Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Transcript

1 Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα

2 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων

3 Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής επίλυσης εξισώσεων εμφανίζεται με την ακόλουθη μορφή: Δεδομένης της να βρεθεί κάποιο σημείο Το σημείο ονομάζεται λύση της εξίσωσης f x ή ρίζα ή μηδενικό της συνάρτησης y f x. Παράδειγμα: f : a, b, r a, b έτσι ώστε f r 0. r 0 3 Αν δίνεται η εξίσωση x 80, τότε η λύση αυτής είναι το 3 σημείο r 2, διότι για το σημείο αυτό ισχύει f Ενώ αν δίνεται η εξίσωση x 40, τότε η λύση αυτής είναι το σημείο r 2, όπως επίσης λύση είναι και το σημείο r 2, διότι και για τα δύο αυτά σημεία ισχύει ότι f 2 f 2 0.

4 Εισαγωγή Πολλές φορές στα προβλήματα που ανακύπτουν σε διάφορους κλάδους της επιστήμης η μορφή του προβλήματος αριθμητικής επίλυσης εξισώσεων αλλάζει στην επόμενη: Δεδομένης της να βρεθούν όλα τα σημεία Υπάρχει όμως περίπτωση μια εξίσωση να έχει και μιγαδικές λύσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η μορφή του προβλήματος αλλάζει στην επόμενη: Δεδομένης της να βρεθεί κάποιο σημείο f : a, b, r f : D, r a, b για τα οποία f r 0. D έτσι ώστε f r 0.

5 Εισαγωγή Στη συνέχεια θα δοθούν μερικές χρήσιμες έννοιες για την περεταίρω μελέτη του προβλήματος αριθμητικής επίλυσης εξισώσεων. Ορισμός 5.2 Ένα πολυώνυμο βαθμού i όπου a για i 01n n n 1 και n εκφράζεται ως εξής: P x a x a x a x a, n n n1 1 0 είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Ορισμός 5.3 Ένα πολυώνυμο ονομάζεται γραμμικό, τετραγωνικό, κυβικό ή τεταρτοστό αν ο βαθμός του είναι αντίστοιχα 1, 2, 3 ή 4. n

6 Εισαγωγή a Ορισμός 5.4 Ένας αριθμός ονομάζεται αλγεβρικός αριθμός, αν αποτελεί ρίζα ενός πολυωνύμου του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί. Ο βαθμός του πολυωνύμου, του οποίου ο αλγεβρικός αριθμός αποτελεί ρίζα, ονομάζεται βαθμός του αλγεβρικού αριθμού a. a 0 Ορισμός 5.5 Η πολυωνυμική εξίσωση Pn x ονομάζεται ελαχιστοτική εξίσωση του αλγεβρικού αριθμού αν ο δεν μπορεί να αποτελέσει λύση μίας τέτοιας εξίσωσης με μικρότερο βαθμό. Ορισμός 5.6 Ένας αριθμός εκφρασμένος σε μία βάση b 2 ονομάζεται κανονικός στη βάση όταν διατρέχοντας το ανάπτυγμά του στη βάση όλα τα δυνατά υποσύνολα στοιχείων μήκους l εμφανίζονται ισοπίθανα (με πιθανότητα b l ). b a a b

7 Εισαγωγή Εφαρμογή Θα δείξουμε ότι ο αριθμός αριθμός βαθμού δύο. Λύση: είναι αλγεβρικός Ο αριθμός 2 είναι αλγεβρικός αριθμός βαθμού δύο εφόσον 2 αποτελεί λύση της εξίσωσης x 2 0. Η εξίσωση αυτή είναι μία πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές, η οποία εκφράζει την ελαχιστοτική εξίσωση του αριθμού 2. Αυτό ισχύει διότι, αφού ο αριθμός 2 είναι άρρητος, δεν μπορεί να αποτελέσει λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού ένα της μορφής a1x a0 0, όπου a1 και a0 είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί. 2

8 Εισαγωγή Ορισμός 5.7 Αν ένας πραγματικός αριθμός δεν μπορεί να αποτελέσει ρίζα για κανένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί, τότε ο αριθμός αυτός ονομάζεται υπερβατικός. Παραδείγματα υπερβατικών αριθμών Αριθμός του Liouville: n1 n! Αριθμός e: 1 e lim1 n n Αριθμός π: Ορισμός 5.8 Μία υπερβατική εξίσωση είναι μια εξίσωση η οποία αποτελείται από υπερβατικές συναρτήσεις, δηλαδή από συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι αλγεβρικές.

9 Εισαγωγή Σημείωση Οι υπερβατικές εξισώσεις περιέχουν όρους που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις, sin, cos, tan ή/και λογαρίθμους και εκθετικά κ.α. κ.λ.π. Παράδειγμα Η εξίσωση είναι μία υπερβατική εξίσωση. x f x sin x e ln x 1 0, Παρατήρηση Σε τέτοιες εξισώσεις, εκτός από ορισμένες εξαιρέσεις, είναι αδύνατο να βρούμε κλειστή έκφραση η οποία θα δίνει τις λύσεις τους. 2

10 Εισαγωγή Το πρόβλημα της επίλυσης μιας αλγεβρικής ή υπερβατικής εξίσωσης είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα προβλήματα των υπολογιστικών μαθηματικών. Γενικά, δεν υπάρχουν αναλυτικές μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων και για αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων. Ορισμός 5.9 Μια αριθμητική μέθοδος για την αριθμητική επίλυση μιας αλγεβρικής ή υπερβατικής εξίσωσης είναι η μέθοδος η οποία προσδιορίζει με αριθμητικές τιμές τη λύση (ή τις λύσεις) της εξίσωσης ως όρια συγκλινουσών ακολουθιών, των οποίων οι διαδοχικοί όροι μπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούν διαδοχικές προσεγγίσεις των ζητούμενων λύσεων.

11 Εισαγωγή 1 Ορισμός 5.10 Υποθέτουμε ότι έχουμε μία ακολουθία a η οποία συγκλίνει στο μηδέν και μία άλλη ακολουθία x η οποία συγκλίνει σε 1 έναν αριθμό x. Αν υπάρχει θετική σταθερά τέτοια ώστε για μεγάλο να ισχύει: x x c a, 1 τότε θα λέμε ότι η ακολουθία x συγκλίνει στον με ρυθμό σύγκλισης Oa. c x 0 Ορισμός 5.11 Υποθέτουμε ότι έχουμε μία ακολουθία x η οποία συγκλίνει σε έναν αριθμό x τέτοιον ώστε να ισχύει x x για όλα τα Αν υπάρχουν θετικές σταθερές και τέτοιες ώστε να ισχύει ότι: 1 c lim x x x x c, 0 τότε θα λέμε ότι η ακολουθία x συγκλίνει με τάξη a στον με ασυμπτωτική σταθερά σφάλματος c. a a x.

12 Εισαγωγή Ορισμός 5.12 Μία επαναληπτική διαδικασία της μορφής x 1 g x λέγεται ότι είναι τάξης αν η ακολουθία x 0 συγκλίνει στη λύση r g r με τάξη a. a Παρατήρηση Γενικά, μια ακολουθία με μια υψηλής τάξης σύγκλιση συγκλίνει πιο γρήγορα από μια ακολουθία με χαμηλότερης τάξης σύγκλιση. Η ασυμπτωτική σταθερά επηρεάζει τη σύγκλιση, αλλά δεν είναι τόσο σημαντική όσο η τάξη η οποία και προσδιορίζει τη σύγκλιση. Ορισμός 5.13 Με βάση τα παραπάνω θα λέμε ότι μία ακολουθία συγκλίνει γραμμικά ή ότι είναι γραμμικώς συγκλίνουσα αν a 1, ενώ θα λέμε ότι συγκλίνει τετραγωνικά ή ότι είναι τετραγωνικώς συγκλίνουσα αν a 2. c

13 Εντοπισμός και απομόνωση των λύσεων Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Τεχνική της μείωσης των λύσεων

14 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Σύμφωνα με τις γραφικές μεθόδους κατασκευάζεται το γράφημα της συνάρτησης y f x και οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης f x 0 εντοπίζονται από τις τομές του γραφήματος αυτού με τον άξονα των αγνώστων x. Παράδειγμα Τα σημεία r1 1, r2 2 και r3 3 αποτελούν την απλή, διπλή και τριπλή ρίζα της συνάρτησης 2 3 f x x 1 x 2 x 3.

15 Παρατήρηση Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Στην πράξη δεν είναι γνωστές οι ρίζες της συνάρτησης f x και για αυτό χρησιμοποιείται το γράφημα της f x για να εντοπιστούν οι ρίζες της. Όπως για παράδειγμα με τη βοήθεια του σχήματος εντοπίζονται οι ρίζες στις περιοχές του r, r και r Οι ρίζες μπορούν να απομονωθούν σε διαστήματα τα οποία περιέχουν ακριβώς μία λύση, όπως τα διαστήματα: όπου r r r r r r είναι ένας μικρός θετικός αριθμός. Οι γραφικές μέθοδοι παρέχουν πληροφορίες και για το είδος των λύσεων Η λύση r1 1 είναι απλή, η λύση r2 2 είναι διπλή, ενώ η λύση r3 3 είναι τριπλή.,,, και,,

16 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Ορισμός 5.14 Μία λύση της εξίσωσης f x λέγεται ότι είναι ρίζα πολλαπλότητας της συνάρτησης αν για x r η m συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφεί ως f x x r qx έτσι ώστε lim q x xr 0. r m 0 Παράδειγμα Η συνάρτηση f x x 1 x 2 x 3 μπορεί να γραφεί με τους παρακάτω τρεις διαφορετικούς τρόπους: Άρα, σύμφωνα με τον Ορισμό 5.14 έχουμε ότι η λύση r1 1 είναι απλή, η λύση r είναι διπλή, ενώ η λύση r3 3 είναι τριπλή. f 2 3, όπου 1, και f x x r q x r q x x x 1 1, όπου 2, και f x x r q x r q x x x 2 2, όπου, και 3 2 f x x r q x r 3 q x x 1 x

17 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Θεώρημα 5.1 Αν η συνάρτηση έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα ab,, δηλαδή η ανήκει στην κλάση των συναρτήσεων C 1 a, b, τότε η συνάρτηση έχει μία απλή ρίζα ή ρίζα πολλαπλότητας ένα στο που βρίσκεται στο διάστημα ab,, εάν και μόνο εάν ισχύουν ότι f r αλλά fr 0. Τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν ως εξής: r f f 0, Θεώρημα 5.2 Έστω ότι η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο τάξης m στο διάστημα ab,, δηλαδή η ανήκει στην κλάση των m συναρτήσεων C a, b, τότε η f έχει μία ρίζα πολλαπλότητας m στο που βρίσκεται στο διάστημα ab,, εάν και μόνο εάν ισχύουν ότι: r f f f m m, αλλά f r f r f r f r f r 0.

18 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης των λύσεων Παρατηρήσεις για την πολλαπλότητα των ριζών Αν διαταραχθεί ελάχιστα η συνάρτηση τότε η απλή ρίζα θα μετατοπιστεί αριστερά ή δεξιά ανάλογα με τη διαταραχή. Στην περίπτωση της διπλής ρίζας, μετά από μια διαταραχή μπορεί να δημιουργηθούν δύο ρίζες, η μία κοντά στην άλλη κ.ο.κ. 3 Παράδειγμα Η συνάρτηση f x x έχει μία τριπλή ρίζα στο r 0. Αν διαταράξουμε τη συνάρτηση με έναν όρο x όπου μία αυθαίρετη πολύ μικρή θετική σταθερά, τότε η νέα διαταραγμένη συνάρτηση g x x 3 x xx 2 έχει τρεις ρίζες, τις r1 0, r2 και r3. Ενώ, αν τη διαταράξουμε με x, τότε θα έχουμε ως ρίζες της διαταραγμένης συνάρτησης την r1 0 και δύο μιγαδικές. f,

19 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης των λύσεων Αν το γράφημα της συνάρτησης f x είναι περίπλοκο ή δεν δίνει πληροφορίες για τον εντοπισμό και την απομόνωση των λύσεων, τότε μία εναλλακτική λύση είναι η εξής: Όταν η συνάρτηση f x είναι δυνατόν να γραφτεί ως διαφορά δύο απλούστερων συναρτήσεων f1 x και f2 x έτσι ώστε f x f1 x f2 x, τότε εντοπίζονται και απομονώνονται με τη βοήθεια των γραφημάτων των και f αντί του γραφήματος της f. f1 2 Στην περίπτωση αυτή οι λύσεις εντοπίζονται με τις τετμημένες των σημείων τομής των δύο γραφημάτων. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι, αν η τετμημένη ενός σημείου τομής των δύο γραφημάτων είναι το σημείο r, τότε για το σημείο αυτό ισχύει ότι f r f r ή ισοδύναμα ότι f r

20 Γραφικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης των λύσεων Παράδειγμα Στο σχήμα (a) φαίνεται το γράφημα της συνάρτησης x f x cos x e, 0.5 Στο σχήμα (b) φαίνονται οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων f1 x cos x x και f x e Στο σχήμα 5.2(a) εντοπίζεται η λύση εντοπίζεται και στο σχήμα 5.2(b). η οποία Όμως με το σχήμα 5.2(b) εντοπίζονται και απομονώνονται ευκολότερα οι υπόλοιπες λύσεις: oη βρίσκεται μεταξύ του και του 2. oη είναι λίγο μεγαλύτερη από το 3 2. oη r είναι λίγο μικρότερη από το 5 2. r 0 2 r 3 4 Γενικά συμπεραίνουμε την ύπαρξη άπειρου πλήθους θετικών λύσεων οι οποίες είναι σχεδόν ομοιόμορφα κατανεμημένες στο θετικό ημιάξονα και οι οποίες μπορούν να προσεγγιστούν από τις τιμές για 34,, r r1 0, (a) (b)

21 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Ένα απλό κριτήριο για την ύπαρξη μίας λύσης της εξίσωσης f στο διάστημα ab,, όταν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα ab,, είναι: f a f b 0, ή sgn f a sgn f b 1, f x 0 όπου η sgn είναι η συνάρτηση προσήμου. Αυτό το κριτήριο είναι γνωστό ως το κριτήριο ύπαρξης ριζών του Bolzano. Όταν το κριτήριο αυτό ικανοποιείται και η συνάρτηση f x είναι συνεχής, τότε η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα ab,.

22 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης (a) (b) Παράδειγμα Στο σχήμα (a) φαίνεται ότι το κριτήριο του Bolzano ικανοποιείται, αφού και ότι υπάρχουν περιττού πλήθους λύσεις στο διάστημα ab,. Στο σχήμα (b) φαίνεται ότι, ενώ το κριτήριο του Bolzano ικανοποιείται, αφού και f b όμως δεν υπάρχει λύση στο διάστημα ab,, το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι η συνάρτηση. f x δεν είναι συνεχής. f a 0 και f b 0, f a 0 0,

23 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Παρατηρήσεις Στην περίπτωση που το κριτήριο του Bolzano ικανοποιείται και η συνάρτηση f x είναι συνεχής υπάρχουν περιττού πλήθους απλές λύσεις στο διάστημα ab,. Όμως, όταν το κριτήριο δεν ικανοποιείται, δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει λύση στο αντίστοιχο διάστημα ab,., Αν η συνάρτηση f x εκτός από συνεχής, είναι και γνήσια μονότονη στο διάστημα a, b και ισχύει το κριτήριο του Bolzano, τότε θα υπάρχει μία και μόνο λύση της εξίσωσης f x 0 στο διάστημα ab,. Έτσι, το διάστημα ab, αποτελεί ένα διάστημα απομόνωσης της λύσης r. r

24 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Αντί του κριτηρίου του Bolzano, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η τιμή του τοπολογικού βαθμού της στο μηδέν αναφορικά με το διάστημα ab,, ο οποίος συμβολίζεται ως deg f, a, b, 0 και ορίζεται από την παρακάτω σχέση: f 1 deg f, a, b, 0 sgn f b sgn f a. 2 Αν η τιμή του τοπολογικού βαθμού είναι διάφορη του μηδενός, τότε υπάρχει τουλάχιστον μία λύση της f x στο διάστημα ab,. 0 Αν ο τοπολογικός βαθμός είναι διάφορος του μηδενός, τότε το κριτήριο του Bolzano ικανοποιείται. Η τιμή του τοπολογικού βαθμού δίνει επιπλέον πληροφορίες για τις λύσεις της f x 0 στο διάστημα ab,, που αφορούν στις τιμές της παραγώγου της f στις λύσεις.

25 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και Παράδειγμα Όπως φαίνεται στο σχήμα, αν deg f, a, b, 0 1, το οποίο σημαίνει ότι f b 0 και f a 0, τότε το πλήθος των λύσεων στις οποίες η παράγωγος είναι θετική υπερέχει κατά ένα του πλήθους των λύσεων στις οποίες η παράγωγος είναι αρνητική. απομόνωσης

26 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και Παρατηρήσεις απομόνωσης Το κριτήριο του Bolzano, όπως και η μη μηδενική τιμή του τοπολογικού βαθμού απαντούν θετικά στην περίπτωση της ύπαρξης μίας λύσης, ενώ δεν μπορούν να απαντήσουν αρνητικά, δηλαδή να απαντήσουν στο αν δεν υπάρχει λύση σε ένα δεδομένο διάστημα. Οι τεχνικές της ανάλυσης διαστημάτων απαντούν στο ερώτημα αν δεν υπάρχει λύση σε ένα δεδομένο διάστημα. Όμως, δεν μπορούν να απαντήσουν θετικά στο αν υπάρχει λύση σε ένα δεδομένο διάστημα. Στην περίπτωση αυτή υποδιαιρούν το διάστημα και χρησιμοποιούν επιπρόσθετα κριτήρια.

27 Αναλυτικές μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης Ο παρακάτω τύπος βασίζεται στη θεωρία του τοπολογικού βαθμού και δίνει το ακριβές πλήθος όλων των απλών λύσεων της εξίσωσης f x 0 στο διάστημα ab, ως: N r όπου Παρατήρηση N r 2 είναι μία μικρή αυθαίρετη σταθερά. f a f b f b f a b f x f x f x 1 dx arctan 2, a f x f x f a f b f a f b 0 Γνωρίζοντας το ακριβές πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f x σε ένα διάστημα ab,, μπορούν εύκολα να εντοπιστούν και να απομονωθούν οι λύσεις αυτές. Το διάστημα ab, υποδιαιρείται συνεχώς έως ότου εντοπιστούν τόσα διαστήματα όσο και το πλήθος ων λύσεων, για τα οποία να ισχύει το κριτήριο του Bolzano ή το κριτήριο του τοπολογικού βαθμού.

28 Τεχνική της μείωσης των λύσεων Όταν έχει βρεθεί μία λύση της εξίσωσης f x τότε μπορεί να σχηματιστεί μία νέα εξίσωση η οποία να διατηρεί όλες τις λύσεις της f x εκτός από τη λύση 0 r r 0, Αν είναι γνωστή η ρίζα της συνάρτησης f x και αν η ρίζα είναι απλή, τότε η συνάρτηση: f x x 1,, διατηρεί όλες τις ρίζες της f x οι οποίες είναι διαφορετικές από τη ρίζα ενώ δεν δέχεται ως ρίζα την f x r r,. r r. r

29 Τεχνική της μείωσης των λύσεων (a) (b) Παράδειγμα Στο σχήμα (a) δίνεται το γράφημα της συνάρτησης στο οποίο φαίνεται ότι υπάρχουν οι τρείς ρίζες r, r και r. y f x 1 Έστω ότι υπολογίσαμε τη ρίζα r Αν εφαρμόσουμε την τεχνική της μείωσης των λύσεων για τη συνάρτηση f x και τη λύση r3 τότε σχηματίζουμε τη συνάρτηση f1 x f x x r3 (σχ. (b)). Η συνάρτηση f1 x ονομάζεται συνάρτηση μείωσης. Η f1 x διατηρεί τις ρίζες r1 και r2, αλλά όχι την r. 3,

30 Τεχνική της μείωσης των λύσεων συνέχεια παραδείγματος Είναι φανερό ότι μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία αυτή ώστε να μειώσουμε περισσότερο τις ρίζες της f x (σχήμα (c)). Αν υποθέσουμε ότι υπολογίσαμε μία λύση της f1 x 0, έστω την και εφαρμόσουμε την τεχνική της μείωσης των λύσεων για τη συνάρτηση f1 x και στη λύση τότε σχηματίζουμε τη συνάρτηση f x f x x r το γράφημα της οποίας δίνεται στο σχήμα (c). r 2 Στο σχήμα (c) φαίνεται ότι η f2 x διατηρεί τη ρίζα r, 1 αλλά όχι τις ρίζες r2 και r3 στις οποίες έχει εφαρμοστεί η τεχνική της μείωσης των λύσεων. r 2, 2 1 2, (c) (d)

31 Τεχνική της μείωσης των λύσεων Γενικά οι συναρτήσεις μείωσης δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις: f i x p i x x r 1 i f, p όπου είναι το πλήθος των λύσεων ri, i 12,,, p, στις οποίες έχει εφαρμοστεί η τεχνική της μείωσης των λύσεων.

32 Τεχνική της μείωσης των λύσεων Τεχνική της μείωσης λύσεων πολλαπλότητας m Στην περίπτωση αυτή δεν είναι απαραίτητο να είναι γνωστή η πολλαπλότητα μίας δεδομένης ρίζας ώστε να εφαρμοστεί η τεχνική της μείωσης λύσεων. r 0 Έστω ότι είναι μία λύση της εξίσωσης f x και ότι εφαρμόζεται η τεχνική μείωσης των λύσεων στην χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση μείωσης f x f x x r 1. r Τότε, αν η ρίζα είναι πολλαπλή βάσει του ορισμού 5.14, θα είναι και ρίζα της συνάρτησης μείωσης f 1 και επομένως υπάρχει περίπτωση να υπολογιστεί και πάλι. Έτσι, αν κάθε φορά που υπολογίζεται η ίδια ρίζα διαιρείται πάλι η συνάρτηση μείωσης με τον ίδιο όρο x r, τότε θα προκύψει μία συνάρτηση μείωσης η οποία δεν δέχεται ως ρίζα την r. r r,

33 Μέθοδος της διχοτόμησης Η μέθοδος της διχοτόμησης χρησιμοποιείται για να προσεγγίσει με μία επιθυμητή ακρίβεια μία λύση της εξίσωσης f x 0, η οποία είναι γνωστό ότι βρίσκεται στο διάστημα ab,. Πρόβλημα: Έστω η εξίσωση όπου η συνάρτηση f x είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, για το οποίο ισχύει ότι f a f b Σύμφωνα με το κριτήριο του Bolzano, θα υπάρχει μία λύση της f x στο διάστημα ab,. 0 Στόχος είναι να βρεθεί μία προσέγγιση x της λύσης με εφαρμογή της μεθόδου της διχοτόμησης. r f x 0 a b 0. r r

34 Μέθοδος της διχοτόμησης ab,, x 0. Έστω I1 a1, b1 το αρχικό διάστημα το οποίο περιέχει τη ρίζα της εξίσωσης f Θεωρούμε ως αρχική προσέγγιση ρίζας. το μέσο του διαστήματος σημείο x a b r 1, της δηλαδή το Αν για το σημείο αυτό ισχύει ότι f x1 0, τότε έχουμε υπολογίσει τη λύση η οποία είναι το r x Διαφορετικά επιλέγουμε τα άκρα a και b του υποδιαστήματος a2, b2 σύμφωνα με τα εξής κριτήρια: αν f a f x 0, τότε θέτουμε a a και b x, οπότε ορίζουμε ένα νέο διάστημα I a, b που περιέχει τη ρίζα της f x Στο σχήμα φαίνεται ότι έχει επιλεγεί το υποδιάστημα a, b a, x r αν f x f b 0, τότε θέτουμε a x και b b, r I x

35 Μέθοδος της διχοτόμησης Στη συνέχεια, ορίζουμε το μέσο του νέου διαστήματος I2 a2, b2 ως νέα προσέγγιση της λύσης δηλαδή x a b r, Εφαρμόζουμε την προηγούμενη διαδικασία ώστε να δημιουργήσουμε το υποδιάστημα.. a, b, του οποίου το μέσον είναι το κ.ο.κ. 3 3 Διχοτομώντας κάθε φορά το υποδιάστημα.. a, b και επιλέγοντας εκείνο το υποδιάστημα για το οποίο ισχύει το θεώρημα του Bolzano, δημιουργείται μία ακολουθία σημείων x, 01,, η οποία συγκλίνει στη ρίζα r της f x 0. x x 3 3 x I

36 Μέθοδος της διχοτόμησης Σύγκλιση της ακολουθίας x 01,,, Σύμφωνα με τη μέθοδο της διχοτόμησης, ισχύει ότι: b a b 1 a 1, 12,, 2 Επίσης, αφού ο κάθε όρος της ακολουθίας ορίζεται ως το μέσο του αντίστοιχου διαστήματος a, b, ισχύει ότι: a a a a a x b b b b b , x και ότι f a f b,, Έτσι, τα αριστερά άκρα των διαστημάτων σχηματίζουν μία αύξουσα και φραγμένη ακολουθία a, 12,,, ενώ τα δεξιά άκρα σχηματίζουν μία φθίνουσα και φραγμένη ακολουθία b,,, 1 2.

