КЫРГЫЗ РЕСПУБЛИКАСЫНЫН БИЛИМ ЖАНА ИЛИМ МИНИСТИРЛИГИ. И.РАЗЗАКОВ атындагы КЫРГЫЗ МАМЕЛЕКЕТТИК ТЕХНИКАЛЫК УНИВЕРСИТЕТИ. Механика кафедрасы

КЫРГЫЗ РЕСПУБЛИКАСЫНЫН БИЛИМ ЖАНА ИЛИМ МИНИСТИРЛИГИ И.РАЗЗАКОВ атындагы КЫРГЫЗ МАМЕЛЕКЕТТИК ТЕХНИКАЛЫК УНИВЕРСИТЕТИ Механика кафедрасы ТЕОРИЯЛЫК МЕХАНИКА Кыргыз Республикасынын билим бер\\ жана илим министирлиги тарабынан жогорку окуу жайларынын студенттери \ч\н окуу куралы катары бекитилген Бишкек

Кыргыз Республикасынын билим бер\\ жана илим министирлиги тарабынан жогорку окуу жайларынын студенттери \ч\н окуу куралы катары бекитилген Дуйшеева Т.Д., Чыныбаев М.К. Теориялык механика. Кыргыз мамелекеттик техникалык университети. Бишкек,. Бул методикалык колдонмо (курал) теориялык механиканын үч бөлүгүн: статика, кинематика, динамиканы камтыйт. Бөлүктөрдүн ар бир темалары бирдей структурада жазылган: теориялык механиканын негизги закондору жана маселелерди чыгарууга зарыл болгон формулалар, ар кандай типтеги маселелерди чыгарылыш тартиби жана алардын анализи. Бул окуу колдонмо техникалык окуу жайында ар кандай адистикте окуган студенттерге жана жаш окуутучуларга пайдалуу болуш мүмкүн. Ил. 85 Рецензент к.ф.-м.н., доцент Тусубекова Н.

Мазмуну I. СТАТИКА.. 6.. Катуу нерсенин статикасы. 6... Статиканын аксиомалары 6... Күчтөр системасын кошуунун геометриялык жолу.. 9..3. Тегиздиктеги кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттарынын геометриялык түрү.....4. Күчтүн окко жана тегиздикке түшүрүлгөн проекциялары... 3..5. Кесилишкен күчтөр системасын кошуунун аналитикалык ыкмасы 4..6. Кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары... 5..7 Күчтүн чекитке (борборго) карата моменти... 7..8. Жарыш күчтөрдө кошуу... 7..9. Кош - жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук абалы... 9... Күчтү борборго келтирүү... 9... Ар кандай багыттаты күчтөр системасын борборго келтирүү...... Тең аракет этүүчү күчтүн моменти жөнүндө Вариньондун теоремасы.....3. Жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук шарттары.....4. Катуу нерселер системасынын тең салмактуулугу... 6..5. Кесилишкен күчтөр системасы. Кесилишкен күчтөр системасын кошуу. Тең салмактуулук шарттары.. 3..6. Күчтүн борборго карата моменти. Күчтүн окко карата моменти. Мейкиндиктеги кош-жарыш күчтөр... 34..7. Кош жарыш күчтөрдүн моменттери. 35..8. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасын кошуу. Пуансонун теоремасы... 36..9. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары... 37.. Катту нерсенин оордук салмак борбору. 4... Катуу нерсенин оордук салмак борборун аныктоо 4... Бир тектүү катуу нерселердин оордук салмактары 43..3. Катту нерселердин оордук салмак борборлорун аныктоонун ыкмалары.. 44 II. КИНЕМАТИКА... 47.. Чекиттин кинематикасы... 47... Чекиттин кыймылын аныктоо... 47... Чекиттин кыймылынын ылдамдыгы жана ылдамдануусу... 48..3. Чекиттин кыймылы координаттык ыкма менен берилсе, анын ылдамдыгын, ылдамдануусун аныкто... 49 3

..4. Чекиттин кыймылы табыйгы ыкма менен берилсе, ылдамдыгын, ылдамдануусун аныктоо... 5.. Катуу нерсенин кыймылдары... 54... Умтулма кыймыл... 54... Айлануу кыймылы... 55..3 Катуу нерсенин чекиттеринин ылдамдыктары жана ылдамдануулары... 56..4. Жарыш тегиздиктеги кыймыл. Жалпак нерсенин кыймылы 6..5. Жалпак фигуранын чекиттеринин ылдамдыгы жөнүндө теоремалар... 6..6. Ылдамдыктын ирмемдеги борбору... 63..7. Ылдамдыктын ирмемдеги борбурун колдонуп, жалпак фигуранын чекитинин ылдамдыгын аныктоо... 63..8. Ылдамдыктын ирмемдеги борбурун аныктоонун жолдору.. 64..9. Жалпак нерсенин чекитинин ылдамдануусун аныктоо... 69... Ылдамдануунун ирмемдеги борбору... 7... Ылдамдануунун ирмемдеги борборун колдонуп, жалпак нерсенин чекитеринин ылдамданууларын аныктоо... 7... Ылдамдануун ирмемдеги борборун аныктоонун кээ бир учурлары... 7..3. Сфералык кыймыл. Кыймылсыз чекиттин айланасындагы айлануу кыймылы... 79..4. Бир чекити байланган катуу нерсени которуу жөнүндө Эйлер-Даламбердин теоремасы... 79..5. Сфералык кыймылдагы катуу нерсенин чекиттеринин ылдамдыктары, ылдамдануулары... 8.3. Чекиттин татаал кыймылы... 8.3.. Ташыма, салыштырмалуу жана абсолюттук кыймыл... 8.3.. Ташыма алга умтулуу кыймылында ылдамдыктарды кошуу теоремасы... 84.3.3. Ылдамданууларды кошуу теоремасы... 85.3.4. Ар кандай ташыма кыйлда ылдамдыктарды кошуу жөнүндө теорема... 89.3.5. Ылдамдыктарды кошуу теоремасы. Кориолистин теоремасы... 9.3.6. Кориолистин ылдамдануусу, багыты жана модулу 93 III. ДИНАМИКА.. 98 3. Динамиканын И.Ньютондун закондору.. 98 3.3. Динамиканын негизги эки маселеси 99 3.3.. Динамиканын биринчи негизги маселеси... 99 3.3.. Динамиканын негизги экинчи маселеси.. 3.4. Термелүүлөр... 3.4.. Эркин термелүүлөр... 4

3.4.. Өчүүчү термелүү... 3 3.4.3. Аргасыз термелүүлөр... 5 3.4.4. Каршылык күчүнүн аргасыз термелүүгө таасири... 7 3.5. Механикалык система... 9 3.6. Механикалык системанын кыймылынын дифференциалдык теңдемелери... 3 3.7. Динамиканын жалпы теоремалары. Масса борборунун кыймылы жөнүндө теорема... 3 3.8. Кыймыл санынын өзгөрүшү жөнүндө теорема. Кыймыл саны. Күчтүн импульсу... 39 3.9. Материалдык чекиттин жана механикалык системанын өзгөрүшү жөнүндө теорема... 4 3.. Кыймыл санынын моментинин өзгөрүшү жөнүндө теорема.кыймыл санынын борборго (чекитке) жана окко карата моменти... 45 3.. Кыймыл санынын борборго карата моментинин өзгөрүшү жөнүндө теорема... 46 3.. Кинетикалык энергиянын өзгөрүшү жөнүндө теорема... 54 3... Чекиттин, механикалык системанын кинетикалык энергиясы... 54 3... Жумуш. Элементардык жумуш. Катуу нерсеге тиркелген күчтөрдүн жумушу... 55 3..3. Кинетикалык энергиянын өзгөрүшү жөнүндө теорема... 56 3.3. Эйлер Даламбердин принциби. Кинетостатика методу... 67 3.4. Виртуалдык (мүмкүн болуучу) которулуш. Виртуалдык которулуш принциби... 73 3.5. Динамиканын жалпы теңдемеси (Даламбер-Лагранждын принциби)... 84 3.6. Механикалык системанын дифференциалдык тендемесинин жалпыланган координаттар аркылуу жазылышы. Лагранждын экинчи типтеги тендемеси... 9 Колдонулган адабияттар... 5

I. СТАТИКА.. Катуу нерсенин статикасы Статика бөлүүмүндө катуу нерселердин тең салмактуулук абалдары жана күчтөрдү кошуу, түзүүчүлөргө ажыратуу бир күчтөр системасын башка жөнөкөй ага эквиваленттүү күчтөр системасы менен алмаштыруу жөнүндө каралат. Статиканын негизин анын аксиомалары түзөт.... Статиканын аксиомалары Аксиома. Эгерде абсолюттук катуу нерсеге эки күч аракет этсе, бул күчтөрдүн модулдары бири-бирине барабар,бир сызыкты бойлото карама-каршы багытталган учурда гана, нерсе тең салмактуу абалда болот. Аксиома. Нерсеге аракет эткен күчтөр системасына тен аракеттенүүчү күчтөр системасын кошуудан же алып таштоодон, нерсенин абалы өзгөрбөйт., аксиомадан төмөнкү тыянакка келсе болот. Тыянак. Күч тиркелген чекитти, бул күч аракет эткен сызыкты боюнча каалаган чекитке которсо болот. Аксиома 3. Нерсенин бир чекитине аракет эткен эки күч, ошол эле чекитке тиркелген бир тең аракет этүүчү күчкө эквиваленттүү. Тең аракет этүүчү күч, бул күчтөрдөн тургузулган параллелограммдын диоганалы боюнча багытталат, да күчтөрдүн геометриялык суммасына барабар, б.а. А F R F. чийме. анын модулу R = F + F R = F + F + F F cos F F ( ) (.). (.) Аксиома 4. Эки абсолюттук катуу нерсе бири-бирине модулдары F = F менен аракеттенишет. барабар, багыттары карама-каршы күчтор ( ) 6

Аксиома 5. Деформациялануучу нерсенин тен салмактуулугу, ал катуулангандан өзгөрбөйт. Байланыш жана байланыштын реакция күчү. Турмушта эки түрдөгү катуу нерселер кездешет: эркин жана эркин эмес нерселер. Мейкиндикте каалаган багытта кыймылдай алган нерсе эркин деп аталат. Мейкиндикте ар кандай тарапка кыймылдай албаган нерсе, эркин эмес нерсе деп аталат. Анын кыймылына башка бир нерселер тоскоол болот. Нерсенин тигил же бул кыймылына тоскоол болгон баардык нерселер байланыш деп аталат. Мисалы: шнурга илинген лампа, столдун бетинде (үстүндө) жаткан китеп ж.б. Лампа үчүн шнур, китеп үчүн столдун бети байланыш болуп эсептелет. Байланыштын нерсеге аракет эткен күчү байланыштын реакция күчү деп аталат. Реакция күчү, нерсе кайсы багытта кыймылдай албаса, ошол тарапка карама-каршы багытталат. Төмөнкү аксиоманын негизинде эркин эмес, катуу нерсени, эркин деп кароого болот. Аксиома 6. Байланыштан бошотуу аксиомасы. Байланышты алып таштап, анын аракетин реакция күчү менен алмаштырып, эркин эмес катуу нерсени, эркин деп караса болот. Статикалык маселелерди чыгарууда, байланыштын реакция күчтөрүнүн багыттарын туура аныктоо негизги ролду ойнойт. Ошондуктан, байланыштын түрлөрүн карап көрөлү.. Жылмакай бет же жылмакай таяныч. Катуу нерсе жылмакай беттин үстүндө жатат дейли. Байланыш жылмакай бет. Жылмакай бет нерсенин тик (нормаль) боюнча кыймылына тоскоолдук кылат. Ошондуктан реакция күчү нерсе менен беттин тийишип турган чекитке тик (нормаль боюнча) багытталат (. - чийме). N τ. чийме.. Жип, трос, шнур. Катуу нерсе жип (байланыш) аркылуу А чекитине илинип коюлган. Байланыш (жип) нерсенин (В-ын) жип боюнча А чекитинен алысташына тоскоол болот. Ошондуктан, жиптин реакция күчү T, жипти бойлото А- чекитине багытталат (.3 - чийме). 7

А T B.3 - чийме. 3. Эркин жөлөнүү. Катуу нерсе В-чекитине эркин жөлөнүлүп коюлса жана пол жылмакай болсо, анда R - полдун реакция күчү полго тик, R B нерсенин тегиздигине тик багытталышат (.4 - чийме). В R B R А.4 чийме. 4. Цилиндрлик кыймылдуу жана кыймылсыз шарнир. Өзөкчө А - чекитинде кыймылдуу, В - чекитинде кыймылсыз шарнир менен бекитилген. Өзөкчө үчүн байланыш кыймылдуу шарнир А жана кыймылсыз шарнир В болот. А - шарнири өзөкчөнү вертикаль боюнча кыймылына тоскоол болот. Ошондуктан, А - шарниринин реакция күчү таянычка тик багытталат. В - шарниринин реакция күчүнүн багыты, модулу алдын ала белгисиз болгондуктан, анын түзүүчүлөргө X B, YB ажыратып, анын модулун (3 - аксиомага) ылайык табабыз (.5 - чийме). R А Y B В.5 чийме. X B 5. Сфералык шарнир. Сфералык шарнир менен бекитилген нерсе эч бир тарапка кыймылдай албайт. Реакция күчүнүн багыты, модулу алдын - 8

ала белгисиз. Ошондуктан, реакция күчүн X, Y, Z боюнча багыттап, анан 3 - аксиоманы колдонуп, R - реакция күчүн аныктайбыз (.6 - чийме). Z X Y.6 чийме. Тегиздиктеги күчтөр системасы. Кесилишкен күчтөр системасы... Күчтөр системасын кошуунун геометриялык жолу Катуу несеге аракет эткен күчтөрдүн, аракет эткен сызыктары бир чекитте кесилишсе, бул күчтөр системасы кесилишкен күчтөр системасы деп аталат. Кесилишкен күчтөр системасын кошуунунун үч жолу бар: геометриялык, аналитикалык жана графикалык. Геометриялык ыкманы карап көрөлү. Катуу нерсени А чекитине F, F кесилишкен күчтөр аракет этет дейли. 3 - аксиомага ылайык, булардын тең аракет этүүчүсү, жактары F, F барабар параллелограммдын диоганалы же күчтөрдөн тургузулган уч бурчтуктун (күчтүк уч бурчтуктун) биринчи күч F менен F күчүн болот туташтыруучу сызык (.7 - чийме а,б). а) F R б) А F F F R.7 чийме. Катуу нерсеге кесилишкен күчтөр системасы F, F, F3, F4,..., Fn аракет этет дейли. Бул күчтөр системасын кошуу талап кылынат. 3 - аксиоманы колдонуп, күчтөрдүн көп бурчтугун тургузабыз. F - күчүнүн учунан F күчүн өзүнө жарыш которобуз. F күчүнүн учунан F 3 - күчүн өзүнө жарыш, анын учунан F 4күчүн өзүнө жарыш тиркейбиз. 9

а) F б) О F F F F 3 F 4 F 3 R F 4.8 чийме. F 4 күчүнүн учун F күчү тиркелген баштапкы чекити менен туташтырып, күчтүк көп бурчтук тургузабыз. Тең аракет этүүчү күч R көп бурчтуктун туюктоочу жагы менен дал келишет. Эгерде F, F, F3, F4,..., Fn күчтөрү бир жакты көздөй багытталышса, тең аракет этүүчү күч R, аларга карама-каршы багытталат (.8 - чийме, а,б). Ошентип, биз төмөнку теоремага келебиз. Теорема: Тегиздикте жайгашкан кесилишкен күчтөр системасы бир тең аракет этүүчү күчкө эквиваленттүү. Тең аракет этүүчү күч, күчтөр аракет эткен сызыктарынын кесилишкен чекитине тиркелген жана алардын геометриялык суммасына барабар, б.а. R = F + F +... + Fn = Fi (.3)..3. Тегиздиктеги кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттарынын геометриялык түрү Кесилишкен күчтөр системасы тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтүк көп бурчтуктун туюк болушу зарыл жана жетишээрлик болот (.9 - чийме). F F F 3 О F 6 F 4.9 чийме. F 5 Кесилишкен күчтөр системасынын тең аракет этүүчүсү нөлгө барабар, б.а.

R = F i = (.4) Катуу нерсеге аракет эткен кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттарын колдонуп маселе чыгарып көрөлү. Маселени төмөнкү тартипте чыгаруу сунуш кылынат.. Белгисиз чондуктарды аныкташ үчүн, аденгенде тең салмактуулук абалы каралып жаткан катуу нерсени тандап (бөлүп) алуу керек.. Берилген күчтөрдү чиймеде көрсөтүү зарыл. 3. Байланыштан бошотуу аксиомасын колдонуп, нерсеге аракет эткен реакция күчүн көрсөтүү керек. 4. Нерсенин тең салмактуулук абалын карап, туюк күчтүк көп бурчтук тургузуу керек. Көп бурчтукту модулу, багыты белгилүү күчтөн баштап тургузуу керек. 5. Маселени чыгарып, белгисиз чоңдуктарды табуу талап кылынат. Мисал -.. Сферанын жылмакай бетинде жаткан В - шары, АВ жиби аркылуу А чекитине бекитилген. Сферанын радиусу r, шардын салмагы P ; аралык АО=d, жиптин узундугу АВ= м. Жиптин тартылуу күчүн жана сферанын реакция күчүн тапкыла? Берилди: P, r, B = l, O = d T -? N -? Чыгаруу: Маселени геометриялык жол менен чыгаралы (.а - чийме). В - шарынын тең салмактуулук абалын карайбыз. Шар эркин нерсе эмес, шар үчүн сферанын бети жана жип байланыш болот. Берилген күч, анын салмагы P. а) А С r T N В P б) в) T N P P T N О. - чийме. Байланыштан бошотуу аксиомасын колдонуп, жиптин тартылуу күчү T - ны жипти бойлото А чекитин көздөй, сферанын реакциясы N - ди ОВ радиусу боюнча багыттайбыз (. б -чийме). Шар В, күчтөр T, N, P аракети астында тең салмактуулук абалда болот. Ошондуктан, булардан тургузулган үч бурчтук, туюк болушу зарыл. P - күчүнүн модулу, багыты белгилүү болгондуктан аны өзүнө жарыш алып келебиз. P - күчүнүн учунан N -

күчүнө жана P - күчү тиркелген чекиттен T - күчүнө жарыш сызык жүргүзөбүз. Бул эки сызык кесилишкен чекит T жана N күчүнүн багытын аныктайт (. в чийме). Күчтүк үч бурчтуктун жактары, ОАВ үч бурчтугунун жактарына жарыш болгондуктан, бул үч бурчтуктар окшош болот.үч бурчтуктун окшоштугунан P N T P OB P r = = ; мындан N = = O OB B O d P B P l T = = болот. O d Мисал.. АС жана ВС өзөкчөлөрү өз ара жана дубал менен шарнирлер аркылуу өзөкчөлөр дубал менен бекитилген. С шарнирине вертикаль боюнча багытталган P = Н күч аракет этет. α=3, β=6, бурчтары түзөт. Өзөкчөлөрдүн реакция күчтөрүн тапкыла? Берилди: β=6, α=3, Р= Н Табуу керек: S, S -? а) Чыгаруу: С шарниринин тең салмактуулук абалын карайбыз. Шарнир С үчүн АС жана ВС өзөкчөлөр байланыш болот. б) А α β В S С S P. чийме. P S α β S Байланыштан бошотуу аксиомасын колдонуп, S жана S реакция күчтөрүнүн багыттарын көрсөтөбүз (. - чийме). Шарнир С тең салмактуулук абалда болуш үчүн, P, S, S векторлорунан тургузулган үч бурчтук туюк болушу керек. Күчтүк үч бурчтук тургузабыз. P - күчүн өзүнчө жарыш О чекитине көргөзөбүз. Анын учунан, S күчүнө жарыш, P - күчүнүн баштапкы чекитинен S күчүн өзүнө жарыш которобуз. P - күчү менен S - күчүнүн ортосундагы бурч β=6, P - күчү менен S - күчүнүн ортосундагы бурч

α=3 барабар болот (. - чийме). Бул күчтүк уч бурчтук, тик бурчтук болот. S = Pcosβ = 5 H, S = Pcosα = 866H..4. Күчтүн окко жана тегиздикке түшүрүлгөн проекциялары Статикада маселелерди чыгаруу үчүн аналитикалык ыкма колдонулат. Аналитикалык ыкманы колдонуу үчүн, күчтөрдүн окторго, тегиздикке түшүрүлгөн проекцияларын билүү зарыл. ) Күчтүн окко түшүрүлгөн проекциясы Нерсенин А чекитине F, F күчтөрү аракет этет дейли (. а,б - чийме) а) А α F В б) В F β α А а b х b а х. чийме. F, F -күчүнүн огуна түшүрүлгөн проекцияларын табыш үчүн А жана В чекиттеринен огуна a, Bb тик сызыктарын жүргүзөбүз; ab, ab аралыгынын узундугу күчтүн окко түшүрүлгөн проекциясы деп аталат. Ошентип, күчтүн окко түшүрүлгөн проекциясы күчтүн модулун, күч менен октун ортосундагы бурчтун косинусуна көбөйткөнүнө барабар, скалярдык чондук. F = ab = F cos( F; ) = F cosα (.5) F = ab = F cos( F; ) = F cosα = F cos β (.6) ) Күчтүн тегиздикке түшүрүлгөн проециясы Күчтүн тегиздикке түшүрүлгөн проециясы вектордук чондук. Күчтүн огуна түшүрүлгөн проекциясын табыш үчүн, адегенде аны Оy тегиздигине проекциялап Fy = F cos β, андан кийин F y - ти, огуна проекциялайбыз, б.а. (.3 - чийме). F = F cosα = F cos β cosα (.7) y F = F sinα = F cos β sinα (.8) y 3

z F β F y F O α F y F y y.3 чийме...5. Кесилишкен күчтөр системасын кошуунун аналитикалык ыкмасы Тегиздикте F, F,..., F n күчтөр системасы берилген...3. параграфта бул күчтөрдү геометриялык жол менен кошуп, бир тең аракет этүүчү күчкө келтиргенбиз, б.а. (.9) R = F i y O F F R.4 чийме. F n Геометриядан белгилүү болгондой кандайдыр бир окко түшүрүлгөн вектордук сумманын проекциясы, векторду түзүүчүлөрүнүн окко түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммасына барабар (.9) тендеменин проекциясы R = F, R = F (.) i y iy тең аракет этүүчү күчтүн модулу багыты R = R + R = F + F ( ) ( ) (.) y i iy R cos(, ) R R =, cos( R, y) = y R R 4 (.)

формулалары менен аныкталат...6. Кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары Жогоруда көрсөтүлгөндөй кесилишкен күчтөр системасы качан гана күчтүк көп бурчтук туюк болгон учурда, б.а. R = тең салмактуулук абалда болот. Эгерде (.) тендеменин ар бир түзүүчүсү бир учурда нөлгө барабар R = болгондо гана тең салмактуулук абалда болот, б.а. F =, F = i iy (.3) Тегиздикте кесилишкен күчтөр системасы тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтөрдүн ар бир эки координаттык окторго түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммалары нолго барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. Кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук абалынын шарттарын аналитикалык ыкмасын колдонуп, маселе чыгарып көрөлү. Маселени төмөнкү тартипте чыгаруу сунуш кылынат: ) Белгисиз чондуктарды табыш үчүн, тең салмактуулугу каралып жаткан нерсени бөлүп алыш керек. ) Берилген күчтөрдү чиймеде көрсөтүү керек. 3) Нерсе, эркин болбосо, байланыштан бошотуп, эркин нерсе деп кароо керек. Башкача айтканда реакция күчтөрүнүн багыттарын чиймеде көрсөтүү керек. 4) Координаттык окторду жүргүзүү керек. 5) Тең салмактуулук абалынын теңдемелерин түзүү керек. 6) Бул теңдемелерди чыгарып, белгисиз чондуктарды табыш керек. Мисал.3. Салмагы Н электр лампасы үйдүн төбөсүнө АВ жиби, дубалга ВС жиби аркылуу бекитилген. Эгерде бурч α=6, β=35 болсо, АВ жана ВС жибинин тартылуу күчүн тапкыла? Жиптин салмагы эске алынбайт. Берилди: P= H, α=6, β=35 Табуу керек: T, T -? Чыгаруу: Электр лампасы В-нын тең салмактуулук абалын карайбыз. Ал үчүн жиптер АВ жана ВС байланыш болот. Лампа эркин эмес болгондуктан байланыштан бошотобуз, T, T - тартылуу күчтөрү АВ жана ВС жиптерин бойлото А жана С чекиттерине багытталышат (.5а - чийме). Координаттык окторду жүргүзөбүз (.5б - чийме). 5

а) б) 6º А y 35º С T В T T 45º 6º В P T.5 чийме. Лампа тең салмактуулук абалда тургандыктан, күчтөрдүн ар бир,y окторго түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммалары нөлгө барабар болуш керек, б.а. Fi = T cos6 T cos 45 = Fiy = P + T cos3 + T cos 45 = биринчи тендемеден 3 T = T ; P + T + T = мындан T =,4 H, T = 4,6H Мисал.4...3 параграфтын экинчи мисалын эми аналитикалык жол менен чыгарып көрөлө. Шарнир С тең салмактуулук абалда болгондуктан, координаттык окторду жүргүзүп (.6 - чийме), шарнир С - нын салмактуулук абалынын теңдемелерин түзөбүз: F = S cos3 S cos 6 = i Fiy = P + S cos 6 + S cos3 = бул тендемелерди чыгарып S, S аныктайбыз. Биринчи теңдемелерден S cos3 S = = S 3 ; cos6 экинчи теңдемеге коюбуз: 3 3 P + S + S =. Мындан S = 5 H, S = 866H. 6

y S 6º 6º S P.6 чийме. Тегиздикте ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасы..7 Күчтүн чекитке (борборго) карата моменти Эгерде катуу нерсеге F - күчү аракет этсе, нерсе борбордун (чекиттин) тегерегинде айланууга аракеттенет. Күчтүн аракеттенүү өлчөмү анын моменти менен ченелет. Күчтүн борборго карата моменти m ( ) F, күчтүн модулун анын ийнине көбөйткөнгө барабар, борбордон күч аракет эткен сызыкка түшүрүлгөн тик сызык h - ийин деп аталат. m F = ± F h ( ) Эгерде күч нерсени сааттын жебесине карама - каршы айландырууга аракет этсе, оң (+) белгиси менен (.7 - чийме) тескерисинче болсо терс (-) белги менен алынат (.8 - чийме). F F А h h О О.7 чийме..8 чийме. Күчтүн борбого карата моменти, күч аракет эткен сызык борбор m F =. аркалуу өтсө, нөлгө барабар болот, б.а. ( )..8. Жарыш күчтөрдө кошуу. Бир жакка багытталган эки жарыш күчтөрдүн ( F, F ) тең аракет этүүчүсү R, физика курсунан белгиленгендей, күчтөрдүн суммаларына 7

барабар, R = F + F, тең аракет этүүчү күчтүн тиркелген чекиттин абалы F B = катышы менен аныкталат (.9 - чийме). F А В С F F R. Карама - каршы багытталган, эки жарыш күчтөрдүн тең аракет этүүчүчсү R, алардын айырмасына барабар, R = F F жана модулу чоң күчтүн F багыттын оздой багытталат (. - чийме), тең аракет этүүчү F B күчтүн тиркелген чекитинин абалы = теңдемеси менен аныкталат. F F.9 чийме. F R А В С. чийме. 3. Кош-жарыш күч жана анын тең салмактуулук шарттары. Модулдары барабар, карама - каршы багытталган эки жарыш күч, кош - жарыш күч деп аталат. Бул күчтөрдүн аракет эткен сызыктры бирибирине дал келбегендиктен, ал аракет эткен нерсе, тең салмактуулук абалда боло албайт. Кош - жарыш күч нерсени айландырууга аракет этет, анын аракети момент менен ченелет. Кош - жарыш күчтүн моменти, ал күчтөрдүн бирөөсүн модулун ийинге көбөйткөнгө барабар, б.а. m = ± F h. Эгерде кош-жарыш күч нерсени сааттын жебесине карама - каршы айландырса оң (+) белги менен (.,. - чийме), жебе боюнча айландырса терс (-) белги менен алынат. h А F В F F h В F чийме. чийме. 8

Кош - жарыш күчтөр жөнүндө теоремалар. Кош - жарыш күчтү, ал аракет эткен тегиздик боюнча которуудан, нерсенин абалы өзгөрбөйт.. Кош-жарыш күчтүн моменти (m), момент алып жаткан борбордун (чекиттин) абалына көз каранды болбойт. 3. Моменттери барабар кош-жарыш күчтөр эквивалентүү болот. 4. Бир нече кош - жарыш күчтөрдү кошуп, бир тең аракет эттүүчү кошожарыш күч менен алмаштыруга болот. Анын моменти бардык кош - жарыш күчтөрдүн моменттеринин суммасына барабар, б.а. M = m + m + m + + m = m. (.4) 3... n i..9. Кош - жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук абалы Катуу нерсете аракет эткен кош-жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук абалда болушу үчүн, кош-жарыш күчтөрдүн моменттеринин алгебралык суммасы нөлгө барабар болуш зарыл жана жетишээрлик болот, б.а. M = m i = (.5)... Күчтү борборго келтирүү Күчтү жарыш которуу Пуансонун методу. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасын бир чекитке келтирүү үчүн, Пуансонун методу колдонулат. Нерсенин А чекитине аракет эткен F күчүн,өзүнө жарыш ар кандай О чекитине которуу үчүн, моменти которулуп жаткан күчтүн ( F ), О чекитине карата моментине барабар, кош күчтү кошуп которууга болот, б.а. (.3 - чийме). m = m F ( ) (.6) А F F О F F А mo О F ( ) F.3 чийме..4 чийме. 9

Нерсенин А чекитине F күчү аракет этет дейли. Бул күчтү өзүнө жарыш келтирүүнүн борбору деп аталган О чекитине жарыш которууга болобу? Болот. Пуансону методуна ылайык О чекитине модулу F күчүнө F = F күчтөрдү тиркейбиз (.3 - чийме). F жана F күчтөрү барабар ( ) модулдары барабар багыттары карама - каршы багытталгандыктан кош - жарыш күчтү түзөт. Анын моменти F күчүнүн О - чекитине карата моментине барабар, б.а. m( F, F ) = mo ( F ) = F h (.7) Ошентип, F үчүн өзүнө жарыш А чекитинен О чекитине которуп, F жана моменти F күчүнүн келтирүүнүн борборуна карата моментине барабар кош - жарыш күчтү алабыз (.4 - чийме).... Ар кандай багыттаты күчтөр системасын борборго келтирүү Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасын бир О борборуна келтирип, башкы вектор R = R жана башкы моментти алууга болот (.5 - чийме). Башкы вектор күчтөрдүн геометриялык суммасына R = R = Fi барабар. Башкы момент күчтөрдүн О борборуна карата моменттеринин M = m F (.5 - чийме). алгебралык суммасына барабар, б.а. ( i ) z m 3 M m m F F F 3 R O y.5 чийме. модулу багыты Башкы вектордук окторго түшүрүлгөн проекциялары R = F, R = F, (.8) i y iy ( ) ( ) i iy (.9) R = F + F

cos ( ) R R, cos( R y) R = = y R R аркылуу аныкталат. (.)... Тең аракет этүүчү күчтүн моменти жөнүндө Вариньондун теоремасы Тең аракет этүүчү күчтүн кандайдыр бир борборго (чекитке) карата моменти, аны түзүүчү күчтөрдүн ошол борборго карата моменттеринин алгебралык суммасына барабар б.а. ( m ) R m F i. (.) ( ) = Күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары. Башкы вектор жана башкы момент бир учурда нөлгө барабар болсо, бул күчтөрдүн таасири астында турган катуу нерсе тең салмактулук абалда болот б.а. R =, M =. Тең салмактуулук шарттарын жазып көрөлү. I. Ар кандай багытталган күчтөр системасы аракет эткен катуу нерсе тең салмактулук абалда болуш үчүн, бул күчтөрдүн ар бир эки окко ( жана y) түшүрүлгөн проекцияларынын суммасы жана күчтөрдүн ар кандай чекитке карата моменттеринин алгебралык суммасы нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. F =, F =, m ( F ) = i iy i (.) II. Каалагандай багытталган күчтөр системасы тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтөрдүн ар кандай эки чекитке (А,В) карата моменттеринин алгебралык суммасы жана бул күчтөрдүн А жана В чекити аркалуу өтүүчү түз сызыкка тик багытталбаган окко (х) түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммасы нөлгө барабар болушу зарыл жэтишээрлик болот б.а. F =, m F =, m F =. (.3) ( ) ( ) i i B i III. Ар кандай багытталган күчтөр системасы тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтөндүн бир жүз сызыкта жатпаган ар кандай үч чекитке карата (А,В,С) моменттеринин алгебралык суммасы нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. m F =, m F =, m F =. (.4) ( ) ( ) ( ) i B i i

..3. Жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук шарттары Катуу нерсеге аракет эткен жарыш күчтөрдүн тең салмактулук абалы төмөнкү теңдемелер менен аныкталат. Катуу нерсеге аракет эткен жарыш күчтөр тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтөрдүн аларга жарыш окко түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммасы жана күчтөрдүн кандайдыр бир чекитке карата моменттеринин алгебралык суммасы нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот, б.а. ( i ) F iy =, m F = (.5) y F F 3 F 4 О F х.6 чийме. Маселе чыгарууга көрсөтмө Катуу нерсеге аракет эткен ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттарынын теңдемелерин колдонуп, маселе чыгаруу тартибин карап көрөлү.. Тең салмактуулук абалы каралып жаткан нерсени болуп кароо.. Берилген күчтөрдүн багытын көрсөтүү. 3. Нерсени байланыштан бошотуп, реакция күчтөрүн чиймеден көрсөтүү. 4. Координаттар системасын тандоо. 5. Тең салмактуулук теңдемелерин түзүп, реакция күчтөрдү аныктоо. Мисал.5. Салмагы Р=4кН барабар консолдук балка АD, кыймылдуу В жана кыймылсыз А таянычтарда жатат. Балканын А чекитине F=8 кн аракет этет. Балканын D аралыгына интенсивдүүлүгү q =,5 kh / мтегиз бөлүштүрүлгөн күчтөр жана моменти m = 6 kh м кош-жарыш күч аракет этет. B,D таянычтарынын реакция күчтөрдүн тапкыла?

Берилди: Р=4 кн F=8 кн q=,5 кн/м m=6 кн м R B -?R D -? F m y F m B R B P q D Q R D P м м м м м.7 чийме. Чыгаруу: Консолдук балканын тең салмактулуук абалын карайбыз. Балкага F, P жана тегиз бөлүштүрүлгөн көчтүрдүн тең аракет этүүчү Q = q D =,5 = кнжана моменти m = 6 kh мкош - жарыш күч аракет этет. Балканы байланыштан бошотуп, таянычтарды алып таштап, анын аракетин реакция RD, RB күчтөрү менен алмаштырабыз. Координаттык ок (,y) жүргүзөбүз. Тең салмактулук теңдемелерди түзөбүз: Fiy = F + RB P Q + RD = mb( F i) = P Q 3 + RD 4 m + F = Мындан P + Q 3 + m F RD = =,75кН 4 R = P + F + Q R = 3,75кН B D Мисал.6. Балканын А учу кыпчылып бекитилген. Балканын D аралыгында интенсивдүүлүгү q=,8 кн/м тегиз бөлүштүрүлгөн күчтөр, моменти m=, кн/м кош - жарыш күчтөр жана α=45 бурч менен F=кН күч аракет этет. Реакция күчтү тапкыла? 3

Берилди: q=,8 кн/м m=, кнм F= кн α = 45 X -?Y -? M -? y M m м Y m X 3 м Q q D,5 м F α D B м F α B Чыгаруу: АВ балкасынын тең салмактулук абалын карайбыз. Интенсивдүүлүгү q=,8 кн/м бөлүштүрүлүп аракет эткен күчтөрдү бир күч Q=3 q=,4 кн менен алмаштырабыз. Балкага аракет эткен күчтөр F, Q жана момент m. Байланыштан бошотуп, анын аракетин X, Y. Реакция күчтөрү жана реактивдик момент M менен алмаштырабыз. Координаттык окторду х,у тандап алабыз. Балка бул күчтөрдүн жана моменттердин аракет астында тең салмактуулук абалда болгондуктан, ал төмөнкү теңдемелерди канагатандырышы талап кылынат. F = X + F cosα = мындан i Fiy = Y Q F sinα = m( F i) = M + m Q 3,5 F sinα 6 = M = F sin 45 6 + Q 3.5 m = 5,66кН м X = F cosα =,4кН Y = Q + F sinα = 3,8кН.8 чийме. Мисал.7. Салмагы P= Н бир тектүү балка дубалга А шарнири аркалуу бекитилген. Балканы дубалга карата 45 бурчта кармап туруу үчүн, салмагы G жүгү илинип коюлган. В чекитине бекитилген, BG жибин учуна жип B вертикаль(тик) менен 3 бурч түзөт. Балканын D чекитине салмагы Н жүк илинген. BD=/4B. Блоктогу сүрүлүүнү эсепке албай, А шарниринин реакция күчтөрүн жана G жүгүнүн салмагын тапкыла? 4

Берилди: Р=Н Q=Н BD=/4B G-? X -? Y -? G G T 3º B h D Q Y 5º P h y X h Чыгаруу: Балка АВ - нын тең салмактуулук абалын карайбыз. Берилген күчтөр Q, P багыттарын көрсөтөбүз. Байланыштан бошотуу принцибин колдонуп, жипти кесип, анын тартылуу күчүн T=G (сүрүүлү жок), жана X, Y шарнирдин реакция күчтөрүн коебуз. Тең салмактуулук теңдемени түзөбүз: F = X T cos 6 = i Fiy = Y P Q + T cos3 = m F = P h + Q h T h = ( i ) чиймеден ийиндер h, h, h аныктайбыз h = B cos5, B h = cos 45, 3 h = B cos45. 4 Бул теңдемелерден: P 3 B + Q cos45 4 G = T = = 46 H B cos5 Y = P + Q T cos3 = 73 H X = T cos 6 = 73H.9 чийме. 5

..4. Катуу нерселер системасынын тең салмактуулугу Көптөгөн инженерлик конструкциялар бири-бири менен кандайдыр байланыштар аркылуу бириктирилген, нерселер системасынын турат. Конструкцияны түзгөн нерселердин ортосундагы байланыш ички байланыш деп аталат. Нерселер системасына маселе чыгаруунун негизги максаты, ички жана тышкы байланыштардын реакция күчүн аныктоо болуп саналат. Бул маселелерди чыгаруулун эки ыкмасы бар:. Конструкцияны өз - өзүнчө нерселерге (бөлүктөргө) ажырап, ар бир нерсенин тең салмактуулук абалын өзүнчө карап, анын тең салмактуулук теңдемесин түзүү.. Конструкцияны бир нерсеге деп кабыл алып, анын тең салмактуулук абалын карап, тең салмактуулук теңдемелерин түзүп, андан кийин, конструкцияны бөлүктөргө (нерселерге) ажыратып, анын бөлүктөрүнүн тең салмактуулук абалын өз - өзүнчө караса болот. Ар бир нерселер системасынын белгилүү санда тең салмактуулук теңдемелери болот. Мисалы: мейкиндикте N - нерселерден (бөлүктөрдөн) турган нерселер системасына, ар кандай багытта аракет эткен күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары (теңдемелери) 6N, ал эми тегиздикте ар кандай багытта аракет эткен күчтөр системасынын тең салмактуулук теңдемелерин 3N болот. Нерселер системасы эки катуу нерседен турат дейли (.3 - чийме).. Нерселер системасын шарнир (С) аркалуу кесип эки нерсеге бөлөбүз. F, F, R, R, X, Y сырткы күч болуп Системага аракет эткен күчтөр ( B E ) эсептелет. Системанын кесүү тегиздигинин эки жагындагы өз ара аракет X, Y, X, Y ички күчтөр болот. этүүчү күчтөр ( ) y a) Y X F α B R B E R E F D б) в) Y X F α B R B X Y Y X E R E F D.3 чийме. 6

Кесилиштеги ички күчтөр статиканын аксиомасына ылайык өз ара бири - бирине барабар болот, б.а. системанын биринчи нерсени (АС) экинчи нерсесине кандай күч менен аракет этсе, экинчи нерсе биринчи нерсеге X, Y X = X, Y = Y. ошондой эле күч менен ( ) аракет этет, б.а. ( ) ( ) Каралып жаткан нерсе тең салмактуулук шартын канаттандырыш керек. Ар бир нерсе үчүн тең салмактуулук шартын түзүп, белгисиз реакция күчтөрүн аныктайбыз.. Нерселер системасын бир нерсе деп карап, статиканын үч теңдемесин түзөбүз. Анан нерселерди шарнир аркалуу кесип, экиге бөлөбүз. Кесилген нерсенин бирөөнүн тең салмактуулук шартын түзүп, реакция күчтөрүн аныктайбыз. Төмөнү мисалдарды карап көрөлү. Мисал.8. Жылмакай горизонталдык тегиздикте турган тепкич, бири - бири менен шарнир С жана жип EF аркалуу байланышкан. АС, ВС бөлүктөрдөн турат (.3 - чийме). Тепкичтердин ар биринин узундугу 3м салмактары Н барабар. D - чекитинде салмагы 7 Н адам турат. E=BF=м. Полдун жана С шарниринин реакция күчтөрүн аныктагыла? Берилди: P =P =Н y P 3 =7Н B=B=3м E=BF=м D=,6 м R B -? R -? R Е 45º P 3 D P 3 P F R B B X -?Y -?.3 чийме. P Чыгаруу: Тепкичти С шарнирин боюнча кесип, анын эки (АС, ВС) бөлүктөрүнүн тең салмактуулук өз өзүнчө карайбыз. Аны ички (шарнир С жип EF) жана сырты жылмакай байланыштан бошотуп, реакция күчтөрүн коебуз. АС бөлүгүнө P, жана реакция күчтөрү R, X, Y, T аракет этет (.3а - чийме). 7

y R Е 45º P 3 T Y X Тең салмактуулук теңдемелерин түзөбүз: F i = T X = (.6) F iy = R P Y = (.7) m ( Fi ) = X sin 45 Y cos45 (.8) P cos 45 T E sin 45 = Экинчи ВС бөлүгүнүн тең салмактуулук абалын карайбыз (.3б - чийме). Бул бөлүккө аракет эткен күчтөр P, P3 жана реакция күчтөрү R B - полдун, Т - жиптин тартылуу, X, Y - шарнирдин реакция күчтөрүн коебуз. X = X, Y = Y, T = T. Статиканын аксиомасына ылайык ( ) Тең салмактуулук теңдемесин түзөбүз: Fi = X T = (.9) F iy = R B P P Y 3 = (.3) m F = B ( ) i X B sin 45 Y B cos45 + P BD cos45 + X Y.3б чийме. 3 B + P cos 45 + T E sin 45 = D P 3 T P.3а чийме. 8 F R B B P (.3)

(.6) жана (.9) теңдемелерден X = T; X = T белгилүү болот. (.8) жана (.9) теңдемелерден sin 45 = cos 45 болгондуктан sin 45 бөлөбүз, да системаны чыгарып, X 3 + Y 3 P,5 T = X 3 + Y 3 + P3,4 + P,5 + T = 6 Y =,4 P3 же Y = 88 H X = ± 5 H; T = ± 5 H, аныктайбыз. (.3) жана (.7) теңдемелерден R = P Y = 48 H RB = P + P3 Y = 55 H. Маселени экинчи ыкма менен чыгарып көрөлү (.3 - чийме). Тепкичтин тең салмактуулук абалын карайбыз. Ага аркет эткен күчтөр P, P, P3. Байланыш жылмакай бет болгондуктан, анын реакция күчү R, RB бетке тик багытталат. Тепкичтин тең салмактуулук шартын түзөбүз: Fiy = P P P3 + R + RB = B m ( Fi ) = P cos45 P + cos45 ( ) P3 + D cos 45 + RB B = мындан R =48 H, R B =55 H. С - шарниринин реакция күчтөрүн табуу үчүн кесүү методун колдонобуз. С-шарнири боюнча кесип тепкичти экиге АС,ВС бөлүп, бир жагынын (АС) тең салмактуулук абалын карайбыз. Нерсени байланыштан бошотуп, X, Y, T реакция күчтөрүн тиркейбиз. Нерсе тең салмактуулук абалда тургандыктан, ал үч теңдемени канаттандырыш керек. F = X + T = мындан i Fiy = R P + Y = m Fi = P + T E R = ( ) cos 45 cos 45 cos 45 T=5 H, X =-T= ± 5 H, Y = ± 88 H. Мисал.9. Көпүрө бири - бири менен шарнир (А) аркалуу байланышкан эки бөлүктөн турат. Ал жээкке шарнир В жана С шарнирлери аркалуу бекитилген. Алардын салмагы бирдей 4 кн, жана D,E борборлорго тиркелген (.3 - чийме). Көпүрөнүн үстүнө салмагы Р=кН жүк коюлган. А,В,С шарнирлеринин реакция күчтөрүн аныктагыла? 9

Берилди: P =P =4кН Р=кН X -? Y -? y м D P 3 м м 4 м P P А E м X B -? Y B -? 4 м X -? Y -? B м.3 чийме. Чыгаруу: Көпүрөнүн тең салмактуулук абалын карайбыз. Кесүү методун колдонуп, көпүрөнү А шарниринен эки бөлүккө ажыратабыз да ар бир бөлүгүнүн тең салмактуулугун өз өзүнчө карайбыз. Бул үчүн ар бир бөлүгүн сырткы жана ички байланыштардан бошотобуз. Көпүрөнүн сол бөлүгүнө P, P күчтөрү, А жана В шарнилеринин реакция күчтөрү аракет этет (.3а - чийме).тең салмактуулук теңдемесин түзөбүз: F i = X X B + =, (.3) F iy = Y + Y P P B = (.33) m ( F B i) = P P 4 + Y 5 X 4 = (.34) Көпүрөнүн оң бөлүгүнүн тең салмактуулук абалын карайбыз. Ага аракет эткен күч P, С,А шарнирлеринин реакция күчтөрү X, Y, X, Y болот. Статиканын аксиомасына ылайык болот. X = X, Y = Y. P D P Y P X X А А Y E Y B B X B а) б).3 а,б чийме. Y X Көпүрөнүн сол бөлүгү тең салмактуулук абалын карайбыз (.3б - чийме). Тең салмактуулук теңдемелесин түзөбүз: F i = X X = (.35) 3

Fiy = Y + Y P = (.36) m ( F i) = P + Y 5 + X 4 = (.37) Бул теңдемелер системасынан акыркы (.34), (.37) теңдемени чогуу чыгарып P + Y 5 + X 4 = P P 4 + Y 5 X 4 мындан X = ± кн; Y = ± 8кН (.3) жана (.35) теңдемелерден X = X B, X = X жана (.33) (.36) теңдемелерден X B = X = кн; YB = 5 кн; Y = 48 кн; аныктайбыз. Мейкиндиктеги күчтөр системасы...5. Кесилишкен күчтөр системасы. Кесилишкен күчтөр системасын кошуу. Тең салмактуулук шарттары... параграфынан белгилүү болгондой кесилишкен күчтөр системасы бир тең аракет этүүчү күчкө эквивалентүү, б.а. R = F i (.38) Бул формуланын проекциялары R = F, R = F, R = F анын модулу (.39) i y iy z iz ( i ) ( iy ) ( iz ) (.4) R = F + F + F багыты R R cos( R ) =, cos( R y) y Rz =, cos( R z) = (.4) R R R менен аныкталат. Кеслилшкен күчтөр тең салмактуулук абалда болушу үчүн тең аракет этүүчү күч нөлгө барабар болушу керек, б.а. R =. же F =, F =, F = i iy iz (.4) Мейкиндикте кесилишкен күчтөр тең салмактуулук абалда болушу үчүн, бул күчтөрдүн ар бир үч координаттык окторго түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммалары нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. Мейкиндикте жайланышкан кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук абалын колдонуп маселе чыгаруу ыкмасы.. Тең салмактуулугу каралып жаткан нерсени бөлүп алуу керек 3

. Ага аракет эткен күчтөрдү тиркөө, чиймеде көрсөтүү. 3. Байланыштан бошотуп, байланыштын аракетин реакция күчтөрү менен алмаштыруу. 4. Координаттык окторду жүргүзүү. 5. Нерсенин тең салмактуулук абалынын шарттарын түзүү. 6. Бул теңдемелерди чыгарып, реакция күчтөрүн аныктоо талап кылынат. Маселе чыгарып көрөлү. Мисал.. Үч АО, ВО жана СО өзөкчөлөрү бири бири менен О шарниринде бекитилген. АО жана ВО өзөкчөлөрү горизонталдык тегиздикте жатышат, дубал менен α = 6 бурчту түзүшөт. Өзөкчө ОС дубал менен β = 3 бурчун түзөт. О шарнирине Р = 3 Н күч тиркелген. Өзөкчөлөрдүн реакция күчтөрүн тапкыла? А a) α Берилди: α=6 β=3 Р=3H S -? S B -? S -? D С β S В α S О S B P.33 чийме. Мейкиндиктеги кесилишкен күчтөр системасынын тең салмактуулук теңдемесин б.а. F =, F =, F = i iy iz түзөбүз. б) А 6º С D z 3º S 6º В S B О S P y Чыгаруу: Тең салмактуулук абалын карала турган нерсе шарнир О. Нерсе эркин эмес, бул үчүн ОВ, ОА, ОС өзөкчөлөрү байланыш болот. Байланыштан бошотобуз, б.а. реакция күчтөрү S, S B, S багыттарын көрсөтөбүз (чийме.33 а). Координаттык окторду тандап алабыз (чийме.33 б). 3

F = S cos 6 S cos 6 = i B F = S cos3 + S cos 6 + S cos 6 = iy B c F = P + S cos3 = iz Мындан P S cos6 S = = 34,6 H; S = SB = = H cos3 cos3 Маселе.. Алты стерженден жасалган ферма берилген. Р күчү АВСD тик бурчтугунун тегиздигинде А түйүнүнө аракет этет да, анын аракет этүү сызыгы СА вертикалы менен 45 тук бурч түзөт. ЕАК=FBM тең капталдуу. FBM, NDB үч бурчтуктардын А, В, D бурчтары тик.,,3,4,5,6 стерженьдеринин аракеттешүү күчтөрүн тапкыла? E P S 45º S 3 S K 3 F 5 B D 6 4 z M N.34 чийме. Берилди: Р = 98 Н ЕАК=FBM S -? S -? S 3 -? S 4 -? S 5 -? S 6 -? Чыгаруу. Ферманын өзөкчөлүрүнүн (стежендеринин) реакция күчтөрүн табыш үчүн, кесүү ыкмасын колдонобуз. А жана В түйүндөрүнүн тең салмактуулугун өз-өзүнчө карайбыз. А түйүнү үчүн стержень,,3 байланыш болуп эсептелет. Көңүлүбүздө стержендерди кесип, алардын аракетин S, S, S 3 реакция күчтөрү менен алмаштырабыз. А түйүнү P, S, S, S 3 күчтөрүнүн аракети астында тең салмактуулук абалда турат. P S y S 3 S.34a чийме. z Ошондуктан, F = S + Pcos45 cos45 = 33 i F = S + Pcos45 cos45 = iy F = S + P cos 45 = iz 3 Мындан: S = 4 H; S = 495 H, S 3 = 6867 H.

. S, S нын алдындагы минус (-), стержендер чоюлбастан, кысылгандыгын көрсөтөт.. В түйүнүн тең салмактуулугун карайбыз. Ага аракет эткен күчтөр реакция күчтөрү S = S S, S, S болот. 3 3 4 5 6 мындан S S6 = = 98 H; S 4 = S5 = 495 H. cos45 В - түйүнү тең салмактуулук абалда тургандыктан ал төмөнкү теңдемелерди канагаттандырышы керек. F = S + S cos45 cos45 = i 4 6 F = S + S cos45 cos45 = iy 5 6 F = S + S cos 45 = iz 3 6..6. Күчтүн борборго карата моменти. Күчтүн окко карата моменти. Мейкиндиктеги кош-жарыш күчтөр. В B S 3 S S 6 F 5 S 4.34б чийме. h А r моменти чекиттин радиус-вектору ( ) көбөйтүндүсүнө борбор, б.а. m F = r F.35 чийме. z О m ( ) F ( ) Тегиздикте жайланышкан күчтүн моменти алгебралык чоңдук, m ( F) = ± F h (.43) Мейкиндикте күч менен борбор ар кандай тегиздикте жайланышкандыктан, бул аныктама толугу менен күчтүн борборго карата моментин аныктай албайт. Ошондуктан, күчтүн борборго карата r менен күчтүн ( ) F вектордук (.44) Күчтүн борборго карата моменти күч менен барабар жаткан тегиздикке тик жайланат. Тик сызыктын алдын-ала караганда күч нерсени (тегиздикти) сааттын жебесине карама-каршы айландырганга аракет этсе оң (+) белгиде алынат да, вектор момент тик сызык боюнча карап жаткан адамды көздөй багытталат, тескерисинче болсо, ошол тик сызык боюнча төмөн көздөй багытталат. Бул вектордун модулу (.43) формула менен аныкталат. Күчтүн окко карата моменти 34

Күчтүн окко карата моменти бул күчтүн окко тик жайгашкан тегиздикке (П) түшүрүлгөн проекциясынын (F y ) ок менен тегиздик кесилишкен чекит (O) карата алынган моментине барабар, б.а. m ( F) = m ( F ) = ± F h (.45) z y z огунан караганда күч тегиздикти сааттын жебесине карама-каршы айландырганга аракет этсе оң белгиде, тескерисинче сааттын жебеси боюнча айландырса (-) терс белгиде алынат. Күчтүн координаттык окторго карата моменттердеги төмөнкү формулалар менен F z аныкталат. m ( F) = yf zf ; F y.36 чийме. O cos, (.47) ( m ( F ) ) cos, ( m ( F ) y) cos, П ( m ( F ) z) = = = m m m m m m z y my( F) = zf Fz ; m ( F) = F yf y (.46) Эгерде бул проекциялар белгилүү болсо, күчтүн чекитке карата моментин, модулун төмөнкүдөй жана багытын аныктоого болот. m ( F) = m ( F) + m ( F) + m ( F) y z ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( ) ( ) ( ) o y z (.48) Эгерде ок z күчкө жарыш жайланышса, жана күчтү кесип өтсө күчтүн окко карата моменттери нөлгө барабар болот...7. Кош жарыш күчтөрдүн моменттери Кош-жарыш күчтүн моменти мейкиндикте вектордук чоңдук. Кошжарыш күчтүн моменти өзү жайгашкан тегиздикке тик жайгашкан. Тик сызыктын учунан караганда, тегиздикти сааттын жебесине каршы айландырса, тик сызыкты бойлото байкоочуну көздөй (.37 а - чийме) тескерисинче болсо тик сызык боюнча байкоочудан төмөн багытталат (.37б - чийме). 35

m a) б) F h F F h F m.37 чийме. Мейкиндикте кош жарыш күчтөр төмөнкү теоремалар менен берилет. теорема. Кош жарыш күчтөрдүн вектордук моменттери бири бирине барабар болсо, алар эквивалентүү болот, б. а. тегиздикте жаткан кош жарыш күчтү ал тегиздикке жарыш тегиздикке көтөрүүдөн, нерсенин абалы өзгөрүлбөйт. теорема. Тең аракет этүүчү кош жарыш күчтүн моменти, түзүүчү кош жарыш күчтөрдүн моменттеринин вектордук суммасына барабар, б. а. M = m i (.49) Мейкиндиктеги кош жарыш күчтөрдүн аракетинде турган катуу нерсе тең салмактуулук (тынч) абалда болушу үчүн, кош жарыш күчтөрдүн моменттеринен геометриялык суммасы нөлгө барабар болушу зарыл жана жэтишээрлик болот, б. а. M = m i = (.5) Мындан ар кандай тегиздикте жаткан кош жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук шарттарынын аналитикалык түрдө алабыз. M = m =, M = m =, M = m = (.5) i y iy y iy..8. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасын кошуу. Пуансонун теоремасы. Теорема. Катуу нерсе аракет эткен ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасын башкы вектор R жана башкы момент M менен алмаштырса болот. Күчтөрдүн геометриялык суммасына барабар вектор R - башкы вектор деп аталат. R = R = F i (.5) Ал келтирүүнүн борбору О чектинде тиркелет (38 - чийме), бардык күчтөрдүн келтирүүнүн борборуна карата моменттеринин геометриялык суммасы, ошол борборго карата күчтөрдүн башкы моменти деп аталат. 36

m 3 Башкы моменттин модулу M m F = 37 ( ) i Башкы вектордун модулу R = F + F + F ( i ) ( iy ) ( iz ) багыты R cos ( R, ) = R R y cos ( R, y) = R R z cos ( R, z) = R менен аныкталат. (.53) (.54) (.55) ( ) ( ) ( ) (.56) M = m F + m F + m F i y iy z iz багыты M M y M cos (, M ) =, cos ( y, M ) =, cos ( z, M ) = M M M боюнча аныкталат. z (.57)..9. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасынын тең салмактуулук шарттары Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасынын тең салмактуулук абалда болушу үчүн, вектордук түрдө эки шарт, башкы вектор R = R жана башкы момент M бир учурда нөлгө барабар болушу талап ( ) z M m m O F F кылынат, б. а. R = F =, M = m F = F R 3.38 чийме. i y ( i ) (.58) Ар кандай багытталган күчтөр системасы тең салмактык абалда болушу үчүн, бул күчтөрдүн башкы вектору жана кандайдыр бир борборго карата күчтөрдүн башкы моменти нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. Башкы вектор R = жана башкы момент M = болушу үчүн (.54), (.56) формулалардан Fi =, Fiy =, Fiz = (.59) m F =, m F =, m F = ( ) ( ) ( ) i y i z i бир учурда нөлгө барабар болушу керек. Ошентип, мейкиндикте ар кандай тарапка багытталган күчтөр системасы тең салмактуулук абалда болушу үчүн, күчтөрдүн ар бир координаттык окторго түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралдык суммасы

жана күчтөрдүн ар бир үч окко карата моменттеринин алгебралык суммалары нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. z О Жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук шарттары F F F n y Жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук абалынын шарттарын (.53) теңдемени колдонуп алсак болот. Fiy =, m ( Fi ) =, (.6) m F = y ( i ) Мейкиндикте жарыш күчтөрдүн тең салмактык абалда болушу үчүн күчкө.39 чийме. жарыш окко (z) түшүрүлгөн проекцияларынын алгебралык суммасы жана күчкө тик жайланышкан октор (х,у) карата моменттеринин алгебралык суммалары нөлгө барабар болушу зарыл жана жетишээрлик болот. Ар кандай багытта жайланышкан күчтөр системасы аракет эткен эркин эмес катуу нерсенин тең салмактуулук шарттарын колдонуп маселе чыгаруу, төмөнкү тартипте жүргүзүлсө болот.. Тең салмактуулук абалы изилдей турган нерсени бөлүп алуу.. Нерсе аракет эткен күчтөрдү чиймеде көрсөтүү. 3. Байланыштан бошотуу принципин колдонуп, б. а. байланышты алып салып, анын аракетин реакция күчтөрү менен алмаштыруу. 4. Координаттык окторду тандап алуу. 5. Тең салмактуулук абалынын теңдемелерин түзүү. Жарыш күчтөрдүн тең салмактуулук шарттарын колдонуп, реакция күчтөрүн аныктап көрөлү. Мисал.. Жүк көтөрүүчү кран үч дөңгөлөктүү арабага коюлган. Крандын өлчөмү: D = DB = м, D = 5 м, M = м, KL = 4 м. Кран противовес F менен теңдешилип турат. Кран менен противовестин салмагы 8 кн, ал LMNF тегиздигиндеги G чектинде тиркелген. Ал чекит крандын огу MN ден м (GH = м) аралыкта жайгашкан. Көтөрүлүүчү жүк Q = 4 кh. LMF тегиздиги B га жарыш болгон учурда дөңгөлөктөр рельсага кандай басым жасайт? 38

z х F G P 4 м м K N R B R D B R H M м.4 чийме. L Q у Берилди: Р = 8 кн; Q = 4 кн; D = DB = м; D = 5м; M = м; KL = 4м; GH = м R -? R B -? R -? Чыгаруу: Кран орнотулган үч дөңгөлөктүү арабанын тең салмактуулук абалын карайбыз. Ага аракет эткен Q жана P күчтөрүн көрсөтөбүз. Байланыштан (рельстен) бошотуп, R, RB, R реакция күчтөрүн көрсөтөбүз., y, z окторун жүргүзөбүз. Бул күчтөр жарыш күчтөр болгондуктан, тең салмактуулуктун үч теңдемесин түзөбүз: Fiz = R + RB + R P Q = m F = 5 Q + R + R = ( ) ( ) ( ) ( ) i B m F = P,5 +,5 Q,5 R = y i m P =, m R =, себеби бул күчтөр ок менен кесилишет. Бул теңдемелерди чыгарып R =, R = 8 кh, R = 4кH аныктайбыз. B Мисал.3. Салмагы Н га барабар болгон АВСD бир тектүү рама дубалга А сфералык шарнири жана Е мыгы менен бекитилген. Раманы горизинталдык абалда Е мыгына байланган СЕ жиби кармап турат. СЕ жибинин жана А, В нын реакция күчтөрүн тапкыла? 39

z E Z X Y 3 T Z B B y D P 3 X B.4 чийме. Берилди: P = H, E = B = 3 T? X? X B? Y? Z? ZB? Чыгаруу: Раманын (BD) тең салмактуулук абалын карайбыз. Ага аракет эткен күч P. Байланыштан бошотобуз, А сфералык шарнир болгондуктан, аны реакция күчтөрү X, Y, Z жиптики T жана В ныкы X B, Y Bболот. Коррдинаттык окторду жүргүзөбүз, тең салмактуулук теңдемени түзөбүз: F = X + X T cos3 cos6 = i B F = Y T cos3 cos3 = iy Fiz = Z + ZB P + T sin 3 = B m ( Fi ) = P + T cos6 B + Z B B = B my F = P T sin 3 B = ( i ) ( ) m F = X B = z i B бул теңдемелерден реакция күчтөрүн аныктайбыз. X = 86,6 H, Y = 5 H, Z = H, X =, Z =, T = H. B B Мисал.4. Дарбазанын валы АВ га жип оролгон, жипке Q жүгү илинген. Радиус R = 6r. 4

α α T z c b a R Z r X Z B B х X B P у.4 чийме. Q Дөнгөлөккө оролгон жип жаныма сызык боюнча дөнгөлөктөн жанат. Жип горизонт менен α бурчун түзөт. Жиптин учуна салмагы Р жүк илинип коюлган. Дарбаза тең салмактуулук абалда болушу үчүн Q жүгүнүн салмагы жана А, В подшипниктердин раекция күчтөрү канча болушу керек? Берилди: P, a, b, c, R = 6r X X B Q?? Z?? Z? B Чыгаруу: Дарбазанын тең салмактуулугун карайбыз. Аракет эткен күч P. Байланыштан бошотобуз, б.а. X, Z, X B, ZB, Q күчтөрүн көрсөтөбүз. А чекити аркалуу координаттык окторду жүргүзөбүз. Дарбаза тең салмактуулук абалда тургандыктан ал тең салмактуулуктун алты теңдемесин канагаттандырышы керек. F = X + X P sinα = F i B iy = Fiz = Z + ZB P sinα Q = m F = Z a + b + P sinα c Q b = ( ) ( ) ( ) ( ) B i B m F = P 6r Q r = y m F = X ( a + b) + P cosα c = z булардан a + b + c c Q = 6 P, X =, X B = P cos α, a + b a + b a + b + c 6Pb 6Pb c Z = P sin α, Z = P sinα a + b a + b a + b a + b экендигин аныктайбыз. 4

.. Катту нерсенин оордук салмак борбору... Катуу нерсенин оордук салмак борборун аныктоо Жер бетине жакын жайгашкан катуу нерсенин ар бир бөлүкчөсүнө оордук салмак күчү аракет этет. Бул күчтөр жердин борборунан кесилишет да, кесилишкен күчтөр системасын түзүшөт. Бөлүкчөлөрдүн өлчөмү жердин радиусунан кичини болгондуктан, бул күчтөрдү бири-бирине жарыш, нерсенин ар кандай абалында өзгөрбөй турган, бир тарапка багытталган, жарыш күчтөр системасы катары караса болот (.43 - чийме). Жарыш күчтөрдүн тең аракет этүүчү P P жарыш күчтөрдүн = багытын көздөй багытталат. Жарыш күчтөрдүн тең аракет этүүчүсү, нерсенин оордук салмагы деп аталат. Анын тиркелеген чекитин аныктоо талап кылынат. Жарыш күчтөрдүн өздөрү тиркелеген чекиттеринин айланасында бирдей, ар кандай багытта бурулганда да С чекитинин абалы өзгөрбөйт. Жарыш күчтөрдүн тең аракет этүүчүсүнүн аракет эткен сызыгы да С чекити аркалуу өтөт. С чекити жарыш күчтөрдүн борбору деп аталат. Нерсенин бардык бөлүкчөлөрүнө аракет эткен, жарыш оордук салмак күчтөрүнүн борбору болгон геометриялык чекит оордук салмак көчтөрүнүн борбору деп аталат. Нерселердин оордук салмак күчтөрүнүн борборунун абалын Pi ri r = (.6) P аркалуу аныкталат. Мындан нерсенин борбордук салмак борборунун абалын аныктоо үчүн формуланы алабыз: Pi i Pi y i Pi zi =, y =, z = (.6) P P P z i P С P P r P 3 O y z y.43 чийме. Р нерсенин оордук салмагы. 4

i, yi, z i - нерсенин бөлүкчөлөрүнө аракет эткен оордук салмак күчтөрү тиркелген чекиттердин координаттары.... Бир тектүү катуу нерселердин оордук салмактары z r P С P P P 3 O z y y.44 чийме.. Көлөмдү бир тектүү катуу нерсенин карайлы. Оордук салмак P i анын көлөмүнө пропорциялаш. Pi = γ V (.63) Мында бирдик көлөмдөгү салмак жогорудагы формуланы колдонуп, көлөмдүү нерсенин оордук салмак күчтөрүнүн борборунун абалын аныктоочу формуланы алабыз: Vi i = Vi yi, y = Vi zi, z = (.64) V V V. Бир тектүү жука пластина. y С С С 3 O.45 чийме. 43

Нерсенин калыңдыгын эсепке албай, анын аянтынын оордук салмак борборунун аныктоочу формуланы алабыз: Si i = Si yi, y = (.65) S S Мында S - пластинанын аянты, S i - пластинаны түзүүчү бөлүктүн аянты,, y - пластинаны ар бир бөлүкчөсүнүн оордук салмактарынын координаттары. 3. Кесилиш аянты кичине, абдан узун бир тектүү катуу нерсе, б.а. Бир тектүү сызыкч. Бир тектүү узундугу L - сызыкчанын оордук салмак борбору, li i li y i li zi =, y =, z = (.66) L L L формулалары менен аныкталат. i, yi, z i - ар бир бөлүкчөнүн оордук салмактарынын координаттары. Жогорку алынган формулаларды анализдеп, бир тектүү катуу нерселердин оордук салмактары, алардын геометриялык формаларына гана көз каранды деген тыянакка келебиз...3. Катту нерселердин оордук салмак борборлорун аныктоонун ыкмалары Катуу нерселердин оордук салмак күчтөрүнүн абалын (координаттарын) аныктоо үчүн аларды бөлүкчөлөргө бөлүү ыкмасы негизги ыкма болуп эсептелет.. Бөлүкчө бөлүү ыкмасы. Нерсени, оордук салмактары алдын ала белгилүү же оңой аныктай ала турган бөлүкчөлөргө бөлөт. Нерсенин оордук салмак абалын төмөнкү формула менен аныкталат: Si i = Si yi, y = Si zi, z = (.67) S S S Мисал келтирип көрөлү. Мисал.5. Бир тектүү пластинанын оордук борборун тапкыла? Берилди: АВ= см, BD=3 см, KL= см, L= см -? y -? Чыгаруу. Пластинканын оордук борбору С симметриялык х огунда жатат. х - огуна тик y огун жүбөрөбүз. Пластинанын үч: BDH, LKNF жана PMNL тик бурчтукка бөлөбүз, булардын ар биринин оордук салмак борборлору С, С, С 3 көргөзөбүз; тик бурчтуктардын аянттарын эсептейбиз: S = S = 3см, S3 = см, С, С, С 3 борборлорунун координаттары = = см, 3 = 5см. 5 44