Εμβαδόν τριγώνου με τον τύπο του Ηρωνα ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 17 Οκτωβρίου 2013 1 / 21

Γενικά για τα μαθηματικά Ορισμός από το Oxford English Dictionary The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis 2 / 21

Γεωμετρία Γεωμετρία Από το γεω- και μέτρο, μέτρηση της γης Κλάδος των μαθηματικών για τη μελέτη του μεγέθους και θέσης σχημάτων ή των ιδιοτήτων του χώρου 3 / 21

Ενα αρχαίο γεωμετρικό πρόβλημα Διδώ, πρώτη βασίλισσα της Καρχηδόνας Η Διδώ (Ελίσσα), κόρη του Μύττου βασιλιά τη Τύρου, παντρεύεται τον Σιχάρβα (ιερέα του Ηρακλή και 2ο βασιλιά) Ο αδερφός της, Πυγμαλίωνας, σκοτώνει τον Σιχάρβα για πάρει την περιουσία του Η Διδώ (φρικαρισμένη) το σκάει από την Τύρο με όλα τα πλούτη και πολλούς ευγενείς της Τύρου Κάνουν μια στάση στην Τύρο και απαγάγουν 80 νέες, αφιερωμένες στην Αφροδίτη Καταφτάνουν στις ακτές της Αφρικής, όπου οι ντόπιοι (θέλοντας να τους ξεφορτωθούν) τους δίνουν: όση γη μπορεί να χωρέσει στο δέρμα ενός βοδιού 4 / 21

Ενα αρχαίο γεωμετρικό πρόβλημα Γεωμετρικό πρόβλημα Πόση γη μπορεί να χωρέσει στο δέρμα ενός βοδιού; Εικόνα από δερμάτινη γυναικεία τσάντα 5 / 21

Ενα αρχαίο γεωμετρικό πρόβλημα Επίλυση του προβλήματος από τη Διδώ Κόβει σε πολύ λεπτές φέτες ένα δέρμα βοδιού και με αυτές περικλείει τα όρια της πόλης που ονομάστηκε Καρχηδόνα Η Καρχηδόνα έγινε η μεγάλη αυτοκρατορία της δυτικής Μεσογείου 6 / 21

Ο μύθος και η πραγματικότητα Γεωμετρικά ερωτήματα ζωής και θανάτου 7 / 21

Ο μύθος και η πραγματικότητα Γεωμετρικά ερωτήματα ζωής και θανάτου 1 Σε πόσο λεπτές φέτες φέτες μπορεί να κοπεί ένα δέρμα βοδιού; Ποιο είναι το ελάχιστο πάχος τους; 8 / 21

Ο μύθος και η πραγματικότητα Γεωμετρικά ερωτήματα ζωής και θανάτου 1 Σε πόσο λεπτές φέτες φέτες μπορεί να κοπεί ένα δέρμα βοδιού; Ποιο είναι το ελάχιστο πάχος τους; 2 Πόση έκταση γης μπορεί να περικλείσουν ενωμένες φέτες από δέρμα βοδιού; 9 / 21

Ο μύθος και η πραγματικότητα Γεωμετρικά ερωτήματα ζωής και θανάτου 1 Σε πόσο λεπτές φέτες φέτες μπορεί να κοπεί ένα δέρμα βοδιού; Ποιο είναι το ελάχιστο πάχος τους; 2 Πόση έκταση γης μπορεί να περικλείσουν ενωμένες φέτες από δέρμα βοδιού; 3 Ποιο σχήμα, με δεδομένη περίμετρο, έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Ποιο σχήμα της γης θα έδινε στους μετανάστες Φοίνικες τη μεγαλύτερη έκταση γης για την εγκατάστασή τους; 10 / 21

Ο μύθος και η πραγματικότητα Γεωμετρικά ερωτήματα ζωής και θανάτου 1 Σε πόσο λεπτές φέτες φέτες μπορεί να κοπεί ένα δέρμα βοδιού; Ποιο είναι το ελάχιστο πάχος τους; 2 Πόση έκταση γης μπορεί να περικλείσουν ενωμένες φέτες από δέρμα βοδιού; 3 Ποιο σχήμα, με δεδομένη περίμετρο, έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Ποιο σχήμα της γης θα έδινε στους μετανάστες Φοίνικες τη μεγαλύτερη έκταση γης για την εγκατάστασή τους; 4 Αν η Διδώ μπορούσε να κόψει σε άπειρα λεπτές φέτες το δέρμα βοδιού, τι θα μπορούσε να περικλείσει μέσα σε αυτό; 11 / 21

Ιωνία, 6ος αιώνας π.χ. Τον 6ο π.χ. αιώνα, στις ακτές της Ιωνίας με επίκεντρο τη Μίλητο, η ανθρωπότητα κάνει το πρώτο μεγάλο βήμα προς το σύγχρονο δυτικό πολιτισμό: την αφαιρετική σκέψη Ο Θαλής ο Μιλήσιος, ο πρώτος φιλόσοφος του δυτικού πολιτισμού, και πολλοί άλλοι που ακολούθησαν (προσωκρατικοί φιλόσοφοι) θεμελίωσαν αυτό που σήμερα ονομάζουμε Επιστήμη Ετσι, αντί να μιλάμε για φέτες δέρματος βοδιού, μιλάμε για ευθείες, αντί να μιλάμε για χωράφια πάνω στη γη, μιλάμε για επιφάνειες, αντί να μιλάμε για μεγάλο χωράφι μιλάμε για γεωμετρικό τόπο μέγιστης επιφάνειας, κ.λπ. 12 / 21

Αλεξάνδρεια, 3ος αιώνας π.χ. Ο Ευκλείδης, διευθυντής της βιβλιοθήκης της Αλεξανδρείας, κωδικοποιεί την μέχρι τότε γνώση στη γεωμετρία στο βιβλίο του Στοιχεία Σχεδόν όλα όσα μαθαίνουν για τη γεωμετρία οι μαθητές στα σχολεία όλου του κόσμου είναι από τα Στοιχεία Το άγαλμα του Ευκλείδη στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης 13 / 21

Τα στοιχεία Αιτήματα, βιβλίο πρώτο α Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. β Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. γ Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. δ Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. ε Επιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ς Επιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. ζ Επίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. η Επίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. Από την ιστοσελίδα του Δημήτρη Μουρμούρα http://www.physics. ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/elements1.html 14 / 21

Αποτελέσματα Η βιβλιοθήκη της Αλεξανδρείας: Εκτόξευσε την επιστημονική αναζήτηση και καταγραφή Επιβλήθηκε ως η μεγαλύτερη επιστημονική προσπάθεια της ανθρωπότητας Καταστράφηκε από: Την είσοδο του Ρωμαϊκού στρατού/ναυτικού του Καίσαρα μετά την ήττα του Αντώνιου και της Κλεοπάτρας (48 π.χ.) Τον αυτοκράτορα Αυρηλιανό μετά την κατάπνιξη της επανάστασης της βασίλισσας Ζηνοβίας (275 μ.χ.) Την καταστροφή του Σεράπειου από τον αυτοκράτορα Θεοδόσιο (391 μ.χ.) Το τελειωτικό ολοκαύτωμα της βιβλιοθήκης από τον άραβα στρατηγό Amr ibn al- As (642 μ.χ.) 15 / 21

Ηρων ὁ Ἀλεξανδρεύς Ο μεγαλύτερος πειραματικός επιστήμων της αρχαιότητας 1 Αλεξάνδρεια, 1ος αιώνας μ.χ. 2 Πολλές ανακαλύψεις, όπως αιολόσφαιρα, σύριγγα, αντλία, κ.α. 3 Συγγραφέας πολλών επιστημονικών βιβλίων 4 Γνωστός για τον τύπο που υπολογίζει το εμβαδόν τριγώνου, αν γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του: E = s(s a)(s b)(s c) s = 1 (a + b + c) 2 16 / 21

Καρτέσιος René Descartes, Γαλλία 17ος μ.χ. αιώνας Φιλόσοφος, μαθηματικός, διαφωτιστής... 1 cogito ergo sum 2 Μάστορας της αμφιβολίας, σκεπτικιστής 3 Υπέρ της ύπαρξης του Θεού 4 Διαχωρισμός ψυχής νου, ύλης πνεύματος 5 Μας άφησε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 17 / 21

Απόσταση σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο Ευκλίδεια απόσταση Ως απόρροια του πυθαγόρειου θεωρήματος, η απόσταση δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο είναι: d = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 18 / 21

Το πρόβλημα Εμβαδόν τριγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του Σας δίνονται οι συντεταγμένες x, y τριών σημείων A, B, C στο καρτεσιανό επίπεδο. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ABC 19 / 21

Προς τη λύση 1 Σε 3 σημεία αντιστοιχούν 6 αριθμοί-συντεταγμένες, ας πούμε ένας πίνακας 3x2, χρειαζόμαστε μια αντίστοιχη περιοχή κελιών για να τοποθετήσουμε τα δεδομένα του προβλήματος 2 Από κάθε ζεύγος συντεταγμένων (x, y) μπορούμε να υπολογίσουμε μία απόσταση, πχ: d = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 3 Τρία σημεία μας δίνουν τα ζεύγη AB, BC, AC, τα οποία αντιστοιχούν στα μήκη των πλευρών του τριγώνου 4 Μπορούμε να υπολογίσουμε την ημιπερίμετρο: s = 1 (a + b + c) 2 5 Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου: E = s(s a)(s b)(s c) 20 / 21

Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 21 / 21