ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών συµµετέχει και στις δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Αν ονοµάσουµε τα ενδεχόµενα: Α: «ο µαθητής να συµµετέχει στη θεατρική οµάδα» και Β: «ο µαθητής να συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου» α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα : i) Α Β ii) A B iii) B-A iv) A (Μονάδες 12) β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχόµενων i) o µαθητής που επιλέχτηκε να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου ii) ο µαθητής που επιλέχθηκε να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 13) α) i) Α Β = «ο µαθητής να συµµετέχει σε µία τουλάχιστον από τη θεατρική οµάδα ή στην οµάδα ποδοσφαίρου» ii) A B = «o µαθητής να συµµετέχει και στη θεατρική οµάδα και στην οµάδα ποδοσφαίρου» iii) B-A = «o µαθητής να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου» iv) A = «ο µαθητής να µην συµµετέχει στην θεατρική οµάδα» β) Ισχύει Ρ (Α) = 25%, Ρ (Β) = 30% και Ρ (Α Β) = 15% i) Ρ (Β-Α) = Ρ (Β)-Ρ (Α Β) = 30%-15% = 15% ii) P(Α Β) = 1-Ρ(Α Β)= 1-(Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β))= 1-(25%+30%-15%)=1-40%=60% [1]
Άσκηση 4 Από τους 180 µαθητές ενός λυκείου, 20 συµµετέχουν στη θεατρική οµάδα, 30 µαθητές στην οµάδα στίβου, ενώ 10 µαθητές συµµετέχουν και στις δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή του λυκείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α: ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική οµάδα Β: ο µαθητής συµµετέχει στην οµάδα στίβου α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα: i) A Β ii) ΒΑ iii) Α (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέχθηκε: i) Να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα (Μονάδες 9) ii) Να συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου (Μονάδες 7) Ισχύει Ρ (Α) =, Ρ (Β) = και Ρ (Α Β) = α) i) A B = «ο µαθητής να συµµετέχει σε µία τουλάχιστον από τη θεατρική οµάδα ή την οµάδα στίβου» Β-Α = «ο µαθητής συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου» Α = «ο µαθητής δεν συµµετέχει στην θεατρική οµάδα» β) i) Ρ (Α Β) = 1 Ρ (Α Β) = 1 (Ρ (Α)+ Ρ (Β)Ρ (Α Β) ) Ρ (Α Β) = 1( + 10 180 ) = ii) Ρ (ΒΑ) = Ρ (Β)Ρ (Α Β) = = [2]
Άσκηση 9 ίνεται ο πίνακας: 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθµούς του παρακάτω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των παρακάτω ενδεχοµένων: Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7) Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3 (Μονάδες 9) Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9) Α = {12, 22, 32} Άρα Ρ (Α) = Ω = Β= {12} άρα Ρ (Β) = Ω = Γ = {12,21,22,31,33} άρα Ρ (Γ) = Ω = Άσκηση 2 Οι δράστες µιας κλοπής διέφυγαν µ ένα αυτοκίνητο και µετά από την διαφόρων µαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθµός της πινακίδας του αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο ήταν 4 ή 7. α) Με χρήση δενδροδιαγράµµατος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθµών της πινακίδας του αυτοκινήτου. (Μονάδες 13) β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι το 7. Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι το 6 ή 8. Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας δεν είναι ούτε το 8 ούτε το 9. [3] (Μονάδες 12)
ενδοδιάγραµµα 1 Ο ψηφίο 2 Ο ψηφίο 3 Ο ψηφίο 4 Ο ψηφίο 6 4 2 2 8 7 2 9 4 2 7 2 4 2 7 2 Ω = { 2642, 2672, 2842, 2872, 2942, 2972 } β) Α = { 2672, 2872, 2972 } Ρ (Α) = = = Β = {2642, 2672, 2842, 2872 } Γ = { 2642, 2672 } Ρ (Β) = = = Ρ (Γ) = = = [4]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Άσκηση 1 ίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Α = 2x 4 και Β = x3, όπου o x είναι πραγµατικός αριθµός. α) Για κάθε 2 x 3 να αποδείξετε ότι Α+Β = x 1 (Μονάδες 16) β) Υπάρχει x [ 2,3) ώστε να ισχύει Α+Β = 2; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. α) 2 x 3 4 2x 6 0 2x 4 2 Άρα Α = 2x4 = 2x4 Επίσης 2 x 3 1 x 3 0 Άρα Β= x3 x 3 Oπότε Α+Β = (2x4 x 3 x 1 β) Έστω ότι υπάρχει x 2,3 ώστε Α+Β =2 Οπότε x1 2 x 3 Aδύνατον αφού 2 x 3 Άρα δεν υπάρχει x 2,3 ώστε Α+Β =2 Άσκηση 3 (Μονάδες 9) Αν 2 x 3 και 1 2, να βρείτε µεταξυ ποιών ορίων βρίσκεται η τιµή καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: α) x+y (Μονάδες 5) β) 2x3 (Moναδες 10) γ) (Μονάδες 10) [5]
α) 2 x 3 (1) β) 2 1 (2) Προσθέτω κατά µέλη σχέσεις (1), (2) οπότε έχουµε 3 x+y 5 β) 2 x 4 2x 6 (3) 1 2 3 3 6 6 3 3 (4) Προσθέτω κατά µέλη τις σχέσεις (3),(4) οπότε έχουµε: 4+ (6 2x 3y 6 3 2 2x 3y 3 γ) Είναι 2 x 3 1 και 1 2 1 (5) Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1), (5) οπότε έχουµε: 2 1 2 x 3 1 1 3 Άσκηση 7 ίνεται η παράσταση : Α = x 1 + y 3, µε x, y πραγµατικούς αριθµούς, για τους οποίους ισχύει : 1 4 και 2 3 Να αποδείξετε ότι : α) Α = x 2. (Μονάδες 12) β) 0 4. (Μονάδες 13) α) Ισχύει 1 x 4 άρα x1 0 οπότε x 1 = x1 και 2 3 άρα y3 0 οπότε 3 = 3 Άρα έχουµε Α= x 1 y 3 = x1 3 x y 2 [6]
β) 2 3 2 3 3 2 Άρα 1 x 4 (1) και 3 2 (2) Προσθέτω κατά µέλη τις σχέσεις 1 και 2 οπότε έχουµε 13 x 4 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 0 4 Άσκηση 12 α) Να αποδείξετε ότι x 2 +4x +5 0, για κάθε πραγµατικό αριθµό x. β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιµές την παράσταση: (Μονάδες 10) Β = x 4x 5 x 4x 4 (Moνάδες 15) α) Έχουµε: x + 4x +5 = x + 4x+ 4+ 1 = (x +2) 2 +1 0 β) Ισχύει x +4x +5 0 άρα x 4 5 = x +4x +5 Επίσης x + 4x+ 4 = (x +2) 2 0 άρα x 4 4 = x +4x +4 οπότε η παράσταση Β γράφεται: B x 4 5 x 4x 4 = (x +4x +5) x 4 4 = = x +4x +5x 4x 4 1 Άσκηση 14 Αν είναι Α= 2 3, Β= 2+ 3, τότε α) Να αποδείξετε ότι Α 1. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Π= Α 2 +Β 2 (Μονάδες 13) α) Έχουµε Α Β = 2 3 2 3 = 2 3 2 = 43 1 [7]
β) α) τρόπος Π = Α + Β = 2 3 2 +2 3 2 = = 44 3 + 3 2 + 4 +4 3 + 3 2 = 4 +3 +4 +3 =14 β) τρόπος Π = Α + Β = (Α+Β) 2 2ΑΒ = 2 3 2 3 2 2 1 4 2 14 Άσκηση 16 ίνονται πραγµατικοί αριθµοί α, β µε α 0 και β 0. Να αποδείξετε ότι: α) α + 4 (Μονάδες 12) β) 4 4 16 (Μονάδες 13) α) Έστω ότι ισχύει : α + 4 (α 0 +4 4 4 4 0 2 2 0 το οποίο ισχύει β) Από (α) ερώτηµα αποδείχθηκε ότι: α + 4 4 και οµοίως β + 4 Πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη τις παραπάνω ανισώσεις οπότε έχουµε 4 4 16 Άσκηση 20 Αν 0 1, τότε α) να αποδείξετε ότι: α 3 (Μονάδες 13) β) να διατάξετε από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους αριθµούς: 0, α 3, 1, α, (Μονάδες 12) [8]
α) Έστω ότι ισχύει: α α α 0 α 1 0 α(α1 1 0 το οποίο ισχύει αφού α>0, α1 0 και 1 0 β) Ισχύει: 0 1 1 Επίσης 0 1 1 Άρα η διάταξη από το µικρότερο στο µεγαλύτερο αριθµείται: 0 1 Άσκηση 23 Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει µήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά αντίστοιχα. Αν για τα µήκη x και y ισχύει: 4 x 7 και 2 y 3 τότε: α) Να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράµµου. β) Αν το x µειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράµµου. α) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι Π 2x 2 Ισχύει : 4 x 7 8 2x 14 (1) 2 y 3 4 y 6 (2) Προσθέτουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) οπότε έχουµε 12 2x 2y 20 12 Π 20 β) Η περίµετρος του νέου ορθογωνίου παραλληλόγραµµου είναι Π 1 2x 1 2 3y 2x 6y 2 Οπότε έχουµε : 4 x 7 8 2x 14 2 y 3 12 y 18 Προσθέτουµε κατά µέλη τις παραπάνω σχέσεις έχουµε 20 2x 6y 32 18 2x 6y 2 30 18 Π 30 [9]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 ίνεται η εξίσωση : x λx λ +λ1 0, µε παράµετρο λ. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγµατικές. (Μονάδες 12) β) Να λύσετε την ανίσωση :S 2 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της (1) (Μονάδες 13) α) Για να έχει πραγµατικές ρίζες η εξίσωση (1) πρέπει 0 Έχουµε = β 4αγ λ 4 λ +λ1 λ 4λ 4λ 4 = 3λ 4λ 4 Πρέπει 0 3λ 4λ 4 0 (2) Άρα = β 4αγ = (4) 2 4 3 4 64 Οπότε λ 1,2 = = = λ 1 = 2 λ 2 = λ 2 3λ 4λ 4 ο ο Οπότε η 2 ισχύει αν λ 2, 3 3 β Από τύπους vietta έχουµε S β λ και Ρ λ λ1 [10]
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] οπότε η ανίσωση γράφεται ισοδύναµα S P 2 0 λ λ λ1 2 0 λ 1 2 0 λ 1 Άσκηση 2 α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 = 3 (Mονάδες 12) β) Αν α, β µε α β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση α x β x 3 0 (Moνάδες 13) 2x 1 3 2x 4 x 2 α) Έχουµε: 2x 1 = 3 ή 2x 1 3 2x 2 x 1 β) Ισχύει : α=1 και β=2 οπότε η εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: x +2x+3=0 Δ β 4αγ 4 12 16 0 Οπότε η εξίσωση έχει 2 ρίζες πραγµατικές και άνισες : x, x 1 1 x 3 Άσκηση 3 ίνονται οι αριθµοί : Α = α) Να δείξετε ότι :, Β = i) Α+Β = (Μονάδες 8) ii) A B = (Moνάδες 8) β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2 ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς Α και Β. (Μονάδες 9) [11]
α) i) Έχουµε Α+Β = + = = = ii) A B 1 55 = = 1 20 β) Η εξίσωση 2 ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς Α και Β είναι της µορφής: x A Bx A B 0 x x + 1 20 = 0 20x 10x 1 0 Άσκηση 4 ίνεται το τριώνυµο 2x +5x1 α) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, x και x (Moνάδες 6) β) Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων : x +x, x x και + (Μονάδες 9) γ) Να προσδιορίσετε µια εξίσωση 2 ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς και 1. (Μονάδες 10) x 2 α) Για να έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες ένα τριώνυµο πρέπει 0 Οπότε = β 4αγ 5 4 21 25 8 33 0 β) Αν x και x είναι οι ρίζες του τριωνύµου τότε από τύπους Vietta έχουµε S = x +x = = Ρ = x x = = = Επίσης + = x 1 x 2 x 1 x 2 = = 5 [12]
γ) Το τριώνυµο που έχει ρίζες τους αριθµούς και 1 είναι της µορφής : x 2 x 1 x 1 1 x 2 x + 1 = 0 x x 5x + 2 = 0 x 5x 2 0 Άσκηση 5 Θεωρούµε την εξίσωση x 2x λ 2 0, µε παράµετρο λ. α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 10) β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x, να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει: x x 2 x x 1 (Moνάδες 15) α) Για να έχει πραγµατικές ρίζες ένα τριώνυµο πρέπει 0 Οπότε = β 4αγ 2 4 1λ 2 4 4λ 8 12 4λ Οπότε 0 12 4λ 0 12 4λ λ 3 β) Από τύπους Vietta έχουµε: S = x x = = 2 Ρ = x x = = = λ2 Οπότε έχουµε: x x 2x x 1 λ 2 22 1 λ 2 4 1 λ= 1 Η τιµή λ = 1 είναι δεκτή αφού πρέπει λ 3 Άσκηση 6 ίνεται η εξίσωση (λ + 2)x 2λx λ 1 0, µε παράµετρο λ 2 Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες: α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 13) β) Το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο µε το 2. (Μονάδες 12) [13]
α) Η παραπάνω εξίσωση 2 ου βαθµού έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες αν 0 Οπότε = β 4αγ = (2λ)²4λ 2λ 1 Δ 4λ 4λ λ 2λ 2 Δ 4λ 4λ 4λ 8λ 8 Δ 4λ 8 Οπότε Δ 0 4λ 8 0 2 µε λ 2 Άρα λ, 2 2, 2 β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε x x 2 Από τύπους Vietta S = x x = Άρα = 2 2λ 2λ 4 4λ 4 λ 1 Η τιµή λ 1 είναι δεκτή αφού λ, 2 2, 2 Άσκηση 7 ίνεται το τριώνυµο : x κx 2, µε κ. α) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε κ, όπου η διακρίνουσα του τριωνύµου. β) Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης x 3x 2 0 (1). (Μονάδες 13) i) Nα βρείτε το άθροισµα S = x x και το γινόµενο Ρ = x x των ριζών της (1) ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2 ου βαθµού που να έχει ρίζες ρ, ρ, όπου (Mονάδες 13) ρ = 2x και ρ = 2x. (Μονάδες 12) α) Έχουµε = β 4αγ = (κ² 4 12 Δ κ 8 0 για κάθε κ β) i) Aπό τύπους Vietta έχουµε S = x x = = = 3 [14]
και Ρ x x = = = 2 ii) Η εξίσωση 2 ου βαθµού που έχει ρίζες ρ και ρ είναι της µορφής : x ρ ρ ) x + ρ ρ = 0 (1) Οπότε ρ ρ 2x 2x 2 x x 2 3 6 και ρ ρ 2x 2x 4 x x 42 8 Τελικά η σχέση (1) γράφεται : βαθµού. x 6x 8 0 που είναι και η ζητούµενη εξίσωση 2 ου ΤΟ 4 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 ίνεται η εξίσωση : x x λ λ 0, µε παράµετρο λ. (1) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ. (Μονάδες 10) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει : d (x, x (Moνάδες 9), α) Είναι = 14λ λ 4λ 4λ 1 2λ 1 0 για κάθε λ. β) Πρέπει = 0 2λ 1 = 0 2λ1 0 λ γ) Για κάθε λ είναι 0 και η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες : τις x και x Έχουµε d ( x, x =, x x = x x 1 ( x x ² = 1 x ² 2x x x ² 1 [15]
( x x ² 4x, x = 1 S 4P 1 1 4λ λ 1 4λ λ 0 λ λ 0 λ 0 ή λ 1 Άσκηση 2 ίνεται η εξίσωση x 5λx1=0 µε παράµετρο λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ, για τις οποίες ισχύει: (x x )² 18 7x x ) 24 = 0. (Μονάδες 9) ii) Για λ = 1, να βρείτε την τιµή της παράστασης : x x 3x 4 3x x x.. α) Είναι Δ = β 4αγ = (5λ² 4 1 25λ + 4 0 για κάθε λ. Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Mονάδες 9) β) i) Είναι (x x )² 18 7x x ) 24 = 0 ² 18 7 ² = 0 (5λ² 18 7 1 24 = 0 25λ 25 0 λ 1 λ 1 ή λ 1 ii) Για λ = 1 η εξίσωση γίνεται x 5x 1 0 Άρα x x 3x 4 3x x x. = x x (x x )3 (x x ) +4 = = (1 5 3 5 4 5 15 4 16. Άσκηση 3 ίνεται η εξίσωση : x 2x λ 0, µε παράµετρο λ 1. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x διαφορετικές µεταξύ τους. (Μονάδες 6) [16]
