TD 1 Transformation de Laplace

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Νίκων Αλεβίζος
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1 TD Transformation de Lalace Exercice. On considère les fonctions suivantes définies sur R +. Pour chacune de ces fonctions, on vous demande de déterminer la transformée de Lalace et de réciser le domaine d existence. t e 6t, t 5e t, t t, t t +, t α cos 3t + β sin 3t, t αch3t + βsh3t t e t cos 3t, t e 5t cos t + sin t, t e t sh8t, t e t sin t, t e t t Le αt = α our > α, en utilisant la linéarité de la transformation de Lalace, il vient Le 6t = Le 6t = + 6 L5e t = 5Le t = 5 our > 6, our >. Lt n = n! n+ our >, en utilisant la linéarité de la transformation de Lalace, il vient Lt = Lt =! 5 our >, Lt + = Lt + t + = Lt + Lt + LUt =! Lcosωt = et Lsinωt = ω +ω transformation de Lalace, il vient +ω our >. our >, en utilisant la linéarité de la Lα cos3t + β sin3t = αlcos3t + βlsin3t = α + βω + 9 our >. αch3t + βsh3t = α e3t + e 3t + β e3t e 3t, our > 3 car 3 = max{ 3, 3}, on a ar linéarité = α + β e 3t + α β e 3t Lαch3t + βsh3t = α + β Le 3t + α β Le 3t = α + β Si F = Lft alors on a Le αt ft = F α or Lcos3t = Le t cos3t = De même, on a Lcost + sint = α β = Le 5t cost + sint = =

2 Lsh8t = Le8t e 8t = Le t sh8t = 8 = = sin t = cost Lsin t = + Le t sin t = Enfin, on a Lt = Lt Lt + LUt =! our > Le t t =! Exercice. On considère les fonctions -ériodiques sur R +, f, f définies de la façon suivante : t < f t = < t < < t < Déterminer leur transformée de Lalace. t < f t = t < t < t + < t < f t = our t <, f t = our t < et f t = our t < avec f -ériodique sur R +, Lf t = e f te t dt. En distinguant le cas où t [, [ de celui où t [, [, il vient Lf t = [ e e t dt ] e t dt = e [ [ ] [ e t ] ] e t Lf t = [[ e ] [ e e ]] e = Lf t = e + e. e e + e f t = our t <, f t = t our t < et f t = t + our t < avec f -ériodique sur R +, Lf t = e f te t dt.

3 En distinguant le cas où t [, [ de celui où t [, [, il vient Or et te t dt = t+e t dt = Lf t = [ ] te t + [ e te t dt e t dt = [ ] t + e t ] t + e t dt. [ ] te t + [ ] e t = e + e e t dt = e [ e t ] = e e e Lf t = e e + e Lf t = e + e. Une autre façon de montrer ce résultat consiste à remarquer que f est la rimitive de f qui s annule en Lf t = Lf t. Exercice 3. On raelle que U désigne la fonction échelon unité. On considère les fonctions f, f, f 3 définie ar Déterminer leur transformée de Lalace. f x = sinx Ux f x = sinx Ux f 3 x = sinx Ux On ose f t = sint Ut en aliquant le théorème du retard Lf t = e Lsint = e +. On ose f t = sint Ut f est la fonction nulle sur ], [, -ériodique sur R + et définie our t [, [ ar f t = sint. Lf t = e sint e t dt. On intègre ar arties cette intégrale sint e t dt = [ sint ] e t + cost e t dt = sin sin e + [ cost ] e t sint e t dt + sint e t dt = sin sin7 e + cos cos7 e 3

4 Lf t = = + = e e + e + e Lf t = +. + e e + e On ose f 3 t = sintut et on effectue un calcul direct Lf 3 t = En intégrant ar arties, il vient + sintut e t dt = + sinte t dt. + sinte t dt = [ coste t] = cos e [ sinte t ] + + sinte t dt = coste t dt + + sinte t dt e e + sinte t dt = et on a finalement Lf 3 t = + e + e. Exercice. Déterminer les originaux des fonctions suivantes : Lcosωt = 5 + 9, 5 + 9, 5 8, , 6, + 3 +ω et Lsinωt = ω +ω our > L = L + 9 = 5 3 sin3tut, L = 5L + 9 = 5 cos3tut, L + 6 = L + 6 = sintut, L = 5L L = 5 cos8t sin8tut. + 6

5 Lt n = n! n Le αt = α our > our > α L 6 = 5! L 5! 6 = 5! t5 Ut. L + 3 = L + 3 = e 3t Ut. Exercice 5. Trouver l original de la fonction F définie ar F = En déduire l original de la fonction ω +ω. Cherchons l original de F = +ω. F = L original f de F est donné ar + ω + ω = L ft = sinωu ω sinωt ω L sinωt u du. ω Comme on a sin a sin b = cosa b cosa + b, il vient sinωt ω + ω.. ft = ω cosωu t cosωt du = ω ft = [ ] t ω sinωu ωt t cosωt ω ω cosωu ωt cosωt ω ft = t cosωt sinωt sin ωt ω3 ω = sinωt ω 3 t cosωt ω. du Il s ensuit que L ω + ω = ω L + ω = sinωt ω t cosωt. ω Exercice 6. On veut calculer l original de la fonction F définie ar F = deux façons différentes.. On décomosera en éléments simles sur R la fraction rationnelle F.. On utilisera le roduit de convolution. + + de 5

6 On ose F = + + alors, en décomosant F en éléments simles, il vient F = + + L F = L + L + + L + L F = e t cost + sint Ut. En utilisant le roduit de convolution, on commence ar remarquer que L + = e t Ut = gt et L = sintut = ht + alors l original ft de F est donné our t ar uis et on a finalement ft = our t, on a gt uhudu = e t u sinudu = e t e u sinudu. e u sinudu = [sinue u ] t cosue u du = sinte t e u sinudu = sinte t [cosue u ] t sinue u du e u sinudu = sinte t coste t + e u sinudu = sinte t coste t + ft = e t sinte t coste t + ft = sint cost + e t. sinue u du cosue u du Exercice 7. On considère la fraction rationnelle suivante : F X = X X + X + a Décomoser F en éléments simles sur R. b Déduire de cette décomosition l original dans la transformation de Lalace de F = + + c Montrer que l original de G = e + est la fonction g définie ar + gt = e e t + sin t cos t si t si t < c Retrouver l original de F en utilisant le roduit de convolution. 6

7 La décomosition en éléments simles de F est F x = x x + x + = x + + x + x + L F = L + + L + + L F = L + + L + + L x +. Mais L + = e t Ut, L = costut et L = sintut + + L F = e t + cost + sint Ut. gt = ht Ut où ht = { e e t + sint + cost + si t si t < uisque sinu + = cosu et cosu + = sinu ht = { e t + cost + cost si t si t < Lht = F d arès ce qui récède. En aliquant le théorème du retard à g, il vient Lgt = e Lht = e F Lgt = G = e + +. Retrouvons maintenant l original de F en utilisant le roduit de convolution. F = + + = + l original f de F est donné our t ar + = Le t Lcost Or ft = cosue t u du = e t cosue u du. [ ] t cosue u du = sinueu sinue u du = [ sintet ] t cosueu cosue u du = sintet + [ coste t ] cosue u du cosue u du = sintet + costet ft = e t cosue u du = sint + costet e t. 7

8 Exercice 8. Déterminer les originaux des fonctions suivantes : a + ω b , , c + + +ω = +ω +ω l original ft de +ω est donné our t ar ft = ft = t cosωt cosωu cosωt udu = L cosωt udu = t cosωt + ω = t cosωt [cosωt cosωt u] du sinωt ω. [ ] t sinωt u ω Pour les questions suivantes, on raelle que l on a vu en cours que L + ω = t sinωt ω et que l on a vu à l exercice 5 que L + ω = sinωt ω 3 t cosωt ω. Alors = = L = L + + 3L + 3L + L = sint + 3L + 3L + L = sint sint sint + 3t 3 t cost 6 8 L = 6 + 3t sint t cost = L = e 3t L + 9 8

9 uis uis uis L + 3 3t t sin3t = e = L = e 3t L L sin3t = 3e 3t 3 3 t cos3t = = L = 9e t L + e t L + L L t + + = t t sint sint = 9e e t t cost sint t cost e t. Exercice 9. Résoudre les équations différentielles suivantes en utilisant la transformée de Lalace. { y = y + 8 sin x { y = y + xe x { y = y + e 3x sin x y = y = y + y + 5y = e x sin x y = y = y = y y = sin x y = y = On considère l équation différentielle On ose Y = Lyt alors et d autre art on a y t = yt + sint et y =. Ly t = Lyt y = Y + Ly t = Lyt + sint = Lyt + Lsint = Y + +. D où Y + = Y + + 9

10 Y = + Y = On décomose en éléments simles de sorte que On rend alors l original de Y our t +. Y = yt = cost sint 7 et. On considère l équation différentielle On ose Y = Lyt alors et d autre art on a D où y t = yt + te t et y =. Ly t = Lyt y = Y Ly t = Lyt + te t = Lyt + Lte t = Y + Y = Y + Y = Y = On rend alors l original de Y our t yt = t + e t.. On considère l équation différentielle On ose Y = Lyt alors et d autre art on a y t = yt + e 3t sint et y =. Ly t = Lyt y = Y Ly t = Lyt + +e 3t sint = Lyt + Le 3t sint = Y D où Y = Y + 3 +

11 Y = Y = On décomose en éléments simles de sorte que our t Y = = yt = e3t cost + sint + 3 et. On considère l équation différentielle On ose Y = Lyt alors et D autre art on a Il vient y t + y t + 5yt = e t sint et y =, y =. Ly t = Lyt y = Y Ly t = Lyt y y = Y. Ly t + y t + 5yt = Le t sint Ly t + Ly t + 5Lyt = Y + Y + 5Y = + + Y = + + 5Y = Y = Or L sint t cost = L t sint t cost = e 8 uis our t yt = e t sint t cost + sint. On considère l équation différentielle y t yt = sint et y =, y =. On ose Y = Lyt alors Ly t = Lyt y = Y

12 et D autre art on a Il vient Ly t = Lyt y y = Y +. Ly t yt = Lsint Ly t Lyt = +. Y + Y = + Y = On décomose en éléments simles de sorte que our t Y = Y = yt = 5 et + 5 e t 5 sint. Exercice.. Décomoser en éléments simles sur R les fractions rationnelles suivantes : F X = X + 3 X + X 8 GX = X X + X 8. Résoudre le système différentiel avec conditions initiales suivant en utilisant la transformée de Lalace. { x t = x + 5y y t = x 3y et { x = y = et F x = x + 3 x + x 8 = x + 3 x x + = 5 Gx = x x + x 8 = x x x + = On considère le système différentiel { x t = xt + 5yt y t = xt 3yt On ose X = Lxt et Y = Lyt alors avec x 3 x + x + 3 x + { x = y = Lxt + 5yt = Lx t = Lxt x et Lxt 3yt = Ly t = Lyt y { X + 5Y = X X 3Y = Y

13 uis { X + 5Y = X + 3Y = ce qui équivaut à { Y = + X + 3Y = { Y = = = X = + + 3Y = En utilisant les décomosition en éléments simles obtenues lus haut, il vient X = 5 3 et Y = our t, on a xt = 5 et 3 e t et yt = et + 3 e t. Exercice. On considère la fraction rationnelle F X = X X + a Décomoser F en éléments simles et en déduire la valeur de l intégrale définie 3 F t dt. b Déduire également de cette décomosition les originaux resectifs dans la transformation de Lalace de F et G avec F = + et G = c Retrouver d une autre façon l original de F en utilisant le roduit de convolution. 3 F tdt = F x = 3 x x + = x x + t t dt = [ t ] 3 + Arctant 3 F tdt = 3 Arctan Arctan = = 3. La décomosition en éléments simles ci-dessus donne aussi L = L + L + L = t sintut. + 3

14 + + + = L + = e t t sintut. + + Pour trouver l original de F = remarquer que + l original f de F est donné our t ar en utilisant le roduit de convolution, on commence ar F = + = LtLsint ft = t u sinudu = t sinudu u sinudu ft = t cost [ u cosu] t cosudu ft = t cost + t cost sint ft = t sint.

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