ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Η Μέοδος Simplex 9 Σύνοψη Το βασικό πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού αφορά στην βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης η οποία εξαρτάται από πολλές μεταβλητές που υπόκεινται σε ένα σύνολο περιορισμών. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται το εωρητικό υπόβαρο της μεόδου Simplex που αναπτύχηκε από τον Dantzig το 947. Δίνεται έμφαση στα εωρήματα που την πλαισιώνουν ενώ παρουσιάζεται μέσω παραδειγμάτων η επαναληπτική της διαδικασία κατά την οποία σε κάε επανάληψη η λύση μετακινείται σε ένα νέο ακρότατο σημείο που βελτιώνει την αξία της αντικειμενικής συνάρτησης. 3. Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήηκε εκτενώς η επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με δύο μεταβλητές και μόνο περιορίζοντας το στον χώρο των δύο διαστάσεων. Ωστόσο, η αυξανόμενη πολυπλοκότητα αρκετών προβλημάτων οικονομικής και όχι μόνο φύσεως ανάγει τον αριμό των μεταβλητών απόφασης σε περισσότερες από δύο. Τα προβλήματα αυτά που ικανοποιούν την παραπάνω συνήκη επιλύονται με βάση την μέοδο Simplex. Η μέοδος αυτή ανακαλύφηκε και αναπτύχηκε από τον Dantig (947) και την ομάδα του που είχε την ονομασία SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs) την περίοδο που εργάζονταν στο Πεντάγωνο των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής με σκοπό την ανάπτυξη βέλτιστων μηχανισμών εκπαίδευσης και συντήρησης όλου του μηχανικού εξοπλισμού. Μετέπειτα, διάφοροι ερευνητές ανακάλυψαν αλγορίμους οι οποίοι βελτίωσαν την διαδικασία επίλυσης της μεόδου Simplex (π.χ. Khachiyan, 979; Karmaar, 984) 3.2 Τυπική μορφή προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού α καλούμε ότι είναι σε τυπική μορφή όταν είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, όλοι του οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη-αρνητικούς τους σταερούς τους όρους και όλες οι μεταβλητές αποφάσεως είναι μη-αρνητικές. Στην περίπτωση που κάποια ή όλες από τις παραπάνω προϋποέσεις δεν ικανοποιείται, α πρέπει να προχωρήσουμε σε μετατροπή του προβλήματος σε τυπική μορφή με βάση τους παρακάτω κανόνες. 3.3 Περιγραφή της Μεόδου Simplex Πριν περάσουμε στην αναλυτική-μαηματική παρουσίαση της συγκεκριμένης μεόδου α χρησιμοποιήσουμε μια περιγραφική παρουσίαση αυτής κατά την οποία και εωρούμε ότι α αναπτυχτούν τα ανάλογα ερωτήματα που α χρειαστούν για την εισαγωγή του εωρητικού μέρους. Ας υποέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού το οποίο βρίσκεται σε τυπική μορφή. Σκοπός μας είναι να παρέχουμε μια απλή και περιγραφική διαδικασία για το πώς αυτό το πρόβλημα α λυεί με την συγκεκριμένη μέοδο. max Z = 6 x + 7 x x, 2 3 4 2 2 x+ 3 + = 2 2 x+ + = 8 x, x, x, x 0 Το συγκεκριμένο πρόβλημα α μπορούσε και να αποδοεί ως: 9 Η μελέτη του παρόντος κεφαλαίου, συμπληρώνεται με την μελέτη του Παραρτήματος 3 και του Παραρτήματος 4. - 48 -
max Z = 6 x + 7 x + 0 x + 0 x x,, 2 3 4 2 x + 3 x + x + 0 x = 2 2 3 4 2 x + x + 0 x + x = 8 2 3 4 x, x, x, x 0 2 3 4 Αρχικά για να σχηματίσουμε τον πρώτο πίνακα του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού α πρέπει να υπολογίσουμε-εντοπίσουμε μια βάση της λύσης. Με τον όρο βάση εννοούμε τα διανύσματα της μορφής (,0,0...,0),(0,,0,...,0)...(0,0,...,) του n διανυσματικού χώρου R. Δηλαδή, τις στήλες από τα x που σχηματίζουν τον n n πίνακα. Στην δεύτερη στήλη ( c B ) του πρώτου πίνακα, εισάγουμε τους αντίστοιχους συντελεστές της βάσης όπως αυτοί εμφανίζονται στην αντικειμενική συνάρτηση z,( = 0),( = 0). Στην τρίτη τώρα στήλη του πρώτου πίνακα ( x B ), εισέρχεται η στήλη το διάνυσμα των διαέσιμων ποσοτήτων, b. Τέλος, στις επόμενες στήλες τοποετούμε τους συντελεστές των μεταβλητών όπως αυτές εμφανίζονται στο σύστημα περιορισμών του προβλήματος το οποίο βρίσκεται πάντα σε τυπική μορφή. Με βάση τα παραπάνω, ο πρώτος πίνακας Simplex σχηματίζεται ως εξής (Πίνακας 3.): c 6 7 0 0 0 cb 0 2 2 3 0 2 0 8 2 0 8 z Πίνακας 3. Κατασκευή πίνακα Simplex -. Στην στήλη δίπλα στο c εμφανίζονται οι συντελεστές όπως αυτοί βρίσκονται στην αντικειμενική συνάρτηση. Οι κενές έσεις στον πίνακα συμπληρώνονται με τα άγνωστα μέχρι στιγμής στοιχεία, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 3.2). x 0 2 2 3 0 3 6 0 8 2 0 7 z 2 3 4 5 Πίνακας 3.2 Κατασκευή πίνακα Simplex - 2. Το ερώτημα που προκύπτει είναι το πως όμως υπολογίζονται οι τιμές των στοιχείων αυτών. Σε αυτό το σημείο, α πρέπει να κάνουμε τον διαχωρισμό και να αναφέρουμε ότι για, =,...,5 τα στοιχεία αυτά υπολογίζονται ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων cb b. Άρα το = 0*2 + 0*8 = 0 ενώ τα υπόλοιπα υπολογίζονται με βάση των εξής τύπο = c cb b. Εάν τώρα κάνουμε τις αντίστοιχες πράξεις, α έχουμε ότι ο πίνακάς μας παίρνει την παρακάτω μορφή (Πίνακας 3.3): - 49 -
x 0 2 2 3 0 3 6 0 8 2 0 7 z = 2 6 (20 + 20) = 6 Πίνακας 3.3 Κατασκευή πίνακα Simplex - 3. 3 = 7 (3 0 + 0) = 7 4 = 0 5 = 0 Να σημειώσουμε ότι τα υπολογισμένα στοιχεία στις έσεις 4 και 5 είναι ίσα με μηδέν. Ενώ α πρέπει να αναφέρουμε πως το στοιχείο 7, της τρίτης στήλης στην τελευταία γραμμή του πίνακα αναφέρεται ως οδηγό στοιχείο (Πίνακας 3.4). x 0 2 2 3 0 3 6 0 8 2 0 7 z 0 6 7 0 0 Πίνακας 3.4 Κατασκευή πίνακα Simplex - 4. Ορισμός : καορίζουμε ως εισερχόμενη στην βάση μεταβλητή την μεταβλητής της οποίας η υπολογισμένη αντίστοιχα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στο παράδειγμά μας ουσιαστικά πρόκειται για την μεταβλητή x 2. Προφανώς μιλώντας για μεταβλητή που α εισέλει στην βάση μας κάποια α πρέπει να εξέλει. Ορισμός 2: Καορίζουμε ως εξερχόμενη μεταβλητή από την βάση την μεταβλητή η οποία έχει την μικρότερη τιμή. Συνεπώς, α πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα για το πώς α υπολογίσουμε τις παραμέτρους 6 και 7 που αναφέρονται στην παράμετρο. Ο υπολογισμός γίνεται με βάση τα στοιχεία της στήλης b και της στήλης που α εισέλει στην βάση. Πιο συγκεκριμένα, είναι ο λόγος τους και ως εκ τούτου α μπορούσαμε να 8 υπολογίσουμε τα ως εξής: 2 6 = = 4, 7 = = 8. 3 Άρα τελικά, ο πίνακας έχει την μορφή που φαίνεται παρακάτω (Πίνακας 3.5). 0 2 2 3 0 4 0 8 2 0 8 z 0 6 7 0 0 Πίνακας 3.5 Κατασκευή πίνακα Simplex - 5. Ως οδηγό στοιχείο λοιπόν μπορούσαμε να ορίσουμε αυτό που αντιστοιχεί στο στοιχείο της γραμμής που βρίσκεται η εξερχόμενη μεταβλητή καώς και η εισερχόμενη μεταβλητή (συνεπώς το 3). Αντικαιστούμε λοι- - 50 -
πόν στην πρώτη στήλη της βάσης την εξερχομένη μεταβλητή με την εισερχόμενη και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (Πίνακας 3.6). x 7 2 x 0 4 z Πίνακας 3.6 Κατασκευή πίνακα Simplex - 6. Για να γεμίσουμε με στοιχεία τον δεύτερο πίνακα α πρέπει να υπολογίσουμε ότι το οδηγό στοιχείο α πρέπει να ισούται με την μονάδα (διαιρείται με το /3). Οπότε στην παρούσα φάση, ο Πίνακας 3.6 μετατρέπεται στον Πίνακα 3.7, όπως φαίνεται παρακάτω: x 7 4 2/3 /3 0 2 x 0 4 z Πίνακας 3.7 Κατασκευή πίνακα Simplex - 7. Κάνοντας τις κατάλληλες γραμμοπράξεις, επιυμούμε το στοιχείο κάτω από τον οδηγό στοιχείο να γίνει μηδέν. Οπότε, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με (-) και την προσέτουμε στην δεύτερη οπότε ο Πίνακας 3.7, παίρνει την παρακάτω μορφή (Πίνακας 3.8): x 7 4 2/3 /3 0 2 6 x 0 4 4/3 0 -/3 4 7 z 2 3 4 5 Πίνακας 3.8 Κατασκευή πίνακα Simplex - 8. Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική υπολογίζουμε τις τιμές των, =,..., 7 και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (Πίνακας 3.9). x 7 4 2/3 /3 0 2 6 x 0 4 4/3 0 -/3 4 7 z 28 4/3 0-7/3 0 Πίνακας 3.9 Κατασκευή πίνακα Simplex - 9. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, η μεγαλύτερη ετική τιμή αντιστοιχεί στην μεταβλητή x. Διαιρώντας τώρα με τις τιμές της μεταβλητής παίρνουμε τα 6 και, όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 7 3.0): - 5 -
x 7 4 2/3 /3 0 6 2 x 0 4 4/3 0 -/3 3 4 z 28 4/3 0-7/3 0 Πίνακας 3.0 Κατασκευή πίνακα Simplex - 0. Η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x ενώ η εξερχόμενη η x 4. Πολλαπλασιάζοντας με 3/4 παίρνουμε τον οδηγό στοιχείο, το οποίο βρίσκεται στην δέυτερη στήλη και στην Τρίτη γραμμή του κύριου μέρους του πίνακα Simplex, όπως απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 3.). x 7 4 2/3 /3 0-2 x 6 3 0 -/4 3/4 - z 2 3 4 5 Πίνακας 3. Κατασκευή πίνακα Simplex. Εάν τώρα πολλαπλασιάσουμε την γραμμή που αναφέρεται το στοιχείο x με (-2/3) και προσέσουμε στην από πάνω γραμμή α προκύψει ο παραπάτω πίνακας (Πίνακας 3.2): x 7 2 0 /2 - /2-2 x 6 3 0 -/4 3/4 - z 2 3 4 5 Πίνακας 3.2 Κατασκευή πίνακα Simplex - 2. Υπολογίζοντας τώρα τις τιμές των, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (Πίνακας 3.3): x 7 2 0 ½ -/2-2 x 6 3 0 -/4 3/4 - z 32 0 0-2 - Πίνακας 3.3 Κατασκευή πίνακα Simplex - 3. Η διαδικασία μας μέσω της μεόδου Simplex σε αυτό το σημείο έχει τελειώσει καώς στην γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης οι υπολογισμένες ποσότητες έχουν τιμές μικρότερες ή ίσες του μηδενός. Η κορυφή της βέλτιστης λύσης δίνεται από τα στοιχεία της στήλης b και της πρώτης στήλης. - 52 -
3.4 Θεωρητική προσέγγιση της Μεόδου Simplex Σ αυτό το τμήμα του κεφαλαίου α προσπαήσουμε να δώσουμε μια περισσότερο εωρητική προσέγγιση σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο προκύπτει μια εφικτή λύση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού καώς και με ποιόν τρόπο επιτυγχάνεται η συγκεκριμένη λύση. Αρχικά, παρατίενται κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν βασικά στοιχεία για την κατανόηση της λύσης: Κυρτό Σύνολο: ένα σύνολο C καλείται κυρτό εάν x, C x= λx+ ( λ) C, λ [0,]. Εφικτό Σημείο: καλείται το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες του ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς. Ο χώρος των εφικτών σημείων καλείται εφικτός χώρος ενώ βέλτιστο σημείο αυτό που μας δίνει την βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Eσωτερικό σημείο συνόλου: εάν υπάρχει ανοικτή σφαίρα ( x, ε) C, ε > 0, τότε ένα σημείο α καλείται συνοριακό όταν G( x, ε) C, ε > 0 ε > 0, G( x, ε) C = Ακρότατο συνοριακό σημείο καλείται αυτό που δεν μπορεί αν εκφραστεί ως γραμμικός κυρτός συνδυασμός δύο διακεκριμένων σημείων του συνόλου. Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού οι εξισώσεις των περιορισμών μπορούν να γραφούν ως εξής: a x +...... + a x +... + a x +... + a x = b a x +...... + a x +... + a x +... + a x = b........................ a x +...... + a x... + a x +... + a x = b n n n+ m n+ m 2 2 2n n 2n+ m n+ m 2 m m mn n m, n+ m n+ m m Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να γραφτούν με την μορφή πινάκων ως εξής: Ax = b όπου: x b a...... a...... a n... a... n+ m a2...... a2... a2n... a 2n m...... + A=, x =, b=........................ x b am...... am... amn... a m, n+ m x n... x n+ m b m, Εάν ελήσουμε τώρα να δώσουμε τον πίνακα Α υπό την μορφή ενός διανύσματος, α πρέπει να σημειώσουμε ότι A = a, a2,..., a,..., a n + m. Ας εωρήσουμε τώρα ότι κάποιες από τις μεταβλητές που αντιστοιχούν σε ορισμένα από τα n διανύσματα του πίνακα Α ισούται με μηδέν τότε α έχουμε μια μόνο λύση από τις εναπομείνασες μεταβλητές (βασικές), εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0. Όπως έχουμε ήδη πει, η κανονική μορφή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να δοεί με την ακόλουη μορφή: max z= cx + cx +... + cx 2 2 a x +...... + a x +... + a x +... = b n n a x +...... + a x +... + a x +... = b 2 2 2n n 2..................... =... a x +...... + a x... + a x +... = b m m mn n m x, x,..., x 0 2 n Ωστόσο, το συγκεκριμένο πρόβλημα με την εισαγωγή των αρνητικών m μεταβλητών στον αριμό περιωρίων μεταβλητών, μπορεί να αποδοεί ως εξής: n n 0 Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα καλούνται αυτά που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση au i i = 0, u = u2 =... = un = 0. N i= - 53 -
max z= cx + cx +... + cx 2 2 n n a x +...... + a x +... + a x +... + a x = b n n n+ m n+ m a x +...... + a x +... + a x +... + a x = b 2 2 2n n 2n+ m n+ m 2........................ a x +...... + a x... + a x +... + a x = b m m mn n m, n+ m n+ m m x, x,..., x 0 2 n Το συγκεκριμένο πρόβλημα μεγιστοποίησης μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας μια ισοδύναμη μορφή και ως: T max Z = c x [ / ] A I x = b x 0 AI, R Θα πρέπει να παρατηρήσουμε σε αυτό το σημείο, ότι το διάνυσμα x περιέχει και τις m περιώριες μεταβλητές. Ενώ το διάνυσμα των συντελεστών του x στην αντικειμενική συνάρτηση, c, για τις μεταβλητές από = n+, n+ 2,..., n+ m έχει μηδενικές τιμές. Με βάση το παρακάτω εώρημα, έχουμε πως: m n Θεώρημα: Το σύνολο των εφικτών λύσεων του προβλήματος είναι κυρτό. T max Z = c x [ / ] A I x = b x 0 Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι εάν το πρόβλημα έχει λύση τότε δεν υπάρχει σημείο του χώρου των λύσεων όπου η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη των τιμών που λαμβάνει στα ακρότατα σημείου του χώρου αυτού. Για να μιλήσουμε για λύση στο παραπάνω πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού, α πρέπει να προσδιορίσουμε μια τουλάχιστον λύση του πολυέδρου που σχηματίζουν (κυρτό ασφαλώς) του χώρου των εφικτών λύσεων. Μάλιστα, υπάρχει και ένα βασικό εώρημα το οποίο ουσιαστικά τονίζει ότι ο εφικτός χώρος είναι κυρτός. Έστω ότι έχουμε προσδιορίσει την λύση x. Κααρά για λόγους συμβολισμού και στην προσπάεια μας να υμίσουμε την έννοια του διανύσματος, α έσουμε την λύση ως x καώς ενδιαφερόμαστε να προσδιορίσουμε την λύση κααυτή. Κάτι τέτοιο γίνεται χρησιμοποιώντας τον περιορισμό [ A/ I] x = b και εωρώντας τις συντεταγμένες του διανύσματος Α ως εξής 2 a = ( a, a,..., a n + m), δηλαδή να αποτελούν τα στοιχεία της στήλης του πίνακα [ A/ I ] μπορούμε να διατάξουμε τα στοιχεία του διανύσματος x με τέτοιον τρόπο, ώστε τα πρώτα m στοιχεία να αντιστοιχούν στις m βασικές μεταβλητές. Συνεπώς, το διάνυσμα x, μπορεί να γραφεί ως εξής: Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα 6. - 54 -
x x... xn x = = _ 0 0 0... 0 με m-διάστατο το διάνυσμα των μη μηδενικών γραμμών και n-διάστατο των μηδενικών εωρώντας μια νοητή διαμέριση του πίνακα. Με την ίδια λογική, μπορούμε να διατάξουμε τις στήλες 2 a = ( a, a,..., a n + m) του πίνακα [ A/ I ] με ανάλογο τρόπο. Δηλαδή 2 a = a, a,..., am,0,...,0 = AC όπου μετά το στοιχείο a m εωρούνται οι στήλες του μοναδιαίου. Άρα, η εξίσωση [ A/ I] x = b μπορεί να γραφεί εναλλακτικά να γραφεί και ως x B _ AC = b. 0 Συνεπώς, εάν προβούμε στις απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις, α έχουμε ότι Ax B + C0 = b και στην περίπτωση που υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα Α, α έχουμε την λύση x = A b. Για να είναι ένα σημείο x W ακρότατο σημείο ενός χώρου W α πρέπει το διάνυσμα x να αποτελεί μια βασική εφικτή λύση του παρακάτω προβλήματος: T max Z = c x A I x = b x 0. [ / ] Μάλιστα, η λύση είναι εφικτή και οι συντεταγμένες του σημείου x B μας δίνουν τις συντεταγμένες μιας κορυφής χαρακτηρίζοντας το ως ακρότατο. Αυτές οι λύσεις ονομάζονται βασικές γιατί οι στήλες του Β, ως γραμμικά ανεξάρτητες, αποτελούν μια βάση του χώρου. Στην περίπτωση που η λύση εκτός από βασική είναι και εφικτή, δηλαδή ισχύει ότι x = A b τότε τα σημεία λέγονται βασικά εφικτά σημεία. Μάλιστα, υπάρχει και σχετικό εώρημα το οποίο τονίζει την αμφιμονοσήμαντη σχέση βασικών-εφικτών λύσεων και κορυφών (η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα 6). 3.4. Tεχνική εύρεσης -κορυφής Ξεκινάμε από μια κορυφή και σταδιακά μετακινούμεστε σε άλλες. Έπειται από -επαναλήψεις, α έχουμε υπολογίσει τις συντεταγμένες της x κορυφής στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση α έχει τιμή t ( ) z = c x. Με επαναδιάταξη, τοποετούμε στο τέλος τα μηδενικά στοιχεία. Έστω ότι: x... x B xm x = = _ 0 0 0... 0-55 -
όπου με επαναδιάταξη τοποετούμε στο τέλος τα μηδενικά στοιχεία. Θα πρέπει να υπενυμίσουμε πως το διάνυσμα αυτό αντιστοιχεί στις παραμέτρους ai= ( a, a2,..., am, am+,..., a,... an+ m). Προφανώς, α μπορούσαμε να γράψουμε και την αντίστοιχη σχέση όπου xa m i i = b. Ακριβώς όπως πράξαμε και προηγουμένως για i= την λύση x, α μπορούσαμε ομοίως να υπολογίσουμε και λύση για την -κορυφή. Εφόσον κάε βασική λύση πρέπει να περιλαμβάνει m βασικές μεταβλητές, μια νέα βασική λύση μπορεί να κατασκευασεί έτοντας στην βασική εφικτή λύση μιας από τις m βασικές μεταβλητές ίση με το μηδέν και αντικαιστώντας την με κάποια από τις μη-βασικές μεταβλητές. Προφανώς, α πρέπει να απαιτήσουμε η προκύπτουσα βασική λύση να είναι εφικτή αλλά και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, με την νέα λύση, να είναι μεγαλύτερη από την τρέχουσα. Ας εναλλάξουμε τώρα την έση μιας βασικής μεταβλητής με μια μη-βασική εισάγοντας στην βάση την μεταβλητή x. Σε αυτό το σημείο, α πρέπει να υμίσουμε ότι σε αυτήν την μη-βασική μεταβλητή αντιστοιχεί ένα διάνυσμα a. Το διάνυσμα αυτό μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός βασικών διανυσμάτων του χώρου καώς και τα m-διανύσματα ( a, a2,..., a m), της τρέχουσας βάσης είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Δηλαδή, α μπορούσε να εκφραστεί ως m a = au i i με ένα από τα u i 2 τουλάχιστον διαφορετικό του μηδενός. i= Εάν τότε α μπορούσαμε να έχουμε ότι: καώς u u... u = i... u m u... m a = au a, a2,..., a = ui = Bu i=... u m 3 i i m u = u,..., ui,..., u m. t Ας εωρήσουμε τώρα μια πραγματική παράμετρο τ. Πολλαπλασιάζοντας την προηγούμενη σχέση με την παράμετρο αυτή α έχουμε ότι τ Bu = τ a. Αφαιρώντας τις σχέσεις, τ Bu = τ a B = b α έχουμε ότι: B ( τ u ) + τ a = b ( ) ( ) ( ) x τ u a + τ u2 a2 +... + xm τ um am + τ a = b Θα πρέπει να τονίσουμε σε αυτό το σημείο ότι η λύση αυτή είναι μη-βασική καώς περιλαμβάνει m+ μεταβλητές, δηλαδή τις τρέχουσες m και την εισερχόμενη μεταβλητή x = τ. Άρα, α πρέπει να βρούμε τ τέτοιο ώστε μια από τις τρέχουσες βασικές μεταβλητές να λαμβάνει μηδενική τιμή στην νέα λύση. Επιπλέον, για να είναι και εφικτή η συγκεκριμένη λύση α πρέπει x τ u 0. m m 2 Ο δείκτης i αναφέρεται στο βασικό διάνυσμα ενώ ο στο μη βασικό διάνυσμα. 3 Θυμίζουμε ότι a, a2,..., am B λόγω της διαμέρισης του πίνακα AI. - 56 -
Η περίπτωση όπου η παραπάνω συνήκη παραβιάζεται είναι όταν u m > 0 ενώ, στην αντίετη περίπτωση ο εφικτός χώρος είναι μη-φραγμένος. Μάλιστα, σε μη-φραγμένο εφικτό χώρο η λύση δύναται να είναι μη-φραγμένη. Η σχέση που καιστά την νέα λύση βασική και εφικτή δίνεται ως εξής: x τ = min i, ui > 0 u i xm Η συγκεκριμένη λύση, προκύπτει εάν εξετάσουμε τα ετικά u i και ισχύουν οι περιορισμοί τ, ui > 0. ui Προφανώς, α πρέπει να συναληεύουν, οπότε: Άρα, η νέα βασική λύση Συνεπώς, το σημείο: έχει τουλάχιστον n-μηδενικά στοιχεία. x min i x τ =, 0 i ui >, ur 0 u = > i u r x παίρνει την τιμή μηδέν διότι: r xr x r τ ur = xr ur = 0 u r. x r x r x r xr x u, u2,..., xm um,...0,...,,0,...) u r u r u r ur Κριτήριο Εφικτότητας Το κριτήριο x min i x τ =, 0 i ui >, ur 0 u = > i u καλείται κριτήριο εφικτότητας και προσδιορίζει την τιμή r της τ η οποία α μηδενίζει την βασική μεταβλητή και α δίνει ενδεχομένως μια μη-μηδενική τιμή στην μη-βασική μεταβλητή. Έχοντας επιλέξει τη μη-βασική μεταβλητή που α βγει από την βάση το κριτήριο εφικτότητας προσδιορίζει την τιμή της τ η οποία α μηδενίζει τη βασική μεταβλητή και α δίνει ενδεχομένως μια μη-μηδενική τιμή στην μη-βασική μεταβλητή. Μερικές Παρατηρήσεις: στην περίπτωση όπου η 4 τ με την τιμή που παίρνει μηδενίζει δύο ή περισσότερες βασικές μεταβλητές ονομάζεται δεσμός. εάν μία κορυφή ή περισσότερες βασικές μεταβλητές είναι ίσες με το μηδέν, τότε αυτή η βασική λύση και κατ επέκταση η κορυφή, ονομάζεται εκφυλισμένη. εάν δύο ή περισσότερες βασικές μεταβλητές είναι ίσες με το μηδέν για το ίδιο τ τότε βγάζουμε μια από τις δύο βασικές μεταβλητές και η κορυφή μας έχει μια βασική μεταβλητή ίση με το μηδέν, δηλαδή είναι εκφυλισμένη. το τ μπορεί να ισούται με το μηδέν όταν κάποια βασική μεταβλητή ισούται με το μηδέν και ισχύει ότι u > 0. 3.4.2 Υπολογισμός βέλτιστης λύσης i Ο υπολογισμός της βέλτιστης λύσης γίνεται ως εξής: 4 Ο δείκτης r αναφέρεται στην βασική μεταβλητή με τον ελάχιστο των λόγων. - 57 -
