π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1."

Transcript

1 Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x) -sin x, sin(x + k) sin x, (k Z). cos:r [-,] cos(-x) cos x, cos (x + k) cos x, (k Z). tg:r\{(k+) } R. ctg:r\{k} R tg(-x) -tg x tg(x+k) tg x, (k Z) ctg(-x) -ctg x ctg(x + k) ctg x, (k Z)

2 Trigonometrie Bcluret 8 Formule trigonometrice. RelŃii între funcńiile trigonometrice le unui rgument:. sin α + cos α. α ± α α ± α sin cos cos sin tg α cos α sin α ± + tg α ± + tg α. sin α tg α c. sin( α) cos( α) tg( α) 5. sin + α cos + α, tg + α c. sin( + α) cos( + α) tg ( + α) 7. sin( α) sin( α) tg( α). Formule de dunre: sin( α ± β ) cos β ± sin β cos( α ± β ) cos β sin β ± tgβ tg( α ± β ) tgβ. Formule pentru multiplii de rgument: sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg α c ctg ctg tg α α α c c sin sin sin α α α

3 Trigonometrie Bcluret 8 α α α cos cos cos tg α sin α cos α + tg α + tg α α α α α α α n n n sin n cos Cn cos sin + Cn cos sin... α α α α α α α n n 5 n5 5 cos n Cn cos sin Cn cos sin + Cn cos sin.... Formule pentru jumãtãńi de rgument: α α + sin ± cos ± α tg ± Sume, diferenńe şi produse: α + β α β + sin β sin cos α β α + β sin β sin cos α + β α β + cos β cos cos α + β β α cos β sin sin sin( α + β ) sin( α β ) tg α + tgβ tgβ cos β cos β sin α + sin + α cos α sin α sin + α cos α sin β [cos( α β ) cos( α + β )] cos β [cos( α + β ) + cos( α β )] cos β [sin( α + β ) + sin( α β )] + tgβ tgβ c + ctgβ

4 Trigonometrie Bcluret 8 Inversre funcńiilor trigonometrice. rcsin:[-.], rcsin y x sin x y rcsin (-x) - rcsin x. rcos:[-,] [,], rcos (-x) - rcos x. rctg:r,, rctg (-x) -rctg x. rctg:r (,), rctg (-x) - rctg x SoluŃiile ecuńiilor trigonometrice simple. EcuŃii fundmentle k.sin x, [,] x {( ) rcsin + k k Z}.cos x, [,] x { ± rccos + k k Z}. tgx, R x { rctg + k k Z. ctgx, R x { ccctg + k k Z}. Tbele de vlori: x funcńi sin x cos x - - tg x / / ctg x / / / x funcńi rcsin x - rcos x 5

5 Trigonometrie Bcluret 8 x functi rctg x rcctg x - 5 RelŃii metrice în triunghi. Triunghiul dreptunghic ABC (m( A) 9, AD BC). Teorem lui Pitgor: b + c. Teorem ctetei: b CD, c BD. Teorem înãlńimii: h BD DC b c. h, hb b, hc c 5. m, mb b, mc c b c. b bb c bc b b + c + c + c b c 7. A ABC 8. R b c 9. r + b + c. RelŃii exprimte prin funcńii trigonometrice: b sin B, b cos C, b c tg B, b c ctg C.. Triunghiul echilterl ABC (bc). h m b. A ABC. R. r. Triunghiul orecre ABC (AD BC). Teorem lui Pitgor generliztã: ) b + c BD, dcã m( B)<9 b) b + c + BD, dcã m( B)>9 5

6 Trigonometrie Bcluret 8. RelŃiile lui Stewrd O (BC): b BO + c CO AO BO CO ( b + c ). m. h p( p )( p b)( p c) 5. b p( p bc b + c ) h. A S ABC 7. S p( p )( p b)( p c) bc R S S r. p. RelŃii exprimte prin funcńii trigonometrice b c. Teorem sinusurilor: R sin A sin B sinc b + c. Teorem cosinusului: b + c bc cos A cos A bc A B C b. Teorem tngentelor: tg tg + b bsin C sin Bsin C A. S, S, S p( p ) tg, S R sin Asin BsinC sin A A B C 5. p Rcos cos cos. Rsin BsinC h m R (sin A cos Asin Bsin C + 7. ) 8. b bc A cos b + c A p( p ) 9. cos bc A ( p b)( p c). sin bc A ( p b)( p c). tg. p( p )

7 Trigonometrie Bcluret 8 Probleme propuse. Se consideră triunghiul ABC cu AB, AC 7 şi BC. Să se clculeze cos B.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AC, m( BAC) şi AB.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că ABAC, m( A).. Să se clculeze rz cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că AB şi m( C). 5. Să se clculeze sin + cos 8.. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D, mijlocul ipotenuzei BC. Să se clculeze lungime lturii AB ştiind că AC şi AD Se consideră triunghiul ABC cu AB, AC şi BC 5. Să se clculeze cos B. 8. Se consideră triunghiul ABC cu AB 5, AC şi BC 7. Să se clculeze cos A. 9. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AB, AC şi m( BAC).. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC ştiind că AB, AC şi m( A) o.. Se consideră triunghiul ABC vând ri eglă cu 5. Să se clculeze sin A ştiind că AB şi AC.. Să se clculeze rz cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC 8 şi m( A)5 o.. Se consideră triunghiul ABC de rie eglă cu, cu AB şi BC8. Să se clculeze sinb.. Se consideră triunghiul ABC de rie eglă cu 7. Să se clculeze lungime lturii AB ştiind că AC şi că m( A) o. 5. Să se clculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB, BC şi m( B) o.. Să se clculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că AB 5, AC şi m( A) o. 7. Să se clculeze lungime înălńimii din A în triunghiul ABC ştiind că AB, AC şi BC Să se clculeze sin5. 9. Rz cercului circumscris triunghiului ABC este, ir BC. Să se clculeze sin A.. Să se determine numărul rel x pentru cre x, x+7 şi x + 8 sunt lungimile lturilor unui triunghi dreptunghic.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AB, AC 8 şi BC.. Să se clculeze sin A, ştiind că în triunghiul ABC se cunosc AB, BC şi m( C).. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, cu m( A)9 şi cos B. Să se clculeze 5 sinc.. Să se clculeze cos A în triunghiul ABC, ştiind că AB, BC şi AC. 5. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC, ştiind că sina şi că lungime rzei cercului circumscris triunghiului este eglă cu.. Să se demonstreze că, dcă triunghiul ABC este dreptunghic în A, tunci re loc relńi AB + AC sin B + cos B. BC 7

8 Trigonometrie Bcluret 8 7. Să se clculeze produsul (cos cos9 )A(cos cos8 )A...A(cos9 cos ). 8. Să se clculeze sin A în triunghiul ABC, ştiind că BC, ir lungime rzei cercului circumscris triunghiului este eglă cu. 9. Să se clculeze perimetrul unui triunghi echilterl cre re ri eglă cu.. Să se clculeze lungime lturii AC triunghiului ABC ştiind că BC, m( BAC) şi m( ABC) 5.. Să se clculeze cosinusul unghiului A, în triunghiul ABC, ştiind că AB, AC 5 şi BC.. Să se clculeze numărul sin Acos5.. Să se rte că într-un triunghi ABC dreptunghic în A re loc relńi cos B+cos C.. Să se clculeze ri triunghiului ABC, ştiind că ABAC şi m( A). 5. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC ştiind că m( A) 9, m( B) şi AB.. Triunghiul ABC este dreptunghic în C, ir rz cercului circumscris triunghiului este R. Să se clculeze lungime lturii AB. 7. Să se rte că pentru x(,9 ) este devărtă eglitte sinxacos(9 x)+cos (8 x). 8. Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic ABC, cu m( A)9, re loc relńi AD ABAACAsinBsinC, unde D este piciorul înălńimii din A. 9. Să se determine probbilitte c legând un element din mulńime A {sin,sin5, sin }, cest să fie număr rńionl.. Să se clculeze ri unui triunghi echilterl cre re lungime înălńimii eglă cu. 8

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Geometria triunghiului

Geometria triunghiului Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:

Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare: Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate

CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE. Teorema (Teorema bisectoarei interioare) Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A şi D (BC), atunci: DB =

GEOMETRIE. Teorema (Teorema bisectoarei interioare) Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A şi D (BC), atunci: DB = 1. Relţii metrie în triunghiul orere 1.1. Teoreme le isetorelor GEOMETRIE Teorem 1.1.1. (Teorem isetorei interiore) Fie triunghiul B, (D isetore interioră unghiului şi D (B), tuni: DB B. D Demonstrţie.

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Marin Chirciu INEGALITĂŢI TRIGONOMETRICE DE LA INIŢIERE LA PERFORMANŢĂ EDITURA PARALELA 45

Marin Chirciu INEGALITĂŢI TRIGONOMETRICE DE LA INIŢIERE LA PERFORMANŢĂ EDITURA PARALELA 45 Main Chiiu INEGLITĂŢI TIGONOMETICE DE L INIŢIEE L PEFOMNŢĂ Cuins Consideații eliminae... 7 Soluţii Caitolul Inegalități u unghiui. Inegalitatea lui Jensen... 4 4 Caitolul Funții tigonometie ale jumătății

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor 3 + 7 şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

a) De câte cămări are nevoie hârciogul pentru a depozita toate semințele? b) După al câtelea drum a umplut complet a doua cămară?

a) De câte cămări are nevoie hârciogul pentru a depozita toate semințele? b) După al câtelea drum a umplut complet a doua cămară? CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2009 Cls V- 1. Un hârciog cră semințe într-o glerie. L primul drum duce cu el o sămânță, l l doile duce 3 semințe, l l treile duce 5 semințe, etc.,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1) Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron

Διαβάστε περισσότερα

TITULARIZARE 2002 Varianta 1

TITULARIZARE 2002 Varianta 1 TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

1.PUNCTUL.DREAPTA.PLANUL

1.PUNCTUL.DREAPTA.PLANUL 1.PUNCTUL.DREPT.PLNUL 1.Punctul E=F P Q P Q 2.Drept d su drept B (d) B Semidrept O, nott [O O su (O, dic fr O 3.Segmentul B, nott [B] M B (B),[B),(B] M este mijlocul lui [B] dc M=MB=B/2 su [M] [MB](=B/2)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Testul nr. 1. Testul nr. 2 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a

SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1 Asem`narea SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1) Teorema lui Thales : O paralel` la o latur` a unui triunghi determin` pe celelalte dou` laturi segmente propor\ionale. AD AE DE BC, sau alte variante.

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)

TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.) LECłII DE SINTEZĂ în vedere pregătirii sesiunii iulie-ugust emenului de BACALAUREAT - M pentru cndidńii solvenńi i liceelor din filier tehnologică, profil: servicii, resurse nturle şi protecńi mediului,

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx 7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Maria-Liliana Bucur. MATEMATICI APLICATE în topografie

Maria-Liliana Bucur. MATEMATICI APLICATE în topografie Maria-Liliana Bucur MATEMATICI APLICATE în topografie 1 CUPRINS CAPITOLUL 1 Introducere CAPITOLUL Elemente de trigonometrie.1 Definiție. Funcții trigonometrice. Relații trigonometrice.3 Măsurarea unghiurilor.4

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα