2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Transcript

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των σηµείων Α και Β i Την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα Α και Β. Ο κύκλος x + y = 5 έχει κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ = 5. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το Μ(0, 0) έχουν εξισώσεις της µορφής x = 0 ή y + 0 = λ(x0) x = 0 ή y = λx0 x = 0 ή λx y0 = 0 Η ευθεία x = 0 δεν είναι εφαπτοµένη του κύκλου, αφού διέρχεται από το κέντρο του. Η ευθεία (ε) : λx y0 = 0 είναι εφαπτόµενη d( O, ε) = ρ Εποµένως (ε) : y = x0 ή y = x 0 0 x 00 = 5 λ + 0 = 5 λ + 00 = 5(λ +) λ + = 4 λ = ή λ= Λύνοντας το σύστηµα των x + y = 5 και y = x0 βρίσκουµε x = 5 και y = 5. Εποµένως το ένα σηµείο επαφής είναι το Α 5, 5 Ενώ λύνοντας το σύστηµα των x + y = 5 και y = x0 βρίσκουµε x = 5 και y = 5. Εποµένως το άλλο σηµείο επαφής είναι το Β 5, 5

2 i Επειδή τα σηµεία Α 5, 5 και Β 5 5, είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y y, η ζητούµενη παραβολή πρέπει να έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα των y, άρα η εξίσωσή της θα είναι της µορφής x = py Και επειδή διέρχεται από το Α 5, 5 Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι x = 5 y θα είναι = 5p p = = p

3 . Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα των παραβολών x = y 48 και x = 4y Να βρείτε τις εστίες και τα µήκη των αξόνων των ελλείψεων 6x + 5y = 400 και 4x + y = 4. i Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής η οποία έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη 6x + 9y = 44 H παραβολή x = y y = 48x 48 έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα των x µε p = 48 p = 4 Οπότε εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε p, 0 = Ε( p και διευθετούσα η ευθεία µε εξίσωση x = = Η παραβολή x = 4y έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα των y, µε p = 4 p =. p Οπότε εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε 0, = Ε(0, 6 ) και διευθετούσα την ευθεία µε εξίσωση p y = y = 6 Για την πρώτη εξίσωση έχουµε 6x + 5y = 400 x 5 + y 6 = Άρα η έλλειψη έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων και επειδή 5 > 6 οι εστίες είναι σηµεία του άξονα των x. α = 5 α = 5 και β = 6 β = 4 γ = α β γ = 9 γ = Ο µεγάλος άξονας είναι α = 0 και ο µικρός β = 8. Οι εστίες είναι Ε (γ, 0) = Ε (, 0) και Ε(γ, 0) = Ε(, 0) Για την δεύτερη εξίσωση έχουµε 4x + y = 4 x + y 4 = Οπότε η έλλειψη έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων και επειδή 4 >, οι εστίες είναι στον άξονα των y. α = 4 α = και β = β = γ = α β γ = γ = Ο µεγάλος άξονας είναι α = 4 και ο µικρός β =. Οι εστίες είναι Ε ( 0, γ) = Ε (0, ) και Ε(0, γ) = Ε(0, )

4 4 i Για την έλλειψη έχουµε 6x + 9y = 44 α = 6 α = 4, β = 9 β = 9 < 6 άρα εστίες στον άξονα των y. x 9 + y 6 = γ = α β = 69 = 7 γ = 7, οπότε Ε (0, 7 ) και Ε(0, 7 ). Η ζητούµενη ισοσκελής υπερβολή θα έχει εξίσωση της µορφής y x = Αλλά α, όπου α = β και γ = 7 β = γ α α = 7 α = 7 Εποµένως η ζητούµενη υπερβολή θα έχει εξίσωση y x = 7. Αν α Z,δείξτε ότι οι αριθµοί α + 5α και α + 6α α είναι ακέραιοι. Γνωρίζουµε ότι α = π ή α =π + ή α = π + µε π Z Όταν α = π α + 5α 7π + 5π (9π + 5 π ) = = = (9π + 5π) Z Όταν α = π + α + α = 5 = = Όταν α = π + Οµοίως 7π + 7π + 9π+ + 5π+ 5 7π + 7π + 4π+ 6 (9π + 9π + 8π+ ) = (9π + 9π + 8π + ) Z α + 6α α α + 6α α+ 5α 5α α + 5α+ 6α 8α = = α + 5α (α 9 α) = +

5 5 = α + α + ( α 9α ) 5 ( = ακέραιος 4. Η παραβολή y = αx διέρχεται από το σηµείο Α(, 4). Να δείξετε ότι εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε(, 0) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας χορδής της παραβολής η οποία έχει µέσο το σηµείο Μ(, ) i Έστω Ε το συµµετρικό της εστίας ως προς τον άξονα y y. Αν Μ(x, y) είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο για το οποίο ισχύει ΜΕ =ΜΕ ΕΕ, να δείξετε ότι το Μ ανήκει στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. iν) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το Α. To A ανήκει στην παραβολή 4 = α α = 8 Εποµένως η εξίσωση της παραβολής γίνεται y = 8x µε p = 8 p = 4, οπότε εστία της παραβολής είναι το σηµείο Ε p, 0 = Ε(, 0) Έστω ΑΒ η ζητούµενη χορδή. Τότε y A = 8x Α και Αφαιρούµε κατά µέλη : y B = 8x Β yb y A = 8x Β 8x Α Μ (, ) µέσο της χορδής ΑΒ = (y Β y A )(y Β + y A ) = 8(x Β x Α ) () Η () γίνεται (y Β y A )6 = 8(x Β x Α ) (y Β y A ) = 4(x Β x Α ) () y B + y A y Β + y A = 6 Για x Β = x Α η () (y Β y A )6 = 0 y Β = y A Οπότε τα σηµεία Α, Β συµπίπτουν που είναι άτοπο. yb ya Για x Β x Α η () = 4 λ ΑΒ = 4 x x Άρα ΑΒ : y = 4 (x) y = 4 x + 5 i Είναι Ε (, 0) οπότε ME =(x, y) και EE = (4, 0). ΜΕ =ΜΕ ΕΕ ΜΕ = ΜΕ ΕΕ B A (x) + (y) = (x)(4) + (y). 0 x + 4x y = 8 + 4x x + y = 4 που είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ =

6 6 iν) Έστω Ρ(x, y ) σηµείο επαφής. Τότε η εφαπτοµένη θα είναι xx + yy = 4 () Η εφαπτοµένη διέρχεται από το Α(, 4) x + 4y = 4 (4) Το σηµείο (x, y ) ανήκει στον κύκλο x + y = 4 (5) Λύνοντας το σύστηµα των (4), (5) βρίσκουµε x = και y = 0 ή 6 x = και y = Η () γίνεται x = ή x y = 4 x = ή y = 4 x + 5

7 7 5. ίνεται η εξίσωση (x)(x) + (y)(y5) = 0. Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Να αποδείξετε ότι από τα σηµεία Α(, ), Β(, ), Γ(, 5) και (, 5) διέρχεται ένας κύκλος, του οποίου να βρείτε την εξίσωση. i Ένα αυτοκίνητο M κινείται στο επίπεδο των σηµείων Α, Β, Γ, του ( και για κάθε χρονική στιγµή t, t > 0 η θέση του είναι το σηµείο M( t, t + ). Να βρείτε αν η γραµµή στην οποία κινείται το αυτοκίνητο συναντά τον κύκλο και αν ναι, σε ποια σηµεία. (x)(x) + (y)(y5) = 0 x + y 4x8y + 8 = 0 () Η () είναι εξίσωση της µορφής x + y + Αx + Βy + Γ = 0 µε Α + Β 4Γ = = 8 > 0 Α Β άρα παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ, = Κ(, 4) Α +Β 4Γ 8 = και ακτίνα ρ = = = Εύκολα διαπιστώνουµε ότι οι συντεταγµένες των Α, Β, Γ, επαληθεύουν την εξίσωση του ( ερωτήµατος, εποµένως ανήκουν στον κύκλο µε εξίσωση x + y 4x8y + 8 = 0 i Έστω M( x, y) τυχαία θέση του αυτοκίνητου τότε x = t και y = t + Απαλείφοντας το t από τις εξισώσεις αυτές βρίσκουµε y = x +. Άρα το αυτοκίνητο κινείται στην ευθεία (ε) µε εξίσωση y = x + xy + = 0 iν) Η απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου από την ευθεία (ε) είναι d(k, ε) = 4 + = 0, άρα η (ε) διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και + εποµένως τον τέµνει. Λύνοντας το σύστηµα (x + y 4x8y + 8 = 0 και y = x + ) βρίσκουµε (x = και y = ) ή (x = και y = 5) Εποµένως η ευθεία στην οποία κινείται το αυτοκίνητο τέµνει τον κύκλο στα σηµεία (, ) και (, 5) δηλαδή στα Α και Γ.

8 8 6. Έστω οι ακέραιοι α, β, γ. είξτε ότι Αν α β τότε α λβ Αν α β και α γ τότε α ( β + γ) i Αν ( α + 8) και ( 7 β + δ) τότε ( α + β) α β υπάρχει ακέραιος κ τέτοιος β = κα λβ = (λκ)α α λβ α β β = κα α γ γ = λα Προσθέτουµε κατά µέλη : β + γ = (κ + λ)α α ( β + γ) i ( α + 8) α + 8 = µ () (7 β + δ ) 7β +δ = ν β = 7 + δν () () + () α + β = µ + δν +9 = (κ + δλ + ) = σ, άρα (α + β)

9 9 7. ίνεται η υπερβολή 9x 6y = 44 και το σηµείο της Α( λ, µ), µε λ ±5. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ΑΕ και ΑΕ όπου Ε, Ε οι εστίες της υπερβολής. Να βρείτε τα σηµεία Α για τα οποία οι παραπάνω ευθείες είναι κάθετες. 9x 6ψ = 44 x 6 y 9 = α = 6, β = 9 και β = γ α 9 = γ 6 γ = 5 Άρα οι εστίες της υπερβολής είναι Ε (5, 0), Ε(5, 0) µ µ λ ΑΕ = άρα ΑΕ : y 0 = 5 λ 5 λ (x 5) y = µ 5λ µ 5λ µ λ ΑΕ = 5λ = µ 5+λ µ 5+λ µ 5+λ 5µ 5+λ ΑΕ ΑΕ µ 5λ µ 5+λ µ = 5λ. () Επειδή το Α(λ, µ) ανήκει στην υπερβολή θα είναι και 9λ 6µ = 44 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε µ = ± 9 5 Οπότε Α 544, Α 544 9, 5 5 ή Α 544, ή Α ή 544 9, 5 5 και λ = ± 544 5

10 0 8. Έστω η έλλειψη x + 4y = 4 και η υπερβολή x y =. είξτε ότι έχουν τις ίδιες εστίες Να βρείτε τα σηµεία τοµής των δύο γραµµών i Να δείξτε ότι οι εφαπτόµενες των δύο γραµµών στα σηµεία τοµής τους είναι κάθετες x y x y Η έλλειψη γράφεται + = και η υπερβολή = 4 Για την έλλειψη έχουµε : 4 >, άρα οι εστίες της ανήκουν στον άξονα x x α = και β = β = α γ = 4 γ γ = γ = Για την υπερβολή έχουµε : Τις εστίες να ανήκουν στον άξονα x x α = και β = β = γ α = γ γ = γ = Οπότε οι δύο κωνικές έχουν τις ίδιες εστίες. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής των δύο γραµµών λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων τους (x + 4y = 4 και x y = ) 8 Οπότε x = ± και y=± Εποµένως τα σηµεία τοµής είναι Α 8,, Β i Γ 8, Εφαπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Α (ε ) :, 8, 8, 8 x y + = x+ y= 4 8 x + 4y = 4 8 µε λ = 4 8 x y Εφαπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο Α (ε ) : =

11 Οπότε λ λ = 8 x y= 8 x y = 8 µε λ = = = = 4 8 ε ε 8 9. Για τα διανύσµατα α και β δίνεται ότι α =, β π = και ( α β) =. Έστω τα διανύσµατα υ = α + β και ν =α β. Να υπολογίσετε i ) Το εσωτερικό γινόµενο α β Tα µέτρα των διανυσµάτων υ και ν i Το εσωτερικό γινόµενο υ ν iν) Το συνηµίτονο της γωνίας των υ και ν i ) α β = α β π συν ( α β) = συν = = υ = α + β = ( α + β ) = 4α + α β + 9β = 4 α + α β + 9 β Οµοίως βρίσκουµε ότι ν = i = = 5 άρα υ = 5 υ ν = ( α + β )(α β ) = α α β 6β = α α β 6 β iν) υ ν συν ( υ ν) = = υ ν = 6 4 = = = 5 6

12 0. είξτε ότι για κάθε φυσικό ν µε ν ισχύει ν > (ν +) Για κάθε ν N * ισχύει (ν) = ν (ν ) i είξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ν + 5= πολ6 Ελέγχουµε αν ισχύει για ν = : > ( +) έχουµε 7 > 6 που ισχύει εχόµαστε ότι ισχύει για ν = κ >, δηλαδή ότι κ > (κ +) () Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = κ +, δηλαδή ότι κ + > ( κ + ) (). κ =. κ κ+ > ( κ + ) Οπότε αρκεί να αποδείξουµε ότι ( κ + ) > ( κ + ) Ελέγχουµε αν ισχύει για ν = : κ + 6κ + > κ + 4κ + 4 κ + κ > 0 που ισχύει αφού κ > = () = που ισχύει εχόµαστε ότι ισχύει για ν = κ, δηλαδή ότι (κ) = κ (κ ) () Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = κ +, δηλαδή ότι (κ) + [ (κ + ) ] = (κ + ) [(κ +) ] κ (κ ) + [ (κ + ) ] = (κ + ) [(κ +) πράξεις ισχύει () i Ελέγχουµε αν ισχύει για ν = :. + 5 = πολ = πολ6 78 = πολ6 που ισχύει εχόµαστε ότι ισχύει για ν = κ, δηλαδή ότι κ + 5= πολ6 = 6µ, µ Z () Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = κ +, δηλαδή ότι (κ+) + 5= πολ6 ο µέλος = (κ+) + 5 = κ+ + 5 = κ + 5

13 () = (6µ5) = 6 7µ = 6 7µ5 6 = 6( 7µ5) = πολ6