CHƯƠNG 1: HÀM NHIỀU BIẾN

Transcript

1 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tập tài liệu à do tôi biê soạ cho các SV của mìh, chỉ lưu hàh ội bộ và khôg có mục đích thươg mại Ngoài các bài tập tôi biê soạ, một số khác tham khảo từ các tài liệu sau: ) Liasko, Boiatruc, Gai, Golobac, Giải tích toá học ác ví dụ và các bài toá ) emidovich, Problems i mathematical aalsis )Medelso, solved problems i aculus ) NĐTrí, TVĐỉh, NHQuỳh, Bài tập toá cao cấp 5) ĐKhah, NMHằg, NTLươg, Bài tập toá cao cấp HƯƠNG : HÀM NHIỀU BIẾN I TẬP TRONG R, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤ Ta có lim f (, L với mọi dã, ) (, ) thì f (, ) L ( vậ + Để tíh lim f (, ta ét một dã, ) (, ) tù ý và kiểm tra luô có + ( lim f (, ) L + Để chứg mih lim f (, ta chỉ ra hai dã, ) (, ) (, (, ) (, ) mà lim f (, ) lim f (, ) + + Với một số giới hạ bằg, ta có thể dùg giới hạ kẹp si Ví dụ: Tíh lim (, (,) e Xét một dã (, ) (,) tù ý (, ) si si si Ta có lim lim ( )( ) Vậ lim + + e e (, (,) e,(, (,) + Ví dụ: Khảo sát tíh liê tục của f (, tại (,),(, (,) Ta kiểm tra lim f (, f (,) lim (?) (, (,) (, (,) + Ta ét dã (, ) (, ) (,), ta có Tức (, lim (,) + +, ha f (, giá đoạ tại (,) 7 7

2 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tìm và biểu diễ hìh học tập ác địh của các hàm sau trê các khôg gia tươg ứg a) f (, + l( c) f ( arcsi( + arccos( + b) f (, ( + l( ), d) f (,, z + l( z ) Viết phươg trìh mặt trụ a) Qua giao tuế mặt b) Qua giao tuế mặt +, + và có phươg sog sog với Oz z z + z, + + z và có phươg sog sog với O ho hàm f (,, + + z Tíh a) f(,,) b) f(z,-z, Khảo sát sự tồ tại của các giới hạ và tíh ( ếu có) si( + a) lim (, (,) + + b) lim c) lim (, (,) + (, (,) + ( + d) lim (, (,) + H: a,f : tồ tại,dùg địh ghĩa c,e : tồ tại, dùg giới hạ kẹp b,d : khôg tồ tại + e) lim f) lim 5 Khảo sát tíh liê tục của hàm số tại (,),(, (,) si a) f (, ( + ) b) f (,,(, (,) H: a) giá đoạ, b) liê tục (dùg giới hạ kẹp) +,(, (,),(, (,)

3 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ II ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 6 Tíh các đạo hàm riêg cấp của các hàm số sau a) f (, si ( ) b) f (,, + + z 7 ùg địh ghĩa chỉ ra các hàm sau khôg có đạo hàm riêg tại (,) a) b) f, + si f (, + H: f ( ) ( ) ( ), lim,, lim ( ( ) ( ) f, f, f, f, f ( ) 8 Tíh (,), (,) f f với ( + )si,(, (,) a) f (, + b),(, (,) H: Phải dùg địh ghĩa : a) f (, ), f (, ) b) +,(, (,) f (, +,(, (,) f (, ), f (, ) 9 Tíh (,), (, ) biết f (, + t e dt Tíh (,), (, ) biết f + cost (, dt t + u( ) a a H: Sử dụg côg thức f ( t) dt f ( ), f ( t) dt u ( ) f ( u( ) ) Tíh (,), (,) biết f (, ( + + ) H: Sử dụg côg thức đạo hàm riêg của hàm hợp f v u với u v + +, Tìm hàm f (, ) ếu biết rằg f f + H: f (, g ( hứg mih hàm f (, l( ) và f, kết hợp giả thiết thứ hai thỏa mã phươg trìh f +

4 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ hứg mih hàm f (, + + thỏa mã phươg trìh + 5 Với giả thiết f, g là các hàm khả vi, chứg mih hàm u f ( + + g( + thỏa mã phươg trìh u u u + 6 hứg mih rằg hàm u(,, u u u z + + z + + thỏa mã phươg trìh Laplace 7 Tíh vi phâ toà phầ của các hàm sau a) f (, l si + b) f (,, ( z 8 Tíh a) d f với f si (, e b) d f π, với f (, si 9 Tíh f, + + ( d f ếu ( ) ho u (,, z + + hứg mih d u, d, d, dz và ùg vi phâ toà phầ tíh gầ đúg ( ) d) l (, ) 5,99 a) l (,98) (,99 ) b) + e) H: f) Xét hàm ( ) f,, z si arcta z d u là ác địh dươg, tức d u d d dz (,) + (,97) c) (,),99 + l(, ), s i,9arcta, (,97) f),97 ho z là hàm ẩ của, ác địh bởi + + z hứg mih rằg z z + z z π với,57 Tíh vi phâ cấp của hàm ẩ zz(, ác địh bởi các phươg trìh tươg ứg ( a) z + z + b) + + z e + +

5 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tíh vi phâ cấp và cấp của hàm ẩ zz(, ác địh bởi các phươg trìh z l + z 5 Khai triể Talor tới bậc hai với phầ dư Peao của hàm f (, tại (,) 6 Khai triể Maclauri tới bậc hai với phầ dư Peao của hàm a) f (, l( + + b) f (, Tìm đa thức ấp ỉ bậc trog lâ cậ của (,) của các hàm số sau f, e cos f, l + si a) ( ) b) ( ) ( ) 8 ho hàm hai biế f(, khả vi trê R có các đạo hàm riêg bị chặ f, M, f, M ;, R ( ) ( ) ( ) hứg mih f, f, M +,,,, R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, VETƠ GRAIENT Xét hàm hai biế f (, ) tại (, ) Véctơ gradiet của f tại M là Với hướg u ( a, b) ha r M ( ) (, ), (, ) f M thì a b r ( M ) ( M ) + ( M ) u a + b a + b u r r r α u, O, β u, O với ( ) ( ) ( M ) ( M )cos α + ( M ) cos β ur r Ta có r ( M ) f ( M ) r u u u uuur r uuur ma r ( M ) f ( M ) u k f ( M ) ( k > ) u uuur r uuur mi r ( M ) f ( M ) u k f ( M ) ( k < ) u ác khái iệm, kết quả trê cho hàm ba biế là hoà toà tươg tự 5

6 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ 9 Tìm đạo hàm của f (, P, theo hướg tạo với O một góc Tíh đạo hàm của hàm số tại ( ) + + tại (, ) z r r r M theo hướg v 6i + 8 j Tíh đạo hàm của hàm số + tại M (,,) theo hướg của v (,,) f (,, z r Tíh đạo hàm của hàm số f (,, arcsi uuuuuur M M với M (,,) z + tại ( ) M,, theo hướg của vectơ ho hàm số z e và ( ) M Tìm hướg u r để ( ), z r M lớ hất, hỏ hất u ho hàm số f (,, z địh giá trị lớ hất đó và M ( ) Tìm véctơ đơ vị er để ( M ),, r lớ hất, ác e + + z 5 Tíh góc tạo bởi các vectơ gradiet của f (,, B(-,,) tại các điểm A(,,) và 6 Tìm điểm M(, trog mặt phẳg O để f ( M ) với f (, + 7 ho hàm số f (,, + z, tìm tốc độ tha đổi của f tại ( ) z đườg theo hướg giảm của 8 Nếu hiệt độ tại M(,, là f (,, 5 z M,, dọc theo + và bạ đag ở vị trí (/,/5,/), hướg ào bạ đi để hiệt độ giảm hah hất có thể? H: 7, 8: ( M ) u r tốc độ tha đổi của hàm f theo hướg ur tại M 6

