Thèe : Calul d' erreur Lien vers les énonés des eeries : Marel Délèze Edition 07 https://www.deleze.nae/arel/se/applaths/sud/alul_erreur/_a_-alul_erreur.pdf Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord la valeur [sans ordinateur] R A os (φ) 0. os (7 ) 0.67 Calulons ensuite les dérivées partielles R A (A os (φ)) os (φ) (A ) os (φ) A A R φ (A os (φ)) A (os (φ)) A (-sin (φ)) -A sin (φ) φ φ Substituons dans la forule de Gauss-Laplae ΔA 0.0 A 0.0 * 0. 0.006 Δφ π 0.075 [radians] 80 ΔR (os (φ) ΔA) (-A sin (φ) Δφ) (os (7 ) 0.006) (-0. sin (7 ) 0.075) 0.00585 La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : R 0.67 ± 0.006 Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord la valeur [ave Matheatia] valeurs {A 0., φ 7 }; erreurs {ΔA 0.0 A, Δφ }; R A Cos[φ] /. valeurs osinus 0.670 A A Cos[φ] ΔA φ A Cos[φ] Δφ ΔA Cos[φ] A Δφ Sin[φ] ΔR A A Cos[φ] ΔA φ A Cos[φ] Δφ /. erreurs /. valeurs 0.0058507 La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : R 0.67 ± 0.006 Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

_a_-alul_erreur-or.nb Corrigé de l'eerie - a) Calulons les dérivées partielles ρ r r ρ π r π π r Substituons dans la forule de Gauss-Laplae [sans ordinateur] r r- π - r- -9 π r π r () π r Δρ -9 π r Δr π r Δ Calulons l'erreur relative sur ρ en fontion des erreurs relatives sur r et : -9 Δρ Δr Δ ρ π r π r π r -9 π r π r Δr π r π r Δ - r Δr Δ 9 Δr r Δ 9 ( 0.0) (0.005) 0.060 La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : Δρ ρ 6 % Corrigé de l'eerie - b) [Calul nuérique ave Matheatia] erreurs {Δr 0.0 r, Δ 0.005 }; Erreur absolue r Δr π r Δ π r 9 Δ 8 Δr 6 π r6 6 π r 8 Erreur relative r 0.06008 Δr π r π r Δ π r /. erreurs La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : Δρ ρ 6 % Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

_a_-alul_erreur-or.nb Corrigé de l'eerie - ) ρ π r π r [Calul littéral ave Matheatia] Erreur absolue Δρ Siplif r Δr siplifie π r Δ π r, { > 0, r > 0} r Δ 9 Δr π r Erreur relative iρ Siplif Δρ, { > 0, r > 0} siplifie ρ r Δ 9 Δr r Corrigé de l'eerie - a) [sans ordinateur] Calulons d'abord les valeurs z, z, z z z z. *. 9.80 0.07.6 *.5 09.8 0.05.5 *. 978.00 0.06 Calulons les erreurs Δz, Δz, Δz b a a b a b a b a b b (a) a b b a b a b a b - a b - - -a b Δ a b b Δa a b Δb -a b Δ Δz. 0.07 0.0 *. *. 0.07 0.0 -. *. 0.07 0.00 0. Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

_a_-alul_erreur-or.nb Δz.5 0.05 0.0 *.6 *.5 0.05 0.0 -.6 *.5 0.05 0.00 66.5 Δz. 0.06 0.0 *.5 *. 0.06 0.0 -.5 *. 0.06 0.00 5. Calulons la oenne z z z z Calulons enfin l'erreur sur la oenne (9.80 09.8 978.00) 980.79 z z z (z z z ) z z z z z (z z z ) z z z z z (z z z ) z z Δz Δz Δz Δz (0.) (66.5) (5.) 88.57 Finaleent z 98 ± 89 980 ± 90 Corrigé de l'eerie - b) [ave Matheatia] Calulons d'abord les valeurs z, z, z valeurs {{a., b., 0.07}, {a.6, b.5, 0.05}, {a.5, b., 0.06}}; erreurs {Δa 0.0, Δb 0.0, Δ 0.00}; a b /. valeurs {9.80, 09.8, 978.00} Calulons les erreurs Δz, Δz, Δz a a b Δa b a b Δb a b Δ /. erreurs /. valeurs {0.7, 66.59, 5.9} Calulons la oenne valeurs {z 9.8, z 09., z 978.0}; erreurs {Δz 0., Δz 66.5, Δz 5.}; z z z z 980.7 /. valeurs Calulons enfin l'erreur sur la oenne Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

_a_-alul_erreur-or.nb 5 Δz z z z z erreurs /. valeurs Δz z z z z Δz z z z z Δz /. 88.5699 La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : z 98 ± 89 980 ± 90 Corrigé de l'eerie - Pour une fontion linéaire z f() a, on a I (a ) i (a ) Fontion affine I (a b) (a ) (a) a I (a ) a a a i () (a b) (a) a a I () Fontions puissanes I ( ) i I ( ) i () I - i i () I - - - 8 i 8 6 8 i () I ( n ) (n ) n n- n n- Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

6 _a_-alul_erreur-or.nb i ( n ) n (n- ) ( ) n n n- n n n n i () Fontions trigonoétriques I (os ()) (os ()) (-sin ()) sin () sin () I () I (sin ()) (sin ()) (os ()) os () os () I () I (tan ()) (tan ()) os () os () os () I () Soe et différene de variables indépendantes I ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ I () I () I ( - ) ( - ) ( - ) Δ (-) Δ Δ I () I () Quotient de variables indépendantes I Δ - Δ Δ i Δ Δ Δ Δ i () i () Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord la valeur Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

_a_-alul_erreur-or.nb 7 Utilisons suessiveent R A os (φ) 0. os (7 ) 0.67 la forule de propagation des inertitudes relatives sur le produit la forule de propagation des inertitudes absolues sur le osinus ΔR R i (R) ΔA A Δ (os ( φ)) os (φ) ΔA A -sin (φ) Δφ os (φ) ΔA A (tan (φ) Δφ) dans laquelle on substitue les valeurs nuériques ΔA π 0.0 Δφ A 80 0.075 ΔR R i (R) (0.0) (tan (7 ) 0.075) 0.09 L'inertitude absolue sur R vaut ΔR i (R) R 0.09 * 0.67 0.00585 La réponse est arrondie à un ou deu hiffres aratéristique(s) : R 0.67 ± 0.0059 0.67 ± 0.006 Corrigé de l'eerie - En utilisant les règles de alul du, on a i i π r r (i ()) i r - i () ( i (r)) i () 9 i (r) 0.005 9 * 0.0 0.06008 6 % Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord les valeurs z, z, z. *. z 9.80 0.07.6 *.5 z 09.8 0.05.5 *. z 978.00 0.06 Calulons les inertitudes relatives puis absolues i a b (i (a)) i b (i ()) (i (a)) ( i (b)) (i ()) (i (a)) (i (b)) (i ()) Δz z i (z ) 0.0. 0.0. 0.00 0.07 0.50 Printed b Wolfra Matheatia Student Edition

8 _a_-alul_erreur-or.nb Δz I (z ) 0.50 * 9.80 0.7 Δz z i (z ) 0.0.6 0.0.5 0.00 0.05 0.6775 Δz I (z ) 0.6775 * 09.8 66.58 Δz z i (z ) 0.0.5 0.0. 0.00 0.06 0.5576 Δz I (z ) 0.5576 * 978.00 5.9 Calulons enfin la oenne et l'erreur sur la oenne z z z z (9.80 09.8 978.00) 980.79 Finaleent I z z z I (z z z ) (I (z )) (I (z )) (I (z )) z 98 ± 89 980 ± 90 (0.) (66.5) (5.) 88.57 Printed b Wolfra Matheatia Student Edition