"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει κακό σε ένα μυστήριο να γνωρίζουμε κάποια ελάχιστα πράγματα γι' αυτό". R. P. Feynman 1919-1988 Πηγή: http://light.physics.auth.gr/game/game.swf 1
ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΔΙΣΚΩΝ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΔΥΟ ΡΑΒΔΟΥΣ Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος οι ομογενείς κυκλικοί δίσκοι ακτίνας R=0,1m και μάζας m=kg o καθένας, κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν μεταξύ δύο ράβδων Α και Β, οι οποίες έχουν μάζες m1=1kg και m=3kg αντίστοιχα. uaf F u WBWΑν την χρονική στιγμή t = 0, ασκηθεί στη κάθε ράβδο δύναμη F=11N, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, να υπολογιστούν: Α. η επιτάχυνση με την οποία κινείται η κάθε ράβδος. Β. η επιτάχυνση του κέντρου μάζας των κυλίνδρων και η γωνιακή τους επιτάχυνση. Γ. οι δυνάμεις τριβής μεταξύ των δίσκων και των ράβδων. Δ. οι ταχύτητες των σημείων C1 και Ο την χρονική στιγμή t = 1s. Δίνεται: Ι ί mr, Στα σημεία Μ και Σ η τριβή θεωρείται αμελητέα.
Απάντηση: FAN 1u F ubw ubf N T T1W1A WN N T3 N N W113T1 u F Ερώτημα Α: Ράβδος Α Έστω ua & α1 η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ράβδου Α. Στη ράβδο Α ασκούνται οι εξής δυνάμεις: η δύναμη F (με φορά προς τα δεξιά), το βάρος της W1, οι κάθετες αντιδράσεις Ν1 από τους δίσκους και οι στατικές τριβές Τ1 (με φορά προς τα αριστερά, οι οποίες αντιτίθενται στη κίνηση της ράβδου). Σχόλιο! Οι τριβές και οι κάθετες αντιδράσεις στα σημεία Γ & Λ, είναι ίδιες, διότι οι 3
κύλινδροι έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά και εκτελούν την ίδια κίνηση. Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: ΣF A m α FT T m α Ράβδος Β Έστω uβ & α η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ράβδου Β. Στη ράβδο Β ασκούνται οι εξής δυνάμεις: η δύναμη F (με φορά προς τα αριστερά), το βάρος της W, οι κάθετες αντιδράσεις Ν και Ν3 από τους δίσκους και τα στηρίγματα αντίστοιχα και οι στατικές τριβές Τ (με φορά προς τα δεξιά, οι οποίες αντιτίθενται στη κίνηση της ράβδου). Σχόλιο! Οι τριβές και οι κάθετες αντιδράσεις στα σημεία Κ & Η, είναι ίδιες, διότι οι κύλινδροι έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά και εκτελούν την ίδια κίνηση. Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: ΣF m α T T Fm α Προσοχή! κατά τη μετάβαση από διανύσματα σε μέτρα, όπου αντικαθιστούμε τα πρόσημα των διανυσμάτων, ανάλογα με το προς τα πού έχουμε θεωρήσει τη θετική φορά. Οι δίσκοι έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά και εκτελούν την ίδια κίνηση. Άρα τα μεγέθη που περιγράφουν την κίνηση τους (π.χ. γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, κ.τ.λ.) θα είναι ίδια. Όποτε αρκεί να μελετήσουμε την κίνηση του ενός από τους δύο δίσκους. Έστω του C1. Κυκλικός Δίσκος C1 Έστω uc1 & αc1 η ταχύτητα και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου C1. Στo δίσκο C1 ασκούνται οι εξής C' N1' Cuδυνάμεις: το βάρος του W, οι Nκάθετες αντιδράσεις Ν 1 & Ν από ' Tτις ράβδους, και οι στατικές τριβές 1Τ 1 (με φορά προς τα δεξιά) και Τ ( Wπu1' Tu Cu11C1 1 γω1 ν.uπ1uπu1o4
με φορά προς τα αριστερά). Στο σημείο Γ η κάθετη αντίδραση Ν 1 από τη ράβδο, είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με τη Ν1 λόγω «δράσηςαντίδρασης». Επιπλέον η δύναμη στατικής τριβής Τ 1, πάλι λόγω «δράσηαντίδρασης» είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με τη τριβή Τ1. Με βάση τη προηγούμενη ανάλυση στο σημείο Η, η κάθετη αντίδραση Ν θα είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την Ν, ενώ η Τ θα είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την Τ. Τελικά: Ν Ν & Ν Ν Τ Τ & Τ Τ Επειδή ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, για τις ταχύτητες των σημείων Γ & Η θα ισχύουν τα εξής: u u ά µέ & u u u u & u u & Σχόλιο! Όταν ένας σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια επιφάνεια, τότε το σημείο που βρίσκεται σε επαφή με την επιφάνεια, έχει σε κάθε στιγμή την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια (π.χ. αν είναι το έδαφος τότε έχει μηδενική ταχύτητα). Σημείο Γ: Η ταχύτητα του σημείου Γ είναι η συνισταμένη της ταχύτητας u, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας u, λόγω περιστροφικής κίνησης. Οπότε: u u u u u u Σημείο Η: Η ταχύτητα του σημείου Η είναι η συνισταμένη της ταχύτητας u, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας u, λόγω περιστροφικής κίνησης. Οπότε: u u u u u u Σχόλιο! Θέσαμε, διότι το σημείο Η πρέπει να κινείται προς τα αριστερά όπως και η ράβδος Β. Σχετικά με τις επιταχύνσεις των ράβδων θα έχουμε τα εξής: 5
Ράβδος Α: α Δu A Δt Ράβδος Β: α Δu Δt α Δu u α Δt Δu Δu Δt Δt α Δu u α Δt Δu Δu Δt Δt,, από 7 8 α α α από 7 8 α α α Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: ΣF mα T T mα T T mα Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα έχουμε: Στ Ι α. T RT RΙ α. α α. Rα. α R T RT RΙ α R T T m α T R T R 1 mr α από 11 1 T m α α α α από 1 11 T m α α α α Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (), (13), και (14) προκύπτει: από 1 F m 4 3α α m α από m 4 3α α Fm α µέ m 4 3α α 3α α m α m α 6
mα α m α m α α m m α m m α από 1 F m 4 3α α m m m m m α F m 4 3m 3mm m m m m α F 3m mm mm 4m m 4m m 4m m 4 11 3 m 3 1 3 413 s α 0 44 από 15 α α m s 4F m m 3mm m 4m m m m m m m Ερώτημα Β: Επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κάθε κυλίνδρου απο 10 α α α α α α 53 m s Γωνιακή επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κάθε κυλίνδρου απο 9 α α α α ακόµα α. α. α R α R.. 53 m s... Ερώτημα Γ: Τριβή Τ1 7
από 13 T m 8 3α α F Τριβή Τ από 14 T m 8 3α α F Ερώτημα Δ: Α τρόπος: Οι δύο ράβδοι κινούνται με σταθερές επιταχύνσεις. Άρα για τις ταχύτητες τους θα ισχύουν οι εξής σχέσεις: κατα µέτρο u A α t u α t u A α t u α t Ακόµα από 5 u u u από 6 u B u u µε κατα µέλη u u B u µε κατα µέλη u u B u u 4m s u 1m s u u u B u u u B Η ταχύτητα του σημείου C1, τη χρονική στιγμή t1 είναι: u 1m s Η ταχύτητα του σημείου Ο, τη χρονική στιγμή t1 είναι:, & Β τρόπος: Στιγμιαίο κέντρο περιστροφής 8
(t1((t1(επιμέλεια Θεμάτων: uγu ) 1At) uηu ) 1Bt) Ο κυκλικός δίσκος την χρονική στιγμή t1, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στρέφεται γύρω από το Δ (στιγμιαίο κέντρο περιστροφής). Οπότε: u ωγδ R u u ωδη ω u ω Rωu u R ω 53 0,1 rad s &,,, Ταχύτητα σημείου C1 u ωδc u ωγδ ΓC u 400,15 0,1 m s Ταχύτητα σημείου O u O ωoδ u O ωoc ΔC u O 400.1 0,1 0,075 m s, Σχόλιο! Το στιγμιαίο κέντρο περιστροφής έχει μηδενική ταχύτητα ί ά ί ώ έ ά Επιμέλεια Θεμάτων: 9