פרק 11 אינטגרל קווי ומשטחי אינטגרל קווי מסוג ראשון אורך מסילה

440 פרק 11 אינטגרל קווי ומשטחי בפרק זה נעסוק בארבעה סוגים נוספים של אינטגרלים. שני סוגים של אינטגרל קווי לאורך מסילה מישורית או מרחבית, ושני סוגים של אינטגרלים מעל משטח במרחב R. 3 לכל ארבעת הסוגים של אינטגרלים אלה יש משמעויות גאומטריות ושימושים פיזיקאליים שילוו את הדיון. אינטגרל קווי מסוג ראשון האינטגרל הקווי מהסוג הראשון הוא הכללה פשוטה של האינטגרל הפשוט של חדו א 1 לפונקציות סקלרית מעל מסילה. האינטגרל הקווי מהסוג השני יעסוק בפונקציות וקטוריות. בכדי לספק מוטיבציה לאינטגרל הקווי נתחיל בשימוש הכי ישיר שלו לחישוב אורך מסלול. אורך מסילה תהי r(t) = (x(t), y(t), z(t)), a t b מסילה סופית וחלקה במרחב המסילה. R. 3 מטרתנו בסעיף זה היא לחשב את אורך לשם כך ננסה להתקרב אליה באמצעות מצולע (קו שבור) כפי שרואים בתרשים הבא. לשם כך יש להגדיר סכום אינטגרלי מתאים. חלוקה T של המסילה: עבור מספר טבעי נתון n, נחלק את הקטע הסגור

441 איור 11.1: קירוב המסילה r(t) על ידי מצולע במרחב R 3 0 i n t, i על ידי בחירה שרירותית של נקודות זמן חלקים ל n,a] [b T : a = t 0 < t 1 < t 2 < < t i < t i+1 < < t n = b נשתמש בביטוי t i בכדי לסמן את הקטע הסגור ] 1+i t] i, t וגם את האורך שלו t. 1+i t i כל קטע כזה מגדיר מיתר אלמנטרי r i של המסילה r i = r(t i+1 ) r(t i ) r i שהוא הקו הישר המחבר את שתי הנקודות ) i r(t 1+i ),r(t על המסילה, וככל שפרמטר החלוקה הולך וקטן, כך הגודל של המיתר r i נעשה קרוב יותר לאורך הקשת עליה הוא נשען. כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס, אורך הקטע r i שווה בקירוב למכפלת המהירות הרגעית בזמן t i (ראה תרשים 11.1). הסכום האינטגרל המתאים לחלוקה T מוגדר על ידי L(T ) = n 1 i=0 r i כלומר סכום אורכי הצלעות של המצולע הנוצר על ידי החלוקה T. נוכל

442 לבטא את הסכום גם בצורות הבאות L(T ) = = = n 1 i=0 n 1 i=0 n 1 i=0 n 1 i=0 [x(t i+1 ) x(t i )] 2 + [y(t i+1 ) y(t i )] 2 + [z(t i+1 ) z(t i )] 2 r(t i+1 ) r(t i ) r (t i ) t i x (t i ) 2 + y (t i ) 2 + z (t i ) 2 t i הסכום האחרון הוא סכום רימן של הפונקציה (t) 2 x (t) 2 + y (t) 2 + z בקטע [b,a]. על פי הנתון כל הנגזרות של רכיבי המסילה רציפות, ולכן זו פונקציה אינטגרבילית, ואנו מקבלים (כאשר פרמטר החלוקה ) T) שואף לאפס) את נוסחת אורך של מסילה במרחב R. 3 (11.1) r dl = b a r (t) dt = b a x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt באופן דומה נקבל נוסחת אורך של מסילה y(t)) r(t) = (x(t), במרחב R 2 (11.2) r dl = b a r (t) dt = b a x (t) 2 + y (t) 2 dt דוגמא :11.1 חשב את אורך הסליל t) t 6π,r(t) = (cos t, sin t,.0 r (t) = ( sin t, cos t, 1) פיתרון: L = = 6π 0 6π 0 r (t) dt = 6π 0 2 dt = 6 2π sin 2 t + cos 2 t + 1 dt ולכן

443 נוסחת אורך גרף של פונקציה רגילה f(x) y = בקטע סגור (11.3) L = b a 1 + f (x) 2 dx זו כמובן מסקנה מיידית של נוסחה (11.2) שכן כל פונקציה קרטזית ניתן להציג כמסילה f(t)),r(t) = (t, או בצורה f(x)).r(x) = (x, אם המסילה r(t) חלקה למקוטעין, אז כמובן נוכל לפרק אותה לסכום של מסילות חלקות ולחשב את אורכה על ידי שימוש בנוסחה לגבי כל חלק. תרגיל :11.1 מצא נוסחה להיקף המעגל במישור.x 2 + y 2 = R 2 תרגיל :11.2 חשב את אורך העקום = 1 3.x 2 3 + y 2 הדרכה: מדובר בעקום סגור שהפרמטריזציה שלו היא t),r(t) = (cos 3 t, sin 3.[0, π ] מטעמי סימטריה יספיק לחשב רבע עקום בקטע.0 t 2π 2 אינטגרל קווי מסוג ראשון נעבור לבעייה פיזיקלית: נתון חוט (מסלול) דק z(t)),r(t) = (x(t), y(t),,a t b ותהי z) f(x, y, פונקציית המסה הנקודתית. חשב את המסה הכוללת של החוט r. נוכל לחזור על התהליך הקודם ולקבל את הסכום האינטגרלי הבא L(T ) = n 1 i=0 f(r(t i )) r i הפעם הגודל i f(r(t i r (( הוא קירוב למסה של הצלע r, i ולכן קירוב טוב עבור מסת הקשת בקטע הזמן t. i הגבול של הסכום האינטגרלי הזה נקרא אינטגרל קווי מסוג ראשון של f מעל המסלול r, והוא ניתן לחישוב על ידי הנוסחה (11.4) r f dl = b a f(r(t)) r (t) dt

444 הנוסחה עבור מסילה מרחבית z(t)) r(t) = (x(t), y(t), היא (11.5) r f dl = b a f(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt ועבור מסילה מישורית (11.6) r f dl = b a f(x(t), y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt ברור שנוסחת אורך העקום מהסעיף הקודם היא מקרה פרטי של הנוסחה האחרונה עבור 1.f אם (y f(x, פונקציה חיובית, אז אפשר לפרש את האינטגרל הקווי מסוג 1 בתור השטח המשטח הגלילי שנוצר על ידי ההטלה האנכית (כלפי מעלה) של המסילה r על גרף הפונקציה. ראה שירטוט (11.2). איור 11.2: האינטגרל הקווי שווה לשטח המשטח הגלילי שבסיסו המסילה r ממישור- xy לגרף של f דוגמא :11.2 חשב את מסת הסליל האליפטי 4t) r(t) = (3 cos t, 3 sin t, בקטע 10π],[0, כאשר פונקציית המסה הנקודתית היא.f(x, y) = 3 + 2xy פיתרון: וקטור המהירות הוא 4) t,, r (t) = ( 3 sin t, 3 cos ולכן dl = r (t) dt = 9 sin 2 t + 9 cos 2 t + 16 dt = 5 dt

445 M = = r 10π 0 = 15 f(x, y) dl (3 + 18 sin t cos t) 5 dt 10π 0 = 15t 45 2 (1 + 3 sin 2t) dt cos 2t t=10π t=0 = 150π ולכן הערה: נוסחת האורך אינה תלויה בפרמטריזציה של המסילה כל עוד מדובר במסילה חלקה. הביטוי r, (t) dt שנקרא אלמנט אורך, הוא למעשה מכפלת מהירות סקלרית בזמן, ולכן מקבלים דרך בלתי תלויה במהירות. אינטגרל קווי מסוג שני האינטגרל הקווי מהסוג הראשון חל על פונקציות סקלריות f. : R n R האינטגרל הקווי מהסוג השני חל על פונקציות וקטוריות f. : R n R n הפירוש הפיזיקאלי השכיח של פונקציה וקטורית הוא שדה וקטורי. לפני שניגש להגדרת האינטגרל הקווי מהסוג השני נסקור בקצרה כמה דוגמאות שכיחות של שדות וקטוריים. שדות וקטוריים דוגמא 11.3: השדה הוקטורי הכי מוכר הוא שדה כוח הכבידה. אם נתעלם מקבועי גרביטציה ומסה, נוסחת השדה היא F(x, y, z) = x i y j z k x 2 + y 2 + z 2 הביטוי במכנה הוא ריבוע המרחק של נקודה (z P,x),y ממרכז כדור הארץ (0,0),0 והוקטור במונה מצביע תמיד לכיוון ראשית הצירים (שכאמור מייצג

446 את מרכז המסה של כדור הארץ). במישור R 2 השדה נראה כמו בתרשים (11.3) x i+y j איור :11.3 שדה גרביטציה מישורי: x 2 +y 2 דוגמא 11.4: מפות לחיזוי מזג אוויר עשויות לכלול שדה וקטורי המתאר את עוצמת וכיוון הרוח בכל נקודה (y,x) על פני תחום מישורי. אחד המודלים הכי פשוטים לשדה וקטורי כזה שמתאר מערבולת פשוטה הוא F(x, y) = y x2 + y 2 i + x x2 + y 2 j בהקשרים אחרים, שדה זה קשור גם לזרימת מיים בכיור. ראה תרשים (11.4). F(x, y) = איור :11.4 מודל פשוט למערבולת בשדה וקטורי של זרימת אוויר: y i + x j x 2 +y 2 x 2 +y 2

447 דוגמא 11.5: שדה חשמלי עם ארבעה מטענים נקודתיים (שניים חיוביים ושניים שליליים) מוצג בתרשים (11.5). איור 11.5: שדה חשמלי הנוצר על ידי ארבעה מטענים נקודתיים השדה החשמלי הנוצר על ידי מטען נקודתי בגודל q (חיובי או שלילי) בנקודה F(x, y) = q(x x 0) i + q(y y 0 ) j [(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ] 3 2 ) 0 (x 0, y הוא בתרשים (11.5) מדובר בארבעה מטענים על פני ארבע נקודות שונות, ולכן השדה הוקטורי הנוצר על ידם מתקבל כסכום ארבעה שדות וקטוריים. עבודת שדה לאורך מסילה נתון שדה וקטורי, F : R 3 R 3 F = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k ותהי z(t)),a t b,r(t) = (x(t), y(t), מסילה חלקה במרחב.R 3 חלקיק מסה (או מטען חשמלי נקודתי) הנע לאורך מסילה r(t) בשדה כוח F מושפע על ידי השדה בכל נקודה ונקודה שבה הוא נמצא. בנקודות מסוימות שדה הכוח תורם לכיוון התנועה ובנקודות אחרות מתנגד לכיוון התנועה. האינטגרל הקווי מהסוג השני של השדה F לאורך המסילה r מודד את העבודה המתבצעת על ידי השדה על החלקיק לאורך כל הדרך. בכדי לחשב

448 איור 11.6: מסלול תנועה של חלקיק לאורך שדה כוח וקטורי את העבודה נשתמש בחלוקה T של המסילה שלנו r(t) שביצענו במקרה הקודם. העבודה שמתבצעת על ידי השדה בקטע זמן t i היא בקירוב r i = r(t i+1 ) r(t i ) הכוח הפועל על החלקיק בזמן t i הוא (( i. F(r(t בהנחה שקטע הזמן t i מאוד קטן, נוכל להניח שהכוח הפועל על החלקיק לאורך כל קטע הדרך r i הוא (( i. F(r(t אבל יש לקחת בחשבון רק את ההיטל של (( i F(r(t על הקטע r i (גודל סקלרי!) איור 11.7: העבודה W i המתבצעת על ידי השדה F על החלקיק לאורך הקטע r i

449 p = F(r(t i )) r i r i 1 לכן העבודה W i המתבצעת על ידי F על החלקיק לאורך הקטע r i היא W i = p r i = F(r(t i )) r i F(r(t i )) r (t i ) t i הסכום האינטגרלי של העבודה המתבצעת לאורך כל המסלול הוא W (T ) = n 1 i=0 n 1 i=0 W i = n 1 i=0 F(r(t i )) r i F(r(t i )) r (t i ) t i הגדרה 11.1: אם הסכום האינטגרלי ) T) W מתכנס לגבול W כאשר פרמטר החלוקה ) T) שואף לאפס, אז נאמר כי האינטגרל הקווי מהסוג השני של F d r = F לאורך המסילה r קיים, הערך שלו הוא הגבול W, ונרשום W = r F d r = r P dx + Qdy + Rdz הסימון הסימבולי בצד ימין נובע מהחישוב הסימבולי [ P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) ] [ k dx i + dy j + dz ] k dt dt dt dt = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = P dx + Qdy + Rdz הגדרה זהה קיימת גם עבור שדה וקטורי דו מימדי F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j ומסילה y(t)),r(t) = (x(t), כאשר b].t [a, 1 נזכור את נוסחת הקירוב הליניארי שהוכחנו בחלק הראשון של הקורס:. r(t 0 + t) r(t 0 ) r (t 0 ) t ההכללה שלה לפונקציה וקטורית היא קלה.

450 האינטגרל הקווי של F לאורך r הוא F d r = r = = = b a b a b a r [ ] [ P (r(t)) i + Q(r(t)) j x (t) i + y ] (t) j dt [ ] P (r(t)) i + Q(r(t)) j dx dt i + dy dt j dt [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt P dx + Qdy נדגיש שוב כי האינטגרל האחרון הוא רק סימון נוח לאינטגרל הקודם לו. לפרמטריזציה של המסלול אין השפעה על הערך של האינטגרל מאותן סיבות שמנינו קודם במקרה של האינטגרל הקווי מהסוג הראשון. המסלול יש חשיבות. דוגמא 11.6: חשב את העבודה המתבצעת על ידי השדה אבל לכיוון F(x, y) = y x2 + y 2 i + x x2 + y 2 j לאורך המעגל = 25 2 x 2 + y בשני הכיוונים. פיתרון: הפרמטריזציה הסטנדרטית של המעגל היא בכיוון המנוגד לכיוון r 1 [ y i + x2 +y 2 ] x j d r = x2 +y 2 השעון: t) t 2π,r 1 (t) = (5 cos t, 5 sin.0 לכן r 1 [ 5 sin t 25 cos 2 t+25 sin 2 t i + 5 cos t 25 cos 2 t+25 sin 2 t ] j d r = 2π 0 [ ] sin(t) i + cos(t) j] [( 5 sin(t) i + 5 cos(t) j dt = 10π פרמטריזציה של אותו מעגל בכיוון ההפוך היא: r 2 (t) = (5 cos t, 5 sin t), 0 t 2π

451 j r 2 y i + x2 + y 2 קל לגלות שבמקרה זה התוצאה הפוכה: x j x2 + y 2 d r = 10π באופן כללי היפוך מגמת המסלול תיתן את התוצאה המנוגדת. אם,r(t) a, t b מסילה חלקה אז את המסילה ההפוכה r(t) ניתן להגדיר על ידי t).a t b, r(t) = r(a + b לא קשה להוכיח כי r F d r = r F d r אם r(t) מסילה סגורה r(b)) (r(a) = אז מקובל לקרוא לכיוון המנוגד לכיוון השעון בתור הכיוון החיובי, וכיוון השעון ככיוון שלילי. בכדי לציין את העובדה שהמסילה סגורה משתמשים לפעמים בסימן אינטגרל עם עיגול וחץ r F d r = r F d r כיוון תרגיל 11.3: חשב את העבודה המתבצעת על ידי השדה F(x, y, z) = (x 2 y) i + (y 2 z) j + (z 2 x) k מהנקודה (0,0),0 לנקודה (1,1),1 לאורך כל אחת מהמסילות הבאות א. הקו הישר r 1 המחבר את הנקודה 0) (0, 0, לנקודה 1) (1, 1, r 1 פשוטה: t) t 1,r 1 (t) = (t, t,,0 ולכן W 1 = = r 1 F d r = 1 0 r 1 (3t 2 3t)dt = t 3 3t2 2 ב. המסילה ) 3 r 2 (t) = (t, t 2, t הדרכה: הפרמטריזציה של [ (t 2 t) i + (t 2 t) j + (t 2 t) ] k ( i + j + k)dt t=1 t=0 = 1 2. r 2 F d r = 11 15 באופן דומה נקבל

452 תרגיל 11.4: חשב את העבודה המתבצעת על ידי השדה F(x, y, z) = y x2 + y 2 i + x x2 + y 2 j + 2z k על כל אחת מהמסילות הבאות א. t) t [0, 4π],r 1 (t) = (cos t, sin t, ב. t) t [0, 4π],r 2 (t) = (1, 0, הדרכה: הפיתרון קל מאוד. נציין רק שלמרות ששתי המסילות מתחילות באותה נקודה ומסתיימות באותה נקודה, העבודה שהשדה מבצע שונה. השאלה מהו המסלול שבו כמות העבודה היא מינימלית? היא שאלה פיזיקאלית חשובה וקשה. חוקי הפיזיקה בדרך כלל פועלים על פי עיקרון המאמץ המזערי. משפט גרין 1793 1841) (George Green משפט גרין קושר בין האינטגרל הקווי לאינטגרל הכפול במרחב R. 2 איור 11.8: תחום לא פשוט. שפת התחום מורכבת משלושה מסילות חלקות עם מגמה חיובית. הגדרה 11.2: יהי תחום פשוט על פי שני הצירים במישור. נסמן על ידי את שפת התחום. פרמטריזציה r(t) של תיקרא בעלת מגמה חיובית אם התחום נמצא תמיד מצד שמאל למסלול כאשר מתקדמים לאורכו. אם אינו תחום פשוט (עלול לכלול חורים ) אז השפה שלו היא בדרך

453 כלל סכום של כמה מסילות = r 1 + r 2 + + r n והגדרת המגמה חלה על כל אחת מהן משפט 11.1: (Green) יהי תחום סגור, חסום, ובעל שטח, הניתן לפירוק למספר סופי של תחומים פשוטים. אם (y,q(x, (y P,,x) פונקציות גזירות ברציפות בתחום פתוח המכיל את, + אזי (11.7) P dx + Qdy = (Q x P y )dx dy הוכחה: נוכיח את המשפט עבור תחום פשוט. מתכונת האדיטיביות של האינטגרל, המשפט יהיה נכון גם עבור תחומים שניתן לפרק לאיחוד סופי של תחומים פשוטים. על פי ההגדרה, תחום פשוט הוא בו זמנית תחום y -פשוט וגם תחום x -פשוט כפי שרואים בתרשים (11.9). איור 11.9: תחום פשוט עם שתי הצגותיו כתחום y -פשוט ותחום x -פשוט תוכנית פעולה: נתחיל עם אגף שמאל של הנוסחה (11.7), Qdy P dx +, ובאמצעות חישוב פשוט נגיע לאגף ימין. נפרק את האינטגרל הקווי שלנו לשני אינטגרלים פשוטים יותר P dx + Qdy = (P dx + 0dy) + (0dx + Qdy)

454 נחשב על גבי התחום ה y -פשוט (ראה את האינטגרל הקווי P dx + 0dy נחשב על גבי צד שמאל באיור 11.9), ואת האינטגרל הקווי Qdy) (0dx + התחום ה x -פשוט (זה כמובן אותו תחום ). כתחום y -פשוט, הוא תחום שמוגבל בין שתי פונקציות רציפות,u(x),v(x) מעל קטע סגור [b,a], ובין שני הישרים x = b x, = a (ראה תרשים 11.9). לכן נוכל להציג את שפת התחום כסכום של ארבעה מסילות פשוטות = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 אשר הפרמטריזציה שלהן היא r 1 (t) = (t, v(t)) a t b (מגמה הפוכה) r 2 (t) = (t, u(t)) a t b r 3 (t) = (b, t) u(b) t v(b) r 4 (t) = (a, t) v(a) u(a) t (מגמה הפוכה) נחשב את האינטגרל הקווי שלנו על כל אחת מהמסילות הללו b b P dx + 0dy = (P (t, v(t)), 0) (1, v (t)) dt = P (t, v(t)) dt r 1 a a b b P dx + 0dy = (P (t, u(t)), 0) (1, u (t)) dt = P (t, u(t)) dt r 2 a a v(b) P dx + 0dy = (P (b, t), 0) (0, 1) dt = 0 r 3 u(b) v(a) P dx + 0dy = (P (a, t), 0) (0, 1) dt = 0 r 4 u(a)

455 קיבלנו (P dx + 0dy) = = = = = b a b a b P (t, v(t)) dt + b a P (t, u(t)) dt [ P (x, v(x)) + P (x, u(x))]dx P (x, y) a b v(x) a u(x) y=v(x) y=u(x) dx P y (x, y) dy dx P y (x, y) dx dy השורה האחרונה נובעת ממשפט פוביני (ראה משפט 10.6 בעמוד 390). קיבלנו אם כן את הנוסחה (11.8) (P dx + 0dy) = P y (x, y) dx dy (11.9) (0dx + Qdy) = בדרך דומה נוכיח את השוויון Q x (x, y) dx dy אם נחבר את נוסחה (11.8) עם נוסחה (11.9) נקבל את נוסחת גרין (P dx + Qdy) = Q x P y dx dy וסיימנו את הוכחת המקרה הפשוט. הוכחת המקרה הכללית נובעת מפירוק התחום לתחומים פשוטים ומתכונת האדיטיביות של האינטגרל. דוגמא :11.7 אמת את משפט גרין עבור Q(x, y) = xy,p (x, y) = x + y ועיגול היחידה.x 2 + y 2 1,

456 פיתרון: הפרמטריזציה של עיגול היחידה היא r(t) = (cos t, sin t), 0 t 2π לכן 2π P dx + Qdy = [ (cos(t) + sin(t)) sin(t) + cos(t) sin(t) cos(t)]dt = 0 2π 0 = 1 2 cos2 t = π = t.sin 2 עכשיו נחשב את האגף cos(t) sin(t)dt 2π (Q x P y )dx dy = 0 2π 0 sin 2 tdt + 1 (t 1 sin 2t) 2π + 1 2 2 3 cos3 t 0 2π 0 2π 0 cos 2 (t) sin(t)dt 1 cos 2t 2 השתמשנו בזהות הטריגונומטרית הימני של משפט גרין = (y 1)dx dy ydx dy = 0 π = π מתאפס משיקולי סימטריה, והאינטגרל השני 1dx dy הוא שטח העיגול. קיבלנו את נוסחת גרין P dx + Qdy = (Q x P y )dx dy האינטגרל ydx dy 1dx dy מסקנה 11.2: אם תחום אשר שפתו היא r מסילה סגורה חלקה למקוטעין = 1 2 r ydx + xdy אזי השטח של נתון על ידי

457 הוכחה: השדה הוקטורי שלנו הוא F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j = y 2 i + x 2 j r F d r = (Q x P y ) dx dy = 1 dx dy = על פי משפט גרין. x2 a 2 + y2 b 2 דוגמא 11.8: מצא את נוסחת שטח האליפסה = 1 פיתרון: פרמטריזציה פשוטה של האליפסה היא t),r(t) = (a cos t, b sin = 1 2 = 1 2 = 1 2 r 2π 0 2π 0 ydx + xdy t 2π 0. לכן על פי הנוסחה האחרונה [ b sin t( a sin t) + a cos t(b cos t)]dt [ab sin 2 t + ab cos 2 t]dt = abt 2 t=2π t=0 = πab משפט גרין עשוי לסייע לנו בחישוב אינטגרל קווי מסובך על ידי המרתו לאינטגרל כפול פשוט בנוסחת גרין. ולהיפך: לפעמים אינטגרל כפול מסובך הופך לאינטגרל קווי פשוט. דוגמא 11.9: חשב את האינטגרל הקווי r (e x sin y y)dx + (e x cos y 1)dy כאשר r הוא היקף החצי העליון של העיגול x 2 + y 2 = 2x במגמה חיובית. פיתרון: חישוב על פי הגדרת האינטגרל הקווי אינו פרקטי. יש להשתמש במשפט גרין P (x, y) = e x sin y y, Q(x, y) = e x cos y 1

458 קל לבדוק ש = 1 y Q x P ולכן (e x sin y y)dx + (e x cos y 1)dy = 1 dx dy = π r 2 r דוגמא 11.10: חשב את האינטגרל הקווי 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy r(t) = (a cos 3 t, b sin 3 t), 0 t π 2, a, b > 0 כאשר פיתרון: הפעם המסילה אינה סגורה ולכן לא ניתן להשתמש במשפט גרין. אבל ניתן לסגור אותה על ידי הוספת שני קטעים פשוטים r 1 (t) = (t, 0), r 2 (t) = (0, b t), 0 t a 0 t b ברור שהמסילה r כלולה ברביע הראשון של המישור, ולכן יחד עם שני הקטעים r, 2 r, 1 נוצר תחום פשוט. על פי משפט גרין r+r 1 +r 2 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy = 1 dx dy = את השטח של התחום ניתן לחשב באמצעות החלפת המשתנים x = ar cos 3 θ y = br sin 3 θ היעקוביאן של החלפת משתנים זו הוא (x, y) (r, θ) = 3 4 abr sin2 2θ

459 = 3ab 4 = 3ab 8 π 2 0 π 2 0 1 0 1 0 r sin 2 2θ dr dθ r(1 cos 4θ) dr dθ = 3abπ 32 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy = 3abπ r+r 1 +r 2 32 ולכן קיבלנו 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy = r 1 נחשב את האינטגרל הקווי על המסילה r 1 a 0 0 1dt + (sin 3 t + 2t) 0dt = 0 r 2 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy = האינטגרל הקווי על המסילה r 2 a 0 0dt + 0 ( 1)dt = 0 r 3y cos x sin 2 x dx + (sin 3 x + 2x)dy = 3abπ 32 לסיכום קיבלנו דוגמא 11.11: יהי F שדה הכוח F(x, y) = 2xy 2 i + 2x 2 y j הוכח כי העבודה המתבצעת על ידי F בהעברת חלקיק מהנקודה (0,0) לנקודה (3,2) אינה תלויה במסלול. פיתרון: יהיו r, 2 r, 1 שתי מסילות חלקות שמתחילות בנקודה (0,0) ומסתיימות בנקודה (3,2).

460 יספיק להוכיח כי איור 11.10: העבודה שמבצע השדה F לאורך כל שתי מסילות, r 2, r 1 זהה 2xy 2 dx + 2x 2 ydy = 2xy 2 dx + 2x 2 ydy r 1 r 2 r 2 r 1 בצירוף המסילה נגדיר מסילה סגורה r המתקבלת על ידי המסילה במגמה הפוכה. כלומר.r = r 1 r 2 יהי התחום החסום בתוך r. על פי משפט גרין 2xy 2 dx + 2x 2 ydy = r (Q x P y )dx dy = (4xy 4xy)dx dy = 0 r 1 2xy 2 dx + 2x 2 ydy =,r = r 1 r 2 נקבל r 2 2xy 2 dx + 2x 2 ydy מאחר ו זה נכון לכל זוג מסילות שבחרנו באקראי, ולכן העבודה של F אינה תלויה במסלול.

461 שדה וקטורי משמר הגדרה 11.3: שדה וקטורי דו מימדי F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j נקרא שדה משמר בתחום, אם לכל שתי מסילות r 2 r, 1 בתחום, שמתחילות באותה נקודה ומסתיימות באותה נקודה מתקיים F d r = F d r r 1 r 2 אנו מניחים כמובן ששתי המסילות מכוונות מנקודת ההתחלה לנקודת הסוף. בפיזיקה שדה כוח משמר הוא שדה שבו כמות העבודה המתבצעת על ידי השדה בין נקודה A לנקודה B אינה תלויה במסלול, והיא קבועה עבור כל המסלולים המחברים את הנקודה A לנקודה B. דוגמאות לשדות כוח כאלה הן שדה הגרביטציה ושדה כוח חשמלי. משפט 11.3: יהי F שדה וקטורי רציף בתחום (קשיר). שלושת הטענות הבאות שקולות א. F הוא שדה משמר בתחום. ב. האינטגרל הקווי לאורך כל מסילה חלקה וסגורה r בתחום מתאפס r F d r = 0 ג. קיימת פונקציה (y u(x, גזירה ברציפות בתחום כך ש u(x, y) = F(x, y). על כל נקודה בתחום F = u x i + u y כלומר j

462 אז הפונקציה (y u(x, נקראת פונקציית הפוטנציאל של השדה F. מסקנה 11.4: אם r היא מסילה המחברת בין הנקודות B, A, בתחום, F d r = u(b) u(a) r כלומר, העבודה מהנקודה A לנקודה B שווה להפרש הפוטנציאל בין שתי הנקודות, ואינה תלויה במסלול. הסיבה לכך פשוטה: אם r(t) = (x(t), y(t)), a t b W = היא מסילה חלקה כלשהי שמחברת בין הנקודה A לנקודה B, אז = = = r b a b a b a F d r [ ] u x (x(t), y(t)) i + u y (x(t), y(t)) [x (t) i + y (t) j]dt u x dx dt + u y dy dt dt d [u(x(t), y(t))] dt dt = u(x(b), y(b)) u(x(a), x(b)) = u(b) u(a) הוכחת המשפט: נוכיח כי א ב ג א. א ב: לאורך כל מסילה סגורה,r(t) r נניח כי F שדה משמר ונוכיח כי = 0 d r F [b t,,a] בעלת מגמה חיובית (נגד כיוון השעון). תהי m נקודת האמצע של הקטע [b,a]. נגדיר שתי מסילות r 1 (t) = r(t), a t m r 2 (t) = r(t), m t b ברור כי r, 2 r, 1 שתי מסילות פתוחות במגמה חיובית שסכומן הוא r. לכן נוכל לרשום ) 2.r = r 1 ( r למסילות, r 2,r 1 אותה נקודת התחלה ואותה