37 Μέθοδος της διχοτόμησης Σύγκλιση της ακολουθίας x 01,,, 12 Οι ακολουθίες a, b,,, με τις παραπάνω ιδιότητες αποτελούν έναν κιβωτισμό του Cantor. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να ορίσουμε ένα σημείο τέτοιο ώστε a x b, το οποίο αποτελεί ένα κοινό όριο των δύο ακολουθιών δηλαδή ισχύει: lim a lim b x. Επειδή η συνάρτηση f x είναι συνεχής ισχύει: 2 lim f a f b f x 0. 0 Άρα, θα ισχύει ότι f x και κατά συνέπεια θα έχουμε ότι x r. x

38 Μέθοδος της διχοτόμησης Το ελάχιστο πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται από τη μέθοδο της διχοτόμησης για την εύρεση της προσέγγισης της λύσης με ακρίβεια δίνεται από την παρακάτω σχέση r v v b a 1 log 2, όπου ο συμβολισμός w δηλώνει το μικρότερο ακέραιο, ο οποίος είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού που βρίσκεται μέσα στο όρισμα. w

39 Μέθοδος της διχοτόμησης Αλγόριθμος Βήμα 1. Είσοδος I f, a, b,. 1 Βήμα 2. Θέσε 0, v log 2 b a, a 1 a και b 1 b βήμα. και πήγαινε στο επόμενο Βήμα 3. Αντικατάστησε το με 1 και πήγαινε στο επόμενο βήμα. 1 Βήμα 4. Αν v, πήγαινε στο Βήμα 9, διαφορετικά θέσε x a b και 2 πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 5. Αν f x βήμα. Βήμα 6. Αν ισχύει Βήμα 8. 0, πήγαινε στο Βήμα 9, διαφορετικά πήγαινε στο επόμενο 0, f a f x πήγαινε στο Βήμα 7, διαφορετικά πήγαινε στο Βήμα 7. Θέσε a a και b x και πήγαινε στο Βήμα Βήμα 8. Θέσε a 1 x και b 1 b και πήγαινε στο Βήμα 3. Βήμα 9. Έξοδος O x, f x.

40 Μέθοδος της διχοτόμησης Επειδή στην πράξη γενικά είναι σχεδόν απίθανο να συμβεί f x μπορεί, αντί αυτού, να εξεταστεί κατά πόσο το αποτελεί μία ικανοποιητική προσέγγιση της λύσης. Κριτήρια τερματισμού x x f x α, 1 β, x x 1 γ, x x 0. Τα παραπάνω κριτήρια δεν είναι όλα αξιόπιστα. Για παράδειγμα υπάρχουν ακολουθίες με την ιδιότητα (α), οι οποίες αποκλίνουν. Μία τέτοια ακολουθία είναι και η ακολουθία x που ορίζεται ως 1 x, i η οποία αποκλίνει, ενώ συμβαίνει x 0, i1 x 1 lim x 0. i

41 Μέθοδος της διχοτόμησης Αναφορικά με το κριτήριο (β) υπάρχει περίπτωση η f x να είναι πολύ κοντά στο μηδέν, όμως η προσέγγιση να είναι πολύ μακριά από τη λύση. Παράδειγμα Θεωρείστε την εξίσωση x 5 1 0, για την οποία η κακή προσέγγιση x 0.5 της λύσης έχει συναρτησιακή τιμή 13 f , οπότε το κριτήριο τερματισμού (β) θα αξιολογούσε ότι το 0.5 είναι προσεγγιστική λύση. Παρατήρηση Με βάση τα παραπάνω φαίνεται ότι, αν δεν έχουμε επιπλέον πληροφορίες αναφορικά με τη συνάρτηση f ή τη λύση. r, τότε το καλύτερο από τα παραπάνω κριτήρια τερματισμού θεωρείται το κριτήριο (γ), το οποίο εξετάζει το σχετικό σφάλμα. x 8 r 1

42 Μέθοδος της διχοτόμησης Πλεονεκτήματα της μεθόδου της διχοτόμησης είναι μέθοδος ολικής σύγκλισης, διότι δεν απαιτεί η αρχική εκτίμηση της λύσης να βρίσκεται πλησίον της λύσης, συγκλίνει πάντα στο διάστημα που εφαρμόζεται, ο αριθμός των επαναλήψεων που χρειάζεται για να προσεγγίσει μία ρίζα με δεδομένη ακρίβεια είναι εκ των προτέρων γνωστός και η μόνη πληροφορία που χρειάζεται είναι τα αλγεβρικά πρόσημα της συνάρτησης f. Το κύριο μειονέκτημά της είναι ότι συγκλίνει αργά στην προσεγγιστική λύση Επειδή για η μέθοδο αυτή ισχύει ότι: 1 x 1 x x 2 x, η σύγκλισή της είναι γραμμική και σε κάθε επανάληψη βρίσκει ένα δυαδικό ψηφίο της λύσης.

43 Μέθοδος της διχοτόμησης Εφαρμογή Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της διχοτόμησης, θα υπολογίσουμε την με ακρίβεια 10. Λύση: Προφανώς η αποτελεί λύση της εξίσωσης f x x 7 0. Ένα διάστημα που περιέχει τη ζητούμενη ρίζα είναι το 03,, διότι σε αυτό το διάστημα ισχύει ότι f 0 f 3 0 και επομένως ικανοποιείται το κριτήριο του Bolzano. Το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται για να 3 επιτύχουμε ακρίβεια 10 είναι: 3 log v 2 b a v log log 2

44 Μέθοδος της διχοτόμησης Η εφαρμογή του αλγόριθμου της διχοτόμησης έδωσε τα εξής ενδιάμεσα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον πίνακα Η τελική προσέγγιση της ρίζας είναι η x a b η οποία απέχει από τη λύση κατά x , a b f a f b

45 Τροποποιημένη μέθοδος της διχοτόμησης Για τον υπολογισμό μίας προσεγγιστικής λύσης της εξίσωσης f x 0, όπου f : a, b είναι συνεχής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία απλοποιημένη μορφή της μεθόδου της διχοτόμησης σύμφωνα με την παρακάτω επαναληπτική διαδικασία: 1 x 1 x sgn f x h 2, 0, 1,, με x a, h b a sgn f x. 0 0 Οι παραπάνω επαναλήψεις δίνουν τους όρους της ακολουθίας που σχηματίζονται από τα μέσα των διαστημάτων a, b της μεθόδου της διχοτόμησης. x Οι επαναλήψεις συγκλίνουν σε μία λύση r a, b αν για κάποια προσέγγιση, 12,,, ισχύει η σχέση: sgn f x sgn f x 1. 0

46 Τροποποιημένη μέθοδος της διχοτόμησης Ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτούνται ώστε η διαδικασία να συγκλίνει σε μία προσέγγιση έτσι ώστε x r 1 για κάποιο 01, δίνεται από τη σχέση: v log 2 b a. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις επαναλήψεις: με Οι παραπάνω επαναλήψεις δίνουν και αυτές τους όρους της ακολουθίας που σχηματίζονται από τα μέσα των διαστημάτων a, b της μεθόδου της διχοτόμησης. v 1 x 1 x sgn f x h 2, 0, 1,, x b και h b a sgn f x. 0 0 Είναι προφανές ότι η μόνη πληροφορία που χρειάζεται η μέθοδος της διχοτόμησης είναι τα αλγεβρικά πρόσημα της συνάρτησης f x. x

47 Γενική επαναληπτική μέθοδος Το πρόβλημα υπολογισμού σταθερών σημείων μίας συνάρτησης εμφανίζεται με την ακόλουθη μορφή: Δεδομένης της να βρεθεί κάποιο σημείο f : a, b, r a, b έτσι ώστε f r r. Το σημείο r ονομάζεται σταθερό σημείο της συνάρτησης f x. 2 Παράδειγμα Η συνάρτηση f x x x 1 έχει σταθερό σημείο το r 1, διότι για το σημείο αυτό ισχύει f , καθώς επίσης και το σημείο r 1, διότι ισχύει f

48 Γενική επαναληπτική μέθοδος Θεώρημα 5.3 Αν η συνάρτηση g : a, b a, b είναι συνεχής στο διάστημα a, b (δηλαδή ισχύει ότι g xa, b για όλα τα xa, b ), τότε η έχει ένα σταθερό σημείο στο ab,. Επίσης, αν επιπλέον υπάρχει η πρώτη παράγωγος g x της συνάρτησης στο ab, και υπάρχει μια σταθερά p 1 τέτοια ώστε να ισχύει: g x p, για όλα τα x a, b, g τότε το σταθερό σημείο που ανήκει στο a, b είναι μοναδικό. Για τον υπολογισμό της προσέγγισης ενός σταθερού σημείου της συνάρτησης g x επιλέγεται μία αρχική προσέγγιση x0 και δημιουργείται η ακολουθία x 0, της οποίας οι όροι σχηματίζονται από τη σχέση: x 1 g x, 0, 1, 2,. Ορισμός 5.15 Η παραπάνω μέθοδος ονομάζεται επανάληψη του σταθερού σημείου ή συναρτησιακή επανάληψη ή γενική επαναληπτική μέθοδος ή ακόμη μέθοδος του Picard-Peano. g

49 Γενική επαναληπτική μέθοδος Το σταθερό σημείο της συνάρτηση g x από την τετμημένη του σημείου τομής της συνάρτησης g x με τη διαγώνιο y x. δίνεται Ξεκινώντας στο σχήμα (a) με την αρχική συνθήκη.. προσδιορίζουμε το σημείο x0, g x0 πάνω στο γράφημα της gx. x 0, Σύμφωνα με τη γενική επαναληπτική μέθοδο, η επόμενη προσέγγιση δίνεται από την x g x Επομένως, ισχύει ότι x, g x x, x x Για τον προσδιορισμό του σημείου x, 1 φέρνουμε γραμμή παράλληλη με τον άξονα των και η τετμημένη του σημείου τομής της γραμμής αυτής με τη διαγώνιο προσδιορίζει το x. 1 x (a) Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή μέχρι να βρούμε ένα x για το οποίο να ισχύει x g x. Στο σχήμα (b) φαίνεται ότι η ίδια διαδικασία συγκλίνει κατά διαφορετικό τρόπο. (b)

50 Γενική επαναληπτική μέθοδος Αλγόριθμος για την εύρεση ενός προσεγγιστικού σταθερού σημείου της συνάρτησης g x με μία ακρίβεια Είσοδος: 0 η συνεχής συνάρτηση μία αρχική προσέγγιση μία επιθυμητή ακρίβεια αποτελέσματος το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων ΜΙΤ. g,. x, 0, Έξοδος: η προσεγγιστική τιμή του σταθερού σημείου η συναρτησιακή τιμή gx. x,

51 Γενική επαναληπτική μέθοδος Αλγόριθμος Βήμα 1. Είσοδος I g, x,, MIT 0. Βήμα 2. Θέσε 1, και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 3. Αντικατάστησε το με 1 και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 4. Αν MIT, πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 6. Έξοδος x g x Βήμα 5. Αν x 1 x, πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά πήγαινε στο Βήμα 3.,. O x g x 1

52 Γενική επαναληπτική μέθοδος Ο αλγόριθμος της γενικής επαναληπτικής μεθόδου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της λύσης της εξίσωσης f x 0. f x Η συνάρτηση μετασχηματίζεται στη μορφή f x x g x και υπολογίζεται με τον αλγόριθμο της γενικής επαναληπτικής μεθόδου ένα σταθερό σημείο της gx. 0 Το σταθερό αυτό σημείο είναι λύση της f x εφόσον ισχύει ότι x g x. 3 2 : Παράδειγμα Η εξίσωση f x x x 1 0 μετασχηματίζεται στις ακόλουθες μορφές x g x 3 2 x x 1 α x g1 x x x x, β x g2 x x, 2 x x x 1x γ x g x, δ x g x

53 Γενική επαναληπτική μέθοδος Εφαρμογή Θα εφαρμόσουμε τη γενική επαναληπτική μέθοδο για την επίλυση της εξίσωσης 3 2 f x x x 1 0 θέτοντάς την στις παρακάτω μορφές: 3 2 α x x x x x x 1 β x x, 2 x 4 χρησιμοποιώντας αρχική προσέγγιση x0 0.5 και ακρίβεια υπολογισμών Λύση: Αν εφαρμόσουμε τη γενική επαναληπτική μέθοδο για τις συναρτήσεις x x 1 g x x x x 1 και g x x 2 x 4 χρησιμοποιώντας αρχική προσέγγιση x0 0.5, έχουμε τα αποτελέσματα που φαίνονται στον πίνακα.

54 Επαναλήψεις Προσέγγιση της λύσης με την α Προσέγγιση της λύσης με την β

55 Γενική επαναληπτική μέθοδος Παρατηρήσεις Η μέθοδος αποκλίνει με την επιλογή της συνάρτησης 3 2 x x x 1. gx Η μέθοδος συγκλίνει με την επιλογή της συνάρτησης g x x x 1 2 x και ύστερα από 16 επαναλήψεις βρίσκει με ακρίβεια πέντε σημαντικών ψηφίων την προσέγγιση r του σταθερού σημείου r Συμπερασματικά, η γενική επαναληπτική μέθοδος δεν συγκλίνει για οποιαδήποτε συνάρτηση gx. x

56 Γενική επαναληπτική μέθοδος Το σφάλμα της προσεγγιστικής τιμής στην 1 -στη επανάληψη είναι 1 x 1 r, όπου είναι η ακριβής τιμή του σταθερού σημείου για το οποίο ισχύει ότι r g r. x 1 Επειδή οι προσεγγίσεις δίνονται από τη γενική επαναληπτική μέθοδο είναι x g x 1. Με βάση τα παραπάνω για το σφάλμα ισχύουν τα εξής: Υποθέτοντας ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής για τη συνάρτηση g, τότε: r 1 x 1 r g x g r. g x r g 1 1.

57 Γενική επαναληπτική μέθοδος Καθώς οι επαναλήψεις αυξάνουν, τότε η τιμή της παραγώγου g προσεγγίζεται με την g r οπότε: g Με βάση την παραπάνω έκφραση του σφάλματος, αν έχουμε μία εκτίμηση της τιμής της παραγώγου της συνάρτησης g x στο σταθερό σημείο, μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για τη σύγκλιση της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. Το επόμενο θεώρημα παρέχει μία ένδειξη για την επιλογή της g x καθώς επίσης και το ρυθμό σύγκλισης της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. r 1.

58 Γενική επαναληπτική μέθοδος Θεώρημα 5.4 [Θεώρημα Σταθερού Σημείου]. Έστω ότι η συνάρτηση g : a, b a, b είναι συνεχής στο διάστημα a, b (δηλαδή ισχύει ότι g xa, b για όλα τα xa, b), επίσης αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος g x της συνάρτησης στοab, και υπάρχει μία σταθερά p 1 τέτοια ώστε να ισχύει: τότε για οποιαδήποτε αρχική τιμή που βρίσκεται στο διάστημα a, b η ακολουθία x 1 g x, 0, 1, 2, συγκλίνει στο μοναδικό σταθερό σημείο r που βρίσκεται στο διάστημα ab,. Επίσης, ισχύουν τα παρακάτω φράγματα σφάλματος για κάθε επανάληψη p x r p max x0 a, b x0 και x r x1 x0. 1 p g g x p, για όλα τα x a, b, x 0

59 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Aiten Το σφάλμα 1 της 1 προσεγγιστικής τιμής στη γενική επαναληπτική μέθοδο συμπεριφέρεται ως: g r όπου g r είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης g x στο σταθερό σημείο r. Με βάση την παραπάνω σχέση προκύπτει: x r g r x r 1 Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει: Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως εξής: 1, x r g r x r 2 1. x 1 r x r. x r x r x r x r x r x 2 x x r x x x.

60 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Aiten 2 x 2x x 1 Λύνοντας ως προς r έχουμε: r. x 2 2x 1x 2 Προσθέτοντας και αφαιρώντας στον αριθμητή τους όρους και η παραπάνω σχέση γράφεται διαδοχικά ως εξής: x x x 2x x 2x x x x r x 2 2x 1x x 2 2x 1x 2 x x 2 2x 1 x x 1 x x 2 2x 1x 2 x 1 x x. x 2 x x x x 2 2x x 1 x 2x x 1 x x 2xx 1

61 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Aiten Επομένως, το σταθερό σημείο μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας τρεις διαδοχικές προσεγγίσεις της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. Η μέθοδος του Aiten βασίζεται στην υπόθεση ότι η ακολουθία που ορίζεται ως εξής: συγκλίνει πιο γρήγορα στο σημείο ακολουθία x 0. r 2 x 1 x xˆ x, 1 x 2 2x 1x από ότι συγκλίνει η αρχική xˆ 0 Για το λόγο αυτό η μέθοδος του Aiten ονομάζεται και ως μέθοδος της επιτάχυνσης του Aiten. r

62 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Aiten Ο τύπος (1) χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές μπορεί να γραφεί ως εξής: 2 x xˆ x. 2 2 x Λόγω της παραπάνω μορφής η μέθοδος αυτή ονομάζεται και ως μέθοδος. του Aiten. 2 Θεώρημα 5.5 [Θεώρημα σύγκλισης της μεθόδου του Aiten] Έστω ότι x είναι μία ακολουθία η οποία συγκλίνει γραμμικά στο όριο 0 και ότι για σχετικά μεγάλες τιμές του ισχύει ότι: x rx 1 r 0. 0 Τότε η ακολουθία x που ορίζεται από τον τύπο (1) ή ισοδύναμα από τον τύπο (2) συγκλίνει στο όριο ταχύτερα από την αρχική ακολουθία x 0 με την έννοια ότι: xˆ r lim 0. x r r r

63 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Aiten Παρατήρηση Είναι φανερό ότι η μέθοδος του Aiten μπορεί να εφαρμοστεί μετά τρεις διαδοχικές επαναλήψεις της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. Έτσι μπορεί να κατασκευαστεί η ακολουθία: 2 ˆ x, x g x, x g x, x x, ˆ x g x, x x,, όπου ο συμβολισμός δηλώνει ότι εφαρμόζεται ο τύπος (2).