x ( ) B t t t t z = c x ( c ) ( ) _ ( ) ( ) B c E = = B b 0 K K K K Εάν τώρα εισάγουμε στην βάση την μεταβλητή που αντιστοιχεί στη έση a i, α έχουμε ότι: Κριτήριο Βελτιστότητας m m m ( ) z = c x + τ u + cτ = cx + τ cx + bc = + i i i i i i i i= i= i= ( ) t + = z τ ui c z z τ s c = Το δεύτερο βασικό κριτήριο της μεόδου Simplex αφορά στο κριτήριο βελτιστότητας, δηλαδή στην δυνατότητα που έχει η συγκεκριμένη μέοδος να αναγνωρίζει το γεγονός ότι μια εφικτή λύση αποτελεί την βέλτιστη χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους ελέγχους. Εάν υποέσουμε ότι υπάρχει μια μη βασική μεταβλητή x με ευκαιριακό κόστος z + = z τ < 0, τότε κ z η μερική παράγωγος της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς την μεταβλητή αυτή,, δηλώνει x την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που μπορεί να αυξηεί (κυρίως) εάν αυξηεί η τιμή της μεταβλητής x. Το κριτήριο βελτιστότητας όπως προκύπτει από τα παραπάνω, δίνεται από την τελευταία σχέση + z = z τ s c. Μια πιο προσεκτική διατύπωση του κριτηρίου, υποδεικνύει ότι α πρέπει να επιλέξουμε την τιμή εκείνης της μεταβλητής x η οποία α αυξήσει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης με το μικρότερο ευκαιριακό κόστος ή εναλλακτικά, με μεγαλύτερο ρυμό μεταβολής, και δύναται να περιγραφεί ως: { } κ κ κ z τ = max z τ : z τ < 0 Μερικές Παρατηρήσεις: εάν s c 0, τότε η τρέχουσα κορυφή είναι βέλτιστη. κάνουμε την υπόεση ότι υπάρχει μια βασική μεταβλητή τέτοια ώστε u i 0. Τότε, ο χώρος είναι μη-φραγμένος και για αυτή την βασική μεταβλητή έστω ότι το αντίστοιχο s c < 0. Τότε, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης απειρίζεται. για μια εκφυλισμένη κορυφή το τ = 0 και ενδέχεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να είναι η ίδια. Τότε, έχουμε το φαινόμενο της ανακύκλωσης και η τεχνική Simplex μας παρέχει τις ίδιες κορυφές. για να έχουμε μια εναλλακτική βέλτιστη λύση, εξετάζουμε κατά πόσον υπάρχουν μη-βασικές μεταβλητές τέτοιες ώστε να δίνουν s c = 0 ενώ για τις υπόλοιπες μεταβλητές ισχύει s c > 0 Συνοψίζοντας λοιπόν την διαδικασία του αλγορίμου, α μπορούσαμε να τον παρουσιάσουμε με βάση τα παρακάτω βήματα: Βήμα ο : υπολογίζουμε μια αρχική βαση λύση x κ επιλέγοντας την βάση Β απο τις στήλες του πίνακα Α με κατάλληλη επιλογή των γραμμικώς ανεξαρτήτων στηλών του. Βήμα 2 ο : εκφράζουμε τα διανύσματα του πινακα Α που δεν ανήκουν στην βάση με κριτήριο τα διανύσματα της βάσης. Βήμα 3 ο : υπολογίζουμε τις τιμές Z για τα διανύσματα εκτός βάσης. Βήμα 4 ο : υπολογίζουμε τις ποσότητες c z. Προφανώς, όταν η προηγούμενη ποσότητα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, έχουμε βέλτιστη λύση. Βήμα 5 ο : εάν c z < 0, επιλέγουμε ένα διάνυσμα από τα εκτός βάσεως για να εισέλει στην βάση μέσω του κριτηρίου της βελτιστότητας. Βήμα 6 ο : χρησιμοποιούμε το κριτήριο εφικτότητας για να επιλέξουμε μέσω του διανύσματος b r την μεταβλητή που α φύγει από την βάση. Υπολογίζουμε την νέα βάση αντικαιστώντας την μεταβλητή που εξέρχεται με αυτήν που εισέρχεται. Υπολογίζουμε την νέα βασική εφικτή λύση χρησιμοποιώντας τις σχέσεις. - 58 -
yi i = i r, r = y r x y Br r Βήμα 7 ο : επιστρέφουμε στο Βήμα 2 και συνεχίζουμε την διαδικασία. 3.4.3 Παράδειγμα επίλυσης ενός ΠΓΠ με την Μέοδο Simplex Ας προχωρήσουμε τώρα στην αναλυτική επίλυση του παρακάτω παραδείγματος προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 3 x + 5 x 2 x x,, 2 3 2 3 x+ 2 + 2 0 2 x+ 4 + 3 5 x, x, x 0 Ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Κάτω από τις μεταβλητές, x,, x 3, οι οποίες ονομάζονται και μη-βασικές μεταβλητές, είναι οι συντελεστές των μεταβλητών αυτών όπως δίνονται από τους περιορισμούς x+ 2 + 2 0 και 2 x+ 4 + 3 5. Στην συνεχεία, παραέτουμε και τις περιώριες μεταβλητές οι οποίες αντιστοιχούν στον μοναδιαίο πίνακα: x5 0 0 και α έχουν την προηγούμενη μορφή. Άρα, μετά την προσήκη των περιωρίων μεταβλητών οι οποίες βρίσκονται σε πλήρη ταύτιση με τον αριμό των περιορισμών, το ΠΓΠ διαμορφώνεται ως εξής: max Z = 3 x + 5 x 2 x + 0 x + 0 x () x,,,, x5 2 3 4 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 5 x + 2 x + 2 x + x =0 (2) 2 x + 4 x + 3 x + x = 5 (3) x, x, x, x, x 0 (4) Η στήλη κάτω από το b συμπληρώνεται από την τιμή (-ες) των περιορισμών () και (2). Επειδή στον περιορισμό () έχουμε προσέσει την περιώρια μεταβλητή x 4 σε αυτήν την μεταβλητή και κάτω από το b α βάζουμε την αντίστοιχη τιμή του περιορισμού. Ομοίως για τον περιορισμό (2), στον οποίο έχει εισέλει ως περιώρια η μεταβλητή x 5 α αντιστοιχίσουμε την τιμή του περιορισμού δηλαδή το 5. Άρα η στήλη α διαμορφωεί ως εξής: b 0 5 Η γραμμή πάνω από τις βασικές μεταβλητές x,,,, x 5 συμπληρώνεται από τους αντίστοιχους συντελεστές των μεταβλητών όπως αυτοί παρουσιάζονται στην αντικειμενική συνάρτηση max Z = 3 x+ 5 2 + 0 + 0 x5. x,,,, x5 Συνεπώς ο πρώτος πίνακας σχηματίζεται ως εξής (Πίνακας 3.4): - 59 -
c 3 5-2 0 0 cb x5 x 0 0 2 2 0 5 4 x 0 5 2 4 3 0 3.75 5 c z Πίνακας 3.4 Πίνακας. z 3 5 2 0 0 Αρχικά και όπως ήδη γνωρίζουμε η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μηδέν. Η γραμμή δεξιά του T T c z συμπληρώνεται με βάση τον παρακάτω τύπο c z = cu B c = B a c. Δηλαδή για το στοιχείο της γραμμής c z το οποίο βρίσκεται κάτω από την μεταβλητή x πολλαπλασιάζουμε κάε στοιχείο του c B με το αντίστοιχο στοιχείο του x και τα αποτελέσματα τα προσέτουμε μεταξύ τους. Το συγκεκριμένο αποτέλεσμα, το αφαιρούμε από τον αριμό που βρίσκεται πάνω από την αντίστοιχη μεταβλητή x. Όμοια συμπληρώνονται και τα υπόλοιπα στοιχεία που ανήκουν στην γραμμή c z. Από όλα τα στοιχεία, επιλέγουμε αυτό με την μεγαλύτερη ετική τιμή. Εάν κατά τους υπολογισμούς μας όλα τα στοιχεία που ανήκουν στην συγκεκριμένη γραμμή είναι μηδενικά ή και μικρότερα του μηδενός τότε έχουμε υπολογίσει της βέλτιστη κορυφή τις οποίας οι συντεταγμένες α δίνονται από τα στοιχεία του c B. Η στήλη κάτω από το συμπληρώνεται ως εξής: είδαμε ότι το στοιχείο της γραμμής με την τιμή 5 είναι το στοιχείο που επιλεγούμε. Αυτό αντιστοιχεί στην μεταβλητή x 2. Η πρώτη τιμή που βρίσκεται κάτω από το προκύπτει από την πρώτη τιμή που βρίσκεται κάτω από το b εάν την διαιρέσουμε με τον πρώτο αριμό που βρίσκεται κάτω από την μεταβλητή x 2. Ομοίως, συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες και επιλέγουμε το κελί με την μικρότερη τιμή. Σ αυτή την φάση, αντικαιστούμε την μεταβλητή που αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο στοιχείο της γραμμής c z με την μεταβλητή που αντιστοιχεί στην μικρότερη τιμή της στήλης. Άρα, α αντικαταστήσουμε την μεταβλητή x 5 με την μεταβλητή x 2. Συνεπώς, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (Πίνακας 3.5): c 3 5-2 0 0 cb x5 0 2.5 0 0 0.5-0.5-5 3.75 0.5 0.75 0 0.25 7.5 c z 0.5 0-5.75 0 -.25 z Πίνακας 3.5 Πίνακας 2. Συνεχίζουμε με την ίδια λογική έως ότου στην συγκεκριμένη γραμμή c z προκύψουν μηδενικές ή και αρνητικές τιμές. Στην συνέχεια, ακολουούν ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. 3.5 Ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού 3.5. Μη-φραγμένο πρόβλημα Στην περίπτωση όπου σε έναν πίνακα Simplex όλοι οι λόγοι που υπολογίζουμε για να εκτιμήσουμε το ποια μεταβλητή α εισέλει είναι αρνητικοί, τότε οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι αυτό δεν μπορεί να πραγματοποιηεί. Η τιμή που α υπολογίσουμε για την αντικειμενική μας συνάρτηση α τείνει στο άπειρο και το πρόβλημα μας χαρακτηρίζεται ως μη φραγμένο. - 60 -
Παράδειγμα: Να λυεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού min Z = x + x x x,, 2 3 2 x + 2 x x 2 2 3 -x 7 x + 2 x 2 2 3 7 x + x x 0 2 3 4 x + 6 x 2 x 6 2 3 x, x, x 0 2 3 Ο τελικός πίνακας Simplex είναι ο παρακάτω (Πίνακας 3.6): c - - 0 0 0 0 cb x5 x6 x7 x 0 2,5 3/2-3/2 0 /2 0 0-4 x 3,75-0,5-7/2 0 /2 0 0 7,5 3 x 0 3/2-5/2 0 0 /2 0 6 x 0 3-0 0 0 7 c z Πίνακας 3.6 Τελικός πίνακας. z -0,5 5/2 0 0 -/2 0 0 Οι λόγοι είναι όλοι αρνητικοί συνεπώς καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μη-φραγμένο. 3.5.2 Πρόβλημα με άπειρες λύσεις Εάν κάποια βασική μεταβλητή αντιστοιχεί σε Z=0, τότε αύξηση της τιμής αυτής δεν αλλάζει την τιμή της αντικειμενικής της συνάρτησης. Υπό την προϋπόεση μάλιστα ότι η λύση είναι μη-εκφυλισμένη, η εισαγωγή της μεταβλητής αυτής στην βάση α μας οδηγήσει σε τιμή αντικειμενικής συνάρτησης της ίδιας αξίας, οπότε το πρόβλημα α έχει άπειρες λύσεις. Οι άπειρες αυτές λύσεις δύναται να εμφανίζονται με την μορφή ενός γραμμικού συνδυασμού λύσεων. 3.5.3 Πρόβλημα με εκφυλισμένες λύσεις Σ έναν πίνακα Simplex όταν κάποια(-ες) από την τρέχουσα(-ες) βασική(-ες) λύσεις περιέχουν μεταβλητή με τιμή μηδέν, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για εκφυλισμένη λύση. Η επίλυση του προβλήματος μπορεί να συνεχιστεί με την αντικατάσταση αυτής με μια αυαίρετη και πάρα πολύ μικρή ποσότητα ε ετική μέχρι τον τελικό πίνακα και έτοντας στην βέλτιστη λύση ε=0. - 6 -
3.5.4 Πρόβλημα με πολλαπλές βέλτιστες λύσεις Έστω ο παρακάτω πίνακας Simplex (Πίνακας 3.7): 40 00 0 0 0 x5 0 80 0 0 2-4 40 90 0 0 3/4 -/2 00 20 0 0 - Πίνακας 3.7 Ειδικές περιπτώσεις πρόβλημα με πολλαπλές βέλτιστες λύσεις. Μετά τις ανάλογες πράξεις μετατρέπεται στον εξής τελικό πίνακα Simplex (Πίνακας 3.8): 40 00 0 0 0 x5 80 0 0 2-4 90 0 0 3/4 -/2 20 0 0 - Πίνακας 3.8 Ειδικές περιπτώσεις πρόβλημα με πολλαπλές βέλτιστες λύσεις, τελικός πίνακας. 3.5.5 Πρόβλημα με μη-εφικτές λύσεις Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε από τον πίνακα παρακάτω (Πίνακας 3.9), η λύση μας περιλαμβάνει και τεχνητές μεταβλητές στην βάση. Αυτό ουσιαστικά δεν είναι δυνατό και έρχεται σε αντίφαση με τον ρόλο των τεχνητών μεταβλητών. Συνεπώς, η λύση μας χαρακτηρίζεται ως μη εφικτή. 40 00 0 0 0 x5 0 500 0 0.75 5 0 0 500 0.25 0-5 0 0 M 00 0-0.2 0 0 - Πίνακας 3.9 Ειδικές περιπτώσεις πρόβλημα με μη-εφικτές λύσεις, τελικός πίνακας. 3.6 Η Μέοδος M Η υλοποίηση και εφαρμογή της μεόδου Simplex, αλλά και των πινάκων Simplex, απαιτεί το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού να είναι στην τυπική μορφή αλλά και την ύπαρξη του μοναδιαίου πίνακα μέσα από τις στήλες του πίνακα Α. Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που περιέχουν στην ανάπτυξή τους ανισώσεις και εξισώσεις (στους περιορισμούς), δεν παρέχουν εξαρχής την δυνατότητα σχηματισμού μιας πρώτης βάσεως 5 στο αρχικό στάδιο της μεόδου Simplex και έτσι ο μοναδιαίος υπό-πίνακας δεν είναι δυνατόν να εμφανιστεί μέσα στον πίνακα Α. 5 Όταν έχουμε ισότητα δεν εισάγεται προφανώς μεταβλητή ενός την περίπτωση μικρότερο ή ίσον η μεταβλητή απόκρισης έχει αρνητικό πρόσημο. - 62 -
Στην περίπτωση που δεν περιέχεται ο μοναδιαίος πίνακας μέσα στον πίνακα Α, χρησιμοποιούμε τεχνητές μεταβλητές (artificial variables) έτσι ώστε να δημιουργηεί ο μοναδιαίος πίνακας. Η εισαγωγή τεχνητών μεταβλητών διευρύνει την εφικτή περιοχή του προβλήματος καώς με την συγκεκριμένη μέοδο αυξάνουμε τόσο τις στήλες του πίνακα Α, όσο και τις αρχικές μεταβλητές του προβλήματος μας. Παρατηρούμε ότι μια εφικτή λύση στο αναεωρημένο πρόβλημα είναι εφικτή λύση και για το αρχικό πρόβλημα, αν και μόνον αν οι τιμές όλων των τεχνητών μεταβλητών είναι μηδέν. Η Μ-μέοδος εισάγει τις τεχνητές μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή (penalty) για κάε μεταβλητή το M, όπου M αυαίρετα πολύ μεγάλος ετικός αριμός. Η λύση του αναεωρημένου προβλήματος πρέπει να είναι της μορφής x x, όπου x οι λύσεις των μεταβλητών του αρχικού προβλήματος και a όπου x a = 0 οι λύσεις των τεχνητών μεταβλητών οι οποίες πρέπει να είναι 0. Προφανώς, η διαδικασία που ακολουείται είναι να επιτραπεί στις τεχνητές μεταβλητές να παίξουν το ρόλο των χαλαρών μεταβλητών κατά την πρώτη επανάληψη της Simplex διαδικασίας και στην συνέχεια να απαλλαχούμε από αυτές σε κάποια επόμενη επανάληψη. Δηλαδή, δεν χρησιμοποιούμε το παραδοσιακό υπόδειγμα των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμούς Ax b αλλά αντί αυτού το επαυξημένο σύστημα που έχει την μορφή [ AI] x x a b με x a το διάνυσμα των τεχνητών μεταβλητών. Η λύση του επαυξημένου δεν αποτελεί και λύση του αρχικού προβλήματος Ax b παρά μόνο εάν x a = 0 *. Πιο συγκεκριμένα, για ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης σε κάε μεταβλητή x i μπορούμε να ορίσουμε ένα * πολύ μεγάλο αρνητικό αριμό ως συντελεστή ci = M η όποια και αποδόηκε από τον Charnes (953) ως μέοδος του μεγάλου Μ. Το πρόβλημά μας τώρα (είτε πρόκειται για μεγιστοποίηση είτε για ελαχιστοποίηση) σε εωρητική μορφή ' * ' * μπορεί να διαμορφωεί ως εξής: max Z = cx Mx, min Z = cx + Mx ή πιο συγκεκριμένα: i ' max z = cx Mx, min z = cx+ Mx x x A * = b A * = b xi xi xx * ' * i i * *, i 0 xx, i 0 Θα πρέπει να σημειώσουμε, ότι κάε φορά που κάποιο τεχνητό διάνυσμα εγκαταλείπει την βάση, μπορεί να απομακρυνεί εντελώς και από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Τέλος, η συγκεκριμένη μέοδος υπονοεί εωρητικά ότι το M που προφανώς η χρήση των Η/Υ και των ανάλογων προγραμμάτων δεν μας παρέχει. i 3.6. Παραδείγματα για την χρήση της Μεόδου Μ Παράδειγμα. Να λυεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 2 x 3 x + x + 2 x x,,, 2 3 4 2 3 4 x+ 2 + + 2 = 8 + + = 6 2 3 = 3 x, x, x, x 0-63 -
Λύση Το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διαμορφωεί ως εξής καώς στην βάση του πίνακα δεν σχηματίζεται ο μοναδιαίος: max Z = 2 x 3 x + x + 2 x M x M x x,,,, x5, x6 x + 2 x + x + 2 x = 8 2 3 4 x + x + x + x = 6 2 3 4 5 2 x 3 x + x = 3 3 4 6 x, x, x, x, x, x 0 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 Έτσι, έχουμε τους παρακάτω πίνακες (Πίνακας 3.20, 3.2 και 3.22): 2-3 2 -M -M 2 8 2 2 0 0 8 -M 6 0 0 6 -M 3 0 0 2-3 0 3/2 Z 6-9M 0-7+Μ -+3Μ -2+2Μ 0 0 Πίνακας 3.20 Πίνακας. 2-3 2 -M -M 2 3/2 2 0 7/2 0 0 3/7 -M 9/2 0 0 5/2 0 3/2 0 0-3/2 0 - Z 29/2-9Μ/2 0-7+Μ 0-7/2+5Μ/2 0 0 Πίνακας 3.2 Πίνακας 2. 2-3 2 -M -M 2 /5 3/5 0 0 2 9/5 0 2/5 0 2/5 0 3/5 0 Z 4/5 0-28/5 0 Πίνακας 3.22 Πίνακας 3. - 64 -
Παράδειγμα 2 Να λυεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min Z = 2 x 3 x 4 x x,, x+ + 30 2 x+ + 3 60 x+ + 2 = 20 x, x, x 0 2 3 2 3 Λύση Προφανώς το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού α πρέπει να δοεί σε τυπική μορφή. Αρά α έχουμε: max Z = 2 x + 3 x + 4 x + 0 x + 0 x x,,,, x5 x + x + x + x = 30 2 3 4 2 x + x + 3 x x = 60 2 3 5 x x + 2 x = 20 2 3 x, x, x, x, x 0 2 3 4 5 2 3 4 5 Εάν κατασκευάσουμε με βάση το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού τον πίνακα 0 2 3 0, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι δεν σχηματίζεται πουενά ο μοναδιαίος πίνα- A = 2 0 0 κας. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας την μέοδο Μ μπορούμε να διαμορφώσουμε το παραπάνω πρόβλημα με την εξής μορφή: max Z = 2 x + 3 x + 4 x + 0 x + 0 x M x M x x,,,, x5, x6, x7 x + x + x + x = 30 2 3 4 2 x + x + 3x x + x = 60 2 3 5 6 x x + 2 x + x = 20 2 3 7 x, x, x, x, x, x, x 0 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 Έχοντας το ΠΓΠ στην μορφή που έλουμε, μπορούμε να προχωρήσουμε στην κατασκευή των επιμέρους πινάκων και να χρησιμοποιήσουμε την μέοδο Simplex για να πάρουμε την βέλτιστη λύση. Παρακάτω φαίνεται ο πρώτος πίνακας Simplex (Πίνακας 3.23). -2 3 4 0 0 -M -M 0 30 0 0 0 30 -M 60 2 3 0-0 20 -M 20-2 0 0 0 0 Z -80M -2+3M 3 4 +5M 0 -M 0 0 Πίνακας 3.23 Πίνακας. - 65 -
Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία μπορούμε να έχουμε τον τελικό μας πίνακα (Πίνακας 3.24). -2 3 4 0 0 -M -M 0 0/3 /3 0 0 5/3 3 40/3 /3 0 2/3 0 4 50/3 2/3 0 /3 0 Z 320/3 Πίνακας 3.24 Πίνακας 2, τελικός πίνακας. 3.7 Η Μέοδος των Δύο Φάσεων Μεγάλο μειονέκτημα της Μ-μεόδου αποτελεί ο μη-καορισμός του πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το Μ, όταν χρησιμοποιούμε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Επιλεγούμε το Μ αυαίρετα μεγάλο το οποίο όμως μπορεί να προκαλέσει προβλήματα ακρίβειας στην υπολογιστική μηχανή (σφάλματα στρογγυλοποίησης). Τα προβλήματα αυτά, μπορούμε να τα αποφύγουμε με την μέοδο των 2 φάσεων η οποία λύνει το πρόβλημα μη χρησιμοποιώντας τις σταερές M. Μάλιστα, η συγκεκριμένη τεχνική επιλύει το πρόβλημα σε δύο φάσεις που αναλύονται παρακάτω. Στην πρώτη φάση, εισάγουμε τις τεχνητές μεταβλητές που χρειάζονται για να δημιουργηεί ο μοναδιαίος πίνακας. Λύνουμε το βοηητικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης (τεχνητές μεταβλητές) το οποίο έλουμε να έχει