ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Το εμβαδό τριγώνου ΑΓ δίνεται από τη σχέση : 1 β γ ημα. Το απόστημα ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι : α 6 R 3 3. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο ομοιότητας 4. Αν σε τρίγωνο ΑΓ ισχύει: α <β +γ τότε είναι οξυγώνιο. 5. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία : ο ων 4 Μονάδες 10 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Στο διπλανό σχήμα δίνονται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ, 15, το μέσον Μ της υποτείνουσας Γ του τριγώνου και το σημείο Δ της Γ, για το οποίο ισχύει: 1 και 9 B1. Να αποδείξετε ότι το είναι ύψος του τριγώνου ΑΓ. Μονάδες 10. Να υπολογίσετε τις πλευρές Γ και ΑΓ του τριγώνου ΑΓ. Μονάδες 8 3. Να υπολογίσετε την προβολή της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά Γ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΓ με πλευρές Α=6, ΑΓ=8 και Α ο 60. 60 8cm Αν Μ, ΓΝ διάμεσοι του ΑΓ. 6cm Ν Μ Γ1. Δείξτε ότι : (ΑΓ)=1 3 τ.μ. Μονάδες 10 Ο Γ. (ΓΜ)=(ΓΝ) = 6 3 τ.μ Μονάδες 7 Γ3. (ΟΝ)=(ΟΓΜ) Μονάδες 8 Γ
ΘΕΜΑ Δ Σε κύκλο (Ο, R) είναι τόξο και χορδή ΓΔ=λ 1 ο 60, τόξο ο 90 90 Δ1. Να βρεθούν τα μήκη των χορδών Α,Γ και Δ 60 Γ Μονάδες 9 Δ. Δείξτε ότι : R Μονάδες 5 Α Ο λ 1 Δ Δ3. Δείξτε ότι η χορδή R 3. Μονάδες 6 Δ4. Υπολογίστε το εμβαδό του κυκλικού τμήματος που ορίζεται από χορδή Γ και του αντιστοίχου κυρτογώνιου τόξου. Μονάδες 5
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘEMA Α Α1. α. Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τους αριθμούς των παρακάτω προτάσεων και δίπλα να γράψετε τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν νομίζετε ότι η πρόταση είναι σωστή διαφορετικά την λέξη ΛΑΘΟΣ. 1. Σε τρίγωνο ΑΓ αν A 90 τότε α β γ β ΑΔ, όπου ΑΔ είναι η προβολή της γ πάνω στη β.. Η δύναμη ενός σημείου Ρ ως προς τον κύκλο Ο,R δίνεται από τον τύπο Δ R ΟΡ Ρ 0,R 3. Σε κανονικό ν-γωνο ισχύει : ν ν R λ α 4 Μονάδες 6 β. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, για το τι συμβολίζουν το τα και το ρ στον τύπο Eτριγώνου τρ, από τις παρακάτω προτάσεις : 1. τ = περίμετρος τριγώνου και ρ = ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου. τ = ημιπερίμετρος τριγώνου και ρ = ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου
3. τ = ημιπερίμετρος τριγώνου και ρ = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου Μονάδες γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας κάθε μέγεθος της γραμμής Α με την αντίστοιχη τιμή του που βρίσκεται στη γραμμή Α λ 3 α 4 R R R 3 Μονάδες Α. Να αποδείξετε το θεώρημα : «Το εμβαδόν Ε ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή.» Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Σε τρίγωνο ΑΓ είναι : β 5, γ 4 και Α 60 1. Να δειχτεί ότι α 1 Μονάδες 6. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του Μονάδες 6 3. Να σχεδιαστεί και να υπολογιστεί η διάμεσος μ β Μονάδες 7 4. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΓ Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ Τετράγωνο ΑΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο Ο,R. Αν Μ είναι το μέσο της ΑΔ και η Μ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο Ε, τότε Γ1. Να εκφράσετε την πλευρά του τετραγώνου συναρτήσει της ακτίνας R Μονάδες Γ. Να αποδείξετε ότι : Γ3. Να αποδείξετε ότι : BM ME R 10 Μονάδες 7 R 10 10 Μονάδες 8 Γ4. Να αποδείξετε ότι : ABM 5 ΔΕΜ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ με Α90, Α 3, ΑΓ και ΑΔ το ύψος του. Γράφουμε τον κύκλο Α,R AΔ ο οποίος τέμνει την Α στο Ε και την ΑΓ στο Ζ Δ1. Να δείξετε ότι : Γ 4, Δ 3, ΔΓ 1 Μονάδες 8 Δ. Να υπολογιστούν, η περίμετρος και το εμβαδό του κύκλου Μονάδες 8 Δ3. Να υπολογιστεί το εμβαδό του μεικτόγραμμου τριγώνου ΕΔ Μονάδες 8
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α,, τότε ισχύει ότι ΡΕ ΡΑ Ρ Μονάδες 8 Α. Να ορίσετε τη δύναμη σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R). Τι τιμές παίρνει αυτή σε σχέση με τη θέση του σημείου ως προς τον κύκλου; Μονάδες 7 Α3. Να γράψετε τη λέξη Σωστό ή Λάθος στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου και γ α β τότε: ˆΓ 90 ο. Αν β > γ, τότε ισχύουν: α) β γ μ α α β) 3. Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου με πλευράς στη β. β γ αμδ όπου ΜΔ η προβολή της μ α στην α. o  90 τότε: α β γ β x, όπου x η προβολή της γ 1 4. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: (ΑΓ) αβ ημ Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Σε τρίγωνο ΑΓ είναι α = 6, β = 7 και μ γ = 7. Να υπολογίσετε: 1. Να βρείτε την πλευρά γ. Μονάδες 8. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Μονάδες 8 3. Να βρείτε την προβολή της πλευράς β στην πλευρά α. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται κύκλος (Ο, R) και τρίγωνο ΑΓ εγγεγραμμένο σε στον κύκλο για τον οποίο ισχύει: α β γ Αν η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου, η προέκτασή της τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ, να αποδείξετε ότι: Γ1. μ α = α 3 Μονάδες 8 Γ. α 3 ΜΡ Μονάδες 8 6 Γ3. ΑΓ 6(ΜΡΓ) Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος (Ο, R) και χορδή του κύκλου Α = λ 6. Φέρουμε την εφαπτομένη (ε) του κύκλου στο σημείο Α και την κάθετη από το στην εφαπτόμενη (ε) Γ. Δ1. Να αποδείξετε ότι: R BΓ Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου (ΟΑΓ) Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του μεικτογράμμου (ΑΓ) Μονάδες 7 Δ4. Να βρείτε τη δύναμη του σημείου Γ, Γ Δ (Ο,R) Μονάδες 6
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α,, τότε ισχύει ότι ΡΕ ΡΑ Ρ Μονάδες 10 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (Ο, R) τότε P Δ(Ο,R ) 0.. Το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο: 4. 3. Η πλευρά εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλου είναι ίση με R, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. 4. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα μ ο κύκλου ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο: πρμ Ε 360 5. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: μα β γ α Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓ ˆΑ 90 ο φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι Α = 6 και ΑΓ = 10, να υπολογιστούν τα μήκη των τμημάτων Γ, Δ, ΔΓ και ΑΔ. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΓΔ (Α//ΓΔ) με Α = 3, Γ = 4 και ΓΔ = 7. Φέρουμε Ε το ύψος από το. Να αποδείξετε ότι: Γ1. Ε = 3 Μονάδες 8 Γ. ΑΓΔ 10 3 Μονάδες 8 Γ3. ΑΓ 3 3 Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τετράγωνο ΑΓΔ πλευράς 10 cm. Εσωτερικά του τετραγώνου ΑΓΔ εγγράφουμε κύκλο και εσωτερικά του κύκλου, εγγράφουμε τετράγωνο ΕΖΗΘ. Δ1. Να αποδείξετε ότι: (EZHΘ) = 50 cm Μονάδες 1 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας του διπλανού σχήματος Μονάδες 13
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: α β γ.. Το εμβαδόν του τραπεζίου δίνεται από τον τύπο: ( ). 3. Η πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλου είναι ίση με R, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Μονάδες 9 Α. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. 1. Το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α, δίνεται από τον τύπο: α. 3 β. 3 3 γ.. Η σχέση που συνδέει την πλευρά, το απόστημα κανονικού πολυγώνου με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι: α. R β. 4 4 R γ. R Μονάδες 6
Α3. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και οι χορδές του Α, ΓΔ που τέμνονται σε ένα εξωτερικό σημείο P του κύκλου. Να αποδείξετε ότι: ΡΑΡ = ΡΓΡΔ Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Δίνεται τρίγωνο ΑΓ με β = 6, γ = 7, 81. 4 Να βρείτε: 1. την πλευρά α. Μονάδες 8. την προβολή ΜΔ της διαμέσου ΑΜ. Μονάδες 8 3. το συνα. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΓ με β + γ = α. Να αποδείξετε ότι: βγ 6ρR Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ΑΓΔΕ. Να αποδείξετε ότι: Δ1. Ε//ΔΓ Μονάδες 1 Δ. ΑΣΕ ρόμβος Μονάδες 13