LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG - - - - - - - - - - - - - - SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Bê soạ : Ts LÊ BÁ LONG Lưu hàh ộ bộ HÀ NỘI - 006

LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất thốg kê là một bộ phậ của toá học, ghê cứu các hệ tượg gẫu hê và ứg dụg chúg vào thực tế Ta có thể hểu hệ tượg gẫu hê là hệ tượg khôg thể ó trước ó xảy ra hay khôg xảy ra kh thực hệ một lầ qua sát Tuy hê, ếu tế hàh qua sát khá hều lầ một hệ tượg gẫu hê trog các phép thử hư hau, ta có thể rút ra được hữg kết luậ khoa học về hệ tượg ày Lý thuyết xác suất cũg là cơ sở để ghê cứu Thốg kê - mô học ghê cứu các các phươg pháp thu thập thôg t chọ mẫu, xử lý thôg t, hằm rút ra các kết luậ hoặc quyết địh cầ thết Ngày ay, vớ sự hỗ trợ tích cực của máy tíh đệ tử và côg ghệ thôg t, lý thuyết xác suất thốg kê gày càg được ứg dụg rộg rã và hệu quả trog mọ lĩh vực khoa học tự hê và xã hộ Chíh vì vậy lý thuyết xác suất thốg kê được gảg dạy cho hầu hết các hóm gàh ở đạ học Có hều sách gáo khoa và tà lệu chuyê khảo vết về lý thuyết xác suất thốg kê Tuy hê, vớ phươg thức đào tạo từ xa có hữg đặc thù rêg, đò hỏ học vê phả làm vệc độc lập hều hơ, vì vậy cầ phả có tà lệu hướg dẫ học tập của từg mô học thích hợp cho đố tượg ày Tập tà lệu Hướg dẫ học mô toá xác suất thốg kê ày được bê soạ cũg hằm mục đích trê Tập tà lệu Hướg dẫ học mô Lý thuyết xác suất và thốg kê toá được bê soạ theo chươg trìh qu địh của Học vệ Côg ghệ Bưu Chíh Vễ Thôg dàh cho hệ đạ học chuyê gàh Quả trị kh doah Nộ dug của cuố sách bám sát các gáo trìh của các trườg đạ học khố kh tế và theo kh ghệm gảg dạy hều ăm của tác gả Chíh vì thế, gáo trìh ày cũg có thể dùg làm tà lệu học tập, tà lệu tham khảo cho sh vê của các trườg đạ học và cao đẳg khố kh tế Gáo trìh gồm 8 chươg tươg ứg vớ 4 đơ vị học trìh (60 tết): Chươg I: Bế cố gẫu hê và xác suất Chươg II: Bế gẫu hê và quy luật phâ bố xác suất Chươg III: Một số quy luật phâ bố xác suất qua trọg Chươg IV: Bế gẫu hê ha chều Chươg V: Luật số lớ Chươg VI: Cơ sở lý thuyết mẫu Chươg VII: Ước lượg các tham số của bế gẫu hê Chươg VIII: Kểm địh gả thết thốg kê 3

Năm chươg đầu thuộc về lý thuyết xác suất, ba chươg cò lạ là hữg vấ đề cơ bả của lý thuyết thốg kê Đều kệ tê quyết của mô học ày là ha mô toá cao cấp đạ số và gả tích trog chươg trìh toá đạ cươg Tuy hê, vì sự hạ chế của chươg trìh toá dàh cho khố kh tế, ê hều kết quả và địh lý chỉ được phát bểu, mh họa, chứ khôg có đều kệ để chứg mh ch tết Gáo trìh ày được trìh bày theo phươg pháp phù hợp đố vớ gườ tự học, đặc bệt phục vụ đắc lực cho côg tác đào tạo từ xa Trước kh ghê cứu các ộ dug ch tết, gườ học ê xem phầ gớ thệu của mỗ chươg, để thấy được mục đích, ý ghĩa, yêu cầu chíh của chươg đó Trog mỗ chươg, mỗ ộ dug, gườ học có thể tự đọc và hểu được cặ kẽ thôg qua cách dễ đạt và chỉ dẫ rõ ràg Đặc bệt học vê ê chú ý đế các hậ xét, bìh luậ, để hểu sâu sắc hơ hoặc mở rộg tổg quát hơ các kết quả và hướg ứg dụg vào thực tế Hầu hết các bà toá trog gáo trìh được xây dựg theo lược đồ: đặt bà toá, chứg mh sự tồ tạ lờ gả bằg lý thuyết và cuố cùg êu thuật toá gả quyết bà toá ày Các ví dụ là để mh hoạ trực tếp khá ệm, địh lý hoặc các thuật toá, vì vậy sẽ gúp gườ học dễ tếp thu bà hơ Sau các chươg có phầ tóm tắt các ộ dug chíh, và cuố cùg là các câu hỏ luyệ tập Có khoảg từ 0 đế 30 bà tập cho mỗ chươg, tươg ứg vớ 3-5 câu hỏ cho mỗ tết lý thuyết Hệ thốg câu hỏ ày bao trùm toà bộ ộ dug vừa được học Có hữg câu hỏ kểm tra trực tếp các kế thức vừa được học, hưg cũg có hữg câu đò hỏ học vê phả vậ dụg một cách tổg hợp và ság tạo các kế thức đã học để gả quyết Vì vậy, vệc gả các bà tập ày gúp học vê ắm chắc hơ lý thuyết và tự kểm tra được mức độ tếp thu lý thuyết của mìh Gáo trìh được vết theo đúg đề cươg ch tết mô học đã được Học Vệ ba hàh Các kế thức được trag bị tươg đố đầy đủ, có hệ thốg Tuy hê, ếu gườ học khôg có đều kệ đọc kỹ toà bộ gáo trìh thì các ộ dug có đáh dấu (*) được co là phầ tham khảo thêm (chẳg hạ: chươg 5 luật số lớ và địh lý gớ hạ trug tâm (*), mục 66 chươg 6 ) Tuy tác gả đã rất cố gắg, sog do thờ ga bị hạ hẹp, ê các thếu sót cò tồ tạ trog gáo trìh là đều khó tráh khỏ Tác gả rất mog hậ được sự đóg góp ý kế của bạ bè, đồg ghệp, các học vê xa gầ X châ thàh cám ơ Tác gả x bày tỏ lờ cám ơ tớ TS Tô Vă Ba, CN Nguyễ Đìh Thực, đã đọc bả thảo và cho hữg ý kế phả bệ quý gá và đặc bệt tớ KS Nguyễ Chí Thàh gườ đã gúp tô bê tập hoà chỉh cuố tà lệu Cuố cùg, tác gả x bày tỏ sự cám ơ đố vớ Ba Gám đốc Học vệ Côg ghệ Bưu Chíh Vễ Thôg, Trug tâm Đào tạo Bưu Chíh Vễ Thôg và bạ bè đồg ghệp đã khuyế khích, độg vê, tạo hều đều kệ thuậ lợ để chúg tô hoà thàh tập tà lệu ày Hà Nộ, đầu ăm 006 TÁC GIẢ 4

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT GIỚI THIỆU Các hệ tượg trog tự hê hay xã hộ xảy ra một cách gẫu hê (khôg bết trước kết quả) hoặc tất địh (bết trước kết quả sẽ xảy ra) Chẳg hạ ta bết chắc chắ rằg lôg của quạ có mầu đe, một vật được thả từ trê cao chắc chắ sẽ rơ xuốg đất Đó là hữg hệ tượg dễ ra có tíh quy luật, tất địh Trá lạ kh tug đồg xu ta khôg bết mặt sấp hay mặt gửa sẽ xuất hệ Ta khôg thể bết có bao hêu cuộc gọ đế tổg đà, có bao hêu khách hàg đế đểm phục vụ trog khoảg thờ ga ào đó Ta khôg thể xác địh trước chỉ số chứg khoá trê thị trườg chứg khoá Đó là hữg hệ tượg gẫu hê Tuy hê, ếu tế hàh qua sát khá hều lầ một hệ tượg gẫu hê trog hữg hoà cảh hư hau, thì trog hều trườg hợp ta có thể rút ra hữg kết luậ có tíh quy luật về hữg hệ tượg ày Lý thuyết xác suất ghê cứu các qu luật của các hệ tượg gẫu hê Vệc ắm bắt các quy luật ày sẽ cho phép dự báo các hệ tượg gẫu hê đó sẽ xảy ra hư thế ào Chíh vì vậy các phươg pháp của lý thuyết xác suất được ứg dụg rộg rã trog vệc gả quyết các bà toá thuộc hều lĩh vực khác hau của khoa học tự hê, kỹ thuật và kh tế-xã hộ Chươg ày trìh bày một cách có hệ thốg các khá ệm và các kết quả chíh về lý thuyết xác suất: - Các khá ệm phép thử, bế cố - Qua hệ gữa các bế cố - Các địh ghĩa về xác suất: địh ghĩa xác suất theo cổ để, theo thốg kê - Các tíh chất của xác suất: côg thức cộg và côg thức hâ xác suất, xác suất của bế cố đố - Xác suất có đều kệ, côg thức hâ trog trườg hợp khôg độc lập Côg thức xác suất đầy đủ và địh lý Bayes Kh ắm vữg các kế thức về đạ số tập hợp hư: hợp, gao tập hợp, tập co học vê sẽ dễ dàg trog vệc tếp thu, bểu dễ hoặc mô tả các bế cố Để tíh xác suất các bế cố theo phươg pháp cổ để đò hỏ phả tíh số các trườg hợp thuậ lợ đố vớ bế cố và số các trườg hợp có thể Vì vậy học vê cầ ắm vữg các phươg pháp đếm - gả tích tổ hợp (đã được học ở lớp ) Tuy hê để thuậ lợ cho gườ học chúg tô sẽ hắc lạ các kết quả chíh trog mục 3 Một trog hữg khó khă của bà toá xác suất là xác địh được bế cố và sử dụg đúg các côg thức thích hợp Bằg cách tham khảo các ví dụ và gả hều bà tập sẽ rè luyệ tốt kỹ ăg ày 5

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất NỘI DUNG PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Phép thử (Expermet) Trog thực tế ta thườg gặp hều thí ghệm, qua sát mà các kết quả của ó khôg thể dự báo trước được Ta gọ chúg là các phép thử gẫu hê Phép thử gẫu hê thườg được ký hệu bở chữ C Tuy khôg bết kết quả sẽ xảy ra hư thế ào, hưg ta có thể lệt kê được hoặc bểu dễ tất cả các kết quả của phép thử C Mỗ kết quả của phép thử C được gọ là một bế cố sơ cấp Tập hợp tất cả các bế cố sơ cấp của phép thử được gọ là khôg ga mẫu, ký hệu Ω Ví dụ : Phép thử tug đồg xu có khôg ga mẫu là = { S, N} Ω Vớ phép thử tug xúc xắc, các bế cố sơ cấp có thể xem là số các ốt trê mỗ mặt xuất hệ Vậy Ω =,,3, 4,5,6 { } Phép thử tug đồg thờ đồg xu có khôg ga mẫu là: {( S, S),( S, N),( N, S),( N, N) } Ω = Chú ý rằg bả chất của các bế cố sơ cấp khôg có va trò đặc bệt gì trog lý thuyết xác suất Chẳg hạ có thể xem khôg ga mẫu của phép thử tug đồg tề là Ω = { 0, }, trog đó 0 là bế cố sơ cấp chỉ mặt sấp xuất hệ và để chỉ mặt gửa xuất hệ Bế cố (Evet) Vớ phép thử C ta thườg xét các bế cố (cò gọ là sự kệ) mà vệc xảy ra hay khôg xảy ra hoà toà được xác địh bở kết quả của C Các bế cố gẫu hê được ký hệu bằg các chữ hoa A, B, C, Mỗ kết quả ω của C được gọ là kết quả thuậ lợ cho bế cố A ếu A xảy ra kh kết quả của C là ω Ví dụ : Nếu gọ A là bế cố số ốt xuất hệ là chẵ trog phép thử tug xúc xắc ở ví dụ thì A có các kết quả thuậ lợ là, 4, 6 Tug ha đồg xu, bế cố xuất hệ một mặt sấp một mặt gửa (x âm dươg) có các kết quả thuậ lợ là ( S, N); ( N, S) Như vậy mỗ bế cố A được đồg hất vớ một tập co của khôg ga mẫu Ω các kết quả thuậ lợ đố vớ A bao gồm Mỗ bế cố chỉ có thể xảy ra kh một phép thử được thực hệ, ghĩa là gắ vớ khôg ga mẫu ào đó Có ha bế cố đặc bệt sau: Bế cố chắc chắ: là bế cố luô luô xảy ra kh thực hệ phép thử, bế cố ày trùg vớ khôg ga mẫu Ω 6

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Bế cố khôg thể: là bế cố hất địh khôg xảy ra kh thực hệ phép thử Bế cố khôg thể được ký hệu φ Tug một co xúc xắc, bế cố xuất hệ mặt có số ốt hỏ hơ hay bằg 6 là bế chắc chắ, bế cố xuất hệ mặt có 7 ốt là bế cố khôg thể ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Vệc bế cố gẫu hê xảy ra hay khôg trog kết quả của một phép thử là đều khôg thể bết hoặc đoá trước được Tuy hê bằg hữg cách khác hau ta có thể địh lượg khả ăg xuất hệ của bế cố, đó là xác suất xuất hệ của bế cố Xác suất của một bế cố là một co số đặc trưg khả ăg khách qua xuất hệ bế cố đó kh thực hệ phép thử Dựa vào bả chất của phép thử (đồg khả ăg) ta có thể suy luậ về khả ăg xuất hệ của bế cố, vớ cách tếp cậ ày ta có địh ghĩa xác suất theo phươg pháp cổ để Kh thực hệ hều lầ lặp lạ độc lập một phép thử ta có thể tíh được tầ suất xuất hệ (số lầ xuất hệ) của một bế cố ào đó Tầ suất thể hệ khả ăg xuất hệ của bế cố, vớ cách tếp cậ ày ta có địh ghĩa xác suất theo thốg kê 3 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 3 Địh ghĩa và ví dụ Gả sử phép thử C thoả mã ha đều kệ sau: () Khôg ga mẫu có một số hữu hạ phầ tử () Các kết quả xảy ra đồg khả ăg Kh đó ta địh ghĩa xác suất của bế cố A là sè tr êg hîp thuë lî đè ví A P(A) = sè tr êg hîp cã thó () Nếu xem bế cố A hư là tập co của khôg ga mẫu Ω thì sè phç tö cña A A P( A) = = () sè phç tö cña Ω Ω Ví dụ 3: Bế cố A xuất hệ mặt chẵ trog phép thử geo co xúc xắc ở ví dụ có 3 3 trườg hợp thuậ lợ ( A = 3 ) và 6 trườg hợp có thể ( Ω = 6 ) Vậy P ( A) = = 6 Để tíh xác suất cổ để ta sử dụg phươg pháp đếm của gả tích tổ hợp 7

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất 3 Các qu tắc đếm 3 Qu tắc cộg Nếu có m cách chọ loạ đố tượg x, m cách chọ loạ đố tượg x,, m cách chọ loạ đố tượg x Các cách chọ đố tượg x khôg trùg vớ cách chọ x j ếu j thì có m + m + + 3 Qu tắc hâ m cách chọ một trog các đố tượg đã cho H có Gả sử côg vệc H gồm hều côg đoạ lê tếp cách thực hệ thì có tất cả H, H,, H k k cách thực hệ côg vệc H và mỗ côg đoạ 33 Hoá vị Mỗ phép đổ chỗ của phầ tử được gọ là phép hoá vị phầ tử Sử dụg quy tắc hâ ta có thể tíh được: 34 Chỉh hợp Có! hoá vị phầ tử Chọ lầ lượt k phầ tử khôg hoà lạ trog tập phầ tử ta được một chỉh hợp chập k của phầ tử Sử dụg quy tắc hâ ta có thể tíh được số các chỉh hợp chập k của phầ tử là: 35 Tổ hợp! A k = () ( k)! Chọ đồg thờ k phầ tử của tập phầ tử ta được một tổ hợp chập k của phầ tử Cũg có thể xem một tổ hợp chập k của phầ tử là một tập co k phầ tử của tập phầ tử Ha chỉh hợp chập k là khác hau ếu: có ít hất phầ tử của chỉh hợp ày khôg có trog chỉh hợp ka các phầ tử đều hư hau hưg thứ tự khác hau Do đó vớ mỗ tổ hợp chập k của phầ tử có k! chỉh hợp tươg ứg Mặt khác ha chỉh hợp khác hau ứg vớ ha tổ hợp khác hau là khác hau 8 Vậy số các tổ hợp chập k của phầ tử là C k k A! = = (3) k! k!( k)!

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Ví dụ 4: Tug một co xúc xắc ha lầ Tìm xác suất để trog đó có lầ ra 6 ốt Gả: Số các trườg hợp có thể là 36 Gọ A là bế cố trog lầ tug co xúc xắc có lầ được mặt 6 Nếu lầ thứ hất ra mặt 6 thì lầ thứ ha chỉ có thể ra các mặt từ đế 5, ghĩa là có 5 trườg hợp Tươg tự cũg có 5 trườg hợp chỉ xuất hệ mặt 6 ở lầ tug thứ ha Áp dụg 0 quy tắc cộg ta suy ra xác suất để chỉ có một lầ ra mặt 6 kh tug xúc xắc lầ là 36 Ví dụ 5: Một gườ gọ đệ thoạ quê mất ha số cuố của số đệ thoạ và chỉ hớ được rằg chúg khác hau Tìm xác suất để quay gẫu hê một lầ được đúg số cầ gọ Gả: Gọ A là bế cố quay gẫu hê một lầ được đúg số cầ gọ Số các trườg hợp có thể là số các cặp ha chữ số khác hau từ 0 chữ số từ 0 đế 9 Nó bằg số các chỉh hợp 0 chập Vậy số các trườg hợp có thể là Do đó P ( A) = 90 A0 = 0 9 = 90 Số các trườg hợp thuậ lợ của Ví dụ 6: Một côg ty cầ tuyể hâ vê Có 6 gườ ộp đơ trog đó có 4 ữ và am Gả sử khả ăg trúg tuyể của cả 6 gườ là hư hau Tíh xác suất bế cố: a Ha gườ trúg tuyể là am b Ha gườ trúg tuyể là ữ c Có ít hất ữ trúg tuyể Gả: Số trườg hợp có thể Ω= C 6 = 5 a Chỉ có trườg hợp cả am đều trúg tuyể do đó xác suất tươg ứg là P = /5 4 = b Có C 6 cách chọ trog 4 ữ, vậy xác suất tươg ứg P = 6 / 5 c Trog 5 trườg hợp có thể chỉ có trườg hợp cả am được chọ, vậy có 4 trườg hợp ít hất ữ được chọ Do đo xác suất tươg ứg P = 4/ 5 4 ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Địh ghĩa xác suất theo cổ để trực qua, dễ hểu Tuy hê kh số các kết quả có thể vô hạ hoặc khôg đồg khả ăg thì cách tíh xác suất cổ để khôg áp dụg được Gả sử phép thử C có thể được thực hệ lặp lạ hều lầ độc lập trog hữg đều kệ gốg hệt hau Nếu trog lầ thực hệ phép thử C, bế cố A xuất hệ k (A) lầ thì tỉ số: f k ( A) = được gọ là tầ suất xuất hệ của bế cố A trog ( A) phép thử Ngườ ta chứg mh được (địh lý luật số lớ) kh tăg lê vô hạ thì f (A) tế đế một gớ hạ xác địh Ta địh ghĩa gớ hạ ày là xác suất của bế cố A, ký hệu P(A) A là 9