463 r 1 F d r = r 2 F d r נקודת סיום, לכן על פי ההנחה F d r = F d r = F d r F d r = 0 r r 1 ( r 2 ) r 1 r 2 ולכן ב ג: תזכורת: (משפט ערך הביניים האינטגרלי) אם f(x) פונקציה רציפה בקטע סגור [b,a] אזי קיימת נקודת ביניים [b c,a] כך ש b a f(x)dx = f(c)(b a) אנו מניחים שהאינטגרל הקווי על כל מסילה סגורה וחלקה ב מתאפס. נוכיח את קיומה של פונקציית פוטנציאל. לשם כך נבחר נקודת ייחוס קבועה r M נבחר מסילה בתחום M(x, y) ולכל נקודה,M 0 = (x 0, y 0 ) המחברת בין הנקודה M 0 לנקודה (y M(x, (ראה איור 11.11), ונגדיר את הפונקציה u(x, y) = F d r r M נוכיח כי (y u(x, היא פונקציית פוטנציאל של השדה F. נרשום F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j עלינו להוכיח כי u x (x, y) = P (x, y), u y (x, y) = Q(x, y) u x (x, y) = lim h 0 u(x + h, y) u(x, y) h נסתפק בהוכחת השוויון הראשון = P (x, y)

464 איור :11.11 פונקציית פוטנציאל של F שווה לעבודה מהנקודה ) 0 M 0 (x 0, y לנקודה y) M(x, עבור ערך מספיק קטן של h, נסמן את הנקודה (y N(x +,h ואת המסילה r N כפי שרואים באיור (11.11). נוסיף גם את המסילה r h שמחברת את הנקודה M לנקודה N. הפרמטריזציה של r h פשוטה מאוד r h (t) = (t, y), x t x + h ברור שהצירוף של שלושת המסילות r = r M + r h r N יוצר מסילה סגורה בתחום, ועל פי ההנחה האינטגרל הקווי על r מתאפס F d r = 0 r M +r h r N r h F d r = r N r M F d r = F d r F d r r N r M לכן

465 u(x + h, y) u(x, y) u x (x, y) = lim h 0 h r N F d r = lim h 0 1 = lim h 0 h נחזור לחישוב הנגזרת החלקית (y u x,x) h r M F d r F d r r h 1 x+h = lim [P (t, y), Q(t, y)] (1, 0) dt h 0 h x 1 x+h = lim P (t, y) dt h 0 h x 1 = lim [P (c, y) h], c [x, x + h] h 0 h = P (x, y) בשלב האחרון השתמשנו במשפט ערך הביניים האינטגרלי ובתכונת הרציפות x+h x P (t, y) dt = P (c, y) h, c [x, x + h] של P כאשר c היא נקודת ביניים בקטע h],[x, x + ולכן כאשר 0,h.c x u y (x, y) = Q(x, y) באופן דומה נוכיח כי ולכן u(x, y) = u x (x, y) i + u y (x, y) j = P (x, y) i + Q(x, y) j = F(x, y) ג א: עכשיו נניח שקיימת פונקציית פוטנציאל (y u(x, ונוכיח כי F שדה משמר. יהיו r, 2 r, 1 שתי מסילות בעלות נקודות קצה זהות. נגדיר מסילה סגורה

466.r = r 1 r 2 יספיק כמובן להוכיח כי = 0 d r. r F לשם כך נניח כי. בתחום r היא פרמטריזציה חלקה של,t [a, b],r(t) = (x(t), y(t)) r F d r = = = b a b a b a = u(r(t)) [u x (r(t)) i + u y (r(t)) j] [x (t) i + y (t) j]dt [u x (x(t), y(t))x (t) + u y (x(t), y(t))y (t)]dt d dt u(r(t))dt t=b t=a u(r(b)) u(r(a)) = 0 בשלבים האחרונים נעזרנו בכלל השרשרת ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. המסילה שלנו r סגורה ולכן r(b).r(a) = דוגמא 11.12: חשב את העבודה שעושה שדה הכוח F(x, y) = 3x 2 y i + (x 3 + 2y + 1) j x2 (כאשר מגמת המסלול חיובית). 4 + y2 לאורך החצי העליון של האליפסה = 1 9 פיתרון: ננסה לבדוק אם F הוא שדה משמר. לשם כך ננסה לבדוק אם יש u(x, y) = 3x 2 y dx = x 3 y + C(y) לו פונקציית פוטנציאל בכדי למצוא את C(y) נפתור את המשוואה u y = Q u y = x 3 + C (y) = x 3 + 2y + 1 יוצא ש,C(y) = y 2 + y ולכן u(x, y) = x 3 y + y 2 + y היא פונקציית פוטנציאל של השדה F. על פי מסקנה (11.4) מספיק להחסיר את הערכים

467 של פונקציית הפוטנציאל u בנקודות הקצה של המסלול W = u( 2, 0) u(0, 2) = 7 9 = 16 משפט :11.5 יהי F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j שדה גזיר ברציפות מעל תחום פשוט קשר. אזי F הוא שדה משמר אם ורק אם P y (x, y) = Q x (x, y) בכל נקודה.(x, y) הוכחה: כיוון 1: אם F שדה משמר אז קיימת פונקציית פוטנציאל u כך ש u = F. על פי הנתון u גזירה פעמיים ברציפות ולכן על פי משפט אוילר (משפט 8.30).P y = Q x וקיבלנו,u yx = Q x,u xy = P y אבל.u xy = u yx כיוון 2: נניח כי P y = Q x ונוכיח שלכל מסילה חלקה סגורה r המוכלת בתחום. r F d r = 0, יהי E תת התחום של אשר המסילה הסגורה r חוסמת. על פי משפט גרין r F d r = E [Q x P y ] dx dy = E 0 dx dy = 0 סוף הוכחה. התנאי שהתחום הוא פשוט קשר חיוני עבור הכיוון השני של ההוכחה מאחר ואם היה כולל חורים לא נוכל להבטיח שמסילה סגורה r היא היקף של תחום מתאים עבור משפט גרין.

468 דוגמא 11.13: יהי F שדה שפונקציית הפוטנציאל שלו היא u(x, y) = R. 2 על ידי חישוב הנגזרות x 3 y xy 3, x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) לכן F הוא שדה משמר על כל המישור הממשי החלקיות,Q = u y,p = u x הראה כי 0) Q(0,.P y (0, 0) האם זה עומד בסתירה למשפט הקודם? פיתרון: זה לא עומד בסתירה למשפט הקודם כי השקילות תלויה בכך שהנגזרות Q x P, y רציפות, אבל במקרה שלנו הן לא רציפות בנקודה (0,0). F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j = P y = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 = Q x y x 2 + y 2 i + דוגמא 11.14: יהי x x 2 + y 2 j על ידי גזירה פשוטה נמצא כי עבור כל נקודה (y,x) במישור, פרט לראשית הצירים (0,0). מאחר והתחום {(0,0)} 2 R אינו פשוט קשר, המשפט הנ ל אינו מבטיח לנו שהשדה משמר. 2 אכן, האינטגרל הקווי לאורך כל מעגל t) r(t) = (R cos t, R sin הוא F d r = = 2π 0 2π 0 R sin t R 2 1 dt = 2π i + R cos t j R 2 [ R sin(t) i + R cos(t) j]dt לכן השדה F אינו שדה משמר במישור המנוקב {(0,0)} 2 R. ניתן להוכיח שהאינטגרל הקווי של F לאורך כל מסילה r סביב הראשית שווה 2π, על פי 2 התנאי P y = Q x בדרך כלל גורר קיום פונקציית פוטנציאל (ולכן השדה משמר), אך אינו מבטיח שהיא מוגדרת מעל כל התחום הנדון. במקרה שלנו פונקציית הפוטנציאל היא, u(x, (y = arctan y אבל היא אינה x מוגדרת על ציר-, y ולכן לא מספיקה להבטיח שהשדה משמר. אם התחום אינו כולל את הראשית, אז ניתן לתקן את הפונקציה arctan y כך שתהיה מוגדרת על כל. x

469 הרעיון המוצג בתרשים (11.12). יהי התחום החסום בין המסילה r ומעגל כלשהו שנמצא בתוך r איור 11.12: משפט גרין על תחום עם חור מתפרק לשני משפטי גרין על שני תחומים פשוטי קשר על ידי הוספת שתי מסילות r 6 r, 5 בין המסילה r ובין המעגל, התחום מתפרק לשני תחומים פשוטי קשר, 2, 1 אשר משפט גרין חל על כל אחד מהם (מאחר והם אינם מכילים חורים בתוכם!) F d r = F d r = [Q x P y ]dxdy 1 r 1 +r 5 +r 3 +r 6 1 F d r = F d r = [Q x P y ]dxdy 2 r 2 r 6 +r 4 r 5 2 F d r = F d r = r 1 +r 2 +r 3 +r 4 אם נחבר את שני השוויונים נקבל [Q x P y ]dxdy קיבלנו את משפט גרין על תחום עם חור אחד. באופן דומה ניתן להוכיח תוצאה זהה עבור מספר מרובה של חורים. במקרה שלנו Q x = P y ולכן F d r = 0 r 1 +r 2 +r 3 +r 4

470 ולכן F d r = F d r = ( 2π) = 2π r r 3 +r 4 את האינטגרל האחרון כבר חישבנו בתחילת הדוגמא אבל בכיוון ההפוך, ולכן הוספנו מינוס. קיבלנו אם כן שהאינטגרל הקווי על כל מסילה שמקיפה את הראשית שווה 2π. אינטגרל משטחי מסוג ראשון בדומה לאינטגרל לאורך עקום, קיים גם מושג של אינטגרל על פני משטח (שני סוגים). הטיפול באינטגרלים משטחיים מצריך סוג נוסף של תאור משטחים. משטחים פרמטריים משטחים במרחב R 3 הוצגו כבר בתחילת הקורס כגרפים של פונקציה מפורשת y) z = f(x, או כמשטחי רמה של פונקציה.F (x, y, z) = C סוג המשטחים שניתן לתאר באמצעות גרפים מאוד מוגבל. למשל לא ניתן לתאר שטח פני כדור או טורוס באמצעות פונקציה (y z. = f(x, התאור באמצעות משטח רמה F,x),y (z = C סובל גם הוא ממגבלות שונות. בנוסף לשתי ההצגות האלה, קיימת גם ההצגה הפרמטרית שמתבססת על פונקציה וקטורית S : R 2 R 3 S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כאשר הוא תחום בעל שטח במישור הדו מימדי R, 2 אך במרבית המקרים שנפגוש הוא בדרך כלל מלבן d].[a, b] [c, מאחר ומשטחים הם גופים בעלי מימד 2, נדרשים שני פרמטרים בכדי לתאר משטח. המשטח הוא התמונה של הפונקציה S.

