O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

Transcript

1 ài tập ôn đội tuyển năm 2014 guyễn Văn inh Số 2 ài 1. ho hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) cùng tiếp xúc trong với đường tròn () lần lượt tại,. Từ kẻ hai tiếp tuyến t 1, t 2 tới ( 2 ), từ kẻ hai tiếp tuyến l 1, l 2 tới ( 1 ) sao cho t 1 và l 1 nằm cùng một phía với đường thẳng. Gọi, lần lượt là giao điểm của t 1 và l 1, t 2 và l 2. hứng minh rằng tứ giác ngoại tiếp. 1 2 hứng minh. Trước tiên ta phát biểu và không chứng minh một bổ đề quen thuộc. ổ đề 1. (Định lý onge-d lembert). ho ba đường tròn 1 ( 1, R 1 ), 2 ( 2, R 2 ), 3 ( 3, R 3 ) phân biệt trên mặt phẳng. Khi đó tâm vị tự ngoài của các cặp đường tròn ( 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 1 ) cùng thuộc một đường thẳng. Hai tâm vị tự trong của hai trong ba cặp đường tròn trên và tâm vị tự ngoài của cặp đường tròn còn lại cùng thuộc một đường thẳng. Trở lại bài toán. Gọi 1, 2, lần lượt là tâm của γ, δ, ω. 2 giao 1 tại. Gọi α 1 là đường tròn tâm và tiếp xúc với, ; α 2 là đường tròn tâm và tiếp xúc với,. giao tại. Áp dụng bổ đề trên cho 3 đường tròn δ, ω, α 1 ta có là tâm vị tự ngoài của α 1 và δ, là tâm vị tự ngoài của δ và ω, suy ra tâm vị tự ngoài của α 1 và ω nằm trên hay là tâm vị tự ngoài của α 1 và ω. hứng minh tương tự cũng là tâm vị tự ngoài của α 2 và ω. Từ đó α 1 α 2 hay tứ giác ngoại tiếp. ài 2. Với kí hiệu như bài 1, gọi, lần lượt là giao của, với ( 1 ), P, Q lần lượt là giao của, với ( 2 ). Gọi ( 1 ), ( 2 ) lần lượt là đường tròn mixtilinear incircle ứng với đỉnh và của các tam giác và P Q. hứng minh rằng ( 1 ) và ( 2 ) có cùng bán kính. 1

2 K H P 2 T Q hứng minh. Gọi K, H lần lượt là tiếp điểm của ( 1 ) với ( 1 ), ( 2 ) với ( 2 ); T là giao của 1 2 với. Áp dụng định lý onge-d lembert cho 3 đường tròn ( 1 ), ( 1 ), () suy ra, K, thẳng hàng. Tương tự suy ra, K, H, thẳng hàng. Theo bài 1 thì tứ giác ngoại tiếp đường tròn (). Do đó R (1 ) = R (2 ) khi và chỉ khi 1 2. Điều này tương đương 2 2 = 1 1. (1) Theo định lý enelaus, Tương tự, 2 1 = H H 2 2 = 1 suy ra 2 2 = H H 2 2 = hư vậy (1) tương đương = Hay = T, đúng vì cùng bằng 2 T. ài toán được chứng minh. ài 3. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). giao D tại E. Gọi () là đường tròn tiếp xúc với tia E, ED và tiếp xúc trong với () tại. là điểm bất kì trên cung D không chứa,. Gọi 1, 2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác, D. hứng minh rằng 1, 2,, cùng thuộc một đường tròn. 2

