Όταν ο άξονας περιστροφής δεν είναι κάθετος στην ράβδο

Transcript

1 Όταν ο άξονας περιστροής δεν είναι κάθετος στην ράβδο Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους l στρέεται, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυο άξονα έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία με τον άξονα περιστροής. Ο άξονας περιστροής συνδέεται με το κάτω άκρο της ράβδου με άρθρωση και με το πάνω με αβαρές οριζόντιο νήμα. Να υπολογιστούν: α) Η δύναμη που ασκεί το νήμα στην ράβδο β) Η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο ω η Απάντηση ( με τους νόμους μεταβολής στροορμής και ορμής) L Ο r Θεωρούμε ένα σταθερό επί της ράβδου σύστημα συντεταγμένων τέτοιο ώστε η αρχή του να είναι το κάτω άκρο της ράβδου, ο άξονας να συμπίπτει με τον άξονα περιστροής και η ράβδος να βρίσκεται στο επίπεδο. Για να βρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται στην ράβδο θα χρησιμοποιήσουμε τους νόμος μεταβολής της ορμής και της στροορμής. Η στροορμή της ράβδου ως προς Ο δίνεται από την σχέση L= IΩ όπου Ι ο πίνακας των συνιστωσών του τανυστή της ροπής αδράνειας και Ω ο πίνακας των συνιστωσών της γωνιακής ταχύτητας ως προς το ανωτέρω σύστημα συντεταγμένων. Θεωρούμε μια στοιχειώδη μάζα της ράβδου που βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες (,,).

2 Ο στοιχειώδης τανυστής αδράνειας είναι: ( + )dm dm dm dι= dm ( + )dm dm dm dm ( )dm + Ο τανυστής αδράνειας είναι το ολοκλήρωμα στις στοιχειώδει μάζες: Ι= + + ( + )dm dm dm dm ( )dm dm dm dm ( )dm Επειδή για όλες τις στοιχειώδεις μάζες της ράβδου ισχύει ότι =, ο πίνακας Ι γίνεται: Ι= ( + )dm dm dm dm dm (α) (β) () Ας υπολογίσουμε τις συνιστώσες του τανυστή της ροπής αδράνειας. Έστω μ η γραμμική πυκνότητα της ράβδου. I = ( + )dm= r μ dr = μ = m (α) = = συν μ = μσυν = συν I dm r dr m (β) = = ημ μ = μημ = ημ I dm r dr m (γ) = = ημσυνμ = μημσυν = ημσυν I dm r dr m (δ) Επομένως m (4) ημσυν ημ Ι= συν ημσυν Η στροορμή ως προς Ο γίνεται: =ΙΩ= συν ημσυν ημσυν ημ ω L m

3 L (5) ημ τα μοναδιαία διανύσματα στους τρεις άξονες. = m ωημ συν Έστω e,e,e Το διάνυσμα της στροορμής ως προς Ο είναι L= m ωημ( συν e +ημe ) (6) Τα διανύσματα e,e,e είναι σταθερά επί του στερεού. Εν γένει στον χώρο μεταβάλλονται Ισχύει ότι de =ω e =ω e e =ωe (7α) de =ω e =ω e e = ωe (7β) de =ω e =ω e e = (7γ) Από τις σχέσεις (6) και (7) έχουμε για τον ρυθμό μεταβολής της στροορμής ότι: dl de de m ( = ωημ συν +ημ ) dl m = ω ημσυν e (8) Οι μη μηδενικές ροπές που ασκούνται στην ράβδο είναι: Του βάρους της : τ w = mg ( ημ e +συν e ) e = mg ημe (9α) Της δύναμης του νήματος: τ T = T( ημ e + συν e) e = T συνe (9β) Σύμωνα με τον νόμο μεταβολής της στροορμής έχουμε ότι dl = Στ m ω ημσυν e = mg ημ e + T συν e Τ= m ωημ+ mgε () Η ορμή του κέντρου μάζας είναι: p cm = mυ cm = mω rcm = mω e ( ημ e +συνe ) p cm = mυ cm = mω rcm = mω ημe Από τον θεώρημα κίνησης του κέντρου μάζας έχουμε: dp cm de =ΣF mω ημ = mge Te +

4 dp cm =ΣF mω ημ e = mge Te + = T mω ημ e + mg e = m ω ημ + mgε mω ημ e + mg e () 6 = m gε ω ημ e + mge η απάντηση ( με αδρανειακές δυνάμεις) Ως προς το σύστημα αναοράς που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω η ράβδος είναι ακίνητη. Επομένως, κάθε στοιχειώδες τμήμα της δέχεται υγόκεντρο δύναμη. Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου μήκους dr, το οποίο απέχει απόσταση r από το Ο. Η στοιχειώδης υγόκεντρος δύναμη που του ασκείται είναι: F df Ο r df = dmω e =μω ημr dr e (γραμμική κατανομή ορτίου) () Η στοιχειώδης ροπή της δύναμης αυτής είναι: dτ = df e = μω ημσυνr dr e () Η συνολική υγόκεντρος δύναμη που ασκείται στην ράβδο είναι: F = df = μω ημ rdre = mω ημ (4) Η συνολική ροπή της υγοκέντρου δύναμης είναι: τ = dτ = μω ημσυν r dre = mω ημσυν e (5) Για να ισορροπεί η ράβδος πρέπει Στ = τ w + τ Τ + τ = mg ημ + Tσυν mω ημσυν = 4

5 Τ= mgε+ mωημ Από την συνθήκη ισορροπίας των δυνάμεων βρίσκουμε την δύναμη της άρθρωσης. Παρατηρήσεις ) Η δύναμη της άρθρωσης δίνεται από την σχέση 6 = m gε ω ημ e + mge Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές της γωνιακής ταχύτητας ω< g συν η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης είναι θετική και επομένως η άρθρωση «απωθεί» την ράβδο. Για μεγάλες τιμές της γωνιακής ταχύτητας η άρθρωση «έλκει» την ράβδο. ) Ισχύει ότι τ = συν. F Επομένως το σημείο εαρμογής της υγοκέντρου δύναμης απέχει από το Ο απόσταση ίση με. korfiatis@sch.gr 5