Επιμέλεια: Κορφιάτης Ευάγγελος

Επιμέλεια: Κορφιάτης Ευάγγελος ΑΘΗΝΑ 0

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... Ένα ποδήλατο με μια ρόδα... Α) Η γωνιακή ταχύτητα... Β) Η κίνηση του κέντρου μάζας και η συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση....4 Γ) Η στροφορμή και ο νόμος μεταβολής της...6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί...8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Οι πίνακες στροφής...0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Οι γωνίες του Euler... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙV H γωνιακή ταχύτητα...6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V Δυναμική στερεού σώματος...8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ Ο τανυστής αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου...

Ένα ποδήλατο με μια ρόδα Ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας ρ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει παραμένοντας συνεχώς σε επαφή με οριζόντιο κυκλικό οδηγό ακτίνας R>ρ. Η κίνηση του δίσκου γίνεται έτσι ώστε το επίπεδο του δίσκου να σχηματίζει σταθερή γωνία β με την κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο του. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κέντρου του δίσκου ώστε η γωνία β να είναι σταθερή. Απάντηση Α) Η γωνιακή ταχύτητα Τα απαραίτητα συστήματα συντεταγμένων είναι: Το αδρανειακό Οζ ζ ζ Το Κξ ξ ξ σταθερά συνδεδεμένο με το κέντρο του δίσκου και άξονες παράλληλους με αυτούς του Οζ ζ ζ. Το Kx x x σταθερά συνδεδεμένο με το κέντρο του δίσκου και άξονες Kx, Kx παράλληλους με την ακτίνα και την εφαπτομένη του οδηγού. ζ x x ξ φ x =ξ ξ Ο φ ζ ζ Το Kx x x προκύπτει από το Κξ ξ ξ με περιστροφή γύρω από τον άξονα Κξ κατά φ. Συνεπώς, x = R ( ϕ) ξ e =εr ( ϕ).

Το Kx x x προκύπτει από το Kx x x με περιστροφή γύρω από τον άξονα Kx κατά β. x x x = x Α β Κ x x Συνεπώς x = R ( β)x e = e R ( β) To Kxxxπροκύπτει από το Kx x x με περιστροφή γύρω από τον άξονα Κx κατά α. x x x α Κ x x = x Συνεπώς x = R ( α)x e = e R ( α) Οι σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγμένες και τα μοναδιαία διανύσματα στα συστήματα συντεταγμένων είναι: x = R ( ϕ) ξ ξ= R ( ϕ)x x = R ( β)x x = R ( β)x x = R ( α )x x = R ( α)x A () e =εr ( ϕ) ε= e R ( ϕ) e = e R ( β) e = er ( β) e= er ( α ) e = er ( α) () Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι: ω=ϕε +α e () Θα χρειαστούμε τις συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας στο Ox x x.

Ισχύει ότι ε= er( ϕ), e = e R ( β) ε= er ( α)r ( β)r ( ϕ) e = er ( α). Άρα, Μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι ε = ημβ e +ημασυνβ e +συνασυνβ e Αντικαθιστώντας στην () προκύπτει ότι: ω = ( α ϕημβ )e + ϕημα συνβ e + ϕσυνα συνβ e (4) Επομένως ο πίνακας των συνιστωσών της γωνιακής ταχύτητας στο Kxxx είναι: x ω α ϕημβ = ϕημασυνβ ϕσυνασυνβ Στο σύστημα Kx οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας είναι: ασυνβ x R ( )R ( )x 0 ω = β α ω = ω=α ( συνβ e ημβ e ) +ϕ e ϕ αημβ Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει από το επόμενο σχήμα ω φ x Ο Α x β Κ x ω α Συγκεκριμένα οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας είναι: ω ϕ =ϕ e λόγω της περιστροφής κατά δφ. ω α =α ( συνβ e ημβ e ) λόγω της περιστροφής κατά δα Β) Η κίνηση του κέντρου μάζας και η συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση. Ο πίνακας συντεταγμένων των διανυσμάτων ΟΑ, ΑK, ΟK στο σύστημα συντεταγμένων x είναι: R x = 0 ΟΑ 0 ρημβ = ρσυνβ, x 0, ΑK R + ρημβ x x x 0 = + = ΟΚ ΟΑ ΑΚ ρσυνβ Επομένως το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας είναι: 4

R = OK = (R +ρημβ )e +ρσυνβ e cm (5) Σχόλιο Ο πίνακας συντεταγμένων του διανύσματος (R +ρημβ) συνϕ ξ = ϕ = +ρημβ ημϕ ρσυνβ Ο K, στο σύστημα συντεταγμένων ξ είναι: R( )x (R ) (6) ΟΚ ΟΚ Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας στο σύστημα Οζ ζ ζ μπορούν να υπολογιστούν χωρίς την χρήση πινάκων μέσω του σχήματος που ακολουθεί. ζ Σ Σ ζ Ο φ R Α Τ β ρ Κ Π Σ ζ Ισχύει ότι: ΟΠ=ΟΑ+ΑΠ=R+ρ ημβ ζ =OΣ = ΟΠ συνφ=(r+ρημβ) συνφ ζ =ΟΣ =ΟΠημφ=(R+ρημβ) ημφ ζ =ΟΣ =ΑΤ=ρσυνβ Επομένως R = (R +ρημβ) συνϕε + (R +ρημβ) ημϕε +ρσυνβε cm Επειδή οι εξισώσεις που προκύπτουν στο αδρανειακό σύστημα ζ είναι περίπλοκες θα προτιμήσουμε το σύστημα x. e =εr ( ϕ) e e e = ε ε ε R ( ϕ) Ισχύει ότι [ ] [ ] e =συνϕε +ημϕε e = ημϕε +συνϕε e =ε (7) (8α) (8β) (8γ) 5

Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (8) έχουμε: de =ϕ( εημϕ+εσυνϕ ) =ϕ e (9α) de = ϕεσυνϕ+εημϕ ( ) = ϕ e (9β) de = 0 (9γ) Παραγωγίζοντας την (5) υπολογίζουμε την ταχύτητα του κέντρου μάζας dr cm de υ cm = = (R +ρημβ ) =ϕ (R +ρημβ) e (0) Παραγωγίζοντας ακόμη μία φορά υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας a = ϕ (R +ρημβ) e () cm Για την ταχύτητα του σημείου Α ισχύει ότι: υ Α = υ Κ +ω ΚΑ = υ ρω ( ημβ e +συνβ e ) = ( ρα+ R ϕ )e cm Επειδή ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει ότι: υ = 0 ρα+ Rϕ= 0 () Α Επειδή ϕ =σταθερό, από την σχέση () συμπεραίνουμε ότι α =σταθερο α= 0. Στο δίσκο ασκούνται το βάρος του w = mgε = mge και η δύναμη F από το δάπεδο. Από την εξίσωση κίνησης του κέντρου μάζας έχουμε ότι: F+ w = macm F= macm + mg e F= m ϕ (R +ρημβ )e + mge () Γ) Η στροφορμή και ο νόμος μεταβολής της Στο σύστημα Κx x x ο πίνακας συνεταγμένων της στροφορμής ως προς Κ είναι 0 0 α ϕημβ α ϕημβ mρ m x Ix 0 0 ρ = L ω = ϕημασυνβ = ϕημασυνβ 4 4 0 0 ϕσυνα συνβ ϕσυνα συνβ Στο σύστημα Kx x x ο πίνακας συντεταγμένων της στροφορμής ως προς Κ είναι : (4) ασυνβ ϕημβσυνβ mρ x R L ( )R ( )x 0 = β α = L 4 ϕημ β αημβ + ϕ Επομένως (5) mρ L K = συνβ( α ϕημβ )e + ( ϕημ β αημβ + ϕ)e 4 (6) Παραγωγίζοντας την (6) βρίσκουμε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής: 6

dlk mρ = συνβ( αϕ ϕ ημβ)e (7) 4 Η συνολική ροπή ως προς Κ είναι: e e e τ Κ =ΚΑ xf = ρ ημβ 0 συνβ = ( ρfημβ ρf συνβ) e F 0 F τ Κ = ρ ημβ+ϕ συνβ+ϕ ρημβσυνβ (8) m (g R )e Από τον νόμο μεταβολής της στροφορμής έχουμε ότι: dl K =τκ ρϕημβσυνβ+ 5 ϕρα ( ϕ R) συνβ 4Rgημβ= 0 (9) Αντικαθιστώντας την συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση- σχέση () - η τελική σχέση μεταξύ β και ϕ είναι: (0) 5ρϕ ημβσυνβ + 6Rϕ συνβ + 4Rgημβ = 0 Από την σχέση (0) εύκολα συμπεραίνουμε ότι β<0 ( κλίση προς τα μέσα). Συνεπώς β=-θ. Η σχέση (0) γίνεται: (6R 5 ρημθ) συνθϕ = 4Rg Από την οποία υπολογίζουμε την ϕ. Παρατήρηση ημθ () Μπορούμε να επαναλάβουμε τα παραπάνω βήματα χωρίς τον περιορισμό ότι β, ϕ, α είναι σταθερά και χωρίς τον περιορισμό της κύλισης χωρίς ολίσθηση. Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι: (α) ρσυνβ α συνβ(5ρημβ + 4R) ϕ 0ρσυν β ϕβ ρημβ αβ = 0 +ρβ ρσυνβ 5 (5ημβ+ 4R) ϕ+ ραϕσυνβ 4ρgημβ= 0 (β) ρημβα + (5ρημ β + 4R ημβ + ρ) ϕ + 0ρϕβημβσυνβ ρσυνβαβ = 0 (γ) Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι επιβάλλοντας την συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση οι σχέσεις () επιβάλλουν ότι η γωνία β είναι σταθερή. Αναλυτικότερα, μετά την επιβολή της συνθήκης στις σχέσεις () απομένουν δύο γενικευμένες επιταχύνσεις. Επιλύοντας τις δύο εξισώσεις ως προς αυτές και αντικαθιστώντας στην η η εξίσωση που προκύπτει επιβάλλει ότι β=σταθερό. Δρ. Ευάγγελος Κορφιάτης korfats@sch.gr 7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί x ξ ε e ε e ε Ο x ξ e ξ x Θεωρούμε δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων Οξ ξ ξ και Οx x x. Έστω ε, ε, ε και e,e,e τα μοναδαία διανύσματα στους αντίστοιχους άξονες. Ένα τυχαίο σημείο Μ στο χώρο έχει συντεταγμένες (ξ, ξ, ξ ) ως προς το ένα σύστημα και συντεταγμένες (x, x, x ) ως προς το άλλο. Για το διάνυσμα θέσης r του σημείου Μ ισχύει ότι: r = xe + xe + xe =ξε +ξε +ξε Αναζητούμε την σχέση των x με τα ξ και την σχέση των e με τα ε Πολλαπλασιάζοντας την σχέση () με e, e, e έχουμε: x=ξe ε +ξe ε +ξe ε x=ξe ε +ξe ε +ξe ε x =ξ e ε +ξ e ε +ξ e ε Πολλαπλασιάζοντας την σχέση () με ε, ε, ε έχουμε: ξ = xe ε + xe ε + xe ε ξ = xe ε + xe ε + xe ε ξ = xe ε + xe ε + xe ε () (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Θέτοντας λ j = e ε λ λ λ, j Λ= λ λ λ λ λ λ, x x x, = x ξ ξ = ξ, ξ οι σχέσεις (α)-(στ) γίνονται: x =Λξ (α) Τ ξ=λ x (β) Αντικαθιστώντας το x από την (α) στην (β) έχουμε ότι: 8

Τ ξ=λ Λξ (4) Επειδή το ξ είναι τυχαίο πρέπει Ένας πίνακας Λ για τον οποίο ισχύει ότι ΛΛ=Ι Λ =Λ Αναλύοντας τα e ως προς τα ε έχουμε ότι: e =ε(e ε ) +ε(e ε ) +ε(e ε) e =ε(e ε ) +ε(e ε ) +ε(e ε) e =ε (e ε ) +ε (e ε ) +ε (e ε ) ΛΛ=Ι Τ Τ Τ Θέτοντας e= [ e e e ] και ε= [ ε ε ε ] e Τ =ελ Τ ΛΛ = Ι ονομάζεται ορθογώνιος πίνακας. οι σχέσεις (5) γίνονται: (5α) (5β) (5γ) (6α) Από την σχέση (6α) έχουμε ότι: ε= e Λ (6β) Συνοψίζοντας Ο πίνακας που συσχετίζει τόσο τις συντεταγμένες ενός σημείου όσο και τα μοναδιαία διανύσματα μεταξύ δύο συστημάτων συντεταγμένων είναι ορθογώνιος. Αν Οξ ξ ξ και Οx x x. είναι δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων με μοναδαία διανύσματα ε, ε, ε και e,e,e αντιστοίχως, τότε Για τις συντεταγμένες ενός σημείου στα δύο συστήματα ισχύει ότι: x =Λξ ξ=λ Τ x Για τα μοναδιαία διανύσματα στα δύο συστήματα ισχύει ότι: Τ e=ελ ε= eλ Το στοιχείο του πίνακα Λ που βρίσκεται στην γραμμή και j στήλη ισούται με λ j = e ε. j Τα στοιχεία του πίνακα Λ ονομάζονται συνημίτονα κατευθύνσεως. 9

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Οι πίνακες στροφής Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων Oξ ξ ξ. Έστω Οx x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Oξ ξ ξ με στροφή του Oξ ξ ξ γύρω από τον άξονα Oξ κατά γωνία θ. ξ x e x ε x e Ο θ ε ξ ξ Έστω ε, ε, e, e τα μονιαδιαία διανύσματα στους άξονες Oξ, Oξ, Ox, Ox αντιστοίχως. Ισχύει ότι e ε =συνθ e ε = ημθ e ε = 0 e ε =ημθ e ε =συνθ e ε = 0 e ε = 0 e ε = 0 e ε = Επομένως ο πίνακας Λ που συσχετίζει τα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι ο συνθ ημθ 0 Λ= 0 ημθ συνθ 0 0 Οι συντεταγμένες (x,x,x ) ενός σημείου του χώρου ως προς το Οx x x συνδέονται με τις συντεταγμένες του στο Oξ ξ ξ με τις σχέση: x συνθ ημθ 0 ξ x 0 = ημθ συνθ ξ x 0 0 ξ Παρατηρήσεις συνθ ημθ 0. Ο πίνακας R() θ = 0 ημθ συνθ ονομάζεται πίνακας αλλαγής συντεταγμένων υπό στροφήν 0 0 κατά θ ως προς τον ο άξονα. 0

. Ισχύει ότι Επομένως συνθ ημθ 0 συνθ ημθ 0 0 0 T R ( θ)r ( θ ) = 0 0 0 0 ημθ συνθ ημθ συνθ = = I 0 0 0 0 0 0 R ( θ)r ( θ ) = I R ( θ ) = R ( θ) R ( θ)r ( θ ) = I T T T. Ισχύει ότι R( θ ) = R() θ. Επομένως R ( θ)r ( θ ) = R ( θ)r ( θ ) =Ι R ( θ ) = R ( θ ) T 4. Έστω Σ=Ox x x σύστημα συντεταγμένων και Σ =Ox x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Σ με περιστροφή κατά θ γύρω από τον άξονα Ox. Τα μοναδιαία διανύσματα στα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι e,e,e και e,e,e. Ένα δοθέν σημείο στο χώρο έχει συντεταγμένες x, x, x στο Σ και x, x, x στο Σ. )Θεωρώντας τα μοναδιαία διανύσματα ως στοιχεία ενός πίνακα - γραμμή e και τις συντεταγμένες ως στοιχεία ενός πίνακα στήλη x έχουμε ότι: e = er( θ ) και x = R( θ )x ) Το στοιχείο της γραμμής και j στήλης του πίνακα R(θ) είναι το εσωτερικό γινόμενο e ej. 5. Θεωρούμε ένα σημείο Α του χώρου και ένα σύστημα συντεταγμένων Σ=Ox x x. Έστω Β το σημείο που προκύπτει με στροφή του σημείου Α γύρω από τον άξονα Οx κατά γωνία θ. x B Αναζητούμε την σχέση που έχουν οι συντεταγμένες του Β με τις A συντεταγμένες του Α. θ Ο Έστω x Α ο πίνακας συντεταγμένων του Α και x Β ο πίνακας x συντεταγμένων του Β. x Θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων Σ που προκύπτει από το Σ με στροφή κατά θ. Σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει ότι: A = θ A και xb R( )xb x R( )x = θ. Επειδή το Β προκύπτει από το Α με στροφή κατά θ, οι συντεταγμένες του Β ως προς το Σ πρέπει να είναι ίδιες με τις συντεταγμένες του Α ως προς το Σ. Επομένως: x B = xa R( θ )xb = xa R( θ)r( θ )xb = R( θ)xa xb = R( θ )xa. 6. Ομοίως μπορεί να οριστούν οι πίνακες αλλαγής συντεταγμένων υπό στροφήν κατά γωνία θ ως προς τον ο και ο άξονα: 0 0 συνθ 0 ημθ R( θ ) = 0 συνθ ημθ και R() θ = 0 0 0 ημθ συνθ ημθ 0 συνθ 7. Με την στροφή ως προς τον δεύτερο άξονα υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Ας θεωρήσουμε τρεις στροφές ως προς τους άξονες Oξ, Oξ, Οξ κατά θετική γωνία θ.

x ξ x ξ x ξ e ε e x e ε e x e ε e x x Ο θ ε ξ ξ x Ο θ ε ξ ξ x Ο θ ε ξ ξ Σύμφωνα με όσα εκτέθησαν παραπάνω ισχύει ότι: Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ e =συνθε +ημθε e =συνθε +ημθε e = συνθ ε + ημθ ε e = ημθε +συνθε e = ημθε +συνθε e = ημθ ε + συνθ ε Επειδή θέλουμε η αρίθμηση να είναι,, και όχι,,, πρέπει τις εξισώσεις της στροφής ως προς τον δεύτερο άξονα να τις γράψουμε με διαφορετική σειρά. Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ e =συνθε +ημθε e =συνθε +ημθε e = συνθ ε ημθ ε e = ημθε +συνθε e = ημθε +συνθε e = ημθ ε + συνθ ε e=εr ( θ) x = R ( θ) ξ e=εr ( θ) x = R ( θ) ξ e= εr ( θ) x = R ( θ) ξ Επομένως όταν το νέο σύστημα προκύπτει με στροφή γύρω από τους άξονες,, ο πίνακας αλλαγής των συντεταγμένων είναι ο R(θ). Αν προκύπτει με στροφή γύρω από τον άξονα τότε ο πίνακας αλλαγής των συντεταγμένων είναι ο R(-θ).

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Οι γωνίες του Euler Τ Τα 9 στοιχεία ενός ορθογώνιου x πίνακα Λ ικανοποιούν την συνθήκη ΛΛ =Ι. Η συνθήκη αυτή επιβάλει 6 περιορισμούς. Συνεπώς παραμένουν ελεύθερες παράμετροι. Αυτές οι τρεις ελεύθερες παράμετροι αποτελούν τους βαθμούς ελευθερίας κατά την στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος. Όπως θα αποδείξουμε στην συνέχεια αυτές οι τρεις ελεύθερες παράμετροι σχετίζονται με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τριών γωνιών, οι οποίες καλούνται γωνίες του Euler και ορίζονται ως εξής: Θεωρούμε δύο δεξιόστροφα ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων Οξ ξ ξ και Ox x x. x ξ x O ξ ξ x Το επίπεδο Ox x τέμνει το επίπεδο Oξ ξ κατά την ΟΝ. Έστω ϕ=οξ ΟΝ,, ψ=ον, Ο x, θ=οξ, Ο x Οι γωνίες φ, θ, ψ ονομάζονται γωνίες του Euler. Θα αποδείξουμε ότι τα δύο συστήματα μπορούν να συμπέσουν με στροφές κατά γωνίες φ, θ ψ. x ξ θ x ξ φ Ν O ψ x ξ Έστω Ox x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Οx x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Ο άξονας Ox συμπίπτει με τον Ox. Ο άξονας Ox θα κινηθεί στο επίπεδο που είναι κάθετο στην Οx. Το επίπεδο αυτό είναι το επίπεδο που ορίζουν οι Ox, Ox, στο οποίο ανήκει η ON.

Επομένως η Ox θα ταυτιστεί με την ΟΝ. x =x ξ θ x φ O ξ ξ Ν x =ON Έστω Ox x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Ox x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Συνεπώς, ο άξονας Ox συμπίπτει με το Ox. Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετο στην Ox. Ισχύει ότι : Η Οx είναι κάθετη στο επίπεδο των Ox,Ox. Επομένως είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου. Άρα Ox ON. Η Οξ είναι κάθετη στο επίπεδο των Oξ, Oξ. Επομένως είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου. Άρα Oξ ON. Άρα το επίπεδο που είναι κάθετο στην ΟΝ είναι το επίπεδο των Οx, Oξ. Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο των Οx, Oξ. στρεφόμενη κατά γωνία θ. Άρα η Οx θα ταυτιστεί με την Οξ. x =ξ ξ φ O φ x ξ ξ Ν x =ON Τέλος στρέφουμε το Ox x x γύρω από τον Ox κατά γωνία φ. Προφανώς ο άξονας Ox μένει αμετάβλητος. Το επίπεδο των Οξ, Οξ είναι κάθετο στην Οξ. Το επίπεδο των Ox,Ox είναι κάθετο στην Ox Oξ. Άρα οι Οξ, Οξ, Ox,Ox βρίσκονται στο επίπεδο το κάθετο στην Ox Oξ. Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο των ΟΝ, Oξ. στρεφόμενη κατά γωνία φ. 4

Συνεπώς η Ox θα ταυτιστεί με την Οξ. Άρα και η Ox θα ταυτιστεί με την Οξ. Συνοψίζοντας Ξεκινάμε από το Οx x x. Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x το προκύπτει από το Οx x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x που προκύπτει από το Ox x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Το σύστημα συντεταγμένων Οξ ξ ξ προκύπτει από το Ox x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά φ. Η αντίστροφη πορεία. Ξεκινάμε από το Οξ ξ ξ. Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x προκύπτει από το Οξ ξ ξ με στροφή του Οξ ξ ξ γύρω από τον άξονα Οξ κατά φ. Άρα x = R ( ϕ) ξ e =εr ( ϕ ) Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x προκύπτει από το Ox x με x στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Άρα x = R ( θ)x e = e R ( θ ) Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x προκύπτει από το Ox x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Άρα x = R ( ψ)x e= er ( ψ ) Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι: x = R ( ψ)r ( θ)r ( ϕ) ξ (α) ξ = R ( ϕ)r ( θ)r ( ψ )x = R ( ϕ)r ( θ)r ( ψ ) (β) T T T Η (4α) γίνεται: x=rξ, όπου συνψσυνϕ συνθημϕημψ συνψημϕ + συνθσυνϕημψ ημψημθ R = ημψσυνϕ συνθημϕσυνψ ημψημϕ + συνθσυνϕσυνψ συνψημθ ημθημϕ ημθσυνϕ συνθ (γ) 5

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙV H γωνιακή ταχύτητα Θεωρούμε ένα στερεό το οποίο στρέφεται έτσι ώστε το σημείο Ο του στερεού να είναι ακίνητο. Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Οξ ξ ξ με μοναδιαία διανύσματα ε, ε, ε ακίνητο στο χώρο και ένα σύστημα συντεταγμένων Οx x x με μοναδιαία διανύσματα e,e,e σταθερό επί του στερεού. Το στοιχείο της γραμμής και j στήλης του πίνακα R στη σχέση (γ) του παραρτήματος ΙΙΙ είναι το εσωτερικό γινόμενο e εj. Καθώς το στερεό στρέφεται οι γωνίες του Euler αλλάζουν συνεχώς. Θα υπολογίσουμε την γωνιακή ταχύτητα του στερεού συναρτήσει των γωνιών του Euler και των παραγώγων τους. Θα εκφράσουμε τις συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας τόσο στο αδρανειακό σύστημα όσο και στο σύστημα που είναι σταθερό επί του στερεού. Θέτουμε ˆn το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση της ΟΝ. Έστω φ, θ, ψ οι γωνίες του Euler την στιγμή t. Στο χρονικό διάστημα (t,t+) οι γωνίες του Euler μεταβάλλονται κατά dφ, dθ, dψ αντιστοίχως. Η απειροστή κίνηση ενός σημείου του στερεού με διάνυσμα θέσης r ως προς το Ο, μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των εξής απειροστών κινήσεων : Στροφή κατά γωνία dφ γύρω από τον άξονα Οξ. Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι dϕ ε r Στροφή κατά γωνία dθ γύρω από τον άξονα Ox ON. Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι dθ nˆ r Στροφή κατά γωνία dψ γύρω από τον άξονα Οx Ox Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι dψ e r Άρα η συνολική μετατόπιση του στερεού είναι (dϕ ε + dθ ε + dψ e ) r. Συνεπώς, η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι: ω=ϕ ε +θ ˆn+ψ e =ϕ ε +θ e +ψ e () 6

e = e R ( θ ) =εr ( ϕ)r ( θ) e e e = ε ε ε R ( ϕ)r ( θ) Ισχύει ότι [ ] [ ] Μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι: e =συνϕ ε +ημϕ ε e = ημϕημθ ε συνϕημθε + συνθ ε Αντικαθιστώντας στην () έχουμε ότι: ω = ϕ ε + θσυνϕε + θημϕε + ψημϕημθ ε ψσυνϕημθε + ψσυνθ ε ω = ( θσυνϕ + ψημϕημθ ) ε + ( θημϕ ψσυνϕημθ ) ε + ( ϕ + ψσυνθ ) ε () Άρα ο πίνακας συντεταγμένων της γωνιακής ταχύτητας ως προς το σύστημα Οξ ξ ξ είναι: θσυνϕ + ψημϕημθ ξ ω = θημϕ ψσυνϕημθ ϕ+ψσυνθ Για τον πίνακα συντεταγμένων της γωνιακής ταχύτητας ως προς το σύστημα Οx x x ισχύει ότι: x = R ( ψ )x = R ( ψ)r ( θ )x = R ( ψ)r ( θ)r ( ϕ) ξ ω ω ω ω θσυνϕ+ψημθημϕ x ω = θ ημϕ ψημθσυνϕ Άρα ϕ+ψ συνθ ω= ( θσυνϕ+ψημθημϕ )e + ( θημϕ ψημθσυνϕ )e + ( ϕ+ψσυνθ )e () 7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V Δυναμική στερεού σώματος Για απλοποίηση των υπολογισμών θεωρούμε ένα στερεό σώμα ως άθροισμα Ν υλικών σημείων. Η ορμή και ο νόμος μεταβολής της ορμής Η ορμή ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στο σημείο Μ είναι: p = mυ Η ορμή του στερεού σώματος είναι N N p = p = mυ = mυ cm = = p = mυ cm Για κάθε υλικό σημείο του στερεού ισχύει ο νόμος μεταβολής της ορμής: dp = F( εξ) + F( εσ) Συνεπώς για το στερεό σώμα ισχύει ότι: N N N dp dp = = F( εξ) + F( εσ) = = = Υποθέτοντας ότι οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης υπακούουν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης () έχουμε ότι dp = N = N F ( εξ) = F = 0. Επομένως ( εσ) () Η στροφορμή και ο νόμος μεταβολής της στροφορμής ενός στερεού σώματος Η στροφορμή στερεού σώματος Την στροφορμή του στερεού σώματος μπορούμε να την υπολογίσουμε είτε ως προς ένα ακίνητο σημείο του χώρου είτε ως προς ένα σταθερό επί του στερεού σημείο. Οι εξισώσεις που προκύπτουν έχουν απλούστερη μορφή στην δεύτερη περίπτωση. Θεωρούμε ένα σημείο Κ σταθερό επί του στερεού. Η στροφορμή ως προς Κ ενός υλικού σημείου, που βρίσκεται στο Μ είναι Μ L(K) = r p= mr υ = mr [ υ K+ ( ω r)] = mr υ K+ mr ( ω r) r K Η στροφορμή του στερεού είναι το άθροισμα των στροφορμών των στοιχειωδών μαζών του. R R Συνεπώς. Κ O 8

N N N (K) = (K) = υ K + ω = = = L L ( m r) m r ( r) (α) Ισχύει ότι N mr = mr cm, όπου r cm = το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ως προς Κ. Επομένως, N (K) = cm υ K + ω = L mr m r ( r) (β) Ας παραλείψουμε προς το παρόν τον δείκτη και ας υπολογίσουμε την ποσότητα S= r ( ω r). Κάνοντας χρήση της ταυτότητας : a (b c) = (a c)b (a b) c έχουμε ότι: S= r ( ω r) = (r r) ω ( ω r)r (4) Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το δεύτερο όρο στην (β) είναι απαραίτητο να μετασχηματίσουμε την (4) σε ποιο βολική μορφή. Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Κ, σταθερό επί του στερεού. Αν (x,y,z) οι συντεταγμένες του σημείου Μ και (ω x, ω y ω z ) οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας τότε: r r = x + y + z και ω r = xωx + yω y + zω z Για την x συνιστώσα του διανύσματος S ισχύει ότι: S = (r r) ω ( ω r)x = (x + y + z ) ω (xω + yω + z ω )x x x x x y z S = (y + z ) ω xyω xzω (5α) x x y z Ομοίως S = (z + x ) ω yzω yxω (5β) y y z x S = (x + y ) ω zxω zyω (5γ) z z x y Οι τελευταίες σχέσεις μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια πινάκων: + ω Sx y z xy xz x S y xy x z yz = + ωy S z xz yz x + y ω z Αντικαθιστώντας στην σχέση (β) έχουμε ότι: L = mr υ + I ω (K) cm K (K) (6) (7) Όπου N N N m(y + z ) mxy mxz = = = N N N I( Κ ) = mxy m (x + z ) myz = = = N N N mxz myz m(x + y ) = = = (8) 9

Ο πίνακας Ι (Κ) ονομάζεται τανυστής ροπής αδράνειας ως προς το σημείο Κ στο σύστημα συντεταγμένων Kxyz. Παρατηρήσεις Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες x,y,z. Τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα ονομάζονται γινόμενα αδράνειας Ο πίνακας Ι είναι συμμετρικός Τα στοιχεία του πίνακα στήλη Ιω είναι οι συνιστώσες της στροφορμής λόγω περιστροφής στο σύστημα Κxyz που είναι σταθερό επί του στερεού. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής Η στροφορμή ως προς Κ ενός υλικού σημείου, που βρίσκεται στο Μ είναι L = r p (K) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (ως προς Κ) του σημείου που βρίσκεται στο Μ dl (K) dr dp = p + r (9) dp Όμως = F Το διάνυσμα r είναι ένα σταθερό επί του στερεού διάνυσμα το οποίο μεταβάλλεται με τον χρόνο, επειδή τόσο το σημείο Κ όσο και το σημείο Μ κινούνται. Θεωρούμε ένα σημείο O σταθερό στο χώρο. Ισχύει ότι dr dr dr dr K r = R RK = =υ υk Μ r Η σχέση (9) γίνεται: K dl(k) = m( υ υ K) υ + r F = mυ υ + mυ υ K + r F R R Κ dl(k) = mυ υ K + r F (0) O Επομένως για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του στερεού έχουμε: dl Ν N N (K) dl(k) = = ( m υ ) υ K + r F = = = dl N N N (K) = mυ cm υ K + r F = mυ cm υ K + r F( εξ) + r F( εσ) = = = dl(k) = mυ cm υ K + τ ( κ)( εξ) + τ( κ)( εσ) Υποθέτοντας ότι οι εσωτερικές δυνάμεις είναι κεντρικές και υπακούουν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης ισχύει ότι τ ( κ)( εσ) = 0 0

Επομένως dl(k) = mυ cm υ K + τ( κ)( εξ) Αν το σημείο Κ είναι το κέντρο μάζας τότε, r K = r cm = 0 Οι σχέσεις (7) και () γίνονται L = I ω (cm) dl (cm) Όπου (cm) = τ (cm) mυ υ = mυ υ = 0. και cm K cm cm () (α) (β) N N N m(y + z ) mxy mxz = = = N N N I(cm) = mxy m (x + z ) myz = = = N N N mxz myz m(x + y ) = = = Σχόλιο Στην πραγματικότητα τα παραπάνω αθροίσματα πρέπει να αντικατασταθούν με ολοκληρώματα σε όλη την έκταση του στερεού. + Ι (cm) = + + (y z )dm xydm xzdm xydm (x z )dm yzdm xzdm yzdm (x y )dm (γ)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ Ο τανυστής αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου Ο τανυστής της ροπής αδράνειας ως προς σύστημα συντεταγμένων Κxyz σταθερό επί του στερεού δίνεται από την σχέση (γ) του παραρτήματος V. Ονοματίζοντας τους άξονες ως x, x, x η σχέση (γ) του παραρτήματος V γίνεται: (x + x )dm xxdm xxdm Ι ( Κ ) = xxdm (x + x )dm xxdm xxdm xxdm (x + x)dm Όπου η ολοκλήρωση εκτείνεται σε ολόκληρο το στερεό. Θεωρώντας τον κυκλικό δίσκο επίπεδο, ισχύει ότι x =0, x =r συνγ, x =r ημγ για κάθε σημείο του δίσκου. () x γ x Επομένως (x + x )dm 0 0 r dm 0 0 Ι ( Κ ) = 0 xdm xxdm = 0 r συν γdm r συνγημγdm 0 xxdm xdm 0 r συνγημγdm r ημ γdm Αν σ η επιφανειακή πυκνότητα του δίσκου τότε ένα στοιχειώδες τμήμα του δίσκου έχει μάζα dm =σrdrdγ. Ο τανυστής αδράνειας γίνεται: ρ π σ rdrdγ 0 0 0 0 ρ π ρ π Ι ( Κ ) = 0 σ r συν γdrdγ σ r συνγημγdrdγ 0 0 0 0 ρ π ρ π 0 r drd r drd σ συνγ ημγ γ σ ημ γ γ 0 0 0 0

ρ π 4 σ rdrd 0 0 πρ γ σ 0 0 0 0 ρ π 4 πρ Ι ( Κ ) = 0 σ r συν γdrdγ 0 = 0 σ 0 4 0 0 4 ρ π πρ 0 0 r drd 0 0 σ σ ημ γ γ 4 0 0 4 πρ σ 0 0 0 0 4 πρ mρ Ι ( Κ ) = 0 0 0 0 σ 4 = 4 4 0 0 πρ 0 0 σ 4 ()