Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Συγγραφέας : Γεώργιος Α. Αλέστας Επιβλέπων Καθηγητής : Χ. Αναστόπουλος

Περιεχόµενα 1 Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein 3 1.1 Γενική µορφή των εξισώσεων Einstein.............. 3 1.2 Στατικές λύσεις των εξισώσεων Einstein µε σφαιρική συµµετρία 5 1.3 Αστρική κατάρρευση µε σφαιρική συµµετρία.......... 8 2 Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για α- κτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα 12 2.1 Προσδιορισµός των εξισώσεων και των συνοριακών τους συνθηκών................... 12 2.2 Οµαλές λύσεις των εξισώσεων.................. 14 2.3 Λύσεις µε µοναδικότητα και οι ιδιότητες τους.......... 15 2.4 Εντροπία µοναδικοτήτων..................... 17 2.5 Εφαρµογή της Αρχής Μεγίστης Εντροπίας........... 20 3 Επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση 23 3.1 Προσδιορισµός της καταστατικής εξίσωσης........... 23 3.2 Εύρεση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff.......... 24 3.3 Αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff µε την χρήση Mathematica........................... 25 3.4 Εύρεση της εξίσωσης Θερµοκρασίας συναρτήσει της πυκνότητας................... 26 4 Συµπεράσµατα - Ανακεφαλαίωση 29 Αʹ Πίνακας Τιµών M R Y 0 32

Στην οικογένειά µου

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα iii Σύνοψη Στο πρώτο κεφάλαιο αυτής της εργασίας γίνεται µια αναφορά στις στατικές λύσεις των εξισώσεων Einstein µε σφαιρική συµµετρία, καθώς και σε κάποιες ϐασικές έννοιες που περιγράφουν την αστρική κατάρρευση µε σφαιρική συµ- µετρία. Στο δεύτερο κεφάλαιο έχουµε ενα λεπτοµερές παράδειγµα λύσης των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε ιδιο-ϐαρύτητα. ηλαδή έχουµε τον προσδιορισµό των ειδών των λύσεων και την µελέτη των ιδιοτήτων τους, όπως και τον προσδιορισµό της ποσότητας εντροπία µοναδικοτήτας που προκύπτει απο την µελέτη του προβλήµατος. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας έχουµε την επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer- Volkoff για ακτινοβολία µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση αυτή την ϕο- ϱά. Η επίλυση των εξισώσεων γίνεται ως επί το πλείστον µε αριθµητικές µε- ϑόδους µε την χρήση του προγράµµατος του Mathematica.

iv Synopsis The first chapter of this thesis is dedicated to the static spherically symmetric solutions of the Einstein equations, as well as to some of the most important mathematical constructs for the explanation of the spherically symmetric stellar collapse. In the second chapter we have an example of the solution of Oppenheimer-Volkoff equations for self-gravitating radiation. Specifically we are studying the type of solutions and their properties, furthermore we study the concept of the entropy of singularities that arises from the problem. In the third and last chapter we are occupied with the solution of Oppenheimer-Volkoff equations for self-gravitating radiation with a very specifc equation of state. We arrive at the solution of the equations with the use of Mathematica.

Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες µου πρώτα από όλα στον υπεύθυνο καθηγητή της διπλωµατικής µου εργασίας, κ. Χάρη Αναστόπουλο. Χωρίς την ϐοήθειά του και την καθοδήγησή του δεν ϑα είχε ολοκληρωθεί αυτή η εργασία. Επίσης ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Βασίλειο Γερογιάννη ο οποίος µου προσέφερε την πολύτιµη ϐοήθειά του και τις γνώσεις του όπου υπήρξαν τεχνικές δυσκολίες µε το πρόγραµµα Mathematica. Τέλος ϑα ήθελα να ευχαριστήσω πάρα πολύ την κυρία Χριστοπούλου για όλη την ϐοήθεια που µου προσέφερε κατά την διάρκεια της εκπόνησης αυτής της εργασίας.

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 1 Εισαγωγή Το ϑέµα αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι οι ϑερµοδυναµικές ιδιότητες συστηµάτων µε ιδιο-ϐαρύτητα. Ασχολούµαστε µε την υπόθεση ότι η ϑερµοδυναµική συµπεριφορά ενός τέτοιου συστήµατος δείχνει ότι υπάρχει στενή σύνδεση µεταξύ Θερµοδυναµικής και ϐαρύτητας, και πιο συγκεκριµένα ότι η πρώτη αποτελεί ϐασικό και ϑεµελιώδες συστατικό της δεύτερης. Επί της παρούσης κυρίως όταν κάποιος αναφέρεται σε ϐαρυτική εντροπία µένει στην αναφορά της εντροπίας που χαρακτηρίζει τους ορίζοντες γεγονότων µιας µελανής οπής. Αυτό δεν σηµαίνει ότι οι µόνες ϕυσικές οντότητες που έχουν εντροπία είναι αυτές. Συγκεκριµένα ο Penrose πρότεινε την ιδέα ότι µπο- ϱεί να συνδεθεί η εντροπία µε ϐαρυτικές µοναδικότητες σαν ένας τρόπος να αποκτήσουµε µια ϑερµοδυναµικά συνεπή περιγραφή της Κοσµολογίας. Η ϐασική ιδέα αυτής της εργασίας είναι ότι εάν δεχθούµε ότι οι ϐαρυτικοί ϐαθµοί ελευθερίας έχουν εντροπία η συνολική εντροπία ενός ϐαρυτικού συστήµατος ϑα είναι το άθροισµα της εντροπίας λόγω µάζας και της εντροπίας λόγω ϐαρύτητας, καθώς και µια µικρή συνεισφορά λόγω της αλληλεπίδρασής τους. Η ύπαρξη της εντροπίας που αφορά την ϐαρυτική συνεισφορά δεν αποτελεί και παραδοχή ότι οι µοναδικότητες που παρουσιάζονται στο πρόβληµα έχουν ϕυσική υπόσταση. Η εντροπία αυτή γίνεται αποδεκτή ως ένα µαθηµατικό κατασκεύασµα που προσθέτεται στην ολική έκφραση της εντροπίας για να έχουµε µια ολοκληρωµένη ϑερµοδυναµική περιγραφή του συστήµατός µας. Στην προσπάθειά µας να το δείξουµε αυτό χρησιµοποιούµε ένα σφαιρικό κουτί µε αέριο ϕωτονίων το οποίο ϐρίσκεται σε ισορροπία. Η ϕύση του συστήµατός µας είναι τέτοια που µπορεί να περιγραφεί µε στατικές λύσεις σφαιρικά συµµετρικών εξισώσεων Einstein. Χρησιµοποιώντας την Αρχή Ε- λαχίστης Εντροπίας καταλήγουµε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι πρέπει να προστεθεί στην περιγραφή του συστήµατός µας άλλος ένας παράγοντας εντροπίας που ϑα αντιστοιχεί στην εντροπία που προέρχεται από την συνεισφορά των µοναδικοτήτων στον χωροχρόνο, όπως αυτές προβλέπονται από τις λύσεις των εξισώσεων Einstein. Η ύπαρξη αυτής της εντροπίας µοναδικοτήτων καταδεικνύει τους δεσµούς της ϐαρύτητας µε την ϑερµοδυναµική και ανοίγει τον δρόµο σε ϑεωρίες που υποστηρίζουν ότι πέρα από τους ορίζοντες γεγονότων (εντροπία Bekenstein-Hawking ) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντροπία για να περιγράψουµε και άλλες ϐαρυτικές οντότητες. Στην συνέχεια ασχοληθήκαµε µε την περίπτωση που έχουµε ξανά το ίδιο σύστηµα, ακτινοβολία σε σφαιρικό κουτί, που αυτή την ϕορά περιγράφεται από µια συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση. Προχωρήσαµε στην εύρεση των νέων εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff, τις ϕέραµε σε αδιάστατη µορφή και

2 Περιεχόµενα κάναµε αριθµητική επίλυση του συστήµατος των διαφορικών για διαφορετικές αρχικές συνθήκες µε την ϐοήθεια του Mathematica. Με τα αποτελέσµατα που λάβαµε κατασκευάσαµε την καµπύλη µάζας ακτίνας για τις διαφορετικές τιµές της πυκνότητας της ακτινοβολίας. Τέλος ϐρήκαµε την αναλυτική έκφραση για την εξίσωση της ϑερµοκρασίας συναρτήσει της πυκνότητας και έγινε µια προσπάθεια για την ολοκληρωµένη ϑερµοδυναµική περιγραφή του συστήµατος η οποία δεν ολοκληρώθηκε λόγω τεχνικών δυσκολιών του προγράµµατος που χρησιµοποιήθηκε. Μια εµπεριστατωµένη µελέτη τέτοιου είδους συστηµάτων µε συγκεκρι- µένες καταστατικές εξισώσεις ϑα µπορούσε να υποδείξει υπό προϋποθέσεις την ύπαρξη νέων αστρικών σωµάτων που ϑα είναι κάτι ανάµεσα σε κανονικά άστρα, τα οποία µπορούν να περιγραφούν από τις οµαλές λύσεις των εξισώσεων Einstein, και µελανές οπές. Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι εν µέρη η χρήση των µοναδικοτήτων για την υποστήριξη της ϑεµελιώδους σύνδεσης µεταξύ της Θερµοδυναµικής και της Βαρύτητας καθώς και η αριθµητική και αναλυτική µελέτη ενός συστήµατος µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση.

Κεφάλαιο 1 Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein 1.1 Γενική µορφή των εξισώσεων Einstein Στην νευτώνεια ϑεωρία της Βαρύτητας η εξίσωση Poisson από την οποία προκύπτει ο γνωστός µας νόµος της παγκόσµιας έλξης και η οποία µας δίνει το ϐαρυτικό δυναµικό Φ είναι η, 2 Φ = 4πGρ (1.1) Οπου ρ είναι η πυκνότητα µάζας. Το ϐαρυτικό δυναµικό που αποτελεί λύση της για µια µάζα m είναι, Φ = Gm r (1.2) Τώρα όσον αφορά την ΓΘΣ η πηγή του ϐαρυτικού πεδίου ϑα πρέπει να είναι µια έννοια η οποία ϑα είναι πολύ πιο γενική από οτι η πυκνότητα µάζας που χρησιµοποιείται στην νευτώνεια ϑεωρία. Αυτό ϑα µπορεί να επιτευχθεί χρησιµοποιώντας µια έννοια που εκφράζει την ενέργεια, αυτή η έννοια δεν είναι άλλη από τον Τανυστή Ενέργειας-Ορµής T. Εποµένως ϑα µπορούσαµε να εκφράσουµε την αντίστοιχη της εξίσωσης Poisson για την νευτώνεια ϑεωρία στην ΓΘΣ ως, O(g) = kt (1.3)

4 Κεφάλαιο 1. Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein Οπου το k είναι µια σταθερά, το g είναι η µετρική που παίζει τον ϱόλο της γενίκευσης του ϐαρυτικού δυναµικού Φ και το O είναι ένας διαφορικός τελεστής ο οποίος όταν επιδρά µε την µετρική µας δίνει έναν τανυστή της ίδιας τάξεως µε το T. Αποδεικνύεται οτι κάθε τανυστής που ορίζεται ως, O αϐ = R αϐ 1 2 gαϐ R + Λg αϐ (1.4) ικανοποιεί την συνθήκη που ϑέσαµε. Ο τανυστής R αϐ ονοµάζεται και τανυστής Ricci και προκύπτει εάν εκτελέσουµε την συστολή του τανυστή Riemann. Επειδή η συστολή αυτή είναι και η µόνη συστολή του τανυστή Riemann που επιτρέπεται, καθώς οι υπόλοιπες είναι µηδενικές λόγω συµµετρίας, ο τανυστής Ricci είναι και ο µόνος τανυστής που µπορεί να παραχθεί σαν συστολή του Riemann. Η ποσότητα R ονοµάζεται ϐαθµωτό Ricci και ορίζεται ως, R g αϐ R αϐ (1.5) Σε αυτό το σηµείο πρέπει να ορίσουµε και τον τανυστή Einstein, G αϐ R αϐ 1 2 gαϐ R (1.6) ο οποίος µας επιτρέπει να γράψουµε την εξίσωσή µας σε µια πιο συνοπτική µορφή, δηλαδή : G αϐ + Λg αϐ = kt αϐ (1.7) Θα προσέξατε οτι δεν έχουµε µιλήσει ακόµη για την παράµετρο Λ. Η παράµετρος αυτή είναι η επονοµαζόµενη Κοσµολογική σταθερά και έχει την δικιά της ιστορία σε ό,τι αφορά την ανάπτυξη της ΓΘΣ από τον Einstein. Η σταθερά αυτή δεν αποτελούσε αρχικά µέρος των εξισώσεων του Einstein,την εισήγαγε ο ίδιος αργότερα στην προσπάθειά του να πάρει στατικά κοσµολογικά µοντέλα σαν λύση τους. Βλέπετε στην εποχή που ο Einstein διατύπωσε την ΓΘΣ επικρατούσε η άποψη οτι το Σύµπαν ήταν στατικό αφού δεν είχε κάνει ακόµα ο Hubble την παρατήρηση οτι διαστέλλεται. Ο ίδιος ο Einstein σε µια κρίση αυτογνωσίας είχε χαρακτηρίσει την Κοσµολογική σταθερά ως το µεγαλύτερο λάθος της Ϲωής του. Για αυτό το λόγο όπως καταλαβαίνετε ϑα αρκεστούµε τουλάχιστον µέχρι στιγµής στο να ϑέσουµε Λ = 0, απλουστεύοντας έτσι και τις εξισώσεις µας. Στην σηµερινή εποχή όµως πού έχει παρατηρηθεί οτι το Σύµπαν ϐρίσκεται σε επιταχυνόµενη διαστολή η Κοσµολογική Σταθερά παίζει πολύ σηµαντικό ϱόλο, µιας και αν η τιµή της είναι ϑετική ικανοποιεί µε µεγάλη επιτυχία την

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 5 ερµηνεία της επιταχυνόµενης διαστολής του χώρου. Ο τύπος που µας δίνει την Κοσµολογική Σταθερά από άποψη µονάδων είναι ο, Λ = 8πG c 2 ρ 0 (1.8) όπου, το ρ 0 είναι η ενεργειακή πυκνότητα του κενού χώρου. Καταλαβαίνουµε λοιπόν οτι τυχόν ϑετική τιµή της Κοσµολογικής Σταθεράς συνεπάγεται και ϑετική τιµή της ενέργειας του κενού χώρου. Οσον αφορά την σταθερά k, η οποία µας δίνει και τον ϐαθµό σύζευξης της γεωµετρίας του χωροχρόνου µε την κατανοµή ενέργειας-ύλης, η τιµή της είναι 8π και προέρχεται από την απαίτηση να µας δίνουν οι εξισώσεις Einstein σαν αποτέλεσµα λύσεις που ικανοποιούν τις τροχιές των πλανητών στο Ηλιακό µας σύστηµα. Οπότε οι εξισώσεις Einstein παίρνουν την ακόλουθη µορφή, G αϐ = 8πT αϐ (1.9) Αυτό είναι ένα σύστηµα δέκα διαφορικών εξισώσεων και όχι δεκαέξι καθώς τα G αϐ και T αϐ είναι συµµετρικά. Ο τύπος που µας δίνει τον αριθµό των εξισώσεων όταν υπάρχει συµµετρία στο σύστηµα µας είναι ο, (n + 1) N = n 2 (1.10) όπου, µε το n συµβολίζουµε την διάσταση των εκάστοτε τανυστών που περιέχονται στις εξισώσεις µας. Στην συγκεκριµένη περίπτωση η διάσταση του Τανυστή του Einstein καθώς ϐέβαια και του Τανυστή Ενέργειας-Ορµής είναι τέσσερα καθώς αναφερόµαστε σε τετραδιάστατο χωροχρόνο. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε οτι σε περίπτωση που δεν έχει γίνει ήδη κατανοητό όλοι οι τανυστές που ϐρίσκονται στην ίδια εξίσωση ϑα πρέπει αξιωµατικά να είναι της ίδιας διάστασης. 1.2 Στατικές λύσεις των εξισώσεων Einstein µε σφαιρική συµµετρία Η µετρική που ϑα χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε τις ποσότητες που ϑα χρειαστούµε σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι η, ds 2 = e 2Φ dt 2 + e 2Λ dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 (1.11)

6 Κεφάλαιο 1. Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein Ολα τα στοιχεία της µετρικής είναι ανεξάρτητα του χρόνου t και εξαρτώνται µόνο από την µεταβλητή r. Συνεπώς, οι Φ, Λ είναι άγνωστες συναρτήσεις της µεταβλητής r µόνο. Με αυτόν τον τρόπο γραφής δεν περιορίζουµε το εύρος των τιµών του θ από το 0 έως το π, αντιθέτως είναι ελεύθερο να παίρνει τιµές από το 0 έως κάποια γωνία θ. Ο λόγος που γράφουµε τις άνωθεν συναρτήσεις µε την ϐοήθεια των εκθετικών είναι για να διασφαλίσουµε ότι οι συντελεστές της µετρικής µας είναι ϑετικοί. Το επόµενο ϐήµα είναι να υπολογίσουµε τις τιµές των ποσοτήτων που ϑα χρειαστούµε χρησιµοποιώντας την µετρική (1.11). Αυτές οι ποσότητες είναι τα µη-µηδενικά στοιχεία των συµβόλων Christoffel, του τανυστή Riemann και του τανυστή Ricci. Αυτά είναι τα εξής, 1) Μη-µηδενικά σύµβολα Christoffel: Γ t tr = Γ t rt = Φ Γ r tt = Φ e 2(Φ Λ) Γ r rr = Λ Γ r θθ = re 2Λ Γ r φφ = e 2Λ r sin 2 θ Γ φ rφ = Γ φ φr = 1 r Γ θ rθ = Γ θ θr = 1 r Γ θ φφ = sin θ cos θ Γ φ φθ = cot θ 2) Μη-µηδενικά στοιχεία τανυστή Riemann: R t θθt = rφ e 2Λ R r θθr = rλ e 2Λ R r = ΦΦr Λ re 2Λ sin 2 θ R r ttr = (Φ + Φ 2 Φ Λ )e 2(Φ Λ) R φ ttφ = 1 r Φ e 2(Φ Λ) R φ = θθφ e 2Λ 1

