אלקטרודינמיקה סיכום הרצאות

118120 סיכום הרצאות מרצה: פרופ' עמוס ירום סמסטר חורף תשע"ד הסיכומים נכתבו משמיעה בהרצאותיו של עמוס ירום, עלולות להיות טעויות וחוסרים בחומר. לכל הערה, תיקון או תוספת מוזמנים לפנות במייל. talmiller@gmail.com. ןמ

תוכן עניינים 4.............................................. הקדמה 1 4............................................ גיאומטריה 2 4 אלמנט האורך....................................... 2.1 7......................................... מטריקה 2.2 9 רישום קו ווריאנטי וקונטרה ווריאנטי........................... 2.3 10.......................... דוגמא ויזואלית לווקטורים 2.3.1 13............................... הסכם הסכימה של איינשטיין 2.4 13...................................... צפיפות טנזורית 2.5 14..................................... טנזור לוי צ'יויטה 2.6 15...................................... פסואדו טנזור 2.7 15 העלאה והורדה של אינדקסים............................... 2.8 17.................................... מכפלה של טנזורים 2.9 18................................ מכפלה פנימית 2.9.1 18............................... מכפלה ווקטורית 2.9.2 18.................................... אופרטורים חשובים 2.10 18 גרדיאנט.................................... 2.10.1 19..................................... רוטור 2.10.2 20 דיברגנס.................................... 2.10.3 20 לפלסיאן.................................... 2.10.4 20 אינטגרציה................................... 2.10.5 21........................................... יחסות פרטית 3 21.......................................... הקדמה 3.1 22................................ גיאומטריה פסואדו רימנית 3.2 27............................ מכפלה פנימית במרחב מינקובסקי 3.3 28.................................. קונוס האור 3.3.1 31..................... 4 ווקטורי המהירות, התנע והתאוצה 3.3.2 33 דינמיקה יחסותית..................................... 3.4 36......................... משוואות התנועה היחסותיות 3.4.1 39........................................... אינטראקציה 4 40 פעולה לאינטראקציה של חלקיק עם השדה האלקטרומגנטי......... 4.0.2 43.................... פעולה לאינטראקציה האלקטרומגנטית 4.0.3 54......................... אינטראקציה בין השדה החשמלי לחומר 4.1 56 מכפלה טנזורית אנטי סימטרית........................ 4.1.1 63 חלקיק יחסותי................................. 4.1.2 66 נוכחות חומר דיאלקטרי............................ 4.1.3 70......................... אינטראקציה עם מספר שדות ווקטורים 4.2 74............................ ב 1 2 + מימדים 4.3 78 אקסיונים Axions).................................... 4.4 81........................................ שימור אנרגיה ותנע 5 89 טנזור תנע אנרגיה בנוכחות חומר....................... 5.0.1 92 פתרונות של משוואות מקסוול................................... 6 92..................................... אלקטרוסטטיקה 6.1 97.................... דוגמא לשימוש בטרנספורמציית לורנץ 6.1.1 עמוד 2 מתוך 145

98 מגנטוסטטיקה....................................... 6.2................................... 101 גלים אלקטרומגנטיים 6.3 103......................... משוואת הגלים החד מימדית 6.3.1 106 גלים בטרנספורמציית לורנץ.......................... 6.3.2 107 גלים מישוריים................................. 6.3.3....................... 113 גלים אלקטרומגנטיים בחומרים דיאלקטריים 6.4................................ 116 משוואת הגלים עם מקורות 6.5 121........................... גלים הנוצרים על ידי חלקיק בתנועה 6.6 124....................... משוואות מקסוול כמשוואות גלים 6.6.1 126........................ פוטנציאל LiénardWiechert 6.6.2 130.................................. חלקיק נייח 6.6.3 132................................. חלקיק מאיץ 6.6.4 134 קירוב השדה הרחוק.............................. 6.6.5 139......................... יציבות קלאסית של אטומים 6.6.6................................... 140 מגנטו הידרודינמיקה 6.7 התגובה של מטען מאיץ לקרינה שהוא יוצר........................ 143 6.8 עמוד 3 מתוך 145

1 הקדמה 1 בקורס זה נרצה לקשר בין משוואות מקסוול ויחסות פרטית בצורה אבסטרקטית יותר, כחלק ממסגרת כללית. בהמשך הקורס נעסוק בתופעות נוספות. חומר משלים להרצאות: מהספרות Fields Landau & Lifshitz Theory of סיכומים במודל של הרצאותיו של יוסי אברון 2 גיאומטריה 2.1 אלמנט האורך עבור מרחב אוקלידי דו מימדי, נגדיר תחילה נקודה y,x) על גבי שריג במישור: איור 2.1: מערכת צירים קרטזית נגדיר אלמנט אורך s כמרחק שנעבור אחרי שנתקדם מרחק x לאורך ציר x ומרחק y לאורך ציר y. עבור,x y קטנים מתקיים במרחב אוקלידי משפט פיתגורס: 2.1) s 2 = x 2 + y 2 בכתיב דיפרנציאלי: 2.2) ds 2 = dx 2 + dy 2 דוגמא: נחשב את היחס בין היקף המעגל לרדיוס עבור מעגל ברדיוס R. ההצגה הפרמטרית של המעגל היא: 2.3) x 2 + y 2 = R 2 על מנת למצוא את היקף המעגל L נחשב את: 13.10.13 1 הרצאה מס' 1 עמוד 4 מתוך 145

2.4) L = circle ds = circle dx2 + dy 2 = circle 1 + ) 2 dy dx dx נמצא את dy עבור המעגל. נגזור את משוואה 2.3): dx 2.5) 2x + 2y dy dx = 0 dy dx = x y = x 2.6) R2 x 2 2.7) L = circle 1 x 2 R 2 dx = 2πR x2 ולכן: ניתן להשתמש במערכות צירים אחרות, לדוגמא מערכת צירים פולארית: איור 2.2: מערכת צירים פולארית כאשר אורכה של קשת קטנה נתון על ידי.rdθ אלמנט האורך במערכת צירים זו: 2.8) ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 האורך הכולל הוא אינווריאנטי לבחירת מערכת הצירים, ולכן נצפה לאותה התוצאה של היקף המעגל: 2.9) L = ds = circle r=r dr2 + r 2 dθ 2 = r2 dθ 2 = R dθ = 2πR r=r r=r ניתן לעבור ממערכת צירים קרטזית y,x) למערכת צירים פולארית θ,r) בעזרת שינוי קואורדינטות: עמוד 5 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 2.10) 2.11) x = r cos θ y = r sin θ מכאן: 2.12) 2.13) dx = dr cos θ r sin θdθ dy = dr sin θ + r cos θdθ ולכן: 2.14) ds 2 = dx 2 + dy 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 אנו חופשיים לבחור מערכת קואורדינטות כרצוננו, ואין הכרח להיות הצירים אורתוגנוליים זה לזה. דוגמא: נבחר את הצירים החדשים: 2.15) 2.16) z = x + y w = y איור 2.3: מערכת צירים לא אורתוגונלית אלמנט האורך במערכת הצירים החדשה: 2.17) 2.18) 2.19) ds 2 = dx 2 + dy 2 = d z w) 2 + dw 2 = dz 2 2dzdw + 2dw 2 עמוד 6 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד דוגמא: נמצא את ds 2 על פני ספירה ברדיוס R. נתחיל מאלמנט אורך בקואורדינטות כדוריות 3 מימדים): 2.20) ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 ניתן להוכיח זאת על ידי הצבת הקשר בין קואורדינטות קרטזיות לכדוריות למשוואה.ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ספירה היא משטח שבו r = R ולכן אלמנט האורך על הספירה: 2.21) ds 2 = R 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2) 2.2 מטריקה באופן כללי בשני מימדים נוכל לרשום: 2.22) ds 2 = g xx x, y) dx 2 + g xy x, y) dxdy + g yy x, y) dy 2 נוכל להוסיף את האיבר g yx,x) y dydx אבל אין לו משמעות, נוכל להכליל אותו באיבר g. xy,x) y dxdy באופן כללי ב d מימדים: d 2.23) ds 2 = g ij dx i dy j i,j=1 התכונות של המטריצה g הנקראית מטריקה :metric) g). xy, g yx היא סימטרית ניתן לחלק שווה בשווה את האיברים g 1. 2. נדרוש > 0 2,ds תנאי השקול לכך של g יש ע"ע חיוביים. 3. g חלקה מספיק דרישה פיזיקלית שתאפשר גזירה) נמצא איך נראית g במערכת קואורדינטות x j = x j x ) ) x, נסמן את המטריקה החדשה g ). נכתוב את הדרישה שאלמנט האורך ישאר אינווריאנטי: d d 2.24) ds 2 = g ij d x i d x j = g ij dx i dx j i,j=1 i,j=1 ניתן לכתוב את הקשר הבא בין הדיפרנציאלים כלל השרשרת): 2.25) dx j = d i=1 x j x i d xi ולכן: עמוד 7 מתוך 145

2.26) 2.27) g ij dx i dx j = g ij i,j i,j k = i,j,k,l x i x k d xk l g ij x i x k x j x l d xk d x l x j x l d xl וקיבלנו: 2.28) g kl = i,j x i x j g ij x k x l נגדיר: 2.29) Λ i j xi x j ונקבל ביטויים מפושטים יותר: 2.30) dx i = j Λ i jd x j 2.31) g kl = i,j Λ i kλ j l g ij הגדרה 2.1 ברישום g ij ו Λ i j נתייחס ל i כאינדקס שורה האינדקס השמאלי ביותר) ו j כאינדקס עמודה האינדקס הימני ביותר). הסיבה לרישום של האינדקסים למעלה ולמטה תתברר בהמשך. מכיוון שהביטויים הנ"ל הם סכומים של מכפלות מספרים התוצאה בסוף היא רכיב יחיד מספר), ניתן להחליף את סדר ההכפלה כרצוננו: 2.32) g ij = k,l Λ k ig kl Λ l j 2.33) = k,l Λ T ) k g kl Λ l j i השוויון האחרון נכון משום שהשורה ה i ועמודה j של Λ T היא השורה ה j והעמודה ה i של Λ, כלומר: 2.34) Λ T ) k = Λ k i i עתה נוכל לרשום בכתיב מטריצי: 2.35) g = Λ T gλ עמוד 8 מתוך 145

דוגמא: אפשר לבדוק שעבור המטריקה של קואורדינטות קרטזיות g ij = δ ij ו θ x = r sin θ, y = r cos מקבלים: 2.36) ) ) 1 0 = Λ T 1 0 Λ 0 r 2 0 1 ) 1 0 היא המטריקה של הקואורדינטות הפולאריות. כלומר 0 r 2 אם נתייחס ל dx כווקטור אז נקבל: 2.37) dx i = j Λ i jd x j dx = Λd x נכפיל ב 1 Λ ונקבל: 2.38) d x = Λ 1 dx :dx i הערה 2.2 מעבר קואורדינטות באמצעות הטרנספורמציה Λ מוגדר עבור כל ווקטור v i ולא רק לדיפרנציאלים 2.39) v i = j Λ i jṽ j = j v i ṽ j ṽj הערה 2.3 נשים לב שבניגוד ל x i,dx i אינו ווקטור! זה ברור למשל מהדוגמא האחרונה, בה ביצענו טרנספורמציה לקואורדינטות פולאריות. טרנספורמציה זו אינה ליניארית, ולכן לא ניתן לבטא אותה בצורה הנ"ל. עד עכשיו היה לנו נוח לתאר את x i כחץ היוצא מהראשית ולקרוא לו "ווקטור", אבל כפי שנראה בהמשך, בגיאומטריה שנעבוד בה האנלוגיה הזו לא תישמר. הצורה הנכונה ביותר לחשוב על x i היא כנקודה על "סריג" מערכת הצירים. הגדרה 2.4 טנזור מסדר n ומימד d מאופיין על ידי d n רכיבים שעוברים טרנספורמציית קואורדינטות בעזרת Λ או 1 Λ בצורה הנ"ל. לדוגמא, המטריקה g ij ב 3 מימדים היא טנזור מסדר 2, כלומר מטריצה 3 3 ) 2 3 איברים). 2.3 רישום קו ווריאנטי וקונטרה ווריאנטי הגדרה 2.5 רכיבים שעוברים טרנספורמציה בעזרת Λ נקראים רכיבים קווריאנטים covariant) ורכיבים שעוברים טרנספורמציה בעזרת 1 Λ נקראים רכיבים קונטרה ווריאנטים.contravariant) טענה 2.6 לפי ההגדרה 2.40) Λ i j = xi x j אזי מתקיים: עמוד 9 מתוך 145

2.41) Λ 1 ) ij = xi x j הוכחה: יש להוכיח שמתקיים: 2.42) ΛΛ 1 = I identity matrix לכן: 2.43) j Λ i j Λ 1 ) j k = j x i x j x j x k = inverse chain rule x i x k = δi k 2.3.1 דוגמא ויזואלית לווקטורים טנזור 1 מימדי הוא ווקטור עם רכיבים קווריאנטים או קונטרה ווריאנטים. נדגים על הווקטור שקל להמחיש אותו ויזואלית) את ההבדלים בין רכיבים קו ווריאנטים וקונטרה ווריאנטים. נגדיר את הווקטור v ב 2 מערכות צירים, מערכת צירים קרטזית רגילה,x y ומערכת צירים לא אורתוגונלית,x : ỹ איור 2.4: מערכת צירים קרטזית לעומת מערכת צירים לא אורתוגונלית עבור מערכת הצירים הקרטזית, נגדיר את הווקטור ב 2 צורות: רישום קווריאנטי: הגדרת הווקטור באמצעות הטלה על הצירים 1,2) = v הטלה באורך 2 על ציר x = v הולכים 2 יחידות והטלה באורך 1 על ציר y). ) 2 רישום קונטרה ווריאנטי: הגדרת הווקטור על ידי העתקים לאורך הצירים 1 בכיוון x ואז יחידה אחת בציר y). רישומים אלה זהים עבור מערכת צירים אורתוגונלית, אבל עבור המערכת הלא אורתוגונלית זה כבר לא יהיה נכון: עמוד 10 מתוך 145

) 3 x באורך 2 על ציר הטלה v = רישום קווריאנטי: הגדרת הווקטור באמצעות הטלה על הצירים 2,2) = v הולכים יחידה על ציר ỹ). 3 2 והטלה באורך ) 1 רישום קונטרה ווריאנטי: הגדרת הווקטור על ידי העתקים לאורך הצירים 2 אחת בכיוון x ואז 2 יחידות בציר ỹ). נבצע את הטרנספורמציה בצורה פורמלית: 2.44) 2.45) x = x ỹ = x + y 2 נגדיר לפי 2.41): 2.46) Λ 1 ) i j = x x ỹ x x y ỹ y ) 1 0 = 1 2 1 2 ) מכאן: 2.47) Λ i j = ) 1 0 1 2 מתקיים: 2.48) 2.49) ) ) 1 0 vλ = 2 1 1 2 ) ) 1 0 Λ 1 2 v = 2 1 1 1 2 = = 1 ) 2 2 ) 3 2 עמוד 11 מתוך 145

לסיכום: 1. ווקטורים ברישום קונטרה ווריאנטי סימון עם אינדקס עליון) עוברים טרנספורמציה באמצעות 1 Λ: 2.50) ṽ i = j x i x j vj = j Λ 1 ) i j vj הדרך לזכור את זה היא שהטרנספורמציה נראית כמו כלל השרשרת המוכר לנו. ברישום מטריצי כאשר v נכתב כווקטור עמודה) זה אומר: 2.51) ṽ i = Λ 1 v ) i 2. ווקטורים ברישום קו ווריאנטי סימון עם אינדקס תחתון) עוברים טרנספורמציה באמצעות Λ: 2.52) ṽ i = j x i x j vj = j Λ j i v j אפשר לראות שהטרנספורמציה הפוכה לכלל השרשרת. ברישום מטריצי כאשר v נכתב כווקטור שורה) זה אומר: 2.53) ṽ i = vλ) i הערות: הנוטציה של אינדקסים עם מיקום ימני אינדקס שורה) או מיקום שמאלי אינדקס עמודה) רלוונטית רק בטנזורים מסדר 2 אשר ניתן לכתוב כמטריצות. כתיבת ווקטור בצורה v אינה נותנת את כל המידע על הווקטור, שכן לא ניתן לדעת האם רכיביו הם קו ווריאנטים או קונטרה ווריאנטים. היתרון של חשבון טנזורים הוא שלא נצטרך להתעסק במשמעות הגיאומטרית של כל סוג רכיב והאופן בו הוא עובר טרנספורמציה. הכלים והנוטציות המתמטיות הם נוחים מספיק כדי שלא יהיה לנו אכפת. חזרה קצרה: ניתן מספר דוגמאות של טרנספורמציות טנזורים, בהתאם לכללים שראינו: כל רכיב טנזור קו ווריאנטי או קונטרה ווריאנטי יקבל את הטרנספורמציה המתאימה לו. סדר הטרנספורמציות אינו משנה, שכן מדובר בסכום של מכפלות איברים. דוגמאות: 1. המטריקה g ij היא טנזור סימטרי מסדר 2 עם רכיבים קווריאנטיים, תעבור טרנספורמציה בצורה: 2.54) g ij = k,m Λ m iλ k jg mk.2 טנזור A i j סדר 2 יעבור בצורה: 2.55) Ã i j = k,n Λ 1 ) i m Λk ja m k עמוד 12 מתוך 145

A q סדר 3) יעבור בצורה:.3 טנזור ps 2.56) Ãij k = Λ p i Λs j Λ 1 ) k q A ps q p,s,q 4. סקאלר φ טנזור 0 מימדי) לא יעבור שום טרנספורמציה: 2.57) φ = φ 2.4 הסכם הסכימה של איינשטיין חשבון טנזורים יהיה קצר יותר בהינתן המוסכמה: כל זוג של אינדקסים הנמצאים למעלה למטה מציינים סכימה על אותו אינדקס. לדוגמא: 2.58) g ij dx i dx j g ij dx i dx j i,j פעולה זו מכונה גם צמצום קונטרקציה) של אינדקסים.contraction) הערה 2.7 אינדקסים שנסכמים לעיתים מכונים אינדקסים רצים או,Dummy Indices וניתן לשנות את סימונם כרצוננו. לדוגמא: 2.59) g µa v a = g µb v b הערה 2.8 אם מתקבלת משוואה בה אינדקסים זהים לא מסודרים בצורת זוגות למעלה למטה, לדוגמא 2.60) v a u a, v a u a w a כנראה שיש טעות איפשהו בתהליך הפיתוח. 2.5 צפיפות טנזורית 2 לא כל הגדלים הפיזיקאליים הם טנזורים. לדוגמא g det g) ij ) = הוא לא טנזור לא סקאלר). נראה זאת, על פי האופן בו הגודל עובר טרנספורמציה: 2.61) g = det g ij ) = det Λ k iλ m jg km ) = Λ 2 g היה נוח אם היה סימון לגודל שהוא אינו טנזור, משום שקל להתבלבל, אבל פשוט צריך לזכור זאת. הגדרה 2.9 באופן כללי, גודל שעובר טרנספורמציה בצורה נקרא צפיפות טנזורית מסדר n, וכאן g היא צפיפות טנזורית מסדר 2. 2.62) ã = Λ n a 16.10.13 2 הרצאה מס' 2 עמוד 13 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 2.6 טנזור לוי צ'יויטה טנזור לוי צ'יויטה tensor) Levi-Civita במרחב 2 מימדי הוא: 2.63) e ij = 0 1 1 0 ) e i1,...,i d כך ש 1 = d...12 e והיא מקיימים אנטי סימטריות באינדקסים. באופן דומה ב d מימדים מגדירים לדוגמא, ב 3 מימדים:.e ijk = e ikj איור 2.5: טנזור לוי צ'יויטה 3 מימדי נבדוק איך e i1,...,i d עובר טרנספורמציית קואורדינטות. עבור 2 מימדים: 2.64) 2.65) 2.66) 2.67) ẽ ij = Λ i mλ j ne mn = Λ i 1Λ j 2 e12 + Λ i 2Λ j 1 e21 = Λ i 1Λ j 2 Λi 2Λ j 1 Λ i = 1, j = 2 = Λ i = 2, j = 1 0 else קיבלנו שסך הכול 2.68) ẽ ij = Λ e ij כלומר גודל זה מתנהג כמו צפיפות טנזורית מסדר 1 ולא כמו טנזור, ולכן נהוג להגדיר את טנזור לוי צ'יויטה ε ijk בצורה המנורמלת 2.69) ε ijk eijk g כאשר נהוג לסמן בקיצור ) ij g g = det g) אינדקסים קו ווריאנטיים ל g ). ניתן לבדוק שגודל זה אכן עובר טרנספורמציה של טנזור תרגיל בית). עמוד 14 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 2.7 פסואדו טנזור מבחינים בין טנזור לפסואדו טנזור tensor),pseudo אשר אינו מתנהג באותה צורה כמו טנזור תחת שיקופים. לדוגמא, נעבור ממערכת קרטזית x i למערכת x i המשוקפת סביב ציר x: 2.70) 2.71) 2.72) x = x ỹ = y z = z נחשב: 2.73) Λ i j = xi x j = x x y ỹ z z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 טנזור יעבור בצורה: 2.74) 2.75) 2.76) Ã 1 = A 1 Ã 2 = A 2 Ã 3 = A 3 מצד שני, עבור טנזור לוי צ'יויטה 2.77) ε ijk eijk g יתקיים: 2.78) ε ijk = eijk g = ε ijk כאשר נשים לב שמתקיים ẽ ijk = e ijk שכן זוהי פשוט מטריצה שיש לה הגדרה ספציפית, היא בלתי תלויה במערכת הצירים. כלומר, הוא לא מחליף סימן ולכן הוא פסואדו טנזור. ניתן היה להמציא לזה גם סימון, אבל לא עושים את זה, לכן פשוט נזכור שגודל טנזורי המורכב גם מ ε ijk הוא בעצם פסואדו טנזור. 2.8 העלאה והורדה של אינדקסים נגדיר את האפשרות הבאה להפוך אינדקס קונטרה ווריאנטי לקו ווריאנטי באמצעות המטריקה: 2.79) V j i g ij V i עמוד 15 מתוך 145

גישה נוספת שמסבירה את הגדרה זו מוצגת בפרק 2.9.1). נראה למה המטריקה מורידה ומעלה אינדקסים מתוך דוגמא של קואורדינטות קרטזיות. במקרה זה המטריקה היא פשוטה g: ij = δ ij 2.80) ds 2 = i,j δ ij dx i dx j = i,j g ij d x i d x j g ij תהיה המטריקה עבור קואורדינטות אחרות כלשהן. ראינו שבמערכת קואורדינטות קרטזית הווקטורים ברישומים השונים, קו ווריאנטי וקונטרה ווריאנטי הם זהים ולכן זו לא תהיה טעות לכתוב: 2.81) V i = i δ ij V j נראה איך הביטוי עובר טרנספורמציה, כאשר נזכור את חוקי הטרנספורמציה: 2.82) 2.83) 2.84) Ṽ i = Λ 1) i k V k V k = Λ k iṽ i 2.85) Ṽ i = j Λ j i V j = j,k Λ j i δ jkv k = }{{} V j נזכור את חוקי הטרנספורמציה של המטריקה 2.86) g ij = k,l Λ k iλ l jδ kl 2.87) δ ij = p,q Λ 1 ) p i Λ 1 ) q g j pq ונציב חזרה: 2.88) 2.89) = change order = j,k,m,n,l j,k,m,n,l Λ j i Λ 1 ) m j Λ 1 ) n k g mn } {{ } δ jk Λ 1 ) m j Λj i } {{ } δ m i Λ 1 ) n k Λk l } {{ } δ n l k Λ l Ṽ l }{{} V k g mn Ṽ l 2.90) = l g il Ṽ l כלומר סך הכול קיבלנו שלכל מערכת קואורדינטות שנבחר, המטריקה תבצע פעולת העלאה והורדה של אינדקס: 2.91) Ṽ i = l g il Ṽ l עמוד 16 מתוך 145

2.9 מכפלה של טנזורים עבור הטנזורים A ij ו B k מתקיים ש A ij B k הוא טנזור 3 מימדי, משום שביצענו מכפלה חיצונית ולכן הוא עובר את הטרנספורמציה בצורה נכונה. אנו יודעים שעבור ווקטורים קיימת מכפלה פנימית הנקראית מכפלה סקאלרית, נרצה למצוא את ההכללה הטנזורית 2.92) A B A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 שלה. ניקח ווקטור A i ו B j ונגדיר את המכפלה: הגדרה זו אינה טובה, כיוון שביצוע טרנספורמציית קואורדינטות כבר לא תיתן ווקטור: 2.93) Ã 1 = i Λ 1 ia i 2.94) B 1 = i Λ 1 jb j 2.95) Ã 1 B1 = i,j Λ 1 iλ 1 ja i B j לגודל החדש אין שום משמעות גיאומטרית. מצד שני, הגודל 2.96) A i B i = i A i B i הוא סקאלר. נראה זאת לפי הטרנספורמציה שלו: 2.97) 2.98) Ã i Bi i = Λ 1 ) i j Aj Λ k ib k i,j,k = Λ k i Λ 1 ) i A j B j k i,j,k }{{} δ k j 2.99) = j A j B j לא היינו חייבים להסתבך כדי להבין זאת, אלא פשוט להבין שכאשר מבצעים טרנספורמציה קו ווריאנטית וקונטרה ווריאנטית על אותו האינדקס תהיה לנו מכפלה של Λ ו 1 Λ שיבטלו זו את זו. כך נגדיר את המכפלה הפנימית בין ווקטורים. נשים לב שהגדרה זו נכונה לרכיבים של טנזורים באופן כללי. אפשר גם לסכום על אינדקסים בצורות אחרות. לדוגמא 2.100) A i ik = i A i ik הוא טנזור 1 מימדי לאחר צמצום האינדקס i ישאר רק k). i איננו טנזור! הערה 2.10 נזהיר פעם נוספת שגודל מהסוג A i B i עמוד 17 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 2.9.1 מכפלה פנימית 3 אפשר באופן עקרוני להגדיר את המכפלה הפנימית בצורה 2.101) v, v v i A ij v j עבור מטריצה A ij חיובית כלשהי. רואים למשל, שתוצאות הפעולה היא סקאלר כדרוש. אבל, נרצה שהמכפלה הפנימית תיתן לנו גם את האורך של הווקטור פרט לדרישות המתמטיות המוגדרות שלה) ולכן מזהים את A עם המטריקה g, כפי שהגדרנו בהתחלה: 2.102) dx dy = ds 2 2.103) ds 2 = v i g ij v j = g ij v i v j כאמור, התוצאה היא סקאלר ולכן היא אינווריאנטית לטרנספורמציות. הערה 2.11 ניתן היה להגדיר את הפעולה של העלאת והורדת אינדקס באמצעות המטריקה גם דרך ההגדרה של המכפלה הפנימית. 2.9.2 מכפלה ווקטורית ניתן להגדיר מכפלה ווקטורית ב 3 מימדים כפי שאנחנו מכירים: 2.104) A B) i j,k ε ijk A j B k עבור מספר מימדים כללי, ההכללה תבוא לידי ביטוי במימד טנזור לוי צ'יויטה. ב 2 מימדים אפשר להגדיר: 2.105) A B) i j ε ij A i B j ב 4 מימדים: 2.106) A B) ij k,l ε ijkl A k B l אופרטורים חשובים 2.10 גרדיאנט 2.10.1 נגדיר את פעולות הגזירה השונות בחשבון הטנזורי. ראשית נסתכל על הגרדיאנט נגזרת של פונקציה סקאלרית): 20.10.13 3 הרצאה מס' 3 עמוד 18 מתוך 145

2.107) i φ x i φ נבצע טרנספורמציית קואורדינטות: 2.108) j φ x i φ = x j x i chain rule x j φ = Λj i jφ קיבלנו שאכן הוא עובר טרנספורמציה כמו ווקטור קו ווריאנטי, ולכן הסימון i עם אינדקס תחתון אבל הנגזרת היא לפי x i באינדקס עליון). 2.10.2 רוטור לעומת זאת, נגזרת של ווקטור, j b k תעבור טרנספורמציה בצורה: 2.109) 2.110) 2.111) 2.112) j bk = x b j k = xi x j x i Λm kb m ) = Λ i j [ i Λ m kb m + Λ m k i b m ] = Λ i j i Λ m kb m + Λ i jλ m k i b m כמו שאפשר לראות, ביטוי זה אינו מתנהג כמו טנזור. נשים לב שמתקיים: 2.113) Λ i j i Λ m k = xi x m x j x i x k = 2 x m x j x k נסתכל על הטרנספורמציה של האובייקט ) i : i b j j b 2.114) 2.115) j bk 2 x k bj = m x j x k b m + Λ i jλ m k i b m 2 x m x k x j b m Λ i kλ m j i b m קיבלנו שהאיבר המעצבן נופל וש ) i b j j b i כן מתנהג כמו טנזור. אחרי העבודה שעשינו ניתן להגדיר את הרוטור בצורה: 2.116) j b k ) i ε ijk j b k וגודל זה הוא כן טנזור. הדרך להראות זאת היא להבין שצמצום טנזור סימטרי עם טנזור אנטי סימטרי העקבה של מכפלת הטנזורים) נותן זהותית אפס תרגיל בית) עמוד 19 מתוך 145

2.117) T = T ij S = S ij T ij S ji = 0 ומכיוון שניתן לכתוב 2.118) j b k = 1 2 jb k + k b j ) + 1 2 jb k k b j ) אז הטנזור האנטי סימטרי ε ijk יפיל את האיבר הראשון ונקבל את האיבר השני שהוכחנו כבר שהוא טנזור. 2.10.3 דיברגנס הדיברנגס הוא בעצם, i a i אבל אפשר לבדוק ולראות שזה אינו סקאלר כפי שנדרש מדיברגנס. לעומת זאת, הגודל 2.119) Div a) 1 g i ga i ) הוא כן טנזור תרגיל בית) שנגדיר כדיברגנס הקווריאנטי. במטריקה אוקלידית ההגדרות מתלכדות, אבל g הוא בדיוק מקור הביטויים המוזרים שאנחנו רואים בדיברגנס לפי קואורדינטות כדוריות למשל. 2.10.4 לפלסיאן בדומה לדיברגנס, i i φ איננו סקאלר. נוכל לראות זאת אם נסמן a i = i φ אז i i φ = i a i וכבר אמרנו שביטוי זה איננו סקאלר. לכן, נגדיר את הלפלסיאן הקווריאנטי בצורה: 2.120) Lap a) 1 g i gg ij j φ ) גודל זה הוא כבר כן טנזור, אבל לא נראה זאת. 2.10.5 אינטגרציה במערכת צירים קרטזית, אלמנט נפח נתון על ידי: 2.121) dv = dx 1 dx 2 dx 3 כאן הרישום הקונטרה ווריאנטי הוא חשוב. תחת טרנספורמציית קואורדינטות, רושמים את היעקוביאן: 2.122) dv = det ) x d x 1 d x 2 d x 3 x ההכללה לאלמנט נפח סקאלרי לכן תהיה: 2.123) dv = gdx 1 dx 2 dx 3 עמוד 20 מתוך 145

3 יחסות פרטית 3.1 הקדמה אפשר לבחור מערכת קואורדינטות תלויה בזמן: איור 3.1: מערכת קואורדינטת תלוית זמן אפשר גם לצייר זאת בצורה: איור 3.2: מערכת קואורדינטת תלוית זמן הזמן אינו קואורדינטה כאן, אלא פרמטר. לדוגמא: 3.1) 3.2) x t) = x vt ỹ t) = 0 צופה שמשתמש במערכת צירים,x y יאמר כי הראשית של,x ỹ נמצא ב 0 = y x = vt, ולכן הוא נע ימינה בכיוון x+. אפשר למשל לבחור מערכת צירים הנעה עם הגוף, ואז הגוף תמיד ימצא בראשית. עמוד 21 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד איור 3.3: מערכת קואורדינטת הצמודה לגוף למעשה, העולם שלנו אינו מתואר על ידי גיאומטריה אוקלידית, באותה מידה כמו שכדור הארץ אינו שטוח. במרחקים קצרים הקירוב שכדור הארץ שטוח הוא טוב, ובצורה דומה גם העולם הוא אוקלידי בקירוב טוב. השאלה היא האם העולם שלנו מתואר על ידי גיאומטריה רימנית כלשהי המשמרת את אלמנט האורך 3.3) ds 2 = g ij dx i dx j כאשר הערכים העצמיים של המטריקה g ij הם חיוביים. אנחנו יודעים לפי יחסות פרטית שזה לא מתקיים, שכן אחד האפקטים הבסיסיים ביחסות פרטית הוא התקצרות האורך עבור מערכות יחוס שונות כלומר ds 2 אינו נשמר. לכן, נצטרך לעשות משהו אחר כדי להצליח לתאר את היחסות הפרטית, והפורמליזם יהיה שונה מהדרך בה למדנו יחסות פרטית ב "פיזיקה 1". 3.2 גיאומטריה פסואדו רימנית הגדרה 3.1 גיאומטריה פסואדו רימנית, היא גיאומטריה בה אחד ההערכים העצמיים של המטריקה g ij יכול להיות שלילי. הערה 3.2 בדרך כלל, כדי להבדיל מגיאומטריה רימנית רושמים את האינדקסים עם אותיות יווניות: 3.4) ds 2 = g µν dx µ dx ν המקבילה של גיאומטריה אוקלידית 3.5) ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 נקראת גיאומטריית מינקובסקי,Minkowski) המוגדרת על ידי 3.6) 3.7) 3.8) ds 2 c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 dx 0) 2 + dx 1 ) 2 + dx 2 ) 2 + dx 3 ) 2 η µν dx µ dx ν עמוד 22 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד כאשר: 3.9) η µν 1 1 1 1 גם כאן אפשר לעבור בין מערכות של קואורדינטות. למשל, מעבר למערכת פולארית: 3.10) ds 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 ראינו שעבור כדור: 3.11) ds 2 = R 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2) מרחב פסואדו רימני "על כדור" יקבל את הצורה: 3.12) ds 2 = c 2 dt 2 + R 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2) ננסה לאפיין את מרחב מינקובסקי. נחזור למרחב אוקלידי: 3.13) ds 2 = dx 2 + dy 2 g ij = I כדי להראות שהמרחב אינווריאנטי לסיבובים, אפשר לעשות טרנספורמציית סיבוב ולראות שהמטריקה לא השתנתה 3.14) R T IR = I או בצורה כללית יותר אפשר לשאול תחת אילו טרנספורציות Λ המטריקה אינווריאנטית? 3.15) g = Λ T gλ 3.16) Λ T Λ = I Λ = cos θ sin θ sin θ cos θ עבור המטריקה האוקלידית נקבל ) נשאל את אותה השאלה עבור מרחב מינקובסקי. נחפש Λ כך שיתקיים: 3.17) Λ T ηλ = η עמוד 23 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד בשביל לא לעבוד קשה, נעבוד במרחב מינקובסקי דו מימדי: 3.18) η = 1 1 ) נגדיר τ. it נתחיל ממערכת הקואורדינטות 3.19) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 ונבצע טרנספורמציית קואורדינטות למערכת x x : = cτ, 3.20) ds 2 = c 2 dτ 2 + dx 2 להגדרה זו אין משמעות פיזיקאלית, זו בניית עזר אלגברית בלבד. במערכת הצירים החדשה שנראית אלגברית כמו מערכת אוקלידית הפתרון למשוואה 3.21) ΛT η Λ = η הוא: 3.22) Λµ ν = cos θ sin θ sin θ cos θ ) כדי לחזור למערכת המקורית: 3.23) Λ µ ν = xµ x α x β x ν Λ α β מתקיים 3.24) 3.25) x µ x α = x β x ν = dt dτ i 1 dx dx ) ) = i 1 ) ולכן בכתיב מטריציוני נקבל: 3.26) Λ µ ν = i 1 ) cos θ sin θ sin θ cos θ ) i 1 ) = cos θ i sin θ i sin θ cos θ ) עמוד 24 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד מצאנו פתרון לבעיה המקורית, ולכאורה הוא מכיל מספרים מרוכבים, ואנחנו לא נותנים משמעות פיזיקאלית לטרנספורמציה מרוכבת במרחב. אבל, בבניית העזר שעשינו אף אחד לא הגביל גם את הפרמטר θ להיות ממשי, ולכן אם נגדיר θ = iφ נקבל פתרון ממשי למשוואה: 3.27) Λ µ ν = cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ ) 4 ננסה לפרש את התוצאה. נמצא באופן מפורש את טרנספורמציית הקואורדינטות. נרשום 3.28) x µ = Λ 1) µ ν xµ ונקבל: 3.29) Λ 1 ) µ = ν cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ ) הטרנספורמציה היא ליניארית, ובאופן מפורש נקבל לדוגמא: 3.30) x 0 = cosh φ x 0 sinh φ x 1 נמצא את ראשית הצירים של = 0 i x כפי שרואה צופה במערכת צירים x. במערכת x, בכל זמן t ראשית הצירים נמצאת ב 3.31) x µ = c t, 0 ) במערכת x, µ נקבל: 3.32) x µ = cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ ) c t 0 ) = cosh φ c t sinh φ c t ) נרשום 3.33) x µ = ct, x) נמצא את המהירות בה ראשית הצירים של x מתרחקת מראשית הצירים של x: 23.10.13 4 הרצאה מס' 4 עמוד 25 מתוך 145

3.34) v = dx dt = x t t t = c sinh φ 1 = c tanh φ cosh φ קיבלנו שמערכת x נעה במהירות 3.35) 1 tanh φ = v c 1 v c ונקבל: ביחס ל x. נרשום את φ על ידי 3.36) Λ µ ν = 1 v c 1 v c ) 2 1 v c ) 2 v c 1 1 v c ) 2 1 v c ) 2 נגדיר 1 3.37) γ 1 ), β v v 2 c c ונקבל: 3.38) Λ µ ν = γ 1 β β 1 ) קיבלנו את הצורה המוכרת יותר של טרנספורמציית לורנץ. כפי שראינו, הטרנספורמציה הזו שקולה לסיבוב במרחב בו גם הזמן הוא מימד, ומקבלים ערבוב של מרחב וזמן. עבור 3 + 1 מימדים, צריך לפתור את המשוואה 3.39) Λ T ηλ = η כאשר: 3.40) η = 1 1 1 1 טרנספורמציות לורנץ הכלליות הן ה Λ שפותרות את משוואה זו. במקרה זה פתרון המשוואה תיתן 6 "סיבובים" אפשרים סביב הצירים: 3.41) xy, xz, yz, tx, ty, tz }{{}}{{} rotations boosts המונח בוסט boost) כאן הוא מטעה, כי אין שום מתן תאוצה, אלא פשוט מעבר בין מערכות יחוס. את הפרמטר.rapidity מכנים φ עמוד 26 מתוך 145

הערה 3.3 בתורת החבורות הסיבובים והבוסטים מרכיבים יחד את חבורת לורנץ. לומדים על כך בהרחבה ב"קוונטית 3". 3.3 מכפלה פנימית במרחב מינקובסקי דוגמאות: עבור 0) 0, 1, 0, = µ S מתקיים = 1 µ S µ S עבור 0) 1, 0, 0, = µ T מתקיים 1 = µ T µ T עבור 0) 1, 1, 0, = µ L מתקיים = 0 µ L µ L אפשר לראות שהאקסיומות של המכפלה הפנימית אינן מתקיימות, כלומר המכפלה הפנימית יכולה לקבל ערכים שליליים. זו בעצם הכללה של המכפלה הפנימית עבור מרחב מינקובסקי. מגדירים עבור V: 2 V µ V µ.1 ווקטורים המקיימים > 0 2 V נקראים דמויי מרחב like) space.2 ווקטורים המקיימים < 0 2 V נקראים דמויי זמן like) time.3 ווקטורים המקיימים = 0 2 V נקראים דמויי אור like) light טענה 3.4 כל ווקטור דמוי מרחב 0 > 2 V) אפשר להביא לצורה: 3.42) V µ = 0, V, 0, 0) 3.43) V µ = V 0, V 1, V 2, V 3) הוכחה: כדי להוכיח את הטענה מתחילים עם הווקטור: על ידי סיבובים מרחביים ניתן לקבל: 3.44) V µ = ) V 0, Ṽ 1, 0, 0 1 2 V נובע מכך שהוא דמוי מרחב והשוויון האחרון) קיים φ כך > V 0 ) 2 אפשר להראות תרגיל) שעבור שאחרי טרנספורמציית לורנץ נקבל: 3.45) V µ = 0, V, 0, 0) טענה 3.5 כל ווקטור דמוי זמן 0 < 2 V) אפשר להביא לצורה: 3.46) V µ = V, 0, 0, 0) עמוד 27 מתוך 145

טענה 3.6 כל ווקטור דמוי אור 0 = 2 V) אפשר להביא לצורה: 3.47) V µ = V 1, 1, 0, 0) נסתכל על ההפרש בין 2 מאורעות: 3.48) x µ = a µ b µ אם < 0 2 x אז קיימת מערכת קואורדינטות שבה: 3.49) a µ b µ = a, 0, 0, 0) אם b התרחש לפני a במערכת צירים אחת, הוא יתרחש לפני a בכל מערכת צירים. כלומר, יש ביניהם קשר סיבתי כך ש b יכול להשפיע על a. בדומה, אם > 0 2 x אז אין קשר סיבתי בין המאורעות, כלומר יש מערכת יחוס שבה a ו b מתרחשים בו זמנית בנקודות שונות. 3.3.1 קונוס האור מאורע הינו נקודה במרחב זמן: איור 3.4: מאורע במרחב זמן אוסף מאורעות המתאר תנועה של חלקיק יתואר על ידי קו במרחב זמן: איור 3.5: תנועת חלקיק במרחב זמן עמוד 28 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד הקו השמאלי מתאר תנועה של חלקיק כתלות בזמן, והקו הימני אינו מתאר חלקיק פיזיקאלי. הקו הימני יכול למשל לתאר שני חלקיקים שונים הנמצאים בנקודות שונות במרחב, מתקרבים זה לזה, נפגשים ומושמדים. את אורך העקומה נחשב על ידי 3.50) L = ds כאשר: 3.51) ds = ±ds אם ds 2 לא משנה סימן, אפשר לומר שהעקומה דמוית זמן / מרחב / אור. קו דמוי אור מקיים r t) = ct ולכן כל הקווים דמויי האור נמצאים על קונוס האור: איור 3.6: קונוס האור קונוס האור מחלק את המאורעות לכאלה שיכולים או לא יכולים להשפיע על הראשית מבחינה סיבתית. מאורע שהתרחש מחוץ לקונוס האור לא יכול להשפיע על הראשית, ומאורעות שהתרחשו בתוך קונוס האור כן יכולים. הקונוס שמעל הראשית הם המאורעות העתידיים שהראשית יכולה להשפיע עליהם, והקונוס שמתחת לראשית הם המאורעות בעבר שיכלו להשפיע על הראשית. באופן כללי ניתן לצייר קונוס אור לכל שתי נקודות במרחב זמן שתי מאורעות) והחיתוך בין הקונוסים התחום המשותף) מתאר את כל המאורעות שיכולים להיות מושפעים משני המאורעות או להפך להשפיע על שני המאורעות. קו שמתאר חלקיק שעובר דרך הראשית נקרא קו עולם line).world ניקח מערכת צירים שנעה עם החלקיק לאורך קו העולם שלו 3.52) x µ = cτ, 0) ולכן לאורך העקומה מתקיים: 3.53) ds 2 = c 2 dτ 2 הזמן τ מכונה זמן עצמי. 5 נרצה לקשר בין הזמן τ שמרגיש החלקיק, לזמן t שמרגיש צופה במערכת אחרת t: נסמן את מיקום החלקיק כפי שרואה אותו הצופה על ידי הפרמטריזציה התלויה בפרמטר,t).,x y 27.10.13 5 הרצאה מס' 5 עמוד 29 מתוך 145

3.54) x µ = ct, x i t) ) נסתכל על הגודל הבא שהצופה יכול למדוד במערכת שלו: 3.55) dx µ dt = c, v i t) ), v i t) dxi t) dt זה אינו ווקטור במובן של מעבר בין מערכות יחוס, הטרנספורמציה של המהירות בין מערכות יחוס היא בעלת תלות מסובכת שאינה ליניארית. למרות זאת, ההשתנות של מיקום החלקיק כתלות בזמן שהצופה מרגיש היא גודל אינטואיטיבי שהצופה יכול למדוד. נחשב את ds 2 על פי הצופה שמשתמש במערכת y,t):,x 3.56) 3.57) 3.58) ds 2 = c 2 dt 2 + dx i t) 2 = c 2 dt 2 + v 2 t) dt 2 = c 2 v 2) dt 2 מכיוון שאלמנט האורך לא תלוי במערכת הצירים 3.59) c 2 dτ 2 = c 2 v 2) dt 2 מקבלים: 1 3.60) dt = 1 ) dτ γdτ v 2 c γ יכול להיות באופן כללי תלוי ב t, למשל אם החלקיק מאיץ t) v i אינו קבוע בזמן וכך יהיה גם γ. במקרה כזה, כדי לקבל קשר בין t ל τ עבור מסלול כלשהו במרחב זמן יש לבצע אינטגרציה. הערה 3.7 יש הטוענים שיחסות פרטית אינה מטפלת במערכת מאיצות, וזה פשוט לא נכון. יחסות פרטית מתארת דינמיקה כללית על גבי מרחב מינקובסקי המוגדר על ידי אלמנט האורך: 3.61) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 לכן, בעיות כמו פרדוקס התאומים נפתרות ישירות במסגרת היחסות הפרטית באמצעות חוסר הסימטריה בין התאומים, בשלב התאוצה של התאום שעוזב את כדור הארץ הוא זה שמחליף את מערכת היחוס. המסלולים של התאומים במרחב זמן הם שונים, ולכן הזמנים הנמדדים בשעונים שלהם יהיו שונים. דוגמא: נסתכל על מערכת שבה יש חלקיק הנע על גבי מסלול מעגלי, ומסתכל עליו צופה נייח הנמצא בחיתוך של מסלול החלקיק עם ציר x: עמוד 30 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד איור 3.7: תנועה במסלול מעגלי במערכת האינרציאלית, מיקום החלקיק הוא: 3.62) x µ = ct, R cos ωt), R sin ωt), 0) נחשב את,ds 2 ונשווה אותו לאלמנט האורך במערכת העצמית: 3.63) 3.64) ds 2 = c 2 dt 2 + R 2 ω 2 dt 2 = c 2 dτ 2 ומכאן: 3.65) ) 2 dt dτ = 1 ωr 2π 1 ) τ cycle = 1 ωr 2 c }{{} ω c t cycle למעשה קיבלנו פה את אותו קשר שפיתחנו קודם, כאשר גודל המהירות היא קבועה בזמן. 4 ווקטורי 3.3.2 המהירות, התנע והתאוצה נרצה בכל זאת לבנות גודל כלשהו של מהירות, אשר כן תהיה ווקטור. ראינו ש x µ איננו ווקטור ו t איננו סקאלר. אבל, dx µ הוא כן ווקטור 3.66) d x µ = d xµ dx ν dxν ו ds הוא כן סקאלר, אשר נגדיר דרך ds 2 3.67) ds = ds 2 עבור מאורעות דמויי זמן 0 < 2.ds הסיבה שנעשה זאת היא שווקטור המהירות מתאר תנועה של חלקיק מהעבר לעתיד, ומן הסתם תנועה זו היא סיבתית העבר גורם לעתיד. לכן, על ידי חלוקה בין הגדלים למעשה גזירה) נקבל ווקטור שנגדיר כווקטור המהירות: עמוד 31 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 3.68) u µ c dxµ ds = dxµ dτ = lim x µ τ 0 τ 3.69) u µ u µ = c dxµ ds cdx µ ds = c2 dx µ dx µ ) ds 2 ds = c2 ds 2) 2 ds 2 = c 2 נסתכל על הסקאלר לורנץ של המהירות: סימן המינוס הגיוני, בהתאם לכך שהמהירות היא דמוית זמן. נשים לב שבגלל שנורמת הווקטור מוגדרת, נשארים 3 פרמטרים חופשיים לווקטור כצפוי. נרשום ביטוי כללי ביותר ל u, µ כפי שרואה אותו צופה במערכת צירים: 3.70) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 דרך סטנדרטית לרשום את u, µ כתלות בשלושה פרמטרים τ) v i 3.71) u µ = cγ τ), γ τ) v i τ) ) 3.72) γ τ) = 1 1 vτ) c ) 2 כאשר: τ) v i היא המהירות כפי שמודד אותה הצופה במערכת הנייחת, אבל הקידום בזמן הוא לפי השעון של החלקיק: 3.73) v i τ) dxi τ) dt τ) במהירויות נמוכות, השעונים של הצופה והחלקיק זהים ו τ ) v i היא המהירות של החלקיק כפי שהצופה מודד אותה במערכת שלו. מגדירים את ווקטור התנע: 3.74) p µ mu µ פרמטריזציית התנע לפי הפרמטריזציה הכללית שעשינו למהירות: 3.75) p µ = mcγ, mγv) 3.76) p 2 = m 2 c 2 גודל הווקטור עתה יהיה: עמוד 32 מתוך 145

3.77) d dτ uµ באופן נאיבי היינו מגדירים תאוצה כ 3.78) dũ µ dτ = Λ 1) µ du ν ν dτ היינו מצפים שגודל זה יהיה ווקטור ויקיים אבל הוא בעצם מקיים: 3.79) dũ µ dτ = d Λ 1 ) dτ µν uν) הסיבה שכאן הנגזרת כבר אינה ווקטור היא שבביטוי הקודם לווקטור התאוצה הוא: dx µ, dxµ היה ווקטור בפני עצמו. הביטוי הנכון dτ 3.80) a µ duµ dτ µg αβ ) u α u β ניתן להראות ש a µ הוא אכן ווקטור, בדומה לדרך שבה רואים שהדיברגנס שהגדרנו הוא ווקטור. הדרך להגיע לצורה זו של ווקטור התאוצה דורשת פורמליזם כבד יותר, וזה לא קריטי לנו ולכן לא נעשה זאת. לסיכום, ראינו כאן דרך להציג את היחסות הפרטית דרך תיאור העולם כמרחב מינקובסקי, בשונה מהדרך שלמדנו בעבר דרך האקסיומה של מהירות אור קבועה בכל מערכת יחוס. 3.4 דינמיקה יחסותית תנועה של חלקיק מתוארת על ידי עקומה: איור 3.8: עקומה במרחב זמן במכניקה שאנחנו מכירים, t) x התקבלה כפתרון של משוואה דיפרנציאלית כלשהי. באותה צורה, נרצה לכתוב את משוואות התנועה הדיפרנציאליות שהפתרון שלהן הוא λ) x µ העקומה שלאורכה החלקיק נע λ מסמנת עקומות שונות). נשתמש בכלים של "מכניקה אנליטית": נגדיר פעולה S, אשר מקבלת כפרמטר את העקומה [λ) S x] µ והעקומה הנכונה תהיה זו שתגרום לפעולה מינימאלית = 0.δS עמוד 33 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד איור 3.9: פעולה של עקומות שונות במרחב זמן נצטרך "לנחש" פעולה שתיתן לנו את הפיזיקה הנכונה, בפרט בגבול הלא יחסותי שאנחנו מכירים. מהפעולה: דרישות 1. כל הצופים יסכימו על הפתרון פורמאלית זה אומר [λ) S, x] µ [λ) = S x ] µ כלומר הפעולה זהה עבור אותה עקומה מבוטאת במערכות יחוס שונות. זה בדיוק אומר שהפעולה זהה עבור צופים שונים, ולכן הפעולה היא סקאלר כי היא אינווריאנטית לטרנספורמציות בין מערכות. [ )] S [x µ λ)] = S x λ 2. המשוואה שמתקבלת לא תלויה ב λ המשוואה עבור λ תהיה זהה עבור λ) µ 3. לפעולה יהיו יחידות של תנע זוויתי אנרגיה כפול זמן). 4. למשוואות התנועה יהיו 2 נגזרות ב λ לפעולה יהיו 2 נגזרות. היחידות של גדלים שונים: 3.81) 3.82) 3.83) [m] = [mass] [ ] length [c] = time [ds] = [length] לכן, נגדיר את הפעולה בצורה: x f 3.84) S Amc ds. נסתכל על חלקיק במרחב נמצא את המקדם A כך ש S תתלכד עם הפעולה הלא יחסותית עבור 1 v מינקובסקי c x i 3.85) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 עמוד 34 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד ונשתמש בפרמטריזציה התלויה ב t בשביל להשוות למקרה הלא יחסותי): 3.86) x µ = ct, v i t) ) אלמנט האורך בפרמטריזציה זו: 3.87) ds 2 = c 2 dt 2 + v 2 dt כדי לכתוב את ds ניקח שורש ונבחר את הפתרון הפיזיקאלי שהוא הפתרון השלילי, כלומר קיים קשר סיבתי בתוך 3.88) ds = v ) 2dt ds 2 = c 1 c 3.89) S = Amc v c 3.90) = Amc 3.91) = v ) 2dt c 1 c [ c 1 1 v ) ] 2 dt 2 c [ Amc 2 1 2 Amv2 + O v 4 c 4 )] dt העקומה: מכאן נפתח ונקבל: לכן, מכיוון שבמקרה הלא יחסותי אנחנו יודעים שמתקבל 3.92) S = 1 2 mv2 dt נבחר 1 = A. הפעולה החדשה היא לכן: 3.93) S = mc ds 3.94) 3.95) dxµ = mc g µν dx ν [ ] = mc dxµ dλ g dx ν µν dλ dλ }{{} L נזכר שבפעולה הלא יחסותית האינטגרציה היא על פרמטר הזמן t, ובפעולה הכללית האינטגרציה היא על הפרמטר הכללי λ המציין עקומה מסוימת במרחב. הלגרנז'יאן החדש הוא כפי שסומן: 3.96) L mc dxµ dλ g µν עמוד 35 מתוך 145 dx ν dλ

סמסטר חורף תשע"ד בהקבלה למקרה הלא יחסותי, נסמן נגזרת לפי λ על ידי נקודה מעל 3.97) ẋ µ dxµ dλ ונקבל: 3.98) L = mc ds dλ = mc ẋ µ g µν ẋ ν = mc ẋ µ ẋ µ = mc ẋ 2 נחשב את התנע הקנוני: 3.99) 3.100) p µ = dl ẋ dẋ µ = mc 2 dẋ µ = mc 2ẋ µ 2 ẋ 2 dx µ dλ = mc ds dλ = mc dx µ ds = mu µ 3.4.1 משוואות התנועה היחסותיות 6 נמצא את משוואות התנועה עבור מרחב מינקובסקי 3.101) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 ונשאיר כתרגיל בית למצוא את משוואות התנועה עבור מטריקה g כללית. נסתכל על מסלול λ) x µ ווריאציה קטנה שלו, אשר זהה בנקודות ההתחלה והסיום שלו: 3.102) δx µ λ 0 ) = δx µ λ 1 ) = 0 איור 3.10: וריאציה של מסלול במרחב זמן 30.10.13 6 הרצאה מס' 6 עמוד 36 מתוך 145

נמצא את :δs 3.103) 3.104) 3.105) 3.106) 3.107) 3.108) δs = mc δ ds) = mc ẋ2 ) δ = mc 2 ẋ dλ 2 δ ẋ µ η µν ẋ ν ) = mc 2 dλ ẋ 2 = mc dummy indices ) δ ẋ 2 dλ δẋ µ η µν ẋ ν + ẋ µ η µν δẋ ν = mc 2 dλ ẋ 2 δẋ µ η µν ẋ ν + ẋ ν η νµ δẋ µ 2 dλ ẋ 2 = mc ẋµ δẋ µ ẋ 2 dλ = מתקיים: 3.109) ẋ µ = 1 dx µ ẋ 2 ẋ 2 dλ = 1 dx µ ds dλ = dxµ ds = 1 c uµ dλ נציב ונקבל 3.110) 3.111) 3.112) 3.113) 3.114) = m = m = m ) dx u µ δẋ µ dλ = m u µ µ δ dλ dλ u µ d δxµ ) dλ dλ d du dλ uµ δx µ µ ) dλ m dλ δxµ dλ d λ 0 dλ muµ ) δx µ dλ = m u µ δx µ ) λ1 dp µ = dλ δxµ dλ כאשר השתמשנו בתנאי = 0 ) 1.δx µ λ 0 ) = δx µ λ הדרישה = 0 δs גוררת: 3.115) dp µ dλ = 0 אם נשתמש בפרמטריזציה שבה עקומה מתוארת על ידי הזמן λ = t נקבל: 3.116) dp µ dt = 0 אם משתמש בפרמטריזציה שבה עקומה מתוארת על ידי אלמנט האורך λ = s נקבל: עמוד 37 מתוך 145

3.117) dp µ ds = mcd2 x µ ds 2 = 0 d2 x µ ds 2 = 0 אלמנט האורך s עד כדי מהירות האור c הוא בעצם הזמן העצמי שהחלקיק מודד במערכת שלו. לכן, בפרמטריזציה כזו התאוצה היא אפס. עמוד 38 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4 אינטראקציה נרצה להוסיף פוטנציאל למערכת או אינטראקציות). לשם כך נרצה להוסיף איזשהו ביטוי לפעולה, כך שמשוואות התנועה בסוף יהיו ווקטוריות, ולכן הן יהיו אינווריאנטיות לורנץ וכל הצופים יסכימו עליהן. למשל: 4.1) 4.2) S = mc mc ds + e φxα) ds V x α ) ds נמצא את הוריאציה של הפעולה: 4.3) 4.4) δs = mc = mc ) δ e φxα) ds δ ) e φxα ) ds } {{ } I mc ) e φxα) δ ẋ 2 dλ } {{ } II נתחיל מהביטוי הראשון: 4.5) 4.6) ) δ e φxα ) = e φxα +δx α) e φxα ) = µ e φ) δx µ = µ φ) e φ δx µ לכן: 4.7) mc δ e φ) ds = mc µ φ e φ δx µ ds dλ dλ נעבור לביטוי השני ונשתמש בתוצאה 3.109): ) 4.8) δ ẋ 2 = 2ẋ µδẋ µ 2 = 1 ẋ 2 c u µδẋ µ לכן: 4.9) 4.10) 4.11) 4.12) mc ) e φ δ ẋ 2 dλ = m = m ) dx e φ µ u µ δ dλ dλ d e φ u µ δx µ) d dλ m e φ ) u µ δx µ dλ dλ dλ d λ 0 m dλ eφ u µ + e φ du µ dλ ) δx µ dλ = m e φ u µ δx µ λ1 = e φ dφ dλ p µ + e φ dp µ dλ ) δx µ dλ עמוד 39 מתוך 145

נחבר את הביטויים ומהדרישה = 0 δs נקבל את משוואות התנועה: 4.13) mc µ φ ds dλ φ λ p µ dp µ dλ = 0 נעביר אגפים עבור λ: = s 4.14) f µ dp µ ds = mc φ µφ p µ s נשים לב כי מתקיים 4.15) u µ dp µ ds = 0 מכיוון ש: 4.16) 4.17) 4.18) u µ dp µ ds = u µ d ds mu µ = mu µ d ds u µ [ d = m ds uµ u µ ) d ] ds uµ u µ d = 0 mu µ ds uµ = mu µ du µ ds = dp uµ µ ds קיבלנו שביטוי שווה למינוס עצמו, ולכן הוא שווה אפס. כלומר, התאוצה תמיד מאונכת למהירות במרחב מינקובסקי. זה גם לא מפתיע כי במרחב 3 מימדי יש לנו 3 משוואות תנועה, אז איך זה יכול להיות שתתווסף עוד משוואה במרחב 4 מימדי? באמת לא מתווספת עוד משוואה בגלל האילוץ הזה. כדי לבדוק שזה אכן מתקיים, נכפיל את משוואת התנועה ב u, µ ונבדוק שאגף ימין מתאפס גם בעצמו: 4.19) 4.20) 4.21) 4.22) 0 = u µ dp µ ds ) = u µ φ mc µ φ p µ s = mcu µ µ φ u µ φ p µ = mc 2 xµ s s φ x µ φ uµ p µ s = mc 2 φ s m c 2) φ s = 0 7 הכנסנו את ) α φ x) למשוואות באופן שרירותי. אפשר להוסיף את הדינמיקה ל φ עצמו, למשל במשוואת קליין גורדון מוסיפים איבר נוסף לפעולה שיתן את משוואת קליין גורדון. 4.0.2 פעולה לאינטראקציה של חלקיק עם השדה האלקטרומגנטי האם ניתן להוסיף אינטראקציות נוספות לפעולה, שלא ניתן לכתוב בצורה שהגדרנו קודם לכן: 4.23) S = mc e φxα) ds 03.11.13 7 הרצאה מס' 7 עמוד 40 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נסיון 1: אפשר להוסיף לפעולה נורמה של ווקטור: 4.24) S = mc ds + A µ x) A µ x) ds אבל אפשר להתייחס לנורמה כסקאלר A, µ A µ = Φ ואז לא באמת הוספנו ביטוי שלא יכולנו לתאר קודם. נסיון 2: אפשר להוסיף ביטוי מהצורה: 4.25) S = mc ds + q c A µ ẋ µ dλ כאשר ניתן לכתוב 4.26) A µ ẋ µ dλ = dx µ A µ dλ dλ = A µ dx µ כלומר עושים אינטגרציה על השדה A µ לאורך עקומה כלשהי, ביטוי השונה מהנסיון הראשון בו עושים אינטגרציה לפי.ds את ביטוי זה כבר אי אפשר לכתוב כמו קודם. הערה 4.1 הקונבנציה היא לשים מקדם q באיבר הנוסף בפעולה, שמשמעותו היא חוזק הצימוד. נסמן את האיבר הנוסף בפעולה בצורה: 4.27) S A = A µ ẋ µ dλ חישוב עזר: 4.28) ẋ µ = dxµ dλ = dxµ ds ds dλ = 1 dx µ ds c dτ dλ = 1 ds uµ c dλ נחשב את :δs A עמוד 41 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.29) 4.30) 4.31) 4.32) 4.33) 4.34) 4.35) 4.36) δs A = = = = = = dummy indices = δ A µ ẋ µ ) dλ δa µ ẋ µ + A µ δẋ µ ) dλ νa µ δx ν ds 1 }{{} dλ c uµ +A µ δẋ µ dλ }{{} δa µ ẋ µ δx µ =0 on edges ν A µ δx ν ds {}}{ 1 d dλ c uµ + dλ A µδx µ ) δx µ d dλ A µ dλ = 1 c ds ν A µ dλ 1 dx c uµ δx ν δx µ ν dλ dx µ ds 1 ν A µ dλ c uµ δx ν δx ν ds ν A µ dλ dλ )) da µ dx ν da ν dx µ dλ )) dλ 1 c uµ δx ν δx ν ds ) 1 dλ c uµ µ A ν dλ ds dλ νa µ µ A ν ) u µ dλ q c הנוסף של S) A היא לכן: הוריאציה המלאה על הפעולה נשים לב למקדם 4.37) 4.38) δs = δ mc = ) ds + q c δs A [ dp µ dλ + q ] ds c 2 dλ νa µ µ A ν ) u µ δx ν dλ נגדיר 4.39) F µν µ A ν ν A µ ומהדרישה לאינווריאנטיות הפעולה = 0 δs נקבל את משוואת התנועה עבור הפרמטריזציה λ: = s 4.40) c dp µ ds = q c F µνu ν dp µ dτ = q c F µνu ν אנחנו נראה בהמשך שזה נותן לנו את הגרסא היחסותית של כוח לורנץ. מתקיים ש S A שהגדרנו אינווריאנטית עד כדי איברי שפה) תחת הטרסנפורמציה של הוספת נגזרת שלמה של כל ווקטור מכונה טרנספורמציית כיול :gauge transformation 4.41) A µ x α ) A µ x α ) + µ Λ x α ) עמוד 42 מתוך 145

נבדוק זאת: 4.42) 4.43) 4.44) S A = = = A µ ẋ µ dλ A µ + µ Λ) ẋ µ dλ Λ A µ ẋ µ dx µ dλ + x µ dλ dλ Λ A µ ẋ µ dλ + dλ dλ האיבר השני אכן נותן רק איברי שפה, ולכן S A אינווריאנטית עד כדי איברי שפה. איברי השפה לא ישפיעו על משוואות התנועה, ואכן: 4.45) 4.46) F µν = µ A ν ν A µ µ A ν + ν Λ) ν A µ + µ Λ) = µ A ν ν A µ + µ ν Λ ν µ Λ = F µν 4.0.3 פעולה לאינטראקציה האלקטרומגנטית נרצה לבנות פעולה נוספת ל A µ 4.47) S [A µ x α )] כך ש 4.48) δs = S [A µ x α ) + δa µ x α )] S [A µ x α )] תיתן משוואות תנועה ל A. α הפעולה תהיה מהצורה של אינטגרציה על כל העקומה במרחב זמן 4.49) S = L [ A α x β )] dtdxdydz בדומה לפעולה הלא יחסותית שאנחנו מכירים שבה האינטגרציה היא על העקומה בזמן: 4.50) S = L [q t)] dt הדרישות מהפעולה הנוספת: 1. סקאלר לורנץ 2 2. נגזרות יותר מזה פשוט ידרוש יותר תנאי התחלה).3 אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית הכיול A µ + µ Λ עמוד 43 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד זה נראה מעט אבסטרקטי, אבל למעשה אלה הדרישות לקבל את הכוח האלקטרומגנטי ומשוואות מקסוול, ואין שום צורך בדרישות נוספות. בנוסף, מתוך הרישום הזה נוכל לקבל את הצורה של הכוח האלקטרומגנטי בכל מיני מימדים אחרים. נשים לב שזו האינטראקציה האלקטרומגנטית בתווך חופשי, האינטראקציה עם החומר מגיעה כאשר מבצעים את הצימוד של הפעולה הזו לפעולה של חלקיק יחסותי דרך מקדם הצימוד q שיהיה בעצם המטען החשמלי. ננסה לבנות סקאלרים שיש להם 2 נגזרות של A α, g αβ, ε αβγδ במרחב מינקובסקי, ולהשתמש בהם בתור הפעולה שתקיים את הדרישות הנ"ל: נסיון 1: נסתכל על הגודל הבא שהוא סקאלר לורנץ ובעל 2 נגזרות: 4.51) T αβγ α β A γ לא ניתן לבנות את T רק מ g ו ε כי יש להם מספר זוגי של אינדקסים, ו T הוא טנזור בעל 3 אינדקסים. נסיון 2: נסתכל על הגודל הבא שהוא סקאלר לורנץ ובעל 2 נגזרות: 4.52) T αβγδ A α β γ A δ או על 4.53) T αβγδ α A β γ A δ שאותם כן ניתן לבנות עם,ε. g הביטויים האלה יהיו זהים בתוך הפעולה, כי הם שקולים תחת אינטגרציה בחלקים. נראה זאת: 4.54) 4.55) T αβγδ α A β γ A δ = α T αβγδ ) A β γ A δ Aβ α T αβγδ ) γ A δ = α T αβγδ ) A β γ A δ Aβ T αβγδ α γ A δ A β α T αβγδ γ A δ הביטוי האחרון נופל עבור מרחב מינקובסקי, כי T מוגדר על ידי הטנזורים,ε g שהם מוגדרים על ידי מספרים קבועים במרחב מינקובסקי. תחת אינטגרציה בפעולה, האיבר הראשון הוא נגזרת שלמה ולכן נותן איברי שפה שאינם מפריעים לנו. לכן, אם נסתכל על ה T αβγδ הכללי ביותר, אז הביטויים שקולים. הפעולה מוגדרת על ידי: 4.56) S = T αβγδ α A β γ A δ dtdxdydz 4.57) 4.58) S תחת הטרנספורמציה : A A + Λ T αβγδ α A β + β Λ) γ A δ + δ Λ) d 4 x = S + T αβγδ α A β γ δ Λ + α β Λ γ A δ + α β Λ γ δ Λ) d 4 x עמוד 44 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נדרוש אנטיסימטריות בחלק מהרכיבים בצורה: 4.59) 4.60) T αβγδ = T βαγδ T αβγδ = T αβδγ נבדוק מה יכול להיות T. αβγδ נסיון :1 ננסה את :T αβγδ = ε αβγδ 4.61) 4.62) 4.63) 4.64) 4.65) S = ε αβγδ α A β γ A δ d 4 x = α ε αβγδ ) A β γ A δ d 4 x A β α ε αβγδ ) γ A δ d 4 x = surface term ) A β α ε αβγδ ) γ A δ d 4 x = ε αβγδ A β α γ A δ d 4 x + surface term ) = ε αγβδ A β α γ A δ d 4 x + surface term ) = surface term ) בביטוי האחרון יש צמצום של טנזור סימטרי α γ עם טנזור אנטי סימטרי ε αγβδ וגודל כזה מתאפס. עד עכשיו, מצאנו שהגודל 4.66) ε αβγδ α A β γ A δ הוא סקאלר אינווריאנטי תחת A, A + Λ אבל הוא נגזרת שלמה. נחזור אליו בהמשך בנושא של אקסיונים. נסיון 2: הגודל הבא שנבדוק הוא: 4.67) 4.68) T αβγδ = ε αβµν ε στγδ g µσ g ντ = ε αβµν ε γδ µν = ε αβνµ ε γδ µν נבדוק שמתקיים [ ] 4.69) ε αβµν ε γδµν = A δγ α δ β δ δα δ δγ β ונמצא את.A עבור = 1 δ,α = 0, β = 1, γ = 0, אגף שמאל מקיים: 4.70) ε 01µν ε 01µν = ε 0123 ε 0123 + ε 0132 ε 0132 = 2 עמוד 45 מתוך 145

אגף ימין יתן A [1 1 0 0] = A ולכן = 2.A מכאן: 4.71) ε αβµν ε γδ µν = 2 g αγ g βδ g αδ g βγ) נפתח את הביטוי: 4.72) 4.73) T αβγδ α A β γ A δ = α A β γ A δ ε αβµν ε γδ µν [ 1 = 2 αa β β A α ) + 1 ] 2 αa β + β A α ) γ A δ ε αβµν ε γδ µν = במעבר השני פירקנו את α A β לטנזור סימטרי וטנזור אנטי סימטרי, ועתה נוכל לצמצם את הטנזור הסימטרי עם הטנזור האנטי סימטרי מצד ימין ולקבל: 4.74) 4.75) = 1 2 αa β β A α ) γ A δ ε αβµν ε γδ µν = 1 2 F 1 αβ 2 F γδε αβµν ε γδ µν = במעבר השני השתמשנו שוב בטריק של פירוק γ A δ לטנזור סימטרי ואנטי סימטרי. נמשיך לפתח, כאשר נציב את הזהות 4.71): 4.76) 4.77) 4.78) 4.79) = 2 4 F αβf γδ g αγ g βδ g αδ g βγ) = 1 2 F αβ F αβ F βα) = 1 2 F αβ F αβ + F αβ) = F αβ F αβ סך הכול קיבלנו שהגודל 4.80) T αβγδ α A β γ A δ = F αβ F αβ מקיים את כל הדרישות שרצינו מהפעולה, עבור ה T αβγδ שהגדרנו. נסכם: הפעולה הכוללת עבור חלקיק המצומד לשדה A µ הנשמר תחת A A + Λ היא: 4.81) S = mc ds + q c A µ dx µ 1 4c F αβ F αβ d 4 x נרצה להכליל למטריקה כללית, ולכן כפי שראינו נצטרך לתקן בצורה עמוד 46 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.82) d 4 x gd 4 x מתקיים 1 = g det לפי ההגדרה שלנו, ואנחנו יודעים ש i = 1 לכן בוחרים לרשום g ) כדי שהפעולה לא תהיה מרוכבת. מכאן הפעולה המלאה שתיתן לנו את התורה האלקטרומגנטית: 4.83) S = mc ds + q c A µ dx µ 1 4c F αβ F αβ gd 4 x ראינו שוריאציה של הפעולה לפי הקואורדינטה נתנה את משוואות התנועה של החלקיק: 4.84) δs δx α = 0 dp µ dτ = q c F µνu ν עתה נראה מה תיתן וריאציה של הפעולה לפי השדה A. µ 8 נמצא את משוואות התנועה של A µ הנובעות מהפעולה הנוספת: 4.85) S F 2 = 1 4c F µν F µν gd 4 x נחשב את :δs 4.86) 4.87) 4.88) δs F 2 = S F 2 [A µ + δa µ ] S F 2 [A µ ] = 1 δf µν F µν + F µν δf µν ) gd 4 x 4c = 1 [δ µ A ν ν A µ ) F µν + F µνδ g µα g νβ )] F αβ gd 4 x 4c נסתכל על האיבר הראשון: 4.89) I = 1 4c [δ µ A ν ) F µν δ ν A µ ) F µν ] gd 4 x = מתקיים 4.90) ν A µ F µν = ν A µ F νµ = µ A ν F µν ולכן: 4.91) = 1 4c 2 µ δa ν F µν gd 4 x 06.11.13 8 הרצאה מס' 8 עמוד 47 מתוך 145

האיבר השני: 4.92) II = 1 4c F µν δ α A β β A α ) gd 4 הביטוי זהה לאיבר הראשון ולכן סך הכול: 4.93) δs F 2 = 1 c µ δa ν F µν gd 4 x אנחנו רוצים להגיע לביטוי מהצורה 4.94) δs F 2 = 1 ) δa ν gd 4 x c }{{} equations of motion ולכן נעשה אינטגרציה בחלקים איבר שפה נופל כי נקבע = 0 ν δa באינסוף): 4.95) δs F 2 = + 1 c [ 1 g µ gf µν )] δa ν gd 4 x קיבלנו את משוואות התנועה: 4.96) 1 g µ gf µν ) = 0 1 אינו משנה פה למשוואות התנועה והוא קיים רק כשארית שגורמת לביטוי כולו להיות ווקטור g כרגע הגודל כדי לשמור על δs F 2 כסקאלר), אבל אם נוסיף אינטראקציות אז הוא בהחלט ישאר במשוואה. במרחב מינקובסקי בקואורדינטות 4.97) ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 נקבל לכן את משוואת התנועה: 4.98) µ F µν = 0 יש לזכור ש F µν הוא טנזור אנטי סימטרי המוגדר על ידי A µ בצורה 4.99) F µν = µ A ν ν A µ עמוד 48 מתוך 145

וזה מוריד את מספר האיברים הבלתי תלויים של הטנזור F µν מ 16 מטריצה 4 4) ל 6 רק האיברים מצד אחד של האלכסון). ניתן לכתוב משוואה נוספת עבור F, µν כאשר נשתמש בהתאפסות של צמצום טנזור סימטרי וטנזור אנטי סימטרי: 4.100) ε µνρσ ν F ρσ = 2ε µνρσ ν ρ A σ = 0 נרצה להבין איך כל זה מתקשר למשוואות מקסוול. נסתכל על טרנספורמציית קואורדינטות שלא משנה את הזמן: 4.101) Λ µ ν = 1 0 0 0 0 0 Λ i j 0 תחת טרנספורמציה כזאת 4.102) ds 2 = c 2 dt 2 + g ij dx i dx j כאשר =,1,2 3 i, נבדוק איך רכיבי F משתנים תחת טרנספורמציית קואורדינטות למשל קרטזיות לפולאריות או כדוריות): 4.103) F µν = Λ α µλ β νf αβ = Λ T F Λ ) µν 1 0 0 0 0 = 0 ) 4.104) Λ T i j 0 0 F 01 F 02 F 03 F 01 F 02 F 03 ) F jk 1 0 0 0 0 0 Λ k l 0 4.105) = 0 F 0k Λ k l Λ ) T k F ) i 0k Λ T p F i pq Λ q l כלומר: 4.106) 4.107) F 0k = Λ k lf 0k F ij = Λ k iλ m jf km לכן, כאשר אנחנו מקפיאים את רכיב הזמן רכיבי F 0k עוברים טרנספורמציית קואורדינטות כמו ווקטור, ורכיבי F km עוברים כמו טנזור אנטי סימטרי). נסמן: 4.108) 4.109) F 0k = E k F 12 = B 3 F 31 = B 2 B i = 1 2 εijk F jk F 23 = B 1 עמוד 49 מתוך 145

ניתן לכתוב את הרכיבים המרחביים של הטנזור באמצעות טנזור לוי צ'יויטה כפול בווקטור תרגיל בית): 4.110) ε ijk B k = F ij קיבלנו: 0 E 1 E 2 E 3 4.111) F µν = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 עבור צופה שלא מבצע טרנספורמציית קואורדינטות תלויות בזמן כמו קרטזיות לכדוריות) E i מתנהג כמו ווקטור ו B i הוא פסואדו ווקטור ב 3 מימדים). 9 נראה איך נראות משוואות התנועה עבור E i ו B, i תחילה נחשב את F µν ברכיבים קונטרה ווריאנטים: 4.112) F µν = η µα η νβ F αβ 4.113) = η µα F αβ η βν 4.114) 4.115) 4.116) = ηf η) µν 1 0 E 1 E 2 E 3 = 1 E 1 0 B 3 B 2 1 E 2 B 3 0 B 1 1 E 3 B 2 B 1 0 0 E 1 E 2 E 3 = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 1 1 1 1 נרשום את משוואת התנועה = 0 µν. µ F עבור = 0 :ν 4.117) 0 = µ F µ0 = 0 F 00 + i F i0 = i E i E = 0 עבור :ν = i 4.118) 4.119) 4.120) 4.121) 0 = µ F µi = 0 F 0i + j F ji = x 0 =ct 1 c = 1 c t Ei + j ε jik B k E i t ε ijk j B k = 1 c te B 10.11.13 9 הרצאה מס' 9 עמוד 50 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד קיבלנו את משוואות מקסוול הלא הומוגניות בוואקום) מתוך משוואת התנועה 4.98). נסמן את הפוטנציאל ה 4 ווקטורי: 4.122) A µ φ, A) נזכור שמתקיים 4.123) F µν = µ A ν ν A µ ולכן, השדה החשמלי נתון על ידי: 4.124) 4.125) E i = F i0 = i A 0 0 A i = i φ 1 c t A השדה המגנטי נתון על ידי: 4.126) 4.127) B i = 1 2 εijk F jk = 1 2 εijk j A k k A j ) = ε ijk j A k = A) i ומהצורות האלה של השדות באמצעות הפוטנציאל הווקטורי נובע: 4.128) 4.129) B = 0 E = 1 c tb קיבלנו את משוואות מקסוול ההומוגניות, אשר בצורה הטנזורית מתקבלות ממשוואה 4.100) שרשמנו קודם. ב"פיזיקה 2" מתחילים בצורה פנומנולוגית ובונים את משוואות מקסוול, ולאחר מכן מגלים שהן אינווריאנטיות לכיול כמו שהגדרנו אותן. אנחנו התחלנו מבניה של תורה אינווריאנטית לכיול וקיבלנו את ה. עבדנו במערכת קואורדינטות עם ẑ מסוים קבענו צופה אינרציאלי). אם נרצה לעבור למערכת יחוס אחרת, נבצע טרנספורמציית לורנץ. ראינו שטרנספורמציית לורנץ היא: 4.130) Λ µ ν = γ γβ γβ γ 1 1 במערכת יחוס חדשה: עמוד 51 מתוך 145

4.131) 4.132) 4.133) F µν = 0 Ẽ1 Ẽ2 Ẽ3 Ẽ 1 0 B3 B 2 Ẽ 2 B 3 0 B1 Ẽ 3 B2 B 1 0 = Λ α µλ β νf αβ = Λ T F Λ ) µν אפשר לבדוק שהטרנספורמציה הזו אכן תשחזר לנו את השדות החשמלי והמגנטי במערכת מערכות יחוס כמו שראינו ב"פיזיקה 2". כרגע מה שיש לנו זה משוואות מקסוול בהיעדר חומר, כי לא התייחסנו לאיבר האינטראקציה האלקטרומגנטית עם חלקיקים. באמצעות הפורמאליזם שפיתחנו, נחפש סקאלרים יחסותיים) שאפשר לבנות באמצעות E ו B. יש 2 סקאלריים מעניינים שאפשר לבנות, ושראינו אותם בעבר. הראשון: 4.134) 4.135) F µν F µν = F µν F νµ = trace F 2) = 2 E 2 B 2) השני: 4.136) ε µνρσ F µν F ρσ = 2E B ראינו שעבור חלקיק מקבלים: 4.137) S = mc ds + q c A µ dx µ c dp µ ds = q c F µνu ν נבדוק איך נראית משוואת התנועה של חלקיק עם אינטראקציה Aµ dx µ של צופה מסוים q c בעזרת E ו B. עבור מערכת יחוס 4.138) u µ = γc, γv i) נקבל: 4.139) 4.140) F µν u ν = = F 0i u i µ = 0 F j0 u 0 + F ji u i µ = j E i γv i µ = 0 E j γc + ε jik B k γv i µ = j בגבול של מהירויות נמוכות 1 γ: עמוד 52 מתוך 145

4.141) F µν u ν E v µ = 0 = ce + v B) µ = j באגף שמאל של משוואת התנועה: 4.142) dp µ ds = 1 dp 0 c 1 dp c dt dt µ = 0 µ = j ולכן סך הכול עבור µ = j נקבל את כוח לורנץ: 4.143) dp [ dt = q E + v ] c B עבור = 0 :µ 4.144) 1 dp 0 c dt = q c E v 4.145) p µ = mu µ p 0 = mu 0 = m γc 3) m c 3 + 1 ) 2 v2 c u µ =cγ,γv i ) u 0=η 0µu µ = c 2 u 0 מתקיים במהירויות נמוכות ולכן המשוואה הופכת ל 4.146) 1 dp 0 c dt = de kin dt כלומר, המשוואה עבור = 0 µ נותנת את המשוואה להספק של השדה האלקטרומגנטי. סיכום ביניים: הפעולה האינווריאנטית לכיול ולטרנספורמציית לורנץ יחסות פרטית) היא: 4.147) S = mc ds + q c A µ dx µ 1 4c F 2 d 4 x ביצענו וריאציה לפי x µ וקיבלנו את משוואות התנועה של החלקיק: 4.148) dp µ ds = q c F µνu ν עמוד 53 מתוך 145

ביצענו גם וריאציה לאיבר האחרון לפי A µ וקיבלנו את משוואות מקסוול: 4.149) µ F µν = 0 הדבר הבא שיש לעשות הוא לראות איך החלקיק משפיע על השדות, כלומר איך ישתנה אגף ימין של המשוואה האחרונה. באופן כללי בקורס הזה תמיד נשמור על האיבר הקינטי של השדה האלקטרומגנטי 1 4c F 2 d 4 x שנותן את ה, אבל לאו דווקא נסתכל על חלקיק נקודתי המתואר על ידי האיבר הקינטי mc ds ואיבר q. מכאן המוטיבציה לדבר על משהו כללי יותר, ולבסוף נחזור למקרה הפרטי שדיברנו האינטראקציה c Aµ dx µ עליו עד עכשיו. 4.1 אינטראקציה בין השדה החשמלי לחומר נסתכל על אינטראקציה כללית בין השדה האלקטרומגנטי לחומר, כאשר חומר הכוונה כל דבר שהוא לא השדה האלקטרומגנטי לאו דווקא חלקיק נקודתי). הפעולה שאנחנו יכולים לרשום נרשום את האיבר הקינטי של השדה האלקטרומגנטי בצורה כללית ולכן נשמור את איבר המידה g, כי d 4 x לבד הוא צפיפות סקאלרית): 4.150) S = 1 4c F 2 gd 4 x + S int [A α ] נדרוש ש S int יהיה סקאלר ואינווריאנטי לכיול: 4.151) S int [A µ + µ Λ] = S int [A α ] + surface term ) נבצע וריאציה לפי A: 4.152) δs = 1 c µ F µν δa ν d 4 x + 1 c 2 J ν δa ν d 4 x + surface term ) האיבר הראשון הוא וריאציה של 1 4c F 2 d 4 x והאיבר השני הוא וריאציה של S int והוא חייב להגיע לצורה הזאת אינטגרנד המכיל איברים כלשהם הכופלים את δa ν כי עושים וריאציה לפי A. לכן, משוואות התנועה שישמרו את אינווריאנטיות S הן: 4.153) µ F µν = 1 c J ν נגזור את המשוואה לפי x: ν 4.154) 0 = ν µ F µν = 1 c νj ν זה שווה אפס כי יש מכפלה של טנזור סימטרי ν µ בטנזור אנטי סימטרי F, µν ולכן המשוואה תתקיים אם: עמוד 54 מתוך 145

4.155) ν J ν = 0 לכן, J ν חייב לקיים את משוואת הרציפות. נבדוק שבאמת = 0 ν ν J לכל S int מהסוג הנ"ל. קודם הסתכלנו על וריאציה δa ν כללית, אבל אנחנו לא עובדים באופן כללי, אלא עם טרנספורמציות כיול: 4.156) δa α = α Λ עבור טרנספורמציית הכיול הזאת ראינו כבר שהפעולה אינווריאנטית: 4.157) δs = J ν ν Λd 4 x לאחר אינטגרציה בחלקים נקבל שאינווריאנטיות לכיול גוררת: 4.158) δs = ν J ν Λd 4 x + surface term ) = 0 השוויון הזה חייב להתקיים לכל Λ ולכן: 4.159) ν J ν = 0 הערה 4 ווקטור 4.2 J ν המקיים את משוואת הרציפות = 0 ν ν J נקרא זרם שמור. כדי להבין למה, נסתכל על הגודל: 4.160) Q = V J 0 d 3 x נבחן איך הגודל הזה משתנה בזמן: 4.161) 1 dq c dt = dq dx 0 = V dj 0 dx 0 d3 x = νj ν =0 V dj i dx i d3 x = V Jd 3 x = A J da אם לא יוצא שטף של J מהנפח V, או שהמשטח אינסופי ואין שטף באינסוף) אז מקבלים: 4.162) dq dt = 0 לכן, Q הוא איזשהו גודל שמור המדבר על נפח שלם, ו J µ מדבר על גודל שמור 4 זרם) בצורה לוקאלית. עמוד 55 מתוך 145

4.1.1 מכפלה טנזורית אנטי סימטרית 10 ננסה להראות למה באמת הגודל הזה שמור ללא תלות במערכת היחוס, ולשם כך נשתמש בפורמאליזם חדש. יכולנו לבנות את הפורמאליזם הזה עוד בתחילת הקורס, אבל עתה יש לנו מוטיביציה. בכדי לטפל באלמנט שטח ונפח בצורה יעילה נחזור לדבר על גיאומטריה. נגדיר מכפלה טנזורית אנטי סימטרית של אלמנטים :wedge product) dx i 4.163) dx i dx j dx i dx j dx j dx i ולכן למשל: 4.164) dx i dx j dx k = dx i dx j dx k dx j dx i dx k + dx k dx i dx j... נגדיר אלמנט נפח סקאלר) ב 3 מימדים 4.165) 4.166) dv 1 3! ε ijkdx i dx j dx k = 1 geijk dx i dx j dx k 3! כך ש: 4.167) V dv = V ההכללה ל d מימדים: 4.168) dv = 1 d! ε i 1,...,i d dx i dx j dx k במרחב זמן 4 מימדי: 4.169) dω = 1 4! ε µνρσdx µ dx ν dx ρ dx σ גם הגודל הבא הוא סקאלר 4.170) 1 2! ci ε ijk dx j dx k כאשר c i הם רכיבי ווקטור. תחת אינטגרל 13.11.13 10 הרצאה מס' 10 עמוד 56 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.171) S = A 1 2! ci ε ijk dx j dx k S הוא השטף של c דרך המשטח A. נראה זאת באופן מפורש עבור מקרה פשוט: איור 4.1: שטף דרך משטח נקבל: 4.172) S = A 1 2! ] [c i ε ixy dx dy + c i ε iyx dy dx + c i ε ixz dx dz +... = למשטח A אין תמיכה בכיוון z ולכן איברים אלה נופלים. נקבל: 4.173) 4.174) 4.175) 4.176) = 1 c z ε zxy dx dy + ε zyx dy dx) 2 A A = c z ε zxy dx dy = c z dx dy c z dxdy A = c da A A כאשר בעצם אנחנו מגדירים שאנחנו עושים אינטגרציה סכימה) על המכפלה האנטי סימטרית בצורה: 4.177) c z dx dy c z dxdy A A נשים לב ש dy dx הוא רק רכיב אחד של המכפלה האנטי סימטרית dx i dx j שהגדרנו קודם שהיא טנזור). נגדיר אלמנט שטח: עמוד 57 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.178) da i ε ijk dx j dx k ואז הביטוי הקודם הוא: 4.179) c i da i באותו האופן, אלמנט קווי: 4.180) dl ij ε ijk dx k 4.181) S T ij ε ijk dx k אפשר להגדיר אינטגרל קווי בצורה: כדי להפוך את הביטוי לצורה יותר מוכרת נגדיר 4.182) 4.183) V k = ε kij T ij T ij = 1 2 ε ijkv k נקבל: 4.184) S = 1 2 εijk V k ε ijm dx m = V k dx k ε ijk ε ijm=2δ k m במרחב זמן הביטויים דומים: 4.185) S = 1 2! T µν ε µνρσ dx ρ dx σ = T µν da µν דוגמא: נקבל את משפט סטוקס: 4.186) B) da = B dl A L נכתוב בצורה שפחות תלויה במערכת הקואורדינטות: עמוד 58 מתוך 145

4.187) 4.188) 4.189) 4.190) 4.191) I = ε ijk j B k da i = = 1 2 ε ijk ε ilm =δ j l δk m δj m δk l = 1 2 = = A L ε ijk 1 j B k 2 ε ilmdx l dx m δ j l δk m δmδ j l k 2δ j l δk m j B k dx l dx m x l B mdx l dx m B m dx m ) j B k dx l dx m }{{} anti-symmetric 4.192) V באופן דומה אפשר להראות תרגיל בית) את משפט גאוס: 1 i gc i dv = c i da i g }{{} A diva נחזור לעניין הגודל השמור. נסמן 4.193) J µ = j 0, 0 ) ונסתכל על הנפח הכלוא במשטח: איור 4.2: נפח במערכת יחוס מסוימת נגדיר 4.194) Q = V J µ da µ = j 0 d 3 x = j 0 L 3 נניח שיש צופה אחר שנע במהירות vx ביחס לצופה המקורי: עמוד 59 מתוך 145

איור 4.3: הנפח במערכת יחוס הנעה ביחס למערכת היחוס המקורית 4.195) Q = J µ dãµ = j 0 d xdỹd z 4.196) = Ṽ γj 0 d 3 x = γj 0 L γ L2 = j 0 L 3 V ואכן קיבלנו שהגודל נשאר אינווריאנטי. 11 נראה דרך אחרת לקבל את המטעון השמור. נגדיר את הנפח Ω במרחב זמן: איור 4.4: נפח במרחב זמן מקרה ב') בנוסף נגדיר את Σ µ להיות אלמנט שטח הפנים של הנפח. הזרם מקיים = 0 µ µ J ולכן מתקיים: 4.197) 0 = Ω µ J µ dω = Σ J µ dσ µ נפריד לשני מקרים. מקרה א' הוא כאשר אין זרם דרך הדפנות דמויות הזמן, אלא רק דרך המכסים,A: B 17.11.13 11 הרצאה מס' 11 עמוד 60 מתוך 145

איור 4.5: נפח במרחב זמן מקרה א') מתקיים: 4.198) 0 = J µ dσ µ = J 0 d 3 x J 0 d 3 x Σ A B קיבלנו ש x J 0 d 3 לא משתנה בזמן. במקרה ב' הנפח הראשון שציירנו) שאין לו כיווניות נוחה נניח שגם אין זרם דרך הדפנות: 4.199) 0 = J µ dσ µ = J µ dσ µ J µ dσ µ Σ A B קיים צופה שעבורו מקרה ב' הופך למקרה א', כלומר הניצב למכסים הוא בכיוון ציר הזמן. שמאונך ל A כ t ואת הכיוון המאונך ל B כ t ונקבל: נסמן את הכיוון 4.200) 0 = J µ dσ µ = J 0 d 3 x J 0 d 3 x Σ הפורמאליזם הזה בעצם אומר שיש גודל שמור שלא משתנה בשום מערכת יחוס, ועבורנו ב זהו המטען החשמלי. לכן, במערכת יחוס נתונה מסמנים 4.201) J µ cρ, J) כאשר ρ היא צפיפות המטען רכיב האפס, שראינו שהוא אינווריאנטי לטרנספורמציית לורנץ) ו J הוא שטף המטען. מעכשיו נשתמש ב 1 = c יחידות טבעיות) לשם נוחות, שזה כמו להגיד שלזמן ולאורך יש את אותן היחידות, ותמיד נוכל להחזיר אותו לביטויים על ידי אנליזת מימדים. בנוסף ראינו שניתן לרשום: 0 E 1 E 2 E 3 4.202) F µν = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 עמוד 61 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נציב במשוואת התנועה: 4.203) µ F µν = 1 c J ν עבור = 0 :ν 4.204) j F j0 = ρ עבור :ν = i 4.205) 0 F 0i + j F ji = J i קיבלנו את האינטראקציה של השדות עם החומר: 4.206) 4.207) E = ρ = 4π ρ t E B = J נשים לב שבמשוואה שאנחנו מכירים יש פקטור 4π כמקדם ל ρ, ואילו רצינו יכולנו להחזיר אותו פשוט על ידי הגדרה אחרת של הוריאציה.δS זה פשוט עניין של הגדרת צפיפות המטען ויחידות. לכן, סך הכול קיבלנו את משוואות מקסוול כפי שאנחנו רושמים אותם במערכת יחוס ספציפית על ידי ווקטורים 3 מימדיים: 4.208) 4.209) 4.210) 4.211) I) B = 0 II) t B + E = 0 III) E = ρ IV) t E B = J זה נוח כאשר אנחנו עובדים במערכת יחוס מסויימת, אבל הרישום הטנזורי היחסותי לא מגביל אותנו. יש לנו 6 משתנים,ρ J,E B הם קבועים לצורך העניין) אבל 8 משוואות. לכאורה, יש פה יותר מדי אילוצים. משוואות II,IV קובעות את ההתפחות בזמן של השדות,E. B כלומר, בהינתן t) E t), B אפשר למצוא את :II,IV על ידי שימוש במשוואות E t + t), B t + t) 4.212) 4.213) E t) E t + t) t B t) B t + t) t t 0 = B t) + J t) t 0 = E t) עמוד 62 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד בזמן: ניתן לחשוב על משוואות I,III כמשוואות שקובעות את תנאי ההתחלה, אבל צריך לבדוק שהן מתואמות עם משוואות.II,IV נראה שאם I,III נכונות בזמן t ו II,IV נכונות תמיד אז גם I,III נכונות תמיד. נגזור את III 4.214) ρ t = ) E) = t t E = B J) = J השוויון האחרון מתקיים תמיד מכיוון ש 4.215) µ J µ = 0 t אז אם = 0 ρ E בזמן t מסוים, היא נכונה בכל זמן.t באופן דומה, עתה, מכיוון ש 0 = ρ) E נגזור את I: 4.216) ) B) = t t B = E) = 0 אכן קיבלנו שזה מתאפס תמיד. זה לא היה טריוויאלי, וחשוב היה לבדוק שכל המשוואות קונסיסטנטיות אחת עם השניה. באופן כללי, משוואות מהסוג I,III נקראות משוואות אילוץ, ומשוואות מהסוג II,IV נקראות משוואות 4.217) S = mc path ds + q c path }{{}}{{} relativistic particle interaction term A µ dx µ 1 4c F µν F µν d 4 x } Ω {{ } EM eld קינמטיות. 4.1.2 חלקיק יחסותי נחזור למקרה של החלקיק היחסותי: יחד עם איבר האינטראקציה מקבלים את משוואות התנועה: 4.218) 4.219) dp µ ds = q c F µνu ν µ F µν = 1 c J ν J µ הוא הוורסיה היחסותית של כוח לורנץ. q c F µνu ν הוא הוורסיה היחסותית של השינוי בתנע, ו dpµ ds נזכר ש הוגדר מתוך הוריאציה של איבר האינטראקציה: 4.220) 4.221) S = 1 F µν F µν d 4 x + S int [A α ] 4c δ A S = 1 µ F µν δa ν d 4 x + 1 c c 2 J ν δa ν d 4 x עמוד 63 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד אבל, לא אמרנו מהו J µ ונרצה לחשב אותו ממש. ניתן לכתוב את איבר האינטראקציה בצורה: 4.222) S int = q c A µ X ν λ)) dxµ dλ dλ A ν x) α ) במרחב זמן. בכדי לבצע את הוריאציה לפי x µ נקודה כלשהי λ היא פונקציה שמתאימה לכל X ν λ) ובכך לחלץ את J. µ 1 c 2 נשתמש בפונקציית דלתא רב מימדית, ואז נוכל להגיע לביטוי שנראה כמו J ν δa ν d 4 x פונקציות דלתא רב מימדיות: פונקציית דלתא מוגדרת תחת סימן האינטגרל בצורה: 4.223) 4.224) δ x) = 0, x 0 δ x) f x) dx = f 0) ניתן להגדיר את הנגזרת של פונקציית דלתא תחת סימן האינטגרל באמצעות אינטגרציה בחלקים: 4.225) f x) d ) dx δ x) dx = f x) δ x) f x) δ x) dx = f 0) בנוסף מתקיים 4.226) δ f x)) = j δ x x j ) f x j ) כאשר: 4.227) f x j ) = 0, f x j ) 0 נסתכל על 4.228) x= xx) f x) δ x) dx = f x) δ x) dx dx d x d x = d x f x) δ x) d x נשים לב שהאופן בו פונקציית דלתא עוברת טרנספורמציית קואורדינטות גוררת שהיא צפיפות סקאלרית. ב 2 מימדים במערכת צירים קרטזית נסמן את פונקציית דלתא ה 2 מימדית בצורה 4.229) δ 2) r r 0 ) = δ x x 0 ) δ y y 0 ) כך ש: 4.230) δ x a) δ y b) dxdy = 1 עמוד 64 מתוך 145

במערכת צירים כללית נסמן 4.231) δ 2) r r 0 ) = δ x 1 c) δ x 2 d) g כך ש 4.232) δ 2) r r 0 ) gd 2 r = 1 כעת נשתמש בפונקציית דלתא רב מימדית ונרשום: 4.233) S int = q c A µ X ν λ)) dxµ dλ dλδ4) x β X β λ) ) gd 4 x נעשה וריאציה לפי A, µ וברישום זה רק האיבר A µ יושפע: 4.234) δs int = q c δa µ X ν λ)) dxµ dλ δ4) x β X β λ) ) dλ gd 4 x נשווה עם הצורה 4.235) 1 c 2 J ν δa ν d 4 x ונקבל: dx 4.236) J µ µ = qc dλ δ4) x β X β λ) ) dλ הביטוי הזה הוא כללי ומדבר על פרמטריזציה כללית λ שהיא לא בהכרח פיזיקאלית. ננסה לקשר את זה לביטויים שאנחנו מכירים, על ידי שימוש במערכת יחוס של צופה ספציפי שבה λ, = t כלומר: 4.237) X µ = λ, x i λ) ) הגדרנו J J, µ =,ρ) לכן תחילה נפריד לצפיפות מטען וזרם: 4.238) 4.239) dx 0 ρ = q dλ δ t X 0) δ 3) x i X i λ) ) dλ dx i J = q dλ δ t X 0) δ 3) x j X j λ) ) dλ עמוד 65 מתוך 145

עתה נעבור למערכת היחוס שבחרנו, ונקבל את צפיפות המטען: 4.240) 4.241) dλ ρ = q dλ δ t λ) δ3) x i X i λ) ) dλ = qδ 3) x X t)) כלומר, כל המטען מרוכז במיקום החלקיק. בצורה דומה, צפיפות הזרם: 4.242) 4.243) 4.244) dx i λ) J = q dλ δ t λ) δ3) x i X i λ) ) dλ = q dxi t) δ 3) x X t)) dt = qv t) δ 3) x X t)) כלומר, צפיפות הזרם מרוכזת בחלקיק ונתונה על ידי מהירות החלקיק. נשים לב שקיבלנו את הביטוי בצורה יחסותית, ואין לו שום תיקונים. לכאורה זה לא נראה שהביטוי הזה בכלל ווקטור, t) v הוא אינו ווקטור ו ) t) δ 3) x i X i אינו סקאלר, אבל מובטח לנו מאופן הפיתוח שהביטוי כולו הוא כן ווקטור. אם אנחנו רוצים למצוא את השדה האלקטרומגנטי סביב החלקיק, נשתמש במשוואות התנועה שפיתחנו: 4.245) 4.246) dp µ ds = q c F µνu ν µ F µν = 1 c J ν 4.1.3 נוכחות חומר דיאלקטרי 12 לפעמים יהיה נוח יותר לבטא את צפיפות המטען וצפיפות הזרם באמצעות השדות,E. B ראינו שמתקיים תמיד: 4.247) ρ t + J = 0 נגדיר ρ P ואז J יצטרך לקיים: 4.248) J = ρ t = P t = Ṗ לכן, J עצמו חייב לקיים 4.249) J = Ṗ + M עבור ווקטור M כלשהו. נוכל להגדיר: 20.11.13 12 הרצאה מס' 12 תודה להילה גלנץ על הסיכום. עמוד 66 מתוך 145

4.250) 4.251) D E + P H B M נציב במשוואות מקסוול ונקבל: 4.252) 4.253) 4.254) B = 0 Ḃ + E = 0 D = E + P = E ρ = 0 4.255) Ḋ + H = Ė Ṗ + B M ) 4.256) = Ė } + {{ B Ṗ + M = 0 } J }{{} J המשוואות החדשות הן הומוגניות. יש חומרים שעבורם יש קשר בין השדות: 4.257) 4.258) D = εe B = µh או בצורה רכיבית נשים לב שבאגף ימין נשאיר סך הכול אינדקס עליון): 4.259) 4.260) D j = ε jk E k B j = µ jk H k במקרים מסויימים אפשר להראות שמשוואות מקסוול בנוכחות חומר דיאלקטרי, שקולות למשוואות מקסוול ללא חומר דיאלקטרי, אבל במרחב עקום. בשביל להראות זאת, נרשום את כל המשוואות בעזרת,E H עבור חומר המקיים את הקשרים הנ"ל ועבור מטריקה 3 מימדית g כלשהי 4.261) 4.262) 4.263) 4.264) B = 1 g j gb j ) = 1 g i gµ ik H k ) = 0 Ḃ + E = µ ik H k + ε jik i E k = 0 D = 1 i g ε ik ) E k = 0 g Ḋ + H = εjk Ė k + ε ijk j H k = 0 כאשר נזכור את הגדרת הדיברנס למטריקה כללית: 4.265) V = 1 g i gg ik V k ) עמוד 67 מתוך 145

4.266) gµ jk = gg jk נסתכל על המקרה שבו מתקיים אז ניתן לכתוב את המשוואה הראשונה בצורה: 4.267) 1 g i gµ ik H k ) = 1 g i gg ik H k ) בנוסף, כאשר ε = µ אפשר לרשום את המשוואה השלישית בצורה: 4.268) 1 i g ε ik ) 1 E k = g i gµ ik ) 1 E k = g i gg ik ) E k g תחת הגדרה זו, המשוואה השנייה והרביעית נותנות: 4.269) 4.270) µ ik H k + ε jik i E k = g ik H k + ε jik i E k = 0 ε jk Ė k + ε ijk j H k = g jk Ė k + ε ijk j H k = 0 הערה 4.3 במקרה הזה נוכל להתייחס למערכת כאילו היא לא בנוכחות של חומר דיאלקטרי, אלא נמצאת במרחב עם עקמומיות אחרת. זה יכול לתת לנו אינטואיציה לגבי צורת הפתרונות בחומר בהינתן שאנחנו יודעים איך נראה הפתרון במרחב העקום. באופן כללי, מתקיים: 4.271) 4.272) 4.273) 4.274) E = 0 H = 0 Ḣ + E = 0 Ė + H = 0 נרצה לכתוב את משוואות אלה בצורה יחסותית. נזכר בהגדרות: 4.275) µ F µν = J µ, ε µρσ ν F ρσ = 0 נרצה לרשום 4.276) D µν = F µν M µν עמוד 68 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד כך שמשוואת התנועה תהיה: 4.277) µ D µν = 0 לכן, נדרוש 4.278) µ M µν = J ν עבור M אנטי סימטרית: 4.279) ν µ M µν = ν J µ = 0 במערכת יחוס ספציפית אפשר להפריד לרכיבים ולקבל: 4.280) 4.281) M 0i = P i M ji = ε ijk M k מתוך הדרישה µ M µν = J ν נקבל: 4.282) 4.283) ρ = P J = P + E נרשום פעולה: 4.284) S = 1 4c D µν D µν d 4 x 4.285) = 1 4c [F µν F µν + 2F µν M µν + M 2] d 4 x האיבר M 2 לא תלוי ב A µ ולכן לצורך משוואות התנועה נתעלם ממנו: 4.286) S = 1 4c [F µν F µν + 2F µν M µν ] d 4 x עמוד 69 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.2 אינטראקציה עם מספר שדות ווקטורים 13 נסתכל על פעולות אינטראקציה S int אחרות, שלא יתנו לנו בדיוק את ה של מקסוול, אבל יש להן גם שימושים בתחומים שונים בפיזיקה. אפשר לדמיין עולם שיש בו 3 שדות ווקטוריים A 1,µ A 2,µ A 3 µ שנסמן A a µ עבור = 1, 2, 3.a בהיעדר אינטראקציות 4.287) S = 1 4 3 FµνF a a µν d 4 x, Fµν a µ A a ν ν A a µ a=1 הפעולה תיתן 3 משוואות תנועה בלתי תלויות לכל אחד מהשדות: 4.288) µ F a µν = 0, ε µνρσ ν F a ρσ = 0 הפעולה אינווריאנטית לכיול, כלומר אינווריאנטית תחת 4.289) A a µ A a µ + µ Λ a נשים לב שכל הדיון הוא על שדות קלאסיים, ולכן אין פה שיקול של שדות בלתי מובחנים או משהו כזה. נראה 4.290) A µ A 1 µ A 2 µ A 3 µ שבמקרה הזה יש לנו סימטריה חדשה. נסמן ואז: 4.291) F µν = µ A ν ν A µ לכן, ניתן לרשום את הפעולה בצורה 4.292) S = 1 4 F µν F µν d 4 x כאשר המכפלה הסקאלרית כאן היא באיזשהו מרחב אבסטרקטי שהמצאנו. אם נבצע סיבוב בזווית θ במרחב האבסטרקטי של השדות קומבינציה ליניארית מסויימת) 4.293) 4.294) A a µ 3 R ab θ) A b µ b=1 F a µν R ab θ) F b µν 24.11.13 13 הרצאה מס' 13 עמוד 70 מתוך 145

נקבל: 4.295) 4.296) 4.297) F a µνf a µν = R ab F b µνr ac F c µν = R T ) ba R ac F b µνf c µν = F a µνf a µν כלומר, קיבלנו שהפעולה אינווריאנטית לסיבוב במרחב האבסטרקטי. את מטריצת הסיבוב R ab אפשר לרשום בצורה הבאה: 4.298) R = e il θ כאשר בסיס הסיבובים המוכר ניתן על ידי: 4.299) L 1 = i i, L 2 = i i, L 3 = i i בצורה רכיבית: 4.300) L j ) mn = iε jmn ננסה להכליל ולמצוא פעולה שאינווריאנטית לסיבובים, כאשר זווית הסיבוב יכולה להיות שונה מנקודה לנקודה: 4.301) F a µν R ab θ x α )) F b µν למעשה, הפעולה שרשמנו כבר מקיימת את הסימטריה הזאת כי לא היה לנו שלב בדרך התלוי במרחב. אבל, נזכר במשוואת התנועה 4.302) µ F a µν = 0 ואם F a µν ישתנה בטרנספורמציה, אז משוואת התנועה היא לא אינווריאנטית תחת הטרנספורמציה הזו! הסיבה היא ש µ A a לא אינווריאנטית תחת הטרנספורמציה, והרי משוואות התנועה התקבלו באמצעות וריאציה על A. a µ לכן, נחפש טרנספורמציה של A a µ כך ש µν F a יהיה אינווריאנטי. נטפל במקרה שבו θ קטנה לצורך נוחות, ובשביל 4.303) 4.304) 4.305) 4.306) זוויות גדולות יותר פשוט יש לבצע אינטגרציה על הזוויות ולכן זה יהיה נכון לכל זווית. נתחיל מ ) Fµν a e il θ ab F b µν = I + il θ + O θ 2)) ab F b µν = F a µν + i iε cab) θ c F b µν = F a µν ε cab θ c F b µν F µν F µν θ F µν עמוד 71 מתוך 145

נחפש A כך שעבור 4.307) A µ A µ + δa µ נקבל 4.308) F µν F µν + δf µν כאשר: 4.309) δf µν = θ F µν הגדרנו 4.310) F µν = µ A ν ν A µ אז: 4.311) 4.312) 4.313) δf µν = θ F µν = θ µ A ν ν A µ ) = µ θ A ν ) ν θ A µ )) + µ θ A ν ν θ A µ }{{} ) ביטוי שיעזור לנו בניחוש: 4.314) δf µν = µ δa ν ν δa µ הניחוש הראשון יהיה: 4.315) δa µ = θ A µ + µ θ נקבל: 4.316) δf µν = [ µ θ A ν ) ν θ A µ )] + [ µ ν θ ν µ θ] עמוד 72 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד לא הצלחנו לקבל את האיבר השני ב ), δf µν לכן ננסה לשנות את F לחלוטין לצורה: 4.317) F µν µ A ν ν A µ + A µ A ν ונקבל: 4.318) 4.319) 4.320) δf µν = θ F µν = [ µ θ A ν ) ν θ A µ )] + µ θ A ν ν θ A µ θ A µ A ν ) נקבל מצד שני: 4.321) 4.322) 4.323) 4.324) 4.325) δf µν = δ µ A ν ν A µ + A µ A ν ) = µ θ A ν + ν θ) ν θ A µ + µ θ) + θ A ν + µ θ) A ν + A ν θ A ν + ν θ) = [ µ θ A ν ) ν θ A µ )] + [ µ θ A ν + A µ ν θ] + [ θ A µ ) A ν A µ θ A ν )] בעזרת זהות יעקובי אפשר להראות שהביטויים אכן זהים. סך הכול קיבלנו ש F µν F µν אינווריאנטי תחת 4.326) A µ A µ + µ θ θ A µ כאשר: 4.327) F µν = µ A ν ν A µ + A µ A ν נמצא את משוואות התנועה: 4.328) 4.329) S = 1 4 δs = 1 4 F µν F µν d 4 x [δf µν F µν + F µν δf µν ] d 4 x 4.330) 4.331) 4.332) 4.333) = 1 [δfµν F µν + F µν g µα g νβ ] δf αβ d 4 x 4 = 1 2δ µ A ν ν A µ + A µ A ν ) F µν d 4 x 4 = 1 δ µ A ν ν A µ ) F µν d 4 x 1 δ A µ A ν ) F µν d 4 x 2 2 = µ δa ν F µν d 4 x δa µ A ν ) F µν d 4 x עמוד 73 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד מכאן, עד כדי איברי שפה נוכל לכתוב את הוריאציה על הפעולה רק בלשון δa µ בצורה: 4.334) δs = δa ν µ F µν d 4 x + δa ν F µν A ν ) d 4 x ולכן מקבלים את משוואות התנועה: 4.335) µ F µν A ν F µν = 0 התורה שקיבלנו היא דוגמא לתורת כיול לא אבלית theory),non-abelian gauge בניגוד למשוואות מקסוול שהן תורת כיול אבלית למי שמכיר מתורת החבורות). נוכל להכליל את מה שעשינו, הרי אין שום סיבה הגיונית לקחת דווקא 3 שדות, יכולנו לקחת גם 10 שדות והסיבובים היו פשוט במרחב אבסטרקטי 10 מימדי. הפיתוח הזה לא שימושי ל, אבל כן שימושי לתיאור של הכוח החלש והחזק בתורת החלקיקים, שם אפשר לקבל את הפעולה של כל אינטראקציה בצורה 4.336) S = 1 4 F µν F µν d 4 x עבור שדות F µν עם מימדים שונים ועם הגדרות שונות של סיבובים כמו שראינו. 4.3 ב 1 2 + מימדים הרבה פעמים בפיזיקה אפשר לתאר בעיה עם מימדים קטנים יותר בקירוב הנכון, למשל תיאור האטמוספירה כדו מימדית שכן עובייה זניח יחסית לרדיוס כדור הארץ. נרצה להסתכל על תיאוריה אלקטרומגנטית ב 1 2 + מימדים ולרשום פעולה יחסותית ואינווריאנטית לכיול. נזכיר שב 1 3 + מימדים הפעולה שרשמנו הייתה 4.337) S = 1 4 F µν F µν d 4 x ומצאנו אותה אחרי חיפוש של אובייקט שהוא אינו נגזרת שלמה ושהוא אינווריאנטי תחת כיול. עבור 2+1 מימדים נרשום: 4.338) S = 1 4 F µν F µν d 3 x M 4 ε αβγ A α F βγ d 3 x A α הוא בטוח אינו אינווריאנטי תחת כיול, אבל אחרי אינטגרציה בחלקים של האיבר השני נוכל לקבל אינווריאנטיות עד כדי איברי שפה שאנחנו זורקים. האיבר השני נקרא על שם :Chern-Simons 4.339) S CS = M 4 ε αβγ A α F βγ gd 3 x נרצה להראות את האינווריאנטיות עבור מטריקה כללית g, אבל אנחנו נעבוד בקואורדינטות קרטזיות בדרך כלל. לכן, נבדוק ש 0 = CS δs כאשר :δa µ = µ Λ עמוד 74 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.340) 4.341) 4.342) 4.343) 4.344) δs CS = M ε αβγ α ΛF βγ gd 3 x 4 = M Λ α ε αβγ ) F βγ g d 3 x + 4 surface term ) = M ) e αβγ Λ α F βγ g d 3 x 4 g = M Λε αβγ α F βγ ) gd 3 x 4 = M Λε αβγ α β A γ γ A β ) gd 3 x = 0 4 האינטגרל האחרון נופל כי יש אינטגרציה על מכפלה של טנזור סימטרי בטנזור אנטי סימטרי: 4.345) ε αβγ α β A γ = ε αβγ α β A γ אם כך, קיבלנו ש S CS הוא אינווריאנטי תחת כיול. נשים לב ש S CS בכלל לא תלוי במטריקה כי g מתקזז עם ε, αβγ זאת בניגוד לפעולה שרשמנו ל למשל. לכן, פעולה זו מכונה ביטוי טופולוגי. לפעמים בספרות כותבים את הפעולה הזו בצורה: 4.346) S CS = A α F βγ dx α dx β dx γ ומגדירים: 4.347) 4.348) 4.349) 4.350) A = A α dx α F = F βγ dx β dx γ S = A F זה שימושי עבור התחום של מבודדים טופולוגיים Insulators).Topological נמצא את משוואות התנועה וריאציה כללית, לא רק כיול): עמוד 75 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 4.351) 4.352) 4.353) 4.354) 4.355) 4.356) 4.357) δs = M 4 = M 4 = M 4 = M 4 = M 4 = M 4 = M 2 ε αβγ δa α F βγ + ε αβγ ) A α δf βγ gd 3 x ε αβγ δa α F βγ + ε αβγ A α δ 2 β A γ ) ) gd 3 x ε αβγ δa α F βγ + 2ε αβγ A α β δa γ ) gd 3 x δaα ε αβγ F βγ 2δA γ ε αβγ β A α ) gd 3 x + surface δaα ε αβγ F βγ δa γ ε αβγ ) F βα gd 3 x δaα ε αβγ + δa α ε αβγ) F βγ gd 3 x δa α ε αβγ F βγ gd 3 x term ) המעבר השני הוא בגלל המכפלה של F βγ בטנזור האנטי סימטרי ε. αβγ לכן, במקרה שבו S CS היא הפעולה, משוואות התנועה הן: 4.358) ε αβγ F βγ = 0 4.359) F αβ = 0 E 1 E 2 E 1 0 B E 2 B 0 14 ב 1 2 + מימדים נרשום ואז נקבל: 4.360) 4.361) B = 0 E = 0 נוסיף אינטראקציה עם חומר, כלומר פעולה כלשהי שהיא לא השדה האלקטרומגנטי 4.362) S = S CS + S int כך שיתקיים: 4.363) δs int = J µ δa µ gd 3 x 28.11.13 14 הרצאה מס' 14 תודה להילה גלנץ ואלון נחשוני על הסיכום. עמוד 76 מתוך 145

סך הכול יחד עם הוריאציה δs CS משוואות התנועה יהיו: 4.364) M 2 εαβµ F βµ = J α כבר עכשיו רואים שמשוואות התנועה אינן דיפרנציאליות אלא אלגבריות. נעבור למערכת יחוס בה F הוא כפי שהגדרנו קודם והזרם נתון על ידי: 4.365) J µ = ρ, J 1, J 2) עבור = 0 :α 4.366) 4.367) 4.368) 4.369) 4.370) M 2 M 2 ε0βµ F βµ = J 0 ε 012 F 12 + ε 021 ) F 21 = ρ MB = ρ B = M ρ עבור :α = i 4.371) 4.372) M 2 ε i0j F 0j + ε ij0 F j0 ) = J i Mε i0j F 0j = J i עבור = 1 :i 4.373) M }{{} ε 102 F 02 = J }{{} 1 E 2 = 1 E 2 J 1 M עבור = 2 :i 4.374) M }{{} ε 201 F 01 = J }{{} 2 E 1 = M 1 E 1 J 2 סך הכול, קיבלנו: 4.375) 4.376) 0 M M 0 ) E 1 E 2 B = ρ ) M = J 1 J 2 ) עמוד 77 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד זה בדיוק אפקט הול, בהשפעת שדה מגנטי חיצוני, שדה חשמלי בכיוון x גורם לזרם בכיוון y ושדה חשמלי בכיוון y גורם לזרם בכיוון x. עד כאן עבדנו במסגרת הקלאסית, כשלוקחים בחשבון אפקטים קוונטיים אז מתקבלת הקוונטיזציה 4.377) M = n e2 h כאשר e הוא מטען האלקטרון, h קבוע פלאנק ו Z n. 4.4 אקסיונים Axions) נחזור לעולם 4 מימדי, וננסה לבנות אינטראקציה חדשה בעזרת סקאלר אינווריאנטי לורנץ ואינווריאנטי לכיול שמצאנו קודם ב 4.66 ), שניתן לכתוב אותו גם בצורה: 4.378) ε µνρσ F µν F ρσ g = 4ε µνρσ µ A ν ρ A σ g נפתח את הפעולה: 4.379) 4.380) 4.381) 4.382) 4.383) S int = ε µνρσ F µν F ρσ gd 4 x = 4 ε µνρσ µ A ν ρ A σ gd 4 x 4 = integration by parts 4 = 4 1 g µ gε µνρσ A ν ρ A σ ) gd 4 x A ν 1 g µ gε µνρσ ρ A σ ) gd 4 x A ν µ gε µνρσ ρ A σ ) d 4 x + surface term ) = מתקיים 4.384) µ gε µνρσ ) = µ g e µνρσ g ) = µ e µνρσ ) = 0 ולכן נוכל להכניס את הנגזרת לתוך הסוגריים ולקבל: 4.385) = 4 A ν µ gε µνρσ µ ρ A σ d 4 x + surface term ) = surface term ) מכאן שהפעולה הזו לא תורמת דבר למשוואות התנועה. לכן, נוסיף שדה נוסף לפעולה הזו: 4.386) S Axion = M 4 φ x) ε µνρσ F µν F ρσ gd 4 x עמוד 78 מתוך 145

כאשר x) φ הוא שדה הנקרא אקסיון.Axion) בקואורדינטות קרטזיות במרחב מינקובסקי): נמצא את משוואות התנועה הנובעות מהפעולה המלאה 4.387) S = 1 4 F µν F µν d 4 x M 4 φ x) ε µνρσ F µν F ρσ d 4 x כרגיל, נחשב את הוריאציה: 4.388) 4.389) δ A S = 1 4 = 1 4 2δF µν F µν d 4 x M φ2ε µνρσ δf µν F ρσ d 4 x 4 4 µ δa ν F µν d 4 x M φ4ε µνρσ µ δa ν F ρσ d 4 x 4 נזכר שביטאנו את הפעולה הרגילה לאינטראקציה אלקטרומגנטית עם חומר כך שהוריאציה היא מהצורה 4.390) J ν δa ν d 4 x ונניח לצורך הנוחות שהזרמים הם אפס = 0 µ J. נחלץ מהוריאציה את משוואות התנועה: 4.391) µ F µν = M µ φε µνρσ F ρσ ) משוואות התנועה לפי השדות החשמלי והמגנטי: 4.392) 4.393) E = M φ) B Ė B = M φb + M φ) E שתי המשוואות האחרות לשדות הן כמו משוואות מקסוול הרגילות ללא זרמים ואינן מושפעות מהאקסיון: 4.394) µ F µν = ε µνρσ ν F ρσ = 0 כלומר: 4.395) 4.396) B = 0 Ḃ + E = 0 קיבלנו שתי משוואות שונות מאוד ממשוואות מקסוול, דבר שישנה בצורה משמעותית את חוק גאוס. להראות משיקולים קוונטיים שאם φ הוא קבוע אז יתכנו שני המצבים הבאים: אפשר עמוד 79 מתוך 145

4.397) Mφ = 0, 2e2 h π תחת ההגדרה M 2e2 זה אומר שיש שני מצבים אפשריים: h 4.398) φ = 0, π אם נדמיין חומר שבו φ קופץ מ 0 ל π אז מתקיים 4.399) 4.400) φ = δ 2) x) n φ = 0 כאשר n הוא הנורמל למשטח המעבר wall).domain במצב כזה משוואות התנועה הן: 4.401) 4.402) E = Mδ 2) x) n B Ė B = Mδ 2) x) n E המשוואה הראשונה אומרת שיכולים להצטבר מטענים על משטח התפר כתוצאה מהשדה המגנטי, והמשוואה השנייה אומרת שהשדה המגנטי יכול לקבל תרומה מהשדה החשמלי על משטח התפר. זהו מודל טוב לחומרים שנקראים מבודדים טופולוגיים Insulators).Topological עמוד 80 מתוך 145

5.1) dq dt = 0 5 שימור אנרגיה ותנע 15 נחזור לשימור המטען שקיבלנו ממשוואת הרציפות = 0 µ, µ J כאשר J 0 = ρ היא צפיפות המטען ו J הוא שטף המטען. נעבור לשימור אנרגיה: 5.2) de dt = 0 J µ E שיקיים כדי להפוך את המשוואה למקומית, נרצה להגדיר 4 ווקטור 5.3) µ J µ E = 0 כאשר J 0 E היא צפיפות האנרגיה ו J E הוא שטף האנרגיה. מכיוון ש p,e הם רכיבים של 4 ווקטור אז נגדיר גם זרם תנע שיתן לנו 5.4) dp dt = 0, p i = J 0 i d 3 x, i = 1, 2, 3 כלומר = 0 i, µ J µ יש 3 זרמים שמורים המתאימים לתנעים הקויים. הגודל הטבעי שיתאר גם את שימור האנרגיה וגם התנע הוא טנזור התנע אנרגיה T µν עבור שדה אלקטרומגנטי. למשל, נגדיר את האנרגיה דרך אחד מרכיבי הטנזור: 5.5) E = V T 00 d 3 x ראינו ב"מכניקה אנליטית" שאנרגיה זה הגודל שנשמר כאשר חוקי הפיזיקה אינווריאנטיים תחת הזזות בזמן, ותנע הוא הגודל שנשמר כאשר יש אינווריאנטיות להזזות במרחב. לכן, נחפש T µν שיקיים = 0 µν µ T כתוצאה מאינווריאנטיות להעתקות בזמן ובמרחב: 5.6) x µ x µ = x µ + ε µ איור 5.1: העתקה במרחב זמן 08.12.13 15 הרצאה מס' 15 תודה להילה גלנץ על הסיכום. עמוד 81 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד אם חוקי הפיזיקה אינווריאנטיים תחת העתקה זו, אז 5.7) δs = 1 4 M F 2 d 4 x 1 4 M F 2 d 4 x = 0 כאשר: 5.8) 5.9) F µν = µ A ν ν A µ F µν = Ãν x µ õ x ν באופן כללי, עבור העתקה אינפיניטסימלית: 5.10) 5.11) A α x) = xα x ν Aν x) = δν α A ν x ε) = ε 1 Aα x) ε µ µ A α x) + O ε 2) לכן: 5.12) 5.13) F µν = µ A ν ν A µ ) [ µ ε µ µ A ν ν ε µ µ A µ ] + O ε 2) = F µν ε µ ν F µν נסתכל על: 5.14) 1 4 F 2 d 4 x = 1 4 F 2 d 4 x 1 4 F 2 d 4 x M M δm כאן אנחנו מקרבים את האינטגרל על F בתחום M על ידי האינטגרל על F בתחום M בתוספת האינטגרל בתחום δm הפרש שטחים 4 מימדי בעל עובי אינפיניטסמלי) אבל על F. הסיבה היא שתחום האינטגרציה קטן מאוד והוא יתן תרומה מסדר ε, ולכן F התרומה של F מסדר אפס) יספיק בשביל לקבל קירוב מסדר ראשון לביטוי כולו. נתחיל מהאיבר הראשון: 5.15) 5.16) 5.17) F 2 = F µν ε γ γ F µν ) F µν ε γ γ F µν ) = F 2 2F µν ε γ γ F µν + O ε 2) = F 2 4F µν ε γ γ µ A ν + O ε 2) האיבר השני: עמוד 82 מתוך 145

5.18) 5.19) 1 4 δm F 2 d 4 x = 1 4 gauss = 1 4 M surface M) M F 2 ε α dσ α α F 2 ε α) d 4 x סך הכול: 5.20) δs = 1 4 4F µν ε γ γ µ A ν ) d 4 x 1 4 γ ε γ F 2) d 4 x 5.21) = F µν ε γ γ µ A ν 14 εγ γ F 2 ) d 4 x = נוסיף ונחבר F, µν ε γ µ ν A γ כאשר בכל מקרה הביטוי הזה יפול בגלל צמצום של טנזור סימטרי וטנזור אנטי סימטרי: 5.22) 5.23) = = F µν ε γ γ µ A ν + [F µν ε γ µ ν A γ F µν ε γ µ ν A γ ] 14 ) εµ µ F 2 d 4 x F µν ε γ µ F γν + F µν ε γ µ ν A γ 1 ) 4 εµ µ F 2 d 4 x = בהנחה שאין חומר ומשוואות התנועה מתקיימות = 0 µν µ F אז האיבר הראשון נופל ונבצע אינטגרציה בחלקים על האיבר השני: 5.24) = ε γ µ F µν F µν 1 4 δµ γ F 2 ) d 4 x לכן, נגדיר 5.25) T µ γ F µν F γν 1 4 δµ γ F 2 אשר מקיים: 5.26) µ T µ γ = 0 נעלה אינדקס: 5.27) T αβ = F αν F β ν 1 4 ηαβ F 2 עמוד 83 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נבדוק באופן מפורש שהגודל נשמר: 5.28) α T αβ = α F }{{ αν F } ν β + F αν α Fν β 1 4 ηαβ α F 2 E.O.M מתקיים: 5.29) α F 2 = 2F βγ α F βγ בנוסף: 5.30) 5.31) 5.32) 5.33) α F βγ = α β A γ α γ A β = β α A γ + β γ A α β γ A α ) γ α A β + γ β A α γ β A α ) = β F αγ γ F αβ לכן: 5.34) 5.35) 5.36) 5.37) F βγ α F βγ = F βγ β F αγ F βγ γ F αβ = F βγ β F αγ F γβ β F αγ change symbols = F βγ β F αγ + F βγ β F αγ = 2F βγ β F αγ נציב חזרה ונקבל: 5.38) 5.39) 5.40) α T αβ = F αν α F β ν 1 4 4ηαβ F µγ µ F αγ = F αν α Fν β η αβ F αν α F αν change symbols = F αν α F β ν F αν α F β ν = 0 ה T αβ שמצאנו אינו היחיד: ניתן להכפיל אותו בקבוע. אם קיים טנזור f αβγ שמקיים f αβγ = f βαγ אז 5.41) T µν = T µν + α f αµν גם יקיים = 0 µν. µ T עמוד 84 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נסתכל על T αβ עבור צופה אינרציאלי. מתקיים: 5.42) F αµ F β µ = E 2 B E B E E i E j B i B j + B 2 δ ij ) הביטוי סימטרי באינדקסים: 5.43) F αµ F β µ = F α µ F βµ = F βµ F α µ ראינו שמתקיים 5.44) 1 4 F 2 = 1 2 E 2 B 2) ולכן ניתן לרשום: 5.45) T µν = 1 2 E 2 + 1 2 B 2 E B E B 1 2 E 2 + B 2) δ ij E i E j B i B j ) ולכן האנרגיה היא: 5.46) E = T 00 dv = 1 E 2 + B 2) dv 2 התנע: 5.47) P = T i0 dv = E BdV קיבלנו את הביטויים המוכרים לנו אך חסר פקטור 4π. נזכר כי הפקטור הזה היה חסר לנו עוד במשוואות מקסוול ללא חומר וזה פשוט עניין של הגדרה. נשים לב שהטנזור תנע אנרגיה סימטרי: 5.48) T αβ = T βα העובדה הזאת מאפשרת לנו לבנות גודל שמור נוסף: 5.49) J µνρ = ε µνβσ x β T ρ σ נבדוק: עמוד 85 מתוך 145

5.50) ρ J µνρ = ε µνβσ ρ x β T ρ σ + ε µνβσ x β ρ T ρ σ = חישוב עזר: 5.51) ρ x β = x β x ρ = η βµx µ ) x ρ = η βµ x µ x ρ = η βρ נחזור לחישוב: 5.52) = ε µνβσ T βσ = 0 הביטוי האחרון מתאפס בגלל צמצום של טנזור סימטרי ואנטי סימטרי. מכאן שהגדלים הבאים נשמרים 6 סך הכול כי הטנזור אנטי סימטרי): 5.53) M µν = J µν0 dv למשל: 5.54) 5.55) M 0i = = J 0i0 dv = ε 0iβσ x β TσdV 0 ε 0ijk x j Tk 0 dv = x p) i dv 16 זהו בדיוק התנע הזוויתי. היינו יכולים לקבל את אותו גודל שמור גם אם היינו מתחילים מאינווריאנטיות לסיבובים. אפשר להסתכל גם על הגדלים הנשמרים M ij כתוצאה מאינווריאנטיות לבוסטים בתרגול). שימור תנע אנרגיה קיבלנו מתוך 5.56) µ T µν = 0 אבל עבור מטריקה כללית היינו מקבלים: 5.57) 1 g µ gt µ ν ) 1 2 νg ρµ ) T ρµ = 0 זוהי אחת הצורות של הדיברגנס הקווריאנטי לטנזור סימטרי מסדר שני. את הטנזור T µν אפשר להגדיר גם על ידי וריאציה של הפעולה לפי המטריקה: 11.12.13 16 הרצאה מס' 16 תודה לאלון נחשוני על הסיכום. עמוד 86 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 5.58) 5.59) δ g S = S [g µν + δg µν ] S [g µν ] + O δg 2) 1 gδgµνt µν d 4 x 2 נרצה להראות שהטנזור המוגדר בצורה הזו נשמר כתוצאה מאינווריאנטיות להעתקות: 5.60) x µ x µ = x µ + εξ µ x α ) תחת הטרנספורמציה הזו: 5.61) g µν x) = xα x µ x β x ν g αβ x) = נפתח לסדר ראשון ב ε : 5.62) 5.63) x α x µ = x µ xα εξ α x)) = δµ α ε µ ξ α נציב: 5.64) 5.65) 5.66) = δµ α ε µ ξ α) δν β ε ν ξ β) g αβ x εξ) + O ε 2) = g µν x εξ) ε [ g αβ x) µ ξ α δν β + g αβ x) ν ξ β δµ α ] + O ε 2 ) = g µν x) ε [ ξ γ γ g µν + g αν µ ξ α + g µβ ν ξ β] + O ε 2) לכן: 5.67) δg µν = ε [ ξ γ γ g µν + g αν µ ξ α + g µβ ν ξ β] נציב חזרה לוריאציה: 5.68) δ g S = ε 2 g [ξ γ γ g µνt µν + 2g αν µ ξ α T µν ] d 4 x 5.69) gξ α Q α d 4 x האינווריאנטיות של S תחת טרנספורמציית קואורדינטות גוררת: 5.70) Q α = 0 עמוד 87 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד בשביל לקבל את הצורה הזו נבצע אינטגרציה בחלקים: 5.71) 5.72) [ δ g S = ε ξ α µ ggαν T µν 1 2 ξγ γ g µν T µν ] g d 4 x + surface term ) = ε ξ α [ ] 1 ) g µ gt µ 1 g α 2 αg µν T µν d 4 x + surface term ) ולכן: 5.73) 1 ) µ gt µ 1 g α 2 αg µν ) T µν = 0 זה בדיוק הביטוי לדיברגנס של T µν עבור מטריקה כללית. בפרט, עבור מטריקת מינקובסקי g = η נקבל: 5.74) µ T µν = 0 T. µν הטנזור הזה אינו בהכרח שווה לטנזור השיטה הקודמת לחשב את T µν נותנת טנזור תנע אנרגיה קנוני can המחושב על ידי הוריאציה לפי המטריקה, אך אפשר להראות שיש קשר ביניהם. 17 נחשב את T µν עבור השדה האלקטרומגנטי על ידי וריאציה של המטריקה: 5.75) 5.76) 5.77) 5.78) 5.79) S = 1 F µν F µν gd 4 x 4 δ g S = 1 δ g Fµν F µν g ) d 4 x 4 δ g Fµν F µν g ) = δ g Fµν g µα g νβ ) F αβ g = F µν δ g µαg νβ F αβ g + Fµν g µα δ g νβ F αβ g + F 2 δ g g = 2F µν δ g µαg νβ F αβ g + F 2 δg 2 g = כדי לחשב את δg השינוי בדטרמיננטה של g נשתמש בתכונה g i g = tr g 1 i g ) תרגיל בית): 5.80) 5.81) 5.82) δg = g + δg g + O δg 2) = tr g 1 δg ) g = g αβ δg αβ g נחזור לחישוב: 5.83) = 2F µν δ g µαg νβ F αβ g + F 2 g 2 g gαβ δg αβ = 15.12.13 17 הרצאה מס' 17 תודה להילה גלנץ ואלון נחשוני על הסיכום. עמוד 88 מתוך 145

נרצה לפשט את האיבר הראשון. נוריד את האינדקסים של :δg µα 5.84) 5.85) 5.86) δg µα g ασ = δ g µα g ασ ) g µα δg ασ = δ δ µ σ) g µα δg ασ = g µα δg ασ נשתמש בתוצאה זו: 5.87) δg µα F αβ = δg µα g ασ F σ β = g µα δg ασ F σ β נקבל סך הכול: 5.88) = 2F µν F σ β g µα δg ασ ) g νβ g + 1 2 F 2 gg αβ δg αβ כעת, הוריאציה היא: 5.89) 5.90) δs = 1 [ 2F αβ F σ 1 β δg ασ g + 4 = 1 [F αβ F σβ 14 ] 2 F 2 g ασ δg αβ gd 4 x 2 F 2 gg αβ δg αβ ] d 4 x מכאן, שוב קיבלנו: 5.91) T ασ = F αβ F σ β 1 4 F 2 g ασ 5.0.1 טנזור תנע אנרגיה בנוכחות חומר איתו: עד עכשיו דיברנו על שדה אלקטרומגנטי ללא מקורות. בנוכחות חומר, נוסיף לפעולה את החומר והאינטראקציה 5.92) S = S EM + S int + S other בהתאמה, נקבל מכל אחד מהאיברים תרומה לטנזור תנע אנרגיה הכללי: 5.93) T µν = T µν EM + T µν int + T µν other נשים לב שאיברים טופולוגיים כמו איבר Chern-Simons לא יתרמו לטנזור תנע אנרגיה. מובטח לנו שמתקיים = 0 µν, µ T כלומר: עמוד 89 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 5.94) µ T µν EM = µ T µν int + T µν other ) 0 נמצא את µ T µν באופן מפורש נפתור במרחב מינקובסקי, אבל זה לא משנה): EM 5.95) 5.96) µ T µν EM = µ F αβ F να 14 ) ηµν F 2 = µ F µα F ν α + F µα µ F ν 1 α 4 ηµν µ F 2 האיבר השני והשלישי מתאפסים מתוך ההגדרה של F µν = µ A ν ν A µ כטנזור אנטי סימטרי, ומכך שכל ביטוי מכיל צמצום של טנזור סימטרי עם טנזור אנטי סימטרי. קיבלנו: 5.97) µ T µν EM = J α F ν α = J α Fα ν כדי לפרש את התוצאה, נעבור למערכת יחוס של צופה אינרציאלי. עבור = 0 ν: 5.98) 5.99) t [ 1 2 t TEM 00 + i TEM i0 = J i F i0 E 2 + B 2)] + E B) = J E קיבלנו את משפט פוינטינג לשימור אנרגיה. נבדוק שהשוויון מתקיים מפורשות בעזרת משוואות מקסוול, נפתח את אגף שמאל: 5.100) LHS = E Ė + B Ḃ + E B) maxwell 5.101) 5.102) = E B J) + B E) + E B) vector identities = E J קיבלנו את אגף ימין כצפוי. עבור רכיב ν: = i 5.103) 5.104) t T 0i + j T ji = J 0 F 0i + J j F ji [ t E B) i 1 + j E 2 + B 2) ] δ ij E i E j B i B j = E i ρ + J B) i) 2 נעשה אינטגרל על שני האגפים ונקבל: 5.105) p i t + J p da = ) force the matter applies on the eld = force the eld applies on the matter ) עמוד 90 מתוך 145

כלומר, הגודל שאנחנו מכנים ווקטור פוינטינג 5.106) T i0 = T 0i = E B הוא גם שטף האנרגיה, וגם צפיפות התנע. עמוד 91 מתוך 145

6 פתרונות של משוואות מקסוול 6.1 אלקטרוסטטיקה במקרה זה = 0 Ḃ ומתקיים: 6.1) E = ρ, E = 0 סימנו את השדה דרך הפוטנציאל ה 4 ווקטורי: 6.2) E i = 0 A i i A 0 ) כאשר A 0 = φ נקבל: 6.3) E = φ שדה זה אכן פותר את = 0 E, ולכן נשאר עם משוואת פואסון: 6.4) 2 φ = ρ כאשר = 0 ρ מקבלים את משוואת לפלס: 6.5) 2 φ = 0 הפונקציות שפותרות את משוואת לפלס נקראות פונקציות הרמוניות. משפט 6.1 אם φ הרמונית אז x) φ שווה לערך הממוצע על φ על גבי ספירה מסביב ל x. מסקנה מכך היא שעבור תחום סופי ו φ לא אחיד, הערכים המקסימאליים והמינימאליים של φ מתקבלים על גבי השפה. נחזור למשוואת פואסון, אם נמצא פתרון למשוואה 6.6) 2 G x, y) = δ 3) x y) אז φ יקיים 6.7) φ = G x, y) ρ y) d 3 y + φ 0 x) כאשר φ 0 הוא פתרון כלשהו של משוואת לפלס. נראה שהביטוי אכן מקיים את המשוואה: עמוד 92 מתוך 145

6.8) 6.9) 2 xφ = = 2 xg x, y) ρ y) d 3 y + 2 xφ 0 x) δ 3) x y) ρ y) d 3 y = ρ x).g = 2) 1 הערה 6.2 לעיתים מסמנים נחשב את y G,,x) מכיוון שהלפלסיאן אינווריאנטי להעתקות, נקבל שעבור 6.10) 2 x G x) = δ 3) x) מתקיים: 6.11) G x, y) = G x y) נראה זאת מפורשות. נסתכל על הטרנספורמציה: 6.12) 6.13) x x = x + a y ỹ = y + a לכן 6.14) G x, ỹ) = G x + a, y + a) כאשר G מקיים: 6.15) 2 x a G x, ỹ) = δ 3) x y) נבחר :a = y 6.16) 2 x y G x y, 0) = δ 3) x y) 2 x G x) = δ 3) x) נמצא את G באופן מפורש, נחפש פתרון כך ש r ) G. = G נגדיר 6.17) Q = G עמוד 93 מתוך 145

כך שמתקיים: 6.18) 2 G = Q = δ 3) x) נבצע לשני האגפים אינטגרל על כדור ברדיוס R: 6.19) r R Qd 3 r = 1 בעזרת חוק גאוס: 6.20) r=r Q da = 1 מאחר שבחרנו G התלוי ב r בלבד, מתקיים: 6.21) Q = G r r לכן: 6.22) r=r Q da = 1 G r 4πR 2 = 1 G r) = 1 r=r 4πr ניתן להכליל את התוצאה ל d מימדים: 6.23) 2 G x, y) = δ d) x y), 2 = d i 2 i=1 נחפש פתרון מהצורה 6.24) G = G r), r 2 = d x 2 i i=1 ונגדיר: 6.25) Q = G = G r r עמוד 94 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נקבל: 6.26) Q = δ d) r R Qd d r = 1 נשתמש בחוק גאוס d מימדי: 6.27) r=r G r da = G r r=r r=r da = 1 מתקיים: 6.28) da = r=r surface area of a d dimensional sphere ) = ωd R d 1 ולכן הפתרון הוא: 6.29) G r = 1 1 ω d R d 1 G r) = ω d d 2) r d 2 יש לשים לב שבמקרה הדו מימדי = 2 d האינטגרציה תיתן לוגריתם ולא את הפתרון שמצאנו. 18 עתה נוכיח את המשפט שהערך של φ בנקודה x, שווה לממוצע של φ על כדור ברדיוס R סביב x. נסתכל על 6.30) 6.31) 6.32) 2 G r) φ x)) = i i Gφ) = i i G φ + G i φ ) = }{{ 2 G } φ + 2 G φ + 2 φ G δx) }{{} φ harmonic נעשה אינטגרל על כדור ברדיוס R על שני האגפים. נתחיל מהאיברים של אגף ימין: 6.33) x R 2 G φd 3 x = φ 0) בנוסף כאשר 6.34) 6.35) G = G r) G = G r) r נחשב: 18.12.13 18 הרצאה מס' 18 עמוד 95 מתוך 145

6.36) G φd 3 x = G r) r φr 2 drdω 6.37) x R = x R G r) r 2 φ rdω) dr 6.38) = x R Ω G r) r 2 φ rdω) dr 6.39) = r R r R sphere radius r G r) r 2 E da dr = 0 sphere radius r הביטוי נופל כי עושים אינטגרציה על שטח פנים של כדור ברדיוס r שאין בו מקורות, ניתן לראות זאת גם בצורה: 6.40) sphere radius r φ rdω = 2 φd 3 x = 0 אגף שמאל: 6.41) 6.42) 6.43) 6.44) 6.45) r R 2 Gφ) d 3 x = = = r=r r=r r=r = G R) = r=r Gφ) da G φ + G φ) da G r) φr da + r=r φda 4πR 2 r=r G r) φ da φr da + G R) φ da r=r } {{} 2 φ=0 זה בדיוק הממוצע של φ על שטח הפנים. מהשוואה בין האגפים נסיים את ההוכחה. 6.46) φ 0) = φda r=r 4πR 2 ניתן להכליל תוצאה זו עבור פונקציית גרין מכל מימד. עמוד 96 מתוך 145

6.1.1 דוגמא לשימוש בטרנספורמציית לורנץ נניח שחלקיק טעון זז במהירות קבועה v, מהם השדות,E B במרחב? נניח ש S היא מערכת המעבדה ו S היא המערכת שנעה עם החלקיק. בצורה הזו נוכל לעבור למערכת הפשוטה היותר, לפתור שם ואז לחזור חזרה למערכת המעבדה. במערכת S אנחנו יודעים שמתקיים: 6.47) 6.48) B = 0 E = q qx r = r2 x 3 טרנספורמציית לורנץ: 6.49) Fµν x) = Λ α µλ β νf αβ x) כאשר: 6.50) 6.51) Λ α ν = t x y = z γ βγ βγ γ 1 γ t β x ) γ x β t ) ỹ z 1 בכתיב מטריצי: 6.52) Fµν = Λ T F Λ ) = µν 0 E 1 x) E 2 x) γ E 3 x) 0 E 2 x) βγ E 3 x) 0 0 0 מתקיים: 6.53) 6.54) r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = γ 2 x β t ) 2 + ỹ 2 + z 2 נחשב ב 0 = t ונוכל להוסיף אותו חזרה על ידי x : x β t 6.55) 6.56) 6.57) r 2 = γ 2 r 2 + 1 γ 2) ỹ 2 + z 2) = γ 2 r 1 + β 2 2 + 1 β 2 1 ) 1 β 2 r 2 = γ 2 r 2 β 2 γ 2 r 2 עמוד 97 מתוך 145

נקבל: 6.58) 6.59) 6.60) 6.61) 6.62) 6.63) Ẽ 1 x) = E 1 x) = qx r 3 = qγ x r r)) 3 Ẽ 2 x) = γe 2 x) = γqy r 3 = qγỹ r r)) 3 Ẽ 3 x) = qγ z r r)) 3 B 1 x) = 0 B 2 x) = βγ z r r)) 3 B 3 x) = βγỹ r r)) 3 קיבלנו שבמערכת המעבדה פשוט יש לנו את אותם השדות הרדיאליים כמו במערכת המנוחה של החלקיק, אבל מוכפלים בפקטורי γ. היינו מצפים לכך שהשדה יהיה אחר ויגיע אלינו בפיגור למשל בגלל תנועת החלקיק, אבל תוצאה זו היא נכונה כי אנחנו מדברים על חלקיק שמגיע מהאינסוף ותמיד זז באותה מהירות קבועה. זה נובע מכך שאין הבדל בין גוף במנוחה או גוף שנע במהירות קבועה. 6.2 מגנטוסטטיקה במקרה זה = 0 Ė, ונפתור את המשוואות: 6.64) 6.65) B = 0 B = J מתוך F µν = µ A ν ν A µ מקבלים את הפתרון למשוואה הראשונה: 6.66) E = φ Ȧ B = A 6.67) לכן עלינו לפתור רק את: 6.68) B = J נציב :B = A 6.69) 6.70) 6.71) 6.72) 6.73) A) = ε ijk j ε lm k k A m ) = ε ijk ε lm k j l A m = δ il δ jm δ im δ jl) j l A m = j i A j j j A i = A) 2 A = J עמוד 98 מתוך 145

בלי האיבר A ) אנחנו יודעים לפתור, לכן נבחר כיול שבו = 0 A. אנחנו חייבים להראות שכיול כזה 6.74) A = ρ אכן קיים. נניח ש נבצע טרנספורמציית כיול: 6.75) Ã = A + Λ אז Ã מקיים: 6.76) 0 = Ã = A + 2 Λ = ρ + 2 Λ לכן, אם קיים פתרון ל ρ 2 Λ = אז קיים כיול שבו = 0 Ã. 19 לאחר כיול, המשוואה שקיבלנו היא: 6.77) 2 A = J הפתרון שלה הוא: 6.78) A x) = J y) 4π x y d3 y כדי לחשב את B באופן מפורש נחשב את : x A 6.79) B = 1 4π x J y) x y d3 y נקבל: 6.80) 6.81) 6.82) 6.83) 6.84) B i = 1 4π = 1 4π B = 1 4π = 1 4π = 1 4π ε ijk j J k y) x y d3 y J k y) ε ijk 1 j x y d3 y 1 ) J k y) d 3 y x y ) x y) x y 3 J k y) d 3 y x y) J k y) x y 3 d3 y קיבלנו את חוק ביו סבר. 22.12.13 19 הרצאה מס' 19 עמוד 99 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד דוגמא גיאומטרית: בהנתן שתי לולאות מוליכות, נשאל עד כמה הן מלופפות אחת סביב השנייה: איור 6.1: לולאות מלופפות זו סביב זו נזרים זרם יחידה דרך לולאה 1 ואז לפי חוק אמפר נקבל: 6.85) γ 2 B 1 dx 2 = n כאשר n הוא מספר הפעמים שבו הלולאה השנייה חותכת את הלולאה הראשונה היחידות כאן הן cgs והזנחת קבועים כמו 4π). זרם של יחידה דרך לולאה 1: 6.86) J y) = δ 3) y X λ)) x λ) dλ לפי חוק ביו סבר, השדה המגנטי: 6.87) 6.88) 6.89) 6.90) B x) = δ3) y X λ)) x λ) x y) x y 3 d 3 ydλ x λ) x X λ)) = x X λ) 3 dλ x X λ)) x λ) = x X λ) 3 dλ x y) dy = x y 3 γ 1 ולכן: 6.91) γ 2 γ 1 x 2 x 1 ) dx 1 x 2 x 1 3 dx 2 = n נרצה לראות שהביטוי באמת סימטרי ב x. 1, x 2 נשתמש ב עמוד 100 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.92) 6.93) 6.94) a b c) = a i ε ijk b j c k = ε kij c k a i b j = c a b) ולכן: 6.95) γ 2 γ 1 x 2 x 1 ) x 2 x 1 3 dx 2 dx 1 ) = n 6.3 גלים אלקטרומגנטיים נעבור למשוואות מקסוול התלויות בזמן: 6.96) 6.97) 6.98) 6.99) E = ρ B = 0 Ḃ + E = 0 Ė + B = J נגזור בזמן את שתי המשוואות התחתונות: B + Ė = 0 6.100) Ë + Ḃ = J 6.101) נשתמש שוב בשתי המשוואות התחתונות כדי להפטר מהנגזרות הראשונות: 6.102) 6.103) B + J + B) = 0 Ë + E) = J נכתוב אחרת: 6.104) 6.105) B + B = J Ë E = J נשתמש בזהות הווקטורית שראינו עמוד 101 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.106) A) = A) 2 A ונקבל: 6.107) 6.108) B + B) 2 B ) = J Ë + E) 2 E ) = J נציב את משוואות מקסוול הראשונות ונקבל: 6.109) 6.110) B 2 B = J Ë 2 E = J ρ קיבלנו 6 משוואות לא מצומדות, ולכן אם נדע לפתור את המשוואה הסקאלרית 6.111) φ φ = ψ אז נוכל לפתור את המשוואות הווקטוריות בקלות. נהוג להגדיר את הדלמברטיאן: 6.112) 2 t 2 2 המשוואה = 0 φ נקראית משוואת הגלים כאשר אין מקורות). עבור φ מרוכב ניתן למצוא פתרון מהצורה 6.113) φ = Re φ 0 e ikx) כאשר: 6.114) 6.115) 6.116) kx = k µ x µ x µ = t, x) k µ = ω, k) ולכן: 6.117) kx = ωt + k x נקבל ש עמוד 102 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.118) φ = ω 2 + k 2) φ 0 e ikx = 0 הוא פתרון אם מתקיים יחס הנפיצה: 6.119) k 2 = ω 2 k µ k µ = 0 או במילים אחרות, כאשר ה 4 ווקטור k µ דמוי אור. ניתן לקחת קומבינציה ליניארית של פתרונות: 6.120) φ x) = d3 k φ k) e i k t+ik x 2π) 3 נדרוש שהאינטגרל יהיה ממשי: 6.121) 6.122) 6.123) φ x) = φ x) φ k) e i k t+ik x d3 k 2π) 3 = φ k) e +i k t ik x d3 k 2π) 3 = φ k) e i k t ik x d3 k 2π) 3 כדי לקבל אילוץ על k) φ, נוסיף פונקציית דלתא ונבצע אינטגרציה גם על ω: 6.124) δ k 2) = δ ω 2 k 2) δ ω k) δ ω + k) = + 2ω 2ω נקבל: 6.125) φ x) = φ ω, k) e ikx δ k 2) d 4 k 2π) 4 התנאי לכך ש x ) φ תהיה ממשית הוא עתה: 6.126) φ ω, k) = φ ω, k) 6.3.1 משוואת הגלים החד מימדית עבור משוואת הגלים במימד מרחבי אחד ניתן למצוא פתרון מפורש: 6.127) ) 2 t 2 2 x 2 φ = 0 עמוד 103 מתוך 145

נעבור למערכת קואורדינטות: 6.128) 6.129) u = x t v = x + t ואז ניתן לרשום: 6.130) 6.131) 6.132) 6.133) t = u t u + v t = u + v x = u + v u 2 t 2 2 x 2 = 4 v v משוואת הגלים במערכת,u v היא: 6.134) v u φ = 0 הפתרון הכללי ביותר הוא: 6.135) 6.136) φ = f u) + g v) = f x t) + g x + t) כלומר חלק מתקדם וחלק נסוג. בהנתן תנאי התחלה 6.137) 6.138) φ 0 x) = φ x, t = 0) φ 0 x) = t φ t=0 נמצא איך f, g תלויים ב :φ 0, φ 0 6.139) 6.140) 6.141) φ 0 x) = f x) + g x) φ 0 x) = t φ x, t) t=0 = t f x t) + t g x + t) t=0 = f x) + g x) נפתור עבור g, נציב את המשוואה הראשונה בשנייה: עמוד 104 מתוך 145