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất P( A) = lm f ( A) (4) Trê thực tế P (A) được tíh xấp xỉ bở tầ suất f (A) kh đủ lớ Ví dụ 7: Một côg ty bảo hểm muố xác địh xác suất để một gườ Mỹ 5 tuổ sẽ bị chết trog ăm tớ, gườ ta theo dõ 00000 thah ê và thấy rằg có 798 gườ bị chết trog vòg ăm sau đó Vậy xác suất cầ tìm xấp xỉ bằg 0,008 Ví dụ 8: Thốg kê cho thấy tầ suất sh co tra xấp xỉ 0,53 Vậy xác suất để bé tra ra đờ lớ hơ bé gá Nhậ xét: Địh ghĩa xác suất theo thốg kê khắc phục được hạ chế của địh ghĩa cổ để, ó hoà toà dựa trê các thí ghệm qua sát thực tế để tìm xác suất của bế cố Tuy hê địh ghĩa thốg kê về xác suất cũg chỉ áp dụg cho các phép thử mà có thể lặp lạ được hều lầ một cách độc lập trog hữg đều kệ gốg hệt hau Ngoà ra để xác địh một cách tươg đố chíh xác gá trị của xác suất thì cầ tế hàh một số lầ đủ lớ các phép thử, mà vệc ày đô kh khôg thể làm được vì hạ chế về thờ ga và kh phí Ngày ay vớ sự trợ gúp của côg ghệ thôg t, gườ ta có thể mô phỏg các phép thử gẫu hê mà khôg cầ thực hệ các phép thử trog thực tế Đều ày cho phép tíh xác suất theo phươg pháp thốg kê thuậ tệ hơ 5 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Trog lý thuyết xác suất gườ ta xét các qua hệ sau đây cho các bế cố 5 Qua hệ kéo theo Bế cố A kéo theo bế cố B, ký hệu A B, ếu A xảy ra thì B xảy ra 5 Qua hệ bế cố đố Bế cố đố của A là bế cố được ký hệu là A và được xác địh hư sau: A xảy ra kh và chỉ kh A khôg xảy ra 53 Tổg của ha bế cố Tổg của ha bế cố A, B là bế cố được ký hệu A B (hoặc A + B ) Bế cố A B xảy ra kh và chỉ kh có ít hất A hoặc B xảy ra Tổg của một dãy các bế cố { } là bế cố Bế cố ày xảy ra kh có A ít hất một trog các bế cố xảy ra A,, A, A A = 0

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất 54 Tích của ha bế cố Tích của ha bế cố cả ha bế cố A, B cùg xảy ra A, B là bế cố được ký hệu AB Bế cố AB xảy ra kh và chỉ kh Tích của một dãy các bế cố A, A,, là bế cố Bế cố ày xảy ra kh tất cả các bế cố A cùg xảy ra 55 Bế cố xug khắc Ha bế số A A = { } A, B gọ là xug khắc ếu bế cố tích AB là bế cố khôg thể Nghĩa là ha bế cố ày khôg thể đồg thờ xảy ra Chú ý rằg các bế cố vớ phép toá tổg, tích và lấy bế cố đố tạo thàh đạ số Boole do đó các phép toá được địh ghĩa ở trê có các tíh chất hư các phép toá hợp, gao, lấy phầ bù đố vớ các tập co của khôg ga mẫu Chẳg hạ phép toá tổg tích các bế cố có tíh gao hoá, kết hợp, tổg phâ bố đố vớ tích, tích phâ bố đố vớ tổg, luật De Morga 56 Hệ đầy đủ các bế cố Dãy các bế cố A, A,, A được gọ là một hệ đầy đủ các bế cố ếu: () Xug khắc từg đô một, ghĩa là A = φ vớ mọ j =,,, A j A = () Tổg của chúg là bế cố chắc chắc, ghĩa là = Ω Đặc bệt vớ mọ bế cố A, hệ { A, A } là hệ đầy đủ Ví dụ 9: Một hà máy có ba phâ xưởg sả xuất ra cùg một loạ sả phẩm Gả sử rằg mỗ sả phẩm của hà máy chỉ do một trog ba phâ xưởg ày sả xuất Chọ gẫu hê một sả phẩm, gọ A, A A lầ lượt là bế cố sả phẩm được chọ do phâ xưởg thứ hất, thứ, ha, thứ ba sả xuất Kh đó hệ ba bế cố 57 Tíh độc lập của các bế cố 3 A, A A, 3 là hệ đầy đủ Ha bế cố A và B được gọ là độc lập vớ hau ếu vệc xảy ra hay khôg xảy ra bế cố ày khôg ảh hưởg tớ vệc xảy ra hay khôg xảy ra bế cố ka Tổg quát hơ các bế cố A, A,, A được gọ là độc lập ếu vệc xảy ra hay khôg xảy ra của một hóm bất kỳ k bế cố, trog đó k, khôg làm ảh hưởg tớ vệc xảy ra hay khôg xảy ra của các bế cố cò lạ

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Ví dụ 0: Ba xạ thủ A, B, C mỗ gườ bắ một vê đạ vào mục têu Gọ lượt là bế cố A, B, C bắ trúg mục têu Hãy mô tả các bế cố: ABC, A BC, A B C Bểu dễ các bế cố sau theo A, B, C : D : Có ít hất xạ thủ bắ trúg E : Có hều hất xạ thủ bắ trúg F : Chỉ có xạ thủ C bắ trúg G : Chỉ có xạ thủ bắ trúg Các bế cố A, B, C có xug khắc, có độc lập khôg? Gả: A, B, C lầ ABC : cả 3 đều bắ trúg ABC : cả 3 đều bắ trượt A B C : có ít hất gườ bắ trúg D = AB BC CA Có hều hất một xạ thủ bắ trúg có ghĩa là có ít hất ha xạ thủ bắ trượt, vậy: E = A B BC C A F = A BC G = A BC A BC A BC Ba bế cố A, B, C độc lập hưg khôg xug khắc 6 CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 6 Các tíh chất của xác suất Các địh ghĩa trê của xác suất thỏa mã các tíh chất sau: Vớ mọ bế cố A : 0 P ( A) (5) Xác suất của bế cố khôg thể bằg 0, xác suất của bế cố chắc chắ bằg P( φ ) = 0, P( Ω ) = (6) 6 Qu tắc cộg 6 Trườg hợp xug khắc Nếu A, B là ha bế cố xug khắc thì P ( A B) = P( A) + P( B) (7)

Tổg quát hơ, ếu { A, A,, A } P Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất là dãy các bế cố xug khắc từg đô một thì = A = = Từ côg thức (6) và (7) ta có hệ quả: Nếu { A, A,, } P( A ) (7) A là một hệ đầy đủ thì = P( A ) = (8) 6 Trườg hợp tổg quát P Nếu A, B là ha bế cố bất kỳ thì P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) (9) Nếu A, B, C là ba bế cố bất kỳ thì P ( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( AB) P( BC) P( CA) + P( ABC) (9) Nếu { A, A,, A } là dãy các bế cố bất kỳ = A = = P( A ) P( A A ) + P( A A A ) + ( ) P( A A A < j j < j< k j k ) 9) Ví dụ : Một lô hàg có 5% sả phẩm loạ I, 55% sả phẩm loạ II và 0% sả phẩm loạ III Sả phẩm được cho là đạt chất lượg ếu thuộc loạ I hoặc loạ II Chọ gẫu hê sả phẩm tìm xác suất để sả phẩm ày đạt têu chuẩ chất lượg Gả: Gọ A, A A, 3 lầ lượt là bế cố sả phẩm được chọ thuộc loạ I, II, III Ba bế cố ày xug khắc từg đô một P( A ) = 0,5, P ( A ) = 0, 55, P ( A 3 ) = 0, 0 Gọ A là bế cố sả phẩm được chọ đạt têu chuẩ chất lượg Vậy A = A A P A) = P( A ) + P( A ) = 0,5 + 0,55 0,8 ( = Áp dụg côg thức (8) cho hệ đầy đủ { A, A } ta được quy tắc xác suất bế cố đố 63 Quy tắc xác suất của bế cố đố Vớ mọ bế cố A : 64 Xác suất có đều kệ P( A) = P( A) (0) Xác suất của bế cố B được tíh trog đều kệ bết rằg bế cố A đã xảy ra được gọ P B A là xác suất của B vớ đều kệ A Ký hệu ( ) 3

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Tíh chất Nếu P( A) > 0 thì: Kh cố địh A vớ P( AB) P ( B A) = () P( A) P ( A) > 0 thì xác suất có đều kệ P ( B A) có tất cả các tíh chất của xác suất thôg thườg (côg thức (5)-(0) ) đố vớ bế cố B Chẳg hạ: ( B A) = P( B A), P( B B A) = P( B A) + P( B A) P( B B A) P Ví dụ : Geo đồg thờ ha co xúc xắc câ đố Tíh xác suất để tổg số ốt xuất hệ trê ha co xúc xắc bết rằg ít hất một co đã ra ốt 5 0 Gả: Gọ A là bế cố " ít hất một co ra ốt 5" 65 Quy tắc hâ ( ) 5 PA ( ) = P A= = 6 36 Gọ B là bế cố "tổg số ốt trê ha co 0 " Bế cố AB có 3 kết quả thuậ lợ là (5,6), (6,5), (5,5) 3 3 3 = = = 36 36 36 Vậy PAB ( ) PBA ( ) 65 Trườg hợp độc lập Nếu A, B là ha bế cố độc lập thì Nếu { A, A,, A } là các bế cố độc lập thì 65 Trườg hợp tổg quát P AB) P( A) P( B A) P ( AB) = P( A) P( B) () ( A A A ) P( A ) P( A ) P( ) P = (3) A ( = (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AA A = P A P A A P A3 AA P A AA A (5) 4

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Ví dụ 4: Tú I chứa 3 b trắg, 7 b đỏ, 5 b xah Tú II chứa 0 b trắg, 6 b đỏ, 9 b xah Từ mỗ tú lấy gẫu hê b Tìm xác suất để b được rút từ tú là cùg màu Gả: Gọ A, A, t đ A x lầ lượt là bế cố b được rút từ tú I là trắg, đỏ, xah B, B, t đ B x lầ lượt là bế cố b được rút từ tú II là trắg, đỏ, xah Các bế cố A A, A độc lập vớ các bế cố B, B, B Vậy xác suất để b được rút cùg mầu là: t, đ x t đ x ( ) ( ) ( ) ( ) P AB A B A B = P AB + P A B + P A B (do xug khắc) t t đ đ x x t t đ đ x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P At P Bt + P Ađ P Bđ + P Ax P Bx 3 0 7 6 5 9 07 = + + = 0,33 5 5 5 5 5 5 65 (do độc lập) Ví dụ 5: Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chếc, bề goà chúg gốg hệt hau hưg trog đó chỉ có đúg chếc mở được kho Ah ta thử gẫu hê từg chìa (chìa ào khôg trúg thì bỏ ra) Tíh xác suất để mở được kho ở lầ thứ ba Gả: Ký hệu A là bế cố "thử đúg chìa ở lầ thứ " Vậy xác suất cầ tìm là ( 3) ( ) ( ) ( 3 ) 76 P A A A = P A P A A P A A A = = 987 6 66 Côg thức xác suất đầy đủ Địh lý 3: Nếu { } cùg phép thử) ta có 67 Côg thức Bayes A, A,, A là một hệ đầy đủ các bế cố Vớ mọ bế cố B (trog = PA P( B A) PB ( ) ( ) = Địh lý 4: Nếu { } (6) A, A,, A là một hệ đầy đủ các bế cố Vớ mọ bế cố B (trog cùg phép thử) sao cho P( B) > 0 ta có : ( B) P A k PAB ( ) = k = PB ( ) = ( ) PA ( ) PBA k ( ) PA ( ) PBA k (7) 5

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Gả thích: Trog thực tế các xác suất { ( ), ( ),, ( )} PA PA PA đã bết và được gọ là các xác suất tề ghệm Sau kh qua sát bết được bế cố B xảy ra, các xác suất của tíh trê thôg t ày (xác suất có đều kệ ( A B) côg thức Bayes cò được gọ là côg thức xác suất hậu ghệm A k được P k ) được gọ là xác suất hậu ghệm Vì vậy Ví dụ 6: Một trạm chỉ phát ha tí hệu A và B vớ xác suất tươg ứg 0,85 và 0,5 Do có hễu trê đườg truyề ê /7 tí hệu A bị méo và thu được hư tí hệu B cò /8 tí hệu B bị méo và thu được hư A a Tìm xác suất thu được tí hệu A b Gả sử đã thu được tí hệu A Tìm xác suất thu được đúg tí hệu lúc phát Gả: Gọ là A bế cố "phát tí hệu A" và B là bế cố "phát tí hệu B" Kh đó { A, B} là hệ đầy đủ Gọ là T A bế cố "thu được tí hệu A" và là T B bế cố "thu được tí hệu B" P( A) = 0,85, P( B) = 0,5; P( T A) =, P( TA B) = 7 8 B a Áp dụg côg thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu được tí hệu A: P ( T ) = P( A) P( T A) + P( B) P( T B) = 0,85 + 0,5 = 0, 7473 A b Áp dụg côg thức Bayes ta có A 6 P( A) P( T ) 0,85 A A P ( A T ) = = 7 A = 0,975 P T 0,7473 ( ) A Ví dụ 7: Ngườ ta dùg một thết bị để kểm tra một loạ sả phẩm hằm xác địh sả phẩm có đạt yêu cầu khôg Bết rằg sả phẩm có tỉ lệ phế phẩm là p% Thết bị có khả ăg phát hệ đúg sả phẩm là phế phẩm vớ xác suất α và phát hệ đúg sả phẩm đạt chất lượg vớ xác suất β Kểm tra gẫu hê một sả phẩm, tìm xác suất sao cho sả phẩm ày: 6 a Được kết luậ là phế phẩm (bế cố A ) b Được kết luậ là đạt chất lượg thì lạ là phế phẩm c Được kết luậ là đúg vớ thực chất của ó Gả: Gọ H là bế cố sả phẩm được chọ là phế phẩm Theo gả thết ta có: ( ) α ( ) PH ( ) = p, P AH =, P A H = β a Áp dụg côg thức đầy đủ cho hệ đầy đủ { H, H } ta có: ( ) ( ) ( ) PA ( ) = PHP ( ) AH + PH P AH = pα + ( p)( β ) A 6 7 8

b P( H A) ( ) ( ) P HA = = P A p( α) p( α) + ( p) β c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất P AH + P A H = P( H) P A H + P H P A H = pα + ( p) β Ví dụ 8: Trước kh đưa sả phẩm ra thị trườg gườ ta đã phỏg vấ gẫu hê 00 khách hàg về sả phẩm đó và thấy có 34 gườ trả lờ sẽ mua, 97 gườ trả lờ có thể sẽ mua và 69 gườ trả lờ khôg mua Kh ghệm cho thấy tỷ lệ khách hàg thực sự sẽ mua sả phẩm tươg ứg vớ hữg cách trả lờ trê tươg ứg là 70%, 30% và % phỏg vấ: a Hãy đáh gá thị trườg tềm ăg của sả phẩm đó b Trog số khách hàg thực sự mua sả phẩm thì có bao hêu phầ trăm trả lờ sẽ mua Gả: Gọ A là bế cố gườ được phỏg vấ sẽ mua sả phẩm Gọ, H, H3 lầ lượt là 3 bế cố tươg ứg vớ 3 cách trả lờ của khách hàg được H H - gườ đó trả lờ sẽ mua H - gườ đó trả lờ có thể mua H 3 - gườ đó trả lờ khôg mua H, H là một hệ đầy đủ các bế cố vớ xác suất tươg ứg H, 3 34, 00 Các xác suất đều kệ P ( A H ) = 0, 7 ; P ( A H ) = 0, 3 ; ( A H 3 ) = 0, 0 P 97, 00 69 00 a Theo côg thức xác suất đầy đủ 34 97 69 P ( A) = 0,7 + 0,3 + 0,0 = 0,68 00 00 00 Vậy thị trườg tềm ăg của sả phẩm đó là 6,8% b Theo côg thức Bayes ( A H ) P( H) P 0,7 0,7 P ( H A) = = = 0,444 = 44,4% P( A) 0,68 7 NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN, XÁC SUẤT NHỎ Một bế cố khôg thể có xác suất bằg 0 Qua thực ghệm và qua sát thực tế, gườ ta thấy rằg các bế cố có xác suất hỏ sẽ khôg xảy ra kh ta chỉ thực hệ một phép thử hay một và phép thử Từ đó ta thừa hậ guyê lý sau đây, gọ là Nguyê lý xác suất hỏ : Nếu một 7

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất bế cố có xác suất rất hỏ thì thực tế có thể cho rằg trog một phép thử bế cố đó sẽ khôg xảy ra Chẳg hạ mỗ chếc máy bay đều có một xác suất rất hỏ bị xảy ra ta ạ Nhưg trê thực tế ta vẫ khôg từ chố đ máy bay vì t tưởg rằg trog chuyế bay ta đ sự kệ máy bay rơ khôg xảy ra Hể hê vệc quy địh một mức xác suất thế ào được gọ là hỏ sẽ phụ thuộc vào từg bà toá cụ thể Chẳg hạ ếu xác suất để máy bay rơ là 0,0 thì xác suất đó chưa thể được co là hỏ Sog ếu xác suất một chuyế tàu khở hàh chậm là 0,0 thì có thể co rằg xác suất ày là hỏ Mức xác suất hỏ ày được gọ là mức ý ghĩa Nếu α là mức ý ghĩa thì số β = α gọ là độ t cậy Kh dựa trê guyê lý xác suất hỏ ta tuyê bố rằg: Bế cố A có xác suất hỏ (tức là P(A) α ) sẽ khôg xảy ra trê thực tế thì độ t cậy của kết luậ trê là β Tíh đúg đắ của kết luậ chỉ xảy ra trog 00 β % trườg hợp Tươg tự hư vậy ta có thể đưa ra Nguyê lý xác suất lớ : Nếu bế cố A có xác suất gầ bằg thì trê thực tế có thể cho rằg bế cố đó sẽ xảy ra trog một phép thử Cũg hư trê, vệc quy địh một mức xác suất thế ào được gọ là lớ sẽ tùy thuộc vào từg bà toá cụ thể TÓM TẮT Phép thử Trog thực tế ta thườg gặp hều thí ghệm, qua sát mà các kết quả của ó khôg thể dự báo trước được Ta gọ chúg là các phép thử gẫu hê Mỗ kết quả của phép thử C được gọ là một bế cố sơ cấp Tập hợp tất cả các bế cố sơ cấp của phép thử được gọ là khôg ga mẫu, ký hệu Ω Bế cố Mỗ bế cố A được đồg hất vớ một tập co của khôg ga mẫu Ω quả thuậ lợ đố vớ A Xác suất bao gồm các kết Xác suất của một bế cố là một co số đặc trưg khả ăg khách qua xuất hệ bế cố đó kh thực hệ phép thử Địh ghĩa cổ để về xác suất Xác suất của bế cố A là Địh ghĩa thốg kê về xác suất sè tr êg hîp thuë lî đè ví A P( A) = sè tr êg hîp cã thó 8 Xác suất của bế cố A là P( A) f ( A) = k ( A)

trog đó k (A) số lầ xuất hệ bế cố A trog phép thử Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Qua hệ kéo theo Bế cố A kéo theo bế cố B, ký hệu Qua hệ bế cố đố A B, ếu A xảy ra thì B xảy ra A là bế cố đố của A A xảy ra kh và chỉ kh A khôg xảy ra Tổg của ha bế cố Bế cố B xảy ra Bế cố tổg trog các bế cố A xảy ra A B tổg ( A + B ) của ha bế cố A, B xảy ra kh và chỉ kh có ít hất A hoặc A = của một dãy các bế cố { A, A,, } A xảy ra kh có ít hất một Tích của ha bế cố Bế cố AB của ha bế cố A, B xảy ra kh và chỉ kh cả ha bế cố A, B cùg xảy ra cùg xảy ra A = Bế cố tích Bế cố xug khắc Ha bế số của dãy các bế cố { A, A,, } A, B gọ là xug khắc ếu AB là bế cố khôg thể A xảy ra kh tất cả các bế cố A Hệ đầy đủ các bế cố Dãy các bế cố A, A,, A được gọ là một hệ đầy đủ các bế cố ếu chúg xug khắc từg đô một và tổg của chúg là bế cố chắc chắc Tíh độc lập của các bế cố Ha bế cố A và B được gọ là độc lập vớ hau ếu vệc xảy ra hay khôg xảy ra bế cố ày khôg ảh hưởg tớ vệc xảy ra hay khôg xảy ra bế cố ka Tổg quát các bế cố A, A,, A được gọ là độc lập ếu vệc xảy ra hay khôg xảy ra của một hóm bất kỳ k bế cố, trog đó k, khôg làm ảh hưởg tớ vệc xảy ra hay khôg xảy ra của các bế cố cò lạ Qu tắc cộg Trườg hợp xug khắc: P ( A B) = P( A) + P( B) P A = P( A ) = = 9

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Trườg hợp tổg quát: P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) P P ( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( AB) P( BC) P( CA) + P( ABC) = A = = P( A ) P( A A j ) + P( A A j Ak ) + + ( ) P( A A A < j Quy tắc xác suất của bế cố đố Xác suất có đều kệ < j< k P( A) = P( A) Xác suất của bế cố B được tíh trog đều kệ bết rằg bế cố A đã xảy ra được gọ là P B A xác suất của B vớ đều kệ A, ký hệu ( ) Quy tắc hâ Trườg hợp độc lập: P ( AB) = P( A) P( B) ; P ( A A A ) = P( A ) P( A ) P( ) Trườg hợp khôg độc lập: A ( AB) = P( A P( B A) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ) P AA A = P A P A A P A3 AA P A AA A Côg thức xác suất đầy đủ A, A,, A là một hệ đầy đủ Vớ mọ bế cố B ta có: Gả sử { } Côg thức Bayes Nếu { } = PA P( B A) = PB ( ) ( ) A, A,, A là một hệ đầy đủ và vớ mọ bế cố B sao cho P( B) > 0 ta có : Nguyê lý xác suất hỏ ( B) P A k PAB ( ) = k = PB ( ) = ( ) PA ( ) PBA k k ( ) PA ( ) PBA Nếu một bế cố có xác suất rất hỏ thì thực tế có thể cho rằg trog một phép thử bế cố đó sẽ khôg xảy ra Nguyê lý xác suất lớ Nếu bế cố A có xác suất gầ bằg thì trê thực tế có thể cho rằg bế cố đó sẽ xảy ra trog một phép thử 0 )

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP Ta có thể có ha khôg ga mẫu Ω các bế cố sơ cấp cho cùg một phép thử C? Đúg Sa Các bế cố A và A B là xug khắc Đúg Sa 3 Ha bế cố A và B là xug khắc thì P ( A B) = P( A) + P( B) Đúg Sa 4 Thôg t lê qua đế vệc xuất hệ bế cố B làm tăg xác suất của bế cố A, tức là P( A B) P( A)? Đúg Sa 5 Ha bế cố xug khắc là ha bế cố độc lập Đúg Sa 6 Các bế cố đố của ha bế cố độc lập cũg là độc lập Đúg Sa 7 Xác suất của tổg ha bế cố độc lập bằg tổg xác suất của ha bế cố ày Đúg Sa 8 Xác suất của tích bế cố xug khắc bằg tích xác suất Đúg Sa 9 Hệ bế cố { A, A} là hệ đầy đủ Đúg Sa 0 Cho Ω = { a, b, c, d} trog đó các bế cố sơ cấp là đồg khả ăg Bế cố A = { a, b} và B = { a, c} là phụ thuộc vì chúg cùg xảy ra kh bế cố sơ cấp a xảy ra a) b) a) Đúg Sa Trog một hòm đựg 0 ch tết đạt têu chuẩ và 5 ch tết là phế phẩm Lấy đồg thờ 3 ch tết Tíh xác suất: Cả 3 ch tết lấy ra thuộc loạ đạt têu chuẩ Trog số 3 ch tết lấy ra có ch tết đạt têu chuẩ Thag máy của một tòa hà 7 tầg xuất phát từ tầg một vớ 3 khách Tìm xác suất để: Tất cả cùg ra ở tầg bố

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất b) c) Tất cả cùg ra ở một tầg Mỗ gườ ra một tầg khác hau 3 Một gườ gọ đệ thoạ cho bạ hưg lạ quê mất 3 chữ số cuố và chỉ hớ rằg chúg khác hau Tìm xác suất để gườ đó quay số một lầ được đúg số đệ thoạ của bạ 4 Ta kểm tra theo thứ tự một lô hàg có 0 sả phẩm Mỗ sả phẩm thuộc một trog ha loạ: Tốt hoặc Xấu Ký hệu Ak ( k =, 0 ) là bế cố chỉ sả phẩm kểm tra thứ k thuộc loạ xấu Bểu dễ các bế cố sau theo : A k a) b) c) d) Cả 0 sả phẩm đều xấu Có ít hất một sả phẩm xấu Có 6 sả phẩm kểm tra đầu là tốt, các sả phẩm cò lạ là xấu Có 6 sả phẩm kểm tra đầu là xấu 5 Ha gườ cùg bắ vào một mục têu Khả ăg bắ trúg của từg gườ là 0,8 và 0,9 Tìm xác suất: a) b) c) Chỉ có một gườ bắ trúg mục têu Có gườ bắ trúg mục têu Cả ha gườ bắ trượt 6 Cơ cấu chất lượg sả phẩm của hà máy hư sau: 40% là sả phẩm loạ I, 50% là sả phẩm loạ II, cò lạ là phế phẩm Lấy gẫu hê một sả phẩm của hà máy Tíh xác suất sả phẩm lấy ra là phế phẩm 7 Tí hệu thôg t được phát đ 3 lầ độc lập hau Xác suất thu được t của mỗ lầ phát là 0,4 Tíh xác suất để thu được thôg t đó 8 Có 000 vé số trog đó có 0 vé trúg thưởg Một gườ mua 30 vé, tìm xác suất để gườ đó trúg 5 vé 9 Để được hập kho, sả phẩm của hà máy phả qua 3 vòg kểm tra chất lượg độc lập hau Xác suất phát hệ ra phế phẩm ở các vòg lầ lượt theo thứ tự là 0,8; 0,9 và 0,99 Tíh xác suất phế phẩm được hập kho 0 Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chếc trôg gốg hệt hau trog đó chỉ có một chếc mở được kho Ah ta thử gẫu hê từg chìa khóa một, chếc ào được thử thì khôg thử lạ Tíh xác suất ah ta mở được cửa ở lầ thử thứ 4 Một lô hàg có 9 sả phẩm Mỗ lầ kểm tra chất lượg lấy gẫu hê 3 sả phẩm Sau kh kểm tra xog trả lạ vào lô hàg Tíh xác suất để sau 3 lầ kểm tra lô hàg, tất cả các sả phẩm đều được kểm tra

Chươg : Bế cố gẫu hê và xác xuất Một hà máy ô tô có ba phâ xưởg I, II, III cùg sả xuất ra một loạ pít-tôg Phâ xưởg I, II, III sả xuất tươg ứg 36%, 34%, 30% sả lượg của hà máy, vớ tỷ lệ phế phẩm tươg ứg là 0,; 0,; 0,08 a) Tìm tỷ lệ phế phẩm chug của hà máy b) Lấy gẫu hê một sả phẩm kểm tra và được sả phẩm là phế phẩm Tíh xác suất để phế phẩm đó là do phâ xưởg I, II, III sả xuất 3 Có bố hóm xạ thủ tập bắ Nhóm thứ hất có 5 gườ, hóm thứ ha có 7 gườ, hóm thứ ba có 4 gườ và hóm thứ tư có gườ Xác suất bắ trúg đích của mỗ gườ trog hóm thứ hất, hóm thứ ha, hóm thứ ba và hóm thứ tư theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5 Chọ gẫu hê một xạ thủ và bết rằg xạ thủ ày bắ trượt Hãy xác địh xem xạ thủ ày có khả ăg ở trog hóm ào hất 4 Bắ ha lầ độc lập vớ hau mỗ lầ một vê đạ vào cùg một ba Xác suất trúg đích của vê đạ thứ hất là 0,7 và của vê đạ thứ ha là 0, 4 Tìm xác suất để chỉ có một vê đạ trúg ba (bế cố A) Sau kh bắ, qua trắc vê báo có một vết đạ ở ba Tìm xác suất để vết đạ đó là vết đạ của vê đạ thứ hất 5 Một trạm chỉ phát ha tí hệu A và B vớ xác suất tươg ứg 085 và 05 Do có hễu trê đườg truyề ê 7 tí hệu A bị méo và thu được hư tí hệu B cò 8 tí hệu B bị méo và thu được hư A a) Tìm xác suất thu được tí hệu A b) Gả sử đã thu được tí hệu A Tìm xác suất thu được đúg tí hệu lúc phát 6 Một hà máy sả xuất một ch tết của đệ thoạ d độg có tỷ lệ sả phẩm đạt têu chuẩ chất lượg là 85% Trước kh xuất xưởg gườ ta dùg một thết bị kểm tra để kết luậ sả phẩm có đạt yêu cầu chất lượg hay khôg Thết bị có khả ăg phát hệ đúg sả phẩm đạt têu chuẩ vớ xác suất là 0,9 và phát hệ đúg sả phẩm khôg đạt têu chuẩ vớ xác suất là 0,95 Tìm xác suất để sả phẩm được chọ gẫu hê sau kh kểm tra: a) Được kết luậ là đạt têu chuẩ b) Được kết luậ là đạt têu chuẩ thì lạ khôg đạt têu chuẩ c) Được kết luậ đúg vớ thực chất của ó 3