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 7 3) Μη-µηδενικά στοιχεία τανυστή Ricci: R tt = (Φ + Φ 2 Φ Λ + 2 r Φ )e 2(Φ Λ) R rr = Φ Φ 2 + Φ Λ + 2 r Λ R θθ = ( rφ 1 + rλ )e 2Λ + 1 R φφ = [( rφ 1 + rλ )e 2Λ + 1] sin 2 θ Οπου οι τόνοι συµβολίζουν παραγώγιση ως προς r. Τώρα γνωρίζοντας ότι ο τανυστής Einstein ορίζεται ως, G αϐ = R αϐ 1 2 Rg αϐ (1.12) Μπορούµε να υπολογίσουµε το ίχνος του ίσο µε, G µ µ = R (1.13) Οπότε η σχέση που συνδέει τους τανυστές Einstein και Ricci είναι η, R αϐ = G αϐ 1 2 Gg αϐ (1.14) Από την (1.14) ϕαίνεται ξεκάθαρα ότι για να ϐρούµε τις λύσεις στις εξισώσεις πεδίου στο κενό ϕτάνει να λύσουµε τις R αϐ = 0, έτσι λοιπόν ϐρίσκουµε ένα σύστηµα τριών διαφορικών εξισώσεων απο το οποίο µπορούµε να πάρουµε τα Φ και Λ. Οι εξισώσεις που αποτελούν το σύστηµα είναι οι, Φ + Φ 2 Φ Λ + 2 r Φ = 0 Φ Φ 2 + Φ Λ + 2 r Λ = 0 ( rφ 1 + rλ )e 2Λ + 1 = 0 Εύκολα µπορεί να δεί κάποιος ότι αν προσθέσουµε την πρώτη εξίσωση µε την δεύτερη προκύπτει η σχέση, Λ = Φ (1.15) Τώρα αν αντικαταστήσουµε την (1.15) στην τρίτη κατά σειρά εξίσωση το σύστη- µά µας παίρνει την µορφή, re 2Φ = r ± c (1.16)

8 Κεφάλαιο 1. Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein όπου το c είναι µια σταθερά. Αναλόγως τις τιµές των r και c έχουµε τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις που πρέπει να λάβουµε υπ όψιν, r Σε αυτή την περίπτωση και έχοντας ως δεδοµένο ότι έχουµε επιταχυνόµενη διαστολή στο Σύµπαν η µετρική παίρνει την µορφή, ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1.17) και περιγράφει ένα γραµµικό στοιχείο Minkowski έξω από την κατανοµή µάζας. c = r s, όπου r G είναι η ακτίνα Schwarchild του σώµατος Η µετρική τώρα παίρνει την µορφή, ds 2 = (1 r s r )dt2 + (1 r s r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1.18) και ονοµάζεται µετρική Schwarchild. r = c Η µετρική τώρα γίνεται, εφόσον ϑα έχουµε e 2Φ = 1 + α r. ds 2 = 2dt 2 + 1 2 dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1.19) r = r s = c Τέλος σε αυτή την περίπτωση ϑα έχουµε g tt = 0 και g rr =. Αυτό σηµαίνει ότι η µετρική Schwarchild εµφανίζει µοναδικότητα σε αυτό το σηµείο, όµως για τα περισσότερα αντικείµενα του παρατηρήσιµου Σύµπαντος η τιµή του r s είναι πάρα πολύ µικρή. [Iftikhar Ahmad et al, 2014, arxiv:1308.1233v2] 1.3 Αστρική κατάρρευση µε σφαιρική συµµετρία Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Birkhoff η µετρική που πρέπει να χρησιµοποιήσου- µε για το εξωτερικό του αστέρα είναι η µετρική Schwarchild η οποία είναι η (1.18) που δείξαµε πιο πάνω. Αυτή η µετρική ισχύει τόσο για το εξωτερικό του αστέρα όσο και για την επιφανειά του, καθώς αν αντικαταστήσουµε r = R(t) παίρνουµε, ds 2 = [(1 r s R ) (1 r s R ) 1 Ṙ 2 ]dt 2 + R 2 dω 2 (1.20)

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 9 όπου η τελεία δείχνει παραγώγιση ως προς τον χρόνο και dω 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2. Κάθε σηµείο στην επιφάνεια ακολουθεί µια ακτινική χρονοειδή γεωδαισιακή, δηλαδή 1 = [((1 r s R ) (1 r s R )Ṙ2 )]( dt dτ )2 (1.21) Λαµβάνοντας υπ όψιν µας και την διατήρηση της ενέργειας προκύπτει η σχέση, όπου το ϸ δίνεται από την σχέση, Ṙ 2 = 1 ϸ 2 (1 r s R )2 ( r s R 1 + ϸ2 ) (1.22) ϸ = g 00 dt dτ = (1 r s R ) dt dτ (1.23) είναι σταθερό πάνω στις γεωδαισιακές και µεγαλύτερο της µονάδας για σω- µάτια που είναι δέσµια ϐαρυτικά. Παρατηρούµε ότι η ταχύτητα κατάρρευσης Ṙ στο σηµείο R max = r s είναι 1 ϸ 2 ίση µε το µηδέν οπότε µπορούµε να κάνουµε την υπόθεση ότι η κατάρρευση ξεκίνησε από εκεί. Στην συνέχεια παρατηρούµε ότι λόγω της µορφής που έχει η µετρική µας η ελάχιστη ακτίνα στην οποία µπορεί ένας παρατηρητής να δεί τον αστέρα να έχει ϕτάσει κατά την συστολή του είναι η R = 2M που προκύπτει από το γεγονός ότι r s = 2M στις µονάδες µε c = G = 1. Μάλιστα σύµφωνα µε τον παρατηρητή ϑα χρειαστεί άπειρος χρόνος για να ϕτάσει η ακτίνα το σηµείο 2M. Αυτά είναι τα συµπεράσµατα στα οποία ϕτάνει κάποιος εξωτερικός παρατηρητής. Για κάποιον παρατηρητή όµως που ϐρίσκεται πάνω στην επιφάνεια του αστέρα τα πράγµατα είναι διαφορετικά, καταρχήν πρέπει να ορίσουµε µια νέα µεταβλητή ιδιοχρόνου τ πάνω στην ακτινική γεωδαισιακή, οπότε και η (1.22) γίνεται, ( dr dτ )2 = ( 2M R d dt = 1 ϸ (1 2M R ) d dτ 1 + ϸ2 ) = (1 ϸ 2 )( R max R (1.24) 1) (1.25) Μπορούµε τώρα να ϐρούµε ότι ο χρόνος που ϑέλει το άστρο για να καταρ- ϱεύσει από R = R max έως R = 0 αυτή την ϕορά, καθώς δεν υπάρχει κάποιος περιορισµός στο R = 2M είναι, τ = πm (1 ϸ) 3 2 (1.26)

10 Κεφάλαιο 1. Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein Το γεγονός ότι δεν υπάρχει καµία αλλαγή στο σηµείο R = 2M µας πα- ϱακινεί να προσαρµόσουµε τις συντεταγµένες µας κοντά σε αυτό το σηµείο για παρατηρητές που ακολουθούν την κατάρρευση. Γράφουµε λοιπόν την µετρική µας σε συντεταγµένες Eddington-Finkelstein (u, r, θ, φ), όπου, ds 2 = (1 2M R )( dt2 + dr 2 ) + r 2 dω 2 (1.27) = (1 2M R )dv2 + 2drdv + r 2 dω 2 (1.28) r = r + 2Mln r 2M 2M (1.29) ονοµάζεται ακτινική συντεταγµένη Regge-Wheeler και µεταβάλλεται από το έως το +. Η u δίνεται από την,99 v = t + r (1.30) και µεταβάλλεται και αυτή από το έως το +. Τώρα που αλλάξαµε συντεταγµένες είναι προφανές πλέον ότι το σηµείο 2M που µας οδηγούσε σε µοναδικότητα οφείλοταν µόνο στις συντεταγµένες που χρησιµοποιούσαµε, δηλαδή το άστρο δεν ϐρίσκει κανένα εµπόδιο στην κατάρρευση του. Μπο- ϱούµε επίσης πλέον να πούµε ότι τίποτα δεν µπορεί να εκπεµφθεί από την επιφάνεια του άστρου µόλις αυτό περάσει το όριο r = 2M. Οταν το άστρο πε- ϱάσει αυτό το σηµείο έχει πλέον καταρρεύσει σε µια µελανή οπή. Το αντίθετο της µελανής οπής ονοµάζεται λευκή οπή και περιγράφει ένα άστρο το οποίο έχει αρχικά µια ακτίνα r < 2M και διαστέλλεται πέρα από το όριο r = 2M. Στο σηµείο αυτό πρέπει να ορίσουµε τις συντεταγµένες Kruskal-Szekeres, Η µετρική µας τώρα παίρνει την µορφή, ds 2 = 32M 3 όπου το r δίνεται από την σχέση, r U = e u 4M (1.31) V = e v 4M (1.32) e r 2M dudv + r 2 dω 2 (1.33) UV = ( r 2M 2M )e r 2M (1.34)

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 11 Σχήµα 1.1: Το χωροχρονικό διάγραµµα µε την χρήση συντεταγµένων Kruskal-Szekeres. [Dr. P.K. Townsend, 1997, arxiv:gr-qc/9707012v1] απο την (1.34) µπορούµε να δούµε ότι η µοναδικότητα στο r = 0 αντιστοιχεί στο UV = 1. Το χωροχρονικό διάγραµµα τώρα παίρνει την µορφή του σχήµατος 1.1, όπου οι γραµµές σταθερού V και U σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία 45 0. Η µόνες περιοχές που µας απασχολούν όταν ασχολούµαστε µε την ϐαρυτική κατάρρευση ενός άστρου σε µελανή οπή είναι οι I και II καθώς οι υπόλοιπες περιγράφουν πλέον το εσωτερικό του. Στις περιοχές αυτές µπορούµε να κάνουµε χρήση των συντεταγµένων Eddington-Finkelstein (u, r, θ, φ).για τον ίδιο λόγο οι περιοχές I και III αντιπροσωπεύουν µια λευκή οπή.[dr. P.K. Townsend, 1997, arxiv:gr-qc/9707012v1]

Κεφάλαιο 2 Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα 2.1 Προσδιορισµός των εξισώσεων και των συνοριακών τους συνθηκών Θεωρούµε ότι το πρόβληµά µας περιγράφεται από ένα αέριο ϕωτονίων σε ϑερµική ισορροπία ϑερµοκρασίας T και ενεργειακής πυκνότητας ρ = σt 4, όπου σ είναι η σταθερά Steffan-Boltzmann (στην δική µας περίπτωση ϑα πάρουµε κατάλληλες µονάδες έτσι ώστε να ισούται µε 1), το οποίο ϐρίσκεται µέσα σε ένα σφαιρικό κουτί επιφάνειας A = πr 2. Επίσης ϑεωρούµε ότι η καταστατική εξίσωση που περιγράφει το σύστηµά µας είναι η P = 1 ρ, όπου 3 το P είναι η πίεση του αερίου. εδοµένου ότι το αέριο µας ϐρίσκεται σε ϑερµική ισορροπία µας ενδια- ϕέρουν µονο οι στατικές λυσεις των εξισώσεων Einstein.Σε σφαιρικές συντεταγµένες η µετρική που περιγράφει τον χώρο που καταλαµβάνει το αέριό µας είναι η, ds 2 = (1 2M R ) ρ(r) ρ(r) dt2 + dr 2 1 2m(r) r + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.1) Η πρώτη εξίσωση Oppenheimer-Volkoff που περιγράφει το σύστηµά µας και

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 13 αναφέρεται στην συνάρτηση της µάζας ως προς την ακτίνα είναι η, dm dr = 4πr2 ρ (2.2) και έχει ως συνοριακή συνθήκη την m(r) = M. Η δεύτερη εξίσωση Oppenheimer- Volkoff του προβλήµατός µας είναι η εξίσωση που σχετίζεται µε την ενεργειακή πυκνότητα, dρ dr = + 4 4ρ(m πr 3 ρ) 3 r 2 (1 2m ) (2.3) r Μπορούµε να καταλάβουµε ότι το µόνο που χρειαζόµαστε για να επιλύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff είναι οι συνοριακές συν- ϑήκες m(r) = M και T = (ρ(r)) 1 4 στην επιφάνεια του αερίου µας. Η επίλυση ϑα γίνει µε ολοκλήρωση από την επιφάνεια προς το κέντρο του αερίου. Οπως ϑα δούµε η επίλυση του συστήµατος µας δίνει δύο είδη λύσεων, τις οµαλές λύσεις και τις λύσεις µε µοναδικότητα στο κέντρο (r = 0), στις λύσεις µε µοναδικότητα παρατηρούµε ότι m(0) = M 0 < 0 και ότι η πυκνότητα είναι ανάλογη του r 2 καθώς πλησιάζουµε στο κέντρο του αερίου. Ενώ οι οµαλές λύσεις όπως περιµέναµε εµφανίζουν µια οµαλή συµπεριφορά καθώς πλησιάζουµε στο κέντρο, δηλαδή m(0) = 0 και ρ(0) = ρ c > 0. Οπως ϐλέπουµε δεν παρουσιάζονται λύσεις µε m(0) > 0 καθώς δεν υπάρχουν όταν επιλύουµε το σύστηµά µας από τα σύνορα προς το κέντρο. Οι οµαλές λύσεις σε σχέση µε τις λύσεις που εµπεριέχουν µοναδικότητα έχουν το πλεονέκτηµα ότι µπορεί να οριστεί για αυτές η ολική τους ενέργεια µε την µορφή του m(r) καθότι αυτό παίρνει πάντα ϑετικές τιµές και καθώς πλησιάζουµε στο άπειρο παίρνει την τιµή M, δεδοµένου λοιπόν ότι στις λύσεις µε µοναδικότητα η συνάρτηση m(r) παίρνει αρνητικές τιµές κοντά στο κέντρο του συστήµατός (λόγω της τοπολογίας της µοναδικότητας) µας δεν µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε την ολική ενέργειά του. Η επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff που κατασκευάσαµε απαιτεί τον ορισµό τριών ανεξάρτητων µεταβλητών M, R και T. Επίσης δεδοµένου ότι οι εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff δεν περιέχουν κάποια ϐαθµίδα µήκους που να εγγυάται τις σωστές καµπύλες των λύσεών µας εκτελούµε τους ακόλουθους µετασχηµατισµούς, M λm (2.4) R λr (2.5) T λ 1 2 T (2.6) Χάρη σε αυτούς τους µετασχηµατισµούς µπορούµε να δούµε ότι ορίζοντας τις κατάλληλες µεταβλητές µπορούµε να ϕέρουµε το σύστηµα των εξισώσεων

Κεφάλαιο 2. Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για 14 ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα Oppenheimer-Volkoff σε µια µορφή δι-διάστατου χρονικά οµογενούς δυνα- µικού συστήµατος. Οι νέες µεταβλητές που ϑα χρησιµοποιήσουµε ϑα είναι οι εξής, ξ = ln r R (2.7) u = 2m(r) r (2.8) v = 4πr 2 ρ (2.9) Οπότε οι εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff παίρνουν την µορφή, dv dξ du dξ = 2v u (2.10) = 2v(1 2u 2v 3 ) 1 u (2.11) Στο σύνορο (r = R) το ξ = 0 ενώ στο κέντρο όπου είχαµε r = 0 το ξ. Οι τιµές των u και v στο σύνορο είναι v 0 = 4πR 2 T 4, u 0 = 2M R. 2.2 Οµαλές λύσεις των εξισώσεων Για να ϐρούµε τις οµαλές λύσεις του συστήµατος 2.10, 2.11 αρκεί να ϐρούµε την ολοκληρωτική καµπύλη της διαφορικής, dv du = 2v(1 2u 2 v) 3 (1 u)(2v u) (2.12) έχοντας ως αρχική συνθήκη την v(0) = 0. Κάθε σηµείο της ολοκληρωτικής καµπύλης που ϐλέπουµε στο σχήµα 2.1 είναι και µια οµαλή λύση του συστήµατός µας.μπορούµε να διακρίνουµε δύο σηµαντικά σηµεία πάνω στην καµπύλη µας, το σηµείο Q και το σηµείο P, αυτά τα σηµεία αντιπροσωπεύουν της µέγιστες τιµές των u και v αντίστοιχα. Μπορούµε να ϐρούµε µε αριθµητικές µεθόδους ότι τα σηµεία αυτά έχουν συντεταγµένες P = (0.3861, 0.3416) και Q = (0.4926, 0.2463). Αυτός ο περιορισµός στις τιµές των Q και P δείχνει ότι υπάρχουν ανώτατα όρια και στις τιµές της Θερµοκρασίας T και της M για το αεριό µας στις συνθήκες που το µελετάµε. Το P είναι το σηµείο στο οποίο αρχίζει η ϑερµοδυναµική αστάθεια του συστήµατός µας, καθώς η ποσότητα ( M ) T R παίρνει αρνητικές τιµές από αυτό το σηµείο και µετά.

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 15 Σχήµα 2.1: Η ολοκληρωτική καµπύλη απο την οποία πέρνουµε τις οµαλές λύσεις των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff. [Charis Anastopoulos and Ntina Savvidou, class. Quantum Grav. 29 (2012) 025004] 2.3 Λύσεις µε µοναδικότητα και οι ιδιότητες τους Το κοµµάτι των λύσεων που ϑα µας απασχολήσει περισσότερο ειναι οι λύσεις µε µοναδικότητα. ιακρίνουµε λοιπόν αρχικά ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη λύσεων των εξισώσεών µας που εµφανίζουν µοναδικότητα, καθώς τις επιλύουµε µε ολοκλήρωση από τα σύνορα και προς τα µέσα. Το πρώτο είδος αφορά τις µικρές τιµές του v κοντά στα σύνορα του αερίου και τιµές του u που αυξάνονται σταδιακά καθώς πλησιάζουµε το κέντρο. Παρατηρούµε ότι υπάρχει ένα σηµείο που ονοµάζουµε r c στο οποίο το u πλησιάζει την µονάδα, κατι το οποίο είναι χαρακτηριστικό ενός ορίζοντα. Για σηµεία εσωτερικά του ορίζοντα και καθώς πλησιάζουµε το κέντρο, δλδ r < r c παρατηρούµε ότι η ποσότητα u µειώνεται απότοµα και πλησιάζει το. Μια πολύ πιθανή ερµηνεία αυτής της παρατήρησης είναι ότι το αέριό µας τείνει να συγκεντρωθεί ολόκληρο στην περιοχή του ορίζοντα που ανα- ϕερθήκαµε πιο πάνω. Για το δεύτερο είδος παρατηρούµε ότι η ποσότητα u αυξάνεται ως συνάρτηση του r. Η ϐασική διαφορά των δύο ειδών λύσεων είναι ότι στην περιοχή της καµπύλης του σχήµατος 2.1 απο την αρχή των αξόνων έως το σηµείο Q (στην υπόλοιπη καµπύλη η συµπεριφορά των λύσεων είναι χαοτική λόγω των πολλάπλών λύσεων µε ίδιο u) για το µεν πρώτο είδος παρατηρούµε ότι τα σηµεία αντιστοιχούν σε v 0 < v reg (u 0 ), ενώ για το δεύτερο είδος ϐλέπουµε ότι έχουµε σηµεία που αντιστοιχούν σε λύσεις µε u 0 > v reg (u 0 ). Γενικά ισχύει ότι για v 0 u 0 >> 1 ϑα έχουµε λύσεις που αντιστοιχούν στο δεύτερο είδος, ενώ για v 0 u 0 << 1 ϑα έχουµε λύσεις του πρώτου είδους. Από τις αρχικές εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff (2.2, 2.3) του συστήµατός