3 P E H K 1 2 D hứng minh. Gọi K, H lần lượt là tiếp điểm của () với, D. K, H giao () lần thứ hai tại P, thì P, là điểm chính giữa các cung, D. Do đó, 1, P và, 2,. ằng phép cộng góc đơn giản suy ra P vuông góc với phân giác ED hay P KH. Từ đó P K P = H P K.P hay P 2 = H. 2 Suy ra P 2 P 2 = D2 2 hay P 1 P = 2. Ta thu được P 1 2 (c.g.c), do đó 1 P = 2 hay, 1, 2, cùng thuộc một đường tròn. ài 4. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì trên cung không chứa. hứng minh rằng đường tròn -mixtilinear nội tiếp của tam giác, các đường tròn -mixtilinear nội tiếp của các tam giác, có chung một tiếp tuyến. F E R J 1 1 Q J 2 J 2 K hứng minh. Gọi (J), (J1), (J2) lần lượt là các đường tròn -mixtilinear nội tiếp của tam giác, các đường tròn -mixtilinear nội tiếp của các tam giác, ; l là tiếp tuyến chung của (J1) và (J2), 3

4 cắt () tại E và F. Gọi, 1, 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác EF,,. Gọi, là tiếp điểm của (J 1 ), (J 2 ) với l, R là tiếp điểm của (J 1 ) với. Theo định lý Sawayama-Thebault, nằm trên J 1 J 2 và R, 1 R J 1. Dễ thấy = 90. Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính với J 1 J 2. Do J 1 là tiếp tuyến của () nên J 1 1.J 1 = J 1 R 2 = J 1 2 = J 1 Q.J 1. Suy ra 1 nằm trên (Q). Tương tự 2 cũng nằm trên (Q). Tức là, 1, 2, cùng thuộc một đường tròn. Gọi K là tiếp điểm của (J) với (). Áp dụng bài toán 3 cho tứ giác suy ra 1, 2,, K cùng thuộc một đường tròn. Do đó lại áp dụng bài toán 3 cho tứ giác F E ta có ( 2 ) đi qua tiếp điểm K của đường tròn tiếp xúc với EF, và (). à qua điểm K chỉ có duy nhất một đường tròn tiếp xúc với và tiếp xúc trong với (), suy ra (J) tiếp xúc với EF. Ta có đpcm. ài 5. ho hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) giao nhau tại hai điểm,. Gọi là điểm chính giữa cung của ( 1 ) sao cho nằm trong ( 2 ). Dây cung P của ( 1 ) cắt ( 2 ) tại Q sao cho Q nằm trong ( 1 ). Gọi l 1, l 2 lần lượt là tiếp tuyến của ( 1 ) tại P và ( 2 ) tại Q. hứng minh rằng tam giác tạo bởi giao điểm của các đường thẳng l 1, l 2, tiếp xúc với ( 2 ). (P 2014) hứng minh. ách 1. S 1 2 T Q P Gọi T là giao của P và, S là giao điểm thứ hai của P với ( 2 ).,, lần lượt là giao của các cặp đường thẳng (, l 2 ), (l 1, l 2 ), (, l 1 ). S cắt ( 2 ) tại. Ta có P là tiếp tuyến của ( 1 ) nên P = P = P T. Suy ra P = T. Do thuộc trục đẳng phương của ( 1 ) và ( 2 ) nên T 2 = P 2 =.S hay T là tiếp tuyến của (T S). Ta thu được T = QS = Q hay (QT ). ại có T S = T S = T P nên (T P ). Suy ra là điểm iquel của tứ giác toàn phần P T Q hay ( ). Gọi là tâm của ( ). Ta có = 90 = 90 T S = 2 S, suy ra 2,, thẳng hàng. Từ đó có đpcm. ách 2. 4

5 1 2 Q P Gọi là giao của P và,,, được xác định như hình vẽ. Áp dụng định lý asey cho 4 đường tròn ( 2 ), (, 0), (, 0), (, 0) ta có ( ) tiếp xúc với ( 2 ) khi và chỉ khi P. =.Q + Q.. (1) hú ý rằng P =. Áp dụng định lý enelaus cho tam giác với đường thẳng (P, Q, ) suy ra P P Q Q = 1. Hay Q = 1, tương đương với (1). Ta có đpcm. Q P + ài 6. ho đường tròn () ngoại tiếp tam giác. ột đường tròn ω tiếp xúc với các cạnh, lần lượt tại, K và tiếp xúc ngoài với (). hứng minh rằng K chia đôi với là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. K E hứng minh. Gọi E là giao điểm thứ hai của với (). Ta có E = 180 E = 180 = Do đó tam giác E cân tại E. Suy ra E là trung trực của đoạn thẳng và E giao tại điểm chính giữa của cung. 5

6 Do ω là đường tròn Thebault của tam giác E ứng với đường thẳng và là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác E nên,, K thẳng hàng. Tương tự gọi là điểm chính giữa cung thì,, K thẳng hàng. à là trung trực của đoạn thẳng nên K chia đôi. ài 7. (ll-russian 2013). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (). Gọi, là giao điểm của () và (), là tâm vị tự ngoài của () và (). hứng minh rằng ( ) tiếp xúc với (). hứng minh. ách 1. K H T F Gọi F là giao của với (), T là tâm vị tự trong của () và (), K là tâm của ( ). Ta có F = T T F = r R = F = nên,,, T cùng nằm trên đường tròn pollonius của F đoạn thẳng EF ứng với tỉ số r, nói cách khác là đường tròn pollonius của tam giác F. R Tâm K của ( T ) là giao của tiếp tuyến tại của ( F ) với F. Suy ra K = F. Ta thu được K F + F = F + 2 F = 180, suy ra F là phân giác ngoài K. ghĩa là F F K = hay F là tâm vị tự ngoài của () và ( ). K Kẻ tiếp tuyến F, F H tới ( ), F, F H lần lượt cắt () tại,. Do (T F ) = 1 nên theo hệ thức ewton ta có K 2 = KT 2 = K.KF, suy ra là hình chiếu của trên KF, nghĩa là là trung điểm H. Theo định lý Poncelet, () là đường tròn nội tiếp tam giác F nên áp dụng bổ đề Sawayama suy ra ( ) là đường tròn mixtilinear nội tiếp của tam giác F, hay ( ) tiếp xúc với (). ách 2. 6

7 T F J Gọi T là giao của đoạn thẳng F với (), J là điểm đối xứng với qua F. Ta có T J = r R = F. Suy ra T.F = J.. Theo hệ thức aclaurin ta thu được (T J) = 1. Từ đó theo hệ thức ewton, F 2 = F T.F. ét phép nghịch đảo F R2 : (),,, T. Do đó ( ) () và do () tiếp xúc với nên ( ) tiếp xúc với (). ài 8. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (). ột đường tròn ω đi qua và tiếp xúc với () cắt các đoạn thẳng, lần lượt tại J 1, J 2. Gọi (J 1 ), (J 2 ) là các đường tròn tâm J 1, J 2 và tiếp xúc với các cặp cạnh, và,. hứng minh rằng ω, (J 1 ), (J 2 ) có chung một tiếp tuyến. J 2 J 1 J 3 hứng minh. ài toán là hệ quả của athley 3-P4. Gọi giao điểm của tiếp tuyến chung ngoài khác của (J 1 ) và (J 2 ) với, lần lượt là,. 7

8 J 1 giao J 2 tại J 3, ta có J 3 là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác, suy ra J 2 J 3 J 1 = = 180 J 2 J 1. Do đó J 3 (J 1 J 2 ). Từ đó áp dụng bài toán athley 3-P4 cho tam giác J 1 J 2 J 3 ta có J 3, J 1, J 2 giao nhau tại nằm trên (J 1 J 2 J 3 ), () tiếp xúc với (J 1 J 2 J 3 ), đường thẳng đối xứng với qua J 3 J 1, với qua J 3 J 2 đều là nên là tiếp tuyến của (J 1 J 2 J 3 ). Ta có đpcm. 8