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Γιάννης Βενιζέλος
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Exo7 Courbes en polaires Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

1 Exo7 Courbes en polaires Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice Construire les courbes suivantes :. r = cos(θ,. r = sin ( θ,. r = ae bθ, (a,b ]0,+ [,. r = cos(θ +, 5. r = tan ( θ. Correction [00550] Exercice Etude complète de la courbe d équation polaire r = cosθ+ sinθ+. Correction [0055] Exercice La cardioïde Soit la courbe d équation polaire r = a( + cosθ, a > 0.. Construire la courbe.. Longueur et développée. Correction [0055] Exercice Construire la courbe d équation cartésienne x (x + y (y x = 0 après être passé en polaires. Correction [0055] Exercice 5 Développée de la spirale logarithmique d équation polaire r = ae θ (a > 0. Correction [0055] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

2 Correction de l exercice. (Lemniscate de BERNOULLI. Soit C la courbe d équation polaire r = cos(θ. Domaine d étude. Notons D le domaine de définition de la fonction r : θ cos(θ. θ D θ + D et pour θ D, M(θ + = [r(θ +,θ + ] = [r(θ,θ + ] = [r(θ,θ] = M(θ. On obtient donc la courbe complète quand θ décrit un intervalle de longueur comme [,]. θ D θ D et pour θ D, M( θ = [r( θ, θ] = [r(θ, θ] = s (Ox (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [0,] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Ox. θ D θ D et pour θ D, M( θ = [r( θ, θ] = [r(θ, θ] = s (Oy (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [ 0, ] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Oy puis d axe (Ox. Pour θ [ 0, ] [ ], θ D cos(θ 0 θ 0,. On étudie donc la courbe sur [ 0, ]. Variations et signe de r. La fonction r est strictement décroissante sur [ 0, ] ] ], strictement positive sur 0, et s annule en. Etude en. M ( = O et donc la tangente en M ( est la droite passant par O et d angle polaire ou encore la droite d équation y = x. Etude en 0. M(0 est le point de coordonnées cartésiennes (,0. Pour θ ], [, dm sin(θ dθ (θ = u θ + cos(θ v θ et donc dm cos(θ dθ (0 = v 0 = j. M(0 est le point de coordonnées cartésiennes (,0 et la tangente en M(0 est dirigée par j. Soit C la courbe d équation polaire r = sin ( θ. Domaine d étude. Pour θ R, M(θ + 6 = [r(θ + 6,θ + 6] = [r(θ,θ + 6] = [r(θ,θ] = M(θ. On obtient donc la courbe complète quand θ décrit un intervalle de longueur 6 comme [,]. Pour θ [,], M( θ = [r( θ, θ] = [ r(θ, θ] = [r(θ, θ] = s (Oy (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [0,] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Oy. Pour θ [0,], M( θ = [r( θ, θ] = [ r(θ, θ] = [r(θ, θ] = s (Ox (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [ 0, ] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Ox puis d axe (Oy.

3 Pour θ [ 0, ] (, M θ = [ r ( θ, θ] = [ r(θ, θ] = s y= x (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [ 0, ] puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d axes la droite d équation y = x, puis d axe (Ox et enfin d axe (Oy. Remarque. La fonction r admet pour plus petite période strictement positive. Pourtant, on n obtient pas la courbe complète quand θ décrit [0,] car ne fournit pas un nombre entier de tours. Plus précisément, M(θ + = [r(θ +,θ + ] = [r(θ,θ + ] = s O (M(θ. Variations et signe de r. La fonction r est strictement positive sur ] 0, ] et s annule en 0. La fonction r est strictement croissante sur [ 0, ]. M(0 est le point O. La tangente en M(0 est la droite passant par O d angle polaire 0 c est-à-dire l axe (Ox. ØÖ ÙÖ [ ] 0, ÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø. Soit C la courbe d équation polaire r = ae bθ. L étude est très brève. La fonction r : θ ae bθ est strictement positive et strictement croissante sur R. Tout en tournant, on ne cesse de s écarter de l origine : la courbe est une spirale.

4 5 ØÖ ÕÙ Ò a = b = 0, Soit C la courbe d équation polaire r = cos(θ +. Domaine d étude. Pour θ R, M(θ + = M(θ. On obtient donc la courbe complète quand θ décrit un intervalle de longueur comme [,]. Pour θ [,], M( θ = s (Ox (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [0,] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Ox. Variations et signe de r. La fonction r est strictement décroissante sur [0,]. La fonction r est strictement positive sur [ 0, [ ], strictement négative sur,0] et s annule en. Donc la fonction θ OM(θ = r(θ est strictement décroissante sur [ 0, ] et strictement croissante sur [,]. M ( ( est le point O. La tangente en M est la droite passant par O d angle polaire c est-à-dire la droite d équation y = x. Par symétrie par rapport à (Ox, les tangentes en M(0 et M( sont parrallèles à (Oy. 5. Soit C la courbe d équation polaire r = tan ( θ. Domaine d étude. Notons D le domaine de définition de la fonction r : θ tan ( θ. θ D θ + 6 D et M(θ + 6 = M(θ. On obtient donc la courbe complète quand θ décrit un intervalle de longueur 6 comme [,]. θ D θ D et

5 M( θ = s (Oy (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [0,] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Oy. θ D θ D et M( θ = s (Ox (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [ 0, ] puis on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Ox puis par réflexion d axe (Oy. θ D θ D et M ( θ = [ r(θ, θ] = [ r(θ, θ] = s y=x (M(θ. On étudie et on construit la portion de courbe correspondant à θ [ 0, ] puis on obtient la courbe complète par réflexions successives d axe la droite d équation y = x, puis d axe (Ox et enfin d axe (Oy. Pour θ [ 0, ], r(θ existe si et seulement si θ. On étudie donc sur θ [ 0, [. Variations et signe de r. La fonction r est strictement croissante sur [ 0, [ ] [, strictement positive sur 0, et s annule en 0. La tangente en M(0 = O est la droite passant par O et d angle polaire 0 c est-à-dire l axe (Ox. Etude quand θ tend vers. Quand θ tend vers par valeurs inférieures, r(θ tend vers +. la courbe admet donc une direction asymptotique d angle polaire ou encore ( d équation y = x. Recherchons une éventuelle droite asymptote. Pour cela, étudions lim r(θsin θ. Posons h = θ θ< θ ou encore θ = h. r(θsin ( θ ( = tan h sin( h = cotanhsinh = cosh. Ainsi, C admet une droite asymptote (D quand θ tend vers. De plus, M(x,y (D OM. v = x y = y = x Correction de l exercice Domaine d étude. Notons D le domaine de définition de la fonction r : θ cosθ+ sinθ+. θ R, θ D θ + D et M(θ + = M(θ. On obtient donc la courbe complète quand θ décrit un intervalle de longueur comme [,]. Pour θ [,], sinθ + = 0 θ { 5 } 6, 6. On étudie donc la courbe sur [,]\ { } 5 6, 6. Signe de r. 5

6 θ cos θ sin θ Ò r Variations de r. La fonction r est dérivable sur [,] \ { 5 } { } 6, 6 et pour θ [,] \ 5 6, 6 r (θ = sinθ(sinθ+ cosθ(cosθ+ (sinθ+ = cosθ sinθ (sinθ+ = cos(θ < 0. (sinθ+ La fonction r est strictement décroissante sur [, 5 [ ] [ ] 6, sur 5 6, 6 et sur 6,]. Etude quand θ tend vers 5 6. lim r(θ = et lim r(θ = +. Donc la courbe C admet une direction asymptotique d angle θ 5 6 x< 5 6 θ 5 6 x> 5 6 polaire 5 6 ou encore d équation y = x. Etudions maintenant l existence d une éventuelle droite asymptote et pour cela étudions lim θ 5 r(θsin ( θ On pose h = θ ou encore θ = h de sorte que θ tend vers 5 6 si et seulement si h tend vers 0. Quand h tend vers 0 ( r(θsin θ + 5 = cos( h + 6 sin ( ( cosh + sinh h sinh = + sinh + ( cosh sinh h h =. Par suite, C admet une droite asymptote (D quand θ tend vers 5 6. De plus M(x,y (D OM. v 5 6 = x y = y = x + Etude quand θ tend vers 6. asymptotique d angle polaire 6 vers 0 ( r(θsin θ + 6 lim r(θ = et θ 6 x< 6 = cos( 6 + h + lim r(θ = +. Donc la courbe C admet une direction θ 6 x> 6. Quand h tend ou encore d équation y = x. On pose ensuite h = θ + 6 sin ( 6 + h + ( + cosh + sinh sinh = sinh + h = +. sinh + ( cosh h Par suite, C admet une droite asymptote (D quand θ tend vers 6. De plus M(x,y (D OM. v 6 = + x + y = + y = x + + Tableau de variation de r. θ r (θ + + r 0 0 Recherche des points multiples. Soit (θ,θ ( [,] \ { 5 } 6, 6 tel que θ < θ. On suppose de plus que θ / { ± } et θ / { ± } de sorte que M(θ O et M(θ O. M(θ = M(θ ( k Z/ θ = θ + k et r(θ = r(θ ou ( k Z/ θ = θ + + k et r(θ = r(θ θ [,0], θ = θ + et r(θ = r(θ θ [,0], θ = θ + et cos(θ + sin(θ + = cos(θ + sin(θ +. 6

7 Maintenant, pour θ [,0] \ { 5 6,, 6 } cos(θ + sin(θ + = cos(θ + sin(θ + cos(θsin(θ + = cos(θsin(θ sin(θ = θ 6 + Z ou θ Z θ { θ }, 7. Ainsi, les points doubles distincts de l origine sont M ( ( = M M ( = O. et M ( 7 + Z ou θ 5 + Z = M ( 5 (. Sinon, M = Correction de l exercice. Domaine d étude. La fonction r est -périodique et paire. Donc on étudie et on construit la courbe quand θ décrit [0,] et on obtient la courbe complète par réflexion d axe (Ox. Variations et signe de r. La fonction r est strictement décroissante sur [0,], strictement positive sur ]0,] et s annule en. Etude pour θ =. La tangente en M( = O est la droite passant par O d angle polaire c est-à-dire l axe (Ox. Par symétrie par rapport à (Ox, le point M( est un point de rebroussement de première espèce. a a a a 7

8 . Soient θ [,] puis M = O + a( + cosθ u θ le point de C de paramètre θ. dm dθ = asinθ u θ + a( + cosθ ( ( ( ( θ θ v θ = acos sin u θ θ + cos v θ ( ( ( θ θ = acos cos + ( u θ θ + sin + ( v θ θ = acos u θ +. Longueur l de la cardioïde. On a dm dθ = acos ( θ = acos ( θ (pour θ [,] et donc l = dm dθ dθ = a cos(θ/ dθ = a[sin(θ/] = 8a. La cardioïde d équation polaire r = a( + cosθ, a > 0, a pour longueur 8a. Développée. Le point M(θ est régulier si et seulement si θ ±. Dans ce cas, ds dθ = dm dθ = acos( θ et aussi τ (θ = u θ En notant α(θ une mesure de l angle rayon de courbure au point M(θ, + ( i, τ (θ, on peut prendre α(θ = θ +. En notant R(θ le R(θ = ds dα = ds/dθ dα/dθ = acos( θ. Ensuite, n (θ = r / ( τ (θ = u θ/ et donc, en notant Ω(θ le centre de courbure au point M(θ, Ω(θ = M(θ + R(θ n (θ = O + a( + cosθ u θ ( θ acos u θ/ ( = O + a( + cosθ cos(θ i + sin(θ j ( ( ( ( ( θ θ i θ θ j a cos cos + cos sin = O + a [(cos(θ + cos (θ i (cos(θ + cos(θ + (sin(θ + sin(θcos(θ (sin(θ + sin(θ [( = O + a + cos(θ ( i cos (θ + sin(θ ] j sin(θcos(θ = O + a a i + ( cosθ u θ Notons Γ la développée cherchée. On a Γ = t h(c où t est la translation de vecteur a i, h est l homothétie de centre O et de rapport et C la courbe d équation polaire r = a( cosθ. Maintenant, en notant r la fonction θ a( + cosθ et r la fonction θ a( cosθ, [r (θ +,θ + ] = [a( + cosθ,θ + ] = s O ([r(θ,θ]. La courbe C est donc la symétrique par rapport à O de la courbe C. En résumé, la développée de C est l image de C par la transformation t h s O : c est encore une cardioïde. 8

9 a a a a Correction de l exercice Soient (R,θ R puis M le point du plan dont un couple de coordonnées polaires est [r,θ]. M C x (x + y (y x = 0 r cos θ r (r sinθ r cosθ = 0 ( sinθ cosθ r [r cos θ (sinθ cosθ ] = 0 r = 0 ou r = (cosθ = 0 ne fournit pas de solution cosθ r = 0 ou r = tanθ ou r = tanθ. C est donc la réunion de la courbe (C d équation polaire r = tanθ, (C d équation polaire r = tanθ et {O}. On note que le point O appartient à (C car θ = fournit r = 0. Donc C = C C {O} = C C. Ensuite, on notant r et r respectivement la fonction θ tanθ et r = r, M[θ +,r (θ + ] = M[θ +,r (θ] = M[θ +, r (θ] = M[θ,r (θ], et comme θ + décrit R si et seulement si θ décrit R, les courbes C et C sont une seule et même courbe. C est la courbe d équation polaire r = tanθ. Construction de C. 9

10 Correction de l exercice 5 Développée. M(θ = O + ae θ u θ puis dm dθ = aeθ ( u θ + v θ = a e θ ( cos ( u θ + sin ( v θ = a e θ u θ+. On en déduit ds dθ = a e θ et τ (θ = u θ+. On peut alors prendre α(θ = θ + dα et donc dθ =. Par suite R(θ = ds/dθ dα/dθ = a e θ = a e θ. D autre part, n (θ = τ ( θ + = u θ+ = ( u θ + v θ et donc Ω(θ = M(θ + R(θ n (θ = O + ae θ u θ + a e θ. ( u θ + v θ = O + ae θ v θ = r O, (M(θ. La développée de la spirale logarithmique d équation polaire r = ae θ est l image de cette spirale par le quart de tour direct de centre O. M(θ Ω(θ 0

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