ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Γ1. Μελέτη κίνησης τροχού από τη θέση (Β) μέχρι τη θέση (Γ)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Γ1. Μελέτη κίνησης τροχού από τη θέση (Β) μέχρι τη θέση (Γ)"

Ἄδαμος Αργυριάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Γ Γ1. Μελέτη κίνησης τροχού από τη θέση (Β) μέχρι τη θέση (Γ) ημφ = H/d d = H/ημφ d = 2Η d = 70m d = d 1 + d 2 d 2 = d d 1 d 2 = 10m h 2 = d 2 ημφ h 2 = 5m Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ και παίρνουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο (Β). Ε μηχ(β) = Ε μηχ(γ) Κ Β,μετ + Κ Β,στρ = Κ Γ,στρ + U Γ Όμως Κ Γ,στρ = Κ Β,στρ άρα Κ Β,μετ = U Γ 1/2mυ cm 2 = mgh 2 υ cm = υ cm = 10m/s Επειδή ο τροχός από τη θέση (Α) μέχρι και τη θέση (Β) που κινείται στο τραχύ τμήμα του κεκλιμένου επιπέδου, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, μπορούμε να υπολογίσουμε και το μέτρο της γωνιακής του ω ταχύτητας στη θέση (Β): υ cm = ωr ω = υ cm /R ω = 40rad/s Εφαρμόζω ΑΔΜΕ ανάμεσα στις θέσεις (Α) και (Β) και λαμβάνω ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο (Α). Η υψομετρική απόσταση h 1 ανάμεσα στις δύο θέσεις είναι: h 1 =H-h 2 =30m. Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 1

Οπότε: Ε μηχ(a) = Ε μηχ(b) Κ A,μετ + Κ Α,στρ = Κ Β,μετ + Κ Β,στρ + U Β 1/2mυ cm,ο 2 + 1/2 Iω ο 2 = 1/2mυ cm 2 + 1/2 Iω 2 + mgh 1 υ cm,o = 20m/s Στο σχήμα που ακολουθεί, σχεδιάζουμε τις ταχύτητες που

2 Οπότε: Ε μηχ(a) = Ε μηχ(b) Κ A,μετ + Κ Α,στρ = Κ Β,μετ + Κ Β,στρ + U Β 1/2mυ cm,ο 2 + 1/2 Iω ο 2 = 1/2mυ cm 2 + 1/2 Iω 2 + mgh 1 υ cm,o = 20m/s Στο σχήμα που ακολουθεί, σχεδιάζουμε τις ταχύτητες που αφορούν το σημείο Μ, εξαιτίας της μεταφορικής κίνησης και της στροφικής γύρω από το κέντρο του τροχού. Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα δύο διανύσματα των ταχυτήτων u και uo,cm έχουν το ίδιο μέτρο: υ cm,o = ω ο R = υ και από το σχήμα προκύπτει ότι η γωνία που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα είναι ίση με θ=60 ο (συνθ=r/2/r=1/2, οπότε θ=60 ο ) οπότε εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημίτονων υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας u M του σημείου: m/s Γ2. Το σημείο (Ζ) βρίσκεται σε ύψος h=25,6m από το σημείο (Α). Εφαρμόζοντας την ΑΔΜΕ για τις δύο θέσεις, υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας u cm,z και τη γωνιακή του ω Ζ ταχύτητα. Ε μηχ(a) = Ε μηχ(z) Κ A,μετ + Κ Α,στρ = Κ Z,μετ + Κ Z,στρ + U Z Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 2

1/2mυ cm,ο 2 + 1/2 Iω ο 2 = 1/2mυ cm,z 2 + 1/2 Iω Z 2 + mgh υ cm,z = 12m/s και ω Ζ = 48rad/s Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και στροφικής κίνησης είναι: ( ) ΣF x υ cm,z +

