1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ"

Θεοφάνια Τρικούπη
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός Θεωρία παιγνίων Ουρές αναμονής Δίκτυα. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραμμικός Προγραμματισμός (linear programming) καλείται μία μαθηματική τεχνική που βοηθά στο σχεδιασμό και τη λήψη αποφάσεων σχετικά με τις απαραίτητες εξισορροπήσεις για την κατανομή των πόρων. Υπολογίζει τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή του αντικειμενικού στόχου και εγγυάται την άριστη λύση του διατυπωμένου μοντέλου. Ο γραμμικός προγραμματισμός αποτελεί το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της επιχειρησιακής έρευνας αλλά και της διοικητικής επιστήμης γενικότερα. Ο Γραμμικός προγραμματισμός απαντά στο ερώτημα ποιο είναι το βέλτιστο μίγμα εισροών (π.χ. προϊόντων) που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης ή που ελαχιστοποιεί το κόστος της με δεδομένους τους περιορισμούς που υπάρχουν. Ο γραμμικός προγραμματισμός απαιτεί όλες οι μαθηματικές συναρτήσεις του μοντέλου να είναι γραμμικές συναρτήσεις Για την επίλυση των προβλημάτων του γραμμικού προγραμματισμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. Παράδειγμα Το Delicious, είναι ένα μικρό αλλά δημοφιλές ζαχαροπλαστείο που χρησιμοποιεί αποκλειστικά βιολογικές πρώτες ύλες για την παραγωγή δύο διαφορετικών ειδών κέικ. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με τη λογική τιμή διάθεσής τους, έχει εξασφαλίσει στο Delicious φήμη και μεγάλες πωλήσεις. Ο πίνακας που ακολουθεί, καταγράφει τις ανάγκες κάθε τύπου κέικ (ανά δωδεκάδα) από τις απαιτούμενες πρώτες ύλες, καθώς επίσης και τη διαθεσιμότητα αυτών των υλών μια συγκεκριμένη ημέρα. Αλεύρι (κιλά/δωδεκάδα) Αυγά (αριθμός/δωδεκάδα) Ζάχαρη (κιλά/δωδεκάδα) Μίγμα Φρούτων (κιλά/δωδεκάδα) Απλό κέικ Κέικ φρούτου Διαθέσιμες ποσότητες Λαμβάνοντας υπόψη ότι, το καθαρό κέρδος από τη δωδεκάδα ανέρχεται σε 5 από τα απλά κέικ και σε 5 για τα κέικ φρούτου: Να προσδιορίσετε το μίγμα παραγωγής που εξασφαλίζει το μέγιστο δυνατό κέρδος.

2 ΒΗΜΑ ο Καθορίζουμε με σαφήνεια τις μεταβλητές που θα χρησιμοποιήσουμε στο μοντέλο μας καθώς και το στόχο μας, δηλαδή την αντικειμενική συνάρτηση. Μεταβλητές : x -άδες απλών κέικ που θα παραχθούν σε μια μέρα x -άδες κέικ φρούτων που θα παραχθούν σε μια μέρα Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση) : Η μεγιστοποίηση του ημερήσιου κέρδους του ζαχαροπλαστείου το οποίο προέρχεται από την πώληση απλών κέικ και κέικ φρούτων. Επομένως εφόσον το καθαρό κέρδος από κάθε δωδεκάδα απλών κέικ είναι 5, το κέρδος από την πώληση των x δωδεκάδων θα ανέρχεται σε 5x. Όμοια, το κέρδος από την πώληση των x δωδεκάδων κέικ φρούτων θα ανέρχεται σε 5x. Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι Maximize Z = 5x + 5x ΒΗΜΑ ο Καθορίζουμε με σαφήνεια τους περιορισμούς του προβλήματος. Περιορισμοί : x + 0x 50 (διαθέσιμη ποσότητα αλευριού) 50x + 40x 500 (διαθέσιμος αριθμών αυγών) 5x + 0x 90 (διαθέσιμη ποσότητα ζάχαρης) 5x 0 (διαθέσιμη ποσότητα μίγματος φρούτων) Τέλος προσθέτουμε και το φυσικό περιορισμό της μη αρνητικότητας, μόνο για τυπικούς λόγους καθώς δεν χρησιμοποιείται στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος, x, x 0 Συνοψίζοντας, το μαθηματικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης της Delicious έχει ως ακολούθως : maximize Z = (5x + 5x ) κάτω από τους περιορισμούς x + 0x 50 (διαθέσιμη ποσότητα αλευριού) 50x + 40x 500 (διαθέσιμος αριθμών αυγών) 5x + 0x 90 (διαθέσιμη ποσότητα ζάχαρης) 5x 0 (διαθέσιμη ποσότητα μίγματος) x, x 0 φρούτων)

