هادي ويسي h.veisi@ut.ac.ir دانشگاه تهران - دانشکده علوم و فنون نوين
مفهوم فازي مجموعه کالسيک مجموعه فازي تعاریف عملگرها برش آلفا انواع عملگرها مکمل اشتراک )t-norm( اجتماع )t-conorm( ترکیب عملگرها 2
سوال )مفهوم جواني( برای سن های 15 ساله )ابتدای جواني( 25 ساله )کامال جوان( و 35 ساله )انتهای جواني(... ابهام و عدم شفافيت در متغيرهاي زباني و مسائل دنياي واقعي سرد کم پایین خوب زیبا فازي طرز تفکر/ دستگاه استنتاجي جدید )چند مقداری( برای برطرف ساختن ناتواني منطق دومقداری و ریاضیات بسیار دقیق در برخورد واقعي و نادقیق با دنیای 3
مجموعه = گروهي از اشيا و افراد مجموعه دانشجویان سال اول مجموعه حروف فارسي مجموعه افراد قدبلند کالس مجموعه افراد جوان عضويت در مجموعه ]مي دانیم[ عنصر a )رضا( عضو مجموعه A )دانشجویان سال اول( هست/نیست a A a A چگونه تعیین کنیم: عنصر a )رضا( عضو مجموعه A )افراد قدبلند( هست/نیست عنصر a )رضا( عضو مجموعه A )افراد جوان( هست/نیست 4
مجموعه ت رد )Crisp( دو حالته هر عضو مانند a یا عضو مجموعه A است یا نیست )صفر یا یک( تعریف مجموعه A a, a,..., a } به صورت لیست { 1 2 n A { x P( x)} به صورت قانون xهایي که هر x دارای مشخصه P است )characteristic function( 1 for x A A( x) 0 for x A تابع مشخصه مجموعه A : X {0,1} 0 0 0 1 1 1 5
عملگرهاي مجموعه... A B A B A B and B A A B مجموعه B است A B A B and A B مجموعه B است مجموعه B است مجموعه B است زیرمجموعه )subset( مساوی با )equal( نامساوی با equal( )not زیرمجموعه مناسب subset( )proper مجموعه A مجموعه A مجموعه A مجموعه A P(A) مجموعه A شامل شده in( )included مجموعه B است A B مجموعه تواني set( A )power عبارتست از کلیه زیر مجموعههای A: مثال اندازه مجموعه )cardinality( مجموعه A بیانگر تعداد عناصر مجموعه A است= A P( A) A 2 مکمل نسبي complementary( )relative مجموعه A نسبت به B B A { x x B, x A} 6
B A B { x x A or x B} ii A i { x x A for some i I} i A A عملگرهاي مجموعه... اگر B مجموعه جهاني )X( باشد مکمل )complementary( مجموعه A B و A )مکمل مجموعه تهی( A A X X اجتماع )union( دو مجموعه حالت گسترش یافته A B { x x A and x B} ii A i { x x A for all i I} i اشتراک )intersection( دو مجموعه A و B حالت گسترش یافته دو مجموعه A و B مجزا )Disjoint( هستند اگر A B 7
عملگرهاي مجموعه... (A) افراز )partition( مجموعه :A شکستن فضای مجموعه به زیرمجموعههای مجزا جمع )Addition( افراز مجموعه A مثال 8
A عملگرهاي مجموعه... پوشش )Cover( روی مجموعه شکستن فضای مجموعه به n زیرمجموعه غیرمجزا )دارای همپوشانی( مشابه افراز اما برای مجموعههای غیرمجزا شمول و طرد Exclusion( )Inclusion and برای پوشش مجموعه A به n زیرمجموعه تعداد اعضای مجموعه پوشش برای حالت 2 تایی و 3 تایی 9
عملگرهاي مجموعه... :B و A ضرب product( )Cartesian مجموعه توجه شود حالت گسترش یافته 10
عملگرهاي مجموعه 11
)convex( محدب بودن محدب مثال 1: مجموعه A=[0,2]U[3,5] محدب نیست اگر λ=0.4 r = 1, s = 4, آنگاه λ)s=2.8 λr+(1- عضو A نیست مثال 2: مجموعه هایي در فضای R 2 12
کران باال و پايين bound( )upper/lower اگر عددی حقیقي مانند s وجود داشته باشد که به ازای همه xهای عضو A x<s آنگاه s کران باالی A است و A از باال به s محدود است داشته باشیم اگر عددی حقیقي مانند r وجود داشته باشد که به ازای همه xهای عضو A x>r آنگاه r کران پایین A است و A از پایین به r محدود است داشته باشیم infimum/supremum برای مجموعه A که از باال محدود شده است s را supremum گویند اگر s کران باالی A باشد و هیچ عدد کوچکتری از s کران باالی A نباشد )کوچکترین کران باال( برای مجموعه A که از پایین محدود شده است r را infimum گویند اگر r کران پایین A باشد و هیچ عدد بزرگتری از r کران پایین A نباشد )بزرگترین کران پایین( 13
ايده A به هر عضو مجموعه )مانند a( بگیریم میزان تعلق آن به مجموعه را )بین صفر و یک( در نظر 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 تابع عضويت )membership function( یک تابع مشخصه function( )characteristic مقادیر در بازهای از اعداد )معموال بین صفر و یک( بیانگر میزان درجه/میزان عضویت هر عضو به مجموعه مجموعه فازي: مجموعه اي که با يک تابع عضويت تعريف مي شود A : X [0,1] 14
P1=1 توابع عضويت P2=10 P3=5 P4=2 15
:سرد -مرن شنایار ینابم یزاف )اه هعومجم( 16 تيوضع عباوت يثلثم )Triangular( یا هقنزوذ )Trapezoidal( يسواگ )Gaussian( یا هلوگنز )Generalized bell( 0,, min max ),, ; ( b c x c a b a x c b a x tri 0,,1, min max ),,, ; ( c d x d a b a x d c b a x trap b b c x c b a x gbell 2 1 1 ),, ; ( 2 2 1 ),, ; ( c x e c b a x gauss مسر و هدافتسا یارب MATLAB رد
... )Matlab توابع عضويت )در مثلثي اسم دستور رابطه شکل trimf(x,params) ذوزنقه ای d]) trapmf(x,[a b c گاوسي c]) gaussmf(x,[sig 17
... )Matlab توابع عضويت )در اسم دستور رابطه شکل سیگموید c]) sigmf(x,[a smf(x,[a b]) S zmf(x,[a b]) Z 18
)Matlab توابع عضويت )در اسم دستور رابطه شکل سیگموید ترکیبي psigmf(x,[a1 c1 a2 c2]) زنگوله ای gbellmf(x,params) pimf(x,[a b c d]) شبه پي 19
مثال: مفهوم جواني ميانسالي و کهنسالي بازه ]0-80[ 20
مثال: درجه حرارت کریسپ 21
حالت اصلي مثال: مجموعه دانشآموزان )X( = }علي احمد بهنام سینا شبنم{ مجموعه دانشآموزان باهوش })0.4 علی( )0.8 احمد( )0.6 بهنام( )1 سینا( )0.9 شبنم({ نوع ديگر نمایش )در حالت گسسته( علی/ 0.4 + احمد/ 0.8 + بهنام/ 0.6+ سینا/ 1 + شبنم/ 0.9 نمایش )در حالت پیوسته( 22
مجموعه فازي بازه اي )Interval-valued( مقدار تابع عضویت به ازای هر مقدار یک بازه است نه یک مقدار A: X ([0,1]), Power set 23
مجموعه فازي نوع )2 2 )type مقدار تابع عضویت برای هر مقدار خودش یک تابع عضویت است نیاز به محاسبات باال عدم استفاده در کاربردهای واقعي 24
)strong α-cut( α و برش قوي )α-cut( α برش مقادیر بزرگتر )و مساوی( از α برای تابع عضویت [0,1] 25
مجموعه پشتيبان )support( فازي مجموعه پشتیبان برای مجموعه A در یک مجموعه جهاني X مجموعهای کریسپ است که حاوی تمام عناصر X است که شامل درجه عضویت غیرصفر در A هستند. مجموعه پشتیبان برای مجموعه A برابر با برش قوی α از A برای 0=α است S(A) or supp(a) = 0+ A مجموعه هسته )core( معادل برش α فازي 1 از A برای 1=α است یعني A h( A) sup A( x) xx ارتفاع )height( اگر يک مجموعه فازي معادل بزرگترین درجه عضویت در مجموعه A )برای هر کدام از عناصر( 1= h(a) باشد مجموعه A را نرمال )normal( ميگویند اگر 1> h(a) باشد مجموعه A را زیرنرمال )subnormal( ميگویند معادل supremum برای α که A 26
A(x) 1 مثال.5 0 Core Crossover points - cut Support X 27
[0,1] مجموعه فازي محدب )Convex( تابع محدب )Convex( برای دو نقطه x و y در دامنه و برای هر مقدار t در تابع مقعر )Concave( 28
مجموعه محدب و زيرنرمال مجموعه غيرمحدب و نرمال 29
مجموعه نرمال )و محدب( برش های آلفا محدب هستند 30
A( x) 1 A( x) )complement( مکمل تابع مکمل استاندارد )توابع دیگری نیز برای این کار وجود دارند( A( x) A( نقطه تعادل (x 31
( A B)( x) min[ A( x), B( x)], ( A B)( x) max[ A( x), B( x)], اجتماع و اشتراک تعریف استاندارد )تعاریف دیگری نیز وجود دارند( اشتراک = t-norm و اجتماع = t-conorm مي تواند نرمال بودن و محدب بودن را عوض کند 32
AB ( x) max [ A( x), ( x)] B اجتماع )جمع( AB ( x) min [ A( x), ( x)] B اشتراک )ضرب( 1 AB (x) AB (x) x 33
سه مجموعه A 1, A 2, A 3 نرمال هستند مجموعههای Bو C زیرنرمال هستند مثال مجموعههای Bو C محدب هستند دو مجموعه B C و محدب نیستند B C B A 1 A 2 C A 2 A 3 34
ويژگي هاي اجتماع و اشتراک برقرار بودن تمام ویژگي های بیان شده برای مجموعه های کریسپ به غیر از قانون تناقض )contradiction( قانون middle( )excluded A A U A A 35
زيرمجموعه A( x) B( x) اگر ) A B ( زیرمجموعه مجموعه B است مجموعه A A B iff A B A and A B B همچنین داریم for any A, B )scalar cardinality( اندازه مجموعه مثال 36
B و A ضرب دو مجموعه فازي ضرب يک عدد صحيح در يک مجموعه فازي 37
قضيه اجتماع و اشتراک برش آلفا و برش قوی آلفا را حفظ مي کند برش آلفا و برش قوی آلفا همیشه نزولي نوایي )نسبت به آلفا( هستند مکمل برش آلفا و برش قوی آلفا را حفظ نمي کند 38
قضيه اثبات 39
اثر عملگر مکمل بر برش آلفا و برش قوي آلفا 40
اثر عملگر مکمل بر برش آلفا و برش قوي آلفا 41
قضيه اگر A زیرمجموعه B باشد برش آلفا و برش قوی آلفا نیز همینطور هستند اگر A مساوی B باشد برش آلفا و برش قوی آلفا نیز همینطور هستند 42
نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفا مثال نمایش بر اساس برش های آلفا عناصری که عضو محموعه برش آلفا 0.2 هستند تعريف مجموعه فازي آنگاه داریم 43
نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفا )قضيه( مثال برای αها در [0,1) و 44
نمايش مجموعه فازي بر اساس برش قوي آلفا )قضيه( نمايش مجموعه فازي بر اساس برش آلفا )قضيه( 45
مثال مجموعه سطح A 0 A 0 0 A xx 0 x 46
عملگرهاي استاندارد مجموعه هاي فازي مکمل اشتراک اجتماع حالت توسعه داده شده مجموعههای کالسیک عملگرهاي فوق مي توانند به صورت هاي ديگري نيز تعريف شوند )s-norm( t-conorms اشتراک را t-norms و اجتماع را مي گویند )context-dependent( هستند هم توابع عضویت و هم عملگرها وابسته به بافت بلند بودن: برای انسان درختان دمای باال: برای تب بیمار حرارت کوره آجرپزی 47
ويژگي هاي عملگرهاي استاندارد تنها عملگرهایي که برش آلفا و برش قوی آلفا را حفظ مي کنند اشتراک استاندارد =ضعیف ترین اشتراک برای هر مجموعه بزرگترین مجموعه را تولید میکند )از میان تمام t-normها( اجتماع استاندارد =قوی ترین اجتماع برای هر مجموعه کوچکترین مجموعه را تولید میکند )از میان تمام t-conormها( عملگرهای استاندارد به صورت ذاتي مانع گسترش/ترکیب خطای عملوندها مي شوند اگر هرکدام از توابع عضویت A(x) و B(x) دارای خطای e باشند آنگاه بیشترین مقدار خطا برای مکمل اشتراک و یا اجتماع آنها همان e خواهد بود. 48
A(x) تعريف: تابع c روي مجموعه فازي همه توابع مکمل بايد شرايط دو اصل زير را داشته باشند چارچوب اصولي ( skeleton )axiomatic مکمل توابعي که اصول فوق را دارند کلي ترین توابع مکمل هستند دو اصل ديگر براي تابع مکمل 49
قضيه تابعي که هم یک به یک ( )injective هم پوشا ( )surjective باشد تابع یک به یک تابع پوشا از دامنه X به برد - Y به ازای هر نقطه y در برد حداقل یک نقطه x در دامنه وجود دارد که f(x)=y 50
ساختار تودرتو براي مکمل هاي فازي c(a)=1-a 51
مثال: فقط اصل اول و دوم را دارد 52
مثال: فقط اصل سوم دارد و اصل چهار ندارد داریم: c(0.33)=0.75 اما: ~= 0.33 0.15 = c(0.75) 53
مثال: چهار اصل را دارد کالس سوگنو )Sugeno( برای 0=λ مکمل استاندارد مکمل استاندارد 54
مثال: چهار اصل را دارد کالس یاگر )Yager( برای 1=w مکمل استاندارد مکمل استاندارد 55
نقطهای که c(a) = a ويژگيهاي مشترک... :)Equilibrium( نقطه تعادل c(a) Assume by Axiom c2 c( e c ) e c a e c( a) c( e c( a) e From assumption c( a) a a c( a) c c c ) ( a) e c c(a) > a c(a) < a a e c 56
ويژگي هاي مشترک... By Axiom c1 c(0) 0 1, c(1) 1 1 Let c( a) a b where b [ 1,1] c is continuous From the intermediate value theorem b [ 1,1], at least one a such that c( a) a b, Let b 0 then a is equilibriu m ( a exists) From Theorem 3.2, a is unique. The intermediate value theorem: If the function y = f(x) is continuous on the interval [a, b], and u is a number between f(a) and f(b), then there is a c [a, b] such that f(c) = u. 57
نقطه دوگان )Dual point( با فرض داشتن تابع مکمل c به ازای هر مقدار عضویتي مانند نقطه دوگان نامیده مي شود. برای هر تابع مکمل و مقدار حقیقي [0,1] a به عنوان درجه عضویت آنگاه [0,1] که برای آن داشته باشیم c و درجه عضویت a حداکثر یک نقطه دوگان وجود دارد. d a c( d ) d a c( a) a a برای مکملهای involutive نقطه دوگان برای هر مقدار درجه عضویت با مکمل شده آن نقطه برابر است 58
... )increasing generators( مولدهاي صعودي مثال تولید مکمل های با این توابع مولد مکمل استاندارد مولد مکمل سوگنو تولید مکمل استاندارد مولد مکمل یاگر g -1 (a)=a 1/w 59
مولدهاي صعودي generators( )increasing... تابع مولد زیر با دو پارامتر تابع مکمل را نتیجه مي دهد تابع فوق به ازای 1=w معادل مکمل سوگنو است تابع فوق به ازای 0=λ معادل مکمل یاگر است مثال دیگر تابع مولد مکمل معادل 60
)decreasing generators( مولدهاي نزولي تولید مکمل های با این توابع مثال مولد مکمل استاندارد مولد مکمل یاگر 61
B و A اشتراک دو مجموعه فازي چارچوب اصولي skeleton( )axiomatic اشتراک اشتراک جابجایي پذیر است سایر نیازمندی های عملگر اشتراک اشتراک Archimedean 62
i( a, a) = a قضيه چند نمونه اشتراک فازي Drastic داریم 63
i(a,b)=a i(a,b)=b مثال... 64
مثال 65
نمونه عملگرهاي اشتراک فازي کالس یاگر )Yager( 66
معکوس )شبه معکوس( تابع مولد نزولي... تابع مولد نزولي f: تابعي از [0,1] به R که پیوسته و اکیدا نزولي است و 0=(1)f [0,1] معکوس: تابعي از R به f(a) f (-1) (a) 67
معکوس )شبه معکوس( تابع مولد نزولي مثال داریم 68
و 0=(0)g معکوس )شبه معکوس( تابع مولد صعودي تابع مولد صعودی g: تابعي از [0,1] به R که پیوسته و اکیدا صعودی است شبه معکوس: تابعي از R به [0,1] مثال داریم 69
رابطه تابع مولد صعودي و تابع مولد نزولي 70
قضيه مشخصه سازي اشتراک فازي... ساخت توابع t-norm با استفاده از مولدهای نزولي 71
)مثال(... قضيه مشخصه سازي اشتراک فازي مثال: اشتراک Schweizer 72
)مثال(... قضيه مشخصه سازي اشتراک فازي مثال: اشتراک Yager 73
قضيه مشخصه سازي اشتراک فازي )مثال( مثال: اشتراک Frank 74
75
B و A اجتماع روي دو مجموعه چارچوب اصولي skeleton( )axiomatic اجتماع مشابه اصول اشتراک به جز در مرزها سایر نیازمندی های عملگر اجتماع اجتماع Archimedean 76
قضيه u( a, a) = a نمونه توابع اجتماع فازي داريم Drastic 77
مثال... 78
مثال 79
قضيه مشخصه سازي اجتماع فازي... ساخت توابع t-conorm با استفاده از مولدهای صعودی 80
... قضيه مشخصه سازي اجتماع فازي مثال: اجتماع Schweizer 81
قضيه مشخصه سازي اجتماع فازي مثال: اجتماع Yager مثال: اجتماع Frank 82
... )Yager( کالس ياگر Drastic اجتماع استاندارد 83
)Yager( کالس ياگر 84
85
قانون دمورگان )دوگان( حالت کالسیک حالت اشتراک i و اجتماع u نسبت به مکمل c دوگان هم هستند اگر و فقط اگر فقط تعدادی از ترکیب های مختلف اشتراک اجتماع و مکمل شرایط دوگان بودن را دارند مثال: سه تایی های دوگان مکمل استاندارد 86
عملگرهاي تجميع عملگرهایي که چند مجموعه را با هم ميکنند ترکیب کرده و به یک مجموعه تبدیل مثال: اجتماع اشتراک میانگین 87
اصول مورد نياز عملگرهاي تجميع اجتماع و اشتراک عملگرهای تجمیع هستنند اما به غیر از اجتماع و اشتراک استاندارد max( و )min بقیه اصل h5 را ندارند 88
براي عملگرهاي تجميعي h که اصول h2 )idempotent( را دارند داريم )يکنوا صعودي( و h5 عملگرهایي که بین اجتماع و اشتراک استاندارد قرار دارند عملگرهاي تجميعي idempotent را عملگرهاي ميانگين ميگويند میانگینهای گسترش یافته means( )generalized 89
)generalized means( ميانگين هاي گسترش يافته کران پایین کران باال میانگین حسابي )arithmetic( میانگین هارمونیک ( )harmonic 90
دسته ديگري از عملگرهاي تجميعي: ميانگينگيري وزندار ترتيبي ordered weighted averaging (OWA) مثال 91
ميانگين گيري وزن دار ترتيبي ارضا کردن پنج اصل h1 تا h5 و نامساوی کران پایین کران باال میانگین حسابي 92
93