Κεφάλαιο 2. Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για 16 ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα µας µπορούµε να ϐρούµε ότι κοντά στην περιοχή της µοναδικότητας στο κέντρο του αερίου µας οι εξισώσεις της µάζας και της πυκνότητας παίρνουν τις εξής µορφές, m(r) = M 0 + 1 5 kr5 (2.13) ρ(r) = kr2 4π (2.14) όπου k είναι µία σταθερά. Σε αυτό το σηµείο εισάγουµε τις αδιάστατες παραµέτρους l = kr 4 και µ 0 = M 0 έτσι ώστε να εξαρτώνται µόνο από τα v R 0 και u 0. εδοµένου ότι για την ίδια ολοκληρωτική καµπύλη έχουµε σταθερά M 0 και k για όλες τις λύσεις και σε συνδυασµό µε το ότι οι συναρτήσεις που περιγράφουν τα v και u ως προς ξ εµφανίζουν ασυµπτωτική συµπεριφορά καθώς το ξ τα l και µ 0 υπακούουν στις, (2v 0 u 0 ) µ 0 + 2v 0(1 2u 0 2 v 3 0) µ 0 = µ 0 u 0 (1 u 0 ) v 0 (2.15) (2v 0 u 0 ) l 0 + 2v 0(1 2u 0 2 v 3 0) l 0 = 4l u 0 (1 u 0 ) v 0 (2.16) Χρησιµοποιώντας αριθµητική ανάλυση καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι οι εξισώσεις 2.15 και 2.16 έχουν τις εξής ιδιότητες, Για σταθερά u 0 τα µ 0 και l είναι ανάλογα του v 3 0 όταν v 0. Για σταθερά u 0 τα µ 0 και l είναι ανάλογα του v 1 0 όταν v 0 0. Για σταθερά u 0 τα µ 0 και l 0 αποκλίνουν στο άπειρο καθώς το v 0 προσεγγίζει την τιµή v reg. Οσο αφορά την µετρική µας 2.1 πλεόν κοντά στο κέντρο του συστήµατός µας παίρνει την µορφή, ds 2 = (1 u 0 ) R r v0 l dt2 + rdr2 2µ 0 R + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.17) Αυτή η µορφή της µετρικής δηλώνει ότι κοντά στην περιοχή r = 0(δηλαδή το κέντρο του συστήµατός όπου αναφέρεται η άνω µετρική) ο χωροχρόνος εµ- ϕανίζει µια κωνική µοναδικότητα. Μάλιστα λόγω του ότι καθώς πλησιάζουµε

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 17 στο κέντρο η πυκνότητα τείνει στο µηδέν είναι εύλογο το συµπέρασµα ότι η συγκεκριµένη κωνική µοναδικότητα δεν δύναται να ερµηνευθεί ως κάποιο σωµατίδιο όπως συνήθως συµβαίνει σε αυτές τις περιπτώσεις. Το συγκεκριµένο είδος της παρούσας µοναδικότητας δεν αποτελεί παρα- ϐίαση της υπόθεσης της Κοσµικής Λογοκρισίας (Cosmic Censorship Hypothesis (CCH)) κατά την οποία όλες οι µοναδικότητες πρέπει να κρύβονται από κάποιον ορίζοντα γεγονότων. Οι κωνικές µοναδικότητες είναι µοναδικότητες ελαφράς µορφής και δεν αποτελούν παραβίαση της (CCH). 2.4 Εντροπία µοναδικοτήτων Η ϐαρυτική ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα σε ένα σφαιρικό κουτί όπως στο πρόβληµά µας περιγράφεται από 2 ανεξάρτητες ϑερµοδυναµικές µεταβλητές, δηλαδή την µάζα και την ακτίνα που έχουµε χρησιµοποιήσει. Παρόλα αυτά οι εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff που είδαµε στην αρχή του κεφαλαίου απαιτούν την χρήση άλλης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής. Σε τέτοια ϑερµοδυναµικά συστήµατα χρησιµοποιείται η αρχή της µεγίστης Εντροπίας, δηλαδή το ό,τι για κάθε δεδοµένη τιµή της εσωτερικής ενέργειας οι τιµές των µεταβλητών σε κατάσταση ισορροπίας µεγιστοποιούν την τιµή της εντροπίας. Στο πρόβληµά µας για να χρησιµοποιήσουµε αυτή την αρχή ϑα ορίσουµε ένα συναρτησιακό εντροπίας S(M, T, R) ή αλλιώς S(u 0, v 0 ). Η ολική εντροπία ακτινοβολίας στο πρόβληµά µας είναι, S rad = 16π 3 R 0 dr r 2 ρ 3 4 1 2m r = 4 3 (4π) 1 4 R 0 r 1 2 v 3 4 1 u (2.18) Για τις εξισώσεις (2.10), (2.11) ϐρίσκουµε ότι η τελική µορφή του ολοκλη- ϱώµατος (2.18) είναι το άθροισµα 2 όρων, όπου, S rad (u 0, v 0, R) = S 1 (u 0, v 0, R) + S 0 (u 0, v 0, R) (2.19) S 1 (u 0, v 0, R) = 2 9 (4π) 1 4 v 0 + 3 u 2 0 R 3 2 (2.20) 1 u0 v 1 4 0 S 0 (u 0, v 0, R) = 1 3 (4π) 1 4 ( 4µ 0 (u 0, v 0 ) 2 k(u 0, v 0 ) ) 1 4 R 3 2 (2.21) µε την ποσότητα S 0 να αντιστοιχεί στην εντροπία στο κέντρο του αερίου, και την ποσότητα S 1 στο όριο της ακτίνας R. Στις οµαλές λύσεις ο όρος S 0 εξα- ϕανίζεται.

Κεφάλαιο 2. Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για 18 ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα Οταν κάνουµε µελέτη των σφαιρικά συµµετρικών στατικών λύσεων των ε- ξισώσεων Einstein ϑεωρούµε ότι η µετρική µας έχει οµαλή συµπεριφορά στο κέντρο. Στο πρόβληµά µας δεν µας ενοχλεί που οι λύσεις µας παρουσιάζουν µοναδικότητα στο κέντρο γιατί αυτού του είδους οι µοναδικότητες που πα- ϱουσιάζονται είναι κωνικής ϕύσεως, δηλαδή δεν αποτελούν σοβαρό πρόβληµα στην ϑεώρησή µας. Η ποσότητα S rad που ϐρήκαµε στην εξίσωση (2.19) δεν είναι ιδανική για την εφαρµογή της αρχής της µεγίστης εντροπίας όπως ϑέλουµε, καθώς δεν έχει ολικό µέγιστο για δεδοµένες τιµές των M και R. Αυτό δηλώνει ότι η ϑερµική ακτινοβολία είναι ϑερµοδυναµικά ασταθής ακόµα και στην παρουσία ενός πολύ µικρού ϐαρυτικού πεδίου. Η συµπεριφορά αυτή της εντροπίας µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι δεν αρκεί µόνο η εντροπία της ακτινοβολίας για να περιγράψει το πρόβληµά µας, χρειάζεται να ορίσουµε µια νέα ποσότητα εντροπίας που ϑα προέρχεται από το ϐαρυτικό πεδίο. Εάν λοιπόν η εντροπία των µοναδικοτήτων είναι σε µεγάλο ϐαθµό µικρότερη της εντροπίας του χώρου Minkowski λόγω ϐαρυτικής συνεισφοράς έχουµε µεγιστοποίηση της ολικής εντροπίας. Οπότε η ολική εντροπία δίνεται από τον τύπο, S tot = S rad + S sing (2.22) όπου η S sing είναι η εντροπία λόγω της ϐαρυτική συνεισφοράς. Στις οµαλές λύσεις έχουµε µέγιστη εντροπία µόνο αν η εντροπία των µοναδικοτήτων είναι µικρότερη από την εντροπία της ϐαρυτικής συνεισφοράς (δηλαδή την εντροπία που προέρχεται από την γεωµετρία Minkowski του χώρου). Για ευκολία διαλέγουµε τιµές για το S tot τέτοιες ώστε για τις λύσεις µε M = 0 έχουµε µηδενική εντροπία για κάθε τιµή του R, αυτό όµως έχει ως αποτέλεσµα να παίρνει το S sing αρνητικές τιµές. Για να µην λαµβάνουµε αρνητικές τιµές ολικής εντροπίας λοιπόν προσθέτουµε έναν επιπλέον όρο S flat (R) που µας διασφαλίζει το ϑετικό πρόσηµο στην ολική µας εντροπία. Οι παρακάτω περιορισµοί µας ϐοηθούν στο να κατασκευάσουµε µια S sing για το πρόβληµά µας : Οι οµαλές λύσεις ϑα πρέπει να αντιστοιχούν σε ενα ολικό µέγιστο της εντροπίας S tot. Η εντροπία ακτινοβολίας έχει την µορφή S rad (u 0, v 0, λr) = λ 3 2 Srad (u 0, v 0, R) για κάθε λ > 0. εδοµένου ότι αν η S sing συµπεριφέρονταν αλλιώς σε µετασχηµατισµούς ϑα ήταν αδύνατο να ϐρούµε τις οµαλές λύσεις στα ο- λικά µέγιστα της εντροπίας, οπότε και η S sing µετασχηµατίζεται ακριβώς όπως η S rad.

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 19 Σχήµα 2.2: Βλέπουµε την γραφική παράσταση της ποσότητας S tot /R 3 2 σαν συνάρτηση του v 0 για διαφορετικές τιµές του u 0. Συγκεριµένα η καµπύλη a αντιστοιχεί σε u 0 = 0.01, η b σε u 0 = 0.1, η c σε u 0 = 0.25, η d σε u 0 = 0.3861, η e σε u 0 = 0.44 και η f σε u 0 = 0.4923. Τα µέγιστα των καµπυλών d και f είναι και τα σηµεία P και Q του σχήµατος 2.1. Οι καµπύλες έχουν περισσότερα από ένα τοπικά µέγιστα για τις τιµές 0.3861 < u 0 < 0.4923. Το µέγιστο µε την µεγαλύτερη τιµή v 0 είναι και το ολικό µέγιστο της καµπύλης. [Charis Anastopoulos and Ntina Savvidou, class. Quantum Grav. 29 (2012) 025004]

Κεφάλαιο 2. Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για 20 ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα Η ύπαρξη των ολικών µεγίστων απαιτει η ολική εντροπία να είναι ϕραγ- µένη από πάνω για σταθερές τιµές των u 0 και R. ηλαδή η ολική εντροπία συγκλίνει σε σταθερές τιµές στα όρια v 0 0 και v 0 και ότι καµία από αυτές τις τιµές δεν είναι ολικό µέγιστο. Επίσης για σταθερές τιµές του R η ολική εντροπία είναι ϕραγµένη και από κάτω. Η εντροπία S sing εξαρτάρται µόνο από τις ιδιότητες της µοναδικότητας και αν υποθέσουµε ότι εξαρτάται µόνο από τις τιµές των m(r) και της πρώτης του παραγώγου στο όριο r 0 ϐρίσκουµε ότι είναι συναρτησιακό µόνο των M 0 και k. Οι συνθήκες αυτές είναι πολύ περιοριστικές και έτσι η ύπαρξη ενός συναρτησιακού S sing που τις ικανοποιεί είναι αρκετά δύσκολη. Λόγω του τρίτου περιορισµού το S sing πρέπει να έχει την ίδια ασυµπτωτική συµπεριφορά µε το S rad, και ο µόνος συνδυασµός των µ 0 και l που εµφανίζει ασυµπτωτική συ- µπεριφορά στο όριο r 0 και εξαφανίζεται µε την απουσία µοναδικοτήτων είναι ο ( µ2 0 ) 1 4 l. Εποµένως η εντροπία µοναδικοτήτων ϑα δίνεται απο µία έκφραση S sing = bs 0 για κάποιο σταθερό b. Το b ϑα προσδιοριστεί από την ασυµπτωτική συµπεριφορά του S rad S 0 στα όρια v 0 0 και v 0. Ετσι προσδιορίζουµε ότι το b = 6, δηλαδή S tot = S rad 6S 0 (2.23) Η έκφραση S sing = 6S 0 είναι η πιο απλή έκφραση που µπορεί να ϐρε- ϑεί για την εντροπία µοναδικοτήτων. Η ύπαρξη µιας τόσο απλής λύσης σε ένα πρόβληµα µε τόσο περίπλοκους περιορισµούς είναι ένδειξη του ότι η S sing δεν είναι µια τεχνητή µαθηµατική κατασκευή, αλλά αντιπροσωπεύει ένα γνήσιο χαρακτηριστικό της ϐαρυτικής ϑερµοδυναµικής, η οποία µε την σειρά της είναι άρρηκτα συνδεδεµένη µε τις εξισώσεις Einsten. Για την ακρίβεια είναι ορισµένη στα εσωτερικά όρια των λύσεων των εξισώσεων αυτών, και ε- ίναι απολύτως απαραίτητη για την ύπαρξη µιας συνεπούς Θερµοδυναµικής περιγραφής. 2.5 Εφαρµογή της Αρχής Μεγίστης Εντροπίας Η Αρχή Μεγίστης Εντροπίας υποθέτει ότι οι καταστάσεις ισορροπίας αντιστοιχούν στην µέγιστη τιµή της εντροπίας για µια δεδοµένη τιµή της εσωτερικής ενέργειας. Αν ορίσουµε την εσωτερική ενέργεια ως την µάζα ADM, δηλαδή την ενέργεια που µετράνε όλοι οι παρατηρητές ασυµπτωτικά στο άπειρο, τότε

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 21 η αρχή µεγίστης εντροπίας όταν εφαρµόζεται στην εντροπία S tot υποθέτει ότι οι οµαλές λύσεις αποτελούν τις καταστάσεις ισορροπίας. εδοµένου ότι οι χωροχρόνοι που περιέχουν µοναδικότητες στο πρόβληµά µας έχουν ένα εσωτερικό όριο στο r = 0 προκύπτει πρόβληµα στον ορισµό της µάζας ADM ως εσωτερική ενέργεια. Οµως υπάρχει ένας καλύτερος τρόπος ορισµού της εσωτερικής ενέργειας, το ολοκλήρωµα του Komar, U = 1 8π ds µν g µ ξ ν (2.24) Σ όπου η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε µια επιφάνεια Gauchy Σ και το ξ ορίζεται ως. Μια γενική σφαιρικά συµµετρική µετρική είναι η εξής, t ds 2 = f (r)dt 2 dr 2 + + 1 2m(r) r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.25) r όπου οι f (r) και m(r) είναι µια ϑετική συνάρτηση και η συνάρτηση µάζας αντίστοιχα. Το ολοκλήρωµα του Komar για αυτή την µετρική µας δίνει, εδοµένου ότι, f (r) = (1 u 0 ) δίνει, U = [ r2 1 2m 2 r v 0 R l r f f ] 0 (2.26) καθώς το r 0 η εξίσωση (2.26) µας U = M + 1 2 R(4µ2 0 ) 1 1 4 v 4 0 1 u0 = M + 3 l 2 S 0T (2.27) όπου T είναι η ϑερµοκρασία που µετράει κάποιος ασυµπτωτικά στο άπειρο. Για να εφαρµόσουµε λοιπόν τώρα την αρχή µεγίστης εντροπίας ϕτάνει να κρατήσουµε σταθερές τις τιµές της ακτίνας R και της µάζας Komar U. Ορίζουµε επίσης την µεταβλητή, = S sing w = 2U R = u 0 + 3 5 ( v 0 4π ) 1 4 σ0 1 u0 (2.28) ν όπου σ 0 και εξαρτάται µόνο από τα u R 3 0 και v 0. Η εντροπία στις 2 καταστάσεις ισορροπίας είναι, S eq (U, R) = R 3 2 σ[ueq ( 2U R ), v eq( 2U R )] (2.29) Υπάρχουν τιµές του u 0 τέτοιες στις οποίες υπάρχουν οµαλές λύσεις, και η µεγιστοποίηση της εντροπίας µε σταθερό w 0 δίνει τα ίδια αποτελέσµατα µε την µεγιστοποίηση της εντροπίας σε σταθερό u 0. Καταλήγουµε λοιπόν στο ότι η µεγιστοποίηση της εντροπίας σε µια σταθερή εσωτερική ενέργεια U µε ακτίνα R εµφανίζει τις οµαλές λύσεις ως καταστάσεις ισορροπίας. [Charis Anastopoulos and Ntina Savvidou, class. Quantum Grav. 29 (2012) 025004]

Κεφάλαιο 2. Παράδειγµα λύσης των Εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για 22 ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα Σχήµα 2.3: Αριστερά έχουµε την γραφική v 0 = v eq (w) και δεξιά έχουµε την γραφική παράσταση u 0 = u eq (w) που αντιστοιχούν στις καταστάσεις ι- σορροπίας, δηλαδή στα µέγιστα του σ για σταθερές τιµές του w. [Charis Anastopoulos and Ntina Savvidou, class. Quantum Grav. 29 (2012) 025004]

Κεφάλαιο 3 Επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση 3.1 Προσδιορισµός της καταστατικής εξίσωσης Η καταστατική εξίσωση που ϑα χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε το σύστηµά µας είναι η εξής, P = c( ρ ρ 0 ) γ+1 1 + ( ρ ρ 0 ) γ (3.1) Οπου γ = 1+ 1, και n είναι ο γνωστός πολυτροπικός δείκτης. Ο λόγος που n διαλέξαµε αυτή την καταστατική εξίσωση είναι επειδή ϑέλουµε µια εξίσωση που να παίρνει την µορφή, P 1 3 ρ (3.2) καθώς το ρ προσεγγίζει το άπειρο. Ενώ για µικρές του ρ ϑέλουµε το P να παρουσιάζει µε το ρ καθαρά πολυτροπική εξάρτηση.

Κεφάλαιο 3. Επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία 24 µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση 3.2 Εύρεση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff Η αρχική µορφή των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff είναι, dm dr = 4πr2 ρ (3.3) dp(r) = 1 dr r [ρ(r) + P(r)][M(r) + 2 4πr3 P(r)][1 2M(r) ] 1 r (3.4) Αντικαθιστώντας την καταστατική µας εξίσωση η εξίσωση (3.3) παίρνει την µορφή, [1 + ( dρ dr = (ρ 0 c ) ρ ρ 0 ) γ+1 ρ ρ 0 ) γ ] 2 [ρ + c( ] [M + 4πr ( ρ ) ρ γ 0 [(γ + 1)( ρ ρ 0 ) γ + ( ρ ρ 0 ) 2γ ]r 2 1 2m r 3 c( ρ ρ 0 ) γ+1 1+( ρ ρ 0 ) γ ] (3.5) Στην συνέχεια εισάγουµε τις αδιάστατες µεταβλητές, x = m m 0 (3.6) y = ρ ρ 0 (3.7) s = r l (3.8) k = c ρ 0 (3.9) και έτσι ϕτάνουµε στις τελικές µορφές των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο πρόβληµά µας, dx ds = s2 y k dy ds = 1 k [1 + y γ ] 2 [y + k yγ+1 1+y γ ] [(γ + 1)y γ + y 2γ ]s 2 3 y [x + s γ+1 ] 1+y γ (3.10) [1 2x s ] (3.11) ίνουµε στην αδιάστατη σταθερά k την τιµή 1 3, και γ = 2(εφόσον n = 1). Χρησιµοποιούµε το Mathematica για να ϐρούµε τις αριθµητικές λύσεις των εξισώσεών µας για διαφορετικές αρχικές συνθήκες.

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 25 3.3 Αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff µε την χρήση Mathematica Ακολουθεί το πρόγραµµα που χρησιµοποιήθηκε στο Mathematica για την αριθµητική επίλυση των εξισώσεών και την κατασκευή των απαιτούµενων διαγραµµάτων. 1 s = NDSolve [ { x [ t ] == 3 ( t ^2) y [ t ], y [ t ] == 3 (((1 + y [ t ]^2)^2 ( y [ t ] + (1/3) ( y [ t ]^3/(1 + y [ t ]^2) ) ) ) /(3y [ t ]^2 + y [ t ]^4) t ^2) ( ( x [ t ] + t^3 ( y [ t ]^3/(1 + y [ t ]^2) ) ) /(1 2(x [ t ]/ t ) ) ), x[0.0000000000000000000001] == 0, y [0.0000000000000000000001] == i }, { x, y }, { t,0.0000000000000000000001, 30}, WorkingPrecision > 70, PrecisionGoal > 10] ; 2 3 yy [ r_ ] := Evaluate [ y [ r ] /. s ] ; 4 xx [ r_ ] := Evaluate [ x [ r ] /. s ] ; 5 ro [ r_ ] := yy [ r ] ; 6 m[ r_ ] := xx [ r ] ; 7 8 Plot [ ro [ r ], { r, 0, 60}, PlotRange > All, AxesLabel > { " r ", "ρ ( r ) " } ] ; 9 10 FindRoot [ ro [ r ] == 0, { r, 0, 60}] 11 12 Plot [m[ r ], { r, 0, 60}, PlotRange > All, AxesLabel > { " r ", "m( r ) " } ] ; 13 14 find [m[ r crit ] ] Στην γραµµή 1 έχουµε την εντολή NDSolve την οποία χρησιµοποιούµε για να υπολογίζουµε το σύστηµα των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff αριθ- µητικά για διαφορετικές τιµές του i, οι οποίες κυµαίνονται από 0.1 έως 9.05 µε ϐήµα 0.05. Αυτό που µας ενδιαφέρει είναι το σηµείο στο οποίο το Mathematica σταµατάει να λύνει το σύστηµα και µας λέει ότι υπάρχει κάποιου είδους µοναδικότητα. Αυτό το σηµείο ειναι η ακτίνα R που χρειαζόµαστε να να προχωρήσουµε. Στην γραµµή 8 δίνουµε την εντολή για την δηµιουργία της καµπύλης της

Κεφάλαιο 3. Επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία 26 µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση Σχήµα 3.1: Η καµπύλη ακτίνας µάζας R M που λαµβάνουµε από τις τιµές του πίνακα του παρατήµατος Α. πυκνότητας µε την ακτίνα (ρ(r) r). Στην συνέχεια, στην γραµµή 10 µε την ϐοήθεια της εντολής FindRoot ϐρίσκουµε το σηµείο της ακτίνας στο οποίο µηδενίζεται η πυκνότητα, δηλαδή το όριο του συστήµατός µας. Επειτα, στην γραµµή 12 κάνουµε την γραφική παράσταση µάζας ακτίνας (m(r) r), από την οποία στην γραµµή 14 και εισάγοντας την ακτίνα που ϐρήκαµε στην γραµµή 10 παίρνουµε την τιµή της µάζας για την συγκεκριµένη ακτίνα. Ολόκληρη αυτή η διαδικασία επαναλαµβάνεται για κάθε διαφορετική τιµή του i και όλα τα αποτελέσµατα που µας ενδιαφέρουν καταγράφονται σε ϕύλλο excel. Τα δεδοµένα που λάβαµε απο τις εκτελέσεις του προγράµµατός µας ϕαίνονται στον πίνακα του παραρτήµατος Α. Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα του πίνακα, και συγκεκριµένα τις στήλες M και R σχεδιάζουµε την καµπύλη R M. Η καµπύλη R M έχει ακριβώς την µορφή που αναµέναµε από την ϐιβλιογραφία, συγκεκριµένα παρουσιάζει το χαρακτηριστικό σχήµα σπιράλ που αποτελεί σήµα κατατεθέν του συγκεκριµένου είδους καµπυλών ακτίνας µάζας. 3.4 Εύρεση της εξίσωσης Θερµοκρασίας συναρτήσει της πυκνότητας Η καταστατική µας εξίσωση όπως είπαµε έχει την µορφή της εξ. (3.1), για ευκολία στις επόµενες πράξεις µας ϑέτουµε την ποσότητα ρ ρ 0 ως y όπως κάναµε

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 27 και πιο πάνω. Ετσι έχουµε µε την ϐοήθεια της ποσότητας k = c ρ 0, Γνωρίζουµε ότι, P = ρ 0 ky γ+1 1 + y γ (3.12) dp dt = ρ + P T (3.13) και µε την χρήση της εξίσωσης (3.12) καταλήγουµε στην εξίσωση που µας δίνει την παράγωγο της πίεσης συναρτήσει της ϑερµοκρασίας για το πρόβλη- µά µας, dp dt = (y + k yγ+1 1 + y γ )(ρ 0 T ) (3.14) Στην συνέχεια παραγωγίζουµε την καταστατική µας εξίσωση (3.14) για να πάρουµε την παράγωγο της πίεσης ως προς την µεταβλητή z, dp dy = (kρ 0) (1 + yγ )(γ + 1)y γ y γ+1 γy γ 1 (3.15) (1 + y γ ) 2 = ( ρ 0 3 )(γ + 1)yγ + y 2γ (1 + y γ ) 2 (3.16) Οπου k = 1 3. Από τις εξ. (3.14) και (3.16) καταλήγουµε ότι η διαφορική εξίσωση της οποίας η λύση είναι η συνάρτηση της ϑερµοκρασίας συναρτήσει της πυκνότητας για τυχαίο γ είναι η εξής, dt dy = T Για n = 1 και συνεπώς γ = 2 έχουµε, (γ + 1)y γ + y 2γ 3y + 7y γ+1 + 4y 2γ+1 (3.17) dt dy = T 3y 2 + y 4 (3.18) 3y + 7y 3 + 4y 5 Απο την οποία µε την ϐοήθεια του Mathematica παίρνουµε, T(z) = C 1 (3 + 4y 2 ) 9 8 1 + y 2 (3.19) Ενώ για n = 0.5, γ = 3 η εξίσωση παίρνει την µορφή dt dy = T 4y 3 + y 6 3y + 7y 4 + 4y 7 (3.20)

Κεφάλαιο 3. Επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία 28 µε συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση και µας δίνει, Η έκφραση, T(z) = C 2 (3 + 4y 3 ) 13 12 1 + y 3 (3.21) ω dp dt = ρ + P T (3.22) Γίνεται, y(y 2 + 1) + y 3 3 ω = ρ 0 (3 + 4y 2 ) 9 8 (3.23) Με την χρήση της εξ. (3.25) και την ϐοήθεια του Mathematica µπορούµε να υπολογίσουµε αριθµητικά την ποσότητα, Ω = R 0 4πr 2 dr 1 2m(r) r ω (3.24) Κάτι τέτοιο δυστυχώς δεν επετεύχθη εδώ λόγω προβληµάτων που παρουσιάστηκαν στο πρόγραµµα του Mathematica που χρησιµοποιήθηκε.

