Logique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012

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1 Logique Propositionnelle Automates et Logiques Cédric Lhoussaine University of Lille, France Janvier 2012

2 1 Syntaxe 2 Sémantique 3 Propriétés de la logique propositionnelle 4 Déduction naturelle Le système {,,,,, }

3 Formules logiques P = {p, q, r,...} un ensemble de variables propositionnelles.,,,, et sont appelés connecteurs logiques. L ensemble des formules propositionnelles F 0 = {ϕ, ψ,...} est le plus petit ensemble qui contient les variables propositionnelles et le connecteur ( absurde ) et, si ϕ F 0 et ψ F 0 alors les termes suivants sont aussi des formules propositionnelles: conjonction de ϕ et ψ: ϕ ψ disjonction de ϕ et ψ: ϕ ψ ϕ implique ψ: ϕ ψ ϕ équivalent à ψ: ϕ ψ négation de ϕ: ϕ parenthésages: (ϕ) Les formules p et sont appelées formules atomiques.

4 Formules logiques L ordre de priorité des connecteurs est le suivant: > {, } > {, }. Les connecteurs binaires sont associatifs à gauche. Étant donnée la nature récursive de la définition des formules, leurs propriétés seront démontrées par induction. Théorème (Principe d induction) Soit A une propriété des formules, si A(p), pour tout p P, et A( ); A(ϕ) et A(ψ) impliquent A(ϕ ψ), A(ϕ ψ), A(ϕ ψ) et A(ϕ ψ); A(ϕ) implique A( ϕ) et (ϕ), alors A(ϕ) pour toute formule ϕ F 0.

5 Valuation de variable propositionnelle La valeur de vérité des variables propositionnelles est déterminée par une valuation, i.e. une application v des variables propositionnelles dans les valeurs de vérité: v : P {0, 1}

6 Valuation de formule propositionnelle Toute valuation v se prolonge, de façon unique, en une valuation v sur les formules propositionnelles: v : F 0 {0, 1} Elle est définie récursivement sur la structure des formules: p v = v(p) v = 0 (ϕ ψ) v = min( ϕ v, ψ v ) (ϕ ψ) v = max( ϕ v, ψ v ) ( ϕ) v = 1 ϕ v (ϕ ψ) v = 1 ssi ϕ v = ψ v (ϕ ψ) v = 0 ssi ϕ v = 1 et ψ v = 0

7 Tables de vérité La table de vérité d une formule ϕ énumère toutes ses valuations possibles. p q p p q p q p q p q

8 Satisfaisabilité On dit qu une valuation v satisfait une formule ϕ ssi ϕ v = 1. On dit que ϕ est satisfaisable s il existe une valuation qui la satisfait. Une formule ϕ est une tautologie, dénoté = ϕ, ssi ϕ ν = 1 pour toute valuation ν. Soit Γ un ensemble de formules, ϕ est conséquence sémantique de Γ, dénoté Γ = ϕ, si ϕ est satisfaite par toute valuation qui satisfait toute les formule de Γ.

9 Équivalence sémantique Deux formules ϕ et ψ sont sémantiquement équivalentes (ou simplement équivalentes), dénoté ϕ ψ, ssi ϕ v = ψ v pour toute valuation v. Autrement dit, ϕ ψ ssi = ϕ ψ. Proposition La relation est une relation d équivalence, i.e. ϕ ϕ (réflexivité) si ϕ ψ alors ψ ϕ (symétrie) si ϕ ψ et ψ θ alors ϕ θ (transitivité)

10 Propriétés algébriques Théorème commutativité: ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ associativité: ϕ (ψ θ) (ϕ ψ) θ ϕ (ψ θ) (ϕ ψ) θ ϕ (ψ θ) (ϕ ψ) θ distributivité: ϕ (ψ θ) (ϕ ψ) (ϕ θ) ϕ (ψ θ) (ϕ ψ) (ϕ θ) idempotence: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ neutralité et absorbtion de : ϕ ϕ ϕ lois de De Morgan: (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ double négation: ϕ ϕ propriétés de : (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ψ ϕ)

11 Système complet de connecteurs Un système complet de connecteurs C est un ensemble de connecteurs logiques tel que toute formule propositionnelle est équivalente à une formule n utilisant que les connecteurs de C. Théorème Les ensembles de connecteurs {, }, {, }, {, } et {, } sont des systèmes complets.

12 Formes normales conjonctives et disjonctives Une formule sous forme normale disjonctive (FND) est une disjonction de conjonctions de la forme (ϕ 1,1... ϕ 1,n1 )... (ϕ k,1... ϕ k,nk ) où chaque formule ϕ i,j est un littéral, c est-à-dire une variable propositionnelle ou une négation de variable propositionnelle. Une formule sous forme normale conjonctive (FNC) est une conjonction de disjonctions de la forme (ϕ 1,1... ϕ 1,n1 )... (ϕ k,1... ϕ k,nk ) où chaque formule ϕ i,j est un littéral. Théorème Toute formule propositionnelle est équivalente à une FND et à une FNC.