β) Να δείξετε ότι : x x 2 (Μονάδες 4) γ) Αν για τις ρίζες x, x ισχύει επιπλέον : x 2 = x 2, τότε : i) Να δείξετε ότι : x x 4. (Μονάδες 7) ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες x, x και η τιµή του λ. (Μονάδες 8) α) Είναι = β 4αγ = 44λ. Όµως λ 1 4λ 4 41 0. Άρα 0. β) Είναι x x = = 2 γ) i) Είναι x 2 = x 2 x 2 = x +2 x x 4 ή x 2 = x 2 x = x x x 0 (απορρίπτεται) ii) Είναι : x x 2 x = 3 x x 4 x 1 Άρα x x = 3(1 λ λ 3 Άσκηση 4 ίνεται η εξίσωση : (λ λ x λ 1 x λ 1 0, (1) µε παράµετρο λ. α) Να βρεθούν οι τιµές του λ, για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2 ου βαθµού. [17] (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ που βρήκατε στο ερώτηµα (α) η (1) παίρνει τη µορφή : λx λ 1x 1 0 (Moνάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ που βρήκατε στο ερώτηµα (α) η (1) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2 ου βαθµού. (Μονάδες 6)
α) Πρέπει να ισχύει ότι : λ λ 0 λλ 1 0 λ 0 και λ 1 β) Για λ 0 και λ 1 είναι λ (λ1x λ 1λ 1x λ 1 0 λx λ 1x 1 0 διαιρώντας κατά µέλη µε λ 1 0 γ) Η εξίσωση (1) έχει τη µορφή λx λ 1x 1 0 µε = λ 1² 4 λ= λ 2λ 1 4λ λ 1 0 1 δ) Για λ 0 και λ 1 η εξίσωση λx λ 1x 1 0 έχει = λ 1 )² 0 και ρίζες: x 1 x, x Άσκηση 5 ίνεται το τριώνυµο λx λ 1x λ, λ 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε, λ 0 (Μονάδες 8) β) Αν x και x είναι οι ρίζες του τριωνύµου να εκφράσετε το άθροισµα S= x + x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= x x (Μονάδες 5) γ) Αν λ0 τότε: i) το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. ii) να αποδείξετε ότι x x 2x x, όπου x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου. α) Είναι = λ 1 2 4λ = λ 2λ 1 4λ = λ 2λ 1 = λ 1 2 0 για κάθε, λ 0 β) Είναι S= x + x = = 2 1 και P= x x = = = 1 γ) i) Για λ 0 είναι 0 S 0 και επειδή P=1 0 το τριώνυµο έχει ρίζες αρνητικές. [18]
ii) είναι x x 2x x x x 2 λ2 1 λ 2 2 επειδή όµως λ 0 η παραπάνω σχέση γράφεται 1 0 το οποίο ισχύει. 2 λ 1 2λ λ 1 2λ 0 Άσκηση 6 Τα σπίτια τεσσάρων µαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της ήµητρας βρίσκονται πάνω σε έναν ευθύγραµµο δρόµο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους. Οι αποσπάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο,,,, και αντίστοιχα ικανοποιούν τις σχέσεις : = και = Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σηµείο Ο και τα σηµεία Α,Β παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα. Ο Α Β α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σηµεία Γ και, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της ήµητρας. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β) Αν επιπλέον, οι τιµές των αποστάσεων, σε km ικανοποιούν τις σχέσεις = 1,4 και =0,45 τότε: i) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση 2 ου βαθµού που να έχει ρίζες τους αριθµούς, (Μονάδες 6) ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις,,, (Μονάδες 7) [19]
α) Από τη σχέση = = (απορρίπτεται) ή = = Έστω ότι 3 2 2 4 2 3 το οποίο ισχύει. Άρα (1) Επίσης από τη σχέση = προκύπτει ότι το σπίτι της ήµητρας ισαπέχει από τα σπίτια του Βαγγέλη και της Άννας. Τέλος από τη σχέση = 4 = 3 3. Άρα 4 4 (2) Όποτε από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε Ο Α Γ Β β) i) Είναι S= = 1,4 και P = =0,45 άρα οι, είναι ρίζες της εξίσωσης x 1,4x 0,45 0 ii) Λύνουµε την εξίσωση x 1,4x 0,45 0 και έχουµε =0,16 0 άρα οι ρίζες είναι x =0,5 ή x =0,9 και επειδή έχουµε = 0,5km και = 0,9 km Επίσης = =,, = 0,8 km και = 0,5 = 0,9 0,5 0,9 0,5 0,9 αδύνατη ή 0,5 0,9 = 0,7 [20]