ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή. Οι παρατηρητές βρίσκονται πάνω στην ευθεία κίνησης της ηχητικής πηγής. Ο ήχος που ακούει ο παρατηρητής είναι: α. οξύτερος από τον ήχο που ακούει ο παρατηρητής. β. βαρύτερος από τον ήχο που ακούει ο παρατηρητής. γ. μικρότερης συχνότητας από τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. δ. ίδιας συχνότητας με τη συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. Α2. Μικρή σφαίρα προσπίπτει σε κατακόρυφο τοίχο με ταχύτητα μέτρου που σχηματίζει γωνία με την οριζόντια διεύθυνση και ανακλάται με ταχύτητα μέτρου που σχηματίζει γωνία με την οριζόντια διεύθυνση. 2 1 Αν η κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο είναι ελαστική, τότε ισχύει: α. = και =. β. < και =. γ. < και <. δ. = και <. Α3. Μήκος κύματος ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος ονομάζεται η απόσταση: α. που διανύει το κύμα σε χρόνο μισής περιόδου. β. μεταξύ δύο διαδοχικών υλικών σημείων του ελαστικού μέσου που κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια φορά. γ. μεταξύ δύο υλικών σημείων του ελαστικού μέσου που η διαφορά φάσης των ταλαντώσεών τους ισούται με. Σελίδα 1 από 13

δ. μεταξύ μίας κορυφής και της αμέσως επόμενης κοιλάδας στο στιγμιότυπο του κύματος. Α4. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) που πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας των ταλαντώσεων (1) και (2) είναι αντίστοιχα: = 5 και = ( + ). Τη χρονική στιγμή, αν το σώμα εκτελούσε μόνο την ταλάντωση (1) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του θα ήταν = 5, ενώ την ίδια χρονική στιγμή, αν εκτελούσε μόνο την ταλάντωση (2) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του θα ήταν = +. Όταν το σώμα εκτελεί και τις δύο ταλαντώσεις ταυτόχρονα, τη χρονική στιγμή βρίσκεται: α. στη θέση ισορροπίας του. β. στην ακραία θετική θέση της ταλάντωσής του. γ. στην ακραία αρνητική θέση της ταλάντωσής του. δ. σε μια θέση ανάμεσα στη θέση ισορροπίας του και στην ακραία αρνητική του θέση. Α5. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ). α. Η στατική τριβή που δέχεται ένα σώμα το οποίο κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει δεν εκτελεί συνολικά έργο. β. Η ροπή μιας δύναμης μεταβάλλει τη περιστροφική κινητική ενέργεια του σώματος κατά ποσότητα ίση με το έργο της. γ. Κατά τη συρρίκνωση των αστεριών η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής τους μειώνεται. δ. Σε ένα ελαστικό μέσο στο οποίο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα η ενέργεια δεν μεταφέρεται από το ένα σημείο στο άλλο, γιατί εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς. ε. Νευτώνια ρευστά ονομάζονται τα ιδανικά ρευστά. Α1. α, Α2. α, Α3. β, Α4. γ, Α5. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ. ΘΕΜΑ Β Β1. Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται ταυτόχρονα δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος και το ίδιο μήκος κύματος. Τα κύματα παράγονται από δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων και που βρίσκονται στα σημεία και αντίστοιχα της επιφάνειας του υγρού, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση = 3,25. y 1 2 d y Σελίδα 2 από 13

Ο αριθμός των υπερβολών ενισχυτικής συμβολής που τέμνουν την ευθεία που διέρχεται από την πηγή και είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα είναι ίσος με: α. 7 β. 4 γ. 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 Να δικαιολογήσετε τη επιλογή σας. Μονάδες 6 Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ. Ο αριθμός των υπερβολών ενισχυτικής συμβολής που τέμνουν την ευθεία είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων ενισχυτικής συμβολής που βρίσκονται ανάμεσα στο μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ και της πηγής (σημείο Λ). Έστω ένα τυχαίο σημείο Ζ ενισχυτικής συμβολής που ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και απέχει απόσταση από την πηγή και απόσταση από την πηγή. r r1 2 1 2 d Ισχύουν = (1) και + = (2). Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: = + ή = (3). Όμως: < <, ή λόγω της σχέσης (3): < < ή < < ή < < ή < <, ή =,,. y 1 2 y Επομένως ο αριθμός των υπερβολών που τέμνουν την ευθεία είναι ίσος με 3. Β2. Σώμα μάζας = 3 ισορροπεί δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους =, όπου είναι η επιμήκυνση Σελίδα 3 από 13

του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος. Κάποια στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση όπου μηδενίζεται η δύναμη που δέχεται από το ελατήριο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με σώμα μάζας =, που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου = 2. Το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα το σώμα είναι: α. = β. = 2 γ. = 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Β2. Σωστή απάντηση είναι η γ. 1 μετά την κρούση με Μονάδες 2 Μονάδες 6. 2 0 1 2 1 l. F Η δύναμη που δέχεται το σώμα από το ελατήριο μηδενίζεται στη θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος. Αφού = η ταχύτητα του σώματος ελάχιστα πριν από την κρούση είναι =. Αφού η κρούση είναι ελαστική η ταχύτητα του σώματος αμέσως μετά την κρούση είναι: = ή = ή =. w Σελίδα 4 από 13

Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα μετά την κρούση έχουμε: = + ή = + ή = + ή =. Β3. Το μεγάλο ανοικτό κυλινδρικό δοχείο του παρακάτω σχήματος περιέχει νερό μέχρι ύψους h. Κάποια στιγμή ανοίγουμε στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου μια πολύ μικρή τρύπα με εμβαδόν διατομής, από την οποία εξέρχεται μια φλέβα νερού που προσπίπτει στο έδαφος. h h 1 Το εμβαδόν διατομής της φλέβας του νερού, όταν πέφτει στο έδαφος, είναι =. Το ύψος h πάνω από τη βάση του δοχείου στο οποίο βρίσκεται η τρύπα είναι: α. h = 0,75h β. h = 0,5h γ. h = 0,2h Να θεωρήσετε ότι: η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του νερού στο ανοικτό δοχείο είναι αμελητέα. Το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. Η ατμοσφαιρική πίεση παραμένει σταθερή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 7 Β3. Σωστή απάντηση είναι η α. h 1 h 1 Έστω το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εξέρχεται το νερό από την τρύπα. Από την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων Κ και Λ που φαίνονται στο σχήμα έχουμε: 2 Σελίδα 5 από 13

+ + ( ) = + ή. + + ( ) =. + ή = ( ) (1). Έστω το μέτρο της ταχύτητας με την οποία προσπίπτει στο έδαφος η φλέβα του νερού. Από την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων Λ και Μ που φαίνονται στο σχήμα έχουμε: + + = + ή. + + =. + ή = +, ή λόγω της σχέσης (1): = (2). Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Λ και Μ, έχουμε: = ή = ή =, ή λόγω των σχέσεων (1) και (2): ( ) = ή ( ) = ή =,. ΘΕΜΑ Γ Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης = 30. Στα σημεία Α και Β στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων (1) και (2) με σταθερές = 300 και = 100 αντίστοιχα. Ένα σώμα μάζας = 4 ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο δεμένο στα ελεύθερα άκρα των δύο ιδανικών ελατηρίων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 30 K 2 ( 2 ). ( ) K 1 (1) Στη θέση ισορροπίας του σώματος τα ελατήρια (1) και (2) είναι επιμηκυμένα κατά και = 2, αντίστοιχα. Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου, προς το σημείο Α, ώστε το ελατήριο (1) να αποκτήσει το φυσικό του μήκος και τη χρονική στιγμή = 0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί: Γ1. Να αποδείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Γ2. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά της αρχικής του εκτροπής. Γ3. Να υπολογίσετε το πηλίκο ( ) ( ) της μέγιστης τιμής του μέτρου της δύναμης που δέχεται το σώμα από το ελατήριο (1) προς την ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης που δέχεται από το ελατήριο (2). Σελίδα 6 από 13

Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ελατήριο (1) είναι ίση με 6. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα ακινητοποιείται στιγμιαία για πέμπτη φορά μετά τη χρονική στιγμή = 0 αφαιρείται ακαριαία το ελατήριο (1). Γ5. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια της νέας απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10. Γ1. l 2 F ( (2). 2 ) x w (2) w x F (1) l 1 w x F (1.(2) ) F ) w y. (1 w y (1) Στη Θ.Ι. του σώματος ισχύει: = ή ( ) + = ( ) ή + = (1) Στη τυχαία θέση που φαίνεται στο σχήμα, με απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας έχουμε: = + ( ) ( ) ή = + ( ) ( + ) ή = +, ή λόγω της σχέσης (1): = ( + ). Σελίδα 7 από 13

Συνεπώς το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με = + (3) Γ2. Από τη σχέση (3) έχουμε: = + ή = + ή = ή =. Επειδή είναι =, από τη σχέση (1) προκύπτει ότι: + = ή =,. Συνεπώς είναι =,. Επειδή το σώμα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί στη θέση όπου το ελατήριο (1) έχει το φυσικό του μήκος το πλάτος της ταλάντωσής του είναι: = =,. Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη Θ.Ι. του είναι: = ( + ) (1). Από την εξίσωση (1) για = +, προκύπτει: = ή = ή = ή λόγω του ότι <, είναι =. Επομένως η σχέση (1) γίνεται: =, + (S.I.) Γ3. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα από το ελατήριο (1) γίνεται μέγιστο στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του. Συνεπώς είναι: ( ) = ( + ) ή ( ) =. Στην ίδια θέση ελαχιστοποιείται το μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα από το ελατήριο (2). Συνεπώς είναι: ( ) = ( ) ή ( ) =. Συνεπώς είναι: Γ4. Έστω η επιμήκυνση του ελατηρίου (1) στη θέση όπου η δυναμική του ενέργεια είναι ( ) =. Ισχύει ( ) = ή =,. Αφού είναι =, το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του. Συνεπώς ισχύει: = = ή =. Γ5. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ακινητοποιείται στιγμιαία το σώμα για πέμπτη φορά μετά τη χρονική στιγμή =, βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του. Μετά την αφαίρεση του ελατηρίου (1) η θέση ισορροπίας του σώματος μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: ( ) ( ) =..(2). (2) l l 2 A. K 2 K 2 w x w F (2) w y Σελίδα 8 από 13

