6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

Transcript

1 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά αποτελέσματα ενός χρήσης του να εμφανίζονται σε λιγότερο από 10 ημέρες. Από την εφαρμογή ενός θεραπείας σε ένα τυχαία επιλεγμένο δείγμα ατόμων που πάσχουν από την ασθένεια, ο μέσος χρόνος εμφάνισης ευεργετικών αποτελεσμάτων εκτιμήθηκε σε 9 ημέρες. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι με τη χρήση του νέου φαρμάκου ότι ο μέσος χρόνος εμφάνισης των πρώτων θετικών αποτελεσμάτων είναι μικρότερος από 10 ημέρες; Η απάντηση δεν είναι αυτονόητη. Το γεγονός ότι ένα μοναδικό δείγμα έδωσε εκτίμηση του μέσου χρόνου εμφάνισης θετικών αποτελεσμάτων μικρότερο από 8 ημέρες δεν αρκεί για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα. Έχουμε βέβαια μια ένδειξη, η οποία ενός, σε καμία περίπτωση, δεν συνιστά απόδειξη. Γιατί συμβαίνει αυτό; Σκεφτείτε ότι ένα δεύτερο δείγμα εκτιμά το μέσο χρόνο εμφάνισης θετικών αποτελεσμάτων σε 9 ημέρες, ένα τρίτο δείγμα τον εκτιμά σε 11 ημέρες, κ.ο.κ. Διαφορετικά δείγματα, δίνουν διαφορετικές εκτιμήσεις. Ενός μπορούμε τώρα να πούμε για τον μέσο χρόνο εμφάνισης των πρώτων θετικών αποτελεσμάτων; Ενός δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω κάνουμε μία έρευνα για το βάρος των παιδιών ηλικίας 10 ετών, και ότι μας ενδιαφέρει να εντοπίσουμε διαφορές ή ομοιότητες ανάμεσα στο βάρος των παιδιών στα μεγάλα Αστικά Κέντρα και στην Επαρχία. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε δύο τυχαία δείγματα. Το πρώτο δείγμα, από τα Αστικά Κέντρα εκτιμά το μέσο βάρος των παιδιών από τα Αστικά κέντρα σε 1 Kgr. Το δεύτερο δείγμα, από την Επαρχία, εκτιμά το μέσο βάρος των παιδιών σε 19 Kgr. Μπορούμε, με βάση αυτά τα δεδομένα να ισχυριστούμε ότι το μέσο των παιδιών ηλικίας 10 ετών στα μεγάλα Αστικά Κέντρα είναι διαφορετικό από το μέσο βάρος των παιδιών ενός ενός ηλικίας στην Επαρχία ; Η απάντηση είναι όχι, δεν μπορούμε να αποφασίσουμε. Η παρατηρούμενη διαφορά μεταξύ των δύο εκτιμήσεων X 1 X 19 ) δεν συνεπάγεται και διαφορά μεταξύ των δύο παραμέτρων 1 και. ( 1 1 Με την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων, καθώς και άλλων παρόμοιων, ασχολείται ο κλάδος ενός Στατιστικής που είναι γνωστός ως Επαγωγική Στατιστική (Inferential Statistics). Οι Έλεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) είναι εκείνες οι μεθοδολογίες που ενός επιτρέπουν να διερευνήσουμε την ισχύ (την αλήθεια) μιας στατιστικής υπόθεσης, δηλαδή μιας πρότασης που αφορά κάποια παράμετρο ενός ή και περισσοτέρων πληθυσμών.

2 58 6 ο Μάθημα 6. Η Διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων Η διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων στηρίζεται στην αντιπαράθεση δύο αντιφατικών προτάσεων. Η μία πρόταση ονομάζεται Μηδενική Υπόθεση και συμβολίζεται με 0. Η άλλη πρόταση ονομάζεται Εναλλακτική Υπόθεση, συμβολίζεται με 1 και είναι η λογική άρνηση της 0. Έτσι, τελικά, επιλέγεται ως αληθής μία μόνον από τις δύο προτάσεις. Κατά τη διαδικασία ενός ελέγχου υποθέσεων είναι δυνατόν να διαπράξουμε τα παρακάτω σφάλματα: 1 ον : Να απορρίψουμε την Η 0, ενώ αυτή είναι αληθής. Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι. ον : Να μην απορρίψουμε την Η 0, ενώ αυτή είναι ψευδής. Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ ΙΙ. Ονομάζουμε επίπεδο σημαντικότητας, και συμβολίζουμε με το Ελληνικό γράμμα, την πιθανότητα να διαπράξουμε Σφάλμα Τύπου Ι. Παρόλο που επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α ανήκει στον ερευνητή, ως πλέον ενδεδειγμένη τιμή στις εφαρμογές θεωρούμε την τιμή α = Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα Τύπου ΙΙ, συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα β. Τέλος, η πιθανότητα να απορρίψουμε την Η 0 όταν αυτή είναι λανθασμένη ονομάζεται δύναμη του ελέγχου και είναι ίση με γ = 1 β. Η γενική διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα: Βήμα 1 ο : Ορίζονται η Μηδενική Υπόθεση 0 και η Εναλλακτική Υπόθεση 1 Βήμα ο : Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας (Σφάλμα Τύπου Ι) Βήμα 3 ο : Βήμα 4 ο : Βήμα 5 ο : Από τα δεδομένα του δείγματος (ή των δειγμάτων) υπολογίζεται η τιμή του κατάλληλου στατιστικού S. Βρίσκουμε την κριτική τιμή του ελέγχου, από τον κατάλληλο στατιστικό πίνακα. Συγκρίνουμε την τιμή του στατιστικού S με την κριτική τιμή και παίρνουμε την απόφαση. Αν S της Κριτικής Τιμής τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την αλήθεια της Υπόθεσης Η 1. Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να στηρίζουν την αλήθεια της Υπόθεσης Η 1. Μαρίνα Σύρπη

3 Έλεγχοι Υποθέσεων Έλεγχοι Υποθέσεων για τη Μέση Τιμή ενός Πληθυσμού Πληθυσμός Κανονικός Άγνωστη Διασπορά σ Αμφίπλευρος Έλεγχος ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μέγεθος Δείγματος: n Δειγματική Μέση Τιμή: Χ Δειγματική Διασπορά: s ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Η 0 : μ = μ 0 Η 1 : μ μ 0 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ X 0 S s n ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΙΜΗ Για μεγάλα δείγματα n 30 η κριτική τιμή είναι Για μικρά δείγματα n 30 η κριτική τιμή είναι η t (ΘΑ ΣΑΣ ΔΙΝΕΤΑΙ) Z a n 1; a ΑΠΟΦΑΣΗ Αν S της Κριτικής Τιμής δεκτή η εναλλακτική. Z a ή tn 1; a τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Σημειώσεις Στατιστικής

4 60 6 ο Μάθημα 6.3. Μονόπλευροι Έλεγχοι ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μέγεθος Δείγματος: n Δειγματική Μέση Τιμή: Χ Δειγματική Διασπορά: s ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Η 0 : μ = μ 0 Η 1 : μ > μ 0 ή Η 0 : μ = μ 0 Η 1 : μ < μ 0 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ X 0 S s n ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΙΜΗ Για μεγάλα δείγματα n 30 η κριτική τιμή είναι Z a Για μικρά δείγματα n 30 η κριτική τιμή είναι η tn 1; a (ΘΑ ΣΑΣ ΔΙΝΕΤΑΙ) ΑΠΟΦΑΣΗ Αν S της Κριτικής Τιμής Z a ή tn 1; δεκτή η εναλλακτική. a τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Μαρίνα Σύρπη

