Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Σε ένα πρώτο επίπεδο μπορούμε να θεωρήσουμε το μετασχηματιστή ως μια ιδανική συσκευή χωρίς απώλειες. Το ισοδύναμο κύκλωμα λοιπόν ενός ιδανικού μετασχηματιστή είναι το: I I + + Οι απώλειες ενός πραγματικού μετασχηματιστή μπορούν να ληφθούν υπόψη σε αυτό το ισοδύναμο κύκλωμα με τη βοήθεια ηλεκτρικών κυκλωματικών στοιχείων Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Απώλειες χαλκού: Οφείλονται στην ωμική αντίσταση των αγωγών που αποτελούν τα πηνία του μετασχηματι- στή. Οι απώλειες αυτές είναι ίσες με IR, ενώ αντιστοι- χούν σε ηλεκτρική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμό- τητα στους αγωγούς αυτούς. Αν λάβουμε υπόψη τις ωμικές απώλειες του μετασχηματιστή, το ισοδύναμο κύκλωμά του θα πάρει τη μορφή: I R I R + +
Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Απώλειες διαρροής: Οφείλονται στη μαγνητική ροή κάθε τυλίγματος που διαρρέει από τον πυρήνα στον αέρα, οπότε δεν επιδρά στο άλλο τύλιγμα. Αν το λάβουμε υπόψη, το ισοδύναμο του μετασχηματιστή θα γίνει: I R jx jx R I + + Αυτό είναι και το ισοδύναμο που χρησιμοποιούμε στην πράξη για μετασχηματιστές ισχύος 3 Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Ρεύμα μαγνήτισης: Η επίδραση του πολύ μικρού ρεύματος i ϕ που δημιουργεί τη συνολική ροή στον πυρήνα μπορεί να εκφραστεί κυκλωματικά με μια εγκάρσια αυτεπαγωγή ως εξής: I R jx jx R I + + jx ϕ 4
Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Απώλειες πυρήνα Απώλειες υστέρησης: Οφείλονται στην αναδιάταξη των μαγνητικών τμημάτων του πυρήνα, η οποία συμβαίνει σε κάθε ημιπερίοδο της τάσης εισόδου. Τα μαγνητικά πεδία των ατόμων του σιδήρου κ.α. υλικών έχουν την τάση να ευθυγραμμίζονται σε μικρές περιοχές (τομείς). Όταν εφαρμόζουμε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, όλο και περισσότεροι τομείς ευθυγραμμίζονται με αυτό, μέχρι να ευθυγραμμιστούν όλοι (κορεσμός). Αν απομακρύνουμε το εξωτερικό πεδίο, κάποιοι τομείς θα διατηρήσουν τη διεύθυνση πεδίου που τους έχει επιβληθεί. Μακροσκοπικά το υλικό θα εμφανίζει ακόμα κάποιες μαγνητικές ιδιότητες (παραμένων μαγνητισμός). Για να αλλάξει ξανά η διεύθυνση του πεδίου όλων των τομέων χρειάζεται πρόσθετη ενέργεια. 5 Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Απώλειες πυρήνα (συνέχεια) Απώλειες δινορρευμάτων Ό πυρήνας αποτελείται από σίδηρο, οπότε είναι ο ίδιος ηλεκτρικά αγώγιμος Από τη μαγνητική ροή μέσα του επάγονται λοιπόν τάσεις και ρεύματα που έχουν τη μορφή στροβίλων (δινορρεύματα). Αυτά προκαλούν θερμικές απώλειες πάνω στην ωμική αντίσταση του μετάλλου του πυρήνα Για να αποφευχθεί η ανάπτυξη δινορρευμάτων στον πυρήνα, αυτός κατασκευάζεται από λεπτά δυναμοελάσματα, τα οποία ενώνονται με ρητίνη (μονωτικό). Με τον τρόπο αυτό μειώνονται οι αγώγιμοι δρόμοι στο εσωτερικό του πυρήνα. 6 3
Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα I R jx jx R I + + jx ϕ R C 7 Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Συνολικά οι απώλειες πυρήνα εκφράζονται στο ισοδύνα- μο κύκλωμα του μετασχηματιστή με τη χρήση μιας εγκάρσιας ωμικής αντίστασης: Αυτό είναι και το πλήρες ισοδύναμο ενός μετασχηματι- στή Το πρόβλημά του πλήρους ισοδύναμου της προηγούμε- νης διαφάνειας είναι ότι είναι δύσκολο να λυθεί κυκλωμα- τικά. Για το λόγο αυτό ανάγουμε όλα τα μεγέθη της μίας πλευράς στις αντίστοιχες τιμές της άλλης, και τελικά έχουμε: R jx ja X a R + + R C jx ϕ a όπου: a = 8 4
Προσδιορισμός παραμέτρων μετασχηματιστών Ο προσδιορισμός των παραμέτρων των ισοδύναμων κυκλωμάτων που είδαμε στις προηγούμενες διαφάνειες γίνεται με δύο πειράματα: Πείραμα ανοιχτού κυκλώματος: Εφαρμογή ονομα- στικής τάσης στο πρωτεύον, ενώ στο δευτερεύον δε συνδέεται κανένα φορτίο Πείραμα βραχυκύκλωσης: Τα άκρα του δευτερεύο- ντος βραχυκυκλώνονται, ενώ στο πρωτευόν εφαρμό- ζεται μικρή τάση. Η τάση αυτή ρυθμίζεται έτσι, ώστε το ρεύμα του δευτερεύοντος να είναι ίσο με το ονομα- στικό. 9 Πείραμα ανοιχτού κυκλώματος Εφόσον δεν υπάρχει φορτίο στο δευτερεύον, η αντίσταση και η αυτεπαγωγή jx στο ισοδύναμο κύκλωμα της διαφάνειας 8 μπορούν να παραλειφθούν. Στο κύκλωμα που παραμένει, οι R C και jx ϕ είναι πολύ μεγαλύτερες από τις R και jx αντίστοιχα, οπότε οι τελευταίες μπορούν επίσης να παραλειφθούν. Το κύκλωμα που απομένει, μαζί με τα απαιτούμενα όργανα μέτρησης, είναι το: R + I A P W IC I ϕ R C jx ϕ 0 5
Πείραμα ανοιχτού κυκλώματος Το πείραμα ανοιχτού κυκλώματος μπορεί λοιπόν να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστούν οι τιμές των ηλεκτρι- κών στοιχείων του εγκάρσιου κλάδου του ισοδύναμου κυκλώματος του μετασχηματιστή Το Βαττόμετρο (όργανο μέτρησης ενεργής ισχύος), θα μετρήσει: Επομένως, η αντίσταση P= I C= R C R C θα έχει τιμή: R C = P Πείραμα ανοιχτού κυκλώματος Το ρεύμα που θα διαρρέει την αντίσταση Το ρεύμα λοιπόν της αυτεπαγωγής I = I ϕ I C Επομένως η τιμή της αυτεπαγωγής θα είναι: I C = R C jx ϕ R C θα είναι: θα είναι: X ϕ = U I ϕ 6
Πείραμα βραχυκύκλωσης Το ρεύμα προτιμά πάντα την πιο εύκολη διαδρομή! Όπως είδαμε και πριν, τα R, R, jx και jx είναι πολύ μικρότερα από τα R C και jx ϕ αντίστοιχα στο ισοδύναμο κύκλωμα της διαφάνειας 8. Αν βραχυκυκλώσουμε λοιπόν τα άκρα του δευτερεύο- ντος, σχεδόν όλο το ρεύμα θα περάσει από τα πρώτα, οπότε μπορούμε στο ισοδύναμο κύκλωμα να παραλεί- ψουμε τον εγκάρσιο κλάδο: + k P k W jx R a R ja X A I 3 Πείραμα βραχυκύκλωσης Αν θεωρήσουμε λοιπόν ότι: Z = R + a R + jx + ja X = R + jx E ολ ολ Τότε μπορούμε να υπολογίσουμε όλη τη σύνθετη αντίσταση σειράς με τη βοήθεια της σχέσης: Z E Z E = I Επίσης, γνωρίζουμε ότι το βαττόμετρο μετρά μόνο ενεργή ισχύ, άρα ουσιαστικά ωμικές απώλειες, οπότε θα είναι: k P P = I R R = I k k 4 7
