Applicaioni Semispaio elastico lineare isotropo: E, ν ) Tensioni oriontali litostatiche dalle e. indefinite di euilibrio condiioni di simmetria indefinita (ε ν h ε ε ): ε h [ h ν( h v )] h ( ν) νv h v E ν ma: difficoltà di misura di ν, ambiguità tensioni totali/efficaci, evidene sperimentali Quindi (no meo elastico): h () K vo ) Carico superficiale infinitamente esteso ( indefinito ) h ( ) v ( ) γ h ( ) Caso generale (III euaione indefinita di euilibrio condiione ε ε ) v( ) v ( ) γ d v ( ) Δ v ν ν h( ) ν ν ) [ v ] d ( ) γ h ( Δh OK NO: è preferibile ancora h () K v ()
Applicaioni Deformaioni indotte da carico superficiale indefinito v ( ) ε ( ) h γ h ( ) Incrementi di deformaione prodotti dal sovraccarico (solo ε sono ) ε E [ Δ ν( Δ Δ )] [ Δ νδ ] E v h E Δ v ν ν ν Δ v Δ E v ν ν ν Δ E v ed avendo posto E ed ν E ν ν modulo di compressione edometrica (altrimenti detto M v modulo di compressione unidimensionale) NB: nel meo elastico ideale E ed > E, risultando: ν E ed E ν. E ed
Applicaioni τ ν ν θ r r r F F ) F( ) ( r F Stato tensionale indotto da una fora concentrata Schema: semispaio caricato da fora concentrata F, assena di peso (γ ) coordinate cartesiane sistema (r,,θ) r, θ f(r,,ν), τ r f(r,) ν τ τ τ ν ν ) ( ) ( F F F F ) ( ) ( ) ( F ) ( ) ( ) ( F sistema (,,),, τ f(,,,ν), τ, τ f(,,) r θ F Soluione di Boussines problema assialsimmetrico coordinate cilindriche θ r τ r ) arctan( / r r θ
Applicaioni 4 Semispaio soggetto a carico lineare Problema a simmetria piana (ε ) coordinate cartesiane carico lineare p [F/L] d p γ E, ν P La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: d F (pd,p ),p, τ p 4 pν ν( ) p 4 p 4 Anche in uesto caso risulta: f (p,,,ν),, τ f (p,,) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto
Applicaioni Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare Caso ν. tensioni (kpa) 4 6 8.... (m). τ p kn/m -. m In prossimità della superficie, tutte le componenti: diventano infinitamente elevate in prossimità del punto d applicaione del carico tendono ad annullarsi rapidamente con la distana tensioni (kpa).... (m). τ 4 6 8 p kn/m - m All aumentare della profondità: le componenti lungo ( e τ ) si annullano in asse, poi aumentano e diminuiscono con la distana le componenti e sono massime in asse, poi diminuiscono con la distana
Applicaioni 6 Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare tensioni (kpa) 4 6 8 Caso ν. tensioni (kpa) 4 6 8 τ (m) (m) 4 4 τ p kn/m - p kn/m - m In asse al carico: le componenti lungo ( e τ ) si annullano le componenti e sono infinite in superficie, poi diminuiscono con la profondità A distana dal carico, tutte le componenti: si annullano in superficie aumentano e poi diminuiscono con la profondità
Applicaioni 7 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme carico nastriforme [F/L ] La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico lineare: p rdθ γ E, ν α δ θ P r θ θ τ ν( ) αν sin αsin( α δ) [ α sin αcos( α δ) ] [ α sin αcos( α δ) ], θ θ d p (p rdθ,p), Anche in uesto caso risulta: P f(p, ν),, τ f(p) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto
Applicaioni 8 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuione delle tensioni in asse Per risulta αδ :....7. / τ ν( [ α sinα] [ α sinα] ) αν e poiché è anche α arctan B gli incrementi di tensione sono esprimibili in forma adimensionale: / f(/b) si estinguono ad una distana proporionale a B (p.es. risulta <. per 4B) la componente si estingue più rapidamente della /B 4 ν.
Applicaioni 9 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Consideraioni sull euilibrio alla traslaione verticale d B.La distribuione di su piani oriontali si appiattisce all aumentare della profondità.le aree dei diagrammi sono costanti
Applicaioni Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuioni con la profondità degli incrementi di tensione verticale al variare della distana dall asse All aumentare della distana: l incremento in superficie salta da a. a gli incrementi in profondità tendono ad uniformarsi e poi anche a crescere al di fuori della fondaione
Applicaioni Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isolinee (isobare) di incrementi di tensioni principali massime ( ) e minime ( ) Entrambe le tensioni principali nel piano diminuiscono con la distana Le tensioni minime ( ) si attenuano più velocemente di uelle massime ( )
Applicaioni Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Direioni di tensioni tangeniali massime (τ ma) e principali (, ) τma, Si osserva una rotaione continua di 9 delle direioni principali e delle τ ma Dall asse della fondaione verso la superficie, da verticale diventa oriontale
Applicaioni Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isobare di tensioni tangeniali massime τ ma e tensioni verticali Le tensioni tangeniali massime aumentano e poi diminuiscono con la distana Ciò dipende dalla variaione combinata delle tensioni principali massime (τ - )
Applicaioni 4 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme: analisi FEM kpa B m Codice Plais V.8 B/ Modello Elastico E MPa ν. Modello Elasto-plastico E MPa ν. φ, c kpa
Applicaioni Confronto tra soluioni numeriche e analitiche: profili in asse Δ (kpa) - 4 6 8 Δ (kpa) - 4 6 8 - - -4-4 (m) (m) -6-8 - sigma (FEM) sigma (FEM) sigma (FEM) sigma (semispaio elastico) sigma (semispaio elastico) sigma (semispaio elastico) -6-8 - sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastoplastico) sigma (FEM elastoplastico) sigma (FEM elastoplastico)
Applicaioni 6 Isocontorni FEM di tensione verticale e oriontale Δ Δ Δ h Δ h
Applicaioni 7 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Problema a simmetria radiale coordinate polari La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: r rdθ dr rdθ dr dθ P d F ( rdθ dr, θ, r) In asse (r), gli incrementi di tensione valgono: τ h v τ τ ( ν) ( ) ( ν) Anche in uesto caso risulta: h f(p, ν), v f(p) ( )
Applicaioni 8 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Isobare degli incrementi di tensione verticale v : v a parità di larghea ( B/), gli incrementi di tensione si attenuano più rapidamente rispetto alla fondaione nastriforme
Applicaioni 9 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Isobare degli incrementi di tensioni principali (, ) e di deviatore ( - ): ( )
Applicaioni BL BL arctg L B L B Soluione di Steinbrenner (94): dove Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - I Tensioni verticali lungo uno spigolo di un area rettangolare di carico
Applicaioni Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - II Applicando il principio di sovrapposiione degli effetti, è possibile ottenere le tensioni verticali in un generico punto: lungo una verticale di bordo (sovrapposiione di aree rettangolari) P ( ABCD) P(AQPD) P(QBCP) lungo una verticale interna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) P ( ABCD) P(AQPT) P(QBP) P(PCS) P(TPSD) lungo una verticale esterna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) P ( ABCD) P (AQPT) P (BQPS) P (DPT) P (CPS)