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT GIỚI THIỆU Trog chươg ày ta khảo sát các bế cố gắ vớ các gá trị ào đó, kh các gá trị ày thay đổ ta được các bế gẫu hê Khá ệm bế gẫu hê (cò được gọ là đạ lượg gẫu hê) và các đặc trưg của chúg là hữg khá ệm rất qua trọg của lý thuyết xác suất Đố vớ bế gẫu hê ta chỉ qua tâm đế vấ đề bế gẫu hê ày hậ một gá trị ào đó hoặc hậ gá trị trog một khoảg ào đó vớ xác suất bao hêu Nó cách khác bế gẫu hê X có thể được khảo sát thôg qua hàm phâ bố xác suất của ó F( x) P{ X x} = < Như vậy kh ta bết qu luật phâ bố xác suất của một bế gẫu hê thì ta đã ắm được toà bộ thôg t về bế gẫu hê ày Kh bế gẫu hê chỉ hậ các gá trị rờ rạc thì hàm phâ bố xác suất hoà toà được xác địh bở bảg phâ bố xác suất, đó là bảg gh các gá trị mà bế gẫu hê hậ vớ xác suất tươg ứg Kh bế gẫu hê hậ gá trị lê tục thì hàm phâ bố xác suất được xác địh bở hàm mật độ xác suất Các bế gẫu hê đặc bệt thườg gặp sẽ được xét trog chươg sau Ngoà phươg pháp sử dụg hàm phâ bố để xác địh bế gẫu hê, trog hều trườg hợp bà toá chỉ đò hỏ cầ khảo sát hữg đặc trưg cơ bả của bế gẫu hê Các đặc trưg của bế gẫu hê được cha thàh ha loạ sau: Các đặc trưg cho vị trí trug tâm của bế gẫu hê hư: Kỳ vọg, Trug vị, Mốt Các đặc trưg cho độ phâ tá của bế gẫu hê hư: Phươg sa, Độ lệch chuẩ, Hệ số bế thê, Hệ số bất đố xứg và Hệ số họ Trog các bà toá thực tế kỳ vọg được sử dụg dướ dạg lợ huậ kỳ vọg cò phươg sa để tíh mức độ rủ ro của quyết địh Trog kỹ thuật độ lệch chuẩ bểu dễ sa số của phép đo Để học tốt chươg ày học vê phả ắm vữg địh ghĩa xác suất, bế cố và các tíh chất của chúg Các đặc trưg của bế gẫu hê được xác địh thôg qua tíh tổg của các số hạg ào đó (trườg hợp bế gẫu hê rờ rạc) hoặc tíh tích phâ xác địh (trườg hợp bế gẫu hê lê tục) Vì vậy học vê cầ ô tập về tích phâ xác địh 4

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Khá ệm bế gẫu hê Địh ghĩa : Bế gẫu hê X là đạ lượg hậ các gá trị ào đó phụ thuộc vào các yếu tố gẫu hê Ngườ ta thườg ký hệu các bế gẫu hê bằg các chữ hoa XYZ,,, và các chữ thườg ký hệu các trị số của chúg Vì vậy vớ bế gẫu hê X và vớ mọ gá trị thực x thì { X < x} là một bế cố gẫu hê Đố vớ bế gẫu hê gườ ta chỉ qua tâm xem ó hậ một gá trị ào đó hoặc hậ gá trị trog một khoảg ào đó vớ một xác suất bao hêu Ví dụ : Các đạ lượg sau là bế gẫu hê: Phâ loạ Số ốt xuất hệ kh geo một co xúc xắc Tuổ thọ của một thết bị đag hoạt độg Số khách hàg vào một đểm phục vụ trog đơ vị thờ ga Số cuộc gọ đế một tổg đà Sa số kh đo lườg một đạ lượg vật lý Ngườ ta phâ các bế gẫu hê thàh ha loạ: Bế gẫu hê rờ rạc ếu ó chỉ hậ một số hữu hạ hoặc vô hạ đếm được các gá trị Nghĩa là có thể lệt kê các gá trị thàh một dãy x, x, Bế gẫu hê lê tục ếu các gá trị của ó có thể lấp đầy một hoặc một số các P X = a bằg khôg vớ mọ a khoảg hữu hạ hoặc vô hạ và xác suất { } Ví dụ : Gọ X là số ốt xuất hệ kh geo một co xúc xắc thì X là bế gẫu hê rờ rạc hậ các gá trị,,3, 4,5,6 Gọ Y là tuổ thọ của một thết bị đag hoạt độg thì Y là bế gẫu hê lê tục hậ gá trị trog một khoảg Gọ Z là số khách hàg vào một đểm phục vụ trog đơ vị thờ ga, Z là bế gẫu hê rờ rạc hậ các gá trị 0,,, Số cuộc gọ đế một tổg đà là bế gẫu hê rờ rạc hậ các gá trị 0,,, 5

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Sa số kh đo lườg một đạ lượg vật lý Y ào đó là bế gẫu hê lê tục hậ gá trị trog một khoảg QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Bế gẫu hê hậ các gá trị ào đó phụ thuộc vào yếu tố gẫu hê vì vậy có thể sử dụg các phươg pháp sau để xác địh luật phâ bố xác suất của bế gẫu hê Hàm phâ bố xác suất Địh ghĩa : Hàm phâ bố xác suất (cumulatve dstrbuto fucto, vết tắt CDF) của bế gẫu hê X là hàm số F(x) xác địh vớ mọ x bở côg thức: Hàm phâ bố có các tíh chất sau: { X < x} < < F ( x) = P ; x () a 0 F( x) vớ mọ x, () b F(x) là hàm khôg gảm, lê tục bê trá Nếu là hàm lê tục X là bế gẫu hê lê tục thì F(x) c F( ) = lm F( x) = 0; F( + ) = lm F( x) =, (3) x d P{ a X < b} = F( b) F( a) x + (4) Bảg phâ bố xác suất của bế gẫu hê rờ rạc Gả sử bế gẫu hê X chỉ hậ các gá trị p = P{ X = x } p > 0 và p = x, x, vớ xác suất tươg ứg Bảg phâ bố xác suất của X có dạg sau: X P x p x p (5) Nếu bế gẫu hê rờ rạc X hậ vô hạ các gá trị, x, thì hàm phâ bố có dạg: 0 Õu x x F( x) = p+ p + + pk Õu xk < x xk, k > (6) Đồ thị của F (x) là hàm bậc thag có bước hảy tạ x, x, Nếu X chỉ hậ các gá trị x, x,, x thì các bế cố { X x } { X x } { X x } =, =,, = (7) 6

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất lập thàh hệ đầy đủ các bế cố Hàm phâ bố có dạg: 0 Õu x x F( x) = p+ p + + pk Õu xk < x xk,< k (8) Õu x> x Ví dụ 3: Chọ gẫu hê 3 b từ một tú có 6 b đe, 4 b trắg Gọ X là số b trắg trog 3 b vừa chọ thì X là một bế gẫu hê rờ rạc Tìm bảg phâ bố và hàm phâ bố của bế gẫu hê X C 3 Gả: P 6 { X = 0} = =, P 6 4 { X = } = =, P{ X } C 3 0 5 30 CC C 3 0 5 30 6 4 3 0 CC 9 = = =, C 30 3 4 3 0 C P{ X = 3} = = C 30 Bảg phâ bố xác suất: X P 0 5 / 30 5 / 30 9 / 30 3 / 30 Hàm phâ bố: 0 5 / 30 F( x) = 0 / 30 9 / 30 Õu Õu Õu Õu Õu x 0 0 < x < x < x 3 x > 3 Đồ thị: y 30 / 30 9 / 30 0 / 30 5/30 O 3 x 7

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất 3 Hàm mật độ phâ bố xác suất của bế gẫu hê lê tục tạ hàm Địh ghĩa 3: Gả sử X là một bế gẫu hê lê tục có hàm phâ bố f (x) sao cho vớ mọ x x F ( x) = f ( t) dt F(x) Nếu tồ (9) thì PDF) f (x) được gọ là hàm mật độ của bế gẫu hê X (probablty desty fucto, vết tắt Như vậy gá trị của hàm F(x) bằg dệ tích hìh phẳg gớ hạ bở đồ thị hàm mật độ f (x), trục hoàh và đườg thẳg sog sog vớ trục tug có hoàg độ là x f ( x ) F(x) x x Tíh chất của hàm mật độ a F '( x) = f ( x) tạ các đểm x mà f (x) lê tục (0) b f ( x) 0 vớ mọ x, () c f ( x) dx =, () d P { a < X < b} = P{ a X b} = P{ a < X b} = P{ a X < b} = b a f ( x) dx (3) Ví dụ 4: Gả sử hàm phâ bố xác suất của bế gẫu hê lê tục X có dạg: 8 0 F( x) = kx ví ví ví x 0 0 < x x >

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Gả: a) Xác địh hệ số k ; b) Tìm hàm mật độ xác suất f (x) a) Vì hàm phâ bố xác suất F(x) lê tục, do đó tạ x = = F() = kx = k b) Theo tíh chất (0) của hàm mật độ xác suất ta có x= 0 f ( x) = x 0 ví ví ví x 0 0 < x x > Ví dụ 5: Bế gẫu hê lê tục X có hàm mật độ dạg 0 f ( x) = k x ví ví x < x Hãy xác địh: Gả: a) Hệ số k ; b) Hàm phâ bố F(x) ; P ; c) Xác suất { < X < 3} d) Xác suất để trog 4 phép thử độc lập bế gẫu hê X đều khôg lấy gá trị trog khoảg (,3) a) Dựa vào tíh chất () ta có: k a k = f x dx dx ( ) = = lm = k, từ đó k = x a x b) Từ côg thức (9) xác địh hàm mật độ ta có x 0 F( x) = f ( t) dt = x x ví x < ví x c) Từ côg thức (3) ta có { X < 3} P < = F(3) F() = = 3 6 9

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất 5 d) Xác suất để X khôg lấy gá trị trog khoảg (,3) trog một phép thử bằg = 6 6 Vậy xác suất để trog 4 phép thử độc lập bế gẫu hê X đều khôg lấy gá trị trog khoảg 5 4 (,3) bằg 0, 48 6 3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3 Kỳ vọg toá 3 Địh ghĩa Kỳ vọg hoặc gá trị trug bìh (average, mea value, expected value) của bế gẫu hê X ký hệu là E X và được xác địh hư sau: () Nếu X rờ rạc hậ các gá trị vớ xác suất tươg ứg p = P X = thì () Nếu X lê tục có hàm mật độ Kỳ vọg x { } x E X = x p (4) f (x) thì E X = xf ( x) dx (5) E X tồ tạ ếu chuỗ (4) (trườg hợp rờ rạc) hộ tụ tuyệt đố hoặc tích phâ (5) (trườg hợp lê tục) hộ tụ tuyệt đố Ví dụ 6: Tíh kỳ vọg của bế gẫu hê X cho ở ví dụ 3 Gả: 5 5 9 6 E X = 0 + + + 3 = 30 30 30 30 5 Ví dụ 7: Theo thốg kê, vệc một gườ Mỹ 5 tuổ sẽ sốg thêm trê một ăm có xác suất là 0,99, cò xác suất để gườ đó chết trog vòg một ăm tớ là 0,008 Một chươg trìh bảo hểm đề ghị gườ đó bảo hểm sh mạg cho ăm vớ số tề ch trả 000 đô la, cò tề đóg là 0 đô la Hỏ lợ huậ của côg ty bảo hểm hậ được là bao hêu? Gả: Rõ ràg lợ huậ là bế gẫu hê X vớ gá trị là + 0 đô la (ếu gườ bảo hểm khôg chết) và 990 đô la (ếu gườ đó chết) Bảg phâ bố xác suất tươg ứg X 990 + 0 P 0,008 0,99 Do đó kỳ vọg E X = ( 990) 0,008 + 0 0,99 = Ta thấy lợ huậ trug bìh là một số dươg vì vậy côg ty bảo hểm có thể làm ă có lã 30

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Ví dụ 8: Tuổ thọ của một loạ cô trùg ào đó là một bế gẫu hê X (đơ vị là thág) vớ hàm mật độ hư sau: kx f ( x) = 0 (4 x) Õu 0 x 4 Õu g îc l¹ Tìm hàm phâ bố và tìm tuổ thọ trug bìh của loà cô trùg trê Gả: Vì 4 0 x (4 x) dx = 64 3 k = 3 64 0 x 3 3x 4 x F( x) = f ( t) dt = 64 3 4 Tuổ thọ trug bìh 3 Ý ghĩa của kỳ vọg 4 Hàm phâ bố xác suất Õu Õu Õu x 0 0 < x 4 x > 4 5 3 3 3 4 E (4 ) x X = = 64 x x dx = x (thág) 64 5 5 0 Kỳ vọg mag ý ghĩa là gá trị trug bìh mà bế gẫu hê hậ được Gả sử bế gẫu hê X hậ các gá trị x, x,, x m vớ các tầ số tươg ứg r, r,, rm r là tổg gá trị X hậ được vớ cùg gá trị x Do đó r x + r x + + r m x là x tổg tất cả các gá trị X hậ được rx Vậy + rx+ + rmxm = f x + fx+ + fmxm là gá trị trug bìh của X, trog r đó f = là tầ suất hậ gá trị x của X Trog trườg hợp tổg quát thì tầ suất f được thay bằg xác suất và ta có côg thức (4) p Trườg hợp bế gẫu hê lê tục phép tíh tổg của gá trị trug bìh được thay bằg phép tíh tích phâ xác địh, côg thức (5) Khá ệm kỳ vọg được áp dụg rộg rã trog hều lĩh vực kh doah và quả lý dướ dạg lợ huậ kỳ vọg hay doah số kỳ vọg Ví dụ 9: Gả sử một cửa hàg sách dự địh hập một số cuố ê gám thốg kê Nhu cầu hàg ăm về loạ sách ày được cho trog bảg phâ bố xác suất sau: 4 0 m Nhu cçu j (cuè) X c suêt P j 0 0,3 0,5 0,8 3 0,4 4 0, 5 0,03 3

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Cửa hàg mua vớ gá 7 USD/cuố bá vớ gá 0 USD/cuố Sog đế cuố ăm phả hạ gá bá hết vớ gá 4 USD/cuố Cửa hàg muố xác địh số lượg hập sao cho lợ huậ kỳ vọg lớ hất Gả: Gọ là số lượg sách dự địh hập, j là hu cầu Lúc đó lợ huậ có đều kệ tươg ứg được xác địh bở: E j 0 j 7+ 4( j) Õu j 6 j 3 Õu j = = 0 7 Õu j > 3 Õu j > Các gá trị E được cho trog bảg sau: j Nhu cầu Pj j 0,3 0 0,5 0,8 0,4 3 0,0 4 0,03 5 Lượg Hàg Nhập 0 60 60 60 60 60 60 57 63 63 63 63 63 54 60 66 66 66 66 3 5 57 63 69 69 69 4 48 54 60 66 7 7 5 45 5 57 63 69 75 Vớ mỗ số lượg hập lợ huậ trug bìh được tíh theo côg thức E = P E Kết quả j j j Số lượg hập (cuố) 0 3 4 5 Lợ huậ kỳ vọg E 60 6, 60,9 59,5 57,3 54,48 Vậy cửa hàg ê hập cuố 33 Tíh chất 3 ) E( C ) = C vớ mọ hằg số C ) E ( CX ) = CE ( X ) vớ mọ hằg số C 3) ( X + + X ) = E ( X ) + E( ) E + X (6) 4) Cho hàm số ϕ (x), xét bế gẫu hê Y = ϕ(x ) thì

EY = ϕ( x ) p ϕ(x)f(x)dx Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Õu X rê r¹c cã p = P { X = x } Õu X lª tôc cã hµm mët đé f ( x) Đặc bệt ta có các đẳg thức sau ếu tổg hoặc tích phâ sau tươg ứg hộ tụ: E X = x p 5) Nếu X,, độc lập thì x f(x)dx Õu X rê r¹c Õu X lª tôc cã hµm mët đ é f ( x) X E ( X X ) E( X) E( X ) (7) (8) = (9) Ví dụ 0: Chọ gẫu hê 3 b từ một tú có 6 b đe, 4 b trắg a) Nếu chọ được b trắg sẽ được thưởg 00$ Gọ Y là số tề hậ được Tíh kỳ vọg của Y b) Nếu chọ được b trắg sẽ được thưởg 00$ và chọ được b đe sẽ được thưởg 300$ Gọ Z là số tề hậ được Tíh kỳ vọg của Z Gả: a) Gọ X là số b trắg trog 3 b vừa chọ (xem ví dụ 3) thì Y = ϕ( X ) = 00X là một bế gẫu hê rờ rạc có bảg phâ bố sau: Y = ϕ( X ) 0 00 400 600 P 5/ 30 5/ 30 9 / 30 / 30 5 5 9 E Y = 0 + 00 + 400 + 600 = 40 = 00E X 30 30 30 30 b) Z = 00X + 300(3 X ) = 900 00X 6 E Z = E ( 900 00X ) = 900 00EX = 900 00 = 780$ 5 Ví dụ : Tug co xúc xắc lầ Tìm kỳ vọg của tổg số ốt thu được Gả: Gọ X ( =,, ) là số ốt thu được ở lầ tug thứ, gọ X = được trog lầ tug Như vậy X = X là tổg số ốt thu Theo côg thức (35) ta có E X = E = X 33