7 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ HƯƠNG : ỨNG ỤNG ỦA HÀM NHIỀU BIẾN I Ự TRỊ TỰ O Để tìm các điểm cực trị hàm hai biế ta chỉ cầ tìm các điểm dừg (trog trườg hợp hàm f có f ) rồi tíh f f ( f ), f phải chú ý tới miề ác địh của f tại các điểm dừg đó Khi giải tọa độ điểm dừg Trog trườg hợp có thể đạt hoặc khôg đạt cực trị tại điểm dừg + Để chỉ ra đạt cực trị ta có thể dùg bất đẳg thức Ví dụ: Hàm f (, + có một điểm dừg du hất là O (,) và tại đó Ta có f (, f (,), (,,do đó với một lâ cậ tù ý của O thì f (O) sẽ hỏ hất trog lâ cậ đó, ói cách khác O là điểm T của f + Để chỉ ra khôg đạt cực trị tại P (, ) ta ét một ε lâ cậ V tù ý của P và chỉ ra trog V có hai điểm P, P sao cho f ( P ) < f ( P) < f ( P ) Thôg thườg ta ha chọ P, P ở một trog các dạg ± k, ),(, ± k),( ± k, ± ) với k > đủ bé ( k Với hàm ba biế f (,, ta kiểm tra điểm dừg có là điểm cực trị ha khôg bằg cách ét dấu d f : dùg biế đổi Lagrage đưa về tổg bìh phươg hoặc dùg tiêu chuẩ Slvester để ét dấu dạg toà phươg (ếu có địh thức co chíh bằg thì phải ét trực tiếp d f ) Ví dụ: Tìm cực trị của f (, + + Phươg trìh điểm dừg f + + f + + Su ra f có điểm dừg O (,), M (, ), N (, ) Tại M, N thì f đạt cực trị vì > Tại O thì, ta chỉ ra khôg đạt cực trị tại O Xét V là một ε lâ cậ tù ý của ε O, với < k < mi, thì P ( k, k), P ( k, k) V, hưg ta có f ( P ) k 8k k ( k ) <, f ( O), f ( P ) k > Vậ f ( P ) < f ( O) < f ( P ), tức f khôg đạt lớ hất ha hỏ hất tại O trog V mà V là lâ cậ chọ tù ý, vậ f khôg đạt cực trị tại O 7

8 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ hứg mih hàm f (, + khôg có các đạo hàm riêg tại (,) hưg vẫ đạt cực trị tại đó H: ùg địh ghĩa chỉ ra f (,), f (,), dùg bđt để chỉ ra đạt T tại (,) Tìm cực trị của các hàm số sau f, 5, a) ( ) + + ( > > ) b) ( ) 8 f,, z + + z + + z z z Tìm cực trị của các hàm số sau a) z b) f (,, + + z c) f (, + + d) f (,, (,, z > ) c) z d) f) f (,, + + z + z z + + g) f (, ( ( Tìm cực trị của các hàm số sau a) z + + b) z H: Đâ là các bài có b) z [( ) + ] và ét P, P dạg ( ± k,) với k > đủ bé II Ự TRỊ Ó ĐIỀU KIỆN Để tìm cực trị có điều kiệ của f (, ) với điều kiệ ( L(, f (, + λϕ (, L f + λϕ Tìm điểm dừg L f + λϕ ϕ (, Tại điểm dừg (, ) ứg với λ, kiểm tra ϕ, ét hàm phụ Lagrage d L L d + L dd + L d ác địh dươg ha " " " ác địh âm ta sẽ được (, ) là điểm Đ ha T có điều kiệ của (, ) f Nếu chưa có ga ác địh dươg ha âm ta chú ý ràg buộc của d,d tại (, ) : ϕ, d + ϕ, d Hàm ba biế hoà toà tươg tự ( ) ( ) 5 Tìm cực trị của a) f (, + với điều kiệ + ( a, b > ) a b b) f (, + với điều kiệ + ( a > ) a c) f (, + + với điều kiệ + 5 d) ( ) f,, z + z với điều kiệ + + z

9 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ 6 Tìm hìh chữ hật có đườg chéo bằg a cho trước mà có diệ tích lớ hất H: Gọi độ dài hai cạh kề hau của hìh chữ hật là, thì điều kiệ là + a III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Để tìm các mi, ma của f trê ta chỉ cầ tìm các điểm tới hạ (là các điểm dừg trog trườg hợp có f f ) của f trog và tìm các điểm mi,ma của f trê biê của rồi so, sáh các giá trị của f tại các điểm đó Khi ét các điểm trê biê (thườg là đườg cog ϕ (, ) ta rút theo hoặc theo hoặc tham số hóa đườg cog biê đưa f về một biế và tìm GTLN, GTNN hư của hàm một biế thôg thườg 7 Tìm mi,ma của các hàm z f (, trê các miề tươg ứg a) z trê {(, : + } b) z + + trê giới hạ bởi các miề,, + π c) z cos + cos + cos( + trê {(, :, } d) z + trê {(, :, } e) z, trê { } f) z + trê {(, : + } g) z trê giới hạ bởi các miề,, + H: a) ác điểm (, trê biê {(, : + } thỏa ( ) f) ác điểm (, trê biê {(, : + } có dạg cost ( t π ) si t 8 Trê mặt phẳg O ét miề kí tam giác OAB ác địh bởi các trục O, O và đườg + Tìm các điểm M (, thuộc miề tam giác sao cho a) Tổg các bìh phươg khoảg cách từ M tới ba đỉh O, A, B là lớ hất, hỏ hất b) Tổg các khoảg cách từ M tới ba đỉh O, A, B là lớ hất, hỏ hất 9 Tìm khoảg cách bé hất của hai đườg thẳg: + z + và z 7 H: Viết pt hai đườg thẳg ở dạg tham số rồi dùg côg thức khoảg cách hú ý ếu có > và f > ( < ); (, thì T (Đ) cũg chíh là GTNN (GTLN) 9

10 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ IV ỨNG ỤNG HÌNH HỌ Để viết phươg trìh tiếp tuế của của đườg cog () là giao của hai mặt (S ) và (S ) tại M ( ), ta viết phươg trìh hai tiếp diệ của hai mặt tại M, khi đó tiếp tuế cầ tìm là giao của hai tiếp diệ vừa tìm được Viết phươg trìh của mặt phẳg tiếp diệ với mặt, a Viết phươg trìh tiếp diệ của a) Paraboloid elliptic Tìm tiếp diệ của ellipoit z + tại (,,5) b) Nó z 9 z z a tại điểm ứg với z + tại (,,) sog sog với mặt phẳg ++z Viết phươg trìh tiếp tuế và pháp diệ của đườg a) asi t, bsi tcos t, z c cos t tại điểm ứg với b) t, t, z t tại điểm ứg với t π t Viết phươg trìh tiếp tuế của đườg cog giao bởi hai mặt + + z tại M(,,) 5 Viết phươg trìh tiếp tuế của đườg cog giao bởi hai mặt tại M (,, ) z + và + và z + 6 Viết phươg trìh tiếp tuế và pháp diệ của đườg cog giao bởi hai mặt và z M,, + tại ( ) + 7 hứg mih các mặt M hau tại (,,) z z và H: hỉ ra hai mặt có cùg tiếp diệ tại M + + z 9 tiếp úc / / / / 8 hứg mih tiếp diệ của mặt + + z a tại một điểm tù ý sẽ chắ các trục tọa độ bởi các đoạ có tổg độ dài bằg a

11 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ HƯƠNG : TÍH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN I TÍH PHÂN KÉP Để tíh tích phâ kép ta dùg côg thức Fubii đưa về tích phâ lặp hú ý hai dạg miề của địh lý Fubii, trog hiều trườg hợp khó tíh theo dạg miề à hưg lại đơ giả theo dạg miề kia ó thể dùg đổi biế Nếu miề lấ tích phâ là hìh trò hoặc các hìh liê qua tới hìh r cosϕ trò (hìh vàh khă, hìh quạt, ) ta dùg phép đổi biế tọa độ cực r siϕ Nếu hìh trò có tâm khôg tại gốc tọa độ ta có thể dời trục đưa gốc tọa độ về tâm hìh trò trước sau đó mới đổi biế tọa độ cực iệ tích của miề kí : S ( ) dd Tíh tích phâ kép 5 a) d ( + d b) d ( + ) d c) d d d) d d Tíh tích phâ kép của hàm đã cho trê miề a) f (, l si với :, π b) f (, + với :, c) f (, với :, d) f (, với :,, e) f (, với :,, f) f (, với :,, + g) f (, với giới hạ bởi các đườg và h) f (, + với giới hạ bởi các đườg,, + i) f (, với giới hạ bởi các đườg, 5 và j) f (, với là góc phầ tư thứ hất giới hạ bởi đườg k) f (, e với giới hạ bởi các đườg, và Đổi thứ tự các tích phâ kép sau a) d f (, d b) d f (, d c) d f (, d d) d f (, d /

12 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tíh tích phâ kép a) si dd với là tam giác với các đỉh O (,), A (, π ), B ( π, π ) + b) ( c) dd với là hìh thag với các đỉh M (,), N (, ), P(,) và Q (, ) dd với là giới hạ bởi các đườg,, d) + e) cos( dd với là tam giác OAB với O (,), A (π,), B (, π ) ( dd với là giới hạ bởi các đườg f) d e d g), e dd với là giới hạ bởi các đườg,, π H: d) : {(, :,, + }, π + + π f) :, / Đưa về dạg miề thứ hất và đổi thứ tự tích phâ g) Đưa về dạg miề thứ hai (hai trục gag ) 5 Bằg phươg pháp đổi biế tọa độ cực hã tíh các tích phâ sau l + dd với là hìh trò + a) ( + ) b) ( + ) c) d) e dd với là miề giới hạ bởi hai đườg +, + dd với : + + dd e) + + với : +,, dd với : +,,

13 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ dd với : +,, f) ( + ) g) dd với là miề giới hạ bởi ellipse + a b a b h) ( + ) dd với : + +, + + H: g) Đổi biế tọa độ cực mở rộg: ar cos ϕ, br siϕ h) Đổi trục rồi đổi biế tọa độ cực: + r cos ϕ, r siϕ 6 Bằg phươg pháp đổi biế tổg quát cực hã tíh các tích phâ sau 7 a) ( + ( dd với là giới hạ bởi các đườg b) +, +,, ( dd với là giới hạ bởi các đườg c) + d) ( + +, +,, dd với là miề giới hạ bởi các đườg +, +,, e dd với :,, + H: a) Đổi biế u +, v b) Đổi biế u +, v c) Đổi biế u +, v d) Đổi biế u +, v 7 Tíh diệ tích miề phẳg giới hạ bởi đườg cog ( ) ( ) H: Đổi biế u +, v + đưa miề phẳg về dạg hìh trò 8 ho ( ) {, : } R + (ằm goài hìh trò ( ) + ) a) Tíh diệ tích của miề b) Tíh tích phâ dd H: Đổi biế tọa độ cực Trog tọa độ cực thì các đườg trò +, ằm trog hìh trò lầ lượt có phươg trìh là r, r cosϕ, chú ý trog thì 9 ho là miề giới hạ bởi các đườg, a) Tíh diệ tích của miề b) Tíh tích phâ dd và ( ) + +, ( ) π π ϕ + H: Đổi biế tọa độ cực Trog tọa độ cực thì các đườg, π π lầ lượt có phươg trìh là ϕ, ϕ và r cosϕ 6 +, ( )

14 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tíh tích phâ dd, trog đó ( ) {, R : + } H: ùg đổi biế tọa độ cực (ếu dùg phép dời trục rồi mới đổi biế tọa độ cực thì sao?) Tíh dd với : ( ) + ( ) H: ùg đổi biế tọa độ cực đã dời trục: + r cos ϕ, + r siϕ II TÍH PHÂN BỘI BA z dddz ta ác địh: Ω : (, O, ϕ (, z ϕ (, thì Để tíh f (,, ) Ω Ω ϕ, ( ) ϕ (, ( ) ( ) f,, z dddz f (,, z ) dz dd Đặc biệt, ếu : a b, ψ ( ) ψ ( ), ϕ (, z ϕ (, Ω thì Ω b ψ ( ) ϕ (, ( ) a ψ ( ) ϕ (, f,, z dddz d d f (,, z ) dz hú ý là hìh chiếu của Ω lê O Một số trườg hợp đặc biệt: z ϕ, và z ϕ, : ếu khối Ω có dạg đơ giả thì là + Ω giới hạ bởi các mặt ( ) ( ) miề giới hạ bởi hìh chiếu của đườg giao tuế hai mặt đó lê O Giả sử trog ta ϕ, ϕ, Ω :, O, ϕ, z ϕ, có ( ) ( ) thì ( ) ( ) ( ) + Ω giới hạ bởi mặt trụ ϕ (, và các mặt z ϕ (,, z ϕ (, O giới hạ bởi đườg chuẩ ϕ (, của mặt trụ mà ϕ (, ϕ (, chíh là hìh chiếu của Ω lê O và : (, O, ϕ (, z ϕ (, : ếu trog miề thì Ω Hoà toà tươg tự trog trườg hợp ta chiếu Ω lê Oz hoặc Oz Đối với Ω có hìh chiếu dạg hìh trò ta có thể dùg phép đổi biế tọa độ trụ, cò ếu Ω có dạg hìh cầu ta có thể dùg đổi biế tọa độ cầu Thể tích của Ω : V ( ) Tíh f (,, ) Ω dddz z dddz với Ω a) f (,, b) f (,, z và c) f (,, Ω + và Ω :,, z Ω : /,, z + và Ω : +, z

15 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ d) f (,, và Ω : +, z + + z e) f (,, z ( + + z ) và H: d) ( ) Ω : + a, z ( a > ) l z z a z + a e) Đưa về tích phâ kép và đổi biế tọa độ cực r cos ϕ, r siϕ z dddz với Tíh f (,, ) Ω a) (,, ) f z và Ω giới hạ bởi các mặt b) f (,, z ( ) / c) f (,, z + và Ω giới hạ bởi các mặt +, z, z + z z +, và Ω giới hạ bởi mặt ellipoit ( ) + + z d) f (,, và Ω giới hạ bởi mặt ó z, a( a ) e) f (,, z + và Ω giới hạ bởi các mặt + > z z f) f (,, z và : z az, z a ( a ) g) f (,, z và h) f (,, z và Ω > Ω : + + z R Ω : + + z, + H: a),b),c): hìh chiếu của Ω lê O là hìh trò d): hìh chiếu của Ω lê Oz là + z a,, + hoặc dùg tọa độ trụ e): hìh chiếu của Ω lê Oz là hìh trò ( ) + hoặc dùg tọa độ trụ a f): hìh chiếu của Ω lê Oz là hìh trò + g): hìh chiếu của Ω lê Oz là hìh trò + R hoặc dùg tọa độ cầu h): hìh chiếu của Ω lê Oz là hìh trò ( ) z dddz với Tíh f (,, ) Ω a) (,, ) b) f (,, z f z z và Ω :,, z, + + z c) f (,, + hoặc dùg tọa độ trụ + + và Ω giới hạ bởi các mặt,, +, z, z ( + + d) f (,, và Ω giới hạ bởi các mặt và Ω giới hạ bởi các mặt + z,,,, z, z và + z H: a),b): hìh chiếu của Ω lê O là tam giác,, + c): hìh chiếu của Ω lê Oz là tam giác, z, + z d): hìh chiếu của Ω lê Oz là miề giới hạ bởi v à 5

16 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ 5 Tíh thể tích vật thể giới hạ bởi các mặt cog a) z z, +, + + b) z,,, z + c) z,, + z d) z + và + + z 6 e) z + và z f) g) h) z + và z và z và z + z + + z 6 Tíh thể tích của vật giới hạ bởi mặt ( + + z ) a ( + z ) ( a > ) H: ùg tọa độ cầu III TÍH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT Để tíh tích phâ đườg loại một f (, ds ta tham số hóa cug AB: AB AB : ( t ) ( a t b) ( t ) b Khi đó (, ) ( ( ), (( )) ( ( )) + ( ( )) Đặc biệt Nếu AB f ds f t t t t dt AB : f ( ) t f ( t ), ếu Độ dài đườg cog AB: ( ) a l AB ds 7 Tíh tích phâ đườg loại một f (, ds với a) f (, + + AB AB : r r ( ϕ ) r ( )cos r ( ϕ ϕ )siϕ ϕ với là đoạ thẳg ối O (,) và A (, ) b) f (, + với là ửa trê đườg trò c) f (, d) f (, e) f (, với là ¼ ellip + a + ở góc ¼ thứ hất a b với là hìh trò + với là hìh trò + 6

17 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ 8 Tíh tích phâ đườg loại một f (,, ds với a) f (,, z ( ) / + với là phầ đườg cog acos t, a si t, z bt ( t π ), a>, b> b) f (,, + với là phầ tư đườg trò tám thứ hất c) f (,, tám thứ hất z với là phầ tư đườg trò + + z R + + z R R +, ằm trog góc phầ, ằm trog góc phầ IV TÍH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI Để tíh tích phâ đườg loại hai P (, d + (, ) Q d ta tham số hóa cug AB: AB AB : ( t ) ( t a, t b) ( t ) A B (có thể a>b) Khi đó ( ) + ( ) ( ) + ( ) AB b P, d Q, d P ( t), ( t) ( t) Q ( t), ( t) ( t) dt a Nếu là đườg cog kí giới hạ miề ta có thể dùg côg thức Gree đưa tích phâ đườg loại hai về tích phâ kép Q P P (, d + Q(, d dd ( lấ theo hướg dươg) hú ý trog trườg hợp à thườg thì P(, chứa hàm phức tạp độc lập theo biế, Q(, chứa một hàm phức tạp độc lập theo biế (giải thích vì sao?) Q P Nếu (tích phâ khôg phụ thuộc đườg đi) để tíh (, ) (, ) P d + Q d ta chọ AB đườg đi đơ giả từ A tới B d d với là cug ối từ A(,) tới B(,) dọc theo cug 9 Tíh ( ) + ( + ) Tíh d + d với là ửa trê ellip a + theo chiều kim đồg hồ b Tíh d ( + ) d với là phầ cug parabol chiều gược kim đồg hồ ằm phía và theo 7

18 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ Tíh ( ) d + d với đườg đi từ A(,) tới B(,) theo các đườg Tíh Tíh a) Đườg thẳg ối A và B b) Đườg parabol d + d + z dz với là cug cos, si, đế B(a,,πb) a t a t z bt (a>, b>) đi từ A(a,,) d + d + z dz với là đườg cog giao tuế mặt z + đi theo chiều gược chiều kim đồg hồ hì theo trục Oz 5 Tíh ( ) + + z và + d + ( + d với là cug biê tam giác A(,),B(,),(,) theo chiều dươg bằg cách a) Tíh trực tiếp b) ùg côg thức Gree e d + ( + d với là đườg trò 6 Tíh ( ) + theo chiều dươg si + d + ( e + d với là ửa trê ellip 7 Tíh ( ) gược chiều kim đồg hồ a + lấ theo chiều b arcta + d + ( e + + ) d với là ửa trê ellip 8 Tíh ( ) a + lấ b theo chiều gược chiều kim đồg hồ H: Nối đoạ A(-a,),B(a,) để thàh đườg cog kí và dùg côg thức Gree 8

19 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ HƯƠNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẤP d hú ý côg thức để đưa phuơg trìh về dạg vi phâ ha dạg đạo hàm d ạg f ( a + b + c) đưa được về dạg có biế phâ li bằg phép đặt z a + b + c Thôg thườg ta tìm ghiệm dạg () hưg trog một số trườg hợp, để đơ giả, ta tìm ghiệm dạg ( (là hàm guợc của hàm () ) Khi đó chú ý d d d d π Ví dụ: Tìm ghiệm của phươg trìh + cos( + cos( với điều kiệ ( ) d Đưa về si si d kπ π + si ( k Z) khôg là ghiệm vì khôg thỏa () kπ + si ( k Z) đưa về dạg có biế phâ li d d d cos si d d + si cos si si cos l cos + cos cos + π cos π Điều kiệ () l + cos π cos + cos Vậ ghiêm riêg cầ tìm là l + cos + cos Ví dụ: Gptvp si + Ta tìm ghiệm ở dạg ( chú ý 9 * Nếu tha vào pt ta được Vậ là một ghiệm của pt * Nếu, phươg trìh tươg đươg với si + si si () ở đâ, ( Phươg trìh () là phươg trìh Beroulli theo là hàm của Đưa về dạg (chú ý (?) )

20 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ si với z ( ) si si z + z (), () là ptvp tuế tíh cấp ê có NTQ d d + si cos + z e ( e d + ) Vậ ptvp có các giệm + + cos + + Giải các ptvp a) tgd l d b) cos c) a cos + b ( b > a > ) d) ( + H: Là các pt loại tách biế Tìm các ghiệm riêg của ptvp thỏa mã điều kiệ tươg ứg a) ( + 5) d + ( + 5) d thỏa ( ) b) ( + e ) d e d thỏa ( ) cos c) d + ( + ) + d thỏa ( 8) + d) ( + thỏa ( ) e) tg π thỏa ( ) H: Đâ là các pt tách biế được, tìm NTQ rồi sau đó tìm ghiệm riêg thỏa điều kiệ tươg ứg Giải các ptvp tuế tíh cấp a) c) ( + ) ( ) + d) ( + ) + arctg b) ( + e e ) Giải các ptvp a) ( + ) b) ( + ) d d c) d ( ) d d) d ( + si d H: oi là hàm theo 5 Giải các ptvp a) + b) ( l ) c) tg + si d) ( cos + tg) H: Là các pt Beroulli

21 Bài tập Toá A Hồ Ngọc Kỳ, ĐH Nôg Lâm TpHM reated: 5/5/ Last modified: 5/5/ II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ẤP ác ptvp dạg F (,, ) & F(,, ) ta đều đưa được về ptvp cấp bằg phép đặt z hú ý là dạg thứ hất thì đưa về cấp theo, z cò dạg thứ thì đưa về cấp theo, z Ví dụ: Giải ptvp ( ) l dz Đặt z z, phươg trìh trở thàh d dz z z l z d + z ( > ) là ghiệm pt + z đưa pt về z z l Đâ là ptvp tuế tíh cấp đối với z (theo biế ) 6 Giải các ptvp a) " ( ) + b) ( ) thỏa mã điều kiệ ( ), () c) + ( ) d) + ( ) e) " ( ) l π f) "cos + ( ) si thỏa điều kiệ ( ), ( ) 6 g) " ( + ) H: a), b) : pt giảm cấp được khôg chứa ; c)-g) : pt giảm cấp được khôg chứa