COURBES EN POLAIRE. I - Définition

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Χθόνια Αλεξιάδης
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1 Y I - Définition COURBES EN POLAIRE On dit qu une courbe Γ admet l équation polaire ρ=f (θ), si et seulement si Γ est l ensemble des points M du plan tels que : OM= ρ u = f(θ) u(θ) Γ peut être considérée comme l ensemble des extrémités du vecteur OM ; elle apparaît ainsi comme la représentation graphique d une fonction vectorielle de la variable θ. y Γ M X v j O u i θ x

2 II - Recherche de l ensemble d étude Domaine de définition D={θ tel que ρ= f(θ) existe } Si f est périodique et de période T T=kπ on obtient la courbe en choisissant pour domaine d étude un intervalle d amplitude T T= kπ /p domaine d étude d amplitude T la courbe étant obtenue par p- rotation de centre O et d angle T T= r π (r irrationnel) domaine d étude d amplitude T la courbe obtenue par une infinité de rotation de centre O et d angle T Antipériode une fonction ρ= f(θ) périodique et de période T et dite antipériodique et d antipériode T/ si f(θ+t/)= -f(θ) Dans ce cas le domaine d étude [,T/] la représentation graphique s obtient par rotation de centre O et d angle T/+ π Cette propriété est due au fait qu un même point possède un double système de coordonnées polaires (ρ,θ) ou (-ρ,θ+ π )

3 Symétrie f(- θ) = f(θ) symétrie par rapport à Ox f(- θ) = -f(θ) symétrie par rapport à Oy f(α-θ) = f(θ) symétrie par rapport à la droite d angle polaire α/ f(α-θ) = -f(θ) symétrie par rapport à la droite d angle polaire α/+ π/ III - Tangente en un point Tangente au pôle : s il existe θ tel que f(θ )= et si f est continue en θ alors la courbe passe par le pôle et est tangente en ce point à la droite d angle polaire θ Tangente en M (θ ) autre que le pôle x = M y = f ( θ )cosθ f ( θ )sinθ dm dθ f f '( θ )cosθ '( θ )sinθ + f ( θ )sinθ f ( θ )cosθ

4 dom dθ α M v u

5 r dm dθ r r = ( f'( θ) cos θ f( θ) sin θ) i + ( f'( θ) sin θ + f( θ) cos θ) j r r r r = f'( θ)(cosθi + sin θj) + f( θ)( sinθi + cos θj) r r = f'( θ ) u+ f( θ ) v Dans la base (u,v) dm ( θ ) dθ f '( θ ) f ( θ ) tanα = ρ = ρ' f ( θ ) f '( θ ) Cela si f ' ( θ ) Si f (θ ) = la tangente en M est perpendiculaire à OM

6 IV - Point d inflexion, concavité dom dom Point d inflexion et = dθ dθ dθ Ainsi tout point distinct du pôle est un point d inflexion si ρ +ρ - ρρ = d OM Si ρ +ρ - ρρ > la courbe tourne sa concavité vers le pôle Si ρ +ρ - ρρ < la courbe tourne sa concavité vers l opposé du pôle ρ +ρ - ρρ < M O ρ +ρ - ρρ >

7 V - Branches infinies La direction d angle polaire α est direction asymptotique de la courbe Γ lorsque le rayon polaire ρ tend vers l infini quand θ tend vers α Y y M X K H u θ α x O OH=a ; la droite D d équation Y=a est asymptote à la courbe Γ si OK tend vers OH, c est àdire que ρ sin(θ-α) tend vers a quand θ tend vers α Si ρsin(θ-α) tend vers une valeur infinie quand θ tend vers α la branche infinie est parabolique de direction asymptotique θ=α

8 Cas particuliers Point asymptote : on dit que le pôle est un point asymptote si ρ tend vers quand θ tend vers l infini. Cercle asymptote : on dit que le cercle ρ=a est un cercle asymptote si ρ tend vers a quand θ tend vers l infini. Branche spirale :on dit que la branche infinie est spirale asymptote si ρ tend vers l infini quand θ tend vers l infini. VI - Points doubles M ( θ, f ( θ )) θ = θ + kπ θ = θ + π + kπ M ( θ, f ( θ On résoud f( θ) = f( θ) f( θ+ π) = f( θ) )) f ( θ ) = f ( θ ) f ( θ ) = f ( θ ) sont confondus ssi

9 VII - Marche à suivre pour la construction d une courbe en polaire - Recherche du domaine de définition et du domaine d étude - Calcul de la dérivée et étude de son signe - Pour les valeurs remarquables de θ et quand θ tend vers l infini, calculer ρ, ρ et tanα=ρ /ρ θ θ ρ _ ρ + ρ ρ ρ/ ρ ρ / ρ - Étude des branches infinies limite de ρsin(θ-α) quand θ tend vers α - Tracé de la courbe et recherche des points doubles.

10 Exemple sinθ ρ = + cosθ Domaine de définition D et domaine d étude D e π + cosθ θ ± + kπ π D= R ± + kπ, k Z ρ( π+ θ) = ρ( θ) = π = π D,, π ρ( θ) ρ( θ) ( sym yy') e Branches infinies Lim π θ ρ( θ) = + Lim ρ( θ) = + π θ

11 h = θ π π sin( + h) sinh h h² + o( h²) π Y = ρθ ( )sin( θ ) = = + ( cosh sinh) h+ h² + o( h²) r r Y= + h+ o( h) Y= est asymptote dans le repère ( OI,, J) Dérivée, variation cosθ + ρ' = ( + cos θ)² θ ρ' ρ,5 π π π

13 Exemple ρ = sinθ+ sin θ Domaine d étude : sinθ+ sin θ θ kπ π θ ± + kπ ρθ ( + π) = ρθ ( ) pé riodeπ ρ( θ) = ρ( θ) yy' axedesymétrie π π =,, π D Branches infinies : lim ρ = + θ + ρsinθ= = + cosθ Y=/ et asymptote, la courbe est au dessus θ² = + + O( θ²) θ² + ( + O( θ²)) 9

14 lim π θ ρ = + lim ρ = + π θ π sinh Y = ρsin( θ ) = π 4π sin( h+ ) + sin( h+ ) π π = h+ O( h) hh = = θθ π + Y=-/ est asymptote, la courbe est au dessous en et en dessus en lim ρ = θ π Y = sin( θ π) = = + h² + O( h²) sin( θ+ π) = sin θ+ sin θ cosh Y= est asymptote, la courbe est au dessus h= θh = π θ + π π

15 ρ' = cosθ + cosθ (sinθ+ sin θ)² θ π π ρ + _ + +

17 Exemple : Domaine d étude : Branches infinies : lim ρ = sinθ sinθ cosθ π sinθ cosθ θ + kπ 4 ρθ ( + π) = ρθ ( ) pé riodeπ ρθ ( + π) = ρθ ( ) π π =,, π D 4 4 ρ = lim ρ = + + π π θ θ 4 4 symé triepar rapport à O sin sin( ) ρsin( θ π θ θ π = ) = ( ) sin( θ π 4 Y = + h+ O h h= θh = π 4 ) 4 4 Y=/ est asymptote, la courbe est au dessous en et au dessus en 4 π _ π + 4 θ π 4

18 Variation : θ ρ' ρ' = ' sinθ sin( θ π = ) sin ² ( θ π ) 4 4 _ π 4 _ π ρ + ρ( ) = ρ( π) = tangente xx la courbe passe par le pôle et admet comme

Σχετικά έγγραφα

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