Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων οι συνιστώσες υπάρχουν μόνο στο επίπεδο Oxy (Σχήμα 1). Να εκφράσετε κάθε συνιστώσα της δύναμης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Δίνονται: F 1 = 200 Nt, F 2 = 260 Nt. 2. Στο υλικό σημείο A, που βρίσκεται στο χώρο, ασκούνται οι δυνάμεις: F1 = (60 y 0 + 80 z 0 )Nt και F2 = (50 x 0 100 y 0 + 100 z 0 )Nt (Σχήμα 2). Να βρεθούν το μέτρο της συνισταμένης δύναμης, που ασκείται στο υλικό σημείο καθώς και οι γωνίες που σχηματίζει η συνισταμένη δύναμη με τους άξονες x, y, z. 3. Αεροσκάφος κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u κατα μήκος της καμπύλης y = bx 2 + c, η οποία βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy. Ο πιλότος έχει βάρος W με φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα y και με μέτρο του βάρους W, η αντίδραση από το κάθισμα είναι R = Fη η 0 + F ɛ ɛ 0. Να υπολογιστούν η εφαπτομενική και η κεντρομόλος συνιστώσες της δύναμης που ασκείται πάνω στον πιλότο, όταν y = y 1 (Σχήμα 3). Δίνονται: b = 20 10 6 kg 1, W = 180 kgr, c = 5000 m, u = 1000 m/s, g = 9.81 m/s 2, y 1 = 10000 m. 4. Ευθύγραμμος οδηγός περιστρέφεται δεξιόστροφα στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω, γύρω από το άκρο O. Στον ευθύγραμμο οδηγό ολισθαίνει μικρός δακτύλιος M. Το βάρος B του δακτυλίου έχει μέτρο mg και φορά τη θετική φορά του άξονα y. Η αντίδραση, R, στην μάζα από τον οδηγό είναι κάθετη στον οδηγό και πάνω στο επίπεδο Oxy. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο δακτύλιος ξεκινά από την ηρεμία από το σημείο O. Να βρεθεί η τροχιά του M σε πολικές συντεταγμένες. Για t = 0, η γωνία φ = 0 (Σχήμα 4). 5. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στην επιφάνεια της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = α 2, όπου α > 0 είναι η ακτίνα της σφαίρας και απωθείται από καθένα από τα συντεταγμένα επίπεδα με μοναδική δύναμη F όπου η κάθε συνιστώσα της είναι αντιστρόφως ανάλογη της τρίτης δύναμης των συντεταγμένων από αυτά με συντελεστές αναλογίας k 1, k 2, k 3 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η αντίδραση της επιφάνειας στη μάζα έχει σταθερό μέτρο. 6. Υλικό σημείο μάζας m κινείται σε ράβδο, που περιστρέφεται στο επίπεδο Oxy. Η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Το βάρος B του υλικού σημείου έχει μέτρο mg και φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα z ( B = mg z 0 ). Η 1

2 αντίδραση, F (δ), στην μάζα από την ράβδο έχει τρείς συνιστώσες. Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου, όταν για t = 0 η γωνία φ = 0 (Σχήμα 13). 7. Δύναμη F = (3x 4y) x 0 + (4x + 2y) y 0 ενεργεί σε υλικό σημείο. Να βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την πλήρη περιστροφή του υλικού σημείου πάνω σε έλλειψη, που βρίσκεται στο επίπεδο Oxy. Η έλλειψη έχει κέντρο την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Ο μεγάλος ημιάξονάς της είναι ίσος με 4 και ο μικρός ημιάξονάς της είναι ίσος με 3. 8. Να δειχτεί ότι: (α) Η δύναμη F = (2xz 3 + 6y) x 0 + (6x 2yz) y 0 + (3x 2 z 2 y 2 ) z 0 είναι συντηρητική. (β) Να υπολογιστεί το έργο, W = c F d r, της δύναμης F, όπου c μια οποιαδήποτε τροχιά από το σημείο (1, 1, 1) έως το σημείο (2, 1, 1). 9. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στο επίπεδο Oxy με διάνυσμα θέσης r = Acosωt x 0 + Bsinωt y 0, όπου A, B και ω θετικές σταθερές. (α) Να δείξετε ότι το υλικό σημείο κινείται σε έλλειψη. (β) Να δείξετε ότι η συνισταμένη δύναμη, που δρα στο υλικό σημείο είναι συντηρητική και να σχεδιάσετε τη φορά της. (γ) Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη κατά την κίνηση του υλικού σημείου πάνω στην έλλειψη. 10. Δύναμη F = 5r r 0 + 10 r θ 0 + 5 z 0 δίνεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Να δειχτεί ότι: (α) η δύναμη είναι συντηρητική. (β) Να βρείτε το δυναμικό V από το οποίο προέρχεται η F. 11. Να βρεθεί η ταχύτητα υλικού σημείου μάζας m τη χρονική στιγμή t 1 όταν η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί πάνω του είναι ίση με F = 5 u, όπου u η ταχύτητα του υλικού σημείου. Δίνεται ότι για t = 0, u = u 0 και S = 0. 12. Υλικό σημείο P, μάζας m γλυστρά πάνω σε κατακόρυφο κεκλιμένο επίπεδο AB με γωνία κλίσης α (Σχήμα 5). Ο συντελεστής τριβής, η, μεταξύ του επιπέδου και του υλικού σημείου είναι ίσος με η = 0.1. Το υλικό σημείο ξεκινά από την ηρεμία από την κορυφή A του κεκλιμένου επιπέδου τη χρονική στιγμή t = 0. Βρείτε: (α) την επιτάχυνση, (β) την ταχύτητα και (γ) την απόσταση που έχει διανύσει το υλικό σημείο τη χρονική στιγμή t. 13. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο, που διέρχεται από τα σημεία ( 11, 0, 0), (0, 11, 0), 3 5 (0, 0, 11 ). Στο υλικό σημείο ενεργεί το βάρος σε φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα z, η δύναμη F 1 = 8 x 0 + 7 y 0 + 10 z 0 και η τριβή. Ο συντελεστής τριβής, η, μεταξύ του 8 επιπέδου και του υλικού σημείου είναι ίσος με η = 0.1. Να γραφούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης του υλικού σημείου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. 14. Υλικό σημείο μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα Ox υπό την επίδραση συντηρητικής δύναμης, που προέρχεται από δυναμικό V (x). Αν το υλικό σημείο βρίσκεται στις θέσεις x 1 και x 2 τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2 αντίστοιχα, να δείξετε ότι αν E είναι η μηχανική ενέργεια του υλικού σημείου, t 2 t 1 = m 2 x2 x 1 dx E V (x) 15. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy υπό την επίδραση της δύναμης F = 5r r 0 + 10r θ 0 σε πολικές συντεταγμένες. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης κατά τη μετακίνηση του υλικού σημείου από τη θέση r = 1 έως τη θέση r = 2. 16. Σε υλικό σημείο, που έχει ταχύτητα u, ενεργεί η συνισταμένη δύναμη F = 3 u c 1 c 2 3,

3 όπου c 1 και c 2 σταθερά διανύσματα και c 1 0 και c 2 = 0. Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας κατά τη μετακίνηση του από το σημείο 1 στο σημείο 2 της τροχιάς του. 17. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στο χώρο υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης F = r 3 r 0, η οποία δίνεται σε σφαιρικές συντεταγμένες. Να βρεθεί η στροφορμή L 2 (t 2 ) τη χρονική στιγμή t 2, όταν τη χρονική στιγμή t 1 είναι ίση με L 1 (t 1 ) = c 1 x 0 + c 2 y 0 + c 3 z 0, όπου c 1, c 2, c 3 σταθερές, Σχήμα 6. 18. Υλικό σημείο βρίσκεται αρχικά στο σημείο (x, y, z) = (1, 1, 1) και υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης F = 10x x 0 + 2y y 0 + 3z 2 z 0, πηγαίνει στο σημείο (x, y, z) = (2, 3, 2). Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας. 19. Υλικό σημείο μάζας m κινείται κατά μήκος της τροχιάς AB. Η τροχιά AB είναι μια συρμάτινη γραμμή και βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy. Αρχικά (t = 0) το υλικό σημείο βρίσκεται στο A και είναι ακίνητο. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του και η αντίδραση που ασκεί το σύρμα στο υλικό σημείο C, Σχήμα 7. Το ελατήριο έχει αρχικό μήκος L και το σημείο C βρίσκεται ακριβώς στο τέλος του κυκλικού μέρους της τροχιάς του υλικού σημείου. Το βάρος, W, του υλικού σημείου έχει μέτρο mg και φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα x ( B = mg x 0 ). Δίνονται: L = 12 cm, g = 9.81 m/s 2, h = 10 cm, k = 2 kgr/cm, m = 0.5 kgr. 20. Υλικό σημείο μάζας m = 1 kgr κινείται υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης: F = (3t 2 4t) x 0 + (12t 6) y 0 + (6t 12t 2 ) z 0. (α) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του υλικού σημείου από τη χρονική στιγμή t = 1 έως τη χρονική στιγμή t = 2. (β) Αν η ταχύτητα του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = 1 είναι ίση με u = 4 x 0 5 y 0 + 10 z 0, ποιά είναι η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t = 2; 21. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy σε κυκλική τροχιά υπό την επίδραση δύναμης που η φορά της είναι προς την αρχή, O, του συστήματος συντεταγμένων. Να βρεθεί η έκφραση της δύναμης σε πολικές συντεταγμένες στη μορφή, F = f(r) r 0, Σχήμα 8. 22. Υλικό σημείο κινείται σε έλλειψη που βρίσκεται στο επίπεδο Oxy. Το υλικό σημείο δέχεται την επίδραση κεντρικής δύναμης, της οποίας η φορά είναι προς το κέντρο O της έλλειψης. Να δειχθεί ότι η επιτάχυνση, a, του υλικού σημείου είναι της μορφής, a = k 2 r, r = το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου και k = σταθερά. 23. Ράβδος OA μήκους 10 cm περιστρέφεται δεξιόστροφα στο επίπεδο xy του σταθερού συστήματος Oxy με σταθερό μέτρο γωνιακής ταχύτητας ω = 4 rad/s. Δακτύλιος ολισθαίνει στη ράβδο με σταθερό μέτρο ταχύτητας 3 cm/s σχετικά με τη ράβδο. Να υπολογιστεί η απόλυτη επιτάχυνση του δακτυλίου, ως προς το αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η σταθερή αρχή είναι το σημείο O, τη στιγμή που ο δακτύλιος εγκαταλείπει τη ράβδο, Σχήμα 9. 24. Δίσκος κέντρου O περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω γύρω από τον άξονα z του σταθερού συστήματος Oxyz. Κατά μήκος μιας ακτίνας του δίσκου κινείται υλικό σημείο, του οποίου η απόσταση από το κέντρο του δίσκου δίνεται από τη σχέση α + βcoskt, με α, β, k = σταθερές. Να υπολογιστεί η απόλυτη επιτάχυνση του υλικού σημείου συναρτήσει του χρόνου, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O, Σχήμα 10.

4 25. Η ράβδος OABΓ του σχήματος (Σχήμα 11) περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον z -άξονα του περιστρεφόμενου συστήματος Ox y z με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω 1. Συγχρόνως, ο δίσκος του σχήματος περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον άξονα BΓ, ο οποίος είναι παράλληλος στον άξονα Ox, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 2 και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω 2. Να υπολογιστεί η απόλυτη ταχύτητα του σημείου P που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του δίσκου, και το ΓΡ είναι παράλληλο στο ΑΒ, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O. Δίνονται: ω 1 = 3 rad/s, ω 1 = 4 rad/s 2, ω 2 = 2 rad/s, ω 2 = 1 rad/s, a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m, r = 0.5 m. 26. Το σώμα μηχανήματος ακτίνων X του σχήματος (Σχήμα 12) περιστρέφεται δεξιόστροφα ως προς τον άξονα (z -άξονα) του περιστρεφόμενου συστήματος Ox y z με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω z και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω z. Ο βραχίονας του περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον άξονα O B, ο οποίος είναι παράλληλος στον άξονα y, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω rel και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω rel, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστεί η απόλυτη ταχύτητα του κέντρου C της κάμερας ακτίνων X, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O. Οι ασκήσεις πρέπει να επιστραφούν μέχρι την Τρίτη 12 Ιουνίου στις 5μμ.