6.142) 6.143) g φ 0 g ) = φ 0 2g = φ 0 + φ 0 באותה צורה עבור f נקבל: 6.144) 2f = φ 0 + φ 0 ומכאן: 6.145) 6.146) g x + t) = 1 2 x+t f x t) = 1 2 x t φ 0 dy + 1 2 φ 0 x + t) + C φ 0 dy + 1 2 φ 0 x t) C נבחן איך הפתרון תלוי בתנאי התחלה פשוטים: 1. ניקח = 0 φ0 ואז האינטגרל על המהירות ההתחלתית נעלם ומקבלים: 6.147) 6.148) g x + t) = 1 2 φ 0 x + t) + C f x t) = 1 2 φ 0 x t) C כלומר, שתי רכיבים המתקדמים בכיוונים הפוכים: איור 6.2: גל מתקדם ונסוג 6.149) φ x, t) = 1 2 6.150) φ 0, t) = 1 2 t x+t φ 0 dy 1 2 φ 0 dy 1 2 t x t φ 0 dy φ 0 dy = 1 2 t t φ 0 dy.2 ניקח = 0 0 :φ נסתכל על t) :φ x = 0, כלומר, אם φ 0 היא איזשהי פונקציה חיובית אז הערך של φ ב 0 = x גודל עם הזמן, ככל שהאינטגרל כולא יותר מהמרחב. עמוד 105 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.3.2 גלים בטרנספורמציית לורנץ 20 הפתרון הזה מקיים את משוואות התנועה עבור: 6.151) ds 2 = dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 עבור מטריקה כללית נשתמש בדלמברטיאן היחסותי הכללי זהה לחלוטין ללפלסיאן הכללי שהגדרנו, פשוט מכנים אותו אחרת כאשר לוקחים בחשבון גם את קואורדינטת הזמן): 6.152) = 1 g µ gg µν ν למשל, עבור קואורדינטות גליליות: 6.153) ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2 = 2 t + 1 r rr r + 1 r 2 2 θ + 2 z במערכת הקואורדינטות החדשה הפתרון x) φ קשור ל x ) φ על ידי: 6.154) 6.155) φ x) = φ x) φ t, r, θ, z) = Re { iωt+ikxr cos θ+ikyr sin φ 0 e θ+ikzz} נסתכל על הפתרון במערכת S שקשורה ל S על ידי טרנספורמציית לורנץ. המשוואה האחרונה אומרת לנו בעצם שצריך להתקיים: 6.156) φ x) = Re { φ0 e ikx} הטרנספורמציה: 6.157) x µ = Λ µ νx ν 6.158) 6.159) x ν = x α Λα ν γ Λµ ν = γβ γβ γ 1 1 נקבל: 25.12.13 20 הרצאה מס' 20 עמוד 106 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.160) 6.161) 6.162) 6.163) φ x) = Re {φ } 0 e ikνxν } = Re {φ 0 e ikν xα Λ ν α = Re {φ 0 e iλ ν α kν xα} = Re {φ 0 e i k α x α} k הוא איזשהו ווקטור קבוע, לכן נסובב את מערכת הצירים כך ש kẑ k = וטרנספורמציית לורנץ שהגדרנו היא בכיוון x. לכן: 6.164) 6.165) k µ = ω 1, 0, 0, 1) k µ = γω, γβω, 0, ω) כדי לקיים את משוואת הגלים ראינו שחייב להתקיים k ω = ולכן רשמנו ω ברכיב z. מובטח לנו שיתקיים = 0 2 k במערכת S שכן k 2 הוא גודל אינווריאנטי ואם הוא מתאפס במערכת צירים אחת הוא חייב להתאפס בכל מערכת צירים. עתה נעשה טרנספורמציית לורנץ ל k µ בכיוון ẑ: 6.166) Λ ν µ = γ γβ 1 1 γβ γ נקבל: 6.167) 6.168) 6.169) k µ = γω + γβω, 0, 0, γβω + γω) 1 + β = ω, 0, 0, ω) 1 β 2 1 + β = ω, 0, 0, ω) 1 β קיבלנו את אפקט דופלר היחסותי, תדירות הגל משתנה כתלות במערכת הצירים. נשים לב שגם כשטרנספומציית לורנץ הייתה בכיוון x ניצבת לכיוון התקדמות הגל) אז תדירות הגל הפכה ל γω שגם זה תיקון יחסותי לתדירות, אבל התיקון הוא מסדר גודל של β 2 ולכן הרבה יותר קטן במהירויות נמוכות. 6.3.3 גלים מישוריים נחזור למשוואות: 6.170) 6.171) E = 0 B = 0 עמוד 107 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד באופן כללי לא קיים פתרון סגור ביותר מימד אחד, אבל אפשר לכתוב פתרון מהצורה 6.172) 6.173) E = E 0 e ikx B = B 0 e ikx כאשר: 6.174) kx = k µ x µ, k 2 = k µ k µ = 0 הפתרון הכללי לבעיה כלשהי יהיה מורכב מקומבינציה ליניארית של הפתרונות הללו עבור k שונים. כאשר אין מקורות נדרוש = 0 B E = ונקבל: 6.175) 6.176) k E 0 e ikx = 0 k B 0 e ikx = 0 כלומר, ווקטור הגל k מאונך לכיוון השדות. בנוסף נדרוש: 6.177) Ė + B = 0 iωe 0 e ikx + ik B 0 e ikx = 0 6.178) נכפיל סקאלרית ב B 0 ונקבל: 6.179) iωe 0 B 0 = 0 כלומר, גם השדות עצמם ניצבים זה לזה. מצאנו סך הכול: 6.180) k E 0 = k B 0 = E 0 B 0 = 0 נמצא פוטנציאל שיתן לנו את הקשרים האלה. נבחר: 6.181) A 0 = 0, A = ae ikx נקבל 6.182) 6.183) B 0 = ik A, = A) ) E 0 = iωa, = Ȧ עמוד 108 מתוך 145

כאשר: 6.184) k a = 0 נבחר: 6.185) 6.186) k = kẑ a = a 1, a 2, 0) איור 6.3: ווקטור הגל והשדות ניצבים זה לזה השדות יושבים על מישור xy ולכן גלים כאלה נקראים גלים מישוריים. בגלל כל הקשרים שמצאנו נוכל להתייחס רק לשדה החשמלי E ולהסיק ממנו את B. הפתרון לרכיבי השדה החשמלי במישור :xy 6.187) 6.188) 6.189) 6.190) E = Re E 0 e ikx) ) E 1 e ikx = Re E 2 e ikx ) E 1 e iθ e ikx = Re E 2 e iϕ e ikx ) E 1 cos kx + θ) = E 2 cos kx + ϕ) אנחנו לא חייבים להתייחס לפאזה של שני הרכיבים בנפרד, אלא רק להפרש הפאזה בין הרכיבים. הקונבנציה היא שנעלים את הפאזה היחסית ברכיב x של השדה. ניתן להגדיר 6.191) t = t θ ω ואז: 6.192) ωt = ω t θ ω t = ωt + θ עמוד 109 מתוך 145

בכך אנחנו מעלימים את θ. נגדיר: 6.193) ε = E 0 E 0 eiθ ל E 0 יש 4 רכיבים ממשיים 2 מרוכבים) ולכן ל ε יהיו רק 2 רכיבים ממשיים האמפליטודה שלו היא 1). באופן כללי נוכל לרשום: 6.194) ε = cos ψ, e iϕ sin ψ ) ולכן: 6.195) 6.196) E = Re E 0 εe ikx) = E 0 Re εe ikx) 21 כדי לאפיין את השדה מספיק להסתכל על: 6.197) 6.198) ε = Re εe ikx) = ) cos ψ sin ψe iϕ cos ψ cos kx) sin ψ cos kx + ϕ) ) נבחן כמה מקרי קצה: 6.199) Re εe ikx) = cos ψ cos kz ωt) sin ψ cos kz ωt) ).1 כאשר = 0 :ϕ איור 6.4: רכיבי השדה כאשר = 0 ϕ 29.12.13 21 הרצאה מס' 21 עמוד 110 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נסתכל על ההיטל במישור,x: y איור 6.5: היטל השדה על מישור,x y בקיטוב ליניארי אם ההיטל על קו במישור,x y אז הגל נקרא מקוטב ליניארית. 2. אם ϕ = π נקבל שוב גל מקוטב ליניארית. 1 2 cos kz ωt) ) :ψ = אז עבור π 4 ϕ = π 2 3. אם 6.200) Re εe ikx) = 1 2 sin kz ωt) ההיטל במישור,x: y איור 6.6: היטל השדה על מישור,x y בקיטוב מעגלי ההיטל מסתובב ולכן הגל נקרא מקוטב מעגלית. 4. במקרה הכללי מקבלים היטל הנע על אליפסה: איור 6.7: היטל השדה על מישור,x y בקיטוב אליפטי הגל נקרא מקוטב אליפטית. ε נקרא ווקטור Jones והוא זה שמתאר את הקיטוב. ניתן להגדיר בסיסים שונים: 6.201) ε h = 1 0 ), ε v = 0 1 ) 1. הבסיס לקיטוב הליניארי: עמוד 111 מתוך 145

6.202) ε R = 1 2 1 i ), ε L = 1 2 1 i ) 2. הבסיס לקיטוב מעגלי: נניח שנתון שלאחר מעבר בחומר הקיטוב הוא ליניארי. אפשר לייצג את הפעולה הזאת על ידי הפעלה של מטריצה על ווקטור הקיטוב. למשל, המטריצה שגורמת לקיטוב ליניארי בכיוון x: 6.203) 0 1 0 0 ) = Linear polarization in the x direction אפשר גם לרשום מטריצות שהופכות גל למקוטב מעגלית תרגיל בית). דרך אחרת לאפיין את ε: 6.204) 6.205) ) ) x + iŷ x iŷ ε = cos χ + sin χe iψ 2 2 = cos χẑ + + sin χe iψ ẑ אנחנו עדיין מייצגים את ε על ידי שני פרמטרים, פשוט עובדים בבסיס מרוכב. נקבל: 6.206) Re εe ikx) = 1 2 cos χ cos kx) + sin χ cos kx + ψ) cos χ sin kx) + sin χ sin kx + ψ) ) 6.207) Re εe ikx) = 1 2 cos kx) sin kx) ) עתה נסתכל על המקרים השונים: 1. עבור = 0 χ נקבל קיטוב מעגלי: 6.208) Re εe ikx) = 1 2 cos kx) sin kx) χ = π 2 נקבל גם קיטוב מעגלי: ) 2. עבור χ = π 4 נקבל קיטוב ליניארי. 3. עבור ניתן לחשוב על,χ ψ כנקודות על ספירה: איור 6.8: הגדרת,χ ψ כזוויות המרכיבות ספירה עמוד 112 מתוך 145

כאשר χ =,0 π 2 מקבלים את שני הקטבים שמתארים את הקיטובים המעגליים האפשריים ψ היא זווית מנוונת). χ = π 4 נמצאים על קו המשווה המתאר משפחה שלמה של קיטובים ליניאריים באמצעות הזווית ψ. כל כאשר זוויות הביניים הן קיטובים אליפטיים. בהצגה הזו אפשר להגיד עד כמה גל מסויים קרוב לקיטוב מעגלי או קיטוב ליניארי. ניתן לקחת קומבינציות ליניאריות של פתרונות מהצורה 6.209) E = E 0 e ikx אם יש מקור שיוצר גלים אלקטרומגנטיים עם ווקטור גל k אז נקבל שהפתרון הכללי ביותר הוא מהצורה ) Ei 6.210) E = e ikx גם אם i E שווים עדיין הפאזות יכולות להיות שונות. אם אין התאמה בין הפאזות נקבל שהפאזה של השדה האלקטרומגנטי בנקודה z) t, והנקודה δz) t, z + לא מתואמות. איור 6.9: שדה של גל לא מקוטב פתרון כזה נקרא גל לא מקוטב. אפשר לתאר גל מקוטב חלקית כקומבינציה של גל מקוטב וגל לא מקוטב. מגדירים את מידת הקיטוב < 1 p < 0 כאשר = 1 p הוא גל מקוטב ו 0 = p הוא גל לא מקוטב. 6.4 גלים אלקטרומגנטיים בחומרים דיאלקטריים קל להכליל עבור חומרים דיאלקטריים: 6.211) 6.212) 6.213) 6.214) Ė + B = 0 Ḣ D = 0 D = 0 B = 0 וגם 6.215) 6.216) D = εe B = µh עמוד 113 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד כאשר,ε µ הם באופן כללי טנזורים. המשוואות הומוגניות ולכן יהיה קל להביא אותן לצורה של משוואת גלים. נניח ש µ,ε לא תלויים בזמן. נכפיל את המשוואה הראשונה ב ε ונגזור בזמן: D + ε Ḃ = 0 6.217) D + ε µ D) = 0 6.218) באופן אופן מקבלים מהמשוואה השנייה: 6.219) Ḧ + ε µh) = 0 אפשר לראות שהמקרה הזה סבוך יותר כי כבר אין לנו רוטור של רוטור. נרצה לרשום את המשוואת שקיבלנו ברכיבים: 6.220) 2 t D i + ε i jε ijk k µ lρ ε prs r D s = 0 אנחנו עובדים בקואורדינטות קרטזיות ולכן נוכל להוציא את הטנזורי לוי צ'יויטה מחוץ לנגזרות כי הם פשוט מספרים: 6.221) 2 t D i + ε prs ε ijk ε i j k µ lρ r D s = 0 באופן דומה: 6.222) 2 t H i + ε ikl ε prs ε lρ k µ j s r H j = 0 המבנה לא זהה ולכן הפתרונות לא יהיו זהים והמבנה היפה של,E B כבר לא יתקיים. נתרכז במשוואה עבור D, נבדוק האם 6.223) D = D 0 e ikx הוא פתרון. נקבל: 6.224) 6.225) iω) 2 D i + ε jkl ε prs ε i j ik k ) µ lρ ik r ) D s = 0 ω 2 δ is + ε jkl ε prs ε i ) jµ lρ k k k r D s }{{} = 0 M is ω,k) המשוואה הופכת למשוואה ליניארית: עמוד 114 מתוך 145

6.226) M is D s = 0 אם אנחנו רוצים פתרון שאינו הפתרון הטריוויאלי שאינו = 0 s D) אז צריך ש M לא תהיה הפיכה: 6.227) det M ω, k) = 0 באופן כללי זה לא יתקיים, אלא רק עבור,ω k מסויימים שיקיימו תנאי כלשהו. הבעיה הפכה לבעיה אלגברית שתלויה חזק ב µ,ε. נפתור עבור מקרה פרטי שבו µ = µ1 ו ε סימטרי. נעבור במערכת הצירים הראשיים של ε שבו הוא אלכסוני: 6.228) ε = e 1 e 2 e 3 נקבל: 6.229) 6.230) 6.231) 6.232) 6.233) M is = ω 2 δ is + ε jkl ε prs e i δ i jµδ lp k k k r, no sum i) = ω 2 δ is + ε ikl ε rs l e i µk k k r = ω 2 δ is + δ ir δ ks δ is δ kr) e i µk k k r = ω 2 δ is + e i µk i k s e i µδ is k 2 = ω 2 e i µ k 2) δ is + e i µk i k s נראה מה קורה אם לא היה חומר דיאלקטרי. האיבר הראשון ייתן תנאי כמו שהיה בתווך חופשי, אבל האיבר השני לא נעלם. הוא כן יעלם כאשר אנחנו מכפילים את המטריצה ב D s והסיבה נובעת ממשוואת מקסוול: 6.234) 0 = D = D 0 e ikx) = ik D 0 e ikx כלומר: 6.235) k D = k s D s = 0 לכן נוכל לרשום: 6.236) M is = ω 2 e i µ k 2) δ is נקבל את התנאי: עמוד 115 מתוך 145

6.237) ω = e i µ k מהירות הגל בכל אחד מהצירים הראשיים תהיה שונה,Birefringence) שזו תופעה שמתייחסים אליה הרבה בהקשר של אופטיקה. 6.5 משוואת הגלים עם מקורות נרצה לפתור את משוואות מקסוול עם מקורות שרירותיים שיוצרים גלים. נתחיל מהמשוואה: 6.238) φ = ρ t, x) נמצא פתרון באמצעות פונקציית גרין: 6.239) G = δ 4) t, x) אנחנו בעצם מדליקים מקור ב 0 = t ומכבים אותו. זו כבר לא תהיה משוואת גלים, פשוט ב 0 > t המשוואה נראית כמו משוואת גלים. הפתרון הוא לכן: 6.240) φ = G x y) ρ y) d 4 y + φ 0 נרצה למצוא G כך ש 0 G רק בעתיד של = 0 0 x. לא נרצה פתרון מהצורה: איור 6.10: פונקציית גרין הקיימת בעבר של הראשית נרצה פתרון מהצורה: איור 6.11: פונקציית גרין הקיימת בעתיד של הראשית עמוד 116 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד כרגע הדרישה היא שהפתרון יהיה קיים בתוך קונוס האור העתידי, כלומר קשר של סיבה ותוצאה ולא בהכרח על קונוס האור. מסמנים את G אשר מקיים זאת.Retarted) G R נרצה למצוא פתרון מהצורה f x 2) t > 0 6.241) G x) = 0 t < 0 6.242) s x 2 = x µ x µ = t 2 + x 2 כאשר: כלומר, פונקציה של סקאלר כלשהו, אשר תתאפס מחוץ לקונוס האור > 0 2 x בתוך ועל קונוס האור המשוואה כבר תגיד לנו מה יקרה). 22 נחפש f כך ש 6.243) f = 0 t>0 6.244) G = 1 וגם ש V כאשר V הוא נפח המכיל את הראשית. נתחיל מהתנאי הראשון: 6.245) µ µ f x 2) = 0 מתקיים 6.246) µ f x 2) = 2x µ df s) ds = 2x µ f s) ולכן: 6.247) 6.248) µ µ f = 2 µ x µ f + 2x µ 2x µ f ) = d2f + 4sf = dimension 6.249) µ x µ = x 0 x0 + x 1 x1 +... + x d 1 xd 1 = d במעבר האחרון השתמשנו ב נמשיך את הפיתוח: 01.01.14 22 הרצאה מס' 22 עמוד 117 מתוך 145

6.250) 6.251) = 2 d 2) f + 4 sf ) = 2 [d 2) f + 2sf ] = 0 נקבל שהפתרון הוא: 6.252) f s) = c 1 + c 2 s d 2 2 קונוס האור הוא = 0,s לכן נדרוש ש 0 = f עבור > 0.s עבור d אי זוגי נוכל לקחת = 0 1 c ו c 2 מדומה ) c 6.253) f s) = Re s d 2 ולרשום: בגלל השורש, נקבל ש 0 f בתוך קונוס האור, אבל מחוץ לו הביטוי מדומה ולכן בגלל שאנחנו לוקחים רק את החלק הממשי אז הפונקציה מתאפסת כרצוי. עבור d זוגי לא נוכל לעשות את הטריק של השורש, לכן f יכול להיות רק הפתרון הטריוויאלי עבור > 0 t: 6.254) f = 0 t>0 מכאן שעבור d זוגי f יכול להיות רק מהצורה 6.255) f s) = q s) δ s) בהנחה ש 0 ) q הוא קבוע מוגדר כלשהו. נבדוק שבאמת מתקיים 6.256) f d 4 x = 1 V כאשר נפח האינטגרציה היא תיבה סביב הראשית הכולאת זמן T מהראשית בציר הזמן, ומרחק R מהראשית בצירים המרחביים כך ש R: > T איור 6.12: נפח האינטגרציה עמוד 118 מתוך 145

נחשב: 6.257) f d 4 x = µ µ qδ)) d 4 x 6.258) V = Gauss µ qδ) dσ µ = עתה נשים לב שעברנו לאינטגרציה על מעטפת התיבה, והאינטגרנד קיים רק על קונוס האור. כלומר, האינטגרל לא מתאפס רק על הפאה שחותכת את ציר t ולכן נשארת רק הנגזרת הזמנית: 6.259) 6.260) 6.261) 6.262) 6.263) 6.264) 6.265) 6.266) 6.267) 6.268) 6.269) 6.270) = dσ µ= dv t=t µ = µ= t = = = r+t>0 = chain t=t r<r t=t r<r t=t r<r t=t r<r t qδ) d 3 x t [ q t 2 + r 2) δ t 2 + r 2)] 4πr 2 dr [ t q t 2 + r 2) δ r t) + 2r t [ q t 2 + r 2) δ r t) ] 2πrdr 2tq t 2 + r 2) δ r t) 2πrdr t=t r<r = 2T q 0) 2πT delta property = 4πT 2 q 0) + 2π by parts q t 2 + r 2) t δ r t) 2πrdr t=t r<r )] δ r + t) 4πr 2 dr 2r q t 2 + r 2) [ r δ r t)] 2πrdr r qrδ) dr 2π [ = 4πT 2 q 0) + 2π qrδ r=r = chain r=0 ] t=t rq)r t=t r=r r qr) δdr 2π r qr) t=t r=t { 4πT 2 q }}{ 0) 2π 2rq t 2 + r 2) r ) t=t 2π r=t = 4πT 2 q 0) 2π 2T 2 q 0) ) 2πq 0) = 2πq 0) = G = 1 V q rr {}}{ q t 2 + r 2) t=t r=t 1 = 0).q מכיוון ש 2π 6.271) q s) = 1 2π + q n s n n=1 עמוד 119 מתוך 145 קיבלנו ש s ) f s) = q s) δ כאשר

אז: 6.272) q s) δ s) δ s) 2π קיבלנו שפונקציית גרין היא: δs) 2π t > 0 6.273) G x) = 0 t < 0 כלומר, פונקציית גרין מתאפסת מחוץ לקונוס האור כפי שדרשנו, וקיבלנו שהיא שונה מאפס רק על קונוס האור. ניתן לכתוב: 6.274) 6.275) 6.276) G s) = θ t) δ t 2 + r 2) 2π = t>0 θ t) δ r t) = 4πr r t>0 δ r t) 4πr = θ t) 2π [ δ r t) + 2r ] δ r + t) 2r נבדוק את עצמנו עם משהו מוכר יותר. נניח מקור בראשית מהצורה: 6.277) φ = δ 3) x) הפתרון הוא: 6.278) 6.279) 6.280) 6.281) φ = G x y) δ 3) x) d 4 y δ x y x 0 y 0)) = δ 3) y) d 3 ydy 0 4π x y δ x x 0 + y 0) = dy 0 4π x = 1 4π x זה בדיוק מה שאנחנו מצפים לו כי אם אין תלות בזמן אז המקור בדיוק נותן את משוואת לפלס שזה פתרונה. 23 עבור 6.282) φ = ρ נקבל שהפתרון הוא: 6.283) φ = G R x y) ρ y) d 4 y 05.01.14 23 הרצאה מס' 23 עמוד 120 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.6 גלים הנוצרים על ידי חלקיק בתנועה נרצה לדעת איך נראים הגלים שיוצר חלקיק נקודתי טעון שנע במרחב. כלומר, נרצה לפתור את 6.284) φ = δ 3) x X t)) כאשר t) X הוא המסלול של החלקיק. נציב: 6.285) φ = 1 2π θ x 0 y 0) δ x y) 2) δ 3) y X y 0)) d 4 y נגדיר את המרחק בין הנקודה בה החלקיק נמצא ולנקודה בה אנחנו מסתכלים: 6.286) R µ x µ, y 0) x 0 y 0, x X y 0)) איור 6.13: המרחק בין מסלול החלקיק ונקודת הבחינה לכן נוכל לרשום 6.287) δ R 2) = δ x y) 2) δ 3) y X y 0)) d 3 y ולקבל: 6.288) φ = 1 2π θ x 0 y 0) δ R 2) dy 0 עתה נשתמש בתכונה: R 6.289) δ y 0 )) ) 2 = δ y 0 R 2)) R2 y 0 עמוד 121 מתוך 145

נחשב: 6.290) 6.291) R 2 R µ y 0 = 2R µ y 0 R µ y 0 = 1, X ) y 0 נשים לב שקיבלנו קודם משהו שנראה כמו מהירות החלקיק, אבל בגלל שהמהירות מוגדרת לפי β u µ = γ,1) נרשום: 6.292) R µ y 0 y 0 ) = uµ γ y 0 ) נשים לב שהמהירות של החלקיק יכולה להשתנות מנקודה לנקודה וכך גם γ. נציב: R 6.293) δ y 0 )) ) 2 = δ y 0 R 2)) = R2 y 0 δ y 0 R 2)) γ y 0) 2 R u סך הכול: 6.294) φ = θ x 0 y 0) δ y 0 R 2)) γ y 0) dy 0 4π R u כדי למצוא את y 0 עלינו לפתור את = 0 2 R, כלומר למצוא את הזמן y 0 עבורו המרחק מהחלקיק עד לנקודה בה אנחנו מסתכלים הוא דמוי אור, כי זה הזמן שלוקח למידע להגיע מהחלקיק. פונקציית המדרגה נותנת את התנאי x 0 > y 0 כי ההשפעה היא על העתיד. איור 6.14: מסלול החלקיק והנקודת הנבחנת הקשורים זה לזו בצורה דמוית אור אחרי שאנחנו מוצאים את y 0 המתאים תלוי מסלול החלקיק) נקבל מפונקציית הדלתא כאשר x): 0 > y 0 6.295) φ = γ y 0) 4π R u כלומר, בכל נקודה שאנחנו נמצאים בה אנחנו מרגישים פוטנציאל גלים) שנוצר על ידי החלקיק אבל מקורו בעבר בזמן.y 0 לכן, y 0 מכונה הזמן המעוכב time).retarded עמוד 122 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד דוגמא פשוטה נסתכל על המקרה שבו החלקיק נמצא במנוחה קבוע על ציר ה t ): 6.296) X y 0) = 0 במקרה הזה: 6.297) R µ = x 0 y 0, x 0 ) נפתור את = 0 2 :R 6.298) 6.299) x 0 y 0) 2 2 + x 0 x 0 y 0) 2 = 0 = r 2, r x מתוך > 0 0 x 0 y נקבל: 6.300) x 0 y 0 = r y 0 = x 0 r נחשב את 0) R µ x, y 0), u µ y 0), γ y ונציב: 6.301) 6.302) 6.303) u µ y 0) = 1, 0) γ y 0) = 1 R µ y 0) = r, x) לכן: 6.304) u µ R µ = r סך הכול: 6.305) φ = 1 4πr בזמן. זה הפתרון שמצאנו קודם למשוואת לפלס, המקרה שבו הדלמברטיאן הופך ללפלסיאן 2 בגלל שאין תלות עמוד 123 מתוך 145

6.6.1 משוואות מקסוול כמשוואות גלים נרשום את משוואות מקסוול כמשוואת גלים עבור הפוטנציאל A. µ יכולנו לעשות זאת קודם, אבל אנחנו נראה שנצטרך לבחור כיול ואז מה שעשינו קודם עבור משוואת הגלים לשדה סקאלרי יהיה שימושי. אם כך, משוואות מקסוול הן 6.306) µ F µν = J ν כאשר: 6.307) F µν = µ A ν ν A µ נציב: 6.308) 6.309) µ µ A ν ν A µ ) = J ν A ν ν µ A µ = J ν זה כמעט משוואת גלים, עד כדי האיבר. ν µ A µ נרצה להראות שקיים כיול שבו: 6.310) µ A µ = 0 6.311) Ã µ = A µ + µ Λ כיול זה נקרא כיול לורנץ. נתחיל מ 0 µ µ A ונראה כי קיים Λ כך ש מקיימת: 6.312) µ Ã µ = 0 נסמן 6.313) µ A µ Λ ואז נגדיר: 6.314) Ã µ A µ + µ Λ עמוד 124 מתוך 145

עתה באמת רואים שהתנאי שרצינו מתקיים: 6.315) µ à µ = µ A µ + µ µ Λ = 0 מעכשיו נסמן A µ במקום,õ ואז משוואות מקסוול הן: 6.316) A µ = J µ נבדוק שהכיול קונסיסטנטי עם משוואות התנועה: 6.317) µ A µ = µ J µ = 0 אגף שמאל מתאפס בגלל הכיול, ואגף ימין מתאפס בגלל שימור זרם. כדי להשלים את התמונה נסתכל על משוואות מקסוול ללא מקורות ונשחזר את הפתרון הקודם. המשוואה 6.318) A µ = 0 נפתרת על ידי גל מישורי מהצורה 6.319) A µ = a µ e ikx כל עוד: 6.320) 6.321) µ A µ = 0 k µ A µ = 0 A µ = 0 k 2 = 0 לכן, אם נבחר k 0 = k ) k = kẑ נקבל: 6.322) A µ = a 0, a 1, a 2, a 0 ) e ikx נראה שיש עדיין חופש כיול. נבחר 6.323) Λ = λe ikx, k 2 = 0 ולכן מתקיים = 0 Λ. בנוסף יתקיים: 6.324) à µ = A µ + µ Λ לכן, הפתרון מתלכד עם הפתרון שראינו בשיעורים קודמים עד כדי טרנספורמציית כיול. עמוד 125 מתוך 145

6.6.2 פוטנציאל LiénardWiechert נחפש פונקציית גרין עבור הפוטנציאל A µ בכיול = 0 µ. µ A הנסיון הראשון יהיה בדומה למשוואת הגלים הסקאלרית: 6.325) 6.326) A µ = α µ δ 4) x) A 0 α 0 δ 4) x) A 1 A 2 = α 1 δ 4) x) α 2 δ 4) x) A 3 α 3 δ 4) x) הנסיון הזה לא יעבוד מכיוון שאגף ימין לא נשמר לא מקיים = 0 µ ) µ J ולכן כיול לורנץ לא יהיה תקף. לכן, נבחר זרם שנוצר על ידי חלקיק נקודתי, ואז נוכל לסכום הרבה חלקיקים יחד לבעיה כללית. נסתכל על: 6.327) 6.328) A µ = J µ J µ = q δ 4) x β X β λ) ) dx µ dλ dλ עבור X 0 = λ בחירת הפרמטר הכללי λ כציר הזמן) נקבל: 6.329) 6.330) J µ = q δ x 0 λ ) δ 3) x X λ)) u µ λ) dτ dλ dλ = qδ 3) x X t)) uµ t) γ t) dt=γdτ ראינו שהפתרון ל 6.331) φ = δ 3) x X t)) הוא: 6.332) φ = γ y 0) 4π R u המשוואה שלנו היא 6.333) A µ = qδ 3) x X t)) uµ t) γ t) ולכן הפתרון יהיה 6.334) 6.335) A µ = γ y 0) u ) µ y 0 4π R u γ y 0 ) q) = q u ) µ y 0 4π R u עמוד 126 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד כאשר = 0 2 R ו 0 > 0 R µ.x 0 y הוא ווקטור דמוי אור שפונה לעתיד 0) > 0 R 0 = x 0 y ו u µ הוא דמוי זמן. נבחר מערכת יחוס שבה 0,1) = µ u מערכת יחוס שנעה עם החלקיק בנקודת הזמן המסויימת y) 0 ואז נקבל: 6.336) 6.337) R u = R 0 u 0 + R i u i = R 0 u 0 = R 0 η 00 u 0 = R 0 < 0 R u הוא סקאלר לורנץ, ולכן החישוב שלנו במערכת יחוס ספציפית יתן אותה תוצאה בכל מערכת יחוס. לכן, אנחנו יודעים שסימן המכפלה הוא שלילי ונוכל להוריד את הערך המוחלט ולהוסיף מינוס לביטוי: 6.338) A µ = q u ) µ y 0 4πR u קיבלנו פתרון ל A µ שתלוי בכל נקודה במהירות החלקיק בזמן המעוכב y, 0 בו החלקיק "יצר" את ההפרעה שהתפשטה אלינו במהירות האור. 4 פוטנציאל זה שיוצר חלקיק נע חלקיק נקודתי טעון חשמלית) בכיול לורנץ נקרא פוטנציאל.LiénardWiechert נבדוק שהכיול מתקיים: הדרך הקצרה הכיול אינווריאנטי לורנץ, לכן נבחר מערכת יחוס שבה 0,1 ) = µ u בזמן y 0 כלשהו. A µ תלוי במהירות החלקיק ב y 0 ולכן הרכיבים המרחביים שלו נופלים ומתקיים: 6.339) µ A µ = 0 A 0 במערכת היחוס הזו, בדומה לפתרון עבור φ נקבל: 6.340) A 0 1 x הפוטנציאל לא תלוי בזמן ולכן = 0 0, 0 A כלומר הכיול מתקיים בזמן y 0 ומובטח לנו משימור זרם שהוא מתקיים בכל זמן. זו הדרך שמשתמשת בטריק, נראה בצורה מפורשת: 6.341) 4π µ A µ = 4π Aµ x µ = q µ ) ) uµ y 0 R u = הדרך הארוכה 24 נסתכל על: 6.342) R µ = x µ X µ = x 0 y 0, x X y 0)) נזכור של 08.01.14 24 הרצאה מס' 24 עמוד 127 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד יש תלות ב x גם דרך y 0 שהוא זמן שיש למצוא: 6.343) 6.344) = q µu µ R u + quµ µ R u) R u) 2 = q u µ R u τ τ x µ } {{ } u µ µτ +qu µ uα µ R α + R α µ u α R u) 2 = במעבר האחרון החלטנו להמיר את התלות של u µ ב τ הזמן העצמי, כך שבסוף בכל מקרה נצטרך את 0 τ. y נמשיך: 6.345) = q R u uµ µ τ + q uµ u α µ R α R u) 2 + q uµ R α u α µ τ R u) 2 = נרצה לקשר בין µ τ ו.u µ, R µ נסתכל על: 6.346) 6.347) 6.348) 6.349) 0 = R 2 =0 1 2 µr 2 = R α µ R α = R α µ x α X α ) = R α δµ α µ X α) = R µ R α Xα µ τ } τ {{} u α קיבלנו: 6.350) R µ R u µ τ = 0 µ τ = R µ R u וגם: 6.351) µ R α = δ α µ µ X α = δ α µ u α µ τ נחזור לחישוב ונציב את תוצאות אלה: עמוד 128 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.352) 6.353) 6.354) 6.355) 6.356) 6.357) R u {}}{ = q uµ R µ R u R u + q uµ u α µ R α R u) 2 + q R α u α u µ R µ R u) 3 = q uµ R µ R u) 2 + q uµ u α µ R α R u) 2 + q R α u α R u) 2 = q uµ u α µ R α R u) 2 = q uµ u α δ αµ u α µ τ) R u) 2 q = R u) 2 uµ u µ u µ u α u α µ τ) q = R u) 2 1 1) uµ µ τ) = q R u) 2 1 1) uµ R µ = 0 } R {{ u } 1 קיבלנו ש A µ הוא בכיול לורנץ כנדרש. נרצה למצוא את F µν = µ A ν ν A µ כאשר: 6.358) A µ = qu µ 4πR u, R2 = 0, R 0 > 0 נחשב את: 6.359) A ν x, y 0 x) ) x µ = A ) ν x, y 0 x µ + A ) ν x, y 0 µ τ τ y0 x) כלומר, אנחנו גוזרים לפי כלל השרשרת כך שבאיבר הראשון אנחנו מתעלמים מהתלות של הזמן המעוכב y 0 בנקודת הבחינה x. µ נקבל: 6.360) 6.361) uν ) uν ) 4π µ A ν = q µ τ µ τ R u R u = q u νu α µ R α R u) 2 }{{} I uν ) q µ τ τ }{{ R u } II u ν במונה תלוי בזמן המעוכב y 0 בלבד והגזירה y באיבר הראשון גזרנו רק את המכנה כי בפתרון שמצאנו ) 0 היא חלקית לפי x. µ נסתכל על I: 6.362) qu ν u α µ R α = qu ν u α δ α µ = qu ν u µ מכיוון שהביטוי סימטרי בין µ ו ν הוא לא יתרום ל F. µν נשארנו עם :II עמוד 129 מתוך 145

6.363) uν ) τ R u = u ν R u u ν R u) 2 uα τ R α + R α τ u α ) 6.364) 6.365) = = u ν R u u ν R u) 2 u ν R u u α u α ) +R α u α }{{} 1 u ν R u) 2 u νr α u α R u) 2 קיבלנו: 6.366) 6.367) 4π µ A ν = ) symmetric R µ term q R u) = ) symmetric term q [ u ν R u u νr α u α R u) 2 u ν R u) 2 ) R µ u ν R u) 2 R µu ν R u R u) 3 ] + q R µu ν R u) 3 נגדיר לשם הקיצור: 6.368) F µν = µ A ν ν A µ [µ A ν] סך הכול קיבלנו: [ R[µ u ν] 6.369) 4πF µν = q R u) 2 R ] [µ u ν]r u R u) 3 }{{} 1 r radiation + q R [µ u ν] R u) 3 }{{} 1 r 2 coulomb 1 גם כשהמטען אינו מאיץ שדה קולון של מטען), ותלות של r אנחנו רואים באופן כללי שיש תלות של 2 כשהמטען מאיץ קרינה אלקטרומגנטית). 25 קשה להבין את ההתנהגות במקרה הכללי ולכן נתמקד במקרי קצה: 1 r 6.6.3 חלקיק נייח המקרה הראשון יהיה כאשר המקור לא זז, ונבחר לשים אותו בראשית: 6.370) 6.371) u µ = 1, 0, 0, 0) u µ = 1, 0, 0, 0) R µ = x 0 y 0, x ) 12.01.14 25 הרצאה מס' 25 עמוד 130 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד איור 6.15: חלקיק נייח במרחב כדי ש y 0 יהיה על קונוס האור בעבר של x אנחנו דורשים: 6.372) 6.373) R 2 = 0 x 0 y 0) 2 + x 2 = 0 R 0 > 0 x 0 y 0 > 0 לכן הפתרון הוא: 6.374) x 0 y 0 = x R µ = x, x) כמובן ש 0 = µ u, ולכן רק האיבר האחרון ב F µν יתרום: 6.375) 6.376) 6.377) R [µ u ν] = R µ u ν R ν u µ ) ) = R µ δ 0 ν Rν δ 0 µ = δ 0 νr µ + δ 0 µr ν כעת: 6.378) R u = R µ η µν u ν = x לכן נשכח מפקטור ה 4π לשם קיצור): 6.379) F µν = q δ 0 ν R µ + δ 0 µr ν ) r 3 נקבל ש 0 = ij F, כלומר השדה המגנטי שווה לאפס = 0 B, השדה החשמלי הוא: 6.380) F i0 = q R i) r 3 = qr i r 3 E = q x r 3 = q r 2 r עמוד 131 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.6.4 חלקיק מאיץ עתה נסתכל על חלקיק שנע על גבי מסלול כלשהו ונעשה לו הזזה וטרנספורמציית לורנץ כך שב 0 = t x =,0 מתקיים: 6.381) u µ = 1, 0) u µ = 1, 0) כלומר, ברגע כלשהו החלקיק נמצא בראשית והוא במנוחה. ראינו בתחילת הקורס שהתאוצה מאונכת למהירות = 0 µ u µ u, מכיוון ש: 6.382) 0 = τ uµ u µ ) = u µ u µ + u µ u µ = 2 u µ u µ לכן ווקטור התאוצה נתון על ידי 6.383) u µ = 0, a) עבור a כלשהו. נמצא את F בקונוס האור העתידי של הראשית: איור 6.16: קונוס האור העתידי של הראשית בחרנו = 0 0,y נמצא את R µ המתאים: 6.384) R µ = x 0 y 0, x X y 0)) = x 0, x ) מכיוון ש R µ דמוי אור: 6.385) R µ = x, x) נחשב את B על קונוס האור: 6.386) ε ijk B k = F ij עמוד 132 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד נסתכל על: 6.387) F ij = q [ R[i u j] R u) 2 R ] [i u j]r u R u) 3 + q R [i u j] R u) 3 שני האיברים האחרונים מתאפסים מכיוון ש 0 = i u: 6.388) F ij = q x [i a j] x ) 2 = q x ia j x j a i ) x 2 כעת נעביר אגפים ל ε ijk B k = F ij ונחשב את השדה המגנטי: 6.389) 6.390) B k = 1 2 εijk F ij = q 2 ε ijk x i a j ε ijk x j a i ) = q 2ε ijk x i a j 2 x 2 x 2 לכן: 6.391) B = q x a x 2 = q r x a הערות:. B 1 r 1. השדה המגנטי הולך כמו.2 השדה המגנטי מאונך לתאוצה = 0 a B ולווקטור המיקום של הנקודה עליה מסתכלים = 0 x.b 3. על ידי טרנספורמציית לורנץ אפשר לעבור למערכת יחוס שבה 0 i u. נחשב את השדה החשמלי: 6.392) E i = F 0i = q [ R[0 u i] R u) 2 R ] [0 u i]r u R u) 3 q R [0 u i] R u) 3 נחשב: 6.393) 6.394) 6.395) 6.396) R [0 u i] = R 0 u i R i u 0 = x a i 0 = x a i R [0 u i] = R 0 u i R i u 0 = 0 x i 1) = x i R u = x R u = R 0 u 0 + R i u i = 0 + x i a i = x a עמוד 133 מתוך 145

נציב: 6.397) 6.398) E i = q [ ] x a i x ) 2 x i x ) 3 x a = q ] [ r 3 x 2 a i x i x a + q x i x 3 x i q x ) 3 ובצורה ווקטורית: 6.399) 6.400) 6.401) 6.402) 6.403) E = q r 3 [ x x) a x x a)] + q r r 2 = q r 3 [x x a)] + q r r 2 = q r [x x a)] + q r r 2 = x B + q r r 2 = B x + q r r 2 קיבלנו שני איברים:. 1 r 1. איבר שניצב גם לכיוון התקדמות הגל וגם לשדה המגנטי שהולך כמו. 1 2. איבר שדה קולון של מטען בראשית שהולך כמו r 2 6.6.5 קירוב השדה הרחוק אם נסתכל על x הרחוק מאוד מסקאלה אופיינית של מסלול החלקיק: 6.404) X l x איור 6.17: סקאלת מסלול החלקיק ביחס למרחק נקודת הבחינה מהראשית אנחנו צריכים לפתור את = 0 2 R: עמוד 134 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.405) x 0 y 0) 2 = x X y 0 ) 2 כדי למצוא את ) l y 0 x 0, x; נגדיר פרמטר קטן 6.406) χ = l x 1 ואז נפתח את מסלול החלקיק בטור: 6.407) X = ξ n χ n n=1 הטור מתחיל מ 1 = n מכיוון שעבור = 0 χ מקבלים = 0 X. לכן, הפתרון של הזמן המעוכב יהיה מהצורה: 6.408) y 0 = ynχ 0 n n=0 נרצה לפתור את 6.405) בכל סדר ב χ. נכתוב את אגף ימין בצורה: 6.409) 6.410) x X 2 = x 2 + X 2 2x X ) = x 2 1 2x X x 2 + X 2 x 2 6.411) x X = x 1 1 2 ניקח שורש ונקרב בסדר ראשון בטור טיילור: 2x X x 2 + O ) χ 2) נכתוב את 6.405) כאשר אנחנו לוקחים שורש משני האגפים ומקרבים גם את אגף שמאל בסדר ראשון: 6.412) 6.413) x 0 y0 0 + y1χ 0 ) = x x X + O χ 2) x = x x ξ 1 χ + O χ 2) בסדר χ 0 נקבל: 6.414) x 0 y 0 0 = x בסדר χ 1 נקבל: עמוד 135 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.415) y 0 1 = x ξ 1 y 0 0 ) סך הכול קיבלנו: 6.416) 6.417) y 0 = y 0 0 + y 0 1χ = x 0 x + x ξ 1 χ + O χ 2) 6.418) y 0 = x 0 x + x X x 0 x ) + O נשמור על ביטוי שהוא נכון עד 2 O: χ l 2 x 2 ) באופן גרפי אנחנו עושים את הקירוב הבא: איור 6.18: סקאלת מסלול החלקיק ביחס למרחק נקודת הבחינה מהראשית בסדר מוביל χ 0 מתקיים x y 0 = x 0 ולכן x) R µ = x, וגם 0) 1, = µ.u ייתכן שהתאוצה תהיה שונה מאפס 0 µ u. דוגמא נתון a. = a 0 e iky0 נקבל עבור השדה המגנטי: 6.419) B = q r a x = q r a 0 xe ikx0 x ) לכן, רחוק מהראשית נקבל סוג של גל כדורי המתקדם מהראשית: 6.420) B x, t) = q r a 0 xe ikt r) עמוד 136 מתוך 145

ניתן להכליל בקלות את התוצאות למספר מקורות אם במקום זרם אחד נסכום על מספר זרמים. בקירוב שבו נחליף: l x 1 6.421) qx y 0) i q i X i y 0 ) = d y 0) ואז נקבל: 6.422) B = 1 r d t r) x כלומר, רחוק מהראשית כל החלקיקים הם בקירוב באותה הנקודה, ומה שחשוב הוא התאוצה שכל חלקיק תורם. 26 קיבלנו שעבור גוף טעון שנע לא רחוק מהראשית, השדות במרחקים גדולים מהגוף הם: 6.423) 6.424) B t, x) = 1 q 4π r x a E t, x) = 1 4π B x + O ) 1 r 2 נרצה לחשב את ווקטור פוינטינג רחוק מהראשית: 6.425) P = E B נניח שהחלקיק מאיץ רק על ציר z: 6.426) a = a 0 t) ẑ נקבל: 6.427) 6.428) E B = 1 B r) B 4π = 1 4π ) B 2 r B r)b = B 2 r 4π כעת 6.429) B = 1 q 4π r a r = q 4πr a 0 sin φ כאשר φ היא הזווית בין r וציר z עליו מכוונת התאוצה). לכן, ווקטור פוינטינג ברגע כלשהו) הוא: 15.01.14 26 הרצאה מס' 26 עמוד 137 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד 6.430) P φ) = q2 a 2 0 4π) 2 r 2 sin2 φr כלומר, האמפליטודה מתאפסת בכיוון התאוצה והיא מקסימאלית בניצב לה: איור 6.19: אמפליטודת ווקטור פוינטינג כדי למצוא את שטף האנרגיה דרך ספירה ברדיוס R נחשב: 6.431) P total = P φ) R 2 dω r=r נקבל: 6.432) P total = q 2 a 2 0 4π) 2 R 2 sin2 φr 2 2π sin φ = q2 a 2 0 6π ביחידות :cgs 6.433) P total = 2 3 q2 a 2 0 עבור אוסף חלקיקים, כפי שראינו בשיעור הקודם, נקבלים: 6.434) P total = 2 d 3 2 נחזיר את c כדי שנוכל להציב מספרים), על ידי הצבתו בחזקה כלשהי וסידור היחידות: 6.435) 6.436) 6.437) [P total ] = [ q 2] [ a 2 ] n 0 [c] ) 2 energy = force length) 2 n length length) time time) 2 time) n ) mass length)2 2 time) 2 length mass = time time) 2 length) 2 n length length) time) 2 time) n עמוד 138 מתוך 145

סמסטר חורף תשע"ד מצמצמים ומקבלים 3 = n ולכן: 6.438) P total = 2 a 2 0q 2 3 c 3 6.6.6 יציבות קלאסית של אטומים ננתח יציבות של אטומים בצורה קלאסית. נניח שיש לנו מטען q המבצע תנועה מעגלית מסביב לגרעין נייח עם מטען הפוך q ). האנרגיה הכוללת שלו היא האנרגיה הקינטית ואנרגיית קולון: 6.439) E T = 1 2 mv2 q2 r 2 תאוצה של תנועה מעגלית מקיימת: אנחנו יודעים שעבור תנועה מעגלית: 6.440) a = q2 mr 2 6.441) E T = q2 2r = 2 q a 1 2 m1 2 כדי ששטף האנרגיה רחוק מהמערכת יהיה P, T צריך שהמטען יאבד אנרגיה בקצב של P : T 6.442) de T dt = P T = 2 a 2 q 2 3 c 3 אם המטען מאבד אנרגיה רדיוס התנועה שלו יקטן והוא יקרוס לתוך הגרעין בתנועה ספיראלית. אנחנו רוצים לחשב בקירוב את זמן החיים ולכן נניח ש a ו E T עדיין נתונים על ידי הקשרים הנכונים לתנועה מעגלית. נקבל משוואה דיפרנציאלית 6.443) de T dt = ke 4 T כאשר: 6.444) k 2 5 3q 2 c 3 m 2 הפתרון הוא עמוד 139 מתוך 145

6.445) E T t) = [1 3E0 2k) t] 1 3 E 0 כאשר E 0 הוא קבוע אינטגרציה שנבחר כך ש 0 < 0 E. 0) = E נקבל ש t ) E שלילי לכל t ומתבדר ל בזמן סופי: 6.446) t 0 = 1 3E 3 0 k כלומר: זה למעשה הזמן שלוקח לרדיוס החלקיק לדעוך לאפס 0 r. 6.447) E t) t t0 עבור אטום מימן E 0 10eV ומקבלים t. 0 10 12 sec זו כמובן בעיה כי אטום המימן הוא יציב וכמובן אנחנו יודעים שהתורה הקלאסית פשוט לא תופסת במקרה הזה אלא מכניקת הקוונטים. 6.7 מגנטו הידרודינמיקה 27 עד עכשיו פתרנו את משוואות מקסוול 6.448) µ F µν = J ν, F µν = µ A ν ν A µ אבל לא התייחסנו באופן מפורש לתגובה של החומר הטעון לשדה האלקטרומגנטי. במגנטו הידרודינמיקה Megnetohydrodynamics) משוואות התנועה הן משוואות מקסוול + משוואות שמתארות תנועה של זורם נושא מטען) בתוספת קירובים שונים. ניתן לתאר זורם על ידי שדה מהירות t v:,x) איור 6.20: שדה מהירות הזורם ניתן לרשום משוואות תנועה עבור v וגם עבור הלחץ t p),x) מתוך שימור אנרגיה ודרישה שהחוק השני יתקיים באופן מקומי. נסמן את צפיפות המסה t ρ,x) ונרשום את משוואת שימור המסה משוואות הרציפות) ואת משוואת שימור התנע החוק השני של ניוטון): 6.449) 6.450) ρ t + ρv) = 0 ρ dv dt = p + other forces) 19.01.14 27 הרצאה מס' 27 עמוד 140 מתוך 145

יש קשר בין p ל ρ משוואת המצב התרמודינמית), אבל המשוואות האלה לא יעניינו אותנו. עבור משוואות מקסוול נשתמש בקירוב לא יחסותי + חוק אוהם ומקבלים מיד נראה זאת באופן מפורש): 6.451) 6.452) 6.453) B = 4π c J e E + 1 c Ḃ = 0 J e = σ E + v ) c B המשוואה ה 2 ) היא מתוך משוואות מקסוול, ומשוואה 3) היא הצורה היחסותית של חוק אוהם J = σe בסדר v c ואפשר לראות שהוא אכן אינווריאנטי לורנץ. משוואה 1) נובעת ממשוואת מקסוול ראשון ב 6.454) B 1 c Ė = 4π c J e v ) 6.455) E c אבל כאשר נפתור את 2) עבור E נקבל ואז ההפרש בין 1) למשוואת מקסוול האמיתית הוא מסדר גודל של 6.456) Ė v c ) 2 ומזניחים תיקון כזה. נאחד את שלושת המשוואות למשוואה עבור B, כאשר נניח ש σ הוא קבוע: 6.457) 6.458) 6.459) 6.460) 6.461) 1 c Ḃ = E Je = σ v ) c B 1 c = σ 4π B v ) c B c v ) = 4πσ B)) + c B c v ) = 4πσ 2 B + c B 6.462) Ḃ = c2 4πσ 2 B ניקח את הגבולות הבאים: מזניחים לחלוטין את מהירות הזורם ונקבל: v 1 L כאשר 4πσ c קיבלנו משוואת דיפוזיה עבור השדה המגנטי. זמן החיים האופייני לשדה המגנטי יהיה L 2 2 היא איזשהי סקאלה של הבעיה שתכנס בתנאי השפה). c עמוד 141 מתוך 145

σ מוליכות מאוד גבוהה: 6.463) Ḃ = v B) נסתכל על השטף דרך לולאה שנעה יחד עם הזורם: איור 6.21: לולאה שנעה עם הזורם נחשב את השינוי בזמן בשטף המגנטי דרך הלולאה, כאשר נשים לב שהלולאה עצמה נעה יחד עם קווי 6.464) t S B da = 1 t St+ t) B t + t) da S B t) da = הזרם: אנחנו מסתכלים על 0 t ולכן ניתן לכתוב שהמשטח שהלולאה סוגרת t S t) + שווה ל t ) S 6.465) 6.466) 6.467) = St+ t)=s+ S 1 B t + t) da + t S S S = 1 B t + t) da + t = 1 t S S B t) da [B t + t) B t)] da + 1 t S B t) da B i ε ijk dx i dx k B t) da }{{} da i S B i ε ijk x i dx k = S בתוספת תיקון קטן S S הוא השינוי בין המשטחים שסוגרות שתי הלולאות הקרובות מאוד זו לזו, ולכן היא שווה לטבעת דקיקה. נוותר על אינטגרציה על מימד הרוחב של הטבעת dx i x i ולכן נעבור לאינטגרל מסלולי על השפה S 6.468) 6.469) = = S S B t da + S B v) dl v B) dl + B v) dl = 0 S x כמהירות: t ונזהה את המעבר השני משתמש ב B Ḃ = v) ומשפט סטוקס. קיבלנו שהשטף המגנטי דרך לולאה שרירותית :R M = v c 4πσL c לא משתנה בזמן. אפשר להגדיר פרמטר עבור 1 M R נקבל דיפוזיה. עבור 1 M R נקבל כליאה של השטף המגנטי בלולאות. עמוד 142 מתוך 145