13 Des connecteurs au raisonnement La déduction naturelle offre un point de vue sur la logique propositionnelle qui s appuie sur le raisonnement plutôt que sur la vérité des formules; elle formalise ainsi la notion de démonstration. La déduction naturelle consiste en un ensemble de règles (ou étapes atomiques) permettant d inférer une conclusion à partir de prémisses (ou hypothèses). Ces règles (élaborées par Gentzen) donnent une signification intuitive aux connecteurs logiques. Les règles d inférence sont de la forme suivantes: P 1 P 2 P n C où les P i sont les formules prémisses et C la formule conclusion, et peut se lire ainsi: sous les hypothèses P 1,..., P n on peut déduire C.

14 Dans un premier temps, on ne considère que les formules du système (complet) {,, }. (On utilisera néanmoins la notation ϕ comme abbréviation de la formule ϕ.) À chaque connecteur et est associé une (ou deux) règle d élimination (du connecteur) et une (ou deux) règle d introduction (du connecteur).

15 Conjonction ϕ ψ ( I) ϕ ψ ϕ ψ ( E) ϕ ϕ ψ ( E) ψ

16 L implication [ϕ]. ψ ϕ ψ ( I) ϕ ϕ ψ ( E) ψ les points de suspension représentent l existence d une dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion; l hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée (déchargée) de la dérivation lorsqu on applique la règle. Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par une seule application de règle.

17 L implication [ϕ]. ψ ϕ ψ ( I) ϕ ϕ ψ ( E) ψ les points de suspension représentent l existence d une dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion; l hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée (déchargée) de la dérivation lorsqu on applique la règle. Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par une seule application de règle.

18 L implication [ϕ]. ψ ϕ ψ ( I) ϕ ϕ ψ ( E) ψ les points de suspension représentent l existence d une dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion; l hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée (déchargée) de la dérivation lorsqu on applique la règle. Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par une seule application de règle.

19 L absurdité [ ϕ] ( ) ϕ. (RAA) ϕ

20 Dérivations L ensemble des dérivations est le plus petit ensemble X satisfaisant les propositions suivantes: l arbre singleton ϕ appartient à X pour tout ϕ F 0. si D 1 ϕ 1, D 2 ϕ 2 X alors D 1 D 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 X si D D ϕ ψ X alors ϕ ψ ϕ X et D ϕ ψ ψ X

21 Dérivations si ϕ D ψ X alors [ϕ] D ψ ϕ ψ X si D 1 ϕ 1, D 2 ϕ 1 ϕ 2 X alors D 1 ϕ 1 D 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 X

22 Dérivations si D X alors D X ϕ si ϕ D X alors [ ϕ] D ϕ X

23 Dérivations La formule à la racine d une dérivation est appelée conclusion et les formules non déchargées aux feuilles d une dérivation sont appelées hypothèses; On note Γ ϕ, où Γ est un ensemble de formules, l existence d une dérivation de conclusion ϕ et dont toutes les hypthèses sont dans Γ.

24 Dérivations La formule à la racine d une dérivation est appelée conclusion et les formules non déchargées aux feuilles d une dérivation sont appelées hypothèses; On note Γ ϕ, où Γ est un ensemble de formules, l existence d une dérivation de conclusion ϕ et dont toutes les hypthèses sont dans Γ.

25 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

26 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

27 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

28 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

29 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

30 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

31 Propriétés Lemme On a les proprétés suivantes: 1 si ϕ Γ alors Γ ϕ; 2 si Γ ϕ et Γ ψ alors Γ Γ ϕ ψ; 3 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ and Γ ψ; 4 si Γ ϕ ψ alors Γ ϕ ψ; 5 si Γ ϕ et Γ ϕ ψ alors Γ Γ ψ; 6 si Γ alors Γ ϕ; 7 si Γ { ϕ} alors Γ ϕ.

32 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

33 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

34 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

35 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

36 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

37 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

38 Propriétés Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ (ψ ϕ); 2 ϕ ( ϕ ψ); 3 (ϕ ψ) ( (ψ θ) (ϕ θ) ) ; 4 (ϕ ψ) ( ψ ϕ); 5 ϕ ϕ; 6 ( ϕ (ψ θ) ) (ϕ ψ) θ; 7 (ϕ ϕ)

39 Correction Lemme (Correction) Si Γ ϕ alors Γ = ϕ.

40 Complétude Théorème (Complétude) Γ ϕ ssi Γ = ϕ.

41 Le système {,,,,, } Le système {,,,,, } ϕ ϕ ψ ( I) ψ ϕ ψ ( I) ϕ ψ θ [ϕ]. θ [ψ]. θ ( E) [ϕ]. ϕ ( I) ϕ ϕ ( E)

42 Le système {,,,,, } Le système {,,,,, } [ϕ] [ψ].. ψ ϕ ( I) ϕ ψ ϕ ϕ ψ ( E) ψ ψ ϕ ψ ( E) ϕ

43 Le système {,,,,, } Le système {,,,,, } Théorème On a les propriétés suivantes: 1 ϕ ψ ( ϕ ψ); 2 ϕ (ϕ ); 3 (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ψ ϕ). La déduction naturelle dans le système {,,,,, } reste complète.

Σχετικά έγγραφα

La Déduction naturelle

La Déduction naturelle Pierre Lescanne 14 février 2007 13 : 54 Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction naturelle, on raisonne avec des hypothèses. Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction