ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ο. Δίνεται ην ευθεία (δ) και το σημείο Ε. Να βρείτε σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από την ευθεία (δ) και το σημείο Ε. δ Ε. Αν ΕΑ είναι η κάθετη από το σημείο Ε προς την ευθεία (δ) και Κ είναι το μέσο του ΕΑ τότε το Κ είναι ένα από τα σημεία που ισαπέχουν από το σημείο Ε και από την ευθεία (δ). Μπορείτε να βρείτε ένα γεωμετρικό τρόπο με το οποίο να προσδιορίζετε τέτοια σημεία; δ Ε Κ Α
δ (διευθετούσα) E (Εστία) Κ Α Μ Δ Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ (διευθετούσα). Αν Α είναι η προβολή του Ε στη δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της. Η παραβολή σαν κωνική τομή Η παραβολή στη φύση
ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ο ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΜΕ ΚΟΡΥΦΗ Ο(0,0) ΚΑΙ ΕΣΤΙΑ Ε(,0) ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ χ χ (δ) - - - Ε M(x,y) Έστω Ε(,0) η Εστία και Ο(0,0) η κορυφή Έστω Έστω Ε(,0) Ε(,0) η Εστία η Εστία και Ο(0,0) και Ο(0,0) η κορυφή η κορυφή της της παραβολής. της παραβολής. Τότε Τότε η διευθετούσα η διευθετούσα της παραβολής. Τότε η διευθετούσα της της παραβολής παραβολής παραβολής θα είναι θα είναι θα η κατακόρυφη είναι η κατακόρυφη η κατακόρυφη ευθεία ευθεία ευθεία (δ): χ=-. Αν Μ(x,y) είναι ένα (δ): χ=-. (δ): χ=-. Αν Μ(x,y) είναι ένα τυχαίο της παραβολής τυχαίο της παραβολής τότε Έστω Ε(,0) η Εστία τότε και Ο(0,0) d(m,δ)=(με) η κορυφή Αν Μ(x,y) d(m,δ)=(με) είναι ένα τυχαίο της παραβολής της παραβολής. Τότε η διευθετούσα της τότε d(m,δ)=(με) x ( ) x y παραβολής x ( ) θα είναι x η κατακόρυφη y ευθεία (δ): χ=-. Αν Μ(x,y) είναι ένα.. τυχαίο x x της x x παραβολής y y τότε d(m,δ)=(με).. x x x x y x ( x) xx x y y.. y x y x x x y.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΜΕ ΚΟΡΥΦΗ Ο(0,0) ΚΑΙ ΕΣΤΙΑ Ε( p,0) ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ χ χ 8 Έστω η Εστία Ε( p,0) και Ο(0,0) η κορυφή της x=-p/ Α 6 Ο -5 5 - Μ(x,y) Ε(p/,0) παραβολής. Τότε η διευθετούσα της παραβολής θα p είναι η κατακόρυφη ευθεία (δ): χ=. Αν Μ(x,y) είναι ένα τυχαίο της παραβολής τότε d(m,δ)=(με) p p x x y.. - -6 y px
ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΜΕ ΚΟΡΥΦΗ Ο(0,0) ΚΑΙ ΕΣΤΙΑ Ε(0, p ) ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ y y x =py Ε(0,p/) M(x,y) O - - - y=- p - Έστω η Εστία Ε(0, p ) και Ο(0,0) η κορυφή της παραβολής. Τότε η διευθετούσα της p παραβολής θα είναι η οριζόντια ευθεία (δ): y =. Αν Μ(x,y) είναι ένα τυχαίο της παραβολής τότε d(m,δ)=(με) x py Η γνωστή μας από μικρότερες τάξεις παραβολή y=x γράφεται με την παραπάνω μορφή x = που έχει παράμετρο p=..., y= x Εστία Ε(,.) και διευθετούσα την ευθεία - (Σημειώστε στο σχήμα τη θέση της Εστίας και την διευθετούσα) - Γενικότερα η παραβολή y=αx με α 0 γράφεται με την παραπάνω μορφή x = που έχει παράμετρο p=... και Εστία Ε(,.) και διευθετούσα την ευθεία..
ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ο Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y 8x. Α) Να βρείτε την παράμετρο p της παραβολής Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας και την εξίσωση της διευθετούσας της και να τα παραστήσετε στο παρακάτω σύστημα αξόνων Γ) Να παραστήσετε την παραβολή στο σύστημα αξόνων 8 7 6 5-8 -6 - - 6 8 - - - - -5-6 -7-8
ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ο Δίνεται η παραβολή με εξίσωση x y. Α) Να βρείτε την παράμετρο p της παραβολής Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας, την εξίσωση της διευθετούσας της και να τα παραστήσετε στο παρακάτω σύστημα αξόνων Γ) Να παραστήσετε την παραβολή στο σύστημα αξόνων 8 7 6 5-8 -6 - - 6 8 - - - - -5-6 -7-8
ΦΥΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 ο 5 C -6 - - 6 O - Α(-,-) - - C - -5 Στο παραπάνω σύστημα αξόνων δίνονται οι παραβολές C και C με κορυφή το Ο(0,0) και εστίες στους άξονες χ χ και y y αντίστοιχα και κοινό σημείο το Α(-,-). >> Η εξίσωση της C είναι της μορφής.. και επειδή διέρχεται από το σημείο Α(-,-) θα ισχύει ότι... αρα η παράμετρος θα είναι..και η εξίσωσή της Η εστία της παραβολής είναι και η διευθετούσα της είναι >> Η εξίσωση της C είναι της μορφής.. και επειδή διέρχεται από το σημείο Α(-,-) θα ισχύει ότι... αρα η παράμετρος θα είναι..και η εξίσωσή της. Η εστία της παραβολής είναι και η διευθετούσα της είναι. Εργασία για το σπίτι: Ασκήσεις,, από τη σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου.