ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη μορφή θα καλείται γραμμικό σύστημα: a x + a x a x = b n n 1 a x + a x a x = b n n a x + a x a x = b m1 1 m2 2 mn n m

3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ Μια n-άδα αριθμών x, 1 x,... 2 x που επαληθεύει τις n εξισώσεις του παραπάνω γραμμικού συστήματος θα καλείται λύση αυτού και το σύνολο όλων των λύσεων θα καλείται γενική λύση του συστήματος. Όταν ένα γραμμικό σύστημα έχει τουλάχιστο μία λύση θα καλείται συμβιβαστό διαφορετικά αδύνατο ή μη συμβιβαστό.

4 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙΙ Στην περίπτωση όπου οι συντελεστές των σταθερών όρων είναι όλοι ίσοι με μηδέν το σύστημα θα καλείται ομογενές διαφορετικά μη ομογενές. Μια απεικόνιση ενός γραμμικού συστήματος με βάση πίνακες είναι η ακόλουθη: a a... a A a a... a am 1... a n = n mn Πίνακας Συντελεσ τών Πίνακας Σταθερών όρων b1 x1 b2 x2 b=., x=... b m x n Πίνακας Αγνώστων

5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ IV Ο mx(n+1) πίνακας καλείται επαυξημένος και έχει την ακόλουθη μορφή: a a... a b n 1 = a2 n 2 ( Ab / ) a a... b a... a b m1 mn m

6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙV ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Καθεμία από τις παρακάτω διαδικασίες θεωρείται ως στοιχειώδης μετασχηματισμός: 1. Πολλ/μος μιας εξίσωσης του συστήματος με μη μηδενικό αριθμό ( symbol: r r) 2. Εναλλαγή στην θέση 2 εξισώσεων. 3. Πρόσθεση σε μια εξίσωση πολλαπλάσιο άλλης ( symbol: r ar + r) i j j i j ( symbol: r ar) i j

7 ΓΡΑΜΜΟΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ Έστω οι πίνακες AB M. Θα λέμε ότι ο πίνακας, n Α είναι γραμμοισοδύναμος με τον Β εάν ο Β προκύπτει από τον Α μέσα από μια πεπερασμένη ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών (ή στηλών).

8 ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ένα γραμμικό σύστημα θα καλείται ομογενές εάν έχει την ακόλουθη μορφή: a x + a x a x = n n a x + a x a x = n n a x + a x a x = 0 m1 1 m2 2 mn n

9 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κάθε γραμμικό σύστημα δύναται να έχει: 1. Μια μοναδική Λύση, 2. Άπειρες Λύσεις 3. Να μην έχει Λύση

10 ΟΡΙΣΜΟΣ Ι Κλιμακωτός Πίνακας:Ένας πίνακας θα καλείται κλιμακωτός εάν, το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής βρίσκεται σε θέση δεξιότερα από το αντίστοιχο μη μηδενικό στοιχείο της προηγούμενη γραμμής και οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πάνω από τις μηδενικές γραμμές A=

11 ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΙ Ανηγμένος Κλιμακωτός Πίνακας εάν είναι κλιμακωτός και επιπλέον ισχύουν: Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το 1, Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο 1 είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει. A =

12 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Κάθε mxn πίνακας είναι γραμμοισοδύναμος με έναν mxn πίνακα. 2. Κάθε γραμμικό σύστημα είναι ισοδύναμο με ένα γραμμικό σύστημα του οποίου ο επαυξημένος πίνακας είναι κλιμακωτός ή μπορεί να είναι ανηγμένος κλιμακωτός.

13 Μέθοδος Cramer-Rao Ι Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής a x + a x a x = b n n 1 a x + a x a x = b n n a x + a x a x = b n1 1 n2 2 nn n n δηλαδή της μορφής Ax = b

14 Μέθοδος Cramer-Rao ΙΙ 1. Εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διαφορετική του μηδενός τότε το σύστημα μας έχει μοναδική λύση. x1 x2 x ( x, x,..., x ) = (,,..., n ) 1 2 n deta det det deta deta deta 2. Εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι ίση με το μηδέν τότε το γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. A A

15 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ GAUSS Ι Έστω το παρακάτω σύστημα a x + a x a x = b n n 1 a x + a x a x = b n n a x + a x a x = b m1 1 m2 2 mn n m

16 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ GAUSS ΙΙ Χρησιμοποιώ τον επαυξημένο του πίνακα a a... a b n 1 = a2 n 2 ( Ab / ) a a... b a... a b m1 mn m

17 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ GAUSS ΙΙΙ Έστω ότι α11 στοιχείο διαφορετικό του μηδέν. Χρησιμοποιώντας την πρώτη γραμμή και κάνοντας γραμμοπράξεις μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία των επόμενων γραμμών που βρίσκονται στην ίδια στήλη με το α11. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής.

18 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ GAUSS ΙV Προσπαθούμε να «φτάσουμε» σε έναν πίνακα της μορφής: a a... a a b a a a b ( Ab / ) 0 0 a a b 0 b b r 1n r 2n 2 = rr rn r r+1 m

19 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 1. Εάν r<m και κάποιοι από τα b s είναι διαφορετικά του μηδενός το σύστημα είναι αδύνατο, 2. Εάν r<=m και τα b s=0 το σύστημα είναι συμβιβαστό Εάν r=n το σύστημα έχει μία ακριβώς λύση (Cramer) deta x= k deta (Ακ ο πίνακας που προκύπτει από τον α εάν αντικατασταθεί η κ-στήλη με τα b s). Εάν r<n έχει άπειρες λύσεις

20 Μέθοδος Αντίστροφου Πίνακα Προφανώς επίλυση ενός γραμμικού συστήματος επιτυγχάνεται και με την χρήση του αντίστροφου ενός πίνακα Α. Εάν θυμίσουμε ότι ένα γραμμικό σύστημα δίνεται ως: Ax = b A Ax = A b x = A b Μπορείτε να κατανοήσετε τα πλεονεκτήματα καθώς και τα μειονεκτήματα της κάθε μεθόδου;

21 Ορισμός (Βαθμός-Rank) Έστω πίνακας A M n. Βαθμός ή τάξη του πίνακα Α ονομάζεται το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του κλιμακωτού ή και ανηγμένου πίνακα του Α και έχει τον εξής συμβολισμό r(a).ισχύει ότι { m n} r( A) min, A = 0 1 8, B =, D =

22 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ A M mxn Ax = b m=n M><n det 0 A deta 0 det A= 0 1 x= Ab det 0 ra () rab ( /) Α ΥΝΑΤΟ ra () = rab ( /) Το σύστημα ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ με πλήθος παραμέτρων n-r(a).χρησιμοποιούμε Μέθοδο αντικατάστασης (εάν το πλήθος είναι μηδέν μοναδική λύση αλλιώς άπειρες)

23 ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω ένα ομογενές σύστημα m εξισώσεων, n αγνώστων με βαθμό r. 1. Το ομογενές σύστημα έχει την μηδενική λύση εάν r=m=n. 2. Εάν m<n έχει άπειρες λύσεις και το πλήθος αυτών ισούται με n-r.

24 Παράδειγμα Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x + x 2x + 3x = x + 3x + 3x x = x + 7x + 4x + x = x αx + x = x x + x = α x x x = x 3x 2x = x + 3x + 4x = x x x = x x + x = αx1+ x2+ x3 = 1 x + αx + x = x + x + αx =

25 Παράδειγμα 2 Να βρεθεί οι λύσεις σε όλες τις περιπτώσεις για τις διαφορετικές τιμές της παραμέτρου α για το παρακάτω σύστημα. x + x + ax = a x + ax + x = a = 1 ax x x 2

26 Παράδειγμα 3 Ενας τραπεζικός οργανισμός προγραμματίζει την επένδυση εκ. Ευρώ σε δύο τομείς:στον τομέα 1 με απόδοση 6% και στον τομέα 2 με απόδοση 9%.Εάν το ολικό ποσό, που προέρχεται απο τα ετήσια έσοδα των προγραμματισμένων επενδύσεων είναι το ίδιο με το ποσό που θα κέρδιζε ο οργανσιμός εάν επένδυε το ίδιο ποσό με απόδοση 7% να υπολογισθούν τα ποσά επένδυσης που αντιστοιχούν στους τομείς 1 & 2.

27 Αντιστρέψιμος Πίνακας Ένας nxn πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν είναι γραμμοισοδύναμος με τον μοναδιαίο nxn πίνακα. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω θεωρώ έναν πίνακα (Α/Ι) τον οποίο τον μετατρέπουμε σε κλιμακωτό πίνακα Χ. Συνεπώς ο (Α/Ι) (Χ/Β). Εάν Χ=Ι τότε ο Α είναι αντιστρέψιμος και είναι ο Β. Εάν Χ διαφορετικός του Ι ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος

28 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς για 3 αγαθά δίνονται παρακάτω ως εξής: Q = 10 + PQ, = 2 P, Q = 5+ 3P s s s Q = 20 P P, Q = 40 2 P P, Q = 10+ P P P d d d Να βρεθούν οι λύσεις που προκύπτουν απο την διάτύπωση των συνθηκών ισσοροπίας.

29 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Μια μικρή κλειστή οικονομία περιγράφεται από ένα σύστημα εξισώσεων που δίνουν τις συνθήκες ισορροπίας στις αγορές αγαθών και χρήματος, τις σ χεσεις IS, LM. Η αγορά αγαθών περιγράφεται απο τις παρακάτω εξίσώσεις (τμήμα IS) C= Y T, T= Y Ενώ η αγορά χρήματος από τις ( ) I= 65 RG, = 94 L= 5Y 50, RM= 1500 Όπου C η δαπάνη καταναλωτή,y το συνολικό προιόν,t τα φορολογικά έσοδα,i οι επενδυτικές δαπάνες,r το επιτόκιο,g οι δημόσιες δαπάνες,l η ζήτηση και M η προσφορά χρήματος. Η τιμή ισορροπίας Y,R.

30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Το απλό μακροοικονομικό υπόδειγμα εισοδήματος μπορεί να παρουσιαστεί με κάποιες τροποποιήσεις ως εξής: Υ = C +Ι+ G, C=aY'+b Y'=Y-T,T=RY Πως θα το παρουσιάζατε ως ένα γραμμικό σύστημα; (Καλό θα ήταν να γίνει εφαρμογή και σε κλειστή οικονομία).

31 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω a= ( a1, a2,..., an), b= ( b1, b2,..., bn) δύο διανύσματα του R χώρου. Ως εσωτερικό γινόμενο ορίζουμε ab, = ab ab ab n n ενώ ως εξωτερικό γινόμενο ορίζεται a b cosθ με θ η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α,b και a = a + a a, n b = b + b b n τα αντίστοιχα μέτρα ή μήκος των διανυσμάτων a,b.

32 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ-ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω ένα τετραγωνικός πίνακας A M n και ένα διάνυσμα x M nx1 ώστε να ισχύει Ax= λx, x 0 Το λ ονομάζεται ιδιοτιμή (eigenvalue) του πίνακα Α και το x καλείται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) του Α αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα καλούνται χαρακτηριστικά ποσά ή και ιδιοποσά. Η εύρεση των ιδιοποσών γίνεται από την λύση της εξίσωσης Ax λx=0 ( A λι ) x= 0 Για τον παρακάτω πίνακα να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα A 3 4 = 5 2

33 ΤΙ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΩ; Σημειώσεις και ασκήσεις από το E-class Τα κεφάλαια (5ο και 6 ο ) από τα προτεινόμενα συγγράμματα των Chiang και Ξεπαπαδέα.