 0.090/bull/58 9. Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å îïå àòî à Äè àêà âr n ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà. 990. Ò. 85.. Ñ. 4 5. 0. Äàíèëîâ Ë.È. Îöåíêè åçîëüâåíòû è ñïåêò îïå àòî à Äè àêà ñ ïå èîäè åñêèì ïîòåíöèàëîì // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà. 995. Ò. 0.. Ñ... Äàíèëîâ Ë.È. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Äèôôå- åíö. ó àâíåíèß. 000. Ò. 6.. Ñ. 40.. Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å äâóìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà. 999. Ò. 8.. Ñ. 4.. Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous // Integr. Equat. Oper. Theory. 999. Vol. 4. P. 77 95. DOI: 0.007/BF0788 4. Äàíèëîâ Ë.È. Î ñïåêò å ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Òåî. è ìàòåì. ôèçèêà. 000. Ò. 4..Ñ. 7. 5. Äàíèëîâ Ë.È. Îá îòñóòñòâèè ñîáñòâåííûõ çíà åíèé â ñïåêò å îáîáùåííîãî äâóìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè àêà // Àëãåá à è àíàëèç. 005. Ò. 7.. Ñ. 47 80. 6. Äàíèëîâ Ë.È. Îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ò åõìå íîãî ïå èîäè åñêîãî îïå àòî à Äè- àêà // Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ. 006. Âûï. 5. C. 49 76. http://mi.mathnet.ru/iimi79 7. Äàíèëîâ Ë.È. Àáñîë òíàß íåï å ûâíîñòü ñïåêò à ìíîãîìå íîãî ïå èîäè åñêîãî ìàãíèòíîãî îïå àòî à Äè àêà // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè. 008. Âûï.. C. 6 96. DOI: 0.057/vm08006 8. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 008. Vol. 60. No. 4. P. 74 758. DOI: 0.090/S000-9947-07-04545-X 9. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator // arxiv: 0805.099 [math-ph]. 008. 0. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a D periodic magnetic Dirac operator // Integr. Equat. Oper. Theory. 0. Vol. 7. P. 55 556. DOI: 0.007/s0000-0-906-z. Äàíèëîâ Ë.È. Îá àáñîë òíîé íåï å ûâíîñòè ñïåêò à ïå èîäè åñêèõ îïå àòî îâ Ξåäèíãå à è Äè- àêà. I / ÔÒÈ Ó Î ÐÀÍ. Èæåâñê, 000. 76 ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 5.06.00, 68-Â00.. Ðèõòìàéå Ð. Ï èíöèïû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò.. Ì.: Ìè, 98. 488 ñ.. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâ åìåííîé ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè. Ò. 4: Àíàëèç îïå àòî îâ. Ì.: Ìè, 98. 48 ñ. 4. Ãåëüôàíä È.Ì. Ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèßì ó àâíåíèé ñ ïå èîäè åñêèìè êî ôôèöèåíòàìè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 950. Ò. 7. 6.Ñ.7 0. 5. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 97. Vol.. P. 5 4. DOI: 0.007/BF0646745 9

Ïîñòóïèëà â åäàêöè 0.09.06 Äàíèëîâ Ëåîíèä Èâàíîâè, ê. ô.-ì. í., ñòà èé íàó íûé ñîò óäíèê, Ôèçèêî-òåõíè åñêèé èíñòèòóò Ó Î ÐÀÍ, 46000, Ðîññèß, ã. Èæåâñê, óë. Êè îâà,. E-mail: lidanilov@mail.ru L. I. Danilov On the spectrum of a periodic magnetic Dirac operator Keywords: Dirac operator, absolute continuity of the spectrum, periodic potential. MSC00: 5P05 We consider the periodic three-dimensional Dirac operator D + Ŵ = α j i x j A j+ V 0 + V. The vector potential A : R R and the functions V s, s =0,, with values in the space of Hermitian 4 4-matrices are periodic with a common period lattice Λ R. The functions V s are supposed to satisfy the commutation relations V s α j = s α j Vs, j =,,, s =0,. Let K be the fundamental domain of the lattice Λ. We prove absolute continuity of the spectrum of the operator D + Ŵ provided that A H q loc R ; R, q>, or A N < + where A N are the Fourier coefficients of the magnetic potential A, and the function V = V 0 + V belongs to the space L wk and satisfies the estimate mes {x K : V x >t} Ct for all sufficiently large numbers t>0. The constant C>0depends on the A if A 0 then C is a universal constant, and mes is the Lebesgue measure. We can also add a function of the same form with several Coulomb singularities x x m ŵ m in neighborhoods of points x m K, m =,...,m 0, to the function V = V 0 + V provided that this function is continuous for x/ x m +Λ, m =,...,m 0, and ŵ m C for all m. The constant C > 0 also depends on the magnetic potential A and does not depend on the m 0. REFERENCES. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II: Fourier analysis, self-adjointness, New York: Academic Press, 975. 6 p. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom II: Garmonicheskii analiz. Samosopryazhennost', Moscow: Mir, 978, 400 p.. Kato T. Perturbation theory for linear operators, Berlin: Springer Verlag, 976. DOI: 0.007/978--64-668-9. Danilov L.I. The spectrum of the Dirac operator with periodic potential. VI, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 996, 45 p. Deposited in VINITI..996, no. 855-B96 in Russian. 4. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations, Oper. Theory Adv. Appl., vol. 60. Basel: BirkhΞauser Verlag, 99. DOI: 0.007/978--048-857-7 5. Filonov N., Sobolev A.V. Absence of singular continuous component in the spectrum of analytic direct integrals, J. Math. Sci., 006, vol. 6, pp. 86 8. DOI: 0.007/s0958-006-00-x 6. Birman M.Sh., Suslina T.A. Periodic magnetic Hamiltonian with variable metric. The problem of absolute continuity, St. Petersburg Math. J., 000, vol., no., pp. 0. 7. Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 00, vol. 54, no., pp. 57 569. DOI: 0.090/S000-9947-0-0878- 8. Kuchment P. An overview of periodic elliptic operators, Bull. Amer. Math. Soc., 06, vol. 5, no., pp. 4 4. DOI: 0.090/bull/58 9. Danilov L.I. Spectrum of the Dirac operator in R n with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 990, vol. 85, no., pp. 09 048. DOI: 0.007/BF00745 0. Danilov L.I. Resolvent estimates and the spectrum of the Dirac operator with periodic potential, Theoret. and Math. Phys., 995, vol. 0, no., pp. 49 65. DOI: 0.007/BF0069779. Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a periodic Dirac operator, Differential Equations, 000, vol. 6, no., pp. 6 7. DOI: 0.007/BF0754. Danilov L.I. On the spectrum of a two-dimensional periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 999, vol. 8, no., pp.. DOI: 0.007/BF05579. Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodic Dirac operator is absolutely continuous, Integr. Equ. Oper. Theory, 999, vol. 4, pp. 77 95. DOI: 0.007/BF0788 4. Danilov L.I. On the spectrum of the periodic Dirac operator, Theoret. and Math. Phys., 000, vol. 4, no., pp. 859 87. DOI: 0.007/BF05506 5. Danilov L.I. Absence of eigenvalues for the generalized two-dimensional periodic Dirac operator, St. Petersburg Math. J., 006, vol. 7, no., pp. 409 4. DOI: 0.090/S06-00-06-009- 6. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a three-dimensional periodic Dirac operator, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 006, no. 5, pp. 49 76 in Russian. http://mi.mathnet.ru/iimi79 0

7. Danilov L.I. Absolute continuity of the spectrum of a multidimensional periodic magnetic Dirac operator, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut Nauki, 008, no., pp. 6 96 in Russian. DOI: 0.057/vm08006 8. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators, Trans. Amer. Math. Soc., 008, vol. 60, no. 4, pp. 74 758. DOI: 0.090/S000-9947-07-04545-X 9. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a d-dimensional periodic magnetic Dirac operator, 008, arxiv: 0805.099v [math-ph]. 0. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a D periodic magnetic Dirac operator, Integr. Equ. Oper. Theory, 0, vol. 7, pp. 55 556. DOI: 0.007/s0000-0-906-z. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of periodic SchrΞodinger and Dirac operators. I, Physical-Technical Institute of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, 000, 76 p. Deposited in VINITI 5.06.000, no. 68-B00 in Russian.. Richtmyer R.D. Principles of advanced mathematical physics. Vol. I, New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 978. Translated under the title Printsipy sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom I, Moscow: Mir, 98, 488 p.. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. IV. Analysis of operators, New York London: Academic Press, 978. Translated under the title Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. Tom IV. Analiz operatorov, Moscow: Mir, 98, 48 p. 4. Gel'fand I.M. Expansion in characteristic functions of an equation with periodic coefficients, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 950, vol. 7, no. 6, pp. 7 0 in Russian. 5. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal, Commun. Math. Phys., 97, vol., pp. 5 4. DOI: 0.007/BF0646745 Received 0.09.06 Danilov Leonid Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Physical Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. Kirova,, Izhevsk, 46000, Russia. E-mail: lidanilov@mail.ru