Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17

Σχετικά έγγραφα
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Μέθοδοι µεταβλητής παρεκτροπής (Variable Extrapolation)

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 4 Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

3. Γραμμικά Συστήματα

Πίνακας Περιεχομένων

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :


Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος

Πίνακας Περιεχομένων

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των. Μεταβολών ( )

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΕΒΕΚΑ ΑΛ. ΜΩΡΑΪΤΗ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις:

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Διανύσµατα στο επίπεδο

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 3 Αριθµητικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί(Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα)

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ: ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ MATLAB

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Transcript:

Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 1 Μέθοδο / 17

Στατικές και µη-στατικές επαναληπτικές µέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n, είναι µη ιδιάζων πίνακας, x, b R n. Οι επαναληπτικές µέθοδοι χρησιµοποιούνται όταν ο πίνακας A είναι : Μεγάλης τάξης ( 10 3 10 6 ) Αραιός Συγκεκριµένης δοµής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 2 Μέθοδο / 17

Επαναληπτικές Μέθοδοι Ax = b x = Gx + k r (m) = b Ax (m) υπόλοιπο x (m+1) = x (m) + τ R 1 r (m) x (m+1) = (I τ R 1 A)x }{{} (m) + } τ R {{ 1 b } G τ (R) k τ (R) x = G τ (R) x + k }{{} τ (R) επαναλ. πίνακας Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 3 Μέθοδο / 17

Επιταχυντικές Επαναληπτικές µέθοδοι 1ου ϐαθµού Στατική επαναληπτική µέθοδος Richardson x (m+1) = x (m) + τ R 1 r (m), m = 0, 1, 2, Μη-Στατική επαναληπτική µέθοδος Richardson x (m+1) = x (m) + τ m R 1 r (m), m = 0, 1, 2, Ο επαναληπτικός πίνακας στην m επανάληψη είναι: G(τ m ) = I τ m R 1 A Παρατηρήσεις Αν τ m = τ στατική ε.µ. Αν R = I µη-προβλέψιµη(non-predictioned) ε.µ. Αν τ = 1, R = D ε.µ Jacobi Αν τ = 1, R = D C L ε.µ Gauss-Seidel Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 4 Μέθοδο / 17

Αλγόριθµος ε.µ. Richardson Συµβ.: r (m) = b Ax (m) υπόλοιπο z (m) = R 1 r (m) υπόλοιπο µε προσυνθήκη ( preconditioned residual ) Για την υλοποίηση της µεθόδου Richardson εφαρµόζεται ο ακόλουθος αλγόριθµος : Για m = 0, 1, 2, 1. Επίλυση του γρ. συστήµατος R z (m) = r (m) 2. Υπολογισµός της παραµέτρου επιτάχυνσης τ m 3. Ενηµέρωση της λύσης x (m+1) = x (m) + τ m z (m) 4. Ενηµέρωση του υπολοίπου r (m+1) = r (m) τ m Az (m) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 5 Μέθοδο / 17

Πίνακες µε προρύθµιση (Preconditioned matrices) Πίνακες Προρύθµισης Ax = b R 1 Ax = R 1 b 1. Αλγεβρικοί 2. Συναρτησιακοί ιαγώνιος R = D = diag(a 11, a 22, a nn ) Αν A συµµετρικός και ϑετικα ορισµένος τότε ο R = D είναι αποτελεσµατικός. n Αν A µη συµµετρικός και ϑετικα ορισµένος τότε ϑέτουµε r 2 ii = a 2 ij. Μη πλήρης (Incomplete) LU παραγοντοποίηση (ILU) και µη πλήρης (Incomplete) Cholesky παραγοντοποίηση (IC) (Υπολογισµός της παραγοντοποίησης µόνο για τα µή µηδενικά στοιχεία του A ). Πολυωνυµικός R 1 = p n (A), n µικρό Με ελάχιστα τετράγωνα R 1 = p s (A), προσέγγιση του A 1 µε ένα πολυώνυµο ελαχίστων τετραγώνων p s (A) j=1 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 6 Μέθοδο / 17

Μελέτη σύγλισης της ε.µ. Richardson Θεώρηµα 1 : Αν R είναι n n µη ιδιάζων πίνακας τότε η στατική ε.µ Richardson συγκλίνει 2Re(λi) τ λ i 2 > 1, i = 1, 2,, n όπου λ i R είναι οι ιδιοτιµές του R 1 A. Θεώρηµα 2 : Αν R είναι n n µη ιδιάζων πίνακας και ο R 1 A έχει θετικές πραγµατικές ιδιοτιµές λ 1 λ 2 λ n τότε η στατική ε.µ Richardson συγκλίνει 0 < τ < 2/λ 1. Επίσης η ϕασµατική ακτίνα ρ(g τ ) ελαχιστοποιείται για και η αντίστοιχη τιµή της δίνεται από τον τύπο 2 τ o = λ 1 + λ n ρ(g τo ) = λ1 λn λ 1 + λ n Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 7 Μέθοδο / 17

Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Γραµµική στατική Επαναληπτική µέθοδος 1ου ϐαθµού Au = b u (n+1) = Gu (n) + k, n = 0, 1, 2, u (0) αυθαίρετο Σχηµατισµός της νέας ακολουθίας: n v (n) = a k (n)u (k), n = 0, 1, 2, (2) k=0 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 8 Μέθοδο / 17

Σύγκλιση της Ηµι-Επαναληπτικής Μεθόδου Ακολουθίες διαδοχικών σφαλµάτων ɛ (k) = u (k) u η (k) = v (k) u η (n) = Ορίζουµε το πολυώνυµο ɛ (k) = G k ɛ (0) ( n ) a k (n)g k k=0 ɛ (0) n P n (x) = a k (n)x k, n = 0, 1, 2, k=0 οπότε έχουµε Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 9 Μέθοδο / 17

Πρόβληµα Ελαχιστοποίησης Με την υπόθεση ότι ο πίνακας G έχει πραγµατικές ιδιοτιµές λ i τέτοιες ώστε α λ i β < 1 ισχύει P n (G) 2 = ρ(p n (G)) = max P n (λ i ) max P n(λ) λ i α λ β Ετσι καταλήγουµε στο ακόλουθο πρόβληµα ελαχιστοποίησης min { max P n (λ) } P n(1)=1 α λ i β<1 Η λύση του ανωτέρω προβλήµατος γίνεται µε τη χρήση των πολυωνύµων Chebychev ως εξής: Μετασχηµατισµός γ : [α, β] [0, 1] γ = 2λ (β + α) β α λ = (β α)γ + β + α 2 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 10 Μέθοδο / 17

Χρήση των πολυωνύµων Chebychev Ορίζουµε το πολυώνυµο οπότε έχουµε Q n (γ) = P n (λ) max P n(λ) = max Q n (γ) α λ β 1 γ 1 Το πρόβληµα είναι η εύρεση ενός πολυωνύµου Q n (γ) ϐαθµού n : Q n (z) = 1 (όπου z = γ(1)) και η ποσότητα να γίνεται ελάχιστη. max Q n (γ) 1 γ 1 Η λύση στο παραπάνω πρόβληµα δίνεται από το ακόλουθο ϑεώρηµα : Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 11 Μέθοδο / 17

Θεώρηµα Εστω n ένας σταθερός µη αρνητικός ακέραιος και z οποιοσδήποτε σταθερός πραγµατικός αριθµός µε z > 1. Αν ϑέσουµε P n(x) = Tn(x) T n(z), όπου T n(x) είναι το πολυώνυµο Chebychev n-ϐαθµού που δίνεται από τον τύπο T n(x) = cos(ncos 1 x) = 1 [ ( x + n ( x 2 1) + x + ) ] n x 2 1 2 τότε και = cosh(ncosh 1 x) P n(z) = 1 max P n(x) = 1 1 x 1 T n(z) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 12 Μέθοδο / 17

Επιπλέον, αν Q n (x) είναι οποιοδήποτε πολυώνυµο ϐαθµού n τέτοιο ώστε Q(z) = 1 και max Q(x) max P n (x) 1 x 1 1 x 1 τότε Q(x) = P n (x) Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 13 Μέθοδο / 17

Χρήσιµη αναδροµική σχέση των πολυωνύµων Chebychev T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n = 1, 2, Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 14 Μέθοδο / 17

Αλγόριθµος της Ηµι-Επαναληπτικής µεθόδου Chebychev Β1. ιάβασε ɛ, max_iter Β2. σ = β α 2 β α, ρ = 2 2 β α Β3. v (0) = κάποια αρχική προσέγγιση Β4. v (1) = ρ(gv (0) + k) + (1 ρ)v (0) Β5. ρ 2 = (1 12 ) 1 σ2 Β6. n = 1 Β7. v (2) = ρ 2 ( ρ(gv (1) + k) + (1 ρ)v (1)) + (1 ρ 2 )v (0) Β8. Επανάλαβε n = n + 1 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 15 Μέθοδο / 17

...Αλγόριθµος της Ηµι-Επαναληπτικής µεθόδου Chebychev Β8. Επανάλαβε n = n + 1 ρ n+1 = (1 14 ) 1 σ2 ρ n v (n+1) = ρ n+1 ( ρ(gv (n) + k) + (1 ρ)v (n)) + (1 ρ n+1 )v (n 1) όσο ισχύει ( n < max_iter και v (n+1) v (n) ɛ) Β9. Αν n < max_iter τύπωσε τη λύση v (n+1) διαφορετικά τύπωσε( Οχι σύγκλιση µετά από max_iter επαναλήψεις ) Β10.Τέλος Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 16 Μέθοδο / 17

Η µέθοδος γενικών διευθύνσεων (Gradient) ( ή απότοµης καθόδου(stepest Descent) ) Αν A n n συµµετρικός και θετικα ορισµένος (SPD) πίνακας τότε το συναρτησοειδές Q : R n R, x R, που ορίζεται από τον τύπο Q(x) = 1 2 xt Ax x T b, λέγεται ενέργεια του γραµµικού συστήµατος Ax = b. Λήµµα : Αν R είναι n n µη ιδιάζων πίνακας και b R n Q(x) ισχύει x = min Q(x) Ax = b. x R n τότε για τη συνάρτηση Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι31 και Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές 2017 17 Μέθοδο / 17