471 לפעמים נרשום זאת כך: S : x = x(u, v) y = y(u, v) (u, v) R 2 z = z(u, v) כל גרף רגיל של פונקציה מפורשת (y z = f(x, מעל תחום הגדרה, ניתן להציג על ידי פרמטריזציה טבעית S(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) דוגמא :11.15 ) 2,u 2 + v 2 4, S(u, v) = (u, v, 9 u 2 v כאשר הוא רק חלק קטן של תחום ההגדרה המקסימלי = { (u, v) u 2 + v 2 4 } איור 11.13: כיפת חצי כדור עליון דוגמא :11.16 המשטח 2) θ,, S(r, θ) = (r cos θ, r sin מעל התחום = { (r, θ) 0 r 3, 0 θ 2π} הוא למעשה תאור של דיסק במרחב ברדיוס 3 בגובה = 2 z.

472 איור :11.14 פרמטריזציה של הדיסק 9 2 z = 2, x 2 + y דוגמא :11.17 פרמטריזציה של פני כדור היחידה = 1 2 x 2 + y 2 + z S(ϕ, θ) = (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) 0 ϕ π 0 θ 2π איור :11.15 פרמטריזציה של פני כדור היחידה = 1 2 x 2 + y 2 + z תרגיל 11.5: מצא פרמטריזציה של שמינית פני כדור היחידה x 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z 0 דוגמא 11.18: פרמטריזציה של שפת טורוס בעל רדיוס ציר = 4 R ורדיוס חתך = 1 r x = (4 + cos ϕ) cos θ y = (4 + cos ϕ) sin θ z = sin ϕ 0 θ 2π 0 ϕ 2π

473 איור :11.16 פרמטריזציה של טורוס בעל רדיוסים = 4 R r = 1, ציטוט מהויקיפדיה: בטופולוגיה, מתארים את הטורוס הדו ממדי כמרחב מנה של ריבוע, על ידי הדבקת זוגות הצלעות המקבילות באותו כיוון. במשחקי מחשב רבים (למשל פק מן) מתואר המרחב שבו משחקים על ידי מפה מלבנית, שבה אפשר לעבור מן הקצה העליון לתחתון ולהפך, וכן מן הקצה הימני לשמאלי, ולהפך. מבחינה טופולוגית, עולם כזה הוא טורוס איור 11.17: איפיון טופולוגי של טורוס כמלבן שצלעותיו הנגדיות מודבקים משטחים חלקים יהי S : R 2 R 3 משטח פרמטרי נתון S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ותהי (u 0, v 0 ) נקודה נתונה. על ידי הקפאת,u0 נגדיר מסלול r u 0 r u 0 (t) = S(u 0, t) = (x(u 0, t), y(u 0, t), z(u 0, t)) ועל ידי הקפאת v 0 נגדיר מסלול שני (t) r v 0 r v 0 (t) = S(t, v 0 ) = (x(t, v 0 ), y(t, v 0 ), z(t, v 0 ))

474 אם כל הפונקציות (v z(u, (v,y(u, (v,x(u, גזירות ברציפות בסביבת r, v 0 יש וקטורים משיקים כפי שרואים,r u 0 הנקודה ) 0 (u 0, v אז למסלולים באיור (11.18). נסמן אותם על ידי S u = x u (u 0, v 0 ) i + y u (u 0, v 0 ) i + z u (u 0, v 0 ) k S v = x v (u 0, v 0 ) i + y v (u 0, v 0 ) i + z v (u 0, v 0 ) k המכפלה הוקטורית של שני הוקטורים האלה S u S v תתן לנו וקטור נורמל למשטח בנקודה ) 0. S(u 0, v איור 11.18: מפגש בין קו אורך וקו רוחב על משטח פרמטרי בנקודה ) 0 u) 0, v הגדרה :11.4 משטח פרמטרי S נקרא חלק בנקודה (u 0, v 0 ) אם א. כל הנגזרות החלקיות של הפונקציות (v z(u, (v,y(u, (v,x(u, קיימות ורציפות בסביבת הנקודה ) 0 (u 0, v ב. 0 v S u S המשטח S נקרא משטח חלק בתחום אם הוא חלק בכל נקודה (v,u) של התנאי השני 0 v S u S מבטיח קיום וקטור נורמל בכל נקודה במשטח, ולכן גם קיום מישור משיק.. בדומה למפות גאוגרפיות, ניתן להתייחס למסלולים (t S(u 0, כאל קווי אורך, ואל המסלולים ) 0 S(t, v כאל קווי רוחב. התנאי השני מבטיח

475 שאין השקה בין קו אורך וקו רוחב (הם תמיד יחתכו בזווית מסוימת). לכן במובן מסוים הפרמטריזציה של משטח מרחבי היא מעין מערכת קואורדינטות מעוותת שבה כל נקודה (z,x),y במשטח מתמפה לזוג קואורדינטות v) (u, במישור.R 2 איור 11.19: משטח פרמטרי מנקודת מבט של מערכת קווי אורך וקווי רוחב דוגמא :11.19 הפרמטריזציה של החרוט העליון z = x 2 + y 2 מעל הרצועה האינסופית 2π] [0, ) [0, היא S(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), r 0, 0 θ 2π קל לבדוק שהמשטח חלק בכל נקודה (0,0) (θ,r). בנקודה (0,0) המשטח אינו חלק (כפי שניתן להתרשם מהשפיץ בשירטוט 11.20). איור 11.20: פרמטריזציה של חרוט עליון. המשטח חלק בכל נקודה מלבד (0,0) כל הפונקציות גזירות ברציפות בתחום, אבל הוקטור הנורמל S r S θ מתאפס

476 בנקודה 0) (0, S r (0, 0) = x r (0, 0) i + y r (0, 0) i + z r (0, 0) k = cos(0) i + sin(0) j + k = i + k S θ (0, 0) = x θ (0, 0) i + y θ (0, 0) i + z θ (0, 0) k = 0( sin(0)) i + 0(cos(0)) j + 0k = 0 הוקטור (0,0) θ S מתאפס ובכך הוא גורם לנורמל להתאפס. נקודה מסוג זה נקראת נקודה סינגולרית. בשירטוט (11.20) רואים גם את קווי האורך והרוחב (מעגלים וישרים) של החרוט שתוכנות גרפיות שונות משתמשות בהם בכדי לשרטט את המשטח על דף דו מימדי וגם כמבנה נתונים שמייצג את המשטח (משחקי מחשב). קווי האורך (ישרים) נפגשים כולם בנקודה הסינגולרית (0,0). תרגיל 11.6: מצא פרמטריזציה עבור ההיפרבולואיד החד יריעתי x 2 + y 2 z 2 = 1 x = cosh(u) cos(θ) y = cosh(u) sin(θ) z = sinh(u) 0 θ < 2π < u < הדרכה: משטחים דו צדדיים מבחינה גאומטרית כל משטח שראינו עד עכשיו יש שני צדדים. בדרך כלל למעלה ולמטה. מבחינה מתימטית ההגדרה של משטח דו צדדי היא מורכבת. היא מתבססת על הרעיון שכיוון הנורמל נשאר קבוע לאורך כל טיול על פני המשטח. אם אנו עומדים על נקודה מסוימת ומשוטטים עם

477 הנורמל (נניח בצורת דגל) על פני המשטח, לא ייתכן מצב בו נחזור לאותה נקודה כשהנרומל עבר לצד הנגדי. מסתבר שקיימים גם משטחים בעלי צד יחיד בלבד (משטחים חד צדדיים). הדוגמא הכי ידועה נקראת טבעת מביוס strip) (Möbius שרואים בתרשים (11.21) איור 11.21: טבעת מביוס strip) (Möbius הפרמטריזציה הסטנדרטית של טבעת מביוס היא u [0, 2π] v [ 1, 1] S x = ( 1 + v 2 cos u 2 ) cos u y = ( 1 + v 2 cos u 2 ) sin u z = v 2 sin u 2 חישוב שטח פנים נתחיל בבעייה גאומטרית של חישוב שטחו של משטח דו צדדי S הנתון בצורה פרמטרית S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כמו קודם, ננסה להתקרב לשטח הפנים על ידי חלוקת המשטח S למשטחים אלמנטריים קטנים S, ij שנעשים יותר ויותר קרובים למקבילית ככל שפרמטר החלוקה שואף לאפס. נציג את הרעיון הכללי מבלי להיכנס לפרטים הקטנים.

478 לשם פשטות נניח שהתחום הוא מלבן = [a, b] [c, d] נחלק את הקטע [b,a] ל n תתי קטעים, ואת הקטע [d,c] ל m תתי קטעים a = u 0 < u 1 < u 2 < < u i < u i+1 < u n = b c = v 0 < v 1 < v 2 < < v i < v i+1 < v n = d ותהי T חלוקה אינטגרלית של למלבנים אלמנטריים (11.10) ij = u i v j = [u i, u i+1 ] [v j, v j+1 ] i = 0, 1, 2,..., n 1 j = 0, 1, 2,..., m 1 כפי שראינו בתרשים (11.19), החלוקה n מגדירה סריג שנוצר על ידי T מסילות אורך t), S(u i, ו m מסילות רוחב ) j. S(t, v ראה תרשים.(11.22) איור 11.22: החלוקה T התחום מגדירה סריג על המשטח S כאמור, המשטח שלנו S מתקבל על ידי. S() לכל זוג אינדקסים j, i, נגדיר אלמנט שטח S ij = S( ij ) = S( u i v j )

479 ברור כי המשטח שלנו S הוא האיחוד של m n אלמנטים האלה S = n 1 i=0 m 1 משירטוט (11.23) ניתן להתרשם שכאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס, אלמנט j=0 S ij השטח S ij מתקרב בצורתו למקבילית ששוקיה הם α = S(u i+1, v j ) S(u i, v j ) β = S(u i, v j+1 ) S(u i, v j ) איור :11.23 קירוב אלמנט שטח S ij על ידי שטח מקבילית ( S u S v ) u i v j כזכור הוקטור ) j S u (u i, v מציין את המהירות הרגעית של המסלול ) i S(t, v בנקודת הזמן.t = u i באופן דומה, הוקטור ) j S v (u i, v מציין את המהירות הרגעית של המסלול (t S(u i, בנקודת הזמן t. = v i לכן על ידי נוסחת הדרך כמכפלת מהירות בזמן נקבל קירובים עבור β α, α S u (u i, v j ) u i, β S v (u i, v j ) v i מכאן נקבל נוסחה מקורבת לשטח האלמנט S ij (11.11) S ij S u (u i, v j ) S v (u i, v j ) u i v j

480 נוכל להגיע לתוצאה האחרונה גם מנוסחת הקירוב הלינארי עבור פונקציה S = n 1 i=0 S(u i+1, v j ) S(u i, v j ) S u (u i, v j ) u i S(u i, v j+1 ) S(u i, v j ) S v (u i, v j ) v j 3 וקטורית לכן נקבל סכום אינטגרלי עבור השטח הכולל של המשטח S m 1 j=0 S ij n 1 i=0 m 1 j=0 v) S u (u, v) S v (u, מעל התחום. אם u i v i בביטוי S u (u i, v j ) S v (u i, v j ) u i v j זהו סכום רימן של הפונקציה פרמטר החלוקה שואף לאפס, נוכל להחליף את הביטוי,du dv ולהחליף את הסכום הכפול באינטגרל כפול ולקבל את נוסחת שטח הפנים של משטח פרמטרי S (11.12) S = S u (u, v) S v (u, v) du dv להלן הניסוח המדויק של המשפט על תנאיו. משפט 11.6: יהי S משטח דו צדדי נתון בצורה פרמטרית S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כאשר הוא תחום מישורי בעל שטח. אם S היא פרמטריזציה חלקה מעל התחום אזי שטח הפנים של S הוא S u S v du dv הערה: המשפט נשאר נכון גם אם קבוצת הנקודות שבהן S אינה חלקה היא 3 נוסחת הקירוב הליניארי עבור פונקציה וקטורית נובעת בקלות מהנוסחה הסקלרית על ידי הפעלת נוסחת הקירוב הלינארי לכל הרכיבים

481 בעלת שטח אפס. מסקנה 11.7: אם S הוא גרף של פונקציה (y z = f(x, גזירה ברציפות בתחום בעל שטח, אז שטח הפנים של S הוא (11.13) S = f 2 x + f 2 y + 1 dx dy הוכחה: נשתמש בפרמטריזציה הטבעית של הפונקציה (y z = f(x, S(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) S u = (1, 0, f u ), S v = (0, 1, f v ) ולכן N = S u S v = i j k 1 0 f u 0 1 f v = f u i f v j + k ולכן S = N = f x ולכן i f y במשתנים המקוריים j + k f 2 x + f 2 y + 1 dx dy דוגמא 11.20: חשב את שטח הפנים של החרוט העליון z = x 2 + y 2 מעל = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } עיגול היחידה פיתרון: נשתמש בקואורדינטות גליליות עבור פרמטריזציה של החרוט S(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), 0 r 1, 0 θ 2

482 נחשב נורמל למשטח N = S r S θ = (cos θ, sin θ, 1) ( r sin θ, r cos θ, 0) = ( r cos θ, r sin θ, r cos θ, r) אורך הנורמל הוא N = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ + r 2 = 2r S = N dr dθ = 2π 2r dr dθ = 1 0 0 2r dθ = 2π ולכן דוגמא :11.21 מצא את נוסחת שטח פני הכדור.x 2 + y 2 + z 2 = R 2 הדרכה: ניתן להשתמש בפרמטריזציה הרגילה (קואורדינטות כדוריות) S(ϕ, θ) = (R sin ϕ cos θ, R sin ϕ sin θ, R cos ϕ) 0 ϕ π 0 θ 2π קל לגזור את S S ϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sin θ, R sin ϕ) S θ = ( R sin ϕ sin θ, R sin ϕ cos θ, 0)

483 לכן S ϕ S θ = i j k R cos ϕ cos θ R cos ϕ sin θ R sin ϕ R sin ϕ sin θ R sin ϕ cos θ 0 = R 2 sin 2 ϕ cos θ i + R 2 sin 2 ϕ sin θ j + R 2 (sin ϕ cos ϕ cos 2 θ + sin ϕ cos ϕ sin 2 θ) k = R 2 sin 2 ϕ cos θ i + R 2 sin 2 ϕ sin θ j + R 2 sin ϕ cos ϕ k [ = R sin ϕ R sin ϕ cos θ i + R sin ϕ sin θ j + R cos ϕ ] k = R sin ϕ [x i + y j + z k] S ϕ S θ = R sin ϕ x i + y j + z k = R 2 sin ϕ לכן ולכן S = 2π π 0 0 S ϕ S θ dϕ dθ = 2π π 0 0 R 2 sin ϕ dϕ dθ = 4πR 2 פיתרון שני: ניתן גם להשתמש בפרמטריזציה פשוטה של חצי כדור עליון S(x, y) = (x, y, R 2 x 2 y 2 ), x 2 + y 2 R 2,f(x, y) = R 2 x 2 y 2 ואת עיגול היחידה ב, אז על פי S = f 2 x + f 2 y + 1 dx dy = 2 R 0 2π 0 אם נסמן נוסחה (11.13) Rr dθ dr = 4πR2 R2 r2

484 תרגיל 11.7: חשב את שטח הפנים של הטורוס x = (R + r cos ϕ) cos θ y = (R + r cos ϕ) sin θ z = r sin ϕ 0 θ 2π 0 ϕ 2π הדרכה: נוכל כמובן לרשום S(ϕ, θ) = ((R + r cos ϕ) cos θ, (R + r cos ϕ) sin θ, r sin ϕ) S ϕ = ( r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) ולכן S θ = ( (R + r cos ϕ) sin θ, (R + r cos ϕ) cos θ, 0), לכן S ϕ S θ = i j k r sin ϕ cos θ r sin ϕ sin θ r cos ϕ (R + r cos ϕ) sin θ (R + r cos ϕ) cos θ 0 = r(r + r cos ϕ) cos ϕ cos θ i + r(r + r cos ϕ) cos ϕ sin θ j r(r + r cos ϕ) sin ϕ k ריבוע האורך של S ϕ S θ הוא S ϕ S θ 2 = r 2 (R + r cos ϕ) 2 cos 2 ϕ cos 2 θ + r 2 (R + r cos ϕ) 2 cos 2 ϕ sin 2 θ + r 2 (R + r cos ϕ) 2 sin 2 ϕ = r 2 (R + r cos ϕ) 2 ( cos 2 ϕ cos 2 θ + cos 2 ϕ sin 2 θ + sin 2 ϕ ) = r 2 (R + r cos ϕ) 2 1 לכן האורך של S ϕ S θ הוא S ϕ S θ = r(r + r cos ϕ)

485 S = 2π 2π 0 0 S ϕ S θ dϕ dθ = 2π 2π 0 0 שטח הפנים של S נתון על ידי r(r + r cos ϕ)dϕ dθ = 4rRπ 2 אינטגרל משטחי מסוג 1 בדומה לאינטגרל הקווי מהסוג הראשון, מטרת האינטגרל המשטחי מהסוג הראשון היא לסכום גודל סקלרי כמו צפיפות מסה או טמפרטורה על פני משטח פרמטרי במרחב R. 3 יהי S משטח דו צדדי וחלק, נתון בצורה פרמטרית S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כאשר הוא תחום מישורי בעל שטח. תהי (z f(x,,y פונקציה סקלרית רציפה המוגדרת על המשטח S. נניח למשל שהפונקציה (z f(x,,y מציינת צפיפות מסה נקודתית על פני המשטח S, וברצוננו לחשב את המסה הכוללת M של S. נתבונן שוב בחלוקה האינטגרלית T שהגדרנו בנוסחה (11.10). כאשר פרמטר החלוקה ) T) שואף לאפס, נוכל להניח שהמסה של אלמנט שטח S ij נתונה על ידי.f( S(u i, v j ))S ij נקבל את הסכום האינטגרלי הבא M n 1 i=0 n 1 i=0 m 1 j=0 m 1 j=0 f f ( S(u i, v j )) S ij ( ) S(u i, v j ) S u (u i, v j ) S v (u i, v j ) u i v j f, ולכן ( ) זהו בבירור סכום רימן של הפונקציה S(u, v) S u S v M = S f(x, y, z)ds = f ( ) S(u, v) S u S v du dv

486 S f(x, y, z)ds הסימון הפורמלי של האינטגרל הוא S u S v כאשר ds הוא ייצוג סימבולי של אלמנט השטח du dv ברור שאם = 1 (z f(x,,y על כל המשטח S, אז מקבלים שוב את נוסחת S = S 1dS = S u S v du dv = שטח הפנים של S N du dv כאשר N = S u S v הוא הנורמל למשטח S בנקודה נתונה v).(u, דוגמא :11.22 חשב את מסת שטח הפנים של הכדור = 1 2,x 2 + y 2 + z כאשר פונקציית צפיפות המסה היא z.f(x,,y (z = פיתרון: משיקולי סמטריה יספיק לחשב את מסת חצי הכדור העליון אשר S(ϕ, θ) = (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) הפרמטריזציה שלו נתונה על ידי 0 ϕ π 2, 0 θ 2π חישוב נורמל S ϕ = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ) S θ = ( sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, 0) S ϕ S θ = i j k cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ 0 = (sin 2 ϕ cos θ, sin 2 ϕ sin θ, sin ϕ cos ϕ) = sin ϕ (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) = sin ϕ (x, y, z)

487 S ϕ S θ = sin ϕ (x, y, z) = sin ϕ לכן S z ds = 2π 0 π 2 0 cos ϕ sin ϕ dϕ dθ = π לכן אינטגרל משטחי מסוג שני בעוד שאינטגרל משטחי מסוג ראשון חל על פונקציה סקלרית, האינטגרל המשטחי מהסוג השני חל על פונקציה וקטורית (שדה וקטורי) במרחב R. 3 יהי S משטח דו צדדי וחלק, נתון בצורה פרמטרית S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כאשר הוא תחום מישורי בעל שטח. יהי (z F(x,,y שדה וקטורי רציף המוגדר על המשטח S. בשימושים פיזיקאליים F עשוי לייצג שדה כוח גרביטציה, שדה חשמלי, או שדה מהירות זרימת נוזל או גז בתוך תחום מרחבי נתון. בכל נקודה (z,x),,y הוקטור (z F(x,,y הוא וקטור שמציין את הכיוון והעוצמה של הזרימה בנקודה. במקרה של שדה וקטורי דו מימדי, המוטיבציה העיקרית להגדרת האינטגרל הקווי לאורך מסילה היתה חישוב כמות העבודה (work) שמבצע השדה על גוף הנע לאורך מסלול. המוטיבציה הפיזיקאלית במרחב R 3 היא חישוב גודל השטף (flux) של שדה F דרך משטח S. לדוגמא, אם F הוא שדה וקטורי של זרימת מיים בתחום ימי ו S היא רשת דייגים הפרושה בתוך המיים, נוכל לשאול מהי כמות המיים העוברת דרך הרשת ביחידת זמן? התשובה לשאלה זו תיענה באמצעות האינטגרל המשטחי מהסוג השני. נתבונן שוב בחלוקה האינטגרלית T שהגדרנו בנוסחה (11.10). כאשר פרמטר החלוקה ) T) שואף לאפס, השטף של השדה F דרך אלמנט שטח S ij שווה בקירוב לנפח המקבילון הנוצר על ידי הוקטורים, F, S v v j, S u u i כפי

488 איור 11.24: שדה חשמלי בעל מטען חיובי יחיד בראשית הצירים שרואים בשירטוט (11.26) איור 11.25: שדה וקטורי המתאר זרימת נוזל או גז בתחום מרחבי Flux(S ij ) F ( S u S v ) u i v j אם נסכם את הגודל הזה על פני כל n m אלמנטי השטח נקבל את הסכום

489 S ij האינטגרלי הבא איור 11.26: קירוב ליניארי של שטף השדה F דרך אלמנט שטח Flux(S) = n 1 i=0 m 1 j=0 Flux(S ij ) n 1 i=0 m 1 j=0 [ ( F S(u i, v j )) ] S u (u i, v j ) S v (u i, v j ) u i v j ( ) זהו סכום רימן של הפונקציה v). F S(u, v) S u (u, v) S v (u, Flux(S) = לכן נוסחת השטף של השדה F דרך המשטח S היא ( ) F S(u, v) S u (u, v) S v (u, v) du dv האינטגרל האחרון מסומן בקצרה על ידי כל אחד משני הסימונים הבאים S F n ds = S F d S והוא נקרא האינטגרל המשטחי מהסוג השני של F מעל S., S אנו נשתמש בעיקר בסימון, S F d S אך חשוב לציין שבסימון F n ds

490 הוקטור n מציין את נורמל היחידה (וקטור נורמל בעל אורך 1)! n = S u (u, v) S v (u, v) S u (u, v) S v (u, v) והביטוי ds מציין אלמנט שטח סקלרי ds = S u (u, v) S v (u, v) du dv ומכאן מקבלים nds = S u (u, v) S v (u, v) S u (u, v) S v (u, v) S u (u, v) S v (u, v) du dv = S u (u, v) S v (u, v)du dv = d S משפט 11.8: יהי S משטח דו צדדי וחלק, הנתון בצורה פרמטרית S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) כאשר הוא תחום מישורי בעל שטח. יהי (z F(x,,y שדה וקטורי רציף המוגדר על המשטח S. אזי האינטגרל המשטחי מהסוג השני של F מעל S נתון על ידי (11.14) S F d S = ( ) F S(u, v) S u (u, v) S v (u, v) du dv ( ) נציין שוב כי הביטוי v) F S(u, v) S u (u, v) S v (u, הוא פונקציה סקלרית, ולכן האינטגרל שבנוסחה (11.14) הופך בסופו של דבר להיות אינטגרל כפול N = S u S v מתאפס על קבוצה בעלת שטח במשתנים.v,u המשפט נשאר נכון אם הנורמל

491 אפס, וגם אם השדה F אינו רציף על קבוצת נקודות בעלת שטח אפס. מדידת השטף על פי נוסחה (11.14) היא ביחס לכיוון של הנורמל N. הביטוי d S מציין אלמנט שטח מכוון:.d S = S u S v du dv.ds = הביטוי ds לעומת זאת מציין אלמנט שטח סקלרי: S u S v du dv כאשר משתמשים בשיטת הסימון השניה S, F n ds אז האינטגרל הופך להיות למעשה אינטגרל משטחי מסוג ראשון בפונקציה הסקלרית F. n אם S הוא גרף פשוט של פונקציה (y z = f(x, מעל תחום בעל שטח, S F d S = אז הנוסחה עבור האינטגרל המשטחי היא F(x, y, f(x, y)) ( f x, f y, 1) dx dy דוגמא :11.23 חשב את השטף של השדה הוקטורי F = x 3 i + xy 2 j + z k דרך הדיסק } 1 = z.s = { (x, y, z) x 2 + y 2 4, פיתרון: פרמטריזציה פשוטה של הדיסק היא S(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, 1) = { (r, θ) 0 r 2, 0 θ 2π} חישוב נורמל N = S r S θ = (cos θ, sin θ, 0) ( r sin θ, r cos θ, 0) = (0, 0, r) F d S = S = = F N dr dθ (r 3 cos 3 θ i + r 3 cos θ sin 2 θ j + k) (0, 0, r) dr dθ 2 2π r dr dθ = r dθ dr = 4π 0 0 לכן דוגמא 11.24: חשב את השטף בכיוון ציר z השלילי של השדה הוקטורי

492.z 0,x 2 + y 2 + z 2 דרך חצי הספירה עליונה = 1 F = (0, 0, 1 z ) פיתרון: נשתמש בעבודה שכבר עשינו בדוגמא (11.17) ובדוגמא (11.21). S(ϕ, θ) = (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) הפרמטריזציה של S היא = { (ϕ, θ) 0 ϕ π, 0 θ 2π} בדוגמא (11.21) חישבנו את הנורמל למשטח S ומצאנו S ϕ S θ = (sin 2 ϕ cos θ, sin 2 ϕ sin θ, sin ϕ cos ϕ) = sin(ϕ) S(ϕ, θ) בדיקה פשוטה (למשל הצבת θ) = 0 ϕ, = π מוכיחה שהנורמל N מצביע 4 לכיוון החיובי של ציר z, ולכן בכדי לקבל את השטף בכיוון ההפוך, יש להפוך S F d S = = = F( S(ϕ, θ)) sin(ϕ) S(ϕ, θ) dϕ dθ (0, 0, 1 cos ϕ ) sin(ϕ) S(ϕ, θ) dϕ dθ sin(ϕ) dϕ dθ = 2π את סימן הנורמל שטף דרך משטח הנתון בצורה סתומה יהי S משטח נתון בצורה סתומה G(x,,y (z = C שעבורו קיים חילוץ S הפרמטריזציה הטריביאלית של. מעל תחום מישורי R 2 z = f(x, y) S(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) היא כזכור ממשפט הפונקציות הסתומות f x = G x G z, f y = G y G z

493 S x S y = i j k 1 0 f x 0 1 f y ולכן = fx i f y j + k = G x G z i + G y G z j + k = 1 G z G קיבלנו נוסחה פשוטה לחישוב שטף דרך משטח הנתון בצורה סתומה (11.15) S F d S = F G dx dy G z דוגמא :11.25 חשב את השטף של השדה הוקטורי F = xz i + yz j + z 2 k דרך רבע הספרה S x 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z 0 בכיוון החיובי של ציר z. פיתרון: הגרדיאנט של G(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 הוא G = 2x i + 2y j + 2z k S F d S = = = והנגזרת החלקית.G z = 2z לכן (xz i + yz j + z 2 k) (2x i + 2y j + 2z k) 2z (x 2 + y 2 + z 2 ) dx dy 1 dx dy = π 4 dx dy } 0 y = { (x, y) x 2 + y 2 1, x, הוא רבע עיגול יחידה, ולכן כאשר האינטגרל האחרון הוא רבע משטחו (π).

494 תרגילים 1. חשב את אורך הסליל הלולייני Helix) (Spiral איור 11.27: מסילה בצורת סליל לוליני Helix) (Spiral במרחב R 3 2. חשב את המסה של המסילה r(t) = (t, ln t), 1 t 3 כאשר צפיפות המסה נתונה על ידי.ρ(x, (y = x 2 3. חשב את המסה של המסילה r(t) = (sin t + cos t, sin t cos t), 0 t 2π כאשר צפיפות המסה נתונה על ידי + 6 3y.ρ(x, y) = 2x + 4. חשב את אורך העקום המתקבל על ידי חיתוך של הפרבולואיד z = x 2 y+ 2 עם המישור = 0 4 z.2x 4y +

495 r לאורך המסילה x+y x y x y 5. חשב את האינטגרל הקווי dx + dy x+y r(t) = (t, t 1), 1 t 2 לאורך המסילה r.6 חשב את האינטגרל הקווי (3x y)dx + (x + y)dy r(t) = (t + e t, 1 + e t ), 0 t 1.7 חשב את העבודה המתבצעת על ידי השדה המישורי F = x 2 y i+ 1 x j בהעברת מטען מהנקודה 0) A(1, לנקודה 2) B(e 2, דרך המסלול.y = ln x 8. חשב את העבודה המתבצעת על ידי השדה F = x) 2 + y) i j + בהעברת ( ).r(t) = 1 t+1, t דרך המסלול 1+t )B 1 מטען מהנקודה 0) A(1, לנקודה ) 2 3, 3 9. מצא את השוואה y(x) y = של העקום L העובר דרך הנקודה (0,1)A,, כאשר L p מציין L p ( 5x 3 + 3y)dx + x dy = p4 1 ולכל > 1 p מקיים 4 את קטע המסלול בין הנקודה (0,1)A לנקודה y(p)).b(p,.10 הראה שהאינטגרל הקווי של השדה F = (z 3 + 2xy) i + x 2 j + 3xz 2 k סביב ריבוע היחידה 1] [0, 1] [0, שווה אפס. 11. נתון כי f(x, y, z) = 2xyze x2 i + ze x2 j + ye x2 k, f(0, 0, 0) = 5 חשב את 2).f(1, 1, F = ( cos x ln y + 1 ) ( 2 x+y 2 sin 2x i + sin x + 1 ).12 וודא כי השדה y 2 j x+y הוא שדה משמר ומצא את פונקציית הפוטנציאל שלו. 13. וודא כי השדה F הוא שדה משמר ומצא את פונקציית הפוטנציאל שלו

496 F = א. F = ( 3x 2 y 5 + 2 x + 1) i + ( 5x 3 y 4 + 3e y 1 ) j ( F = arctan y 2 + 2 ) ( x ) x 2x+5 + 2x i + y 2 +1 1 j 1 y ב. 2 ( 2x y 3 4y3 x 5 ) + 2xe x2 i + ( 3x2 y 4 ) + 3y2 + y j x 4 y2 ג. +1.14 תהי z(t)) r(t) = (x(t), y(t), מסילה חלקה במרחב.R 3 א. הגדר פונקציה וקטורית חלקה σ(t) כך שלכל (b t,,a) הוקטור t. בנקודה r(t) הוא וקטור יחידה המשיק למסילה σ(t) ב. חשב את האינטגרל הקווי σ(t) d r r B 15. בתרגילים הבאים הוכח כי F הוא שדה משמר וחשב את העבודה A F d r בשתי הדרכים הבאות: B לנקודה A שימוש במסלול אינטגרציה נוח בין הנקודה (a) A: לנקודה B על ידי הפרש פוטנציאלים בין הנקודה (b) B A F d r = u(b) u(a) F = ( 1 + 2xe y + 2y) i + (3 + 2x + x 2 e y ) j r(t) = 0 t 1 ( ) t 3 +5t t 2 +2, t 4 +2t 3 +5t 2 t 2 +3 F = (6x y 1) i + ( x + 2y + 4) j r(t) = ( (3t 2 + 2t 2 4t)e t, (3t 2 2t)e t) 0 t 1 F = ( 1 y 2 ) ( + 2xy 2y3 i + x 2 2x x 3 y 3 y = x 3 3x 2 + x 2 1 x 3 ) + 3y2 j x 2 א. ב. ג.

497.16 חשב את האינטגל הקווי L (x3 + 2x 2 + y)dx + (2x + y 2 )dy כאשר L הוא האיחוד של ארבעת העקומים הבאים y = x 2 x, 0 x 1 x = 1, 0 y 1 y = x 2 + x + 1, 0 x 1 x = 0, 0 y 1.17 חשב את האינטגל הקווי L (x3 + y 3 )dx + xy dy כאשר L הוא האיחוד של שלושת העקומים הבאים y = x, 0 x 4 x = 4, 2 y 2 y = x, 0 x 4 כאשר L הוא האיחוד של ארבעת L 18. חשב את האינטגל הקווי xy dx+x dy העקומים הבאים y = 0, 1 x 2 y = 4 x 2, 2 x 2 y = 0, 2 x 1 y = 1 x 2, 1 x 1 L, לאורך העקום ( x + y 2 2 ) dx + ( ) x 3 3 + ey 19. חשב את האינטגל הקווי dy.0 x 1,y = 1 x 2 :L הדרכה: סגור את L באמצעות מסלול נוח והיעזר במשפט גרין.

498 20. חשב את השטח של התחום החסום בין שני העקומים הבאים y = 0, y = sin x, 0 x π 0 x π 21. חשב את השטח של התחום החסום בין שני העקומים הבאים x = t 2 t y = 2t 3 3t 2 + t 0 t 1 F(x, y) = ax+by ונתונים התחומים 4x 2 +y 2 i + cx+dy.22 נתון השדה הוקטורי 4x 2 +y 2 j 1 = { (x, y) R 2 (x 10) 2 + (y 10) 2 < 1 } 2 = { (x, y) R 2 0 < 4x 2 + y 2 < 16 } א. מצא תנאי מספיק והכרחי לכך שהשדה F הוא שדה משמר בתחום 1 ב. מצא תנאי מספיק והכרחי לכך שהשדה F הוא שדה משמר בתחום 2 כאשר S הוא שטח הפנים של S 23. חשב את האינטגרל המשטחי xyz ds הפירמידה V = { (x, y, z) R 3 x, y, z 0, x + y + z 1 } S (x2 + y 2 )ds = 128π 3 24. מצא את רדיוס הכדור R אשר עבורו: כאשר S הוא שטח פני הכדור.x 2 + y 2 + z 2 = R 2.25 חשב את שטח כיפת הכדור = 1 2 x 2 + y 2 + z החסום בתוך החרוט.z = x 2 + y 2

499 26. חשב את מסת המשטח S = { (x, y, z) R 3 x + y + z = a, x 2 + y 2 b 2} כאשר צפיפות המסה היא.ρ(x, y, z) = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 + z b, a, קבועים ממשיים חיוביים. 27. משטח בשם הליקואיד (helicoid) מוגדר על ידי הפרמטריזציה S : x = r cos θ y = r sin θ z = θ 0 r R, 0 θ nπ חשב את שטחו של הליקואיד עבור = 1 R, n = 6 (ראה שירטוט 11.28). איור :11.28 הליקואיד (helicoid) בעל רדיוס = 1 R ושלושה סיבובים ) 6π θ 0 (.28 חשב את שטח הגרף של הפונקציה f(x, y) = xy מעל התחום 2 2 x 2 +y איור :11.29 גרף הפונקציה z = xy מעל התחום 2 2 x 2 + y

500.( 1 L C 29. על ידי שימוש בנוסחת השטח של משטח, חשב את שטח המשולש S שקודקודיו הם 0),A(1, 0,.C(0, 1, 2),B(2, 1, 0) השווה את התוצאה שקיבלת לזו שמתקבלת על ידי הנוסחה הרגילה. הדרכה: בטא את S כגרף של פונקציה (y z = f(x, מעל תחום משולש במישור..30 מצא פרמטריזציה מתאימה עבור הגליל = 1 2,x 2 y כאשר > 0,x < 1 y z 1, 1 <.0 היעזר בפרמטריזציה שמצאת בכדי לחשב את שטח הפנים של S. הדרכה: נסה להיעזר בפונקציות ההיפרבוליות.cosh,sinh 31. הוכח את משפט :Papus יהי C עקום חלק ופשוט בחצי המישור הימני אשר אורכו הוא L, ויהי S המשטח הנוצר על ידי הסיבוב של C סביב ציר- y. אזי השטח של S הוא,2πxL כאשר x הוא הערך הממוצע של x לאורך העקום xdl) 32. חשב את שטח המשטח המתקבל על ידי סיבוב הקטע y, = px + q סביב ציר- y.,a > 0,a x b.33 יהי S שטח פני הכדור.x 2 + y 2 + z 2 = R 2 S x 2 ds = א. על בסיס שיקולי סימטריה, הראה כי y 2 ds = S S z 2 ds S x2 ds במאמץ קטן ככל על סמך התוצאה הקודמת חשב את S x2 ב. האפשר. z = העליונה הספרה חצי היא שצורתו S מתכתי משטח 34. נתון.ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 צפיפות המסה נתונה על ידי. R 2 x 2 y 2 חשב את המסה של S. הדרכה: העזר בתרגיל הקודם

501 S, כאשר S הוא המשולש 35. חשב את האינטגרל המשטחי (סוג 1) ds xyz שקודקודיו 0),A(1, 0,.C(0, 1, 1),B(0, 2, 0).36 חשב את האינטגרל המשטחי (סוג (1 ds, S (x2 z + y 2 z) כאשר S הוא החלק של המישור + 4 y z = x + החסום בתוך הגליל 4 2.x 2 + y.37 חשב את האינטגרל המשטחי (סוג (1 ds, S(x + y + z) כאשר S הוא שטח הפנים של כדור היחידה = 1 2.x 2 + y 2 + z.38 חשב את הממוצע של הפונקציה f(x, y, z) = x + z 2 מעל החרוט הקטום.1 z 4,z 2 = x 2 + y 2.39 חשב את השטף של השדה F = xy 2 i + yz 2 j + zx 2 k דרך שטח פני הכדור.x 2 + y 2 + z 2 = R 2 40. חשב את השטף של השדה F = x i + y j + 2 k דרך שטח פני הגוף המרחבי V = { (x, y, z) R 3 3 z 4 x 2 y 2}.41 חשב את השטף של השדה F = (x + z) i + (x + y) j + (y + z) k דרך שטח V = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 R 2, 0 z x } פני הגוף המרחבי.42 תהי T (x, y, z) = 3x 2 + 3z 2 הטמפרטורה בנקודה z).(x, y, חשב את שטף החום העובר דרך שטח הפנים של הגליל V = { (x, y, z) R 3 x 2 + z 2 2, 0 y 2 } כאשר שדה החום נתון על ידי F, = k T ונתון = 1 k.

502.43 נתון כי שדה מהירות הזרימה של נוזל במרחב R 3 הוא 0) y, 0, F = ( ביחידות של מטר לשניה. חשב כמה מטרים מעוקבים של נוזל עוברים דרך שטח הפנים של חצי-גליל V = { (x, y, z) R 3 x 2 + z 2 1, 0 y 1, 0 x 1 }.44 חשב את השטף של השדה F = 3xy 2 i + 3x 2 y j + z 3 k דרך ספרת היחידה.x 2 + y 2 + z 2 = 1 45. השדה (1,0,0) = F מתאר שדה של ירידת גשם הנופל בכיוון מאונך כלפי מטה. מהו שטף הגשם דרך החרוט?x 2 + y 2 1,z = x 2 + y 2 בשלב מסוים רוח חזקה הסיטה את זווית ירידת הגשם ל 45 וכעת השדה 2 ) = F. מהו השטף של השדה החדש דרך החרוט הנ ל? 2, 0, 2 הוא ) 2 [ x ] x (x 2 +y 2 ) 4 46. על ידי שימוש במשפט גרין, חשב את האינטגרל dx dy = { (x, y) R 2 9 x 2 + y 2 16 } כאשר