5 Έλεγχοι Υποθέσεων 61 Παράδειγμα 1 (Έλεγχος για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού δείγμα μεγάλο, n 30 ) Ας υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά αποτελέσματα της χρήσης του να εμφανίζονται σε λιγότερο από 10 ημέρες. Από την εφαρμογή της θεραπείας σε 49 τυχαία επιλεγμένα άτομα που πάσχουν από την ασθένεια, ο μέσος χρόνος εμφάνισης ευεργετικών αποτελεσμάτων εκτιμήθηκε σε X 9 ημέρες και η τυπική απόκλιση σε s ημέρες. ( α ) Είναι, ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων διαφορετικός από τις 10 ημέρες; ( β ) Είναι, ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων μικρότερος από τις 10 ημέρες; Λύση Η μορφή της ερώτησης που θέτουμε καθορίζει την επιλογή του ζεύγους των υποθέσεων, με εναλλακτική υπόθεση 1 να εκφράζει αυτό που ρωτάμε. Κατά κανόνα, η εναλλακτική υπόθεση είναι η επιστημονικά ενδιαφέρουσα υπόθεση, αυτή που θέλουμε να επιβεβαιώσουμε ότι ισχύει. Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Διαφέρει ο μέσος από μια δεδομένη τιμή 0» ή «Είναι διαφορετικός ο μέσος από μία δεδομένη τιμή 0» έχουμε την εναλλακτική H : (Έλεγχος αμφίπλευρος) Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μεγαλύτερος από μία δεδομένη τιμή 0» έχουμε την εναλλακτική H : (Έλεγχος μονόπλευρος) Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μικρότερος από μία δεδομένη τιμή 0» έχουμε την εναλλακτική H : (Έλεγχος μονόπλευρος) Σε κάθε περίπτωση η μηδενική υπόθεση, υποστηρίζει τον ακριβώς αντίθετο ισχυρισμό. Σημειώσεις Στατιστικής

6 6 6 ο Μάθημα ( α ) Είναι, ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων διαφορετικός από τις 10 ημέρες; Θα επιλέξουμε έλεγχο με εναλλακτική H : ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μέγεθος Δείγματος: n μεγάλο δείγμα Δειγματική Μέση Τιμή: X 9 Δειγματική Διασπορά: s ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ H0 : 10 (Ο μέσος χρόνος ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ διαφορετικός από 10 ημέρες) H1 : 10 (Ο μέσος χρόνος είναι διαφορετικός από 10 ημέρες) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ X S 6.85 s n 49 7 ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΙΜΗ Το δείγμα μας είναι μεγάλο n η κριτική τιμή είναι Z Z Z ΑΠΟΦΑΣΗ Επειδή Z η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων, στατιστικά, είναι σημαντικά διαφορετικός από τις 10 ημέρες. ( β ) Είναι, ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων μικρότερος από τις 10 ημέρες; Θα επιλέξουμε έλεγχο με εναλλακτική : ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ H0 : 10 (Ο μέσος χρόνος ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ μικρότερος από 10 ημέρες) H1 : 10 (Ο μέσος χρόνος είναι μικρότερος από 10 ημέρες) Μαρίνα Σύρπη

7 Έλεγχοι Υποθέσεων 63 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ X S 6.85 s n 49 7 ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΙΜΗ Το δείγμα μας είναι μεγάλο n επομένως η κριτική τιμή είναι Z Z ΑΠΟΦΑΣΗ Επειδή S η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων είναι, στατιστικά, σημαντικά μικρότερος από 10 ημέρες. Παράδειγμα (Έλεγχος για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού δείγμα μικρό, n 30 ) Ας υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά αποτελέσματα της χρήσης του να εμφανίζονται σε λιγότερο από 10 ημέρες. Από την εφαρμογή της θεραπείας σε 5 τυχαία επιλεγμένα άτομα που πάσχουν από την ασθένεια, ο μέσος χρόνος εμφάνισης ευεργετικών αποτελεσμάτων εκτιμήθηκε σε X 9 ημέρες και η τυπική απόκλιση σε s ημέρες. Σε επίπεδο σημαντικότητας 0. 05, να ελέγξετε εάν η φαρμακευτική εταιρεία έχει πετύχει το στόχο της, υποθέτοντας ότι έχουμε Κανονική Κατανομή. Λύση Επιλέγουμε έλεγχο με εναλλακτική H : ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μέγεθος Δείγματος: n 5 30 μικρό δείγμα Δειγματική Μέση Τιμή: X 9 Δειγματική Διασπορά: s ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ H0 : 10 (Ο μέσος χρόνος ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ μικρότερος από 10 ημέρες) H1 : 10 (Ο μέσος χρόνος είναι μικρότερος από 10 ημέρες) Σημειώσεις Στατιστικής

8 64 6 ο Μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟΥ X S 4.89 s n 5 5 ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΙΜΗ Το δείγμα μας είναι μικρό n 5 30 επομένως η κριτική τιμή είναι t t t n 1; a 5 1;0.05 4; ΑΠΟΦΑΣΗ Επειδή S η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος εμφάνισης των θετικών αποτελεσμάτων είναι, στατιστικά, σημαντικά μικρότερος από τις 10 ημέρες. Παράδειγμα 3 Για τη μελέτη του δείκτη μάζας σώματος των ενήλικων ανδρών, επιλέξαμε ένα τυχαίο δείγμα 49 ατόμων. Ενδιαφερόμαστε να μάθουμε, εάν ο ΔΜΣ αυτού του πληθυσμού είναι μεγαλύτερος από το 5, που θεωρείται ως το ανώτερο όριο ΔΜΣ για άτομα με φυσιολογικό βάρος. Από το δείγμα υπολογίστηκε X 7 και s 4. ( α ) Ποιός είναι ο πληθυσμός και ποια η μεταβλητή που μελετούμε. ( β ) Να υπολογίσετε και να ερμηνεύσετε το 95 % διάστημα εμπιστοσύνης, για το μέσο ΔΜΣ των ενήλικων ανδρών που ασκούν καθιστικό επάγγελμα. ( γ ) Να διεξαχθεί ο κατάλληλος έλεγχος υποθέσεων, προκειμένου να ελεγχθεί εάν ο ΔΜΣ των ενηλίκων ανδρών είναι μεγαλύτερος από 5. Λύση ( α ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: Δείκτης μάζας σώματος ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: Ενήλικες άνδρες ( β ) 95% δ.ε n (Μεγάλο δείγμα) Z Z Z s 4 4 Z , 8. 1 n 49 7 Μαρίνα Σύρπη

9 Έλεγχοι Υποθέσεων 65 Με πιθανότητα σφάλματος εκτιμούμε ότι, ο μέσος ΔΜΣ των ενηλίκων ανδρών, βρίσκεται εντός των ορίων 8.88 και 8.1. ( γ ) Επιλέγουμε έλεγχο με εναλλακτική H : H0 : 5 H1 : 5 X S 3.5 s 4 4 n 49 7 Το δείγμα μας είναι μεγάλο n 49 30, επομένως η κριτική τιμή είναι Z Z Επειδή Z η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος ΔΜΣ των ενηλίκων ανδρών, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 5. Παράδειγμα 4 Ο μέγιστος όγκος πρόσληψης οξυγόνου (VO ) των υγειών ατόμων είναι 37 ml/kgr. Ένα ερευνητής ενδιαφέρεται να δει εάν η παραπάνω τιμή αυξάνεται για τους αθλητές του βάδην. Για το σκοπό αυτό μέτρησε τον όγκο πρόσληψης οξυγόνου (σε ml/kgr) 5 βαδιστών, και βρήκε X 47.5 και s 4.8. ( α ) Ποιός είναι ο πληθυσμός και ποια η μεταβλητή που μελετούμε. ( β ) Να υπολογίσετε και να ερμηνεύσετε το 95 % διάστημα εμπιστοσύνης, για το μέσο όγκο πρόσληψης οξυγόνου των βαδιστών. ( γ ) Να διεξαχθεί ο κατάλληλος έλεγχος υποθέσεων, προκειμένου να ελεγχθεί εάν μέσος όγκος πρόσληψης οξυγόνου των βαδιστών είναι μεγαλύτερος από 37 ml/kgr. Λύση ( α ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: Όγκος πρόσληψης οξυγόνου (ml/kgr) ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: Οι αθλητές του βάδην ( β ) 95% δ.ε n 5 30 (Μικρό δείγμα) Σημειώσεις Στατιστικής