64 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen Μία τροποποίηση της μεθόδου του Aiten αποτελεί η μέθοδος του Steffensen. Σύμφωνα με τη μέθοδο του Steffensen δημιουργούνται ο ίδιοι τέσσερις πρώτοι όροι x, x, x, και xˆ, όπως στη μέθοδο του Aiten. Όμως, στο σημείο αυτό ο Steffensen θεωρεί ότι τo αποτελεί καλύτερη προσέγγιση του από ότι αποτελεί το x 2 και εφαρμόζει τη γενική επαναληπτική μέθοδο στο ˆx αντί του x. 2 Η μέθοδος του Steffensen εκφράζεται από το εξής επαναληπτικό σχήμα: με x 0 δεδομένο r 0 2 g x x 2 x 1 x, 0, 1, 2, g g x g x x ˆx 0

65 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen Ο αλγόριθμος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των σταθερών σημείων της συνάρτησης g x λύσεων της εξίσωσης x g x ). Θεώρημα 5.6 Αν όλες οι λύσεις της εξίσωσης x g x είναι απλές, τότε οι εξισώσεις x g x και x G x όπου: G x έχουν τις ίδιες λύσεις. 2 g x x 2 x g g x g x x, (ή των

66 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen Παρατήρηση Η μέθοδος του Steffensen μπορεί, όταν εφαρμοστεί σε μία γραμμικά συγκλίνουσα ακολουθία που δημιουργείται από τη γενική επαναληπτική μέθοδο, να μετατρέψει τη σύγκλισή της σε τετραγωνική, χωρίς να απαιτεί υπολογισμούς των παραγώγων της συνάρτησης Θεώρημα 5.7 [Θεώρημα της σύγκλισης της μεθόδου του Steffensen]. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση x g x έχει ένα σταθερό σημείο για το οποίο ισχύει ότι gr 1. Αν υπάρχει ένας θετικός αριθμός 0, για τον οποίο να ισχύει ότι η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο τρίτης τάξης στο διάστημα r, r, (δηλαδή η να ανήκει στην κλάση των συναρτήσεων C 3 r, r ), τότε η μέθοδος του Steffensen συγκλίνει τετραγωνικά για οποιαδήποτε αρχική τιμή x r, r g g r, g. 0.

67 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Αλγόριθμος της μεθόδου του Steffensen Είσοδος η συνεχής συνάρτηση μία αρχική προσέγγιση μία επιθυμητή ακρίβεια αποτελέσματος το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων ΜΙΤ. g, x, 0, Έξοδος η προσεγγιστική τιμή του σταθερού σημείου η συναρτησιακή τιμή gx. x,

68 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Αλγόριθμος της μεθόδου του Steffensen Βήμα 1. Είσοδος I g, x,, MIT Βήμα 2. Θέσε 1, και πήγαινε στο επόμενο βήμα. 0. Βήμα 3. Αντικατάστησε το με 1 και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 4. Αν πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε: x g x, x g x, r x x x x 2x x και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 5. Αν rx0, πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε x0 και πήγαινε στο Βήμα 3. Βήμα 6. Έξοδος MIT, O r, g r. r

69 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen Εφαρμογή Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Steffensen για την 3 2 επίλυση της εξίσωσης x x 1 0, θέτοντας την στη μορφή: x x x x 1 2 x 4, 3 2 χρησιμοποιώντας αρχική προσέγγιση x0 0.5 και ακρίβεια 10 υπολογισμών 10. Επίσης, θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της μεθόδου του Steffensen με τα αντίστοιχα αποτελέσματα της γενικής μεθόδου.

70 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen Λύση: Για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Steffensen, χρειαζόμαστε τρεις τιμές. Έτσι, έχοντας στη διάθεσή μας την τιμή x0 0.5 βρίσκουμε με τη γενική επαναληπτική μέθοδο τις παρακάτω τιμές: x x g x 1 0 g x , Με αυτές τις προσεγγιστικές τιμές από τον τύπο (2) παίρνουμε την τιμή ως εξής: x 3 x x x x0 x2 2x1 x

71 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Μέθοδος του Steffensen συνέχεια λύσης: Ακολούθως με τη γενική επαναληπτική μέθοδο βρίσκουμε τις παρακάτω τιμές: x x g x 4 3 g x , Με αυτές τις προσεγγιστικές τιμές από τον τύπο (2) παίρνουμε την τιμή ως εξής: x 6 x x x x3 x5 2x4 x Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία παίρνουμε τα αποτελέσματα στον επόμενο πίνακα.

72 Επαναλήψεις Γενική Επαναληπτική Μέθοδος Μέθοδος του Steffensen

73 Μέθοδοι των Aiten και Steffensen Στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται και τα αντίστοιχα αποτελέσματα που πήραμε εφαρμόζοντας τη γενική επαναληπτική μέθοδο για τη συνάρτηση g x x x 3 2 χρησιμοποιώντας αρχική προσέγγιση x 1 2 x 4, x Παρατηρήσεις Η γενική επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει ύστερα από 19 επαναλήψεις στην προσεγγιστική τιμή r σταθερού σημείου r του Η μέθοδος του Steffensen απαιτεί 12 επαναλήψεις για τον υπολογισμό της ίδιας προσεγγιστικής τιμής.

74 Μέθοδος των Newton-Raphson Η μέθοδος των Newton-Raphson περιγράφεται από ένα επαναληπτικό σχήμα που παράγεται από το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της συνάρτησης f x. r, Αν είναι ρίζα της συνάρτησης f x για την οποία υποθέτουμε ότι είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη σε μία περιοχή του σημείου r, τότε για κάθε x D ισχύει ότι: f r f x r x f x r x f, 2 όπου είναι ένα σημείο μεταξύ των και r. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: f x 1 2 f r x r x f x 2 f x x. D

75 Μέθοδος των Newton-Raphson Επομένως, αν το σημείο είναι αρκετά κοντά στο σημείο τότε το σημείο: f x x x 1 f x αποτελεί καλύτερη προσέγγιση της λύσης r από ότι το σημείο x, Με βάση τα παραπάνω η μέθοδος των Newton-Raphson είναι η επαναληπτική μέθοδος που δίνεται από την εξής αναδρομική σχέση: f x x x 1,,,, f x υπό την προϋπόθεση ότι η παράγωγος f x δεν μηδενίζεται για κάθε και ότι το x 0 είναι μία δεδομένη αρχική προσέγγιση της λύσης r. r x.

76 Μέθοδος των Newton- Raphson Στο σχήμα φαίνεται πώς οι προσεγγίσεις της μεθόδου των Newton- Raphson μπορούν να αποκτηθούν χρησιμοποιώντας εφαπτόμενες στο γράφημα της συνάρτησης f x. Αρχίζοντας από μία αρχική τιμή η πρώτη προσέγγιση θα δίνεται από την τομή με τον άξονα των της ευθείας που εφάπτεται στο γράφημα της στο σημείο x της οποίας η εξίσωση 0, f x0, είναι η εξής: x 0, Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να βρεθεί η προσέγγιση x της λύσης r. x 1 x y f x x x f x f

77 Μέθοδος των Newton- Raphson Υπάρχουν όμως περιπτώσεις, όπως φαίνεται στο σχήμα, όπου οι επαναλήψεις της μεθόδου των Newton- Raphson αποκλίνουν ή δεν συγκλίνουν. Στο σχήμα (a), μετά τη δεύτερη επανάληψη έχουμε μία απομάκρυνση της προσεγγιστικής τιμής που οφείλεται στο γεγονός ότι η πρώτη παράγωγος f x της συνάρτησης f x είναι μηδέν στην περιοχή σύγκλισης. Στο σχήμα (b), υπάρχει μία συνεχής παλινδρόμηση που οφείλεται στο γεγονός ότι η δεύτερη παράγωγος f x της συνάρτησης f x δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στην περιοχή σύγκλισης. (a) (b)

78 Μέθοδος των Newton-Raphson Θεώρημα 5.8 [Θεώρημα σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson] Έστω η συνάρτηση f x που ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: 1. Είναι ορισμένη και δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο 2 f x a, b. 2. Ικανοποιεί το κριτήριο Bolzano: 0 3. Η f x για κάθε xa, b. f a f b Η f x διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ab,. ab, : 5. Αν το είναι το σημείο όπου η f x παίρνει την ελάχιστη τιμή στο ab,, τότε ισχύει f z f z b a. z Τότε το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου των Newton-Raphson θα συγκλίνει στη λύση που υπάρχει στο διάστημα ab,.

79 Μέθοδος των Newton-Raphson 0 Έστω η εξίσωση f x και μία απλή λύση της στο διάστημα a, b στο οποίο υπάρχουν οι συνεχείς f x και f x με fr 0. Η ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson υπολογίζεται ως εξής: r Η μέθοδος των Newton-Raphson είναι μία επαναληπτική μέθοδος της μορφής x 1 g x, 01,, με συνάρτηση επανάληψης: g x x f x f x. Το ανάπτυγμα της συνάρτησης g x σε σειρά Taylor στο σημείο υποθέτοντας ότι fx 0, είναι: g x g r gxx r 1 g x r 2, 2 όπου είναι ένα σημείο μεταξύ των x και r. r

80 Μέθοδος των Newton-Raphson Επειδή f r 0και f r 0, προκύπτει ότι Επίσης για την g x έχουμε ότι: οπότε επειδή f r f r f r Επίσης, ισχύει: οπότε: g r r. f x f x f x f x f x f x gx 1, 2 2 f x f x 2 0. g x f r 0και f r 0, μπορούμε να πάρουμε ότι: g 2 3 f x fr 2 2 f x f x f x f x f x f x f x 2 fr f r f r f r g r 0. 3 r,

81 Μέθοδος των Newton-Raphson Με βάση τα παραπάνω, η σχέση g x g r g x x r 1 g x r 2 2, μπορεί να γραφεί ως εξής: g x r 1 g x r 2. 2 Συνεπώς, αν είναι ένα άνω φράγμα του g 2, εκφράζοντας την προηγούμενη σχέση με τις επαναλήψεις έχουμε τελικά ότι: c 2 1. x r c x r Συνεπώς, η ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson είναι τετραγωνική.

82 Μέθοδος των Newton-Raphson Παρατηρήσεις Η μέθοδος των Newton-Raphson, αντίθετα με τη μέθοδο της διχοτόμησης, αν η αρχική τιμή δεν είναι κοντά στη ρίζα ή η συνάρτηση δεν είναι ομαλή στην περιοχή της ρίζας, αποκλίνει. Αν όμως συγκλίνει, έχει μεγάλη ταχύτητα σύγκλισης. Ένα μειονέκτημα που έχει είναι ότι απαιτεί δύο συναρτησιακούς υπολογισμούς σε κάθε επανάληψη. Επίσης, απαιτεί τον υπολογισμό των παραγώγων της συνάρτησης, που σε μερικές περιπτώσεις αποτελεί πρόβλημα.

83 Μέθοδος των Newton-Raphson Αλγόριθμος Είσοδος η συνάρτηση μία αρχική προσέγγιση f, x, 0, μία επιθυμητή ακρίβεια αποτελέσματος το μέγιστο πλήθος των επαναλήψεων ΜΙΤ. Έξοδος η προσεγγιστική τιμή της λύσης η συναρτησιακή τιμή f x. x,

84 Μέθοδος των Newton-Raphson Αλγόριθμος Βήμα 1. Είσοδος I f, x,, MIT 0. Βήμα 2. Θέσε 1, και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 3. Αντικατάστησε το με 1 και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 4. Αν MIT, r x f x f x πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε: και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 5. Αν rx0, πήγαινε στο επόμενο στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε x r και πήγαινε στο Βήμα 3. 0 Βήμα 6. Έξοδος O r, f r.

85 Μέθοδος των Newton-Raphson Εφαρμογή Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των Newton-Raphson για να 3 προσεγγίσουμε τη λύση της εξίσωσης x 2x5 0, με ακρίβεια δεκαπέντε δεκαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας για αρχικές προσεγγίσεις της λύσης τις τιμές x 3 και x

86 Μέθοδος των Newton-Raphson 3 Λύση Η παράγωγος της συνάρτησης x 2x5 0, είναι η f x 3x 2. Επομένως, έχουμε ότι: 2 f x x 2x 5 x x x f x0 x0 Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία, βρίσκουμε και τις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου. 15 Εφαρμόζοντας το κριτήριο τερματισμού x 1 x 10 που ισχύει για πρώτη φορά όταν 6, η διαδικασία τερματίζεται με τη ζητούμενη προσεγγιστική λύση. Τα αντίστοιχα αποτελέσματα δίνονται στον επόμενο πίνακα.

87 Μέθοδος των Newton-Raphson x

88 Μέθοδος των Newton-Raphson συνέχεια λύσης Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την αρχική προσέγγιση x, έχουμε ότι: 0 0 f x x 2x 5 5 x x x f x0 x0 Συνεχίζοντας την παρακάτω διαδικασία, βρίσκουμε και τις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου. Σε αυτήν την περίπτωση το κριτήριο τερματισμού ισχύει για πρώτη φορά όταν 19. x 1 x Τα αντίστοιχα αποτελέσματα δίνονται στον επόμενο πίνακα.

89 Μέθοδος των Newton-Raphson x x

90 Μέθοδος των Newton-Raphson Παρατήρηση Από τα αποτελέσματα της παραπάνω εφαρμογής είναι φανερό ότι η μέθοδος των Newton-Raphson έχει μεγάλη ευαισθησία στην αρχική συνθήκη x0 0. Παρατηρούμε ότι με την επιλογή x0 3 έχουμε ταχύτατη σύγκλιση στη λύση. Ενώ με την επιλογή x0 0 παρατηρούμε ότι σχετικά αργεί να συγκλίνει, διότι έχουμε μία μικρή παλινδρόμηση που οφείλεται στο γεγονός ότι η δεύτερη παράγωγος f x 6x της συνάρτησης f x δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στη περιοχή του x0 0.

91 Μέθοδος των Newton-Raphson Μέθοδος των Newton-Raphson στην περίπτωση των μιγαδικών λύσεων Δεδομένης της f : D να βρεθεί κάποιο σημείο r D, 0. έτσι ώστε f r Η αρχική εκτίμηση της λύσης πρέπει να είναι κοντά στη λύση, ώστε η μέθοδος: f z z, 1 0, 1, 2 z, f z να συγκλίνει. Αν μία τέτοια πληροφορία δεν είναι διαθέσιμη, τότε πολλές φορές χρησιμοποιείται ένας τυχαίος μιγαδικός αριθμός για να εκφράσει την αρχική προσέγγιση της λύσης του προβλήματος. z 0

92 Μέθοδος των Newton-Raphson Στην περίπτωση όπου επιλέγεται μία τυχαία αρχική εκτίμηση της λύσης, μπορούν να συμβούν τα εξής αναφορικά με τη σύγκλιση της μεθόδου των Newton-Raphson: (α) η μέθοδος να συγκλίνει σε μία λύση (β) να αποκλίνει στο άπειρο, r, z 0 (γ) οι όροι της ακολουθίας να περιφέρονται ασκόπως ή να παρουσιάζουν μία περιοδική κατάσταση. Γενικά, στην πράξη αν δεν έχουμε σύγκλιση σε κάποια λύση, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία χρησιμοποιώντας μία διαφορετική αρχική εκτίμηση z. 0

93 Μέθοδος των Newton-Raphson Εφαρμογή Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των Newton-Raphson για 3 να προσεγγίσουμε τις λύσεις της μιγαδικής εξίσωσης z 10, με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας για αρχικές προσεγγίσεις τις τιμές z i0.001, z i0.003 και z i0.004.

94 Μέθοδος των Newton-Raphson 3 2 Λύση Η παράγωγος της συνάρτησης f z z 1 είναι η f z 3 z, επομένως η ζητούμενη προσεγγιστική τιμή της λύσης της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί από τον παρακάτω επαναληπτικό τύπο: 3 z 1 z 1 z, 0, 1, 2, 2 3z Έτσι, για αρχική τιμή z i0.001 έχουμε ότι η επόμενη προσεγγιστική τιμή υπολογίζεται ως ακολούθως: 3 z0 1 z1 z i z0 Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία, βρίσκουμε και τις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου. 5 Εφαρμόζοντας το κριτήριο τερματισμού z 1 z 10 που ισχύει για πρώτη φορά όταν 20, η διαδικασία τερματίζει με τη ζητούμενη προσεγγιστική λύση.

95 Μέθοδος των Newton-Raphson συνέχεια λύσης Στη συνέχεια με την ίδια διαδικασία, χρησιμοποιώντας την αρχική προσέγγιση z i0.003 έχουμε ότι: 3 z0 1 z1 z i z 0 Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία βρίσκουμε και τις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου. Σε αυτήν την περίπτωση το κριτήριο τερματισμού ισχύει για πρώτη φορά όταν 16. z 1 z 10 5

96 Μέθοδος των Newton-Raphson συνέχεια λύσης Τέλος, χρησιμοποιώντας την αρχική προσέγγιση z έχουμε ότι: i0.04 z 1 z z i z0 Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία βρίσκουμε και τις επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου. Σε αυτήν την περίπτωση το κριτήριο τερματισμού ισχύει για πρώτη φορά όταν 15. z 1 z 10 5 Τα αντίστοιχα αποτελέσματα δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

97 Μέθοδος των Newton-Raphson

98 Μέθοδος των Newton-Raphson Παρατήρηση Από τα αποτελέσματα της εφαρμογής αυτής είναι φανερό ότι η μέθοδος των Newton-Raphson έχει μεγάλη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες z. 0 Παρατηρούμε ότι, χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές αρχικές τιμές η μέθοδος συγκλίνει σε διαφορετικές λύσεις. z 0, Με αυτές τις αρχικές συνθήκες βρήκαμε όλες τις λύσεις της 3 εξίσωσης z 10, δηλαδή τις: 2 i z 1 και z e cos isin i

99 Μέθοδος των Newton-Raphson Περιοχές σύγκλισης μορφοκλασματικές δομές Ορισμός 5.16 Η περιοχή σύγκλισης μιας μεθόδου που συγκλίνει σε μια λύση της εξίσωσης εκφράζεται από το σύνολο των αρχικών συνθηκών με τις οποίες η μέθοδος συγκλίνει στη συγκεκριμένη λύση. Παράδειγμα Απεικόνιση των τριών περιοχών σύγκλισης της μεθόδου των Newton-Raphson για την εξίσωση 3 z 10, στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών, όπου οι πραγματικές και φανταστικές συντεταγμένες είναι στο διάστημα 2, 2. Ξεχωρίζουν τρεις περιοχές σύγκλισης για καθεμία λύση. Το σύνορο κάθε περιοχής παρουσιάζει μία μορφοκλασματική δομή.

100 Μέθοδος των Newton-Raphson Περιοχές σύγκλισης μορφοκλασματικές δομές Ορισμός 5.17 Μορφοκλασματική λέγεται μια δομή η οποία παρουσιάζει αυτό-ομοιότητα που επαναλαμβάνεται σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Αυτό φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα, όπου η συνολικά αρχική μορφή εμφανίζεται και σε μικρότερες περιοχές. Το ίδιο θα συμβεί αν μεγεθύνουμε ένα μικρό τετράγωνο στο σύνορο μίας περιοχής σύγκλισης. Παράδειγμα Μεγέθυνση της περιοχής σύγκλισης στο τετράγωνο 1.00, , 0.25 H μορφή περιοχών σύγκλισης ήταν η αφορμή να εμφανιστεί ένας νέος κλάδος της επιστήμης και συγκεκριμένα η γεωμετρία των μορφοκλασματικών δομών.

101 Μέθοδος της τέμνουσας Αν η παράγωγος της f στη μέθοδο των Newton-Raphson αντικατασταθεί με την προσέγγιση f x f x 1 fx, x x 1 τότε προκύπτει το ακόλουθο επαναληπτικό σχήμα: x x 1 x 1 x f x, 0, 1, 2, f x f x ή ισοδύναμα: x f x 1 x 1f x x 1 x, 0, 1, 2, f x f x1 Αυτό το επαναληπτικό σχήμα είναι γνωστό ως μέθοδος της τέμνουσας. 1

102 Μέθοδος της τέμνουσας Στη μέθοδο της τέμνουσας η 1 προσέγγιση προκύπτει από την τομή της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία x, f x και x, f x με τον άξονα των 1 1 x.

103 Μέθοδος της τέμνουσας Παρατήρηση Οι δύο προηγούμενοι τύποι έχουν στον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος κάποιες διαφορές που, όταν πλησιάζουμε τη ρίζα, υπάρχει περίπτωση να μηδενίζονται. Για να αποφευχθεί αυτό το πρόβλημα εναλλακτικά προτείνεται το ακόλουθο ισοδύναμο επαναληπτικό σχήμα: που προϋποθέτει ότι x x f f f, 0, 1, 2, x 1 x 1 x 1 x x 1 x f 1 f x f x 1.

104 Μέθοδος της τέμνουσας Η σύγκλιση της μεθόδου καθορίζεται από το θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα 5.9 [Θεώρημα σύγκλισης της μεθόδου της τέμνουσας]. Υποθέτουμε ότι είναι μια ρίζα της συνάρτησης και έστω a, b με r a, b, f 2 a, b, f x 0, f x 0. Τότε υπάρχει ένα διάστημα I το οποίο περιέχει την τέτοιο ώστε για κάθε x0, x 1 I, και x 0 x1, η ακολουθία x που παράγεται από τη μέθοδο της τέμνουσας με αρχικές συνθήκες 0 τις τιμές x0 και x1 συγκλίνει στην με ταχύτητα σύγκλισης της τάξης του r r r, f

105 Μέθοδος της τέμνουσας Αλγόριθμος Είσοδος η συνάρτηση f, δύο αρχικές προσεγγίσεις μία επιθυμητή ακρίβεια αποτελέσματος το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων ΜΙΤ. x και x, 0 1, Έξοδος η προσεγγιστική τιμή της λύσης η συναρτησιακή τιμή f x. x,

106 Μέθοδος της τέμνουσας Αλγόριθμος Βήμα 1. Είσοδος Βήμα 2. Θέσε βήμα. I f, x, x,, MIT , f f x, f f x και πήγαινε στο επόμενο Βήμα 3. Αντικατάστησε το με 1 και πήγαινε στο επόμενο βήμα. Βήμα 4. Αν MIT, πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε r x f x x f f και πήγαινε στο Βήμα Βήμα 5. Αν rx1, πήγαινε στο Βήμα 6, διαφορετικά θέσε x x, 0 1 f f, x r, f f r και πήγαινε στο Βήμα Βήμα 6. Έξοδος O r, f r.

107 Μέθοδος της τέμνουσας Η μέθοδος της τέμνουσας, όπως και η μέθοδος των Newton- Raphson, μπορεί να εφαρμοστεί για τον υπολογισμό μιγαδικών λύσεων. Εφαρμογή Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της τέμνουσας για να 3 υπολογίσουμε τις μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης z 2z5 0, με ακρίβεια δεκαπέντε δεκαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας διάφορες αρχικές προσεγγίσεις για τις αρχικές τιμές z και z Λύση: 0 1. Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο της τέμνουσας, χρησιμοποιώντας τις αρχικές τιμές z0 0.5 i0.5 και z1 1.5 i0.5, ο αλγόριθμος συγκλίνει στη λύση r i Μερικά ενδιάμεσα αποτελέσματα για αυτές τις αρχικές τιμές εμφανίζονται στον επόμενο πίνακα.

108 Μέθοδος της τέμνουσας

109 Μέθοδος της τέμνουσας συνέχεια λύσης Αν χρησιμοποιήσουμε τις αρχικές τιμές z0 0.5 i0.5 και z1 1.5 i0.5, τότε ο αλγόριθμος συγκλίνει στη λύση r i0, δηλαδή στην πραγματική λύση της εξίσωσης. Μερικά ενδιάμεσα αποτελέσματα για αυτές τις αρχικές συνθήκες εμφανίζονται στον επόμενο πίνακα.

110 Μέθοδος της τέμνουσας

111 Μέθοδος της τέμνουσας συνέχεια λύσης Αν χρησιμοποιήσουμε τις αρχικές τιμές z0 0.5 i0.5 και z1 1.5 i0.5, τότε ο αλγόριθμος συγκλίνει στη δεύτερη μιγαδική λύση r i που είναι συζυγής της r. 1 Μερικά ενδιάμεσα αποτελέσματα για αυτές τις αρχικές συνθήκες εμφανίζονται στον επόμενο πίνακα.

112 Μέθοδος της τέμνουσας