ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός του συνόλου τιµών, κατάλληλος για τις ασκήσεις ( ) λέγεται το σύνολο των, για τα οποία η εξίσωση άγνωστο το, έχει λύση (ρίζα) στο σύνολο. Η γραφική παράσταση., µε Γραφική παράσταση συνάρτησης :Α R λέγεται η γραµµή, η οποία, του επιπέδου των αξόνων. σχηµατίζεται από το σύνολο των σηµείων Μ Ο τύπος ( ) της συνάρτησης λέγεται και εξίσωση της γραµµής Το πεδίο ορισµού είναι η προβολή της στον άξονα. Το σύνολο τιµών ( ) είναι η προβολή στον άξονα. Η είναι συµµετρική της Οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία τέµνει τη Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της σύστηµα 0 ως προς τον άξονα. το πολύ σ ένα σηµείο. µε τον άξονα, λύνουµε το ( άρα την εξίσωση ( ) 0 ). Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της µε τον άξονα, λύνουµε το

2 σύστηµα 0 Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των σύστηµα Για να βρούµε τα, για τα οποία η άξονα ( άρα την εξίσωση ( 0 ) ),, λύνουµε την ανίσωση, λύνουµε το ( άρα την εξίσωση ( ) () ) είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον > 0 (αντίστοιχα () < 0 ). Για να βρούµε τα για τα οποία η την ανίσωση ( ) > ( ). είναι πάνω από τη, λύνουµε. Μορφή των βασικών συναρτήσεων 4 () () () - e () ln 5-4. Ισότητα συναρτήσεων ύο συναρτήσεις, λέγονται ίσες όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισµού Α και για κάθε Α ισχύει ( ) ( ).

3 5. Πράξεις συναρτήσεων (µόνο όταν έχουν κοινό πεδίο ορισµού) Άθροισµα: ( ± ) ± Γινόµενο: ( )( ) Πηλίκο:, 0 ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. ιευκρίνιση Όταν γράφουµε «( ) > ( ) για κάθε Α» σηµαίνει ότι, σχηµατικά η είναι πάνω από τη και όχι ότι, η συνάρτηση είναι µεγαλύτερη από την, το οποίο δεν έχει νόηµα.. ιευκρίνιση Άλλο ίσες συναρτήσεις ( ) ( ) και άλλο η εξίσωση ( ) ( ). Συµµετρία ως προς τον Αν () ( ), τότε οι, είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα. 4. Προσοχή Αν για κάθε A ισχύει () 0, δε σηµαίνει ότι ( ) 0 για κάθε A ή () 0 για κάθε A Σηµαίνει ότι, για κάποιες τιµές του Α θα είναι ( ) 0 και για κάποιες τιµές του θα είναι ( ) 0 Αν για κάθε A ισχύει [ ], δε σηµαίνει ότι ( ) για κάθε A ή Σηµαίνει ότι, για κάποιες τιµές του Α θα είναι ( ) και για κάποιες τιµές του θα είναι ( ) για κάθε A

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης ( ) + R Θεωρούµε την εξίσωση + µε άγνωστο και θέλουµε να έχει λύση στο R. + R Εποµένως, η εξίσωση έχει λύση, την, για κάθε R. Άρα ( ) R Γραφική λύση Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση της, που είναι η ευθεία ε. Προβάλλουµε τη στον άξονα. Η προβολή αυτή είναι ο άξονας, άρα ( ) R Θεωρία 4 Ο ε. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης +, (, + ) Θεωρούµε την εξίσωση + µε άγνωστο και θέλουµε να έχει λύση στο (, + ) + R Πρέπει, όµως, > > > > Άρα 4 (, + ) Γραφική λύση Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση της, που είναι η ηµιευθεία Αε χωρίς την αρχή της Α. Προβάλλουµε τη στον άξονα. Η προβολή αυτή είναι το διάστηµα (, + ), άρα ( ) (, + ) Θεωρία A - Ο ε

5 5. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης ( ) +. R Θεωρούµε την εξίσωση λύση στο R. Η εξίσωση γίνεται +, µε άγνωστο και θέλουµε να έχει + 0. R Γραφική λύση Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση της, που είναι η παραβολή c. β α, 4 Άρα Άρα ( ), + 4 c 4 4, + 4 Ο 4. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης. Πρέπει 0. Άρα πεδίο ορισµού είναι το Α[, + ). Θεωρούµε την εξίσωση µε άγνωστο και θέλουµε να έχει λύση στο Α. 0 ` + ( ) Η λύση + ( ) υποχρεούται να ανήκει στο Α, δηλαδή + 0 που ισχύει για κάθε. Άρα ( A ) (, ]

6 6 5. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης Πρέπει + 0. Άρα πεδίο ορισµού είναι το Α (, ) (, + ) ( ) + () Όταν 0, δηλαδή όταν η () γίνεται αδύνατη Άρα η τιµή δεν ανήκει στο σύνολο τιµών Όταν 0, δηλαδή όταν η () δίνει τη λύση + Πρέπει, όµως, που ισχύει Άρα (A) (, ) (, + ) 6. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης + ln( ) Πρέπει > 0 > Άρα πεδίο ορισµού είναι το Α (, + ) + ln( ) ln( ) e e + Πρέπει, όµως, > Άρα (A) R e + > e > 0 που ισχύει για κάθε R.

7 7 7. Σε επίπεδο µε σύστηµα αξόνων χαράξτε ευθεία ε και ευθεία η που να διέρχονται από το σηµείο Α(, ). Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας ε και ποια της ευθείας η ; Οι ευθείες ε, η είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ; 4 O η A(,) Το τυχαίο σηµείο Μ(, ) της ευθείας ε έχει τεταγµένη. Άρα η εξίσωση της ε είναι Η ε είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, διότι η οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία τέµνει την ε σε ένα µόνο σηµείο. ε Το τυχαίο σηµείο Μ(, ) της ευθείας η έχει τετµηµένη Θεωρία Άρα η εξίσωση της η είναι. Η η δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, διότι η κατακόρυφη ευθεία από το Α έχει άπειρα κοινά σηµεία µε την η. 8. Χωρίς λόγια σχεδίασε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων. ( ) + ( ) Απάντηση ες θεωρία και ( ) ( ) ( ) e ( ) ln

8 8 9. Βλέποντας τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της προηγούµενης άσκησης να αναφέρεις το πεδίο ορισµού τους και το σύνολο τιµών τους. Απάντηση Για την ( ) + : R και R Για την ( ) : R και [0, + ) Για την ( ) : R και (, 0] Για την ( ) : R και R Για την : R και R Για την ( ) : [0, + ) και (, 0] Για την ( ) Για την ( ) e : R και (0, + ) e : R και (, 0) Για την ( ) ln : (0, + ) και R Για την ( ) ln : (0, + ) και R

9 9 0. ίνονται οι συναρτήσεις ( ) 6 και ( ). Να βρεθούν i) τα σηµεία τοµής τους µε τους άξονες ii) τα σηµεία τοµής τους iii) τα για τα οποία η είναι πάνω από τη i) Άρα η τέµνει τον άξονα στο σηµείο Α(0, -6) ες ΘΕΩΡΙΑ Άρα η τέµνει τον άξονα στο σηµείο Β(, 0) 0 Άρα η 0 Άρα η 0 0 τέµνει τον άξονα στο σηµείο Γ(0, 0) 0 0 τέµνει τον άξονα στο σηµείο (0, 0) Γ(0, 0) ii) 6 Άρα οι, 6 6 τέµνονται στο σηµείο Ε(6, 6) 6 6 iii) είναι πάνω από τη () > () 6 > > 6

10 0. ίνονται οι συναρτήσεις και ln( ) i) τα σηµεία τοµής τους µε τους άξονες ii) τα σηµεία τοµής τους iii) τα για τα οποία η είναι πάνω από τη Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 0 Να βρεθούν. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις ( ) ( ) Για το Για το, ( ) : Πρέπει ( ) 0 0 Άρα R {} () : Πρέπει 0 Άρα Είναι ( ) ( ) R {} () + + ( ) ( ) + + Από τις (), (), () συµπεραίνουµε ότι οι ( ) (), είναι ίσες. + + είναι ίσες

11 . Για τις συναρτήσεις ( ) ln( ) 4, υποσύνολο του R, στο οποίο να ισχύει ( ) Για το 4 ln( ) να βρείτε το ευρύτερο. : Πρέπει να είναι ( ) 4 > 0 0 Άρα R {} Για κάθε R {}, είναι ( ) ln( ) 4 ln 4 Για το 4ln : Πρέπει > 0 > Άρα (, + ) Εποµένως, για κάθε > είναι ( ) 4ln( ) ενώ για κάθε <, η δεν ορίζεται 4ln( ), > 4ln( + ), <, Άρα το ζητούµενο υποσύνολο του R είναι το διάστηµα (, + )

12 4. ίνονται οι συναρτήσεις Να βρείτε τις συναρτήσεις +,, Για το Για το, : Πρέπει 0 ± Άρα R {, } : Πρέπει να είναι 0 Άρα R Κοινό πεδίο ορισµού, το Α R {, 0, } Για κάθε A, είναι ( + )() () + () + + ( )( ) ( ) Για να ορίζεται η συνάρτηση Για κάθε A, είναι + + ) ( ) + ( ) ( )() ()() ( )( + ) ( + ), πρέπει () () () ( )( ) που ισχύει

13 5. Έστω οι συναρτήσεις, : R R. Αν για κάθε R ισχύει + +, να βρείτε τις,. + + [ () ] + [ () ] [ () + ()] [ () ] + [ () ] () + () [ () ] () + + [ () ] () + 0 [ () ] + [ () ] 0 [ () ] 0 και [ () ] 0 () 0 και () 0 () και ()