9/5/0 Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Συνολικά οι απώλειες πυρήνα εκφράζονται στο ισοδύναμο κύκλωμα του μετασχηματιστή με τη χρήση μιας εγκάρσιας ωμικής αντίστασης: I R jx jx R I + + jx ϕ R C N N Αυτό είναι και το πλήρες ισοδύναμο ενός μετασχηματιστή Μετασχηματιστές Ισοδύναμα κυκλώματα Το πρόβλημά του πλήρους ισοδύναμου της προηγούμενης διαφάνειας είναι ότι είναι δύσκολο να λυθεί κυκλωματικά. Για το λόγο αυτό ανάγουμε όλα τα μεγέθη της μίας πλευράς στις αντίστοιχες τιμές της άλλης, και τελικά έχουμε: όπου: R jx ja X a R + + jx ϕ R C a N a= N
9/5/0 Per Unit Σύστημα Στα όσα έχουμε δει μέχρι τώρα υπάρχουν διάφορα προβλήματα σε επίπεδο επίλυσης κυκλωμάτων: Όταν υπάρχει ένας ή περισσότεροι μετασχηματιστές σε ένα κύκλωμα πρέπει σε κάθε σημείο να γνωρίζουμε το ακριβές επίπεδο τάσης Σε ένα τριφασικό σύστημα πρέπει να προσέχουμε ποια μεγέθη εκφράζονται ως μονοφασικά και ποια ως τριφασικά Επίσης σε τριφασικά συστήματα πρέπει να προσέχουμε ποια μεγέθη εκφράζονται ως φασικά και ποια ως πολικά Για συσκευές όπως είναι οι μετασχηματιστές υπάρχει ένα πολύ μεγάλο εύρος ονομαστικών στοιχείων, με αποτέλεσμα να είναι δύσκολη η σύγκρισή τους Λύση:Αναγωγή όλων των μεγεθών ενός κυκλώματος σε κοινή βάση (per unit σύστημα) 3 Per Unit Βήματα: Για κάθε μέγεθος που μας ενδιαφέρει επιλέγουμε (αυθαίρετα) μια τιμή ως τιμή αναφοράς (βάση) Για κάθε τιμή που θέλουμε να μετασχηματίσουμε θα είναι: πραγµατική τιµή pu τιµή= τιµή βάσης Στο κύκλωμα που θα προκύψει δε θα υπάρχει πλέον πρόβλημα διαχωρισμού μεγεθών σε μονοφασικά / τριφασικά, φασικά / πολικά, ή πρόβλημα διαχωρισμού διαφορετικών επιπέδων τάσης 4
9/5/0 Per Unit Εκλογή τιμών βάσης Στην πράξη αρκεί για κάθε κύκλωμά μας να επιλέξουμε μία βάση ισχύος ( ), καθώς και μία ή περισσότερες βάσεις τάσης ( ), ανάλογα με το πλήθος των μετασχηματιστών στο κύκλωμα. Για τα υπόλοιπα μεγέθη και τις τιμές βάσης τους θα είναι: Βάση ρεύματος: I = Βάση σύνθετης αντίστασης: Z = 5 Per Unit Παράδειγμα Έστω το παρακάτω κύκλωμα IG Iline : 0 0Ω j60ω 0 : Iload N G 480 0 = 0 ka Z load 0 30 Ω α) Να υπολογιστούν όλα τα μεγέθη σε pu β) Να δημιουργηθεί το pu ισοδύναμο κύκλωμα γ) Να υπολογιστεί η ενεργή ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο δ) Να υπολογιστούν οι απώλειες ισχύος 6 3
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα α)το πρώτο βήμα είναι η επιλογή των μεγεθών βάσης: Βάση ισχύος:αν υπάρχει πηγή (γεννήτρια) στο κύκλωμά μας, τότε συνήθως χρησιμοποιούμε την ονομαστική της ισχύ ως βάση ισχύος. Θα είναι λοιπόν: = 0 ka Βάσεις τάσης:το κύκλωμά μας έχει δύο μετασχηματιστές, χωρίζεται δηλαδή σε τρία επίπεδα τάσης. Θα επιλέξουμε λοιπόν τρεις βάσεις τάσης, ξεκινώντας από την ονομαστική τάση της γεννήτριας, και χρησιμοποιώντας σε κάθε μετασχηματιστή το λόγο μετασχηματισμού για να προσδιορίσουμε την επόμενη βάση. Άρα λοιπόν: = 480 0 = = 4800 3 = = 40 0 7 Per Unit Παράδειγμα Βάσεις ρεύματος: Προκύπτουν από τη σχέση της διαφάνειας 7. Προφανώς, για κάθε διαφορετικό επίπεδο τάσης θα υπάρχει και διαφορετική βάση ρεύματος. Θα είναι λοιπόν: I = = 0,83 A I = =,083 A I3 = = 4,67 A 3 Βάσεις σύνθετης αντίστασης:και αυτές προφανώς αλλάζουν κάθε φορά που αλλάζει το επίπεδο τάσης. Στην περίπτωσή μας θα έχουμε: Z= = 3, 04Ω 3 Z3 = = 5,76Ω Z = = 304Ω 8 4
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα Από τη στιγμή που καθορίσαμε τα μεγέθη βάσης, η μετατροπή όλων των στοιχείων του κυκλώματος είναι εύκολη. Θα πρέπει φυσικά για κάθε στοιχείο να χρησιμοποιούμε τα σωστά μεγέθη βάσης. Οι μετασχηματισμένες ποσότητες έχουν τα ίδια σύμβολα, αλλά με πεζά γράμματα. Θα είναι λοιπόν: v 480 0 G G = = = 480 Z 0+ j60 pu line zline = = = 0, 0087+ j0,06 pu Z 304 Z 0 30 load zload = = =, 736 30 pu=,503+ j0,868 pu Z3 5,76 9 Per Unit Παράδειγμα β)το ισοδύναμο κύκλωμα στο per unit σύστημα θα είναι αυτό της εικόνας. Όλα τα στοιχεία του κυκλώματος έχουν εκφραστεί ως προς τα μεγέθη βάσης, τα οποία έχουν επιλεγεί κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να ακολουθούν τα επίπεδα της τάσης του αρχικού κυκλώματος, όπως αυτά καθορίζονται από τους μετασχηματιστές που υπάρχουν. Συνεπώς, στο pu σύστημα οι μετασχηματιστές δεν υπάρχουν (αφού έχουν απλά ληφθεί υπόψη κατά τον υπολογισμό των μεγεθών) 0, 0087 pu j0, 06 pu 0 pu, 736 30 pu 0 5
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα γ)η ενεργή ισχύς στο φορτίο θα είναι: pload = i rload Ένα ακόμα πλεονέκτημα του pu συστήματος είναι η απλοποίηση του κυκλώματος, το οποίο τώρα διαρρέεται από ένα κοινό ρεύμα. Αυτό θα είναι: v = = z G i 0,569 30, 6 ολικό οπότε τελικά: pload = 0, 487 pu Σε πραγματικές τιμές, οι απώλειες αυτές θα είναι: Pload = pload = 4870 W Per Unit Παράδειγμα δ)τέλος, οι απώλειες ισχύος είναι ουσιαστικά οι ωμικές απώλειες στη γραμμή μεταφοράς. Αυτές θα είναι: pline = i rline = 0, 008 pu Σε πραγματικές τιμές, οι απώλειες αυτές θα είναι: Pline = pline = 8, W 6
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα Η παρακάτω εικόνα περιγράφει ένα τριφασικό σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτό περιλαμβάνει: Μια γεννήτρια ( G) σε σειρά με μια αντίδραση ( x) Ένα μετασχηματιστή ανύψωσης τάσης ( T ) Μία γραμμή μεταφοράς, εκφρασμένη με την αντίδρασή της ( x L ) Ένα μετασχηματιστή υποβιβασμού τάσης ( T 3 ) Ένα φορτίο, εκφρασμένο με την ισχύ που ζητάει G x T x T L = 40 k N U N x G = 00 MA = 0 k =, 3 pu E = 30 0 k 0,Ω N U N x T = 0 MA = 0 / 400 k = 0, pu 50Ω N U N x = 00 MA = 400 /50 k T3 = 0,5 pu 3 = 00 MW+ j50 MAr Per Unit Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε το pu ισοδύναμο του κυκλώματος της διαφάνειας 5. Το πρώτο βήμα είναι να επιλέξουμε τα μεγέθη βάσης. Βάση ισχύος:το κύκλωμά μας έχει μια γεννήτρια, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε ως βάση ισχύος την ονομαστική της ισχύ: = 00 MA Βάσεις τάσης:το κύκλωμά μας έχει δύο μετασχηματιστές, άρα θα ορίσουμε τρεις βάσεις τάσης, ξεκινώντας από την ονομαστική τάση της γεννήτριας, και χρησιμοποιώντας σε κάθε μετασχηματιστή το λόγο μετασχηματισμού για να προσδιορίσουμε την επόμενη βάση. Άρα λοιπόν: 400 = 0 k = = 400 k 0 50 4 3 = = 50 k 400 7
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα Βάσεις σύνθετης αντίστασης:όπως είδαμε και προηγουμένως, αλλάζουν κάθε φορά που αλλάζει το επίπεδο τάσης. Στην περίπτωσή μας θα έχουμε: Z= = 4Ω Z = = 600Ω 3 Z3 = = 5Ω Το επόμενο βήμα λοιπόν είναι να μετασχηματίσουμε τα μεγέθη. Προσοχή:Για όσες συσκευές εμφανίζουν εσωτερική αντίδραση, αυτή πρέπει να παρουσιαστεί ως ξεχωριστό στοιχείο στο pu ισοδύναμο: Η γεννήτρια θα παρουσιαστεί ως μια ιδανική γεννήτρια, με τάση ίση με τη διέγερσή της E. Η εσωτερική της αντίδραση θα εμφανιστεί ως ξεχωριστό στοιχείο. Οι μετασχηματιστές όπως είδαμε δεν εμφανίζονται στο pu ισοδύναμο. Οι εσωτερικές τους αντιδράσεις όμως θα πρέπει επίσης να εμφανιστούν ως ξεχωριστά στοιχεία. 5 Per Unit Παράδειγμα Θα είναι λοιπόν: E 30 0 e = = =,5 0 pu 0 xg =,3 pu (Παραμένει ως έχει, αφού είναι υπολογισμένη με βάση τα ονομαστικά στοιχεία της γεννήτριας, τα οποία συμπίπτουν με τα μεγέθη βάσης που επιλέξαμε) x X 0, = = = Z 4 0,05 pu 6 8
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα Η εσωτερική αντίδραση του μετασχηματιστή μας δίνεται μεν σε pu, αλλά στην περίπτωση αυτή η ονομαστική ισχύς του μετασχηματιστή διαφέρει από τη βάση ισχύος που έχουμε επιλέξει. Θα πρέπει λοιπόν να εκφράσουμε την pu τιμή της εσωτερικής αντίδρασης στο δικό μας σύστημα. Η μεταβολή μιας pu τιμής σε νέα βάση γίνεται με τον τύπο: Στην περίπτωσή μας θα είναι λοιπόν: T νέα βάση νέα τιµή= παλιά τιµή παλιά βάση 00 xt = 0, = 0, 083 pu 0 7 Per Unit Παράδειγμα Συνεχίζοντας έχουμε: XL 50 xl = = = 0,03 pu Z 600 xt3 = 0,5 pu Φορτίο: 00+ j50 s= = = + j0,5 pu 00 8 9
9/5/0 Per Unit Παράδειγμα Τελικά, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω προκύπτει το παρακάτω ισοδύναμο κύκλωμα: e =, 5 0 pu j0, 05 pu j0, 03 pu = 0, 933 pu j, 30 pu j0, 083 pu j0,5 pu = + j0,5 pu ή τελικά: e =, 5 0 pu = 0, 933 pu j, 589 pu = + j0,5 pu 9 0