Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Transcript

1 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου Ε p, 0 η εστία και p η διευθετούσα. p, όπου Ε 0, p η εστία και p η διευθετούσα. 3. Ιδιότητες παραβολής Στην παραβολή p, η παράµετρος p και το 0 είναι οµόσηµοι Στην παραβολή p, η παράµετρος p και το 0 είναι οµόσηµοι Ο άξονας στον οποίο βρίσκεται η εστία είναι άξονας συµµετρίας της παραβολής. Εφαπτοµένη παραβολής (ε) : p( + ) της p στο σηµείο της Μ (, ) (ε) : p( + ) της p στο σηµείο της Μ (, ) 5. Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής Η κάθετη στην εφαπτοµένη της παραβολής σε ένα σηµείο Μ διχοτοµεί την γωνία που σχηµατίζουν η ηµιευθεία ΜΕ και η ηµιευθεία Μt που είναι οµόρροπη της ΟΕ όπου Ε η εστία της παραβολής.

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Γενική µέθοδος Για την επίλυση του µεγάλου όγκου των προβληµάτων : α) Θεωρούµε τους απαραίτητους αγνώστους. β) Μετατρέπουµε τις υποθέσεις του προβλήµατος σε εξισώσεις γ) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων δ) Ακολουθούµε βήµα βήµα την εκφώνηση. Για εφαπτοµένη από σηµείο που δεν ανήκει στην παραβολή Θεωρούµε την εξίσωση της εφαπτοµένης έχοντας αγνώστους τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω η παραβολή 8 και το σηµείο της Μ(, 8) i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της παραβολής στο Μ Αν η (ε) τέµνει τον άξονα στο Α, δείξτε ότι ΜΑ ΑΕ, όπου Ε η εστία της παραβολής i) p 8 p. Άρα Ε(0, ) Η εφαπτοµένη (ε) : ( + ) (8+) 38 Για 0 η (ε) δίνει Άρα Α(6, 0) A M λ ΜΑ A M 0 8 A E 3 και λ ΕΑ 6 Άρα λ ΜΑ λ ΕΑ ΜΑ ΑΕ A E

3 3. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής η οποία έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, εστία στον άξονα και εφάπτεται στην ευθεία +. Ποιες είναι οι συντεταγµένες του σηµείου επαφής ; Έστω p η ζητούµενη παραβολή και Α(, ) το σηµείο επαφής. Η εφαπτοµένη θα είναι p( + ) p+ p p p + H ευθεία αυτή για να ταυτίζεται µε την + θα πρέπει να ισχύουν p p και p () και p () Όµως το σηµείο Α(, ) ανήκει στην παραβολή, άρα οι συντεταγµένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, δηλαδή p (3) Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (), (), (3) βρίσκουµε p,, Τρεις άγνωστοι p,,. Χρειαζόµαστε τρεις εξισώσεις Εποµένως η εξίσωση της παραβολής είναι 8 και το σηµείο επαφής Α,

4 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής 6, από την οποία εφαπτοµένη η κορυφή Ο απέχει απόσταση 3. Είναι p 6, άρα p 3 Έστω Α(, ψ ) το σηµείο επαφής και p( + ) d(o, ε ) p + p 0 (ε) : () Το σηµείο Α ανήκει στην παραβολή 6 () ύο άγνωστοι,. Χρειαζόµαστε δύο εξισώσεις η εφαπτοµένη. () () ή Για 3 η () 8 ± 3 Οπότε (ε) : ή Για η () 6 που είναι αδύνατη

5 5. ίνεται η παραβολή 8. Από τυχαίο σηµείο της ευθείας (δ) : φέρουµε δύο εφαπτόµενες στην παραβολή. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σηµεία επαφής και να αποδείξετε ότι διέρχεται από την εστία της παραβολής Να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες είναι κάθετες. i) Είναι p 8 p. Έστω Γ(, α) τυχαίο σηµείο της (δ) από το οποίο φέρουµε τις εφαπτόµενες στην παραβολή και Α(, ), Β(, ) τα σηµεία επαφής. Οι εφαπτόµενες θα έχουν εξισώσεις ( + ), Επειδή διέρχονται από το Γ(, α), θα ισχύουν α ( + ) και α ( + ) α 8 + και α α 8 και + α 8 ( + ) αντίστοιχα. Θεωρούµε την ευθεία + α 8 η οποία επαληθεύεται από τα Α, Β, άρα είναι η εξίσωση της ΑΒ. Η εστία της παραβολής έχει συντεταγµένες Ε(, 0) Προφανώς οι συντεταγµένες της εστίας επαληθεύουν την εξίσωση της ΑΒ, οπότε η ευθεία ΑΒ διέρχεται από την εστία Ε. Αφού το Α βρίσκεται στην παραβολή, έχουµε 8 Οπότε η α 8 γίνεται α 8 8 α 6 0 () Οµοίως α 6 0 () 8 Από τις (), () τα, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α6 0 γ Το γινόµενο των ριζών αυτής της είναι α 6 Η εφαπτοµένη στο Α έχει συντ, διεύθυνσης λ Τότε λ λ και στο Β έχει λ 6 6, άρα οι εφαπτόµενες είναι κάθετες. 6

6 6 5. Έστω η ευθεία (ε) : λ + και η παραβολή όπου λ R. λ + i) Να βρείτε την παράµετρο p της παραβολής, την εστία και την εξίσωση της διευθετούσας συναρτήσει του λ. Να δείξτε ότι η ευθεία τέµνει την παραβολή σε δύο σηµεία Α και Β για κάθε λ R i Να δείξτε ότι, όταν το λ µεταβάλλεται στο R, το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ κινείται σ έναν κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. i) Από την εξίσωση της παραβολής καταλαβαίνουµε ότι η παραβολή έχει άξονα συµµετρίας τον. p Είναι p λ p, άρα Ε 0, + ( λ + ) Ε 0, (λ + ) p και η εξίσωση της διευθετούσας είναι η ( λ + ) Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της ευθείας και της παραβολής λύνουµε το παρακάτω σύστηµα των εξισώσεων αυτών των γραµµών ( λ + ) λ + λ + λ + ( λ + ) λ 0 λ + λ + λ + (λ + ) λ + λ + 5λ + > 0, άρα η πρώτη εξίσωση του συστήµατος έχει δύο άνισες ρίζες, για κάθε λ R. Εποµένως και το σύστηµα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, που σηµαίνει ότι η ευθεία τέµνει την παραβολή σε δύο σηµεία Α, Β για κάθε λ R. i Έστω Α(, ), Β(, ) και Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ. + + Τότε Μ, Μ () Μας ενδιαφέρει, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (λ + ) λ 0 το άθροισµα των β λ ριζών και όχι να άρα + α λ + βρούµε τις ρίζες Από τη δεύτερη λ + εξίσωση του συστήµατος βρίσκουµε 3 + λ + + λ + λ( + ) + λ + λ + λ + λ + λ 3λ + Τότε οι () γίνονται Μ και Μ ( λ + ) ( λ + ) Για να βρούµε την γραµµή στην οποία κινείται το Μ θα κάνουµε απαλοιφή του λ. Λύνουµε την δεύτερη ως προς λ Μ : λ () 3 Μ

7 7 λ Υψώνουµε την Μ ( λ + ) στο τετράγωνο : λ Μ ( λ + ) Αντικαθιστούµε όπου λ από τη () και µετά τις πράξεις βρίσκουµε Μ + Μ Μ (3) Επειδή Α + Β Γ 5 > 0, η (3) είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο 5 Κ 0, και ακτίνα ρ 6. i) Να αναλύσετε σε γινόµενο δύο παραγόντων την παράσταση Π Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο παραβολές, των οποίων να βρείτε τις εστίες και τις διευθετούσες. i) Π ( ) ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή Οι εξισώσεις αυτές είναι εξισώσεις δύο παραβολών C, C Είναι p p, άρα εστία E, 0 και διευθετούσα p p, άρα εστία E 0, και διευθετούσα

8 8 7. ίνεται ο κύκλος + 5. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου που φέρονται από το σηµείο Μ(0, 0) και τις συντεταγµένες των σηµείων επαφής Α, Β. Αν Α 75, και Β, να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα Α και Β i) Επειδή στο πρόβληµα ζητούνται και τα σηµεία επαφής µας συµφέρει, για να βρούµε την εξίσωση της εφαπτοµένης να δουλέψουµε µε τον τύπο + ρ Έστω + 5 η εφαπτοµένη του κύκλου. 5 Η εφαπτοµένη διέρχεται από το Μ(0,0), άρα 0 5 () () Το Α ανήκει στον κύκλο, άρα Άρα οι εξισώσεις των εφαπτοµένων είναι : 75 ± ± 5 Και τα σηµεία επαφής είναι Α 75, , Β, Επειδή τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα η ζητούµενη παραβολή θα έχει άξονα συµµετρίας τον, άρα η εξίσωση της παραβολής θα είναι p Επειδή η παραβολή διέρχεται από το Α 75, 5 θα ισχύει p p Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι 5.

9 9 8. ίνεται η παραβολή. Να βρείτε : i) Tην εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την εστία της παραβολής και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση Tην εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία Είναι p, άρα p, οπότε Ε(, 0) και (δ) : i) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από την εστία Ε(, 0) έχουν εξίσωση ή λ() Η προφανώς δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος αφού η απόσταση της αρχής από αυτήν είναι. Η λ() γράφεται λλ 0 Θέλουµε η απόσταση της από την αρχή να είναι λ 0 0λ λ + λ λ + λ λ + λ± Άρα η ζητούµενη ευθεία είναι ή + Έστω ( + ) η ζητούµενη εφαπτοµένη µε λ εφ. Επειδή θέλουµε να είναι παράλληλη στη, θα πρέπει λ εφ. Το σηµείο (, ) ανήκει στην παραβολή, άρα Άρα η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι η ( + ), δηλαδή η +.

10 0 9. Έστω η παραβολή p και το σηµείο της Μ διαφορετικό της κορυφής. Αν Κ είναι η προβολή του Μ στη διευθετούσα (δ) και Ε η εστία, δείξτε ότι η µεσοκάθετος του τµήµατος ΚΕ είναι εφαπτοµένη της παραβολής στο Μ και διχοτοµεί την γωνία ΚΜ Ε. Έστω Μ(, ), τότε η εφαπτοµένη της παραβολής σε αυτό είναι p( + ) Θα δείξουµε ότι είναι µεσοκάθετη στο ΚΕ. Σχόλιο δ p Είναι λ εφ, Ε ρ, 0 ρ και Κ, K+ E K+ E Η µέσο του ΚΕ H 0 και H Ελέγχουµε αν οι συντεταγµένες του Η επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτοµένης p( + 0) p που ισχύει, αφού το Μ ανήκει στην παραβολή. Άρα το µέσο Η του τµήµατος ΚΕ ανήκει στην εφαπτοµένη. Όµως, από τον ορισµό της παραβολής είναι ΜΚ ΜΕ. Άρα η διάµεσος ΜΗ του ισοσκελούς τριγώνου ΜΚΕ είναι διχοτόµος και ύψος. δ Κ Η O E Μ

11 0. Έστω η παραβολή και το σηµείο της Μ, i) Να βρείτε την εφαπτοµένη (ε) της παραβολής στο Μ Αν η εφαπτοµένη στο Μ τέµνει τη διευθετούσα στο Κ και Ε είναι η εστία της παραβολής, δείξτε ότι ΚΕ ΜΕ. i Αν η ΜΕ τέµνει την παραβολή στο Ν και η κάθετη της ΜΝ στο Ν τέµνει την εφαπτοµένη (ε) στο Ρ, δείξτε ότι το µέσο του τµήµατος ΝΡ ανήκει στη διευθετούσα. Ακολουθούµε βήµα βήµα την εκφώνηση i) Είναι p, άρα p, οπότε Ε(, 0) και (δ) : Η (ε) έχει εξίσωση + δ Μ + Λύνοντας το σύστηµα των (δ), (ε) βρίσκουµε τις 3 συντεταγµένες του Κ : Κ,. 3 E 0+ K λ ΚΕ 3 E M και λ ΜΕ 0 E K + E M λ ΜΕ λ ΚΕ ΜΕ ΚΕ. i Η ΜΕ έχει εξίσωση : E λ ΜΕ ( E ) 0 ( ) Ρ 3 Λύνοντας το σύστηµα ΜΕ παραβολή, βρίσκουµε ότι Ν(, ) ΝΠ ΝΜ λν Ρ λ Ν Μ λν Ρ 3 λ Ν Ρ 3 Εξίσωση της ΝΡ : Ν 3 ( Ν ) : K Σ O Ν E + 3 ( ) Λύνοντας το σύστηµα των ΝΡ (ε) βρίσκουµε Ρ 6, N+ Ρ Σ µέσο του ΝΡ Σ 6 και

12 3 N+ Ρ Σ Σ 3 Αφού Σ, επαληθεύει την εξίσωση της διευθετούσας, άρα το Σ ανήκει σε αυτή.. Έστω η παραβολή 8 και το σηµείο Μ(, ). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το Μ και τέµνει την παραβολή στα σηµεία Α και Β έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το Μ έχουν εξισώσεις ή λ() Για την Λύνουµε το σύστηµα της µε την παραβολή και βρίσκουµε Α(, 3 ) και Β(, 3 ) A+ B 3 3 0, άρα η ευθεία δεν αποτελεί λύση. Για την λ(), (λ 0 ώστε να τέµνει την παραβολή σε δύο σηµεία) λλ + λ λ + λ λ H λ λ λ λ 0 β A+ B 8 α λ Αλλά Μ µέσο του ΑΒ A+ B M και A+ B M M A+ B και 8 λ M A+ B και λ Εποµένως η ζητούµενη ευθεία είναι η () 5 Ένας άλλος τρόπος είναι ο εξής Έστω Α( Α, Α ) και Β( Β, Β ). Αφού τα Α και Β ανήκουν στην παραβολή έχουµε Α 8 Α και Β 8 Β οπότε Β Α 8( Β Α ) ( Β Α )( Β + Α ) 8( Β Α ) Β Β Οπότε ΑΒ : ( ) 5 Α Α Β 8 + Α λ ΑΒ 8 8 M

13 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής η οποία σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν τετραγωνικές µονάδες. 6 p p Αν Μ(, ) είναι το σηµείο επαφής η εφαπτοµένη σ αυτό θα έχει εξίσωση ( + ) Τα σηµεία τοµής της εφαπτοµένης µε τους άξονες είναι τα Α(, 0) και Β(0, ) (ΑΟΒ) ΟΑ ΟΒ 6 Επειδή το Μ(, ) ανήκει στην παραβολή έχουµε 6 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε και ± 6 () Εποµένως η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι + + ή ( ) + ή

14 3. Έστω η παραβολή 6. Να αποδείξετε ότι τα µέσα των χορδών που είναι παράλληλες στην ευθεία 5 + βρίσκονται σε σταθερή ευθεία. Η οποιαδήποτε χορδή της παραβολής παράλληλη στην 5 + έχει εξίσωση 5 + κ () Αν Α( A, A ) και B( B, B ) είναι τα σηµεία τοµής της () µε την παραβολή, τότε το µέσο Μ της χορδής ΑΒ έχει συντεταγµένες + + M A B, B A B A + B M, A + B M () Tα Α και Β ανήκουν στην παραβολή A 6 A και B 6 Β A B 6( A Β ) ( A + B )( A B ) 6( A Β ) A B A B 6 λ ΑΒ Μ 5 A 6 + B () 3 Μ M 3 5 Που σηµαίνει ότι το Μ βρίσκεται στην ευθεία 3 5. Έστω η παραβολή α, α > 0. Μία χορδή ΑΒ αυτής κάθετη στον άξονα συµµετρίας της έχει µήκος 8α. Να αποδείξετε ότι OA OB 0 Αφού η χορδή ΑΒ έχει µήκος 8α και είναι κάθετη στον άξονα, λόγω της συµµετρίας ως προς τον άξονα τα σηµεία Α και Β θα είναι τα Α( o, α) και Β ( o, α) Τότε OA ( o, α) και OB (o, α), οπότε OA OB o 6α () Επειδή το Α ανήκει στην παραβολή θα έχουµε (α) α o o α Εποµένως η ( ) γίνεται OA OB 6α 6α 0

15 5 5. Αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) είναι εγγεγραµµένο στην παραβολή, να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του. Έστω Α(, ) και Β(, ), ΟΑ ΟΒ (ΟΑ ) (ΟΒ ) τότε () και (),() 0 () ( )( + ) + ( ) 0 ( )( + +) 0 0 ή ή + Αλλά, από τις () και () έχουµε > 0 και > 0. Άρα η + είναι αδύνατη Είναι λοιπόν. (3) Από τις () και () Η απορρίπτεται, διότι θα συνέπιπταν τα Α, Β. Άρα είναι ΑΒ ΟΑ (ΑΒ ) (ΟΑ ) ( () Άρα 3, 3, 3 ή ) + ( ) ( ) () (3),() +