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Các bế gẫu hê X đều có bảg phâ bố xác suất hư sau X 3 4 5 6 P / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 7 7 E X = + + 3 + 4 + 5 + 6 = E = 6 Do đó ( ) X 3 Phươg sa 3 Địh ghĩa Phươg sa (varace) hay độ lệch bìh phươg trug bìh của bế gẫu hê X là đạ lượg đo sự phâ tá bìh phươg trug bìh của X xug quah gá trị trug bìh E X Phươg sa của X được ký hệu là D X hay var X và địh ghĩa hư sau: DX E( X E X) σ = DX được gọ là độ lệch têu chuẩ (devato) của X X = (0) Kha trể vế phả côg thức (0) và áp dụg các tíh chất của kỳ vọg ta có thể tíh phươg sa theo côg thức sau: ( ) = () DX EX EX Từ côg thức (7) thì phươg sa có thể tíh theo côg thức sau: () Nếu X rờ rạc hậ các gá trị vớ xác suất tươg ứg p P{ X = } = thì x D X ( x E X ) p = x p ( E X ) () = () Nếu X lê tục có hàm mật độ f (x) thì D X ( x E X ) f ( x) dx = x f ( x) dx ( E X = ) (3) Ví dụ : Tíh phươg sa của bế gẫu hê xét trog ví dụ 7 Gả: E X = ( 990) 0, 008 + 0 0,99 = 7940 ( ) DX = EX EX = 7940 4 = 7936 σ = DX = 7936 89, 08 X Đều ày ó lê rằg mặc dù kh doah bảo hểm có lã hưg rủ ro khá lớ 34

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất Ví dụ 3: Tíh phươg sa của bế gẫu hê xét trog ví dụ 8 Gả: E X 4 3 = 64 x 0 4 (4 x) dx = 3 64 4x 5 5 6 x 6 4 0 = 3 5 3 6 4 DX = EX ( EX ) = = σ X = 5 5 5 5 3 Ý ghĩa và ứg dụg thực tế của phươg sa Phươg sa của bế gẫu hê X là độ lệch bìh phươg trug bìh quah gá trị trug bìh E X Trog kỹ thuật phươg sa đặc trưg cho mức độ phâ tá của các ch tết ga côg hay sa số của thết bị Trog quả lý và kh doah thì phươg sa đặc trưg cho mức độ rủ ro của các quyết địh Ví dụ 8 cho thấy đầu tư bảo hểm cho hữg gườ 5 tuổ là có lã, hưg ví dụ cho thấy rủ ro của bảo hểm rất lớ Ví dụ 4: Một hà đầu tư đag câ hắc gữa vệc đầu tư vào ha dự á A và B trog ha lĩh vực độc lập hau Khả ăg thu hồ vố sau ăm (tíh bằg %) của ha dự á là các bế gẫu hê có bảg phâ bố sau: Dự á A X A 65 67 68 69 70 7 73 P 0,04 0, 0,6 0,8 0,4 0,08 0,08 Dự á B X B 66 68 69 70 7 P 0, 0,8 0,3 0,0 0,08 Từ các bảg phâ bố xác suất trê ta tìm được E X = 69,6%; DX = 3,0944 ; A E X = 68,7%; DX =,806; B A B Như vậy ếu chọ phươg á đầu tư sao cho tỷ lệ thu hồ vố kỳ vọg cao hơ thì chọ phươg á A, sog ếu cầ chọ phươg á có độ rủ ro thu hồ vố thấp hơ thì chọ B 33 Tíh chất ) D( ax ) = a D( X ) vớ mọ hằg số a (4) ) D( ax + b) = a D( X ) vớ mọ hằg số a, b (5) 35

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất 3) Nếu X,, X độc lập có các phươg sa hữu hạ thì D ( a X + + a X ) = a D( X ) + + a ( X ) D (6) Nó rêg: Nếu X, Y độc lập và D, D hữu hạ thì D X ± Y = DX + DY X Y ( ) Ví dụ 5: Tug co xúc xắc lầ độc lập hau Tìm phươg sa của tổg số ốt xuất hệ Gả: Xét X = (6) ta có DX X = = DX = ở ví dụ 34 Vì các 7 Mặt khác E = ; E X = ( + + 3 + 4 + 5 + 6 ) X ( =,, ) độc lập hau, theo côg thức 9 X =, 6 6 do đó 9 7 35 D X = = Vậy 6 35 D X = 33 Phâ vị, Trug vị 33 Phâ vị Phâ vị mức α của bế gẫu hê X có hàm phâ bố F(x) là gá trị v thỏa mã P { X < v } P{ X } α α v α Hay F ( vα ) α F( vα + 0) (7) Nếu F(x) lê tục tăg chặt thì phâ vị vα là ghệm duy hất của phươg trìh F (x) = α, ghĩa là α v = F ( ) (7) α α Nếu X rờ rạc có phâ bố: X P x p x p đặt P = p + + p thì v α m, = x + m [ x, x ] + Õu Õu P = α < P P < α < P + + (7) 33Trug vị Phâ vị mức / được gọ là meda hay trug vị của X, ký hệu là đểm phâ cha phâ bố xác suất thàh ha phầ bằg hau 36 MedX Như vậy trug vị

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất 34 Mốt Mốt (Mode) của bế gẫu hê X là gá trị mà bế gẫu hê X hậ vớ xác suất lớ hất theo ghĩa sau: Nếu X rờ rạc có phâ bố: Nếu X lê tục có hàm mật độ f (x) X P x p x p thì { } x X p p p = Mod max 0 = 0,, (8) { f ( x) } c = Mod X f ( c) = max, x (9) Ví dụ 6: bế gẫu hê X ở ví dụ 3 có Mốt, trug vị và ModX = MedX = Ví dụ 7: Tìm trug vị và Mốt của bế gẫu hê rờ rạc có bảg phâ bố xác suất X 0 3 4 P 0,3 0,5 0,8 0,4 0,3 Gả: Dễ thấy rằg Mod X = 0 Hàm phâ bố xác suất của X Từ đó suy ra Med X = 0 0,3 0,55 F( x) = 0,73 0,87 Õu Õu Õu Õu Õu Õu x 0 0 < x < x < x 3 3 < x 4 x > 4 Ví dụ 8: Tìm MedX và ModX của bế gẫu hê lê tục X xét trog ví dụ 4 Gả: MedX là ghệm của phươg trìh F ( x) = x = MedX = Hàm mật độ 0 f ( x) = x 0 ví ví ví x 0 0 < x đạt cực đạ tạ x > x =, vậy Mod X = Ví dụ 9: Tìm MedX và ModX của bế gẫu hê lê tục địh hư sau: X có hàm mật độ xác 37

Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất 3 x f ( x) = 4 0 ( x) ví Õu tr l¹ 0 x Gả: Hàm phâ bố xác suất: 0 3 F( x) = x 4 3 x 3 ví ví ví x 0 0 < x x > Med X là ghệm của phươg trìh 3 x 3x + = 0 F ( x) = Từ đó Med X = 0 < x 3 ( x) ví 0 < x < Hàm mật độ f (x) có đạo hàm f '( x) = đổ dấu từ dươg sag 0 Õu tr l¹ âm kh đ qua x =, do đó đạt cực đạ tạ đểm ày Vậy Mod X = 35 Momet, hệ số bất đố xứg, hệ số họ ) Momet gốc cấp k m = E X ; k =,, (8) ) Momet quy tâm cấp k = E ( X EX ) ; k =,, k k k k μ (9) 3) Hệ số bất đố xứg 4) Hệ số họ Nhậ xét: m = X, μ = 0, μ DX E = μ3 α 3 = vớ σ = 3 σ DX (0) μ4 α 4 = 4 σ () α 3 đo mức độ bất đố xứg của luật phâ bố : Nếu α 3 < 0 thì phâ bố xác suất và đồ thị của hàm mật độ sẽ lệch về bê trá hơ α 3 = 0 thì phâ bố xác suất và đồ thị của hàm mật độ đố xứg α 3 > 0 thì phâ bố xác suất và đồ thị của hàm mật độ sẽ lệch về bê phả hơ 38 Hệ số họ α 4 của phâ bố chuẩ đặc trưg cho độ họ của đồ thị hàm mật độ so vớ đồ thị hàm mật độ

Vớ bế gẫu hê có phâ bố chuẩ thì α 4 = 3 Chươg II: Bế gẫu hê và luật phâ bố xác xuất α 4 > 3 thì đồ thị hàm mật độ sẽ họ hơ so vớ đồ thị hàm mật độ chuẩ α 4 < 3 thì đồ thị hàm mật độ sẽ tù hơ so vớ đồ thị hàm mật độ chuẩ Kh phâ bố của X đố xứg hoặc gầ đố xứg thì dùg kỳ vọg để địh vị là tốt hất, sog ếu phâ bố của X quá lệch thì ê dùg Meda và Mode để địh vị TÓM TẮT Bế gẫu hê Bế gẫu hê X là đạ lượg hậ các gá trị ào đó phụ thuộc vào các yếu tố gẫu hê, ghĩa là vớ mọ gá trị thực thì X < x là một bế cố gẫu hê x { } Ngườ ta phâ các bế gẫu hê thàh ha loạ: Bế gẫu hê rờ rạc ếu ó chỉ hậ một số hữu hạ hoặc vô hạ đếm được các gá trị Nghĩa là có thể lệt kê các gá trị thàh một dãy x, x, Bế gẫu hê lê tục ếu các gá trị của ó có thể lấp đầy một hoặc một số các P X = a = vớ mọ a khoảg hữu hạ hoặc vô hạ và xác suất { } 0 côg thức: Hàm phâ bố xác suất Hàm phâ bố xác suất của bế gẫu hê X là hàm số F(x) xác địh vớ mọ x bở { X < x} < < F ( x) = P ; x Bảg phâ bố xác suất của bế gẫu hê rờ rạc Gả sử bế gẫu hê X chỉ hậ các gá trị { } x, x, p = P X = x p > 0 và p = Bảg phâ bố xác suất của X có dạg sau: vớ xác suất tươg ứg X P x p x p gẫu hê sau: Hàm mật độ phâ bố xác suất của bế gẫu hê lê tục Gả sử X là một bế gẫu hê lê tục có hàm phâ bố Kỳ vọg X là hàm f (x) sao cho vớ mọ x x, F ( x) = f ( t) dt F(x) Hàm mật độ của bế Kỳ vọg hoặc gá trị trug bìh của bế gẫu hê X được địh ghĩa và ký hệu hư 39