3 1/2mυ cm,ο 2 + 1/2 Iω ο 2 = 1/2mυ cm,z 2 + 1/2 Iω Z 2 + mgh υ cm,z = 12m/s και ω Ζ = 48rad/s Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και στροφικής κίνησης είναι: ( ) ΣF x υ cm,z + Στ ω Ζ ( ) -120J/s Το μέτρο της στροφορμής του είναι: L = Iω = mr 2 ω L = 6kgm 2 /s και το διάνυσμά της είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας με φορά προς τα έξω, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ3. Εφαρμόζουμε το ΘΝΜ για τη μεταφορική κίνηση και αντίστοιχα για τη στροφική κίνηση από τη θέση (Α) μέχρι τη θέση (Β), υπολογίζουμε τα μέτρα της επιβράδυνσης α cm του κέντρου μάζας και της γωνιακής επιβράδυνσης α γ του τροχού: ΣF x = mα cm w x T σ = mα cm mgημφ Τ σ = mα cm (1) Στ = Ια γ Τ σ R = mr 2 α γ Τ σ = mα cm (2) Από (1),(2) α cm = 2,5m/s 2 και α γ = 10rad/s 2 Από τη θέση (Α) τη χρονική στιγμή t=0 ο τροχός πηγαίνει στη θέση (Β) τη χρονική στιγμή t 1 η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: 4s Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 3

και η κίνηση από τη θέση (Β) μέχρι τη θέση (Γ) διαρκεί Δt ΒΓ : 2s t 2 t 1 = 2 t 2

διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας ω χρόνου: Γ4.

οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη στιγμή αυτή το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας

4 και η κίνηση από τη θέση (Β) μέχρι τη θέση (Γ) διαρκεί Δt ΒΓ : 2s t 2 t 1 = 2 t 2 = 6s Οπότε σχεδιάζουμε το διάγραμμα ταχύτητας κέντρου μάζας u cm χρόνου: και το διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας ω χρόνου: Γ4. Τη χρονική στιγμή t=3s ο τροχός κινείται στο τραχύ τμήμα του κεκλιμένου επιπέδου, οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη στιγμή αυτή το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας ω x : α γ = Δω/Δt -10 = (40 ω x ) / (4-3) -10 = 40 ω x ω x = 50rad/s Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 4

5 Οπότε αρκεί να υπολογίσουμε τα δύο γραμμοσκιασμένα εμβαδά και θα γνωρίζουμε τη γωνιακή μετατόπιση του τροχού στα 3 τελευταία δευτερόλεπτα: Δθ = 125rad οπότε ο αριθμός Ν των περιστροφών που αντιστοιχεί στο παραπάνω χρονικό διάστημα είναι: Ν = Δθ/2π Ν = 125/2π Θέμα Δ Δ1. Η ροπή αδράνειας της ράβδου Ιρ ως προς τον άξονα περιστροφής της με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Steiner προκύπτει: Ι ρ = Ι cm + M(L/2) 2 Ι ρ = ML 2 /3 Ι ρ = 4kgm 2 Για τη ράβδο εφαρμόζουμε τον ΘΝΜ για τη στροφική της κίνηση: Στ = Ι ρ α γ MgL/2 N ρ L = I ρ α γ 30-2N ρ = 4α γ (1) Για το δίσκο εφαρμόζοντας τον ΘΝΜ για τη μεταφορική και τη στροφική του κίνηση και λαμβάνοντας υπόψη μας ότι: α cm = α ε = α γ L α cm = 2α γ ΣF = mα cm mg + N T σ = mα cm (2) Στ = Ια γ,δ Τ σ R = 1/2mR 2 α γ,δ Τ σ = 1/2mRα γ,δ Τ σ = 1/2mα cm (3) Προσθέτοντας τις σχέσεις (2) και (3) κατά μέλη: mg + N = 3/2mα cm 10 + N = 3/2 2α γ 10 + N = 3α γ Ακόμη Ν = Ν ρ (Δράση αντίδραση), άρα N ρ = 6α γ (4) Από τις (1) και (4) καταλήγουμε: 50 = 10α γ α γ = 5rad/s 2 Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 5

6 Οπότε ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ισούται με: (dl/dt) ρ = I ρ α γ (dl/dt) ρ = 20kgm 2 /s 2 Δ2. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας για το σύστημα. Οι μοναδικές δυνάμεις που παράγουν έργο είναι το βάρος του δίσκου και το βάρος της ράβδου. Λαμβάνοντας υπόψη μας ότι κάθε στιγμή ισχύει: υ cm = υ ε = ωl υ cm = 2ω Ε μηχ(1) = Ε μηχ(2) Κ ρ,στρ + Κ δ,μετ + Κ δ,στρ = Κ ρ,στρ + Κ δ,μετ + Κ δ,στρ + U ρ + U δ 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ 2 cm + 1/2 Iω 2 δ = 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ cm 2 + 1/2 Iω δ2 Μgh 1 mgh 2 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ cm 2 + 1/2 1/2mR 2 ω δ 2 = 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ cm 2 + 1/2 1/2mR 2 ω δ2 - Μgh 1 mgh 2 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ cm 2 + 1/2 1/2 mυ cm 2 = 1/2Ι ρ ω 2 + 1/2mυ cm 2 + 1/2 1/2 mυ cm 2 - Μgh 1 mgh 2 1/2Ι ρ ω 2 + 3/4mυ cm 2 = 1/2Ι ρ ω 2 + 3/4mυ cm 2 ΜgL/2 ημθ mgl ημθ 1/2 4ω 2 + 3/4 4ω 2 = 1/2 4ω 2 + 3/4 4ω 2 30 ημθ 20 ημθ 5ω 2 = 5ω - 50 ημθ ω 2 = ω 2 10 ημθ ω = (1) Η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι ίση με: Κ ρ = 1/2Ι ρ ω 2 Κ ρ = 2ω 2 (2) Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 6

7 Από (1) και (2) καταλήγουμε: Κ ρ = 2(6 + 10ημθ) Κ ρ = ημθ (S.I.) Δ3. Υπολογίζουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στη θέση (3) αρκεί να θέσουμε στην προηγούμενη σχέση θ=90 o, οπότε: ω = ω = 4rad/s Η στροφορμή της ως προς τον άξονα περιστροφής της έχει μέτρο: L ρ = Ι ρ ω L ρ = 16kgm 2 /s Το διάνυσμά της είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας και φορά προς μέσα. Για την ιδιοστροφορμή (spin) του δίσκου, έχουμε: L δ,spin = Ιω δ = 1/2mR 2 ω δ = 1/2mR(Rω δ) = 1/2mRυ cm L δ,spin = 0,8kgm 2 /s Το διάνυσμά της είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας και φορά προς έξω. Για την στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα Ο περιστροφής της ράβδου: L δ,ο = mυ cm L = ml 2 ω L δ,ο = 16kgm 2 /s Το διάνυσμά της είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας και φορά προς μέσα. Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 7

8 Δ4. Από τη θέση(3) μέχρι τη θέση (4) ο δίσκος διατηρεί σταθερή την γωνιακή της ταχύτητα, εκτελώντας οριζόντια βολή. Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε το χρονικό διάστημα Δt που κάνει να φτάσει στο έδαφος: h = 1/2gΔt 2 Δt = Δt = 0,6s (1) Στο χρονικό αυτό διάστημα η γωνιακή του μετατόπιση είναι: ω δ = Δθ/Δt Δθ = ω δ Δt (2) όμως υ cm = Lω Rω δ = Lω ω δ = 40rad/s (3) Οπότε από (1), (2) και (3): Δθ=24r και ο αριθμός Ν των περιστροφών στο χρονικό αυτό διάστημα είναι: N = Δθ/2π Ν = 12/π Δ5. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας και υπολογίζουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου ω 1 όταν διέρχεται από τη θέση (5): Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 8

9 Ε μηχ(3) = Ε μηχ(5) Κ ρ + U ρ = Κ ρ1 1/2Ι ρ ω 2 ΜgL/2 = 1/2I ρ ω 2 1 2ω 2 30 = 2ω 2 1 ω 1 = 1rad/s και στη συνέχεια το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της ράβδου: υ = L/2 ω 1 υ = 1m/s Από τη συνθήκη της κεντρομόλου υπολογίζεις ΘΝΜ, την οριζόντια συνιστώσα F x της δύναμης: ΣF x = Mα κ F x = M F x = 3N Υπολογίζουμε τώρα και το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης της ράβδου: Στ = Ι ρ α γ ΜgL/2 = I ρ α γ 30 = 4α γ α γ = 7,5rad/s 2 και στη συνέχεια το μέτρο της επιτρόχιου επιβράδυνσης του κέντρου μάζας: α ε = L/2α γ α ε = 7,5m/s 2 και εφαρμόζοντας τον ΘΝΜ υπολογίζουμε και την κατακόρυφη συνιστώσα F y ΣF y = Mα ε Μg F y = Mα ε F y = Μ(g α ε ) F y = 7,5Ν Τελικά τις συνθέτουμε και από Πυθαγόρειο Θεώρημα υπολογίζουμε το μέτρο της συνολικής δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της: F 8N Επιμέλεια: Παπαγεωργίου Δημήτρης - Φυσικός Σελίδα 9

Σχετικά έγγραφα

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή