1 / 10
Λ3 - Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ι Διδάσκων: Η. Κουτσουπιάς Καραγεώργος Βασίλειος Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου
Εισαγωγή Το 1962, οι David Gale και Lloyd Shapley, από το πανεπιστήμιο Brown, δημοσίευσαν μια πραγματεία για την επίλυση του προβλήματος επιλογής υποψήφιων φοιτητών από ένα πανεπιστήμιο. Στην πορεία της πραγματείας, ανάγουν το πρόβλημα αυτό στο ευκολότερο πρόβλημα εύρεσης σταθερού γάμου, δείχνοντας ότι αυτό είναι μία ειδική περίπτωση του αρχικού προβλήματος. Επίσης παρουσιάζονται και μερικά ακόμα προβλήματα-παραδείγματα, όπως αυτό τις επιλογής συγκατοίκου, τα οποία όμως αν και ομοιάζουν αρκετά στο αρχικό, τελικά δεν είναι συμβατά. Άμα την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, η γενίκευση του αλγορίθμου που οδηγεί στην επίλυση του αρχικού προβλήματος γίνεται εμφανής. Τελικώς, η γενικευμένη λύση, στην ουσία αποτελεί έναν αλγόριθμο ανάθεσης, που δημιουργεί ζεύγη μεταξύ δύο συνόλων μη ομότιμων αντικειμένων, με βέλτιστο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, το αρχικό πρόβλημα επιλογής υποψηφίων έχει ως εξής: Έστωσαν κάποια πανεπιστήμια και μια ομάδα από υποψήφιους φοιτητές, n τω πλήθει. Έκαστο πανεπιστήμιο θέλει εκ των n φοιτητών, να επιλέξει μόνο ένα μέρος q. Προφανώς, η επιλογή των q καλλιτέρων εκ των υποψηφίων δεν επαρκεί, καθότι είναι πιθανόν κάποιοι εξ αυτών να αρνηθούν. Το γε νυν έχον, το πανεπιστήμιο θα πρέπει εν γένει να επιλέξει περισσότερους των q, χωρίς να είναι καταφανές πόσοι και ποιοι πρέπει να είναι αυτοί. Αυτό συμβαίνει διότι δεν είναι εν γένει γνωστόν εάν έκαστος υποψήφιος έχει κάνει και σε άλλο πανεπιστήμιο αίτηση, με ποια σειρά προτίμησης έχει κατατάξει τα πανεπιστήμια και εάν κάποιο άλλο πανεπιστήμιο θα τον ζητήσει. Πέραν των προβλημάτων που παρουσιάζονται στην εν λόγω διαδικασία για το πανεπιστήμιο, προβλήματα παρουσιάζονται και για τον ίδιο τον υποψήφιο, καθώς εάν κατά την αίτηση του ζητηθεί εξ ενός των πανεπιστημίων να πει σε ποια άλλα έχει κάνει επίσης αίτηση και με ποια σειρά προτίμησης, τότε για προφανείς λόγους μπορεί να μειωθούν οι πιθανότητές του να γίνει δεκτός από αυτό. Επίσης, εάν ψευδομαρτυρήσει για να ξεπεράσει το πρόβλημα αυτό, τίθεται το θέμα του κατά πόσον κάτι τέτοιο είναι ηθικό, όπως γίνεται και στην περίπτωση όπου δέχεται για εξασφάλιση να εγγραφεί αρχικώς σε ένα πανεπιστήμιο που δεν είναι το προτιμητέο και ύστερα το απορρίπτει χάριν ενός άλλου που είναι προτιμότερο και που τον εδέχθη επίσης. Ορισμός του προβλήματος Ας ορίσουμε τώρα αυστηρότερα τις παραμέτρους του προβλήματος επιλογής. Έστωσαν ένα σύνολο Υ με n υποψήφιους, ένα σύνολο Π με m πανεπιστήμια και μια πεπερασμένη ακολουθία (qi), της οποίας το i-οστό στοιχείο είναι το πλήθος των φοιτητών που θέλει να δεχθεί το i-οστό πανεπιστήμιο. Έκαστος υποψήφιος ταξινομεί τα πανεπιστήμια με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που δεν τον ενδιαφέρουν. Ομοίως, έκαστο πανεπιστήμιο ταξινομεί τους υποψήφιους με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων ακόμα και αυτών που δεν θα δεχόταν υπό ουδεμία περίσταση. Σκοπός είναι να βρεθεί ένας μερικός ομομορφισμός f:υ Υ Π, όπου ο f εξαρτάται από τις προαναφερθείσες ταξινομήσεις και από κάποια κριτήρια μεροληψίας, τα οποία πρόκειται να συμφωνηθούν παρακάτω, τέτοιος ώστε η ανάθεση των στοιχείων του Y στο Π να είναι σταθερή. Σταθερή, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση του Y στο Π, για την οποία δεν υπάρχουν δύο στοιχεία του Υ Π, (υ1,π1) και (υ2,π2), τέτοια που ο υ1 και το π2 συμφωνούν στο ότι θα προτιμούσαν την ανάθεση (υ1,π2). Κατά συνέπεια, ασταθής, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση για την οποία υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοια ζεύγη και αυτό διότι είναι δυνατόν ο εν λόγω υποψήφιος να ζητήσει αίτηση μετεγγραφής στο εν λόγω πανεπιστήμιο, το οποίο θα τον δεχθεί, διαταράσσοντας έτσι την ισορροπία της ανάθεσης προς το αμοιβαίο όφελός των. Όσον για τα κριτήρια μεροληψίας, δεδομένου του ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές και όχι το ανάστροφο, στην περίπτωση που δύο πανεπιστήμια και δύο υποψήφιοι δεν συμφωνούν μεταξύ τους για την ανάθεση, προτεραιότητα δίδεται στους υποψήφιους. 3 / 10
Έχοντας ορίσει το πρόβλημα και τον σκοπό, αναρωτάται κανείς αν το πρόβλημα δύναται πάντα να επιλυθεί. Αυτό ισοδυναμεί με την ερώτηση του αν υπάρχει πάντα μια σταθερή ανάθεση για κάθε δυνατό πρόβλημα. Όπως θα φανεί παρακάτω, η ύπαρξη λύσης είναι πάντα εξασφαλισμένη. Το γε νυν έχον, ορίζουμε ως κάλλιστη λύση την σταθερή εκείνη ανάθεση, για την οποία δεν υπάρχει άλλη σταθερή ανάθεση υπό την οποία κάποιος υποψήφιος θα ήταν πιο ευχαριστημένος από την πρώτη. Η ύπαρξη κάλλιστης λύσης δεν είναι προφανής, αλλά είναι προφανής η μοναδικότητά της, εάν αυτή υπάρχει. Αυτό φαίνεται αμέσως υποθέτοντας ότι υπάρχουν δύο κάλλιστες λύσεις, καθώς οδηγούμαστε σε ατόπημα από τον ορισμό και την υπόθεση μεροληψίας. Το πρόβλημα του σταθερού γάμου ως ειδική περίπτωση Η απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξης λύσης μπορεί να διαφανεί ευκολότερα μέσω της μελέτης ενός απλούστερου προβλήματος. Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση όπου το πλήθος των υποψηφίων είναι ίσο με το πλήθος των πανεπιστημίων, και ότι κάθε πανεπιστήμιο θέλει μονάχα έναν φοιτητή. Αν και η περίπτωση αυτή φαντάζει εξωπραγματική, αποκτά νόημα αν αντικαταστήσουμε τους υποψήφιους και τα πανεπιστήμια με άντρες και γυναίκες αντίστοιχα. Τότε η ειδική αυτή περίπτωση του προβλήματος επιλογής υποψηφίων μετατρέπεται σε πρόβλημα γάμων, και η σταθερή ανάθεση τώρα σημαίνει σταθερούς γάμους. Όπως φαντάζεται κανείς, η αντιστοίχηση θα μπορούσε να γίνει και ανάποδα, με τον ρόλο των υποψηφίων να τον αναλαμβάνουν οι γυναίκες. Το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο το μόνο που αλλάζει σε κάθε περίπτωση είναι ποιος από τους δύο (άντρες ή γυναίκες) θα βγει ριγμένος. Αυτό οφείλεται στο κριτήριο μεροληψίας που έχουμε εισαγάγει και που είναι απόλυτα συνυφασμένο με το γεγονός ότι τα στοιχεία των δύο συνόλων υπόψιν δεν είναι ομότιμα. Έτσι, το φαινομενικά όμοιο πρόβλημα ανάθεσης συγκατοίκου, όπου μία ομάδα από άρτιο αριθμό ατόμων χωρίζεται σε ζεύγη, δεν αποτελεί ειδική περίπτωση του αρχικού. Αυτό καθίσταται σαφές αν χωρίσουμε την αρχική ομάδα σε δύο ισοπληθή σύνολα, καθώς τα σύνολα αυτά θα αποτελούνται από ομότιμα αντικείμενα, και άρα το κριτήριο μεροληψίας δεν εφαρμόζεται. Ο αλγόριθμος σταθερού γάμου Η ύπαρξη της λύσης στο πρόβλημα αυτό αποδεικνύεται με την παρουσίαση του αλγορίθμου που οδηγεί ένα τυχαίο σύνολο ανδρών και ένα γυναικών σε σταθερούς γάμους: function stablematching { Initialize all m in M and w in W to free while exists free man m who still has a woman w to propose to { w = m highest ranked such woman if w is free (m, w) become engaged else some pair (m', w) already exists if w prefers m to m' (m, w) become engaged m' becomes free else (m', w) remain engaged } } Σε κάθε γύρο, κάθε εκτέλεση δηλαδή του βρόγχου, έκαστος άνδρας κάνει πρόταση στην προτιμότερη γυναίκα απ' όσες δεν έχει ήδη προτείνει. Η γυναίκα τον απορρίπτει εάν είναι ήδη ταγμένη σε κάποιον που τον προτιμά καλλίτερα, ειδάλλως τον αποδέχεται αν μη τι άλλο προσωρινά. Δύο ιδιότητες αυτού του αλγορίθμου είναι που πρέπει να προσέξουμε. Πρώτον, στο τέλος της διαδικασίας, δεδομένου του ίσου αριθμού ανδρών και γυναικών, όλοι είναι ζευγαρωμένοι 4 / 10
(παντρεύονται), γιατί άπαξ και μια γυναίκα ταχθεί σε κάποιον, θα είναι ταγμένη μέχρι τέλους είτε σε αυτόν είτε σε κάποιον άλλον και δεν δύναται να μείνει γυναίκα άτακτη, καθότι εν τη ανάγκη, κάποιος άντρας θα προτείνει σε όλες τις γυναίκες και η άτακτη είναι αναγκασμένη να δεχθεί. Δεύτερον, όλοι οι γάμοι είναι σταθεροί. Υποθέτοντας ότι στο τέλος, ο άντρας Α και η γυναίκα Γ είναι δεσμευμένοι, αλλά όχι μεταξύ τους ενώ θα το ήθελαν αμφότεροι, οδηγούμαστε σε ατόπημα, καθώς εάν ο Α προτιμούσε την Γ από την τρέχουσα γυναίκα του, τότε θα της είχε προτείνει νωρίτερα και συνεπώς, αν και η Γ προτιμούσε τον Α από τον τρέχοντα άνδρα της, θα τον είχε δεχθεί και θα είχε απορρίψει τον τρέχοντα για χάρη του. Αναφέραμε πρωτύτερα, ότι οι γυναίκες βγαίνουν ριγμένες. Αυτό σημαίνει ότι οι άνδρες τελικώς αποκτούν την προτιμότερη δυνατή επιλογή τους, ενώ οι γυναίκες την τελευταία δυνατή επιλογή. Λέμε δηλαδή ότι ο αλγόριθμος Gale-Shapley είναι άρρεν-βέλτιστος και θήλυ-χείριστος και αυτό οφείλεται στην μεροληψία, δηλαδή ότι οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις, ενώ οι γυναίκες αυτές που δέχονται. Πάρα ταύτα, οι γυναίκες έχουν την δυνατότητα να αλλάζουν σύντροφο ώστε να ευτυχίσουν περισσότερο, ενώ οι άνδρες όχι. Ας σημειωθεί, βέβαια, ότι ο αλγόριθμος έχει συμμετρία, και η εναλλαγή ρόλων μεταξύ ανδρών και γυναικών πάλι οδηγεί σε σταθερούς γάμους, με άρρεν-χείριστα και θήλυ-βέλτιστα αποτελέσματα. Ακόμα, η αποδοχή που κάναμε αρχικώς, ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή, δεν είναι αναγκαίος. Εύκολα φαίνεται, ότι στην περίπτωση που οι άνδρες είναι περισσότεροι από τις γυναίκες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν όλοι οι άνδρες είναι είτε δεσμευμένοι είτε έχουν απορριφθεί από όλες τις γυναίκες. Από την άλλη, εάν οι γυναίκες είναι περισσότερες από τους άνδρες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν έχουν δεχθεί πρόταση τότες γυναίκες, όσοι άνδρες υπάρχουν. Αν και στην περίπτωση αυτή των άνισων πληθυσμών δεν παντρεύονται όλοι, οι γάμοι είναι πάλι σταθεροί. Ο αλγόριθμος επιλογής υποψηφίων Η επέκταση του προβλήματος σταθερού γάμου στο αρχικό γενικότερο πρόβλημα επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια είναι τώρα εμφανής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι εάν ένας υποψήφιος δεν είναι κατάλληλος για ένα πανεπιστήμιο, τότε δεν του επιτρέπεται να κάνει αίτηση. O αλγόριθμος έχει ως εξής: function stableadmission { Initialize all c in C to eligible Initialize all u in U to max quota while exists eligible candidate c that still has a university U to apply to { u = c highest ranked such university if u has available quota (c, u) on waiting list else if u prefers c to some c' on waiting list (c, u) on waiting list c' becomes eligible again else c is rejected and must try next available university in next loop } } Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν κάθε υποψήφιος είναι είτε σε μία λίστα αναμονής, είτε έχει απορριφθεί από όλα τα δυνατά πανεπιστήμια. Το ότι οι αναθέσεις αυτές είναι σταθερές είναι ευθέως ανάλογο με την περίπτωση του προβλήματος σταθερών γάμων. Μένει να δειχθεί ότι η λύση αυτή είναι επίσης και η μοναδική βέλτιστη λύση. Ας αποκαλέσουμε ένα πανεπιστήμιο δυνατό για έναν υποψήφιο, όταν υπάρχει κάποια λύση του προβλήματος, κάποια σταθερή ανάθεση δηλαδή, στην οποία γίνεται δεκτός από αυτό. Έστω ότι μέχρις ενός σημείου στην πορεία των αναθέσεων, ουδείς υποψήφιος έχει απορριφθεί ακόμα από 5 / 10
κάποιο δυνατό πανεπιστήμιο. Υποθέτουμε ότι στο σημείο αυτό, το πανεπιστήμιο Α, αποδεχόμενο ένα ποσοστό q από υποψήφιους (βq), απορρίπτει τον α. Πρέπει να δειχθεί ότι το Α δεν είναι δυνατό για τον α. Για τον σκοπό αυτό, έστω ότι υπάρχει μία λύση που κάνει τον α αποδεκτό τελικώς από το Α. Τότε, κάποιος βi από τους προαναφερθέντες βq θα πρέπει να πάει σε κάποιο άλλο πανεπιστήμιο Β. Προφανώς λοιπόν, η ανάθεση αυτή δεν είναι σταθερή, γιατί ο βi προτιμά το Α από το Β, μιας και είχε γίνει ήδη αποδεκτός από αυτό. Αλλά και το Α προτιμά τον βi από τον α, αφού είχε απορρίψει τον α για χάρη του βi πρωτύτερα. Συνεπώς το Α δεν είναι δυνατό για τον α και ο αλγόριθμος απορρίπτει υποψήφιους μόνο από τα μη δυνατά για τον καθένα πανεπιστήμια. Άρα τελικώς, η λύση που δίδει είναι βέλτιστη. Ψέμματα και τρωτά σημεία του αλγόριθμου Όλα τα παραπάνω έχουν βασιστεί στην σιωπηλή υπόθεση, ότι λαμβάνουν χώρα σε έναν ιδανικό κόσμο, όπου δεν υφίσταται διαφθορά και συνεπώς όλοι οι συμμετέχοντες λένε την αλήθεια για τις προτιμήσεις τους. Ο πραγματικός κόσμος, όμως, όπως ξέρουμε όλοι, απέχει πολύ από αυτήν την εξιδανίκευση. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν κάποιος λέει ψέμματα; Μπορεί κάποιος να επιτύχει καλύτερα αποτελέσματα, με το να κρύψει την αλήθεια για τις προτιμήσεις του; Προηγούμενες μελέτες, όπως αυτή του Roth 1 δείχνουν ότι σε μια άρρεν-βέλτιστη εφαρμογή του αλγορίθμου σταθερού γάμου, οι άνδρες δεν δύνανται να επιτύχουν καλλίτερα αποτελέσματα. Αυτό είναι εν μέρη αναμενόμενο, αν και όχι προφανές, καθότι ο αλγόριθμος είναι ήδη βέλτιστος για τους άνδρες. Από την άλλη, οι Gale και Sotomayor 2 έδειξαν ότι στην εν λόγω περίπτωση, μια γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, λέγοντας ψέμματα. Η ιδέα είναι να απορρίπτει οποιονδήποτε άνδρα είναι χειρότερος από αυτόν. Έτσι, αν και οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν την πρόταση, η γυναίκα που εφαρμόζει αυτή την στρατηγική έχει καλές πιθανότητές να επιτύχει τον επιθυμητό άνδρα το μόνο που μπορεί να την εμποδίσει είναι μια άλλη γυναίκα η οποία εφαρμόζει την ίδια τακτική. Μια κατά τα φαινόμενα πιθανή λύση στο πρόβλημα αυτό, είναι να ζητηθεί από τις γυναίκες να παραδώσουν εξ αρχής μια πλήρης λίστα με τις προτιμήσεις τους σε κάποια κεντρική αρχή, όπως για παράδειγμα ένα γραφείο συνοικεσίων και να αναλάβει η αρχή αυτή να κάνει τις αναθέσεις, αντί να γίνονται αυτές διαδοχικά και κατ' ιδίαν. Πάρα ταύτα, η εργασία των Gusfield και Irving 3 δείχνει ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, κάποια πονηρή γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, εναλλάσσοντας με κάποιον συγκεκριμένο τρόπο τις καταχωρήσεις στην λίστα των προτιμήσεων. Ποίος όμως είναι ο καλλίτερος δυνατός άνδρας για μία γυναίκα; Ο ιδανικός άνδρας που ίσως έχει αυτή στο μυαλό της πιθανόν να μην είναι δυνατός, γιατί μπορεί αυτός να την έχει τελευταία στην λίστα και να μην τύχει να της κάνει πρόταση ποτέ. Πρέπει λοιπόν με κάποιον τρόπο η γυναίκα να τον αναγνωρίσει εξ αρχής, ώστε να μπορέσει στην συνέχεια, κατά την διαδικασία της επιλογής, ή μέσω της παρακεχαραγμένης λίστας να κλέψει. Αν υποθέσουμε, σε μια παραλλαγή της διαδικασίας επιλογής, ότι μια γυναίκα μπορεί να αρνηθεί έναν άνδρα, τότε η στρατηγική ευρέσεως του καλλίτερου δυνατού άνδρα είναι μάλλον προφανής αρκεί η γυναίκα να αρνηθεί τους πάντες και έχοντας μελετήσει τις προτιμήσεις όλων τον ανδρών, οι οποίες πια έχουν φανερωθεί, ξέρει ποιόν να προτιμήσει στην δεύτερη ευκαιρία, την επόμενη δηλαδή εκτέλεση της διαδικασίας, αφού έχοντας μείνει αυτή ελεύθερη, το πρόβλημα δεν έχει λυθεί και πρέπει να επανεπιχειρηθεί. Από την άλλη, αν δεν δώσουμε στις γυναίκες την δυνατότητα να αρνηθούν κάποιον άνδρα ως ακατάλληλο, τότε η εύρεση του καλλίτερου δυνατού γίνεται δυσκολότερη, και παύει να είναι 1 Roth, A.E. (1982). The Economics of Matching: Stability and Incentives. Mathematics of Operations Research 7 617-628. 2 Gale, D., M. Sotomayor (1985b). Ms Machiavelli and the Stable Matching Problem. American Mathematical Monthly 92 261-268. 3 Gusfield, D., R. W. Irving (1989). The Stable Marriage Problem: Structure and Algorithms, MIT Press, Massachusetts. 6 / 10
δεδομένη. Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη στρατηγική εξαπάτησης για μία γυναίκα, έχει διατυπωθεί από τους Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan 4 : 1. Εκτελούμε τον άρρεν-βέλτιστο αλγόριθμο με την πραγματική λίστα προτιμήσεων της γυναίκας Γ. Σημειώνουμε όλους τους άνδρες οι οποίοι της έκαναν πρόταση. Έστω ο άρρενβέλτιστος άνδρας για την Γ ο Α και Π(Α,Γ) η πραγματική λίστα προτιμήσεων Π(Γ) 2. Έστω ότι ο Α έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μεταφέροντας τον Α στην κορυφή της λίστας Π(Α,Γ), έχουμε την παρακεχαραγμένη λίστα Π(Α,Γ) όπου τώρα ο Α είναι ο άρρεν-βέλτιστος για την Γ. Ονομάζουμε τον Α δυνατό για την Γ. 3. Επαναλαμβάνουμε το βήμα (2) για κάθε άνδρα που έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μέτα την επανάληψη, λέμε ότι ο άνδρας Α, ο πραγματικός άρρεν-βέλτιστος δηλαδή, έχει εξαντληθεί. 4. Εάν ένας δυνατός άνδρας για την Γ, έστω ο Α, δεν έχει εξαντληθεί, τότε εκτελούμε πάλι τον αλγόριθμο του βήματος (1), αλλά με την λίστα Π(Α,Γ). Βρίσκουμε νέου δυνατούς άνδρες για την Γ, επαναλαμβάνουμε για κάθε έναν από αυτούς το βήμα (2) και ορίζουμε τον Α εξαντλημένο. 5. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 4, μέχρις ότου όλοι οι δυνατοί άνδρες για την Γ έχουν εξαντληθεί. Έστω Ε το σύνολο όλων των εξαντλημένων (και άρα δυνατών) ανδρών για την Γ. 6. Μεταξύ των ανδρών στο Ε, έστω Α* ο προτιμότερος της Γ. Τότε η λίστα Π(Α*,Γ) είναι η βέλτιστη στρατηγική για την Γ. Η στρατηγική αυτή, δεν έχει εγγυημένα αποτελέσματα, όμως. Η επιρροή των γυναικών, ακόμα κι έτσι είναι περιορισμένη εκ των πραγμάτων. Ένα απλό παράδειγμα που το αποδεικνύει είναι η περίπτωση όπου έκαστος άνδρας επιθυμεί μία συγκεκριμένη γυναίκα την οποία δεν επιθυμεί κανείς άλλος. Τότε ο αλγόριθμος τερματίζει μετά την πρώτη εκτέλεση του βρόγχου και οι γυναίκες δεν έχουν καμία δυνατότητα να αλλάξουν το αποτέλεσμα. Συνεπώς, γεννάται το ερώτημα του κατά πόσον μπορεί να ωφεληθεί κανείς προσπαθώντας να εξαπατήσει, κατά πόσον αυτό είναι εύκολο και τελικά, συναρτήσει των δύο προηγουμένων ερωτήσεων, του κατά πόσον αξίζει κανείς να το επιχειρήσει. Η απάντηση στα ερωτήματα αυτά δεν είναι εύκολη. Οι Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan κλείνουν την ανάλυσή τους με την διαπίστωση ότι τελικά, δεν αξίζει τον κόπο να το επιχειρήσει κανείς. Από την άλλη, ο Chien- Chung Huang 5 σε μια σχετική εργασία του, κάνει μια πολύ εκτενέστερη ανάλυση. Μελετά τις περιπτώσεις όπου υποομάδες των ατόμων που δύνανται να ωφεληθούν με την εξαπάτηση, σχηματίζουν συμμαχίες και διακρίνει περιπτώσεις. Αποδεικνύει ότι σε κάθε συμμαχία, χρειάζεται να υπάρχουν άτομα τα οποία δεν έχουν τίποτα να κερδίσουν με την εξαπάτηση, αλλά τα οποία δρουν ως καταλύτες, βοηθώντας τους υπόλοιπους στην συμμαχία, αν θέλουν να επιτύχουν αισθητά αποτελέσματα. Το κακό με αυτό είναι ότι τα άτομα αυτά, είναι δύσκολο να βρεθούν, δεδομένης της ελλείψεως κινήτρου. Ακόμα, όταν σχηματίζονται συμμαχίες, υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο από την αρχική ομάδα, το οποίο θα βγει ριγμένο δεν γίνεται δηλαδή να βγουν όλοι κερδισμένοι μέσω μιας ομαδικής εργασίας. Αυτό δημιουργεί επιπλέον προβλήματα, γιατί κάποιοι που μπαίνουν στον πειρασμό να εξαπατήσουν, μπορεί να απέχουν τελικά, εξ αιτίας ηθικών διλημμάτων, εν τη γνώσει αυτή. Πάρα ταύτα, το πρόβλημα έλλειψης κινήτρου, μπορεί εν μέρει να ξεπεραστεί, εφαρμόζοντας μια τεχνική τυχαίας εξαπάτησης, όπου όλοι όσοι συμμετέχουν έχουν καλές πιθανότητες να πετύχουν ένα καλλίτερο αποτέλεσμα, με το ρίσκο όμως του να τους τύχει κάποιο χειρότερο. Τέλος, ο Chien-Chung Huang μελετά έναν ακόμα λόγο του να εξαπατήσει κανείς, πέραν του προαναφερθέντα για το μεγαλύτερο όφελος την περίπτωση όπου κάποιος κακοήθης, λέει ψέμματα, για να βλάψει κάποιον άλλον, άσχετα με το αποτέλεσμα που θα έχει αυτό στο δικό του άμεσο 4 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 6. 5 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 4 7 / 10
όφελος. Αποδεικνύει ότι είναι δυνατόν ένας άνδρας να βλάψει κάποιον άλλον, κάνοντας πρόταση όχι στην γυναίκα που τον ενδιαφέρει άμεσα, αλλά σε αυτήν που ενδιαφέρει το θύμα, και μάλιστα υπάρχει τρόπος να το κάνει αυτό, χωρίς να αλλάξει το δικό του τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή χωρίς να βλάψει το δικό του άμεσο όφελος. Το ότι μπορεί να το κάνει κάποιος αυτό χωρίς προσωπική ζημία σημαίνει αμέσως ότι είναι και πολύ πιθανόν να γίνει στην πράξη, οπότε το να είναι κανείς τίμιος είναι τελικά κακή στρατηγική. Αν και τα συμπεράσματα των Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan φαίνεται να έρχονται σε αντίθεση με αυτά του Chien-Chung Huang σε πρώτη φάση, μπορεί κανείς να πει ότι τελικώς από μίαν άποψη συμφωνούν. Δεδομένου του πόσο δύσκολο είναι κανείς να κλέψει, αν και αυτό μπορεί να αποδώσει σημαντικά υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και να προστατέψει, είναι μάλλον ασύμφορο από άποψη οικονομίας χρόνου και ενέργειας. Εφαρμογές του αλγόριθμου στον πραγματικό κόσμο Ίσως με όλες αυτές τις υποθέσεις και τις εξιδανικεύσεις που έχουν γίνει στην ανάλυση του αλγορίθμου Gale-Shapley, να αναρωτάται κανείς κατά πόσον είναι αυτός εφαρμόσιμος σε αληθινά περιστατικά. Αν και δεν υπάρχουν αναφορές για την αξιοποίησή του στην επίλυση του αρχικού προβλήματος επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια, παρόλο που υπάρχουν εργασίες που ισχυρίζονται ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να αποδώσει σε χώρες με συστήματα εισαγωγής όπως της Ελλάδος και της Σιγκαπούρης, έχει βρει εφαρμογή σε ένα παρεμφερές πρόβλημα, την ανάθεση κλινικής σε φοιτητές ιατρικής στις ΗΠΑ. Όταν ένας φοιτητής ιατρικής αποφοιτήσει και έρθει η ώρα να κάνει την ειδίκευσή του, επισκέπτεται έναν αριθμό από κλινικές ανά την χώρα, δίδοντας συνεντεύξεις. Μετά το πέρας της περιοδείας αυτής, στέλνει μια λίστα στον εθνικό οργανισμό υγείας, με τις κλινικές κατά σειρά προτίμησης και το ίδιο κάνουν και οι κλινικές για τους φοιτητές αντίστοιχα. Εκεί, οι λίστες επεξεργάζονται από υπολογιστές και με την εφαρμογή του αλγορίθμου Gale-Shapley βγάζουν της αναθέσεις με προτεραιότητα την σταθερότητα των αποτελεσμάτων. Αν και αυτό ακούγεται καλό αρχικά, έχουν σημειωθεί σημαντικές αντιθέσεις στην πρακτική αυτή από τους φοιτητές και αυτό οφείλεται όπως θα περίμενε κανείς στην μεροληψία του αλγορίθμου. Αν και στην αρχή του κειμένου, ισχυριστήκαμε ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές, δεν συμβαίνει το ίδιο και με τις κλινικές τον προνομιακό ρόλο των ανδρών αναλαμβάνουν εδώ οι κλινικές, με αποτέλεσμα οι φοιτητές να αισθάνονται ριγμένοι. Βάσει τούτου, έχουν γίνει αρκετές εκλύσεις για την εύρεση ενός παραλλαγμένου αλγορίθμου, ο οποίος να υποδεικνύει αμεροληψία, η αλλιώς να είναι συμμετρικός ως προς τα αποτελέσματα στην εναλλαγή ανδρών-γυναικών. Παρ' όλες τις προσπάθειες, κάτι τέτοιο δεν έχει βρεθεί και το πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα. Μια άλλη πιο σύγχρονη εφαρμογή που μπορεί να βρει ο αλγόριθμος αυτός είναι στην μοντελοποίηση των εμπορικών δικτύων και τα οικονομικά που βασίζονται σε πράκτορες. Στα παίγνια εμπορικών δικτύων (TNG), ο κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει τους συνεργάτες με τους οποίους θα συνδιαλλαγεί, όπως και την στρατηγική που θα εφαρμόσει στην σχέση του με καθέναν από αυτούς, κάτι που θυμίζει την παραλλαγή που εξετάστηκε στην υπόθεση της εξαπάτησης. Έχουν εξεταστεί δύο διαφορετικά μοντέλα αγοράς, ένα στο οποίο υπάρχουν μόνο καθαροί αγοραστές και πωλητές και ένα στο οποίο υπάρχουν επίσης αμιγώς αγοραστές/πωλητές 6. Ο αλγόριθμος που έχει χρησιμοποιηθεί στην μελέτη αυτή είναι της καθυστερημένης επιλογής και άρνησης (DCR), μια παραλλαγή του Gale-Shapley που έχει αναπτυχθεί συγκεκριμένα για να χειρίζεται διπλής φοράς, ενδογενείς και μερικώς ρευστές δομές αγοράς, όπου ο κάθε αγοραστής και ο κάθε πωλητής έχουν αυθαίρετα νούμερα προσφορών που μπορούν να κάνουν. Τα αποτελέσματα του DCR έχει αποδειχθεί ότι έχουν τις ιδιότητες της σταθερότητας και της Pareto βελτιστοποίησης που έχουν και αυτά του Gale-Shapley 7. 6 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 5 7 Tesfatsion, L. (1997a). A Trade Network Game with Endogenous Partner Selection," in Computational Approaches to Economic Problems (H. Amman, B. Rustem, A. B. Whinston, Eds.) 8 / 10
Τα συμπεράσματα από την μελέτη υποδηλώνουν την ύπαρξη πολλαπλών ισορροπιών Nash στα παίγνια όπου συμμετάσχουν οι συμβαλλόμενοι σε τέτοια μοντέλα αγοράς και δίνουν μια κατεύθυνση για περαιτέρω μελέτη. Ακόμα, φαίνεται ότι τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των αναθέσεων που σχηματίζονται ανάμεσα στους συμβαλλόμενους, δηλαδή η σταθερότητα και η Pareto 8 βελτιστοποίηση δεν είναι επαρκή, καθώς έχουν σχεδιαστεί για στατικές αγορές. Αυτό σημαίνει ότι η αξιολόγηση της απόδοσης του DCR πρέπει να γίνει στα πλαίσια μιας δυναμικής αγοράς, αν θέλουμε να πλησιάσουμε περισσότερο την συμπεριφορά των πραγματικών αγορών. Σύνοψη Στις δεκαετίες που έχουν περάσει από την δημοσίευση του αλγορίθμου Gale-Shapley για την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, έχουν γίνει πολλές κατοπινές μελέτες και έχουν εφευρεθεί αρκετές παραλλαγές, κατάλληλες η κάθε μία για διαφορετικά αλλά παρόμοια προβλήματα. Αυτή η ευπλαστία που τον χαρακτηρίζει, σε συνδυασμό με την απλότητα που τον διέπει είναι που του δίνουν μια διαχρονική αξία και που έχουν συμβάλει τόσο στην διάδοσή του και την εφαρμογή του σε τόσο διαφορετικούς τομείς. Οι ίδιοι οι συγγραφείς στο τέλος της δημοσίευσης καταπιάνονται με το θέμα του τι είναι τελικώς τα μαθηματικά, τι είναι αυτό που τα κάνει να ξεχωρίζουν τόσο από τις άλλες επιστήμες, βασισμένοι στο γεγονός ότι το άρθρο τους είναι σαφώς μαθηματικού χαρακτήρα, αν και δεν περιέχει ούτε έναν μαθηματικό τύπο. Διατείνονται ότι αυτό που κάνει τα μαθηματικά αυτό που είναι, είναι στην ουσία η ίδια η προσπάθεια που πρέπει να καταβάλει κανείς για να συλλάβει και να κατανοήσει τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που παρουσιάζονται μέσα από αυτά. Έτσι, ισχυρίζονται ότι το συγκεκριμένο άρθρο μπορεί να χρησιμεύσει ακόμα και σε εκπαιδευτικούς σκοπούς, ως παράδειγμα για την φύση των μαθηματικών, μία ακόμα ξεχωριστή χρήση δηλαδή, ανάμεσα στις τόσες που έχει βρει. 8 Vilfredo Pareto (γεννηθείς 1848), Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. 9 / 10
Βιβλιογραφία 1. D. Gale, and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962. 2. Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/stable_marriage_problem 3. Harry Mairson : "The Stable Marriage Problem", The Brandeis Review 12, 1992 4. Chien-Chung Huang: How Hard is it to Cheat in the Gale-Shapley Stable Matching Algorithm?, Technical Report TR2005-565, Department of Computer Science, Dartmouth College 5. Leigh Tesfatsion: Gale-Shapley Matching in an Evolutionary Trade Network Game, ISU Economic Report No. 43, 1998 6. Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, and Wee-Peng Tan: Gale-Shapley Stable Marriage Problem Revisited: Strategic Issues and Applications, Department of Decision Sciences, Faculty of Business Administration, National University of Singapore, and Operations Research Center, MIT, 1999 10 / 10