Per Unit Σύστημα Στα όσα έχουμε δει μέχρι τώρα υπάρχουν διάφορα προβλήματα σε επίπεδο επίλυσης κυκλωμάτων: Όταν υπάρχει ένας ή περισσότεροι μετασχηματιστές σε ένα κύκλωμα πρέπει σε κάθε σημείο να γνωρίζουμε το ακριβές επίπεδο τάσης Σε ένα τριφασικό σύστημα πρέπει να προσέχουμε ποια μεγέθη εκφράζονται ως μονοφασικά και ποια ως τριφασικά Επίσης σε τριφασικά συστήματα πρέπει να προσέχουμε ποια μεγέθη εκφράζονται ως φασικά και ποια ως πολικά Για συσκευές όπως είναι οι μετασχηματιστές υπάρχει ένα πολύ μεγάλο εύρος ονομαστικών στοιχείων, με αποτέλεσμα να είναι δύσκολη η σύγκρισή τους Λύση: Αναγωγή όλων των μεγεθών ενός κυκλώματος σε κοινή βάση (per unit σύστημα) 5 Per Unit Βήματα: Για κάθε μέγεθος που μας ενδιαφέρει επιλέγουμε (αυθαίρετα) μια τιμή ως τιμή αναφοράς (βάση) Για κάθε τιμή που θέλουμε να μετασχηματίσουμε θα είναι: πραγματική τιμή pu τιμή = τιμή βάσης Στο κύκλωμα που θα προκύψει δε θα υπάρχει πλέον πρόβλημα διαχωρισμού μεγεθών σε μονοφασικά / τρι- φασικά, φασικά / πολικά, ή πρόβλημα διαχωρισμού δια- φορετικών επιπέδων τάσης 6 8
Per Unit Εκλογή τιμών βάσης Στην πράξη αρκεί για κάθε κύκλωμά μας να επιλέξουμε μία βάση ισχύος ( ), καθώς και μία ή περισσότερες βάσεις τάσης ( ), ανάλογα με το πλήθος των μετασχη- ματιστών στο κύκλωμα. Για τα υπόλοιπα μεγέθη και τις τιμές βάσης τους θα είναι: Βάση ρεύματος: Βάση σύνθετης αντίστασης: I Z = = 7 Per Unit Παράδειγμα Έστω το παρακάτω κύκλωμα IG :0 Iline 0 Ω j60 Ω 0 : Iload G 480 0 = 0 ka Z load 0 30 Ω α) Να υπολογιστούν όλα τα μεγέθη σε pu β) Να δημιουργηθεί το pu ισοδύναμο κύκλωμα γ) Να υπολογιστεί η ενεργή ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο δ) Να υπολογιστούν οι απώλειες ισχύος 8 9
Per Unit Παράδειγμα α) Το πρώτο βήμα είναι η επιλογή των μεγεθών βάσης: Βάση ισχύος: Αν υπάρχει πηγή (γεννήτρια) στο κύκλωμά μας, τότε συνήθως χρησιμοποιούμε την ονομαστική της ισχύ ως βάση ισχύος. Θα είναι λοιπόν: = 0kA Βάσεις τάσης: Το κύκλωμά μας έχει δύο μετασχηματιστές, χωρίζεται δηλαδή σε τρία επίπεδα τάσης. Θα επιλέξουμε λοιπόν τρεις βάσεις τάσης, ξεκινώντας από την ονομαστική τάση της γεννήτριας, και χρησιμοποιώντας σε κάθε μετασχηματιστή το λόγο μετασχηματισμού για να προσδιορίσουμε την επόμενη βάση. Άρα λοιπόν: = 480 0 = = 4800 3 = = 40 0 9 Per Unit Παράδειγμα Βάσεις ρεύματος: Προκύπτουν από τη σχέση της διαφάνειας 7. Προφανώς, για κάθε διαφορετικό επίπεδο τάσης θα υπάρχει και διαφορετική βάση ρεύματος. Θα είναι λοιπόν: I = = 0,83A 3 3 I = = 4,67A I = =,083A Βάσεις σύνθετης αντίστασης: Και αυτές προφανώς αλλάζουν κάθε φορά που αλλάζει το επίπεδο τάσης. Στην περίπτωσή μας θα έχουμε: Z = = 3,04Ω Z = = 304Ω 3 Z3 = = 5,76Ω 0 0
Per Unit Παράδειγμα Από τη στιγμή που καθορίσαμε τα μεγέθη βάσης, η μετατροπή όλων των στοιχείων του κυκλώματος είναι εύκολη. Θα πρέπει φυσικά για κάθε στοιχείο να χρησιμοποιούμε τα σωστά μεγέθη βάσης. Οι μετασχηματισμένες ποσότητες έχουν τα ίδια σύμβολα, αλλά με πεζά γράμματα. Θα είναι λοιπόν: v 480 0 G G = = = 480 Z 0 + j60 pu line zline = = = 0,0087 + j0,06 pu Z 304 Z 0 30 load zload = = =,736 30 pu =,503+ j0,868 pu Z3 5,76 Per Unit Παράδειγμα β) Το ισοδύναμο κύκλωμα στο per unit σύστημα θα είναι αυτό της εικόνας. Όλα τα στοιχεία του κυκλώματος έχουν εκφραστεί ως προς τα μεγέθη βάσης, τα οποία έχουν επιλεγεί κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να ακολουθούν τα επίπεδα της τάσης του αρχικού κυκλώματος, όπως αυτά καθορίζονται από τους μετασχηματιστές που υπάρχουν. Συνεπώς, στο pu σύστημα οι μετασχηματιστές δεν υπάρχουν (αφού έχουν απλά ληφθεί υπόψη κατά τον υπολογισμό των μεγεθών) 0, 0087 pu j0, 06 pu 0 pu, 736 30 pu
Per Unit Παράδειγμα γ) Η ενεργή ισχύς στο φορτίο θα είναι: Ένα ακόμα πλεονέκτημα του pu συστήματος είναι η απλοποίηση του κυκλώματος, το οποίο τώρα διαρρέεται από ένα κοινό ρεύμα. Αυτό θα είναι: οπότε τελικά: pload = i rload v = = G i 0,569 30,6 zολικό p load = 0,487 pu Σε πραγματικές τιμές, οι απώλειες αυτές θα είναι: Pload = pload = 4870 W 3 Per Unit Παράδειγμα δ) Τέλος, οι απώλειες ισχύος είναι ουσιαστικά οι ωμικές απώλειες στη γραμμή μεταφοράς. Αυτές θα είναι: pline = i rline = 0,008 pu Σε πραγματικές τιμές, οι απώλειες αυτές θα είναι: Pline = pline = 8,W 4
Per Unit Παράδειγμα Η παρακάτω εικόνα περιγράφει ένα τριφασικό σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτό περιλαμβάνει: Μια γεννήτρια ( G) σε σειρά με μια αντίδραση ( x ) Ένα μετασχηματιστή ανύψωσης τάσης ( T ) Μία γραμμή μεταφοράς, εκφρασμένη με την αντίδρασή της ( x L ) Ένα μετασχηματιστή υποβιβασμού τάσης ( T 3 ) Ένα φορτίο, εκφρασμένο με την ισχύ που ζητάει G x T x T L = 40 k U x G = 00 MA = 0 k =,3 pu E = 30 0 k 0, Ω U xt = 0 MA = 0 / 400 k = 0,pu 50 Ω U x = 00 MA = 400 / 50 k T3 = 0,5 pu = 00 MW + j50 MAr 5 Per Unit Παράδειγμα Παρατηρήσεις: Οι περισσότερες συσκευές μας (π.χ. γεννήτριες και μετασχηματι- στές) παρουσιάζουν μια εσωτερική αντίδραση. Αυτή σε ένα ισο- δύναμο κύκλωμα εμφανίζεται εκφρασμένη σε pu, ως προς την ονομαστική ισχύ και τάση της συσκευής. Αν τα στοιχεία αυτά είναι ίδια με την ισχύ και τάση βάσης που θα επιλέξουμε για το κύκλωμα, τότε οι τιμές αυτές θα παραμείνουν ως έχουν και στο τελικό ισοδύναμο κύκλωμά μας. ιαφορετικά θα πρέπει να τις μετατρέψουμε ως προς τις τιμές βάσης που επιλέξαμε, με τρόπο που θα δούμε παρακάτω. Οι γεννήτριες έχουν μια «εσωτερική» τάση (τάση τυλιγμάτων ή τάση τυμπάνου, E) και μια «εξωτερική» τάση (την τάση που εμφανίζεται στους ακροδέκτες, G ). Οι τάσεις αυτές είναι διαφο- ρετικές μεταξύ τους, και η διαφορά αυτή εκφράζεται σε ένα ισοδύναμο κύκλωμα με μια εσωτερική αντίδραση της γεννήτριας ( x G ). 6 3
Per Unit Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε το pu ισοδύναμο του κυκλώματος της διαφάνειας 5. Το πρώτο βήμα είναι να επιλέξουμε τα μεγέθη βάσης. Βάση ισχύος: Το κύκλωμά μας έχει μια γεννήτρια, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε ως βάση ισχύος την ονομαστική της ισχύ: = 00 MA = 0k 400 = = 400k 0 50 3 = 400 = 50k 7 Per Unit Παράδειγμα Z = = 4Ω Z = = 600 Ω 3 Z3 = = 5Ω Βάσεις τάσης: Το κύκλωμά μας έχει δύο μετασχηματιστές, άρα θα ορίσουμε τρεις βάσεις τάσης, ξεκινώντας από την ονομαστική τάση της γεννήτριας, και χρησιμοποιώντας σε κάθε μετασχηματι- στή το λόγο μετασχηματισμού για να προσδιορίσουμε την επό- μενη βάση. Άρα λοιπόν: Βάσεις σύνθετης αντίστασης: Όπως είδαμε και προηγουμένως, αλλάζουν κάθε φορά που αλλάζει το επίπεδο τάσης. Στην περίπτω- σή μας θα έχουμε: Το επόμενο βήμα λοιπόν είναι να μετασχηματίσουμε τα μεγέθη. Προσοχή: Για όσες συσκευές εμφανίζουν εσωτερική αντίδραση, αυτή πρέπει να παρουσιαστεί ως ξεχωριστό στοιχείο στο pu ισοδύ- ναμο: Η γεννήτρια θα παρουσιαστεί ως μια ιδανική γεννήτρια, με τάση ίση με την «εσωτερική» της τάση E. Η εσωτερική της αντίδραση θα εμφανιστεί ως ξεχωριστό στοιχείο. Οι μετασχηματιστές όπως είδαμε δεν εμφανίζονται στο pu ισοδύ- ναμο. Οι εσωτερικές τους αντιδράσεις όμως θα πρέπει επίσης να εμφανιστούν ως ξεχωριστά στοιχεία. 8 4
Per Unit Παράδειγμα Θα είναι λοιπόν: E 30 0 e = = =,5 0 pu 0 xg =,3pu x X 0, = = = Z 4 0,05 pu 9 Per Unit Παράδειγμα (Παραμένει ως έχει, αφού είναι υπολογισμένη με βάση τα ονομαστι- κά στοιχεία της γεννήτριας, τα οποία συμπίπτουν με τα μεγέθη βά- σης που επιλέξαμε) Η εσωτερική αντίδραση του μετασχηματιστή μας δίνεται μεν σε pu, αλλά στην περίπτωση αυτή η ονομαστική ισχύς του μετασχημα- τιστή διαφέρει από τη βάση ισχύος που έχουμε επιλέξει. Θα πρέπει λοιπόν να εκφράσουμε την pu τιμή της εσωτερικής αντίδρασης στο δικό μας σύστημα. Η μεταβολή μιας pu τιμής σε νέα βάση γίνεται με τον τύπο: νέα βάση νέα τιμή = παλιά τιμή παλιά βάση T Στην περίπτωσή μας θα είναι λοιπόν: 00 xt = 0, = 0,083pu 0 30 5
Per Unit Παράδειγμα Συνεχίζοντας έχουμε: x L X 50 Z 600 L = = = 0,03 pu xt3 = 0,5pu Φορτίο: 00 + j50 s= = = + j0,5pu 00 3 Per Unit Παράδειγμα Τελικά, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω προκύπτει το παρακάτω ισοδύναμο κύκλωμα: e =,5 0 pu j0, 05 pu j0, 03 pu = 0, 933 pu j, 30 pu j0, 083 pu j0,5 pu = + j0,5 pu ή τελικά: e =,5 0 pu = 0, 933 pu j, 589 pu = + j0,5 pu 3 6
Per Unit Παράδειγμα Παρατηρήσεις: Στο παράδειγμα αυτό φαίνεται για ακόμα μία φορά το κέρδος που προκύπτει από τη χρήση του pu συστήματος με την απλο- ποίηση του ισοδύναμου κυκλώματος. Εφόσον το αρχικό κύκλωμα είναι τριφασικό, στο ισοδύναμο της διαφάνειας 5 πρέπει να δοθεί προσοχή να μην μπερδευτούν μονοφασικά με τριφασικά μεγέθη, όπως και φασικά με πολικά μεγέθη. Στο pu σύστημα, αυτές οι έννοιες δεν υπάρχουν. Οι πράξεις γίνονται όπως και σε ένα απλό, μονοφασικό κύκλωμα. Για να υπολογιστούν τα πραγματικά μεγέθη, οι pu τιμές απλά θα πολλαπλασιαστούν με την αντίστοιχη βάση. Η ίδια pu τιμή μπορεί λοιπόν να δώσει μονοφασική ή τριφασική, και αντίστοιχα φασική ή πολική τιμή, ανάλογα με τη βάση με την οποία θα πολλαπλασιαστεί. 33 Per Unit και μετασχηματιστές Το πιο συνηθισμένο ισοδύναμο κύκλωμα στην πράξη για ένα μετασχηματιστή ισχύος είναι το: jx R a R ja X Με τη βοήθεια αυτού μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνολική σύνθετη αντίσταση σειράς του μετασχηματιστή: Z = R + a R + jx + ja X = R + jx E ολ ολ 34 7
Per Unit και μετασχηματιστές Για να μετατρέψουμε τα χαρακτηριστικά του μετασχημα- τιστή στο pu σύστημα, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσου- με τα μεγέθη βάσης. Αυτά όμως θα είναι ίσα με τα ονομαστικά μεγέθη του μετασχηματιστή. Θα είναι λοιπόν: Τάση βάσης: Η ονομαστική τάση Ρεύμα βάσης: Το ονομαστικό ρεύμα I Ισχύς βάσης: Η ονομαστική ισχύς = I Σύνθετη αντίσταση βάσης: Η σύνθετη αντίσταση που προκύπτει από τα ονομαστικά στοιχεία του μετασχηματιστή Z = I 35 Per Unit και μετασχηματιστές Από το πείραμα βραχυκύκλωσης όμως έχουμε: Z k E = k R ολ = I I όπου k η τάση βραχυκύκλωσης και k η ενεργή ισχύς που μετράει το βαττόμετρο στο πείραμα βραχυκύκλωσης Αν μετατρέψουμε λοιπόν τη Z E στο pu σύστημα θα έχουμε: k ZE I k ze = = = = vk pu Z B I P P ( ) 36 8
Per Unit και μετασχηματιστές Επίσης θα είναι: Pk Rολ I Pk Pk rολ = = = = = pk pu Z I B I ( ) Παρατηρούμε λοιπόν ότι η τάση βραχυκύκλωσης ενός μετασχηματιστή εκφρασμένη σε pu μας δίνει αυτόματα τη σύνθετη αντίσταση σειράς του, επίσης εκφρασμένη σε pu, ενώ το πραγματικό μέρος της σύνθετης αυτής αντίστασης σε pu μας δίνει τις πραγματικές απώλειες του μετασχηματιστή, επίσης σε pu. 37 9