10 66 6 ο Μάθημα t t t. 069 ; n ; 4 ; 5 1 s t , 49. ; n n Με πιθανότητα σφάλματος εκτιμούμε ότι, ο μέσος όγκος πρόσληψης οξυγόνου των αθλητών βάδnν, βρίσκεται εντός των ορίων 45. ml/kgr και 49. ml/kg.. ( γ ) Επιλέγουμε έλεγχο με εναλλακτική H : H0 : 37 H1 : 37 X S s n 5 5 Το δείγμα μας είναι μικρό n 5 30, επομένως η κριτική τιμή είναι t t t n 1; a 5 1;0.05 4; Επειδή S η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος όγκος πρόσληψης οξυγόνου των αθλητών βάδην, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 37 ml/kg. Μαρίνα Σύρπη

11 Έλεγχοι Υποθέσεων 67 Ασκήσεις 1. Η βαθμολογία των φοιτητών του τμήματος Φυσικοθεραπείας στο μάθημα της Στατιστικής ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο 75 μονάδες. Στην τελευταία εξεταστική, ένα δείγμα 64 τυχαία επιλεγμένων γραπτών έδωσε μέση βαθμολογία 73 μονάδες και τυπική απόκλιση 16 μονάδες. Για επίπεδο σημαντικότητας α = να ελέγξετε αν κατά την τελευταία εξεταστική η μέση βαθμολογία έχει διαφοροποιηθεί.. Ο μέσος χρόνος αποστολής και παραλαβής ενός ηλεκτρονικού μηνύματος είναι 3 sec. Μετά από κάποιες παρεμβάσεις στο σύστημα και από ένα δείγμα 100 μηνυμάτων, ο μέσος χρόνος αποστολής και παραλαβής εκτιμήθηκε σε.8 sec και η τυπική απόκλιση σε 0.1 sec. Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 να ελέγξετε αν μετά τις παρεμβάσεις ο μέσος χρόνος αποστολής / παραλαβής μηνυμάτων έχει μειωθεί. 3. Η εβδομαδιαία απασχόληση των εργαζομένων στον Ιδιωτικό Τομέα ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με μέσο 45 h την εβδομάδα. Από 16 υπαλλήλους μιας Εταιρείας Α που επελέγησαν τυχαία ο μέσος χρόνος απασχόλησης υπολογίστηκε σε 46 h και η τυπική απόκλιση σε 1 h. Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 να ελέγξετε αν η μέση εβδομαδιαία απασχόληση των υπαλλήλων Εταιρείας Α, υπερβαίνει τις 45 h την εβδομάδα. 4. Ένας υποψήφιος επενδυτής θέλει να αποφασίσει για την ενοικίαση ενός περιπτέρου σε ένα συγκεκριμένο πολυσύχναστο σημείο. Από παλαιότερη εμπειρία γνωρίζει ότι η ενοικίαση θα είναι συμφέρουσα αν ο μέσος αριθμός των διερχομένων από το σημείο είναι μεγαλύτερος από 0 το λεπτό. Επιλέγοντας τυχαία 36 διαφορετικά λεπτά, βρήκε ότι ο αριθμός των διερχομένων ακολουθεί Κανονική Κατανομή με μέσο πλήθος διερχομένων και τυπική απόκλιση 5. Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 να ελέγξετε αν η ενοικίαση του περιπτέρου είναι συμφέρουσα. Σημειώσεις Στατιστικής