Κεφάλαιο 4 Συµπεράσµατα - Ανακεφαλαίωση Το πρώτο κεφάλαιο ειναι αφιερωµένο σε κάποιες γενικές γνώσεις πάνω στις εξισώσεις Einstein στατικές λύσεις των σφαιρικά συµµετρικών αυτών εξισώσεων. Ο λόγος που κρίθηκε απαραίτητο να γίνει αυτό είναι κυρίως γιατί το πρόβληµα µας ασχολείται µε µια προσοµοίωση κατάρρευσης αστρικού σώµατος, πιο συγκεκριµένα το πρόβληµά µας αποτελείται από ένα σφαιρικό κουτί που περιέχει αέριο ϕωτονίων µε ιδιο-ϐαρύτητα σε ϑερµική ισορροπία µε ϑερ- µοκρασία T και ενεργειακή πυκνότητα ρ. Το γεγονός ότι το αέριο ϐρίσκεται σε ισορροπία µας επιτρέπει να ασχοληθούµε µονάχα µε το στατικό κοµµάτι των λύσεων των εξισώσεων Einstein. Το τελευταίο κοµµάτι λοιπόν του πρώτου κεφαλαίου είναι µια περιγραφή των κυριότερων µαθηµατικών εννοιών που χρησιµοποιούνται στην περιγραφή µιας αστρικής κατάρρευσης µε σφαιρική συµµετρία. Πιό συγκεκριµένα γίνεται αναφορά στις συντεταγµένες Kruskal- Szekeres, οι συντεταγµένες Eddington-Finkelstein, (u, r, θ, φ) U = e u 4M (4.1) V = e v 4M (4.2) ds 2 = (1 2M R )( dt2 + dr 2 ) + r 2 dω 2 (4.3) και η ακτινική συντεταγµένη Regge-Wheeler = (1 2M R )dv2 + 2drdv + r 2 dω 2 (4.4) r = r + 2Mln r 2M 2M (4.5) 29

30 Κεφάλαιο 4. Συµπεράσµατα - Ανακεφαλαίωση Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται ενα λεπτοµερές παράδειγµα λύσης των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε ιδιοβαρύτητα, και πιο συγκεκριµένα ακτινοβολία µε τα χαρακτηριστικά του προβλήµατός µας όπως αυτά προαναφέρθηκαν. Αρχικά γίνεται ενας προσδιορισµός της µορφής και των συνοριακών συνθηκών των εξισώσεων που µας απασχολούν. Στην συνέχεια προσδιορίζουµε τα δύο είδη των λύσεων των εξισώσεών µας, τις οµαλές λύσεις καθώς και τις λύσεις µε µοναδικότητα στο εσωτερικό τους. Το κοµ- µάτι των λύσεων που παρουσιάζει το µεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι οι λύσεις µε µοναδικότητα. Χρησιµοποιώντας την ίδια ολοκληρωτική καµπύλη που µας έδωσε τις ο- µαλές λύσεις παίρνουµε και τις λύσεις µε µοναδικότητα.η µετρική πλέον του προβλήµατός µας παίρνει την µορφή, ds 2 = (1 u 0 ) R r v0 l dt2 + rdr2 2µ 0 R + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (4.6) στην οποία ϕαίνεται η µοναδικότητα κοντά στην περιοχή r = 0 που είναι και το κέντρο του συστήµατός µας, αυτή η µοναδικότητα είναι κωνικής µορφής η οποία λόγω της ϕθίνουσας πυκνότητας δεν δύναται να ερµηνευθεί σαν κάποιο είδος σωµατιδίου όπως γίνεται συνήθως. Στην συνέχεια γίνεται µελέτη της εντροπίας του συστήµατός µας, και πιο συγκεκριµένα γίνεται χρήση µιας ποσότητας που ονοµάζεται εντροπία µοναδικότητας και η οποία είναι εντροπία λόγω ϐαρυτικής συνεισφοράς. Μετά από ορισµό συγκεκριµένων κριτηρίων που πρέπει να πληρεί η εντροπία µοναδικοτήτων καταλήγουµε στην πιο απλή έκφρασή της, S sing = 2(4π) 1 4 ( 4µ 0 (u 0, v 0 ) 2 k(u 0, v 0 ) ) 1 4 R 3 2 (4.7) Τέλος κάναµε εφαρµογή της Αρχής Μεγίστης Εντροπίας χρησιµοποιώντας το ολοκλήρωµα του Komar για τον ορισµό της εσωτερικής ενέργειας, και συµπεράναµε ότι η µεγιστοποίηση της εντροπίας σε µια σταθερή εσωτερική ενέργεια και ακτίνα εµφανίζει τις οµαλές λύσεις ως καταστάσεις ισορροπίας. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται µια επίλυση των εξισώσεων Oppenheimer-Volkoff για ακτινοβολία µε µια συγκεκριµένη καταστατική εξίσωση. Ασχολούµαστε ξανά µε ένα ίδιας µορφής σύστηµα, µόνο που τώρα έχουµε µια άλλη καταστατική εξίσωση και συνεπώς διαφοροποιηµένες εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff. Αρχικά περιγράφεται η λογική η οποία µας οδήγησε στην συγκεκριµένη µορφή της καταστατικής εξίσωσης, P = c( ρ ρ 0 ) γ+1 1 + ( ρ ρ 0 ) γ (4.8)

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 31 Στην συνέχεια ϐρίσκουµε, χρησιµοποιώντας κάποιες αδιάστατες µεταβλητές, τις νέες εξισώσεις Oppenheimer-Volkoff που αντιστοιχούν στο πρόβληµά µας, dx ds = s2 y k dy ds = 1 k [1 + y γ ] 2 [y + k yγ+1 1+y γ ] [(γ + 1)y γ + y 2γ ]s 2 3 y [x + s γ+1 ] 1+y γ (4.9) [1 2x s ] (4.10) και εκτελούµε αριθµητική επίλυση των εξισώσεων αυτών µε την ϐοήθεια του προγράµµατος Mathematica. Στην συνέχεια ϐρίσκουµε την συνάρτηση της ϑερµοκρασίας συναρτήσει της πυκνότητας για δύο περιπτώσεις, την περίπτωση γ = 2, ενώ έχουµε και την περίπτωση γ = 3, T(z) = C 1 (3 + 4y 2 ) 9 8 1 + y 2 (4.11) T(z) = C 2 (3 + 4y 3 ) 13 12 1 + y 3 (4.12) Ενώ έγινε και προσπάθεια για τον υπολογισµό της ποσότητας, Ω = R 0 4πr 2 dr 1 2m(r) r ω (4.13) η οποία δεν ολοκληρώθηκε λόγο αδυναµίας του προγράµµατος.

Παράρτηµα Αʹ Πίνακας Τιµών M R Y 0 M R Y 0 0.338216 0.86047 0.68 0.0424703 0.818388 0.1 0.0748206 0.863231 0.15 0.109597 0.890581 0.2 0.144732 0.906981 0.25 0.178723 0.915669 0.3 0.210499 0.918582 0.35 0.239354 0.917023 0.4 0.264874 0.911944 0.45 0.286883 0.904072 0.5 0.305382 0.893983 0.55 0.320499 0.882141 0.6 0.332452 0.868928 0.65 0.341511 0.85466 0.7 0.347973 0.8396 0.75 0.352146 0.823971 0.8 0.354333 0.807959 0.85 0.354822 0.791725 0.9 0.353882 0.775406 0.95 0.351761 0.75911969 1 0.348681 0.742966 1.05 0.344841 0.727033 1.1 0.340414 0.711394 1.15 32

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα 33 0.335553 0.696112 1.2 0.330386 0.681239 1.25 0.325023 0.666815 1.3 0.319556 0.652874 1.35 0.314058 0.63944 1.4 0.308591 0.626526 1.45 0.303202 0.614141 1.5 0.297926 0.602287 1.55 0.292792 0.590959 1.6 0.287816 0.580147 1.65 0.283013 0.569838 1.7 0.278388 0.560014 1.75 0.273944 0.550656 1.8 0.269681 0.541742 1.85 0.265595 0.533251 1.9 0.26168 0.525158 1.95 0.257931 0.517441 2 0.25434 0.510076 2.05 0.250899 0.503043 2.1 0.247601 0.496319 2.15 0.244436 0.489884 2.2 0.241398 0.483719 2.25 0.238479 0.477806 2.3 0.235671 0.472128 2.35 0.232967 0.466671 2.4 0.230362 0.461419 2.45 0.227849 0.45636 2.5 0.225423 0.451482 2.55 0.223079 0.446774 2.6 0.220811 0.442226 2.65 0.218616 0.437829 2.7 0.21649 0.433575 2.75 0.214428 0.429457 2.8 0.212427 0.425467 2.85 0.210485 0.421601 2.9 0.208598 0.417853 2.95 0.206764 0.41422 3 0.20498 0.410696 3.05

34 Παράρτηµα αʹ. Πίνακας Τιµών M R Y 0 0.203244 0.40728 3.1 0.201555 0.403971 3.15 0.199909 0.400767 3.2 0.198306 0.397668 3.25 0.196744 0.394678 3.3 0.195221 0.391801 3.35 0.193738 0.389043 3.4 0.192292 0.386414 3.45 0.190884 0.383929 3.5 0.189512 0.38161 3.55 0.188178 0.379484 3.6 0.186883 0.377592 3.65 0.185627 0.375986 3.7 0.184414 0.374739 3.75 0.183247 0.373949 3.8 0.182131 0.37374 3.85 0.181075 0.374274 3.9 0.18009 0.375748 3.95 0.179188 0.378391 4 0.178388 0.382446 4.05 0.177711 0.388141 4.1 0.177182 0.395645 4.15 0.176828 0.405022 4.2 0.176676 0.416202 4.25 0.176751 0.428982 4.3 0.177072 0.443047 4.35 0.177653 0.458028 4.4 0.1785 0.473548 4.45 0.179611 0.489259 4.5 0.180978 0.504869 4.55 0.182588 0.520149 4.6 0.184422 0.534927 4.65 0.186461 0.549086 4.7 0.188682 0.56255 4.75 0.191063 0.575277 4.8 0.19358 0.587253 4.85 0.196212 0.598479 4.9 0.198939 0.60897 4.95