βέλτιστη λύση μηδέν, δηλαδή, όλες οι τεχνητές να είναι μηδέν. Το σύνολο των άλλων μεταβλητών, σε αυτή την περίπτωση αποτελούν βασική εφικτή λύση για το αρχικό πρόβλημα. Αν το βοηητικό πρόβλημα έχει βέλτιστη λύση ετική, τότε το αρχικό πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση. Στην δεύτερη φάση, λύνουμε το αρχικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας σαν αρχική βασική εφικτή λύση του προβλήματος την βέλτιστη λύση της ης φάσης. Παράδειγμα Να λυεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = x + 3 x x, x+ 2 4 2 x 2 3 x, x 0 2 2 Λύση * Στην πρώτη φάση, λύνουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού max Z = x x x5, x6 και στην δεύτερη φάση το αρχικό πρόβλημα. Αρά στην πρώτη φάση, έχουμε να επιλύσουμε τους παρακάτω πίνακες (Πίνακες 3.25, 3.26 και 3.27). 5 6-66 -
0 0 0 0 - - 0 8 2 2 0 0 8-6 0 0 6-3 0 0 2-3 0 3/2 Z 9 0 3-2 0 0 Πίνακας 3.25 Πίνακας. 0 0 0 0 - - 0 3/2 2 0 7/2 0 3/7-9/2 0 0 5/2 9/5 0 3/2 0 0-3/2 0 - Z 9/2 0 0 5/2 0 Πίνακας 3.26 Πίνακας 2. 0 0 0 0 - - Πίνακας 3.27 Πίνακας 3. 0 /5 3/5 0 0 0 3/7 0 9/5 0 2/5 0 9/5 0 2/5 0 3/5 0 0 - Z 0 0 0 0 0 0 Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι έχουμε την βέλτιστη λύση της πρώτης φάσης η οποία είναι η κάτωι ' * 4 x = [ /5 0 2/5 9/5] με τιμή αντικειμενικής z = 5. Στην συνέχεια, περνάμε στην φάση 2, όπου λύνουμε το αρχικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας σαν αρχική βασική εφικτή λύση του προβλήματος την βέλτιστη λύση της ης φάσης, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας 3.28). - 67 -
2-3 2 -Μ -Μ 2 /5 3/5 0 0 0 2 9/5 0 2/5 0 2/5 0 3/5 0 0 - Z 4/5 0-28/5 0 0 0 Πίνακας 3.28 Πίνακας 4. 3.8 Σύνδεση με τον κατάλογο Ανοικτών Μαημάτων Στα πλαίσια του έργου Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαήματα και συγκεκριμένα όσον αφορά στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών, οι συγγραφείς έχουν αναπτύξει ψηφιακό υλικό με μορφή διαφανειών και βίντεο-διαλέξεων, για το μάημα Επιχειρησιακή Έρευνα (Εφαρμογές με το Λογισμικό R) το οποίο αφορά τόσο στα έματα που α παρουσιαστούν στο παρόν σύγγραμμα όσο και στον τρόπο που προσεγγίζεται και διδάσκεται από τους συγγραφείς στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών. Το υλικό του μαήματος είναι ελεύερο στον ενδιαφερόμενο χρήστη μέσω της πλατφόρμας ασύγχρονης τηλεκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών για το Τμήμα Οικονομικών Επιστημών (ECON38) ενώ το υλικό που σχετίζεται με το παρόν κεφάλαιο μπορεί να βρεεί στους παρακάτω συνδέσμους: Μέοδος Simplex (Θεωρητική Προσέγγιση) Μέοδος Simplex (Πίνακες Simplex) Μέοδος Μ & Μέοδος των 2 Φάσεων 3.9 Σύνοψη Τρίτου Κεφαλαίου και Διδακτικοί Σκοποί Το παρόν κεφάλαιο σκοπό είχε να παρουσιάσει τα βασικά συστατικά των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού (ΠΓΠ), τα οποία δεν αναφέρονται σε δύο μεταβλητές αλλά επεκτείνονται στον χώρο. Παρουσιάζονται τα ανάλογα εωρήματα τα οποία συνοδεύον την εύρεση βέλτιστης λύσης και αναλύεται διεξοδικά η μέοδος Simplex. Τέλος, παρουσιάστηκαν κάποιες ειδικές περιπτώσεις ΠΓΠ που ενδεχομένως να αντιμετωπίσουμε ανάλογα με την φύση του προβλήματος. Μετά το τέλος αυτού του κεφαλαίου, μεταξύ άλλων, ο αναγνώστης α πρέπει να είναι σε έση: να χειρίζεται με ευχέρεια τους βασικούς ορισμούς και έννοιες σχετικά με την σύνεση των ΠΓΠ. να σχηματίσει την αντικειμενική συνάρτηση και τους αντίστοιχους περιορισμούς των ΠΓΠ. να χρησιμοποιήσει τη εωρία και την μέοδο Simplex στην λύση προβλημάτων μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. να κατανοήσει σε μεγάλο βαμό την διαδικασία εύρεσης βέλτιστης λύσης. να αναγνωρίζει τις ειδικές περιπτώσεις ΠΓΠ. - 68 -
Βιβλιογραφία/Αναφορές Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία: Dantzig, G. B. (963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton, N.J Dantzig, G. B., (987). Origins of the simplex method (PDF). A history of scientific computing. doi:0.45/87252.8808. ISBN 0-20-5084-. Karmarar, N., (984). A New Polynomial Time Algorithm for Linear Programming. Combinatorial, Vol 4, nr. 4, pp. 373 395. HACHIYAN, L. G. (979). A Polynomial Algorithm in Linear Programming. Do- lady Aademiia Nau SSSR 244, 093-096 (translated in Soviet Mathematics Dolady 20, 9-94, 979). Ελληνική Βιβλιογραφία: Κολέτσος, Ι. και Στογιάννης, Δ., (202). Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα. Εκδόσεις Συμεών, Αήνα. Λουκάκης Μ., (990). Επιχειρησιακή Έρευνα: Γραμμικός Προγραμματισμός, Αριστοποίηση σε Δίκτυα, τόμος Α, Εκδοτικό Κέντρο Βόρειας Ελλάδας. Μηλιώτης, Π., (994). Εισαγωγή στο Μαηματικό Προγραμματισμό. Εκδόσεις Σταμούλη, Αήνα. Μπότσαρης, Χ.,(99). Επιχειρησιακή Έρευνα, τόμος Ι, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αήνα. Σίσκος, Γ., (998). Γραμμικός Προγραμματισμός. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αήνα. Τσάντας Ν.Δ. και Βασιλείου Γ. Π-Χ (2000). Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα: Αλγόριμοι και Εφαρμογές. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Υψηλάντης, Γ. Π., (202). Επιχειρησιακή έρευνα: Εφαρμογές στη σημερινή επιχείρηση. 4η έκδ., Eκδόσεις Προπομπός (Ειδικές Επιστημονικές Εκδόσεις), Αήνα. - 69 -