Έστω η συμπίεση του ελατηρίου (2) στη νέα θέση ισορροπίας (Θ.Ι (2) )γύρω από την οποία ταλαντώνεται το σώμα. Στη Θ.Ι (2) ισχύει: = ή = ( ) ή = ή =,. Το πλάτος της νέας ταλάντωσης του σώματος, όπως φαίνεται από το σχήμα, είναι = + ή =,. Η ολική ενέργεια της νέας ταλάντωσης είναι = ή = ή =. ΘΕΜΑ Δ Μια ισοπαχής, λεπτή ράβδος ΑΓ μήκους = 5 αποτελείται από δύο ομογενείς ράβδους ΟΑ και ΟΓ από διαφορετικά υλικά, μήκους η καθεμία, με μάζες = = 4 και = 2, αντίστοιχα. Οι ράβδοι ΟΑ και ΟΓ συγκολλούνται στο ένα τους άκρο Ο, ώστε να σχηματίζουν τη ράβδο ΑΓ. Η ράβδος ΑΓ, που αρχικά συγκρατείται σε οριζόντια θέση, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το σημείο Ο. m1 m2 L 2 L 2 Δ1. Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΓ, ως προς τον άξονα περιστροφής της στο σημείο Ο είναι: =. Τη χρονική στιγμή = 0 αφήνουμε τη ράβδο ΑΓ ελεύθερη να περιστραφεί γύρω από τον άξονα περιστροφής της στο σημείο Ο. Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου ΑΓ τη χρονική στιγμή κατά την οποία σχηματίζει για πρώτη φορά γωνία = 30 με την αρχική της θέση. 30 Δ3. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΟΓ τη χρονική στιγμή. Σελίδα 9 από 13

Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος ΑΓ γίνεται για πρώτη φορά κατακόρυφη συγκρούεται πλαστικά με σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων μάζας το οποίο κινείται με ταχύτητα και φορά προς τα αριστερά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα και σφηνώνεται ακαριαία στο άκρο Α της ράβδου. m3 Μετά την κρούση η ράβδος συνεχίζει να περιστρέφεται στην ίδια φορά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου = 1. Δ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής της ράβδου ΑΓ ως προς τον άξονα περιστροφής της στο σημείο Ο τη χρονική στιγμή, ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σφαιρίδιο. Δ5. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου ελάχιστα πριν την κρούση με τη ράβδο. Η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου μήκους και μάζας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο, είναι: =. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10. Δ1. Έστω η ροπή αδράνειας της ράβδου ΟΑ ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο. ισχύει: = ( ) + ή = + ή = Έστω + ή = + ή = ή =. η ροπή αδράνειας της ράβδου ΟΒ ως προς τον άξονα περιστροφής της στο σημείο Ο. ισχύει: = ( ) + ή = + ή = ή =. Η συνολική ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΓ ως προς το σημείο Ο είναι: = + ή =. Δ2. Σελίδα 10 από 13

w 1 y w 1 w 1x w 2 y w 2x Έστω το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου στη θέση όπου σχηματίζει για πρώτη φορά γωνία = με την αρχική της θέση. Ισχύει = ή = ή ( ) = ή = ή =. w 2 Δ3. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΟΓ τη χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: = ( ) ή = ή = (1), όπου το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη χρονική στιγμή. h h 0 U Αν εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων (Ι) και (ΙΙ) που φαίνονται στο σχήμα, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου ΟΓ, προκύπτει: + = + ή + + = + ή = ή ( ) = ή = ή = (2). Το ύψος υπολογίζεται από τη σχέση: = ή = (3). Σελίδα 11 από 13

Με αντικατάσταση της σχέσης (3) στη σχέση (2) προκύπτει: ή = ή =. Με αντικατάσταση των τιμών στη σχέση (1) προκύπτει: =. Δ4. m1 m2 0 U Έστω το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου ΑΓ τη χρονική στιγμή κατά την οποία γίνεται για πρώτη φορά κατακόρυφη, ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σφαιρίδιο. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων (Ι) και (ΙΙΙ) που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα προκύπτει: + = + ή + + = + ή ( ) = ή = ή = ή =. Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου τη χρονική στιγμή είναι: = ή Δ5. = ή =. Σελίδα 12 από 13

2 m 3 Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής κατά την κρούση έχουμε: = ά ή = ή = + ή = ( + ) (4). Επειδή μετά την κρούση η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΑΓ παραμένει συνεχώς σταθερή, σε κάθε θέση της θα ισχύει: ( ) =. Έστω η τυχαία θέση της ράβδου ΑΓ, μετά την κρούση, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. w 1x w 3x w 1 w 1y w 3 w 3 y w 2x w 2 y w 2 Ισχύει: ( ) = ή + = ή + = ή + = ή =. Με αντικατάσταση των τιμών στη σχέση (4) προκύπτει: =,. Σελίδα 13 από 13