ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5. Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 5 8 (Παράγωγος, Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού, Ακρότατα, Θεώρηµα Taylor) του συγγράµµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Άσκηση (8 µον.) (α) (8 µον.) Για κάθε µία από τις παρακάτω συναρτήσεις να προσδιορίσετε για ποιές τιµές του παραγωγίζεται και να υπολογίστε την παράγωγό της ως προς : i. y cos( k) ii. k m y (l ) l(l ) iii. (k, m φυσικοί αριθµοί). y iv. y e l (β) ( µον.) Βρείτε τις παραµέτρους a, b, c έτσι ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί το Θεώρηµα Rolle στο διάστηµα [-, ] για τη συνάρτηση: ( b) ( c ), [,) f( ) ( a ) ( ) c, [,] Στη συνέχεια επαληθεύστε το θεώρηµα. (α) i y cos( k) k si( k), R ii. ( ) ( ) ( ) ( ) m k k m l l m y k l l l m l ( l ) l k ( l ) l ( l ) ( l ) l ( l ) ( l ) k m m m k m m ( ) ( ) ( ) k l kl l l ml l, Για το πεδίο ορισµού της, πρέπει > και l>, ώστε να ορίζονται τα l, l(l) αντίστοιχα, οπότε: > iii ( )( ) ( )( ) ( ) / / ( ) ( ) 8 / ( ) ( ) ( ) ( ) y 6 4 ( ) ( ) / /, < < / iv l ( e e ) e e y ( l ) ( l l ) ( l ), >,

2 (β) Για να µπορεί να εφαρµοστεί το Θ. Rolle στο διάστηµα [-,] θα πρέπει κατ αρχάς να είναι η f συνεχής. Υπολογίζουµε τα πλευρικά όρια στο µηδέν: ( ) lim f( ) lim ( b) ( c) c ( ) lim f ( ) lim ( a ) ( ) c c Εποµένως, θα πρέπει c-c c και f()-c Από την άλλη µεριά, θα πρέπει η συνάρτηση να είναι και παραγωγίσιµη στο µηδέν. Όµως: f( ) f() ( b) ( ) ( b) f () lim lim lim lim ( b ) b f( ) f() ( a ) ( ) ( a ) f () lim lim lim lim ( ) ( a ) Άρα, πρέπει b ή, ισοδύναµα, b Θα πρέπει, τέλος, οι τιµές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήµατος να συµπίπτουν: f(-) f() -(-b)(-c) (a-)()-c a a -. Για τις τιµές των παραµέτρων που βρήκαµε η συνάρτηση γίνεται:, [,) f( ),, [,] µε παράγωγο :, [,) f ( ) 6, [,] η οποία µηδενίζεται στο ξ/ œ (-,), γεγονός που επαληθεύει το Θεώρηµα Rolle.

3 Άσκηση ( µον.) Χρησιµοποιώντας τον κανόνα L Hospital, υπολογίστε τα επόµενα όρια: i. lim si ii. lim iii. e e cos lim cos Υπόδειξη: Στο ii., ονοµάστε το όριο L, πάρτε λογάριθµους µε βάση το e και θεωρείστε την εξίσωση lim l l L, όπου έχουµε κάνει την αντιµετάθεση λογαρίθµου και ορίου (που επιτρέπεται). Ονοµάστε τώρα y / και εφαρµόστε τον κανόνα L Hospital για y. i Όταν το τότε το διαφορετικά έχουµε si και το. Γράφοντας όµως το όριο si lim lim si si lim cos si 6 si 6 lim. si cos 6 cos ii. Έστω L lim. Ακολουθώντας την υπόδειξη έχουµε : / l l lim l lim (/ ) 6 L lim lim 6. / / Εποµένως, L e 6. iii. ( ) ( si ) ( e e cos) cos e e e e si lim lim lim cos si ( cos) e e si e e cos 4 lim lim 4 cos

4 Άσκηση ( µον.) (α) ( 5 µον.) ίνεται η εξίσωση 5 i. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής (Bolzao), σύµφωνα µε το οποίο αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α,β] και f(α)f(β)<, τότε η f έχει ρίζα στο διάστηµα (α,β) [ είτε και το βιβλίο σας σελ. 58] αποδείξτε ότι η ως άνω εξίσωση έχει ρίζες στο διάστηµα (,). ii. είξτε ότι, στο ίδιο διάστηµα, η συνάρτηση g ( ) 5 είναι µονότονη και άρα η ρίζα είναι µοναδική. iii. Χρησιµοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στις σελίδες 9-95 του βιβλίου σας, προσδιορίστε τη ρίζα αυτή µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων i. Θεωρώντας τη συνεχή πραγµατική συνάρτηση g ( ) 5, παρατηρούµε ότι g() -, g() 6. ηλαδή, g()g()<, και η g έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα (,) ii. Παραγωγίζοντας την g στο ίδιο διάστηµα έχουµε : g ( ), η οποία είναι πάντα θετική για >. Εποµένως, στο (,) η g είναι γνησίως αύξουσα και η ρίζα που εξασφαλίσαµε από το προηγούµενο υποερώτηµα θα είναι µοναδική. iii. H αρχική εξίσωση µετασχηµατίζεται ισοδύναµα σε : ( ) f, όπου f( ) 5 παραγωγίσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [,]. Παρατηρούµε επιπλέον ότι: f ( ), η οποία εύκολα διαπιστώνουµε ότι στο διάστηµα [,] είναι αύξουσα (αφού, για παράδειγµα έχει θετική παράγωγο: f ( ) 4 ) και άρα παίρνει τη µέγιστη τιµή της στο 4 f ( ) f ().469 < Εποµένως, πληρούνται όλα τα κριτήρια για τη σύγκλιση του αλγορίθµου f( ),,,... στην ρίζα της εξίσωσης. Θεωρώντας ως αρχική τιµή, ο προηγούµενος τύπος δίνει: f( - ) Βλέπουµε λοιπόν ότι πολύ γρήγορα από το τρίτο βήµα έχουµε τη προσέγγιση της ρίζας µε τη ζητούµενη ακρίβεια των δεκαδικών ψηφίων αφού δύο διαδοχικές προσεγγίσεις συµπίπτουν µέχρι αυτό το όριο. 4

5 (β) (προαιρετική) ( 5 µον.) Να δοθεί προσέγγιση της ρίζας µε ακρίβεια 8 δεκαδικών ψηφίων µε χρήση του Matlab/Octave. Η µεταβλητή old αντιστοιχεί στο και παίρνει αρχική τιµή ίση µε άπειρο ώστε να µπορέσει να ξεκινήσει η δοµή επανάληψης wile και να εκτελεστεί τουλάχιστον µία φορά, η µεταβλητή ew αντιστοιχεί στο και παίρνει αρχική τιµή. Το διάνυσµα έχει ως στοιχεία τα σηµεία της προσέγγισης. Η δοµή επανάληψης wile εκτελείται όσο η απόλυτη διαφορά του δύο διαδοχικών προσεγγίσεων είναι µεγαλύτερη του -9. Μόλις ικανοποιηθεί τι κριτήριο η επαναληπτική διαδικασία σταµατά. Μέσα στο wile η old παίρνει την τιµή της τελευταίας προσέγγισης η ew παίρνει την τιµή της νέας προσέγγισης και τοποθετείται ως τελευταίο στοιχείο στο διάνυσµα των προσεγγίσεων. >> format log >> oldif; >> ew; >> [ew]; >> wile abs(old-ew)>e-9, oldew; ew/*old/(*old)5/(*old^); [;ew]; ed >> Παρατηρούµε ότι µετά από δώδεκα επαναλήψεις οι δύο τελευταίες επαναλήψεις συµπίπτουν σε 9 δεκαδικά ψηφία. 5

6 Άσκηση 4 (5 µον.) 4 ίνεται η συνάρτηση f ( ). Να προσδιορίσετε : i.τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της στα οποία α) είναι αύξουσα, β) είναι φθίνουσα, ii. Τα ακρότατα της συνάρτησης. iii. Τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της στα οποία είναι α) κοίλη προς τα πάνω, β) κοίλη προς τα κάτω. iv. Τα σηµεία καµπής v. Τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασής της µε τους άξονες σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oy. Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω στοιχεία δώστε µία γραφική παράσταση της συνάρτησης. 4 ( ), f ( ) 4 4 4( ) 4( )( ) f( ) f ( ) 4 Η συνάρτηση τέµνει τον άξονα των στα σηµεία (,) των y στο σηµείο (, ). και, ( ), και ( ), και τον άξονα Η f ( ) > αν < < ή > και f ( ) < αν < και < <. Εποµένως, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα (, ) στα διαστήµατα (,) και (, ). Για τα ακρότατα f ( ), ή. Για η f ( ) 4 Για η f ( ) 8 Για η f ( ) 8 < άρα το σηµείο ( ) > άρα το σηµείο (, ) > άρα το σηµείο (, ) και ( ), είναι τοπικό µέγιστο. είναι τοπικό ελάχιστο. είναι τοπικό ελάχιστο., και γνησίως φθίνουσα Για τα σηµεία καµπής f ( ). Εποµένως τα σηµεία σηµεία καµπής. 5, 9 και 5, 9 είναι Η συνάρτηση στέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα,, όπου f <, και τα κοίλα προς τα πάνω στα διαστήµατα, και,, όπου f >. Τέλος η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η ακόλουθη: 6

7 Άσκηση 5 ( µον.) (α) ( 5 µον.) Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα µε σταθερό εµβαδόν Εc, όπου c>, να βρεθεί αυτό που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα και στην συνέχεια να υπολογισθούν και οι άλλες πλευρές του. (β) ( 5 µον.) Σε ένα σφαιρικό µπαλόνι διοχετεύεται αέριο µε ρυθµό εισροής κυβικά εκατοστά ανά λεπτό ( cm /mi). Ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής της ακτίνας του, την χρονική στιγµή που η ακτίνα είναι ίση µε cm ; (α) Αν, y συµβολίζουν τα µήκη των δύο καθέτων πλευρών του τριγώνου, το εµβαδόν y είναι E c, και η υποτείνουσα είναι y. Λύνοντας την σχέση που c δίνει το εµβαδόν ως προς y έχουµε y. Αντικαθιστώντας στην σχέση για την c 4c υποτείνουσα έχουµε ( ), αφού οι ποσότητες, y είναι θετικές. Για να ελαχιστοποιήσουµε την υποτείνουσα αναζητούµε τις λύσεις της εξίσωσης '( ) αφού έχουµε παραγωγίσιµη συνάρτηση. Είναι ( 4 4 ' 4c ) c 4c 4 '( ) c 4c ( ) c 4c 4c c 4c 4c Ρίζες της πρώτης παραγώγου είναι οι ± c, δεκτή γίνεται η θετική. Αντίστοιχη τιµή για το y είναι η c. Για να εξασφαλίσουµε ελάχιστη τιµή εξετάζουµε το πρόσηµο της δεύτερης παραγώγου. '' ( ) παράσταση ( 4 )( 4 ) ''( ) ( )( ) c c c c ' ( 4 ) c c µηδενίζεται για c και η παράσταση είναι θετική, οπότε για c, y c έχουµε την ελάχιστη τιµή της υποτείνουσας c c c.. Η β) Ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τον τύπο V Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο,t, έχουµε 4 r π οπού r είναι η ακτίνα της. dv 4 dr π r 4πr dr. dt dt dt dv Γνωρίζουµε όµως ότι. Εποµένως dt είναι ίση µε cm τότε dr dr 5 4π r. Άρα dt dt π r. Όταν η ακτίνα dr 5 5 cm / mi. dt π 9π 7

8 Άσκηση 6 (5 µον.) (α) (5 µον.) (Μελετήστε την Ασκηση Αυτοαξιολόγησης β) σελίδα 96) i) Αν η συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµα [ ab, ] ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής και επιπλέον m< f ( ) < M για a < < b, δείξτε ότι mb ( a) f( b) f( a) < M( b a). ii) Με κατάλληλη χρήση του i) δείξτε ότι < <, > (β) (4 µον.) Χρησιµοποιώντας τα αναπτύγµατα της εκθετικής και των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων σε σειρές Taylor, αποδείξτε τη σχέση: i e cos i si, R. (γ) (6 µον.) Αναπτύσσοντας κατάλληλα τις εµπλεκόµενες συναρτήσεις σε σειρές Taylor, υπολογίστε τα όρια: e e i. lim l( ) ii. lim si (α) k a, b ώστε i) Από το θεώρηµα της µέσης τιµής έχουµε ότι υπάρχει σηµείο [ ] f ( ) ( b ) f ( a ) f ' '( ) ( b ) f ( a f k f k ). Γνωρίζοντας ότι m< f '( k) < M για b a b a f( b) f( a) k a, b έχουµε m< < M. Αφού a < b η προηγούµενη σχέση b a f( b) f( a) m< < M m b a < f( b) f( a) < b a M. b a κάθε [ ] γράφεται ( ) ( ) ii) Η συνάρτηση f ( ) είναι ορισµένη σε κάθε διάστηµα της µορφής [, ] µε >. Από το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε ότι f ' ( k) f( ) f() k για < k <. Από την σχέση αυτή έχουµε, µε < k <. Επειδή k k < k <, έχουµε < k < < k < < k. Πολλαπλασιάζοντας µε > έχουµε <. Καταλήγουµε έτσι στη σχέση k < <. k Για το άλλο σκέλος της ανισότητας, για < k < < < k έχουµε ήδη αποδείξει ότι 8

9 (β) Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα σε σειρά κέντρου µηδέν της εκθετικής συνάρτησης (βλ. σχέση 8.4, σελ. 7 του βιβλίου σας) έχουµε: Όµως, για τις δυνάµεις του i γνωρίζουµε ότι: e 4k 4 k k i ( i) i!! i ( i ), αν 4k i 4k 4 k m i ( i ) i i, αν 4k ( ), m 4k 4 k m i ( i ) i, αν 4k ( ) i, m 4k 4 k i ( i ) i i, αν 4k Εποµένως, µπορούµε να χωρίσουµε τη σειρά της εκθετικής συνάρτησης ως εξής: e i m m m m m m m m ( i) i i i ( ) ( ) i!! ( m)! (m )! ( m)! (m )! m m m m cos isi. (γ) ( ) lim l( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim (...) lim ( ) e e!!!!!! si ( )... ( )!! 5! lim lim lim !!... lim lim!... lim ! 5!! 5!! 5! 9

10 Άσκηση 7 (5 µον.) Υποθέτουµε ότι ο πληθυσµός ενός είδους τη χρονική στιγµή t δίνεται από την τιµή µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης π(t). Γνωρίζουµε ότι: Την χρονική στιγµή που αρχίζουµε να µελετάµε την εξέλιξή του ο πληθυσµός είναι ίσος µε π και Ο ρυθµός µεταβολής του πληθυσµού ανά πληθυσµιακή µονάδα, δηλαδή το πηλίκο π () t, είναι σταθερός και ίσος µε -/. π () t Εποµένως, σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξέλιξη του πληθυσµού στο χρόνο περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση : π () t π(), t π(t ) π, (α) ( µον.) είξτε ότι η λύση της εξίσωσης αυτής είναι µία εκθετική συνάρτηση της µορφής t π () t c e, όπου c σταθερά που εξαρτάται από την αρχική συνθήκη του προβλήµατος (προσδιορίστε την εξάρτηση αυτή). (β) ( µον.) Αν δίνεται ότι την χρονική στιγµή t ο πληθυσµός είχε την τιµή π(t ), δώστε µια προσέγγιση ακρίβειας δεκαδικών ψηφίων για την τιµή του πληθυσµού την χρονική στιγµή t 6. Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε το ανάπτυγµα της εκθετικής συνάρτησης σε σειρά Taylor καθώς επίσης και το γεγονός ότι: Αν σε µία εναλλάσσουσα σειρά, χρησιµοποιήσουµε το µερικό άθροισµα k ( ) a, (κατ απόλυτη τιµή) τον πρώτο όρο που αγνοούµε, δηλαδή τον όρο a k. ( ) a, a >, το σφάλµα που προκύπτει δεν υπερβαίνει t (α) Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση π () t c e στην αρχική εξίσωση εύκολα διαπιστώνουµε ότι την επαληθεύει: t t t π () t c e c ( ) e c e π () t Για να επαληθεύετε τώρα η αρχική συνθήκη π(t ) π πρέπει t t π π c e c e (β) Ισχύει ότι π(). Εποµένως, c e και η συνάρτηση που περιγράφει την εξέλιξη t του πληθυσµού είναι π () t e. Την χρονική στιγµή t6 θα έχουµε 6 e e. π (6) Αρκεί εποµένως να προσδιορίσουµε την τιµή του e µε ακρίβεια των 4 δεκαδικών ψηφίων. Από το ανάπτυγµα της εκθετικής σε σειρά Taylor κέντρου έχουµε:

11 ( ) e e ( )!!!. Σύµφωνα µε την υπόδειξη αν κρατήσουµε -όρους σε αυτό το ανάπτυγµα θα έχουµε σφάλµα κατ απόλυτη τιµή µικρότερο του. Αν λοιπόν θέλουµε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων θα ( )! 4 πρέπει < το οποίο επιτυγχάνεται για. ( )! Κρατώντας έτσι όρους έχουµε: !!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! έχοντας πράγµατι προσεγγίσει το e - µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων αφού e.55. Εποµένως η ζητούµενη τιµή είναι π (6) e.5 µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων.