Sommer-Semester 20 Moderne Theoretische Physik III Statistische Physik Dozent: Alexander Shnirman Institut für Theorie der Kondensierten Materie Di 09:45-:5, Lehmann HS 022, Geb 30.22 Do 09:45-:5, Lehmann HS 022, Geb 30.22 http://www.tkm.kit.edu/lehre/ss20_07.php Wednesday, May 4, 20
Ideale Gase ) Maxwell-Boltzmann-Gas das ideale klassische Gas H = i= p 2 i 2m kanonisches Ensemble Z =! e β P i= p 2 i 2m {p i }! Ununterscheidbarkeit Kasten L x,l y,l z Zustände (p x,p y,p z )= 2π L x n x, 2π L y n y, 2π L z n z Wednesday, May 4, 20
Maxwell-Boltzmann-Gas H = i= p 2 i 2m p =(p x,p y,p z )= 2π L x n x, 2π L y n y, 2π L z n z Kombinatorik Z =! {p i } e β P i= p 2 i 2m =! p p2 β e 2m =! (Z ) Z p p2 β e 2m Ein-Teilchen-Zustandssumme = λ T 2π 2mπ β = V dpx dp y dp z (2π) 3 λ T = e β p 2 2m 2π 2 mk B T = V λ 3 T thermische dx e ax2 = de Broglie-Wellenlänge π a Wednesday, May 4, 20
H = i= p 2 i 2m Maxwell-Boltzmann-Gas Z =! (Z ) Z = V λ 3 T λ T = 2π 2 mk B T F (T,V,)= k B T ln Z freie Energie, kanonisches Ensemble Stirling-Formel! 2π e F = k B T ln Z e = k B T ln e V e λ 3 T S = F T V, P = F V T, µ = F T,V Wednesday, May 4, 20
F = k B T ln λ T = 2π 2 mk B T Maxwell-Boltzmann-Gas V e λ 3 T freie Energie, kanonisches Ensemble thermische de Broglie-Wellenlänge S = F T = F V, T + 3 2 k B U = 3 2 k BT P = F V T, PV = k B T µ = F T,V µ = k B T ln V λ 3 T = k B T ln V mkb T 2π 2 3 2 Wednesday, May 4, 20
F = k B T ln λ T = S = F T 2π 2 mk B T Maxwell-Boltzmann-Gas V V, = k B ln e λ 3 T freie Energie, kanonisches Ensemble thermische de Broglie-Wellenlänge V e λ 3 T + 3 2 k B V a3 a - Abstand zwischen den Teilchen für a λ T gilt S<0 Versagen der klassischen Physik Wednesday, May 4, 20
λ T = S = k B ln 2π 2 mk B T V Versagen der klassischen Physik e λ 3 T thermische de Broglie-Wellenlänge + 3 2 k B V a3 a - Abstand zwischen den Teilchen für a λ T gilt S<0 z.b. : T = 00K ) H2 Moleküle λ T Å a Maxwell-Boltzmann OK 2) Elektronen im Metal λ T 70Å a Maxwell-Boltzmann nicht OK Wednesday, May 4, 20
Maxwell-Boltzmann-Gas großkanonisch H = i= p 2 i 2m Z =! (Z ) Z = V λ 3 T λ T = 2π 2 mk B T Z G (T,V,µ)= n e β(e n µ n ) = e βµ j e βe j() = e βµ Z() Z G (T,V,µ)=! (eβµ Z ) = exp e βµ Z Wednesday, May 4, 20
Maxwell-Boltzmann-Gas Z = V λ 3 T λ T = großkanonisch 2π 2 mk B T Z G (T,V,µ) = exp e βµ Z Ω(T,V,µ)= k B T ln Z G = k B Te βµ Z = Ω µ T,V = e βµ Z Ω = k B T S = Ω T V,µ S = Ω T µ T 3 2 Ω T U = 3 2 Ω = 3 2 k BT P = Ω V T,µ P = Ω V PV = k B T Wednesday, May 4, 20
Quantenzustände Produkt-Zustand von Teilchen Ψ = φ λ (x )φ λ2 (x 2 )...φ λ (x ) z.b. x j (r j, σ j ) λ j p j Hamilton-Operator von nicht wechselwirkenden Teilchen Ĥ(x,...,x )= j ĥ(x j ) ĤΨ = EΨ Ein-Teilchen-Hamilton-Operator ĥ(x j )φ λj (x j )= λj φ λj (x j ) E = j j Wednesday, May 4, 20
och mal M.-B.-Gas kanonisch Z =! λ,...,λ e β P j λ j =! λ e β λ =! Z großkanonisch Z G =! eβµ Z = exp e βµ Z Wednesday, May 4, 20
och mal M.-B.-Gas Z G =! eβµ Z = exp e βµ Z Z = λ e β λ anderseits Z G = λ = λ n n λ! e β( λ µ)n λ λ n n λ! e β( λ µ)n λ = exp λ λ mit e β( λ µ) = exp e βµ Z also Z G = n n 2 n λ n!n 2!...n λ! e β P λ ( λ µ)n λ = λ n λ n λ - Zahl der Teilchen im Zustand λ E = λ n λ λ Wednesday, May 4, 20
Maxwell-Boltzmann-Verteilung = λ n λ E = λ n λ λ n λ n λ! e β( λ µ)n λ = exp e β( λ µ) Wahrscheinlichkeit, dass Zustand λ mit n λ Teilchen besetzt ist W λ (n λ )= n λ! e βn λ( λ µ) n λ = n λ W λ (n λ )n λ = n λ n λ! n λe βn λ( λ µ) = e β( λ µ) n λ = e β( λ µ) Wednesday, May 4, 20
Warum versagt M.-B. Produkt-Zustand von Teilchen Ψ = φ λ (x )φ λ2 (x 2 )...φ λ (x ) Zustand λ besetzt 3 mal n λ =3 Ψ =...φ λ (x j )φ λ (x j+ )φ λ (x j+2 )... Permutationen zwischen x j,x j+,x j+2 nicht nötig Z G = n n 2 n n!n 2!...n λ! e β λ Z G = n n 2 P λ ( λ µ)n λ n λ e β n n P λ ( λ µ)n λ n λ = λ e β P λ ( λ µ)n λ n λ e β( λ µ)n λ Wednesday, May 4, 20
Das ideale Bose-Gas Produkt-Zustand von Teilchen Ψ = orm. {P } Symmetrisch φ λ (x P )φ λ2 (x P2 )...φ λ (x P ) Der Zustand ist charakterisiert lediglich durch n λ,, 2,..., Bosonen Z G = n =0 n 2 =0 e β P λ(λ µ)nλ = λ e β( λ µ)n λ Wednesday, May 4, 20
Das ideale Bose-Gas Unabhängige Herleitung Der Zustand ist charakterisiert lediglich durch n λ = λ n λ E = λ n λ λ,, 2,..., Bosonen Z G (T,V,µ)= n e β(e n µ n ) = {n λ } e β P λ n λ( λ µ) Z G = λ e β( λ µ)n λ Wednesday, May 4, 20
Das ideale Bose-Gas Z G = = n =0 n =0 e β( λ µ)n λ = e β P λ(λ µ)nλ = λ e β( λ µ) Wahrscheinlichkeit, dass Zustand λ mit n λ Teilchen besetzt ist W λ (n λ )= e βn λ( λ µ) = e βn λ( λ µ) e β( λ µ) n λ = W λ (n λ )n λ = n B () = e β( µ) n λ e βn λ( λ µ) = Bose-Funktion e β( λ µ) Wednesday, May 4, 20
Bose-Funktion n B ( λ )= e β( λ µ) Bose-Funktion µ 0 Wednesday, May 4, 20
Das ideale Fermi-Gas Produkt-Zustand von Teilchen Ψ = orm. Antisymmetrisch ( ) P φ λ (x P )φ λ2 (x P2 )...φ λ (x P ) {P } Der Zustand ist charakterisiert lediglich durch n λ, Fermionen Z G = n =0 n 2 =0 e β P λ(λ µ)nλ = λ e β( λ µ)n λ =+e β( λ µ) Wednesday, May 4, 20
Das ideale Fermi-Gas Unabhängige Herleitung Der Zustand ist charakterisiert lediglich durch n λ = λ n λ E = λ n λ λ, Fermionen Z G (T,V,µ)= n e β(e n µ n ) = {n λ } e β P λ n λ( λ µ) Z G = λ e β( λ µ)n λ Wednesday, May 4, 20
Z G = = n =0 Das ideale Fermi-Gas n =0 e β P λ(λ µ)nλ = λ e β( λ µ)n λ =+e β( λ µ) Wahrscheinlichkeit, dass Zustand λ mit n λ Teilchen besetzt ist W λ (n λ )= e βn λ( λ µ) = e βnλ(λ µ) +e β( λ µ) n λ = W λ (n λ )n λ = n F () = e β( µ) + n λ e βn λ( λ µ) = Fermi-Funktion e β( λ µ) + Wednesday, May 4, 20
Fermi-Funktion n F () = e β( µ) + Fermi-Funktion Wednesday, May 4, 20
Zusammenfassung M.-B. = exp e β( λ µ) Z G = λ Bose = e β( λ µ) Fermi =+e β( λ µ) n MB ( λ )=e β( λ µ) M.-B. n λ = n B ( λ )= e β( λ µ) Bose-Funktion n F ( λ )= e β( λ µ) + Fermi-Funktion Wednesday, May 4, 20