3 ΒΗΜΑ 3 ο Υπολογίζουμε τα σημεία στα οποία ο κάθε περιορισμός τέμνει τους άξονες x και x, λύνοντας κάθε περιορισμό σαν ισότητα για να δούμε τις μέγιστες τιμές x και x που παίρνει. ος περιορισμός : x + 0 x = 50 αν x = 0 τότε x +0 x = 50 0 x = 50 x 5. Άρα το σημείο είναι (0,5) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο πρώτος περιορισμός να παράγουμε. αν x = 0 τότε x +0 x = 50 x = 50 x,5. Άρα το σημείο είναι (.5, 0) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο πρώτος περιορισμός να παράγουμε. ος περιορισμός : 50 x + 40 x = 500 αν x = 0 τότε 50 x + 40 x = x = 500 x,5. Άρα το σημείο είναι (0,,5) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο δεύτερος περιορισμός να παράγουμε. αν x = 0 τότε 50 x + 40 x = x = 500 x 0. Άρα το σημείο είναι (0,0) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο δεύτερος περιορισμός να παράγουμε. 3 ος περιορισμός : 5 x + 0 x = 90 αν x = 0 τότε 5 x +0 x = 90 0 x = 90 x 9. Άρα το σημείο είναι (0,9) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο τρίτος περιορισμός να παράγουμε. αν x = 0 τότε 5 x +0 x = 90 5 x = 90 x 8. Άρα το σημείο είναι (8,0) που είναι ο μέγιστος αριθμός x που μας επιτρέπει ο τρίτος περιορισμός να παράγουμε. 4 ος περιορισμός : 5 x = 0 5 x = 0 x = 8. Άρα το σημείο είναι (0,8)

4 ΒΗΜΑ 3 ο Κατασκευάζουμε το γράφημα με τις ευθείες όλων των περιορισμών με σκοπό να βρούμε την εφικτή περιοχή. Χ 5,5 ος ος 9 Ε 8 Δ Γ 4 ος 3 ος Α Β 0,5 8 Χ Η εφικτή περιοχή είναι εκεί όπου ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί του προβλήματος ταυτόχρονα, δηλαδή η κοινή τους περιοχή. Στο σχήμα είναι το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ. Η βέλτιστη λύση, δηλαδή η μεγιστοποίηση του κέρδους, υπάρχει σε μια από τις πέντε κορυφές. Προφανώς δεν θα είναι η Α.

5 ΒΗΜΑ 4 ο Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες κάθε κορυφής της εφικτής περιοχής και τις αντικαθιστούμε στην αντικειμενική συνάρτηση maximize Z = 5x + 5x Κορυφή Α Η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (0,0) επομένως η αντικειμενική συνάρτηση είναι επίσης Ζ A = 0. Θα μπορούσε και να παραλειφθεί. Κορυφή Β Η κορυφή Β είναι το σημείο τομής της ευθείας ου περιορισμού με τον άξονα x. Επομένως η κορυφή Β έχει συντεταγμένες ( 0,0). Η αντικειμενική συνάρτηση είναι επίσης Z = 5x + 5x Z B = 5*0 + 5*0= 50. Κορυφή Γ Η κορυφή Γ είναι το σημείο τομής των ευθειών του ου και του 3 ου περιορισμού. Επομένως για να υπολογιστούν οι συντεταγμένες της θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα. Δηλαδή 50x 40x 50x 40x 50x 40x 50*(8 x ) 40x 5x 90 0 x 5x 0x 90 5x 90 0x x 8 x *(8 x x 8 x ) 40x x 40x x 8 x 60x 400 x x 8 x x 6,67 4,67 Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση είναι Z = 5x + 5x Z B = 5*4,67 + 5*6,67= 36,8. Κορυφή Δ Η κορυφή Δ είναι το σημείο τομής των ευθειών του 3 ου και του 4 ου περιορισμού. Επομένως για να υπολογιστούν οι συντεταγμένες της θα πρέπει πάλι να λύσουμε ένα σύστημα. Δηλαδή 5x 0x 90 5x 5x 0 x 0x x x 0 x x 8 x 8 x 8 Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση είναι Z = 5x + 5x Z B = 5* + 5*8 = 30.

6 Κορυφή Ε Η κορυφή Ε είναι το σημείο τομής της ευθείας 4 ου περιορισμού με τον άξονα x. Επομένως η κορυφή Ε έχει συντεταγμένες (0,8) και η αντικειμενική συνάρτηση είναι Z = 5x + 5x Z B = 5*0 + 5*8 = 00. Συνοψίζοντας προκύπτει ο παρακάτω πίνακας ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΙΜΗ Ζ Α (0, 0) 0 Β (0, 0) 50 Γ (4.67, 6.67) Δ (, 8) 30 Ε (0, 8) 00 ΒΗΜΑ 5 ο Αναφέρουμε με σαφήνεια το συμπέρασμά μας. Δηλαδή το ζαχαροπλαστείο Delicious, προκειμένου να μεγιστοποιήσει το ημερήσιο κέρδος του από την πώληση απλών κέικ και κέικ φρούτων θα πρέπει να παράγει καθημερινά 4,67 δωδεκάδες απλών κέικ, δηλαδή 56 τεμάχια, και 6,67 δωδεκάδες κέικ φρούτων, δηλαδή 80 τεμάχια. Έτσι το ημερήσιο κέρδος του θα είναι 36,67. info@onlineclassroom.gr

Σχετικά έγγραφα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize