Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

2 Η μέθοδος κόμβων χρησιμοποιεί για V I 2 R 2 =5 Ω αγνώστους τις τάσεις των κόμβων: 1 V 2 Σημειώνουμε στο κύκλωμα τους I 1 1 σύνθετους κόμβους, R 1 =10 Ω Ορίζουμε έναν από αυτούς σαν R 3 =10 Ω κόμβο αναφοράς, Ορίζουμε σαν αγνώστους τις τάσεις των υπολοίπων κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς. Δεν μπορούμε να πάρουμε καμία πληροφορία από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: I 3 2

3 Χρειαζόμαστε δύο εξισώσεις. Αυτές προκύπτουν από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στους δύο κόμβους (εκτός του κόμβου αναφοράς): 1 I 1 I 2 V 1 R 2 =5 Ω V 2 R 1 =10 Ω I 3 2 R 3 =10 Ω Εκφράζουμε τα ρεύματα συναρτήσει των τάσεων κόμβων:

4 ια το δεύτερο κόμβο έχουμε: Έτσι έχουμε το σύστημα: Που μας δίνει:

5 Τα ρεύματα του κυκλώματος είναι: I 2 V R 2 =5 Ω 1 V 2 I 1 I 3 1 R 1 =10 Ω 2 R 3 =10 Ω Ο πίνακας του συστήματος είναι πίνακας αγωγιμοτήτων και είναι συμμετρικός, μπορεί δε να γραφεί με απλή εποπτεία του κυκλώματος. Το σταθερό διάνυσμα αποτελείται από τις πηγές που δίνουν ρεύμα σε κάθε κόμβο.

6 Παράδειγμα 4-4: Υπολογίστε τα ρεύματα που διαρρέουν τις αντιστάσεις του κυκλώματος. Ορίζουμε τον κόμβο Δ ως κόμβο αναφοράς και τις τάσεις V 1, V 2 και V 3 μεταξύ των κόμβων Α, Β και και του κόμβου Δ. Μετατρέπουμε τις αντιστάσεις σε αγωγιμότητες και χρησιμοποιούμε την έκφραση του νόμου του Ωμ για αγωγιμότητες: R 4 =5 Ω V 1 R 1 =1 Ω V 2 R 2 =5 Ω V3 2 R 3 =2 Ω 3 Δ G 4 =0,2 Ω -1 V 1 G 1 =1 Ω -1 V 2 G 2 =0,2 Ω -1 V3 2 G 3 =0,5 Ω -1 3 Δ

7 Ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α μας δίνει: Στον κόμβο Β έχουμε: G 4 =0,2 Ω -1 V 1 G 1 =1 Ω -1 V 2 G 2 =0,2 Ω -1 V3 2 G 3 =0,5 Ω -1 3 Δ Και στον κόμβο :

8 Το σύστημά μας σε μορφή πινάκων είναι: Υπολογίζουμε τις ορίζουσες: G 4 =0,2 Ω -1 V 1 G 1 =1 Ω -1 V 2 G 2 =0,2 Ω -1 V3 2 G 3 =0,5 Ω -1 3 Δ

9 Οι τάσεις των κόμβων είναι: Τα ρεύματα προκύπτουν από το νόμο του Ωμ στις αντιστάσεις:

10 Εάν υπάρχει πηγή τάσης δεν μπορούμε να γράψουμε το νόμο ρευμάτων στους κόμβους που συνδέεται η πηγή τάσης. ράφουμε την εξίσωση της πηγής τάσης: 1 I 1 I 5V V 1 2 V R 1 =10 Ω I 3 2 Χρειαζόμαστε άλλη μία εξίσωση. ράφουμε το νόμο ρευμάτων για τον υπερκόμβο: I 5 V V 1 2 V I 1 R 1 =10 Ω I 3 2

11 Έχουμε το σύστημα: I 5 V V 1 2 V Οι τάσεις των κόμβων είναι: 1 I 1 R 1 =10 Ω I 3 2

12 Παράδειγμα 4-5: Επιλύστε το κύκλωμα με τη μέθοδο κόμβων. Το ρεύμα που φεύγει από τον κόμβο Α εκφράζεται από το νόμο του Ωμ στην αντίσταση: 1 Α + V R2 - R 1 =15 Ω Ο νόμος ρευμάτων στον κόμβο Α μας δίνει μια εξίσωση, από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε την τάση του κόμβου: Β

13 Έχοντας βρει την τάση του κόμβου Α μπορούμε να υπολογίσουμε οποιοδήποτε άλλο μέγεθος: 1 Α + V R2 - R 1 =15 Ω Β Η πηγή ρεύματος παρέχει στο κύκλωμα ισχύ 12 W, ενώ η πηγή τάσης καταναλώνει ισχύ 2 W. Η αντίσταση R 1 καταναλώνει 9,6 W και τα υπόλοιπα 0,4 W καταναλώνονται στην αντίσταση R 2.

14 Παράδειγμα 4-6: Επιλύστε το κύκλωμα με τη μέθοδο κόμβων. Η λύση προκύπτει από την εξίσωση του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α: 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 + V V 2 - I 3 R 3 =20 Ω Οι τάσεις V 1 και V 2 είναι:

15 Τα ρεύματα Ι 1, Ι 2 και Ι 3 είναι: I 1 R 1 =10 Ω I 2 20V + V V 2 - I 3 R 3 =20 Ω

16 Παράδειγμα 4-7: Να βρεθεί το ρεύμα i x στο κύκλωμα. Η εξίσωση της εξαρτημένης πηγής τάσης είναι: 5 i x R 1 =15 Ω + - i x Β Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε: Το ρεύμα i x είναι:

17 Παράδειγμα 4-8: Να επιλυθεί το κύκλωμα με τη μέθοδο κόμβων. Σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α: 0,5 v x - v x + R 1 =15 Ω Η v x συναρτήσει της V ΑΒ είναι: Οπότε:

18 Από την τάση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα υπόλοιπα μεγέθη του κυκλώματος: 0,5 v x - v x + R 1 =15 Ω Η τάση v x ισούται με 1 Volt, άρα η εξαρτημένη πηγή ρεύματος δίνει ρεύμα 0,5 Α. 0,5 v x 0,5 0,6-1 V + 0,1 + 9 V R 1 =15 Ω -

19 R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Παράδειγμα 4-9: Να υπολογιστούν η τάση v x και το ρεύμα i x. Μεταξύ ενός κόμβου και του κόμβου αναφοράς υπάρχει πηγή τάσης, άρα: Η δεύτερη εξίσωση θα προκύψει από την εξαρτημένη πηγή τάσης: Α 0,5 v x R 1 =5 Ω i x i x Β - v x + Δ Αλλά: Οπότε:

20 R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Η τρίτη εξίσωση θα προκύψει από το νόμο ρευμάτων στον κόμβο Β: i x Α 0,5 v x R 1 =5 Ω i x Β - v x + Δ Αντικαθιστώντας την τιμή της V 3 από την πρώτη εξίσωση στις άλλες δύο έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

21 R 3 =20 Ω R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Σε μορφή πίνακα: i x Λύνουμε το σύστημα: Α 0,5 v x R 1 =5 Ω i x Β - v x + Δ i x 0,8 Τέλος βρίσκουμε την v x και το i x : V 1 =9V 0,5 v x R 1 =5 Ω I x =0,2 V 2 =8V V 3 = 0,4 - v x =2V + 0,2 1 0,6

22 Παράδειγμα 4-10: Να υπολογιστούν η τάση v x και το ρεύμα i x στο κύκλωμα. Η πρώτη μας εξίσωση είναι: Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την εξαρτημένη πηγή τάσης: Α 0,5 v x R 1 =5 Ω 1 i x i x Β - v x + Δ Εκφράζουμε το i x συναρτήσει των τάσεων: Και η εξίσωση έρχεται στη μορφή που θέλουμε:

23 Η τρίτη εξίσωση θα προκύψει από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Β: Α 0,5 v x R 1 =5 Ω 1 i x i x Β - v x + Δ Αντικαθιστώντας την τιμή της V 3 από την πρώτη εξίσωση στις άλλες δύο έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

24 Σε μορφή πίνακα: i x Λύνουμε το σύστημα: Α 0,5 v x R 1 =5 Ω 1 i x Β - v x + Δ Τέλος βρίσκουμε την v x και το i x :

25 Η μέθοδος κόμβων είναι μια συστηματική μέθοδος επίλυσης κυκλωμάτων. Η διαδικασία συνοψίζεται ως εξής: 1. Αναγνωρίζουμε τους κόμβους του κυκλώματος και επιλέγουμε τον κόμβο αναφοράς. Εάν το κύκλωμα έχει Ν κόμβους, έχουμε Ν-1 τάσεις κόμβων, που είναι οι άγνωστοι. 2α. Εάν το κύκλωμα περιέχει μόνο ανεξάρτητες πηγές ρεύματος, γράφουμε την εξίσωση που προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff σε κάθε κόμβο του κυκλώματος. Προκύπτει ένα σύστημα Ν-1 εξισώσεων με Ν-1 αγνώστους. 2β. Εάν το κύκλωμα περιέχει εξαρτημένες πηγές ρεύματος ακολουθούμε την ίδια διαδικασία, αλλά πρέπει να αντικαταστήσουμε τα ρεύματα που δίνουν οι εξαρτημένες πηγές με τις κατάλληλες σχέσεις που τις εκφράζουν συναρτήσει των τάσεων κόμβων.

26 2γ. Εάν το κύκλωμα περιέχει πηγές τάσης, εξαρτημένες ή ανεξάρτητες, πρώτα πρέπει να γράψουμε την εξίσωση ορισμού κάθε πηγής τάσης. Συμπληρώνουμε τις εξισώσεις μας μέχρι τον αριθμό των αγνώστων τάσεων κόμβων με τις εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff σε κόμβους που δεν συνδέονται με πηγές τάσης. 3. Λύνουμε το σύστημα των Ν-1 εξισώσεων με Ν-1 αγνώστους και υπολογίζουμε τις τάσεις κόμβων. 4. Οποιοδήποτε άλλο μέγεθος του κυκλώματος (ρεύμα, τάση, ισχύς) προκύπτει από τις τάσεις κόμβων.